490712244-ECDPARCIALES_2
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Ejemplo:
Utilizando el método de separación de variables para obtener la solución de la ecuación diferencial parcial
Que satisfaga la condición de frontera considerar una constante de separación positiva
Resolución:
Considerando
Realizando las derivadas parciales
Sustituyendo la ecuación diferencial parcial
Igualando a la constante de separación positiva
Para resolver las ecuaciones diferenciales ordinarias, se procede de la siguiente manera
Desarrollando
De igual manera para la otra función
Aplicando exponencial a ambos lados
En condiciones se tiene
Como no es posible establecer la igualdad, se procederá a usar superposición
Usando nuevamente condiciones de frontera
Donde:
Por último la solución de la ecuación diferencial parcial en C.F. es:
Ejemplo:
Determinar la solución de la ecuación diferencial parcial
sujeta a las condiciones de frontera .
Resolución
En la resolución de este ejercicio se procederá por el método de separación de variables. En esteproblema no se conoce la constante de separación por lo que, el desarrollo a seguir definirá lasolución en términos de dicha constante y después la condición de frontera llevará a la solución quesatisfaga a la ecuación diferencial parcial. Según el método descrito anteriormente
= realizando las derivadas parciales, se tiene
sustituyendo en la ecuación diferencial parcial
realizando la separación de variables
igualando con la constante de separación
entonces
se procede a resolver cada una de las ecuaciones diferenciales ordinarias
resolviendo para se tiene
integrando
entonces
Por otro lado
donde
se puede escribir en términos del operador diferencial como
donde el operador diferencial es
el polinomio característico es
resolviendo la ecuación de segundo grado
por lo que la solución de la ecuación diferencial ordinaria, según las raíces es
Realizando la multiplicación para obtener la función completa
sustituyendo condiciones
considerando la igualdad
el resultado anterior se puede escribir como
desarrollando para encontrar el valor de
sustituyendo en (2)
simplificando
igualando
con en sustituyendo , se tiene la solución de la ecuación diferencial parcial con condiciones de frontera