5-SC1-RT 3

Tema 4: Análisis de la respuesta transitoria

¿Cómo es la respuestaante escalón?

Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega

Introducción

SistemaLinealizado

Dobleobjetivo

1

2

G(s)Respuesta temporal

(incrementos)0

f(t)y(t)

t=0

Obtención de un modelo

(caja negra)

t=0 t

U(t)

Ueq

f(t)Y(t)

t=0 t

Yeq

Cond. Iniciales Nulas


( ))()( 1 syLty −=

Introducción

Cálculo teórico de la respuesta temporal:

t=0

u(t)u(t)

t ( ))()( tuLsu =

G(s))(su )()()( susGsy =

1

2

3

t=0

u(t)y(t)

t

La SALIDA depende de La SALIDA depende de G(sG(s) y de la ENTRADA) y de la ENTRADA


Índice

Caracterización de la respuesta temporal.Respuesta temporal de sistemas de primer orden.Respuesta temporal de sistemas de segundo orden.Respuesta temporal de sistemas de orden superior.Estabilidad de sistemas lineales.Estimación de modelos caja negra a partir de la respuesta temporal.Análisis de incertidumbre en el dominio temporal.


Señales de prueba típicas

impulso escalón

rampa

t=0

0

t

t=0

0

t

f(t)

t=0

0t

f(t)

parábola

t=0

0

t

f(t)

u(t) u(t)

u(t) u(t)


Respuesta transitoria y respuesta estacionaria

La respuesta en el tiempo de un sistema lineal se divide en dos partes:

)()()( tytyty st +=

respuestatransitoria

respuestaestacionaria (régimen permanente)Va desde el estado

inicial al estado final

0)(lim =∞→

ty tt

(tiende a cero cuando el tiempo se hace muy grande. Da idea de la rapidez del sistema)

depende del sistema y de las condiciones iniciales

La forma en que la salida del sistema se comporta cuando t→∞

(permanece después que la transitoria ha desaparecido e indica en donde termina la salida del sistema cuando el tiempo se hace grande)

depende de la entrada aplicada

)()(lim tyty st

=∞→


Parámetros de caracterización

• Sirven para describir la respuesta temporal:

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

2

4

6

8

10

12

tiempo (s)0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

tiempo (s)

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

20

40

60

80

100

120

tiempo (s)


Tiempo de subida (ts):Tiempo que tarda en evolucionar desde el 5% hasta el 95% del valor en régimen permanente.Tiempo de establecimiento (te):Es el tiempo que se tarda en alcanzar y mantenerse en una banda de ±5% del valor finalSobreoscilación (SO%)Exceso porcentual del primer pico de la repuesta temporal respecto a su valor en régimen permanente.

Ganancia Estática ( K ):Es el valor de régimen permanente de la respuesta a una entrada en escalón unitario.Es el cociente entre la salida y la entrada en régimen permanente.


Transitorio:

Permanente:



0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500

20

40

60

80

100

120

tiempo (s)

ts

tp

te y

rp

A

B

yp

Posc 100(%) ×

−=

rp

rpp

y

yySO

U

yK rp=


Polos, ceros y respuesta de un sistema

Los polos determinan la naturaleza de la respuesta en el tiempo:

• Los polos de la función de entrada determinan la forma de la respuesta estacionaria

• Los polos de la función de transferencia determinan la forma de la respuesta transitoria

Los ceros y los polos de la entrada o función de transferencia contribuyen a las amplitudes de los componentes de la respuesta temporal

Los polos sobre el eje real generan respuestas exponenciales


Influencia del polinomio característico en la

respuesta transitoria

Los polos de la función de transferencia van a definir elcomportamiento de la respuesta transitoria.

Respuesta impulsional

Im

Re


Índice



Sistemas de primer orden

Ecuación diferencial de 1º orden:

)()(01 tbutyadt

dya =+ y(t) = salida

u(t) = entradat = tiempo

a0, a1, b = param. ctesCondiciones iniciales nulas

01)()(

asab

susy

+=

1)()(

0

1

0

+=

saa

ab

susy

=K

=τ

1)()(

+=

sK

susy

τ

La función de transferencia de un sistema de 1º orden en forma estándar


Sistemas de primer orden

u(s) y(s)

1+s

K

τ

Características de la forma estándar:

• El segundo término del denominador es 1

• K = ganancia del sistema (lims→0 G(s) )

• τ = constante de tiempo (el coeficiente de s)

• El polo del sistema (la raíz del denominador) es –1/τ


Sistemas de primer ordenComportamiento del sistema ante un impulso en la entrada

0)( :

)0( :0

=∞∞=

==

yt

KUyt

τ

La estabilidad viene determinada por la posición del polo, no por el tipo de entrada

UsK

UsK

syτ

ττ /1

/1

)(+

=+

=u(s)=U y(s)

1+s

K

τ

t=0

u(t)

Ut

τ

τ/)( te

KUty −=

KA/τ

4τ0 t

( ))()( 1 syLty −=

τ >0


Sistemas de primer ordenComportamiento del sistema ante un escalón en la entrada

ττ

ττ 1/1

/1

)(+

−+=

+=

+=

s

KUs

KUs

UsK

sU

sK

sy

u(s)=U/s y(s)

1+s

K

τ

Resp.Estac.

Resp.Transit.

τ >0:

)(1

lim)(lim00

∞==+

=→→

yKUsKU

sysss τ

)1()]([)( //1 ττ tt eKUKUeKUsYLty −−− −=−==

t=0: y(0)=0t=∞: y(∞)=KU

Resp.Transit.

Se hace cero cuando t-> ∞

u(t)

t=0 t

U

Resp.Estac.

( ))()( 1 syLty −=


Sistemas de primer ordenComportamiento del sistema ante un escalón

1+s

K

τu(s) y(s)

)()()(

tKutydt

tdy=+τ

)1()( τt

eKUty−

−=

t

y(t)

KUτ > 0 constante de tiempo

Respuesta estable, sin retardo ni cambio de concavidad y sobreamortiguada

Ganancia estática: K = KU/U

u(t)U


Estabilidad entrada-salida (BIBO)

G(s)u(s) y(s)

Un sistema es estable entrada-salida cuando a una entrada acotada le corresponde una salida acotada

inestable

estable


Interpretación en el plano s (τ>0)

)1()( τt

eKUty−

−=Plano s

x

polo en la parte real izquierda del plano s

τs+1=0

polo = -1/τSi τ > 0: Respuesta estable, sin cambio de concavidad y sobreamortiguada

1+s

K

τu(s) y(s)

t

y(t)

yrp=KU

u(t) U

KUs

UsK

sssytyysst

rp =+

===→→∞→ 1

lim)(lim)(lim00 τ

Según Th. Valor Final:


Interpretación en el plano s (τ<0)

t

)1()( τt

eKUty−

−=

τs+1=0

polo = -1/τpositivo Si τ < 0: Respuesta inestable

1+s

K

τu(s) y(s)

y(t)Plano s

x

polo en la parte real derecha del plano s

KUs

UsK

sssytysst

=+

==→→∞→ 1

lim)(lim)(lim00 τ

Según Th. Valor Final:Pero en este caso NO EXISTE EL LÍMITE


Constante de tiempo (τ)

KUeKUy

eKUtyt

632.0)1()(

)1()(1 =−=

−=−

−

τ

τ

τ

ττ

KUdt

tyd

eKU

dttyd

t

t

=

=

=

−

0

)(

)()(

Derivada en el origen:

1+s

K

τ

u(s)=U/s y(s)

En t=τ , la salida del sistema ha alcanzado el 63,2% de su valor final

La pendiente de la tangente en t=0 es KU/τ

KU

0 τ63

,2%

t

0.63KU

y(t) tKUτ

yrp=KU


Tiempo de subida (ts) y de establecimiento (te )

ts: Tiempo que tarda la salida del sistema en ir del 5% al 90% delvalor final

KA

0 τ

5%

t

y(t)

yrp=KU

τ3≅≅ es tt

90%

st

KUeKUy

eKUtyt

9.0)1()3(

)1()(3 =−=

−=−

−

τ

τ

te: Tiempo que tarda la salida del sistema en alcanzar y mantenerse en una banda del ±5% en torno a yrp

Para sistemas de primer orden:


t

y(t)

0.95KU

Plano s

x

τ1 < τ2

x

-1/τ1 -1/τ2

)1()( τt

eKUty−

−=

1+s

K

τ

u(s)=U/s y(s)

Ts

KU

A mayor constante de tiempo, más lento el sistema (cuanto más cerca esté el polo del origen más lento será el sistema)

Tiempo de subida (ts) y de establecimiento (te)


Ganancia Estática ( K ):Es el valor de régimen permanente de la respuesta a una entrada en escalón unitario.Es el cociente entre la salida y la entrada en régimen permanente.Constante de Tiempo (τ ):La constante de tiempo del sistema es una medida del tiempo necesario para que el sistema se ajuste al cambio en la entrada (tiempo en el que se alcanza el valor del 63% del valor en régimen permanente).Tiempo de subida (ts = 3τ ): varias definiciones.El tiempo de subida es el tiempo que tarda en ir del 0% al 90% de la salida del valor final. Tiempo de establecimiento (te = 3 τ ):Es el tiempo que se tarda en alcanzar y mantenerse en una banda de ±5% del valor final.Sobreoscilación (%): Nula

Resumen: Sistemas de Primer Orden

Parámetros característicos:


τ

τττ 11

)( 22

++−=

+=

s

UKs

UKs

UKsU

sK

sy

y(s)

1+s

K

τt=0 t

τ

τ

ττ

ττ/

/

)(

)(t

t

eKUtKU

eKUKUKUtty−

−

+−=

+−=

0 t

2)(sU

su =Uttu =)(

τττ /)()( teKUtKUty −+−=

Respuesta transitoria

∞=∞∞===

)( :

0)0( :0

yt

yt

Sistemas de primer ordenComportamiento del sistema ante una rampa


Índice



Sistemas de segundo orden

22

2

2 nn

n

ss

K

ωδωω

++

u(s) y(s)

)()()(

2)( 22

2

2

tuKtydt

tdy

dt

tydnnn ωωδω =++

Respuesta a una entrada salto en u(t)

t=0u=0

u(t)=U

K: ganancia estática (lims→0 G(s) )

δ: coeficiente de amortiguamiento

ωn : frecuencia propia/natural no amortiguada

Situar los polos de la función de transferencia en el plano complejo


Sistemas de segundo orden

22,1

2,1

22,1

2222222

12

2

negativa real partecon conjugados complejos polos :1)(0 0

iguales negativos reales polos :1)( 0

12

2

negativos reales polos :1)( 0

)1(444 02

δωδωδω

δδω

δ

δωδωδω

δδωωωδωδω

−±−=∆−±−

=

<<<∆

−===∆

−±−=∆±−

=

>>∆−=−=∆→=++

nnn

n

nnn

nnnnn

jj

s

s

s

ss

22

2

2 nn

n

ss

K

ωδωω

++

u(s) y(s)

Ecuación característica del sistema: 0>nω


Tres posibles casos (sistema estable)

Cuando δ > 1; dos raíces reales y distintasSistema Sobre-amortiguado

Cuando δ =1; dos raíces igualesSistema Críticamente-amortiguado

Cuando 0<δ < 1; dos raíces complejas conjugadasSistema Sub-amortiguado

Respuesta de Sistemas de Segundo Orden


Caso δ>1Respuesta a un escalón

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−+−−

−

−−−+=++= −−−− btatbtat eeKUeety

12

1

12

11)(

2

2

2

2

δδδ

δδδγβα

))(( bsas

Kab

++

u(s) y(s)⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + 1

11

1s

bs

a

K

y(t)

yrp=KU

Respuesta estable, sin retardo con cambio de concavidad y sobreamortiguada

Ganancia estática: K=KU/U

1

1

2

2

−+=

−−=

δωδω

δωδω

nn

nn

b

a

( )( ) bsasssU

bsasKab

sy+

++

+=++

=γβα

)(

t=0

u=0

u(t)=U

2 constantes de tiempo 1/a, 1/b

U

KUy

y

=∞=

)(

0)0(

Polos reales negativos distintos


Caso δ>1Interpretación en el plano s

Plano s

x

polos en la parte real izquierda del plano s

x-a-b

btat eety −− ++= γβα)(El polo más a la derecha domina en la desaparición del transitorio

))(( bsas

Kab

++

u(s) y(s)1

1

2

2

−+=

−−=

δωδω

δωδω

nn

nn

b

a

y(t)

KU

t=0

u=0

u(t)=UU


Caso δ=1Respuesta a un escalón

( ) ( )22

2

)(asasss

U

as

Kasy

++

++=

+=

γβα

2

2

)( as

Ka

+

u(s) y(s)

na δω−=

KUyy

teeKU

teetyat

nat

atat

=∞=+−=

=++=−−

−−

)(0)0(

)1(

)(

δω

γβαy(t)

KU

u=0u(t)=U

uFunción monótona creciente

Amortiguamiento crítico

Polos reales iguales


Aproximación para δ ≥ 1

y(t)

t

La respuesta del sistema de segundo orden puede aproximarse por la de uno de primer orden con constante de tiempo igual a la suma de constantes de tiempos de cada polo

)1)(1(

))((

21 ++

=++

ss

K

bsas

Kab

ττ

τ≈τ1+τ2≈

1)( 21 ++ s

K

ττ


Otra aproximación para δ ≥ 1

y(t)

t

La respuesta del sistema de segundo orden puede aproximarse por la de uno de primer orden mas un retardo

))(( bsas

Kab

++

1+

−

s

Ke ds

τ

d≈


Caso 0<δ<1Respuesta a un escalón en u

[ ]

δδα

αδωδ

ωδωω

δω

2

2

2

1-

22

2

1

)1(1

11)(L)(

2)(

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−−==

++=

−

arctg

tseneKUsyty

sU

ss

Ksy

nt

nn

n

n

u(s) y(s)22

2

2 nn

n

ss

K

ωδωω

++

t

y(t)

Si δωn>0 Respuesta estable, sin retardo y subamortiguada

Polos complejos conjugados

Ku


Interpretación en el plano s

Plano s

x

polos complejos conjugados con la parte real en el semiplano izquierdo

x

nδω−

dn ωδω =− 21

t

y(t)

yrp=KU

dnn jj ωσδωδω ±−=−±− 21

Polos:

u(s) y(s)22

2

2 nn

n

ss

K

ωδωω

++

dn ωδω −=−− 21

Re

Im

( )δδ

δα arccos1 2

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−= arctgα

nω


Respuesta típica de un sistemasubamortiguado

0 5 10 15 20 25 300

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

3.05

2.29

19.01.85 time (min)

y(t)

6.30

%5.521000.2

0.205.3aciónSobreoscil% =

−=

28.00.205.3

0.229.2Picos deRelación =

−−

=

Tiempo subida Tiempoestablecimiento

periodo de oscilación


Caso 0<δ<1Respuesta a un escalón en u

KU)y(;)y(

arctgtseneKUty ntn

=∞=

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−−= −

00

1)1(

1

11)(

22

2 δδααδω

δδω

u(s) y(s)22

2

2 nn

n

ss

K

ωδωω

++

t

y(t)

Ku

21 δωω nd −=

Ganancia = K = KU/UFrecuencia de oscilación:


Tiempo de pico

tp

t

y(t)

Ku

dn

pt ωπ

δωπ

=−

=21

tp : Tiempo que transcurre hasta el primer máximo

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−−= − )1(

1

11)( 2

2αδω

δδω tseneKUty n

tn

0)(

== pttdt

tdy


Tiempo de subida

ts

t

y(t)

Ku

dn

st ωαπ

δωαπ −

=−

−=

21

ts : Tiempo que transcurre hasta que se alcanza por primera vez el valor de régimen permanente

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−

−−= − )1(

1

11)( 2

2αδω

δδω tseneKUty n

tn

rpttyKUty

p==

=)(

Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

δ

SO

(%

)

Sobreoscilación

100(%)21 ×= −

−δ

πδ

eSO

tp

t

y(t)

KU

Mp = SobreoscilaciónMp

100)(

(%) ×−

=KU

KUtySO p

Sólo depende de δ


Tiempo de establecimiento

t

y(t)

KU

te

%5±Régimen permanente

Régimen transitorio

Aproximadamente :

nnet

δωδω54

L=Tiempo requerido para que el transitorio decaiga a un valor pequeño de modo que y(t) esté casi en estado estacionario (dentro de una banda de ± 5%

.

(si δ<0.69)

Automatización de Procesos Industriales M.G. Ortega0 5 10 15 20 25 300

2

4

6

8

10

12

tiempo (s)

1

2

0 5 10 15 20 25 300

2

4

6

8

10

12

tiempo (s)

2 1

Parámetros para caso 0<δ<1

net

δω4

=

↓⇒↑ tiemposnω

↓⇒↓⇒↑ (%)SOαδ

21 δωαπ−

−=

n

st21 δω

π−

=n

pt

x

x

Re

Im

1α

x

x

2α

x

x

Re

Im

α x

x

12

AproximaciónAproximación::

nps tt

ωπ2

41×≈≈


Efecto de mover los polosSistema subamortiguado

x

x

x

x

x

x

Im(s)

Re(s)

Polos con la misma parte real

djs ωσ ±−=2,1

σ−

1djω2djω3djω

1djω−2djω−3djω−

321

321

321

ppp

ppp

ddd

ttt

MMM

>>

<<

<< ωωω

σ4

≅st

Puedo variar la sobreoscilación modificando la parte imaginaria de los polos sin afectar el tiempo de establecimiento (controlado por la parte real de los polos)

1pt2pt

3pt

Cuanto más pequeña es la parte imaginaria, menor es el sobrepico y mayor el tiempo de pico



x

x

x

x

x

x

Im(s)

Re(s)

Polos con la misma parte imaginaria

djs ωσ ±−=2,1

1σ−

djω

djω−2σ−3σ−

tp igual

dpt

ωπ

= 1st2st

3st

Cuanto más pequeña es la parte real, más lenta la respuesta

321

321

321

ppp

sss

MMM

ttt

>>

>><< σσσ



x

x

x

x

x

x

Im(s)

Re(s)

Polos con el ángulo αconstante(δ constante)

djs ωσ ±−=2,1

1σ−2σ−3σ−

α

Mp igual

1pt2pt

3pt

321

321

321

321

ppp

sss

ddd

ttt

ttt

>>

>>

<<<<

ωωωσσσ

Cuanto más cerca están los polos del origen, más lenta la respuesta

1djω

2djω3djω

1djω−

2djω−

3djω−


Caso δ=0Respuesta a un escalón

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−==

+=

)2

(1)(L)(

)(

1-

22

2

πω

ωω

tsenKUsyty

sU

sK

sy

n

n

n

u(s) y(s)22

2

n

n

s

K

ωω+

t

y(t)Como δ = 0 la respuesta no se amortigua nunca. Respuesta en el límite de la estabilidad

Ku

Polos imaginarios puros

La respuesta transitoria no se extingue

Caso no amortiguado

nnd δωω ω=−= 21


Caso δ=0Interpretación en s

Plano s

x

x

njω+

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−== )

2(1)(L)( 1- πω tsenKUsyty n

nn jss ωω ±=⇒=+ 0:polos 22

njω−

Polos sobre el eje imaginario: límite de estabilidad

u(s) y(s)22

2

n

n

s

K

ωω+

t

y(t)

KU


Caso δ<0Respuesta a un escalón

t

y(t)

x

xnδω−

21 δω −n

Polos en el semiplano derecho: sistema inestable

0>nω

01 <<− δ

xnδω−

1−=δ

Polos reales iguales

x

1−<δ

Polos reales positivos

x

Oscilaciones crecientes y(t)

tMonótonamente inestable


Resumen

ESTABLE INESTABLE

Sobreamortiguado

Subamortiguado

Subamortiguado


Índice



Respuestas de sistemas

1+s

K

τ

Primer orden:

22

2

2 nn

n

ss

K

ωδωω

++

Segundo orden:

( )( )( )22 11.018.0

305.18

++++

sss

s ?


Adición de un polo

Conocido: 22

2

2 nn

n

ss

K

ωδωω

++

? ¿Cómo será?

ps

p

ss

K

nn

n

+×

++ 22

2

2 ωδωω

Idea intuitiva:

22

2

2 nn

n

ss

K

ωδωω

++ps

p

+Entrada

suavizada

Salida suavizada

SO(%)

ts


Adición de un polo

¿Cuánto se suaviza la respuesta? p >> ωn:

22

2

2 nn

n

ss

K

ωδωω

++ps

p

+ poco suavizada

22

2

2 nn

n

ss

K

ωδωω

++ps

p

+

p << ωn:

muy suavizada

Polo despreciable (respecto a otro polo polo dominantedominante) si el módulo del polo es muy

superior respecto al del dominante


Adición de un polo

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

2

4

6

8

10

12

14

tiempo (s)

Primer orden Segundo ordenTercer orden

p = 10 ωn :

22

2

2)(

nn

n

ss

KsG

ωδωω

++=

ps

KpsG

+=)(

ps

p

ss

KsG

nn

n

+++=

22

2

2)(

ωδωω

Re

Im

x

xx

-p

ωn


0 5 10 15 20 25 30-2

0

2

4

6

8

10

12

14

tiempo (s)


Adición de un polo

p = 0.1 ωn :

22

2

2)(

nn

n

ss

KsG

ωδωω

++=

ps

KpsG

+=)(

ps

p

ss

KsG

nn

n

+++=

22

2

2)(

ωδωω

Re

Imx

x

x-p

ωn


0 5 10 15 20 25 30-2

0

2

4

6

8

10

12

14

tiempo (s)


Adición de un polo

p = 0.5 ωn :

22

2

2)(

nn

n

ss

KsG

ωδωω

++=

ps

KpsG

+=)(

ps

p

ss

KsG

nn

n

+++=

22

2

2)(

ωδωω

Re

Imx

x

x-p

ωn


Adición de un cero

Conocido: 22

2

2 nn

n

ss

K

ωδωω

++

? ¿Cómo será?

c

cs

ss

K

nn

n +×

++ 22

2

2 ωδωω

Idea intuitiva:

22

2

2 nn

n

ss

K

ωδωω

++

ponderación d/dt

SO(%)

tsc

122

2

2 nn

n

ss

K

ωδωω

++s

+


0 2 4 6 8 10 12 140

5

10

15

20

tiempo (s)

y(t): Sin cero yc(t): Con cero

0 2 4 6 8 10 12 14-5

0

5

10

tiempo (s)

1/c * dy(t)/dt

Adición de un cero

ts

SO(%)

c > 0 :

Cero despreciable (respecto a polo polo dominantedominante) si el

módulo del cero es muy superior

respecto al del dominante


Adición de un cero

c > 0 :

Re

Im

xo x-p1-p2

-c

Re

Im

x o x-p1-p2

-c

Re

Im

x ox-p1-p2

-c

c

pp

psps

csKsG 21

21 ))((

)()(

+++

=

= +

)()( 2

2

1

1

ps

K

ps

K

++

+=

t

t

t

t

t


0 5 10 15-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

16

tiempo (s)

yc(t)

Adición de un cero

c < 0 : Cero de fase no mínima (en SPD)

Respuesta inversa Re

Im

o-c


Al añadir un polo, la respuesta temporal del sistema se hace más lenta y menos sobreoscilatoria.Polo despreciable (respecto a otro polo polo dominantedominante) si el módulo del polo es muy superior respecto al del dominante.Al añadir un cero, la respuesta temporal del sistema se hace más rápida y más sobreoscilatoria.Cero despreciable (respecto a polo dominantepolo dominante) si el módulo del cero es muy superior respecto al del dominante.

Resumen


Índice



Estabilidad entrada-salida (BIBO)

G(s)u(s) y(s)

Un sistema es estable entrada-salida cuando a una entrada acotada le corresponde una salida acotada

inestable

estable


Estabilidad de sistemas lineales

G(s)u(t) y(t)

[ ]

...)1(...)(

...2

L...)(

LLLL

)()(

....);2

...)(

()()()(

2

221

21111

1

222

++−+++++=

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

++⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

==

+++

+++

++

++

+==

−−−−

−−−−−

−

φδωλγβα

ωδωσλγβα

ωδωσλγβα

δωn

tbtbtat

nn

nn

seneteeety

ssbsbsass

sYLty

ssbsbsasssusGsy

n

La estabilidad y los tipos de respuesta vienen determinados por los polos. Los ceros modifican la forma de la respuesta pero no la estabilidad.

G(sG(s) ESTABLE ) ESTABLE ⇔ ⇔

TODOS SUS POLOS EN SPITODOS SUS POLOS EN SPI


Índice




( )( )( )22 11.018.0

305.18

++++

sss

s ? U

• Estable: Sí (polos en -10, -10, -0.4±0.91j : todos en SPI)

•Ganancia estática: 555 (lim s->0)

•Polos en -10 despreciables respecto a los c.c. (ωn=0.99 rad/s)

•Cero (en -30) despreciable respecto a polos c.c. dominantes

( )( )( ) ( ) )(

18.0555

11.018.0

305.18)( 222

sGsssss

ssG red=

++≈

++++

=



0 5 10 15 20 25 300

100

200

300

400

500

600

700

tiempo (s)

G(s) Gred(s)


Curva de reacción

SistemaU(t)=Ueq+u(t) Y(t)=

Yeq+y(t)

Condiciones iniciales nulas.

Incrementos en torno a un punto de operación.

Magnitud del escalón.

t=t0

Ueq t

U(t)

t

f(t)Y(t)

t=t0

Yeq

t

f(t)Y(t)

t=t0

Yeq

t

Y(t)

t=t0

Yeq

G(s)u(t) y(t)

1)(

+=

s

KsG

τ

22

2

2)(

nn

n

ss

KsG

ωδωω

++=

( )( )( )11

1)(

21 +++

=ss

sKsG c

τττ


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

1

2

3

4

5

6

7

8

tiempo (s)

U(t)Y(t)

τd τ

u

yrp

= K u

0.63 yrp

Obtención Experimental.Sistema Primer Orden con Retardo

sdes

KsG τ

τ−

+=

1)(


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

tiempo (s)

u(t)y(t)

yrp

= K u

u

tp

yp

2π/ωd

S0(%)=(yp-y

rp)/y

rp

Obtención Experimental.Sistema Segundo orden subamortiguado

22

2

2)(

nn

n

ss

KsG

ωδωω

++=

22

2

)ln(

)ln(

pu

pu

SO

SO

+=

πδ

p

nt21 δ

πω−

=

21 δωω−

= dn

o/y


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 201

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

tiempo (s)

u(t)y(t)

τ1

τ2

yrp

= K uu

τc > τ

1 , τ

2

Obtención Experimental.Sistema Segundo sobreamortiguado con cero

( )( )( )11

1)(

21 +++

=ss

sKsG c

τττ

21 , τττ >c

Ajuste por simulación

Re

Im

x ox-1/ τ2 -1/ τ1

-1/ τc


Índice



Diseño del controlador basado en el modelo.

Especificaciones temporales en bucle cerrado expresadas en términos de localización de polos, ceros y ganancia del sistema en bucle cerrado.

Contrastar con datos experimentales y analizar incertidumbres.

Análisis de incertidumbre

¿Hasta qué punto se puede

confiar en el modelo?


Fiabilidad de modelos

0 1 2 3 4 5 60

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

tiempo (s)

y(t)

tiempo (s)

real

modelo

0 1 2 3 4 5 60

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

tiempo (s)

Ince

rtid

umbr

e re

lativ

a

RESPUESTAS ANTE

ESCALÓN

INCERTIDUMBRE RELATIVA

)(

)()()(

ty

tytyt

modelo

modeloreal −=∆


La fiabilidad de un “modelo para control” depende de las especificaciones en bucle cerrado.

Regla práctica: un modelo es fiable si su respuesta temporal es similar (en porcentaje) a la del sistema real, en los tiempos en los que se pretende controlar el sistema.

Este concepto se justifica más claramente en el dominio frecuencial.

Fiabilidad de modelos

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