EJERCICIOS UNIDAD 8 “DISTRIBUCION NORMAL”

1. Los paquetes de cereal que produce una conocida marca vienen en cajas de 36 onzas que

tienen una desviación estándar de 1.9 onzas. Se considera que los pesos de dichas cajas están distribuidos normalmente. Si se selecciona una caja aleatoriamente, cuál es la probabilidad de que la caja pese:

xZ

a) ¿Menos de 34.8 onzas? )

0.50-0.2356 =0.2644

b) ¿Más de 34.8 onzas? )

0.5+0.2356 =0.7366

c) ¿Entre 34.3 y 38.9 onzas? )

0.3133+0.4370=0.7503

d) ¿Entre 39.5 y 41.1 onzas? )

0.4963-0.4671=0.0292

2. Como comerciante de materiales para la construcción, usted compra sacos de cemento que pesan en promedio 50 libras, con una desviación estándar de 5.2 libras. Por prescripción médica, un trabajador está imposibilitado para levantar pesos mayores a las 60 libras. ¿Podría cargar un saco de cemento sin riesgo de que éste exceda las 60 libras?

xZ

)

0.50+0.4726=0.9726 3. Se publica que los frenos de autos nuevos Nissan duran un promedio de 35,000 millas, con una

desviación estándar de 1,114 millas. Un cliente acaba de comprar un auto de ésta marca, cuál es la probabilidad de que los frenos le duren

xZ

a) ¿Más de 35, 000 millas? )

b) ¿Menos de 33, 900 millas?

)

0.50-0.3389 = 0.1611

c) ¿Menos de 37, 500 millas? )

0.500.4874=0.9874

d) ¿Entre 32, 500 y 36, 900 millas? )

0.4874+0.4564=0.9438 4. Los sobrecostos por actualización de computadoras en una empresa tiene en promedio

$235,000, con una desviación estándar de $94,000. El director ejecutivo del área de Investigación no desea arriesgarse a más de 34% de probabilidad de sobrecosto a que una actualización propuesta recientemente exceda más de $250,000. ¿Usted recomendaría que se ejecute la actualización?

µ= 235000 σ= 94000 p=.34

X-235000=1(94000) x=94000+235000 = 329,000

Considerando que lo más que el ejecutivo

quiere pagar es $329,000.00 por la actualización,

sí le recomiendo ejecutarla. Pues el margen el

cual está permitiendo, es considerablemente

grande.

5. El promedio de los salarios de los empleados bancarios en una ciudad de Estados Unidos es de

$22.87 dólares/hora, con una desviación estándar de $5.87 dólares/hora. Cuál debe ser su salario/hora si desea ganar:

6. Los empleados de una empresa trabajan en promedio 55.8 horas/semana con una desviación

estándar de 9.8 horas. Los ascensos son más probables para los empleados que están dentro del 10% de los que pasan más tiempo trabajando. ¿Cuánto debe trabajar un empleado para mejorar sus oportunidades de ascenso?

µ= 55.8 horas/semana σ= 9.8 horas p=.10

X-55.8 =1.28 (9.8) x=12.55+55.8 x=68.35 h/semana Entonces, un empleado tendría que trabajar 68.35 horas o más, para tener la probabilidad de ascender de puesto.

7. Los registros muestran que el 45% de todos los automóviles producidos por Ford Motor Company contiene partes importadas de Japón. ¿Cuál es la probabilidad de que en los próximos 200 vehículos, 115 contengan partes japonesas?

La media y la desviación estándar son µ = p = (200) (0.45) = 90

Mientras que = ))()(( qpn

, donde q = (1-p), por lo que

= 0.4999 – 0.4997 = 0.0002

8. Una empresa de transportes por carretera encuentra que el 30% de sus envíos llega tarde. Si

se programan ocho envíos, cuál es la probabilidad de que: P( x = 3. N= 8, p= .30)

a) P(x=3)

Z= 3 -2.4 = 0.46 1.29 Z (0.46)= 0.1772 -.5= 0.3228= 32.28%

b) p (x ≥ 3) Z= 3 -2.4 = 0.46 1.29 Z (0.46)= 0.1772 +.5= 0.6772= 67.72%

c) p (x ≤ 3) Z= 3 -2.4 = 0.46 1.29 Z (0.46)= 0.1772 -.5= 0.3228 =32.28%

d) p(3≤ x ≥ 5) Z= 3 -2.4 = 0.46 1.29 Z (0.46)= 0.1772 Z= 5 -2.4 = 2.01 1.29 Z ( 2.01) = .4778 0.1772 + .4778= 0.655 = 65.5 %

9. Una encuesta revela que el 60% de los hogares prefiere cierta marca de ropa deportiva. Si se

hizo la encuesta en 12 hogares, cual es la probabilidad de que esta ropa deportiva sea escogida por:

R: µ= n(p)= 12(.6)= 7.2 σ= = 1.697 a) ¿Siete hogares?

Z= 7-7.2/1.697 = -1.2= 0.0478= 4.78% b) ¿Menos de seis hogares?

Z= 6-7.2/1.697= -.71= .258, .5-.258= .242= 24.2%

c) ¿Diez o más hogares? Z= 10-7.2/1.697= 1.65= .4505, .5-.4505= .0495= 4.95%

d) ¿Más de dos hogares Z= 2-7.2/1.697= -3.06= .4989+.5= .9989= 99.89%

10. Una empresa transfiere 9 trabajadores a otra empresa que es filial de la primera. Solo 6 de ellos están realmente calificados para realizar el trabajo para el cual pueden ser asignados. El departamento de Producción selecciona aleatoriamente 5 de los 9 empleados. Cuál es la probabilidad de que:

Datos: N=9 R=6 n=5

a) ¿los cinco estén calificados? X=5 p(x=5)= 6C5 * 3C0/9C5= .0476= 4.76%

b) ¿Cuatro estén calificados? X=4 P(x=4)= 6C4 * 3C1/9C5= .3571= 35.71%

c) ¿Por lo menos tres estén calificados? X=3 p(x=3)= 6C3 * 3C2/9C5= .4762= 47.62% X=4 = 35.71% X=5 = 4.76% POR LO MENOS 3 = 88.09%

11. La junta directiva de la empresa ABC consta de 4 economistas, 3 contadores y 5 ingenieros. Si

un comité de 7 miembros debe seleccionarse aleatoriamente, ¿Cuál es la probabilidad de que dicho comité este conformado por 2 economistas, 2 contadores y 3 ingenieros?

12. Los aviones llegan a un aeropuerto internacional a una razón promedio de 5.2 por minuto. Los

controladores de tráfico aéreo pueden de forma segura un máximo de 7 aviones por minuto. ¿Cuál es la probabilidad de que se arriesgue la seguridad del aeropuerto? Se cree que las llegadas tienen una distribución de Poisson.

R: P(X=8| ¸ (2.71829)ˉµ˙²/5!= 2,948.094263/40,320= .07314= 7.31% 13. Una encuesta reportó que el 80% de la población piensa que los salarios de los miembros del

congreso son demasiado altos. Si 15 personas se seleccionan para conformar un comité que decida por mayoría de votos si tales salarios deben aumentarse o no. ¿Cuál es la probabilidad de que el voto sea no aumentar tales salarios?

R: 15C8 (.8)¸ (.2)·= .0138= 1.38% 14. Los camiones llegan a cargar en razón de 9.3 por hora en promedio. El encargado del puerto

sabe que si llegan 6 o menos camiones, solo es necesario un puerto de carga. Si llegan más de 6, debe abrirse un segundo puerto. ¿Deberá abrirse el segundo puerto?

R: P(X=7| · (2.71829)ˉ¹˙³/7!= .1091= 10.91% = a que lleguen 7 camiones P(X=6| ¶ (2.71829)ˉ¹˙³/6!= .082= 8.2% P(X=5| µ (2.71829)ˉ¹˙³/5!= .053= 5.3% P(X=4| ´ (2.71829)ˉ¹˙³/4!= .028= 2.8%

P(X=3| ³ (2.71829)ˉ¹˙³/3!= .0127= 1.27% P(X=2| ² (2.71829)ˉ¹˙³/2!= .0039= .39% P(X=1| ¹ (2.71829)ˉ¹˙³/1!= .0008= .08%

P(X=0| (2.71829)ˉ¹˙³/0!= .00009= .009%

Que lleguen 6 o menos camiones= 18.04% Si es necesario ya que la probabilidad de que lleguen 6 camiones o menos es del 18.04% y que lleguen más de 6 es de 81.96% 15. Una compañía que presenta un 10% de defectos en su producción vende sus productos en

lotes de 15 unidades. Ofrece un descuento de $1,000.00 si más de tres unidades salen defectuosas. ¿Cuánto descuento debería esperar la compañía por cada 50 envíos? R: µ= np= (15) (.1)= 1.5 (1.5)(50)= 75/4= 18.75 * 1000= $18,750

16. La administradora de una gran tienda de ropa de un centro comercial hace la nómina para 11 empleados, pero 7 contienen errores. La jefa del departamento no está conforme y selecciona 5 registros de nómina para revisarlos. Se encuentra que 3 contienen errores. La administradora se defiende diciendo que sólo tuvo tres errores en los 11 registros. ¿Es este un buen argumento? R: datos: N=11 r=7 n=5 x=3 P(x=3)= 7C5 * 4C2/11C5= .2727= 27.27%

Realmente tuvo solo 3 errores, pero no es un buen argumento ya que en una empresa, no puede

haber tantos errores. 17. El tiempo promedio entre fallas de un nuevo foco para exteriores de General Electric es de 10

semanas. ¿Cuál es la probabilidad de que un nuevo foco falle dentro de 15 semanas?

10

T 15

P(X<15) = 1- (2.71828)-(10) (15) = 1 – (2.71828)-150 = 1 = 100% 18. Los clientes ingresan a un restaurante local a una razón de 10 por hora. ¿Cuál es la

probabilidad de que transcurran 30 minutos entre las llegadas de 2 clientes cualesquiera?

P (X x) = 1- e-

19. Los pesos contenidos en las cajas de cereal están distribuidos de manera uniforme con una

media de 35 onzas y un rango de 3.4 onzas.

A) Cuál es el peso mínimo y máximo de las cajas. El mínimo es 33.3

El máximo es 36.7

B) Cuál es la probabilidad de que una sola caja contenga entre 32 y 33 onzas? 32 – 35 = - 6 = 0. 4999 .50 0.4999- 0.4999= 0

33 – 35 = - 4 = 0. 4999 .50

20. Durante los últimos 20 años un trabajador ha conducido todos los días para ir a su empleo. El

menor tiempo empleado para hacerlo es de 63 minutos y el máximo tiempo que se ha demorado son 110 minutos. Si los tiempos de conducción están distribuidos uniformemente: Cuál es el tiempo promedio?

86.5 minutos

Cuál es la probabilidad de que le tome 1.5 horas? 90 - 86.5 = 7 = .4999 .50

21. Los reportes muestran que se cometen 5 homicidios cada hora en las ciudades más grandes

del país, y que la distribución se ajusta a una distribución de Poisson. Si esto es cierto, ¿cuál es la probabilidad de que en los próximos 30 minutos asesinen a 3 personas? X=3 λ =5 e= 2.71828

22. Un proceso de manufactura produce 1.2 defectos por cada 100 unidades de producción, y

sigue una distribución de Poisson. ¿Cuál es la probabilidad de que las siguientes 500 unidades presenten 3 defectos? X=3 λ =1.2 e= 2.71828

23. Normalmente se toman 2 semanas en entrenar a un trabajador para utilizar un taladro de

banco. ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador pueda ser entrenado en 1.5 semanas?

P (X x) = 1- e-

24. En un esfuerzo por reducir costos, un restaurante de comida rápida analizó la tendencia para

que sus procesadores automáticos determinaran los pesos de la hamburguesa en la presentación de un cuarto de libra. Se encontró que los pesos oscilaban entre 3.2 y 4.9 onzas.

Se asumió una distribución uniforme, ¿qué porcentaje de hamburguesas tiene más de un cuarto de libra? (Nota: 1 libra = 16 onzas = 453.6 gramos).

)

0.5-0.2881=0.2119

25. ¿La distribución normal es una distribución discreta o continua? Justifique su respuesta. Si dos conjuntos de datos que están distribuidos normalmente tienen la misma media pero diferentes desviaciones estándar ¿cómo se compararía el rango que comprende el 68.3% de todas las observaciones de un conjunto a otro? Haga las gráficas necesarias para ilustrar cómo puede aplicarse la regla empírica en ambas distribuciones.

26. Los costos de producción mensual de una imprenta son de $4,100 en promedio con una

desviación estándar de $870. El administrador considera conveniente mantener los costos por debajo de los $3,000 este mes. ¿Si los costos están distribuidos normalmente puede creerse en el administrador?

3000-4100/870= 1.26= 39.62%

27. Un despacho contable encuentra que el tiempo que se toma para realizar un proceso de

auditoría está distribuido normalmente con un tiempo promedio de 17.2 días y una desviación estándar de 3.7 días. El despacho se comprometió a iniciar un proceso de auditoría dentro de 20 días pero debe terminar una que ya ha comenzado. ¿Qué tan probable es que cumpla su promesa? 20-17.2/3.7= .7567 = 27.34%

28. Los corredores de un maratón local terminaron el trayecto en un tiempo promedio de 180.3 minutos con una desviación estándar de 25.7 minutos. ¿Qué tan rápido deben correr para terminar dentro del primer 10%? El tiempo que tendrían que hacer es de 115.67 minutos

180.3 * 25.7 * .025= 115.67 minutos

29. Los conectores eléctricos duran un promedio de 18.2 meses con una desviación estándar de

1.7. El proveedor acepta reemplazar uno si éste falla dentro de los primeros 19 meses. De 500 unidades ¿cuántos se debe reemplazar en promedio?

19-18.2/1.7=.6837 =24.54%

30. Las ventas promedio de un agente de ventas son de $5,000 con una desviación estándar de

$152. El agente de ventas tiene una comisión de $1,000 sólo si sus ventas exceden de $5,300. En promedio, ¿Cuál es la comisión por cada 25 ventas?

31. La producción diaria de una planta local tiene un promedio 7,300 toneladas con una desviación estándar de 125 toneladas. En un promedio de 100 días ¿cuántas veces excederá las 7,000 toneladas?

7000-7300/125=-2.4= 49.18%

32. Las ventas diarias en un parque de diversiones son de $10,120 con una desviación estándar de

$3,120. ¿Cuál es la probabilidad de que el día de hoy se reciba más de $10,000 peso de venta?

10000-10120/3120= -.03546 = -1.20% 33. Se sabe que el grupo de profesionistas que se inscriben en una Prueba de Aptitud Gerencial

obtienen 812 puntos en promedio, con una desviación estándar de 145 puntos. Sólo quienes

están entre el 20% de los mejores pueden aplicar a una beca específica. Un profesionista obtuvo

un puntaje de 900 en la prueba, ¿considera que puede aplicar para una beca?

µ = 812

x= 900

=145

34. Las unidades de almacenamiento de una empresa tienen un promedio de 82.3 pies cuadrados

(1 pié cuadrado = 929 cms2). ¿Cuántos pies cuadrados debe tener una unidad para que sea más

grande que el 90% de todas las unidades?

35. De acuerdo con la National Geographic, el 32% de los australianos que viven en el interior del

país beben una cierta clase de cerveza local. Si se seleccionan aleatoriamente 500 personas de la

misma nacionalidad, ¿cuál es la probabilidad de que por lo menos 150 hayan bebido este tipo

de cerveza? 1.38%

N= 500

X= 150 a 160

P= .32

X(150)=.0244 2.44%

X(160)= .0382 3.82%

P(160 a 150) 3.82-2.44= 1.38%

36. Una encuesta realizada reveló que el 69% de los rusos estaban peor económicamente después

de la revolución. Si se seleccionan aleatoriamente a 800 personas ¿Cuál es la probabilidad de

que menos de 580 estén en estas condiciones? 2.693%

X= 579 a 552

N= 800

P=.69

X (579)= .00357 .357%

X (552)=.0305 3.05%

P (579 a 552)= 3.05-.357=2.693%

37. Un periódico en Estados Unidos informó que el 56% de todos los niños de 7 años cree que la

Cenicienta era una persona real. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos el 50% de 120

niños de 7 años crea lo mismo? 4.2690%

N= 120

P=.56

X= 60 hasta 67

X(60)= .03044292= 3.0443%

X(67)=.073132472= 7.3132%

38. En las cercanías de parques industriales mineros se detectó que 3 de cada 10 niños contienen

plomo en la sangre en cantidades superiores a las permitidas por la Norma Oficial Mexicana.

Cual es la probabilidad de que en un grupo escolar de 20 niños, padezcan el mismo problema,

a) Exactamente dos de ellos

b) Entre 5 y 10

c) Más de la mitad de ellos

d) Menos de la cuarta parte

e) Todos

f) Ninguno

39. El tiempo que tarda un empleado para ensamblar partes para automóvil al parecer se

distribuye normalmente, con una media de 70 segundos y una desviación estándar de 8. Cual

es la probabilidad que en una ensambladora similar los empleados tarden,

a) Entre 80 y 90 segundos

)

0.3943 + 0.4798 = 0.8541 x 100 = 85.41%

b) Menos de 60 segundos

)

0.50-0.3943 =0.1057 x 100 = 10.57%

c) Entre 60 y 70 segundos

)

0.3943 + 0.0= 0.3943 x 100 = 39.43%

d) Más de 65 segundos

)

0.5+0.2356 =0.7366 x 100 =73.66%

e) Que porcentaje de empleados tarda más de 70 segundos.

)