ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Problemas de Mecánica de...

ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH)

Problemas de Mecánica de Medios

Continuos

Problemas de Mecánica de Medios

ContinuosTEMA 5TEMA 5

ECUACIONES DEECUACIONES DE CONSERVACIÓN-BALANCECONSERVACIÓN-BALANCE

X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos

X. Oliver, C. Agelet - Mecánica de Medios Continuos - ETSECCPB UPC


...

En la figura se presenta la sección longitudinal de una tubería de sección cuadrada de lado h por la que circula agua.

El agua entra por la sección AE con una velocidad uniforme v1

... y sale por la sección CD con velocidad uniforme v2.

PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA

B

C

E D

A

h/2

h/2v1

v2

p1

p2

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


... En la sección de salida se dispone una compuerta que puede bascular alrededor de la rótula situada en B

...y que se mantiene en posición vertical mediante la aplicación de una fuerza horizontal F en el extremo de la compuerta.

Planteamiento de problema

F

B

C

E D

A

v1

v2

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Para la resolución del problema se considerarán las siguientes hipótesis:


H4

Régimen estacionario.

Se desprecia el peso del fluido.

Fluido incompresible.

Las presiones sobre las paredes laterales de la tubería se suponen constantes e iguales a la presión de entrada p.Fluido perfecto ( ij = - pij

).

Se desprecia el peso de la compuerta.

H1

H5

H3

H2

H6

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Se pide :

La velocidad de salida v2 en función de la de entrada v1, [v1= v2(v1)] justificando la fórmula empleada.


1)

B

C

E D

A

v1

V2(V

1)

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


La resultante en el punto B (fuerzas y momentos) de las acciones ejercidas sobre el fluido del interior de la tubería.

B

fluido/MB

fl uido/R

Se pide :


2)

B

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


La resultante en el punto B (fuerzas y momentos) de las acciones ejercidas por el fluido sobre la compuerta BC.

Se pide :

3)

B

puertafl uido/ comR

C

B

B

puertafl uido/ comM


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


B

mpuertatubería/ coM

El valor de la fuerza horizontal F que mantiene la compuerta en posición vertical ...

Se pide :

B

mpuertatubería/ coR

4)

B

E D

A

FC


... y las reacciones que ejerce la tubería sobre la compuerta en B.

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


La potencia (W) de la bomba necesaria para mantener el flujo.

Se pide :

5)


B

C

A

v2E

v1 D

W

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Se pide la velocidad de salida v2 en función de la velocidad de entrada v1.

Imponemos el principio de conservación de la conservación de la masamasa, que en su forma local espacial corresponde a la ecuación de continuidad:

Imponiendo entonces la condición de incompresibilidad, se obtiene:

1)

RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA

0v

0v

0 vdt

dρ

0Fluido incompresible

Puesto que la densidad es no nula queda: 0




Las presiones sobre las paredes laterales de la tubería se suponen constantes e iguales a la presión de entrada p.Fluido perfecto ( ij = - pij ).Se desprecia el peso de la compuerta.

H1

H3

H4

H5

H6

H2

Las hipótesis del problema son:





H1

H3

H4

H5

H6

H2

Las hipótesis del problema son: El fluido es incompresible y por

tanto la densidad de las partículas no varía con el

tiempo, por lo que:0

dt

dρ

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Esta condición se debe cumplir para cualquier punto del medio y por lo tanto, se cumplirá también para cualquier volumen de control que se escoja.

Se escoge un volumen de controlvolumen de control delimitado por:

la compuerta BC

la sección de salida CD

la sección de entrada AE

las paredes de la tubería

Se impone ahora la condición :V en 0 v

0 dVV

v Volumen de control V

A

EC

D

B

Resolución del problema

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


V

Al ser un volumen cerrado, se puede aplicar el:

V es el contorno del volumen de control V ...

dSdVVV

nvv


Teorema Teorema de lade la

DivergenciDivergenciaa

Donde:

... y n la normal unitaria exterior del contorno.

n

nn

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


ê1

ê2

Por la CONDICIÓN DE IMPENETRABILIDAD, en el

contorno S el vector velocidad es perpendicular al vector normal n, luego

su producto escalar es cero

0nv

Entonces se tiene:

dSdV0VV

nvv

El desarrollo de la expresión integral es:

dSS

11 nv1

dSS2

22 nv dSS nv

dSV

nv0

S1 es la sección de entrada

S2 es la sección de salida

S es el contorno lateral y compuerta (Contorno impenetrable por el fluido)

0

Contorno impenetrable

Así queda:


B

C

E D

A

v1

v2

n1 n2

n

S1

S

S2

S

n

dSS

2

22 nv dSS

11 nv1

dSV

nv0

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Empezamos calculando el caudal que entra por la sección de entrada AE :

dSS1

11 nv dSv-S1

1 11Sv


n1

B

C

E D

A

v1

v2

La velocidad es uniforme en toda la sección, por tanto la integral es directa

1v 11 nv 01

0

,

,v1

1

1

n

v

1e

2e

S1

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Se calcula ahora el caudal que entra por la sección de salida CD:

dSS2

22 nv dSvS2

2 22Sv

01

02

,

,v

2

2

n

v222 nv v


B

C

E D

A

v1

v2

n2

La velocidad es uniforme en toda la sección, por tanto la integral es directa

1e

2e

S2

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Reagrupando términos se obtiene la siguiente expresión:

Despejando se obtiene v2 en función de v1:

02211 SvSv

2

112 S

Svv


12 2vv La solución es:La solución es:

22

21

h2

1

h

S

S1v2

h

hv

2

2

1

2

1

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Se pide la resultante en el punto B (fuerzas y momentos) de las acciones ejercidas sobre el fluido del interior de la tubería.

Imponiendo balance de la cantidad de balance de la cantidad de movimientomovimiento se obtiene la resultante de fuerzas.

dVρdt

d

V

v/RB

fluido

Imponiendo balance del momento de la balance del momento de la cantidad de movimientocantidad de movimiento se obtiene la resultante de momentos.

dVρdt

d

V

vr/MB

fluido

Resultante de fuerzas sobre el fluidoResultante de fuerzas sobre el fluido

Resultante de Resultante de momentos sobre el momentos sobre el

fluido en Bfluido en B


2)

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


es el contorno del volumen de control V.V

dVρdt

d

V

vRB

fluido/

Donde:

Así queda:



Fluido incompresible.Las presiones sobre las paredes laterales de la tubería se suponen constantes e iguales a la presión de entrada p.Fluido perfecto ( ij = - pij ).Se desprecia el peso de la compuerta.

H1

H3

H4

H5

H6

H2


Se aplicará el Teorema del Transporte de Teorema del Transporte de ReynoldsReynolds para resolver la integral:

Cálculo de la resultante de fuerzasresultante de fuerzas sobre el fluido en el punto B:

dSρdVρt VV

nvvv

0Régimen estacionario


A

E

B

D

C dSρV

nvvRfluido/

V

V




H1

H3

H4

H5

H6

H2


0

t

El régimen es

estacionario y por

tanto:

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


ê1

ê2

B

C

E D

A

v1

v2

Se desarrolla la expresión integral:

dSρV

/ nvvRB

fluido

dSρS

222 nvv2

dSρS

nvv 0






(v·n=0)

S1 es la sección de entrada

S2 es la sección de salidaS es el contorno lateral y compuerta (Contorno impenetrable por el fluido)

Así queda:

n1 n2

n

S1

S

S2

S

n

dSρ/

V

nvvRB

fluido

dSρ1S

111 nvv dSρS

222 nvv 2

dSρ1S

111 nvv

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


S1B

C

E D

A

v1

v2

En la sección de entrada AE:

dSρ1S

111 nvv dSvρ 1S1

1v dSˆvρ 21

S1

1e La velocidad es uniforme en

toda la sección, por tanto la integral es

directa

1S

2

1 dSˆvρ 1e1eSvρ 1

2

1


n1

1,0

,0v1

1

1

n

v

cteρ

1e

2e





H1

H3

H4

H5

H6

H2






H1

H3

H4

H5

H6

H2

Las hipótesis del problema son: El fluido es

incompresible, luego

su densidad es

constante .cte

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


En la sección de salida CD:

dSρS

222

2

nvv dSvρ 2S

2

2

v dSˆvρ 2

S12

2

e La velocidad es uniforme en

toda la sección, por tanto la integral es

directa

2

12S

2 dSˆvρ e 122 eSvρ 2


B

C

E D

A

v1

v2

1,0

,0v

2

22

n

v

cteρ

1e

2e n2

S2

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Reagrupando términos:

Substituyendo los valores de S1 y S2:

1fluidoeR /ˆv

2

1vhρ 2

2

2

1

2

Y aprovechando el resultado del apartado 1):

1fluidoeR /ˆhvρ 22

1


1eSvSvρ 2221

21 B

fluidoR / dSρ

1S

111 nvv dSρ1S

222 nvv dSρS

nvv 0Contorno impenetrable

22

21

h2

1

h

S

S

12 2vv

La solución es:La solución es:

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Donde: V es el contorno del volumen de control V ...

Así queda:

dSρV

nvvrM B

fluido/




H1

H3

H4

H5

H6

H2


dVρdt

d

V

vr/M B

fluido

Se aplicará el Teorema del Transporte de Teorema del Transporte de ReynoldsReynolds para resolver la integral:

dSρrdVρt

VV

nvvvr

0Régimen estacionario


Cálculo de la resultante de momentosresultante de momentos sobre el fluido en el punto B:

A

E

B

D

C

V

VRégimen estacionario.



H1

H3

H4

H5

H6

H2


0

t

El régimen es

estacionario y por

tanto:

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos





(v·n=0)

B

C

E D

A

v1

v2


dSρV

nvvrB

fluido/M

dSρ1S

111 nvvr dSρS

222 nvvr2

dSρS

nvvr


S1 es la sección de entradaS2 es la sección de salidaS es el contorno lateral y compuerta (Contorno impenetrable por el fluido)


Así queda:

n1 n2

n

S1

S

S2

S

n0

dSρV

nvvr/

M B

fluido

dSρ1S

111 nvvr dSρS

222 nvvr 2

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


r: es el vector de posición de las partículas respecto al punto B.

h/2

En la sección de entrada S1 respecto al punto B:


1S

dSρ 111 nvvr 1S

1 dSvρ 1vr dSˆρv1S

2

1 1er

dSˆρv*1S

2

1 1er

1er ˆSρv* 121

3e2

hSρv 1

21

3

3

e2

hρv2

12

1 hS

v1

n1 r

1e

2e

3e

2h

SvM 1

2

1ρ

3eMM

1eR ˆR

Br*

El momento de un sistema de vectores respecto de un punto es igual al momento de su resultante, en el centro de gravedad, respecto al mismo punto.

21vρ

121SvR ρ

M es igual a la resultante (R) por su brazo mecánico (h/2) respecto al

punto B

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


En la sección de salida S2 respecto al punto B:


2S

dSρ 222 nvvr 2

2

S

dSvρ 2vr dSˆρvS

22

2

1er

1e

2e

3e

dSˆρv*S

2

2

2 1er

1er ˆSρv* 222

322 4

3e

hSρv 2

3ehρv 2 3

28

3

2

2

2

hS

n2

3h/4

43h

SvM 222ρ

r: es el vector de posición de las partículas respecto al punto B.

1eR ˆR

3eMM

El momento de un sistema de vectores respecto de un punto es igual al momento de su resultante, en el centro de gravedad, respecto al mismo punto.

M es igual a la resultante (R) por su brazo mecánico respecto al punto

B (3h/2)

rr*v2

222SvR ρ

B

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Reagrupando términos nos queda la siguiente expresión:


33

B

fluidoee

/M ˆhρv

8

3ˆhρv2

1 2

2

32

1

3

Y aprovechando el resultado del apartado 1):12 2vv

3

B

fluidoe

/M ˆhρv 32

1La solución es:La solución es:

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


C


3) Se pide el valor de la resultante (fuerza y momento en el punto B) de las acciones que el fluido ejerce sobre la compuerta BC.Fuerza resultante en el punto B ejercida por el fluido sobre la

compuerta:

B

compuertafluidoR /

Momento resultante en el punto B ejercido por el fluido sobre la

compuerta:

B

compuertafluidoM /

B

puertafl uido/ comR

B

B

puertafl uido/ comM

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Cálculo de la fuerza resultantefuerza resultante ejercida por el fluido sobre la compuerta:

Por el principio de acción-reacciónprincipio de acción-reacción la fuerza del fluido sobre la compuerta es igual y de signo contrario que la de la compuerta sobre el fluido:

fluidocompuertacompuertafluidoRR //

Donde:dVρ

V

b es la componente de las fuerzas másicas...

...y la componente de las fuerzas de superficie. V

dS

t


Se parte de la expresión de la fuerza resultante total sobre el medio continuo (fluido):

dVρV

b V

dS

tfluido

R /

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


es la resultante de las fuerzas de superficie que actúan sobre el fluido en la sección de entrada (S1).

Se descompone la resultante de fuerzas en:

Peso del fluido despreciable

1S

dSt 2S

dSt .L.C

dSt .Comp

dSt

1S

dSt

2S

dSt es la resultante de las fuerzas de superficie que actúan sobre el fluido en la sección de salida (S2).

.L.C

dSt es la resultante de las fuerzas de superficie que actúan sobre el fluido en el contorno lateral (C.L.).


C

E D

BA

S1

C.L.Comp.

S2C.L.

dVV

b V

dS

tfluido

R /

fluidocompuerta.Comp

/dS Rt es la resultante de las fuerzas de superficie que la compuerta (Comp.) ejerce sobre el fluido.




H1

H3

H4

H5

H6

H2


Se desprecian el

peso del fluido,

luego el valor de las

fuerzas másicas es

nulo.




H1

H3

H4

H5

H6

H2


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Vamos a identificar cada uno de los términos:

1S

dSt 2S

dSt .L.C

dSt .Comp

dStfluido

R /

1ehvρ 22

1 Resultado obtenido en el apartado anterior.

fluido

R /


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos




1S

dSt 1S

1 dSˆp 1e

1e

2e

3e

La presión es uniforme en toda

la sección, por tanto, la integral

es directa

11 eSp 1 11 ehp 2

2

1 hS

p1

S1

1S

dSt 2S

dSt .L.C

dSt .Comp

dStfluido

R /

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos




2S

dSt 1S

2 dSˆp 1e

p2

S2

P2 es la presión

atmosférica que vamos a considerar

nula

0 atm2 pp

0

1S

dSt 2S

dSt .L.C

dSt .Comp

dStfluido

R /

1e

2e

3e

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos




.L.C

dSt

p

C.L.

p

Las presiones en el contorno lateral se

compensan entre ellas mismas,

luego0..

dSLC

t

0.L.C

dSp

1S

dSt 2S

dSt .L.C

dSt .Comp

dStfluido

R /

C.L.

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos




.Comp

dSt compuertafluidoR /

fluidocompuertaR /

Por el PRINCIPIO DE ACCIÓN-PRINCIPIO DE ACCIÓN-REACCIÓNREACCIÓN sabemos que la fuerza que ejerce la compuerta sobre el fluido será igual pero de signo

opuesto a la fuerza que ejerce el

fluido sobre la compuerta.

fluidocompuertaR /

1S

dSt 2S

dSt .L.C

dSt .Comp

dStfluido

R /

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


1S

dSt 2S

dSt .L.C

dSt .Comp

dStfluido

R /


1ehvρ 221

0 0

compuertafluidoR /

Reagrupando términos queda:

11 ehp 2

1eRcompuertafluido

ˆρvph 211

2

/ La solución es:La solución es:

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


dVρ V

br es la componente de las fuerzas másicas...

V

dS

trfluido

M/

Cálculo del momento resultantemomento resultante ejercido por el fluido sobre la compuerta en B:


Se parte de la expresión del momento resultante total sobre el medio continuo (fluido):

dVρV

br V

dS

trfluido

M/

Peso del fluido despreciable

Así queda:

Donde:

...y la componente de las fuerzas de superficie. V

dS

tr




H1

H3

H4

H5

H6

H2





H1

H3

H4

H5

H6

H2


Se desprecia el peso

del fluido, luego el

valor de las fuerzas

másicas es nulo.

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos



Se descompone la resultante de momentos en:

fluido

M/

V

dS

tr 1S

dStr 2S

dStr .L.C

dStr .Comp

dStr

es el momento de las fuerzas que actúan sobre el fluido en la sección de entrada (S1).es el momento de las fuerzas que actúan sobre el fluido en la sección de salida (S2).

es el momento de las fuerzas que actúan sobre el fluido en el contorno lateral (C.L.).

C

E D

BA

S1

C.L. Comp.

S2C.L.

es el momento que la compuerta (Comp.) ejerce sobre el fluido.

1S

dStr

2S

dStr

..

dSLC

tr

fluidocompuertaMtr

/dS

.Comp

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos



3ehvρ 21

3Resultado obtenido en el apartado anterior.

fluido

M/


fluido

M/

V

dS

tr 1S

dStr 2S

dStr .L.C

dStr .Comp

dStr

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


1e

2e

3e

h/2



1S

dStrS1

1

1

S

1 dSˆp er

2

1 hS

dSˆp*s

11

1

er

r*r

3e2

hSp 11 3

3

e2

hp1

111 er ˆSp*

3eM ˆM

M

p1

fluido

M/

V

dS

tr 1S

dStr 2S

dStr .L.C

dStr .Comp

dStr

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos




2S

dStr S2 2

12

S

dSˆp er

P2 es la presión atmosférica que

vamos a considerar nula

0 atm2 pp

0

p2

1e

2e

3e

fluido

M/

V

dS

tr 1S

dStr 2S

dStr .L.C

dStr .Comp

dStr

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos




..

dSLC

tr

p

C.L.

p

Los momentos de las presiones en el contorno lateral se compensan entre ellas mismas, luego

0..

dSLC

tr

0

fluido

M/

V

dS

tr 1S

dStr 2S

dStr .L.C

dStr .Comp

dStr

C.L.

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos




.

dSComp

tr compuertafluidoM /

fluidocompuertaM /

Por el PRINCIPIO DE ACCIÓN-PRINCIPIO DE ACCIÓN-REACCIÓNREACCIÓN sabemos que el momento

que ejerce la compuerta sobre el fluido será igual pero de signo

opuesto al momento que ejerce el fluido sobre la compuerta.

fluidocompuerta /M

fluido

M/

V

dS

tr 1S

dStr 2S

dStr .L.C

dStr .Comp

dStr

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


fluido

M/

V

dS

tr 1S

dStr 2S

dStr .L.C

dStr .Comp

dStr


3ehvρ 21

3

0 0

compuertafluidoM /

Reagrupando términos queda:

3compuertafluidoeM ˆρvph 2

11/

2

13

3

3

e2

hp1


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Se pide el valor de la fuerza horizontal F que mantiene la compuerta en posición vertical y las reacciones que ejerce la tubería sobre la compuerta en B.

4)

Bmpuertatubería/ coR

FB

E D

A

C


B

mpuertatubería/ coM

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Empezamos por identificar todas las acciones que intervienen en la compuerta.

Compuerta

Rótula

compuertafluidoR /

Resultante de fuerzas que el fluido ejerce sobre la compuerta.

B

compuertafluidoM /

Resultante de momentos que el fluido ejerce sobre la compuerta.

rótulaR Reacción en la rótula.

.compW Peso de la compuerta.

F Fuerza que mantiene la compuerta en posición vertical.

comp.WF

rótulaRB

compuertafluido /M

compuertafluido /R

B

1e

2e

3e


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Puesto que la compuerta es un sólido rígido en equilibrio, podemos plantear las siguientes ecuaciones:

Equilibrio de momentos en el

punto B

0MB

Equilibrio de fuerzas

0F


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Suponiendo el sentido de la fuerza F contrario al sentido del eje de abcisas, se obtiene:

Equilibrio de momentos en el punto B:

Las fuerzascompuertafluido

R /

rótulaR

.compW

no ejercen momento sobre la compuerta respecto al punto B.

3eρvph 211

2

13B

compuertafluido /M

Resultado obtenido en el apartado anterior.

3e2

hFB

FM Momento en el punto B que la fuerza F ejerce sobre la compuerta.


h/2

comp.W

rótulaRB

compuertafluido /M

compuertafluido /R

B

1e

2e

3e

F

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Así el equilibrio de momentos queda:

BM0 0e3

ˆ

2

hFρvp

2

1h 2

113

Despejando se obtiene el valor del módulo de la fuerza F:


2

11 ρvphF 22

1

2 2 eF ˆρvph 2

11


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Equilibrio de fuerzas:

F0 compuertafluido

R / rótulaR .compW F

fluidocompuertacompuertafluido // RR

1

epρvh1

2

1

2

Resultados obtenidos en apartados anteriores.

0

1

2 2 eF ˆρvph 2

11


h/2

comp.W

rótulaRB

compuertafluido /M

compuertafluido /R

B

1e

2e

3e

F

Peso del compuerta despreciableH

6

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Así el equilibrio de fuerzas queda:

F0 1epρvh 121

2

rótulaR 1

2 2 eρvph 2

11

Despejando se obtiene la solución:

La solución es:La solución es: 1rótula eR ˆhρv 22

1


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Se pide la potencia (W) de la bomba necesaria para mantener el flujo.

5)

VV

vtvb dSdVρPWe

Por el Teorema de las Fuerzas VivasTeorema de las Fuerzas Vivas sabemos que la potencia mecánica entrante se invierte en modificar la Energía Cinética y en crear Potencia Tensional, resultando:

V

2v dVρdt

d

2

1 V

σ:ddVeP

Variación deenergía cinética

Potencia tensional


La potencia de la bomba, W, será la potencia mecánica entrante en el sistema, Pe, que en un medio continuo tiene la siguiente expresión:

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


La Potencia Tensional por unidad de volumen es:

σ:d 1:dp dtrp vp 0

Entonces se obtiene que la potencia tensional es nula:

0σ:dV

dV

V

2v dVρdt

d

2

1

Luego la potencia mecánica entrante se invierte únicamente en variar la Energia Cinética:

eP




H1

H3

H4

H5

H6

H2


Como se ha visto en el Apartado 1, aplicando conservación de la masa y dado que el fluido es incompresible, se obtiene

0 v





H1

H3

H4

H5

H6

H2


1σ p

Entonces el

tensor de

tensiones vale:

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


V

dVvρdt

d 2

2

1

Se aplica el Teorema de ReynolTeorema de Reynolddss para resolver la integral:

dSρvdVρvt

22

VV

nv2

1

2

1eP

0

A

E

B

D

C

V

V


Régimen estacionarioH1

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


B

C

E D

A

v1

v2


dSvρ 22

S

22 nv22

1 dSvρS

nv 2

2

1

0Contorno

impenetrable

Así queda:

n1 n2

n

S1

S

S2

S

n

dSvρ 21

S1

11 nv2

1

eP V

dVvρdt

d 2

2

1

dSvρ 2

V

nv2

1

eP

dSvρ 2

V

nv2

1

dSvρ 2

1

S1

11 nv2

1 dSvρS

22 nv 2

2

22

1


X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


En la sección de entrada S1:

dSvρ2

1 2

1

S1

11 nv dSvρ2

1 3

1

S1

131Sρv

2

1

2

1 hS

231hρv

2

1

En la sección de salida S2:

dSvρ2

1 22

S2

22 nv

B

C

E D

A

v1

v2

n1

S1

1e

2e

3e

n2

S2

dSvρ2

1 32

S2

232Sρv

2

1 23

2

23

2 hρv4

1

2

hρv

2

1


2

2

2

hS

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos


Así queda:

e

P 231hρv

2

1 23

2hρv

1

4

23

1ehρvPW

2

3La solución es:La solución es:


Y aprovechando el resultado del apartado 1):12 2vv

X.

Oliv

er,

C.

Age

let

- M

ecán

ica

de M

edio

s C

ontin

uos

ETSECCPB Universitat Politècnica de Catalunya – UPC (BarcelonaTECH) Problemas de Mecánica de...

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