CONGRUENCIA Y SEMEJANZA

Congruencia. Congruencia quiere decir concretamente dos figuras u objetos con las mismas dimensiones, así dos cuadernos con las mismas dimensiones se dice que son congruentes, al igual que los fólderes y lo lápices y los lapiceros, se aplica también a los polígonos. Para simplificar su estudio, veremos la congruencia de triángulos:

1. CONGRUENCIA DE TRIÁNGULOS. Dos triángulos son congruentes si hay una correspondencia entre sus vértices de tal manera que el ángulo del vértice y los lados que lo componen, en uno de los triángulos, sean congruentes con los del otro triángulo. Es decir que sean exactamente iguales. Sin embargo, para construir un triángulo congruente, es necesario conocer tres de sus medidas, y uno de esos datos debe ser la medida de un lado. Como los elementos primarios de los triángulos (ángulos y lados) son dependientes, la información mínima necesaria para que los triángulos sean congruentes responde a los llamados criterios de congruencia:

Postulados de congruencia Postulado LAL (Lado, Ángulo, Lado) Dos triángulos son congruentes si dos lados de uno tienen la misma longitud que dos lados del otro triángulo, y los ángulos comprendidos entre esos lados tienen también la misma medida. Postulado ALA (Ángulo, Lado, Ángulo) Dos triángulos son congruentes si dos ángulos interiores y el lado comprendido entre ellos tienen la misma medida y longitud, respectivamente. (El lado comprendido entre dos ángulos es el lado común a ellos)

Postulado LLL (Lado, Lado, Lado) Dos triángulos son congruentes si cada lado de un triángulo tiene la misma longitud que los correspondientes del otro triángulo Ejemplos: 1) En la figura, se tiene un triángulo ABC isósceles ( AC = BC) y se ha dividido su base AB en 4 partes iguales. ¿Cuáles triángulos son congruentes? a) Los triángulos AEC y BFC son congruentes puesto que:

AE FB por hipótesis, ya que la base AB se dividió en partes iguales

Semejanza Otro tema relacionado con la congruencia es la semejanza, ésta a diferencia de la anterior, no necesariamente deben ser dos objetos con las mismas dimensiones, sino, uno con las dimensiones proporcionales al otro, por ejemplo, cuando se elabora una maqueta de un edificio, se dice que la maqueta es semejante a la construcción real, porque sus dimensiones son proporcionales, también la semejanza es aplicable a los polígonos, y para simplificar el estudio, lo veremos con la semejanza de triángulos.

1. SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS: Dos triángulos son semejantes si tienen sus ángulos respectivamente congruentes y si sus

lados homólogos son proporcionales. ( lados homólogos son los opuestos a ángulos

iguales ) Es decir :

ABC A’B’C’ ( triángulo ABC es semejante al triángulo A’B’C’ ) si y sólo si :

i) A = A’ ; B = B’ ; C = C’

ii) c'

c =

b'

b =

a'

a

Criterios de semejanza Criterio lado_lado_lado ( L, L, L) Dos triángulos son semejantes si sus lados correspondientes son proporcionales.

B’

C’

A’

a’

c’

b’ B

C

A

a

c

b

Criterio ángulo-ángulo-ángulo (A, A, A) Dos triángulos son semejantes si dos ángulos interiores correspondientes son congruentes.

Criterio lado-ángulo-lado (L, A, L) Dos triángulos son semejantes si tienen dos lados correspondientes proporcionales y los ángulos comprendidos entre estos lados son congruentes.

Teorema de la semejanza

Si dos triángulos son semejantes, con razón de semejanza k, entonces sus perímetros están en la razón k y sus áreas están en la razón k2.

En la figura: razón de semejanza k.

Ejemplo : Determine si los triángulos siguientes son semejantes :

En efecto:

No. 1 A = A’ ; B = B’ ; C = C’

No. 2

2 = c'

c =

b'

b =

a'

a

Puesto, que las proporciones muestran una constante, determinamos que los triángulos

son semejantes.

6

10

8 C A

B

C’ A’

B’

3

4

5