“Análisis de la Respuesta Transitoria”“Análisis de la Respuesta Transitoria”

INTRODUCCIÓN

Contando con el modelo matemático de un Contando con el modelo matemático de un sistema de control, es conveniente el análisis del desempeño del sistema (Respuesta transitoria y Respuesta en estado estable).

INTRODUCCIÓN

En el análisis y diseño de sistemas de

control, debemos tener una base de

comparación del desempeño de diversos comparación del desempeño de diversos

sistemas de control. Esta base se configura

especificando las señales de entrada y

comparando las respuestas de varios

sistemas a estas señales de entrada.

INTRODUCCIÓN

Si las entradas para un sistema de control

son funciones del tiempo que cambian en

forma gradual, una función rampa sería una forma gradual, una función rampa sería una

buena señal de prueba. Si el sistema está

sujeto a perturbaciones repentinas, una

función escalón sería la adecuada; y para un

sistema sujeto a entradas de choque, una

función impulso sería la mejor.

INTRODUCCIÓN

Función impulso

unitario

(en el tiempo)

f(t) = δ(t)

(en la frecuencia)

F(s) = 1

INTRODUCCIÓN

Función escalón

unitario

(en el tiempo)

f(t) = µ(t)

(en la frecuencia)

F(s) = 1/s

INTRODUCCIÓN

Función rampa unitaria

(en el tiempo)(en el tiempo)

f(t) = t

(en la frecuencia)

F(s) = 1/s^2

INTRODUCCIÓN

La respuesta en el tiempo de un sistema de

control consta de dos partes: la respuesta

transitoria y la respuesta en estado estable. transitoria y la respuesta en estado estable.

Por respuesta transitoria nos referimos a la

que va del estado inicial al estado final. Por

respuesta en estado estable, nos referimos a

la manera en la cual se comporta la salida

del sistema conforme t tiende a infinito.

INTRODUCCIÓN

Y(t) = YT(t) + YEE(t)

Ejemplo:

Y(t) = - exp(-2t) + 1

INTRODUCCIÓN

Si la salida de un sistema de control en

estado estable no coincide exactamente con

la entrada, se dice que el sistema tiene un la entrada, se dice que el sistema tiene un

error de estado estable. Este error indica la

precisión del sistema. Al analizar un sistema

de control, debemos examinar el

comportamiento de la respuesta transitoria y

el comportamiento en estado estable.

INTRODUCCIÓN

Se define el orden de un sistema cuya

función de transferencia es

F(s)=b(s)/a(s)

como el grado del polinomio del

denominador a(s).

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

Considerando el

sistema de la figura.

La relación entrada-

salida es la siguiente:salida es la siguiente:

Vo/Vi = 1/(Ts+1)

donde T es la

constante de tiempo

definida como T=RC

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

La figura muestra el

diagrama a bloques del

sistema de primer

orden. A continuación orden. A continuación

alimentaremos este

bloque con algunas de

las funciones

previamente vistas y

analizaremos su salida.

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

Para la entrada

impulso unitario

Vi(s)=1, se obtiene a

la salida del sistemala salida del sistema

Vo(s)=1/(Ts+1)

vo(t)=(1/T)exp(-t/T)

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

En una constante de tiempo, la curva de

respuesta exponencial ha ido de 0 a 63.2%

del valor final. En dos constantes de tiempo, del valor final. En dos constantes de tiempo,

la respuesta alcanza el 86.5% del valor

final. En t=3T, 4T y 5T, la respuesta alcanza

95, 98.2 y 99.3%, respectivamente del valor

final. Para t≥4T, la respuesta permanece

dentro del valor final.

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

De la ecuación vo(t)=(1/T)exp(-t/T), se

observa que el estado estable se alcanza

matemáticamente sólo después de un matemáticamente sólo después de un

tiempo infinito. Sin embargo, en la práctica,

una estimación del tiempo de respuesta para

alcanzar el valor final es de cuatro o cinco

constantes de tiempo.

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

Para la entrada escalón

unitario Vi(s)=1/s, se

obtiene a la salida del

sistema

∞→t

sistema

Vo(s)=1/(Ts+1)s

vo(t)=1-exp(-t/T)

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

Para la entrada rampa

unitaria Vi(s)=1/s^2,

se obtiene a la salida

del sistemadel sistema

Vo(s)=1/(Ts+1)s^2

vo(t)=t-T+Texp(-t/T)

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

Observamos que la salida del sistema

excitado con la rampa presenta un error de

estado estable.estado estable.

e(t)=vi(t)-vo(t)

e(t)=T(1-exp(-t/T))

Conforme t→∞ la señal de error tiende a T.

Y mientras T sea mas pequeño, también lo

será el error.

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

En el análisis anterior, se demostró que para

la entrada rampa unitaria, la salida es

vo(t) = t - T + Texp(-t/T)vo(t) = t - T + Texp(-t/T)

Para la entrada escalón unitario, que es la

derivada de la entrada rampa unitaria, la

salida es

vo(t) = 1 - exp(-t/T)

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

Por último, para la entrada impulso unitario,

que es la derivada de la entrada escalón

unitario, la salida esunitario, la salida es

vo(t)=(1/T)exp(-t/T)

Claramente podemos deducir que la

respuesta a la derivada de una señal de

entrada se obtiene diferenciando la

respuesta del sistema para la señal original.

SISTEMAS DE PRIMER ORDEN

Esta es una propiedad de los sistemas

lineales e invariantes con el tiempo. Los

sistemas lineales y variantes con el tiempo y sistemas lineales y variantes con el tiempo y

los no lineales no poseen esta propiedad.

SISTEMAS DE SEGUNDO

ORDEN

Función de trasferencia

sR

s

LC

sVi

sVo

1

/1

)(

)(

2 ++=

Frecuencia de resonancia

LCs

L

Rs

sVi 1)( 2 ++

LCn

1=ω

SISTEMAS DE SEGUNDO

ORDEN

Frecuencia neperiana o coeficiente de

amortiguamiento exponencial

R=α

Frecuencia resonante natural

Factor de amortiguamiento

L

R

2=α

22 αωω −= nd

nωαζ =

SISTEMAS DE SEGUNDO

ORDEN

Sustituyendo

22

2

2)(

)( n

sssVi

sVo

ωζωω

++=

Igualando el denominador a cero,

obtenemos sus raíces

22 2)( nnsssVi ωζω ++

1

1

22

21

−−−=

−+−=

ζωζω

ζωζω

nn

nn

s

s

SISTEMAS DE SEGUNDO

ORDEN

Expresando las raíces en la F de T

( )( )11)(

)(22

2

−−+−++=

ζωζωζωζωω

nnnn

n

sssVi

sVo

( )( )11)( −−+−++ ζωζωζωζω nnnn sssVi

222

22

nnd

n

nd

ωζωωωαζ

αωω

−=⇒=

−=

dn

nd

nd

j

j

ωζω

ζωω

ζωω

−=−

−=

−=

1

1

1

2

2

2

( )( )dndn

n

jsjssVi

sVo

ωζωωζωω

++−+=

2

)(

)(

SISTEMAS DE SEGUNDO

ORDEN1.- Subamortiguado

Respuesta transitoria

oscilatoria

2.- Amortiguamiento

10 <<ζ

1=ζ2.- Amortiguamiento

critico

Respuesta empieza a oscilar

3.- Sobreamortiguado

Respuesta nunca oscila

4.- No amortiguado

Respuesta oscilatoria o

críticamente estable

1>ζ

0=ζ

SISTEMAS DE SEGUNDO

ORDEN

Respuesta del sistema al escalón unitario

1.- Subamortiguado , raíces complejas10 <<ζ2ω

( )22

2

2)(

nn

n

ssssVo

ωζωω

++=

( ) ( )2222 2

21

2)(

nnnn ss

s

sss

CBs

s

AsVo

ωζωζω

ωζω +++−=

++++=

( ) ( )2222 22

1)(

nnnn ssss

s

ssVo

ωζωζω

ωζωζω

++−

+++−=

−+−= −

)(1

)cos(1)(2

tsintetVo dd

tn ωζ

ζωζω

SISTEMAS DE SEGUNDO

ORDEN

La señal de error se define como

−+=−= −

)(1

)cos()()()(2

tsintetVotVite dd

tn ωζ

ζωζω

Esta señal de error presenta una oscilación

senoidal amortiguada, y en estado estable

no existe error.

−1 2ζ

SISTEMAS DE SEGUNDO

ORDEN

Si el factor de amortiguamiento es cero, la

respuesta se vuelve no amortiguada y las

oscilaciones continúan indefinidamente.oscilaciones continúan indefinidamente.

4.- No amortiguado , raíces imaginarias 0=ζ

)cos(1)( ttVo dω−=

)cos()()()( ttVotVite dω=−=

SISTEMAS DE SEGUNDO

ORDEN

2.- Amortiguamiento critico , raíces reales e

iguales, en donde

1=ζ

0=dω

Este resultado se obtiene suponiendo que

se aproxima a la unidad en la ecuación del

caso (1), y usando el límite siguiente

t

n

t nn teetVoωω ω −− −−=1)(

ζ

ttsinlimtsinlim

nnd ω

ζζω

ζζω

ζ=

−−

→=

−→ 2

2

2 1

)1(

11

)(

1

SISTEMAS DE SEGUNDO

ORDEN

3.- Sobreamortiguado , raíces reales

negativas y diferentes

1>ζ

( )( )2ω

( )( )11)(

22

2

−−+−++=

ζωζωζωζωω

nnnn

n

ssssVo

−

−+=

−−

212

21

121)(

s

e

s

etVo

tsts

n

ζω

SISTEMAS DE SEGUNDO

ORDEN

Especificaciones de la respuesta transitoria

Tiempo de retardo (Td).- Es el tiempo que

tarda la respuesta del sistema en alcanzar tarda la respuesta del sistema en alcanzar

por primera vez la mitad del valor final.

Tiempo de crecimiento (Tr).- Es el tiempo

requerido para que la respuesta crezca del 0

al 100% de su valor final o del 10 al 90%.

SISTEMAS DE SEGUNDO

ORDEN

Tiempo de pico (Tp).- Es el tiempo en el

cual la respuesta del sistema alcanza el

primer pico del sobreimpulso.primer pico del sobreimpulso.

Máximo sobreimpulso (Mp).- Es el valor

pico máximo de la respuesta medido desde

la unidad.

SISTEMAS DE SEGUNDO

ORDEN

Máximo sobreimpulso porcentual.-

%100)(

)()(

∞∞−

C

CTpc

Tiempo de establecimiento (Ts).- Es el

tiempo requerido por la curva de respuesta

para alcanzar y mantenerse dentro de

determinado rango alrededor del valor final

especificando en porcentaje absoluto del

valor final. Se usa generalmente el 5% o 2%

)(∞C

SISTEMAS DE SEGUNDO

ORDEN

SISTEMAS DE SEGUNDO

ORDEN

Para un criterio del

2%

ζωωβ

ωβπ −

=−= 1; tanTr d

n

Tsζω4=

Para un criterio del

5%

πζ

ζ

ωπ

ζωω

−−

=

=

21eMp

Tpd

ndnζω

n

Tsζω3=