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Construccion de una ecuacion diferencial a partir

de sus soluciones

Exponemos la forma de construir una ecuacion diferencial conociendo sus

soluciones.

MetodoSea la familia de curvas que dependen de n constantes

(x,y ,C 1, . . . , C n) = 0

Se puede formar la ecuacion diferencial cuya solucion general es la fami-lia de curvas dada derivando n veces y eliminando C1, C2, . . . , C n entre lasrelaciones

= 0, d

dx= 0,

d2

dx2 = 0 , . . . ,

dn

dxn= 0

1. Formar la ecuacion diferencial de la familia de curvas y = C x.

ResolucionDerivando obtenemos y =C. Sustituyendo en la ecuacion dadaobtenemos la ecuacion diferencial y = y x.

2. Formar la ecuacion diferencial de la familia de curvas y = C1cos 2x+

C2sin 2x.

ResolucionDerivando dos veces obtenemos las relaciones:

y= C1cos 2x+C2sin 2x (1)y = 2C1sin 2x+ 2C2cos 2x (2)y = 4C1cos 2x 4C2sin 2x (3)

Despejando C1 y C2 entre (1) y (2) obtenemos C1 = (1/2)(2y cos2x y sin2x) y C2 = (1/2)(y

cos2x+ 2y sin2x). Sustituyendo estos valores en(3) obtenemos la ecuacion diferencialy + 4y= 0.

Autor: Fernando Revilla

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