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Universidad Autónoma de Guadalajara 4.2. Modelos básicos de líneas de espera

Elaboró: MC. Marcel Ruiz Martínez 1

II. MODELOS DE SOLUCIÓN DE LÍNEAS DE ESPERA. 4.2. Modelos básicos de líneas de espera Objetivo: El estudiante analizará los modelos de líneas de espera, examinando los modelos estándares M/M/1 y M/M/C; modelo de población finita M/M/1. Introducción a la unidad. En esta unidad se detallan los distintos modelos de solución para diferentes configuraciones de las líneas de espera. Medidas de desempeño de un sistema de colas. En un sistema de colas el desempeño se puede medir si nos concentramos en la cantidad de clientes de la final o de todo el sistema (es decir, los de la fila más los que están siendo atendidos) o también el tiempo que permanece en la fila. Periodos de transición y estado estable. Un factor que complica la evaluación de un sistema de colas es el estado transitorio, comúnmente se encuentra al inicio de la operación del sistema, lo cual no representa el desempeño en el largo plazo del sistema. La duración del estado inestable o periodo de transición depende fuertemente de la naturaleza del sistema (minutos, horas, dias, etc). Una vez que el sistema se estabiliza las probabilidades en el largo plazo de que existan 0, 1, 2, 3, etc clientes en el sistema asi como el resto de las medidas de desempeño se estabiliza; en estado estable se puede considerar que el sistema opera en un horizonte de tiempo teóricamente infinito; si bien ningún sistema permanece operando para siempre, medir el desempeño del estado estable evita los ruidos

o dificultades de medición de desempeño del sistema en estado transitorio. Para alcanzar el estado estable es crítico que la capacidad de atención del sistema sea mayor al ritmo de llegadas de los clientes.



1. Modelo de un solo canal (M / M / 1) A continuación se presenta el enfoque de análisis que se debe dar al sistema de línea de espera típico con llegadas de tipo Poisson, tiempos de servicio de tipo Exponencial con un sólo servidor. Se supone que en este sistema, la entidad está dispuesta a esperar el tiempo que sea para ser atendido, es decir no hay rechazo. Dónde: λ = número promedio de llegadas al sistema/ unidad de tiempo (velocidad de llegadas) µ = número promedio de entidades que se atienden en el sistema / unidad de tiempo. (velocidad de atención del servidor). Y las ecuaciones serán de la siguiente manera: Descripción Símbolo Ecuación Número promedio de unidades en el sistema

Ls

λµ

λLs

−=

Tiempo promedio en que una unidad esta dentro del sistema

Ws

λµ

1Ws

−=

Número promedio de unidades en la fila de espera

Lq

( )λµµ

λLq

2

−=

Tiempo promedio en que una unidad pasa por la fila de espera

Wq

( )λµµ

λWq

−=

Factor de uso del sistema o del servidor

ρ

µ

λ=ρ

Probabilidad de que ninguna unidad se encuentre en el sistema

P0

µ

λ1P

ρ1P

0

0

−=

−=

Probabilidad de que el sistema tenga exactamente “n” unidades

Pn n

nµ

λ

µ

λ1P

−=

2. Modelo de canales múltiples (M / M / m) A continuación se presenta el enfoque de análisis que se debe dar al sistema de línea de espera con dos o más servidores con llegadas de tipo Poisson y tiempos de servicio de tipo Exponencial. Importante: se supone que en este sistema, la entidad está dispuesta a esperar el tiempo que sea para ser atendido, es decir no hay rechazo; y que los m servidores tardan lo mismo en atender (µ) a las unidades. λ = número promedio de llegadas al sistema/ unidad de tiempo (velocidad de llegadas) µ = número promedio de entidades que se atienden en el sistema / unidad de tiempo. (Velocidad de atención del servidor). m = número de servidores o instalaciones. Descripción Símbolo Ecuación Probabilidad de que ninguna unidad se encuentren en el sistema

Po

−

+

=

∑−

=

sµ

λ1

1

s!

µ

λ

n!

µ

λ

1Po

s

1

0

n

s

n

Número promedio de unidades en el sistema

Ls

( ) ( ) µ

λ

λsµ !1-s

Poµ

λλµ

Ls2

s

+−

=


Ws ( )( ) ( ) λ

Ls

µ

1Po

λsµ !1-s

λ/µµWs

2

s

=+−

=


Lq ( )( ) ( )

−=

+

2

1s

λ/µs!1-s

λ/µPoLq


Wq

λ

L

µ

1-WsWq q==



3. Modelo de “servicio a máquinas” M/M/1 // m El entorno de éste modelo es de un taller con “m” máquinas, de las cuales cuando se descompone una, el taller debe iniciar su reparación. La frecuencia de descomposturas es λ (maquina / unidad de tiempo) y un mecánico las repara a una velocidad de µ (maquina / unidad de tiempo). Las ecuaciones que definen el modelo son: Probabilidad de que ninguna unidad se encuentren en el sistema

Po

( )∑=

−

=m

0n

n

µ

λ

!nm

m!

1Po

Probabilidad de que se encuentren “n” clientes en el sistema

Pn

( ) Poµ

λ

!nm

m!Pn

n

−=

Número promedio de unidades en el sistema

Ls ( )Po1µ

λmLs −

−=


Lq ( )Po1λ

µλmLq −

+−=


Ws

( )Ls-mλ

LsWs=


Wq

( )Ls-mλ

LqWq =

Probabilidad de que un cliente que llega tenga que esperar (Pw) y la tasa de uso del sistema (ρ)

Pw Pw = 1-Po = ρ

Ejemplo: Una secretaria tiene que mecanografiar 20 cartas por día en promedio (Poisson); le toma 20 minutos aproximadamente mecanografiar cada carta (exponencial) con una jornada de trabajo de 8 horas. Determine:

a) Tasa de utilización de esa persona. b) Tiempo promedio de espera antes de mecanografiar una carta c) Número promedio de cartas que esperan ser mecanografiadas d) Cuál es la probabilidad de que la secretaria tenga más de 5 cartas

que mecanografiar. Este ejercicio está resuelto en los siguientes videos: PARTE 1: http://www.youtube.com/watch?v=TNtogHvyMXY

PARTE 2: http://www.youtube.com/watch?v=LynxJ9RD1oY Ejercicio 1. Una doctora pasa en promedio 20 minutos con sus pacientes, si el tiempo estimado de espera en la fila es de 30 minutos; determine:

a) Número promedio de llegadas al sistema. b) Tiempo promedio que pasa un cliente en todo el sistema. c) Factor de uso del sistema d) Número de personas en el sistema e) Número de personas en la fila f) Probabilidad de que no haya ningún cliente en el sistema g) Probabilidad de que haya 3 o menos personas en el sistema

[ESTE EJERCICIO DEBERÁ SER RESUELTO POR EL ALUMNO] RESPUESTAS:

Inciso A) 0.03 pacientes/min Inciso B) 50 min Inciso C) 60% Inciso D) 1.5 pacientes

Inciso E) 0.9 pacientes Inciso F) 40% Inciso G) 87.04%

Este ejercicio se encuentra resuelto en los siguientes videos: Parte 1: http://youtu.be/QjIPpskMZe0

Parte 2: http://youtu.be/0pjwKIdzLzE Parte 3: http://youtu.be/l5m6GdzDzCI



Ejercicio 2. En un hospital los pacientes llegan uno cada 5 minutos; y un solo servidor tarda 4 minutos en atenderlos. Determine:

a) Número promedio de pacientes en el sistema b) Tiempo promedio en que un paciente está dentro del sistema c) Número promedio de pacientes en la fila de espera d) Tiempo promedio en que un paciente pasa por la fila de espera e) Factor de uso del sistema o del servidor f) Probabilidad de que ningún paciente se encuentre en el sistema g) Probabilidad de que el sistema tenga exactamente “3” pacientes

[ESTE EJERCICIO DEBERÁ SER RESUELTO POR EL ALUMNO] Ejercicio 3. Si ahora se contratan dos servidores en el caso del problema anterior, es decir s = 2; siguen llegando un paciente cada 5 minutos y un servidor los atiende en promedio cada 8 minutos. Determine:

a) Probabilidad de que ninguna unidad se encuentren en el sistema b) Número promedio de unidades en el sistema c) Tiempo promedio en que una unidad está dentro del sistema d) Número promedio de unidades en la fila de espera e) Tiempo promedio en que una unidad pasa por la fila de espera

[ESTE EJERCICIO DEBERÁ SER RESUELTO POR EL ALUMNO]

De este ejercicio 3 se indica cómo resolverlo en EXCEL en el siguiente link: http://youtu.be/TIK87exfm2o



ACTIVIDAD 4.2. Modelos básicos de lineas de espera. Realice los siguientes ejercicios: CASO: La empresa STECO tiene representantes de ventas en Estados Unidos, donde en las oficinas llegan llamadas a una tasa de 40 por cada hora transcurrida; y el tiempo medio del servicio es de 10 minutos. La administración estima que $20 usd le cuesta a la empresa mantener a un cliente esperando en la línea, mientras que los operadores cobran $12 usd la hora laborada. Determine: I.- Para un servidor:

1) Número promedio de unidades en el sistema 2) Tiempo promedio en que una unidad esta dentro del sistema 3) Número promedio de unidades en la fila de espera 4) Tiempo promedio en que una unidad pasa por la fila de espera 5) Factor de uso del sistema o del servidor 6) Probabilidad de que ninguna unidad se encuentre en el sistema 7) Probabilidad de que el sistema tenga exactamente “n” unidades

II.- De dos a 10 servidores:

8) Probabilidad de que ninguna unidad se encuentren en el sistema 9) Número promedio de unidades en el sistema 10) Tiempo promedio en que una unidad esta dentro del sistema 11) Número promedio de unidades en la fila de espera 12) Tiempo promedio en que una unidad pasa por la fila de espera

Entrega tus resultados en forma de PRÁCTICA DE EJERCICIOS, siguiendo las rúbricas indicadas en la dirección: http://marcelrzm.comxa.com/Rubricas/Rubricas.htm Enviar el documento final por correo electrónico a las siguientes direcciones: [email protected]; [email protected]; [email protected] y [email protected] con copia a usted mismo. En asunto colocar: “ACTIVIDAD 4.1 MODELOS BÁSICISO DE LINEAS DE ESPERA”

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