90_vectores_ejercicios_resueltos

8/2/2019 90_vectores_ejercicios_resueltos

1/19

GABRIEL SANHUEZA DAROCH MATEMTICA ARQUITECTURA(UBB) EJERCICIOS DE VECTORES - 1 -

UNIVERSIDAD DEL BO-BOFACULTAD DE CIENCIASDEPARTAMENTO MATEMTICA

GUIA DE APOYO MATEMTICA ARQUITECTURA 2005PROFESOR GABRIEL SANHUEZA DAROCH

Ejercicios de Vectores

1. a) Halla el punto Q simtrico de P(1, 2) respecto del punto H(2, 5).b) Halla n para que el punto S(4, n) est alineado con los puntos A(3, 4) y B(7, 2)w

u

c) Dados = (15, 2), = (3, 1) y = (6, 7), calcula m y n para queu

v

w

= m + n v

Solucin:

22

1x=

+a) Si P(x , y) es el simtrico de P respecto de H H es el punto medio del segmento PP

y 12y52

2y==

el punto buscado es P3x = (3, 12)

( )6,4AB = ( )2n,3BS = tienen la misma direccin yb) Si S(4, n) est alineado con A y B,

6

2n

4

3 =

2

5

4

10n ==18 = 4n 8 4n = 10

27m921n3m6

6n3m15

==+

=c) = m + n (6, 7) = m (15, 2) + n (3, 1)

=+

=

7nm2

6n3m15w

u

v

m = 3 n = 7 + 2m = 7 + 6 = 13

u

v

= (2, 1) y = (5, x).2. Dados los vectoresv

u

sea igual a 3 | |.a) Calcula x para que el mdulo deb) Calcula x para que sean paralelos

Solucin:

v u u 53x25 2 =+5 2 2 20x =a) = 3 | | , como | | = 25 + x = 45 x = 20

b) Siu y son paralelos = k

v

v

u

1

x

2

5

=

2

5x =

u

= (2, 1) .2. Halla un vector unitario que tenga la misma direccin y sentido queSolucin:

w

1w =

Si tiene la misma direccin que = kw

w

u

u

1kk4 22 =+ = (2k, k) y como

k5 2 = 1

5

1k =

Si 5

1k= =w

u

5

1,5

2tiene la misma direccin y sentido que

Si5

1k = =w

u

5

1,

5

2tiene la misma direccin y sentido opuesto a

514u =+=

, un vector unitario con la misma direccin y sentido que u ser:

Otra forma:

=

5

1,

5

2

|u|

u

u

3. a) Halla un vector perpendicular a = (5, 12) que tenga por mdulo 5. Cuntas soluciones hay?u

b) Halla las coordenadas de un vector con la misma direccin que = (3, 4) pero de mdulo 10. Cuntassoluciones hay?

Solucin:

w

a) = (x, y) es perpendicular a u = (5, 12) w

12

x5y =

u

= 0 5x + 12 y = 0


2/19


12

x5y =Si el mdulo de es 5 w

5yx 22 =+ . Sustituyendo25yx 22 =+ obtenemos

25144

x25x

22 =+

13

60

169

360x ==

169

3600x2 = 14425x25x144 22 =+ .

Si13

60x = y =

13

25 =w

13

60x =

13

25

13

25,

13

60

13

25,

13

60w

= y =. Si

Por lo tanto hay dos soluciones b) Siw tiene la misma direccin que

w

w

u

u

10w =

10k16k9 22 =+= k = (3k, 4k) y como

25 k2 = 10 k2 = 4 k = 2w

Si k = 2 = (6, 8). Si k = 2 w

= (6, 8). Por lo tanto hay dos soluciones

b

4. a) Expresa los vectores a ,

y como combinacin lineal dec

u

v

y :

b) Dados = (15,2), = (3, 1) y = (6, 7). Calculau

v

w

wv3

1u2

(1 punto)

Solucin:

a) =a

u

+ v

; =b

u2

1 +2 v

; = c

u

v

+ 2

( ) ( ) )7,6(1,33

12.152

( )

3

467

3

911867,6

3

13,31 ==

=b)

)4,3(u =

5. Dado el vector , halla:

( )1,2v =a) El ngulo que forma con

b) El valor de k para que ( k,2w = ) sea perpendicular u

Solucin:

894,05

52

55

10

14169

46

vu

vuv,ucos

=

=

++

=

=

662153v,u =

a)

b) Para que y sean perpendiculares, su producto escalar ha de ser cero:u

v

( ) ( )2

3

4

6k0k46k,243,wu ===+==

)1,a(x =

)b,2(y =

x

y

6. Dados los vectores e , halla los valores de a y de b para que e sean perpendiculares, y

que 22y =

.

Solucin:

22y =

Calculamos el valor de b teniendo en cuenta que

( )

=

==

==+=+=+=

2b

2b4b

4b8b422b4b2y

2

1

22222

Hay dos posibles valores para b: b1 =2 y b2= 2x

y

Hallamos a teniendo en cuenta que e han de ser perpendiculares (su producto escalar ser cero)er 1 Caso:b = 21

( ) ( ) 1a02a22,21,ayx 1 ====

2 Caso:b = 2 2

( ) ( ) 1a02a22,21,ayx2

==+==

Por tanto las soluciones son dos:

=

=

=

=

2b

1ay

2b

1a

2

2

1

1


3/19


7. Consideramos el cuadriltero de vrtices A(1, 2), B(7, 4), C(9, 6) y D(3, 4):

AC BDa) Escribe las coordenadas y los mdulos de los vectores y .b) Halla los puntos medios M, N, P y Q de los lados del cuadriltero y demuestra que el nuevo cuadriltero

MNPQ es un paralelogramo.Solucin:

16464100 =+AC AC= ( 10, 8) | | =a)

BD BD 16464100 =+= (10, 8) | | =b) M (3, 3), N(8, 1), P(3, 5) y Q(2, 1)

Si MNPQ es un paralelogramo tendr los lados paralelos e iguales dos a dos:

QPMN =)4,5(MN = )4,5(QP =, los lados MN y QP son paralelos e iguales

NPMQ =)4,5(MQ = )4,5(NP = , los lados MQ y NP son paralelos e iguales

8. Dados los puntos A(3, 7), B(11, 3) y C(8, 2). Comprueba que los puntos A, B y C no estn alineados. Hallael valor de a para que el punto D(a, 9) est alineado con A y B (1 puntos)

Solucin:

5

4

3

14

( )4,14AB = ( )5,3BC =y A, B y C no estn alineados

4

6

14

11a

=

+

( )4,14AB = ( )6,11aBD +=Si D(a, 9) est alineado con A y B, y

4a + 44 = 84 4a = 40 a = 10

9. Expresa de todas las formas posibles, poniendo el nombre, la ecuacin de la recta que pasa por los puntos

A(2, 3) y B(1, 5)

Solucin:Una recta queda determinada por un punto y un vector paralelo a ella. Podemos tomar A(2, 3) y de vector

director == ABd

(1, 2). La pendiente ser m = 2

Ecuacin vectorial (x, y) = (2, 3) + t (1, 2) Ecuaciones paramtricas: += += t23y t2x

2

3y

1

2x =

+Ecuacin continua: Ecuacin general: 2x y + 7 = 0

Ecuacin explcita: y = 2x + 7 Ecuacin puntopendiente: )2x(23y ++=

10. Calcula las ecuaciones paramtricas, la ecuacin continua, la ecuacin general y la ecuacin explcita de la rectar en los siguientes casos:a) Pasa por los puntos: A(1, 2) y B(2, 1).

b) Pasa por el punto A(3, 4) y su pendiente vale m = 3 (1, 6 puntos)

Solucin:a) Una recta queda determinada por un punto y un vector paralelo a ella. Podemos tomar A(1, 2) y de vector

director == ABd

(1, 3). La pendiente ser m = 3

Ecuaciones paramtricas: Ecuaciones general: 3x y + 5 = 0

=

=

t32y

t1x

3

2y

1

1x

=+

Ecuacin explcita: y = 3x + 5Ecuacin continua:

b) A(3, 4), m = 3 (1, 3) es un vector de direccin de la recta.=d

Ecuaciones paramtricas: Ecuaciones general: 3x + y + 13 = 0

=

+=

34y

3x

3

4y3x

+

=+Ecuacin continua: Ecuacin explcita: y = 3x 13

11. Obtn las ecuaciones paramtricas de la recta, r, que pasa por P(3, 2) y es perpendicular a la recta


4/19


2x y + 4 = 0Solucin:

El vector (2, 1) es perpendicular a la recta 2x y + 4 = 0 por lo tanto ser un vector de direccin de lasrectas perpendiculares.

Ecuaciones paramtricas de la recta perpendicular a2x y + 4 = 0que pasa por P(3, 2):

=

+=

t2y

t23x:r

12. Calcula la ecuacin de la recta s que pasa por el punto P(2, 3) y es perpendicular a la recta r en los siguientescaso:

a) r: , b) r: 2x 3y + 7 = 0 c) r:

+=

=

21y

53x

4

2y

3

1x

=+

Solucin

)2,5(d =

a) r: un vector director de r:

+=

=

21y

53x, un vector perpendicular a r ser , al cual lo

podemos tomar como vector director de s, cuya ecuacin ser:

( 5,2 )

+=

+=

t53y

t22x

b) r: 2x 3y + 7 = 0 , un vector perpendicular a r es (2, 3) y por lo tato tendr la misma direccin que s, cuyaecuacin ser:

3

3y

2

2x

+

=

)4,3(d =

c) r:4

2x

3

1x

=+

un vector director de r: , un vector perpendicular a r ser , al cual lo

podemos tomar como vector director de s, cuya ecuacin ser:

( 3,4 )

3

3y

4

2x +=

13. Calcula la ecuacin de la recta, en forma genera y puntopendiente, que pasa por el punto P(2, 5) y es paralelaa la recta de ecuacin 6x + 3y 4 = 0. (1 puntos)

Solucin:

El haz de rectas paralelas a 6x + 3y 4 = 0 tiene de ecuacin 6x + 3y + k = 0. la recta buscada pasa por el puntoP(2, 5) 12 15 + k = 0 k = 3 la ecuacin de la recta es 6x + 3y + 3 = 0La pendiente de la recta es m = 2 la ecuacin puntopendiente: y = 5 2(x 2)

14. Dadas las rectas r: kx + 5y + 1 = 0 y s: 6x 3y + 8 = 0. Determinar k de modo que:a) r y s sean paralelas. b) r y s sean perpendiculares (1 punto)

Solucin:

)k,5(d =

)6,3(d =

yb) Si r y s son paralelas sus vectores directores tambin lo son son

proporcionales:6

k

3

5=

k = 10

)k,5(d =

c) Si r y s son perpendiculares y )6,3(d =

son perpendiculares 0dd =

15 + 6k = 0

a =25

615 =

15. a) Halla la ecuacin implcita de la recta que pasa por P(1, 2) y por el punto de corte de las rectas:x 2y + 3 = 0, 2x + y + 1 = 0

b)Determina la posicin relativa de la recta que has obtenido en a)con 2x + y + 1 = 0.

Solucin:

a)Hallamos el punto de corte de las dos rectas:

( )

1x1y55y

01y64y

01y3y22

3y2x

01yx2

03y2x

===

=++

=++

=

=++

=+

Tenemos que hallar la ecuacin implcita de la recta que pasa por los puntos(1, 2) y .( ))1,1


5/19


2

1

2

1

11

21m =

=

=La pendiente es:

( ) 03y2x1x4y21x2

12y =++=+=Por tanto:

b) Tenemos que hallar la posicin relativa de:

observamos que:

01y4x2

03y2x

=+

=+

1

3

4

2

2

1

=

Por tanto, las rectas son paralelas.

16. Calcula el ngulo formado por las rectas: y = 2x + 3 , y = 4x + 1

Solucin:

La pendiente de cada recta es:y = 2x + 3 pendiente=2y = 4x + 1 pendiente= 4Por tanto, si es el ngulo que forman las rectas:

( )( ) 56340857,07

6

7

6

81

24

421

24tg ====

+=+

=

17. Dados los puntos P(0, 4), Q(2, 5) y la recta r: 3x + y + 1 = 0, halla la distancia:a) Entre P y Q b) De Q a r.

Solucin:

( ) ( ) ( ) u514121,2PQQ,Pdist 22 =+=+===a)

( )( )

u1010

1010

10

10

19

156

13

1523r,Qdist

22===

+

+=

+

+=b) d

18. Dado el tringulo de vrtices A(2, 4), B(6, 5) y C(4, 1), halla:a) Las ecuaciones de las alturas que parten de A y de C.

b) El ortocentropunto de corte de las alturas.

Solucin:

a) Altura que parte de A:

Como es perpendicular a la recta que pasa porB y por C, para obtener su pendiente hacemos lo siguiente:

22

4

46

15m ==

=La pendiente de la recta que pasa porB y C es:

2

1La pendiente de la recta perpendicular es:

( ) 010y2x2x8y22x214y =++==As la ecuacin de la altura es:

Altura que parte de C:

4

1

26

45m =

=La pendiente de la recta que pasa porA y B es:

44/1

1=

La pendiente de la perpendicular es:

( ) 017yx416x41y4x41y =++==As, la ecuacin de la altura es:

b) El ortocentro es el punto de corte de las alturas:


6/19


( )

7

2410y2x

7

23

7

23y23y7

017y40y8

017y10y24

10y2x

017yx4

010y2x

=+=

=

==

=++

=++

+=

=+

=+

7

23,

7

24Por tanto el ortocentro es el punto

19. Halla la ecuacin de la mediatriz del segmento que tiene como extremo los puntos de corte de la recta3x + 4y 12 = 0 con los ejes de coordenadas.

Solucin:

1) Hallamos los puntos de corte de la recta 3x + 4y - 12 = 0 con los ejes de coordenadas:

x = 0 4 y 12 = 0 y = 3 Punto (0, 3)y = 0 3x 12 = 0 x = 4 Punto (4, 0)

2)

La mediatriz de un segmento es perpendicular a l y pasa por su punto medio.

2

3,2MEl punto medio del segmento de extremos(0, 3) y (4, 0) es:

4

3m

= La pendiente de la recta que une los puntos (0. 3) y (4, 0)es:

3

4

4/3

1m =

=La pendiente de su perpendicular es:

( )3

8

3

x4

3

2y2x

3

4

2

3y +=+=3.)La ecuacin de la mediatriz ser:

07y6x816x89y6 =+=

20. Halla el rea del tringulo de vrtices A(4, 0), B(2, 3) y C(0, 2)

Solucin

( ) 204162,4AC =+==1) Tomamos el lado AC como base:

2) La altura ser la distancia de B a la recta, r que pasa porA y C.

Hallamos la ecuacin de la recta.

2

1

4

2

40

02pendiente =

=

= ( ) 04y2x:r4xy24x2

1 y ===

( )

( ) 5

8

41

462

21

4322r,BdistPor tanto: altura

22

=

+

=

+

==

3) El rea ser:

2u82

82

2

84

2

5

820

2

alturabaserea =

=

=

=

=

21. Halla el punto simtrico de P(2, 3) con respecto a la recta r: 3x y + 5 = 0.

Solucin:P

M

P

r1)Hallamos la ecuacin de la recta, s, perpendicular a r que pasa por P:

Pendiente de r y=3x + 5 m=3

3

1larperpendiculadePendiente


7/19


( ) 011y3x2x9y32x3

13y =++==La ecuacin de s ser:

2)Hallamos el punto, M, de interseccin de r y s:

y311x011y3x

05yx3=

=+

=+( ) y103805yy93305yy3113 ==+=+

5

2

5

5711y311x

5

19

10

38y

=====

.5

19,

5

2MespuntoEl

3) Si llamamos P(x, y) al simtrico de P con respecto a r, M es el punto medio del segmento que une Pcon P'.Por tanto:

5

14x14x5410x5

5

2

2

2x===+

=

+

5

23y23y53815y5

5

19

2

3y===+=

+

5

23,

5

14P:Luego

22. Dados el punto P(k, 1) y la recta r: 3x 4y + 1 = 0, halla el valor de k para que la distancia de P a r sea 3.

Solucin:

( )( )

35

3k3

25

3k3

169

3k3

43

14k3r,Pdist

22=

=

=

+

=

+

+=

====

====

4k12k3153k335

3k3

6k18k3153k335

3k3

Hay dos soluciones: k1= 6; k2=4

23. Dados los puntos A(2, 1) y B(1, 3), halla las rectas que pasan por A y distan dos unidades de BSolucin:

La ecuacin de cualquier recta que pasa por A ser de la forma (punto pendiente) y 1 = m (x + 2) m (x + 2) y + 1 = 0. mx y +1 + 2m

=+

++

1m

m213m

22

1m

2m3

2=

+

1m22m3 2 += .L a distancia de esta recta a B d =

Elevando al cuadrado: (3m 2)2 = 4 (m2 + 1) 9m2 12m +4 = 4m2 + 4 5m2 12m = 0 m(5m 12) = 0

=

=

5

12m

0m. Las rectas pedidas son: y = 1 y 12x 5y + 29 = 0

24. Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado estn sobre las rectas:r: 2x 3y+4=0 s: 2x 3y+ 1 =0

Calcula el rea de dicho cuadrado.

SolucinAunque no sepamos dnde est situado exactamente el cuadrado, s sabemos que la longituddel lado es la distancia entre las dos rectas.Para calcular esta distancia, tomamos un punto, P, de s y hallamos su distancia a r.

1

4

3

3

2

2

=(Previamente hemos observado que r y s son paralelas, puesto que )

Obtenemos un punto, P, de s. Por ejemplo: x=1 2 3y+ 1 = 0 3 = 3y y= 1Tomamos entonces P(1, 1) y calculamos su distancia a la recta r:

( )( ) 13

394

232432r,Pdist

22=

+=

++=


8/19


( ) 22

2 u69,013

9

13

3ladorea =

==

13

3. Y, su rea ser:Por tanto el lado del cuadrado es:

Ejercicios de Geometra

1. Encontrar las ecuaciones implcitas y la ecuacin general del plano que contiene a la recta r: (x, y,z) = (1, 2, 0) + t(1,1, 3) y al punto Q(2,1,5).

Solucin : Como el punto Q no pertenece a la recta, el plano quedardeterminado por un punto, por ejemplo Q(2,1,5) o un punto P(1,2, 0) de larecta, un vector director de la recta

P=v

(1, 1, 3) que ser paralelo al plano

y el vector (3, 1, 5). Las ecuaciones paramtricas del plano sern:=PQ

z

x

++=

=

++=

t5t30

st2y

s3t1

0

513

311

z2y1x

=

+

. La ecuacin implcita ser:

o si simplificamos: x + 2y + z 5 = 0010z2y4x2 =++

2. Halla un plano paralelo a : 2xy +3z 1=0 y que pase por el punto P(5,0,1)

Solucin: Si buscamos otro plano de modo que // , los vectores normales tambin sernparalelos y podemos usar el mismo: == n)3,1,2(n

luego : 2x y + 3z + D = 0. Para hallar D

utilizaremos que P 25 0 + 3 + D = 0 D = 13, y el plano buscado es . 2xy +3z13=0

3. Estudiar la posicin relativa de los planos y

=

=

++=

stz

t2y

st31x

:1 03zy2x:2 =+++

:Solucin: Vamos a calcular la ecuacin general o implcita de 1

101

123

zy1x

= 2x + 4y + 2z 2 = 0. Las ecuaciones de los dos planos en implcitas son:

=+++

=++

03zy2x

02z2y4x2

3

2

1

2

2

4

1

2 == los planos son paralelos y distintos.

4. Estudiar la posicin relativa de los planos segn los valores del parmetro m:

=++

=++

=++

2mmzyx

mzmyx

1zymx

Solucin:

02m3m

m11

1m1

11m3 =+=

=

m11

1m1

11m

M ; ; | M | =

=2

*

mm11

m1m1

111m

M

=

=

2m

1m

*a) Si m 1 y m 2, rango M = rango M = 3 los tres planos se cortan en un punto

b) Si m = 1, ; M , rango M = rango M

=

111

111

111

M

=

1111

1111

1111* = 1 los tres planos coinciden.*

c) Si m = 2; ,

=

211

121 112M 021

12

rango A = 3


9/19


0

411

221

112

=

4211

2121

1112

M* *, rango M =3

* = 3 los tres planos no tienen ningn punto en comn.Rango M = 2 rango M

021

12

0

11

12

0

11

21

Como , , , los planos se cortan dos a dos en una recta.

=+

=+=

1z3yx:1z

21y

11x:r5. Estudiar la posicin relativa de la recta y el plano siguientes:

Solucin: Las ecuaciones implcitas de la recta1

z

2

1y

1

1x:r =

+=

son: y el sistema queda

de la siguiente forma . Como rango M = rango = 2 y rango M

=

=

1zx

3yx2:r

311

101

012

=+

=

=

1z3yx

1zx

3yx2* = rango

= 3 el sistema es incompatible la recta y el plano son paralelos.

13111101

3012

6. Halla la ecuacin de la recta que pasa por el punto P(1, 1, 3) y es perpendicular al plano:.02zy2x =+

)1,2,1(n =

Solucin: Un vector director de la recta ser paralelo al vector normal del plano: por lo

tanto la ecuacin de la recta ser:1

3z

2

1y

1

1x +=

=

7. Hallar la ecuacin del plano que contiene al punto A( , , )0 2 1 y es perpendicular a la recta

r: 12z

3

1y

2

1x =

+=

Solucin: El vector normal del plano ser paralelo al vector director de la recta, por lo tanto podemostomar como vector normal

n : 2x + 3y + z + D = 0 y como el punto pertenece

al plano: 6 + 1 + D = 0 D = 5 : 2x + 3y + z + 5=0)1,2,0(A = ( , , )2 3 1

8. Halla la ecuacin del plano que pasa por los puntos A(2, 1, 0) y B(0, 1, 3) y es perpendicular al plano2x y + z 4 = 0

Solucin: El plano buscado es paralelo a los vectores AB y)3,0,2(=

v

= (2,

1, 1), vector normal del plano dado. Por lo tanto quedar determinado por A,

y y su ecuacin ser:

v

AB

AB

x

+=

=

+=

st3z

s1y

s2t22

0

z13

1y10

2x22

=

v 3x + 8y

+ 2z 14 = 0

9. Halla la ecuacin implcita del plano que es perpendicular al plano

1

4z

2

3y

3

x =

=2z4yx5: =+ y contiene la recta r: .

Solucin: Como el plano que buscamos es perpendicular al plano , el vector normal de ,)4,1,5(n =

ser paralelo al plano . Como el plano contiene a la recta r, su vector director v

= (3,

2, 1) ser paralelo a , y por lo tanto podemos tomar como vector caracterstico de al vector


10/19

GABRIEL SANHUEZA DAROCH MATEMTICA ARQUITECTURA(UBB) EJERCICIOS DE VECTORES - 10-

( )7,7,741-5

12-3

kji

nxvn ===

o al vector (1, 1, 1). El plano : x y + z + D = 0 contiene a

la recta r y por lo tanto a todos sus puntos, entre ellos est (0, 3, 4) 3 + 4 + D = 0 D = 1 elplano buscado tiene de ecuacin: 01zyx =+ .

10. Halla el punto simtrico de (1, 2, 5) respecto del plano x + 2y + z = 2Solucin:a) Se halla la recta r que pasa por el punto P y es perpendicular al plano

Un vector caracterstico o normal al plano ser (1, 2, 1), el cual tendr la misma direccin que losvectores directores de la recta r, por lo tanto podemos coger como vector director de r a )1,2,1( .

La recta r que pasa por P y es perpendicular al plano ser:

+=

+=

+=

t5z

t22y

t1x

b) Se calcula el punto M de interseccin de r: y del plano x + 2y + z = 2:

+=+=

+=

t5zt22y

t1x

(1 + t) + 2(2 + 2t) + (5 + t) = 2 t = 1 M(2, 0, 4)

c) Si P(x, y, z) es el punto simtrico de P(1, 2, 5) respecto del plano, M(2, 0, 4) ser el puntomedio del segmento PP.Hallamos x, y, z

==+

==+

==+

3z42

y5

2y02

y2

3x22

x1

. El punto buscado Pes: P(3, 2, 3)

3

5zyx

+== .11. Halla el punto simtrico de P(1, 2, 3) respecto de la recta

Solucin: Sea Q el simtrico de P respecto de la recta r.a) Hallaremos el plano que contiene a P y es perpendicular

a r. El vector caracterstico de es paralelo a la recta, porlo tanto podemos tomar )3,1,1(n =

y la ecuacin del

plano es de la forma x + y + 3z + D = 0, como contiene al

punto P(1, 2, 3) 1 + 2 + 9 +D = 0 D = 12 012z3yx: =++ .

b) Obtenemos el punto M interseccin de y r (r enparamtricas)

M

Q

r

v

t + t + 3(5 + 3t) 12 = 0 11t 27 = 0 t = 27/11

=++

+=

=

=

012z3yx:t35z

ty

tx

:r11

26

11

2735z,

11

27y,

11

27=+=== x

11

26,

11

27,

11

27MPor lo tanto, es

c) Si Q(a, b, c) es el simtrico de P respecto de r, M es el punto medio del segmento PQ, luego:

11

27

2

a1=

+11

43a =

11

27

2

b2=

+11

32

11

26

2

c3=

+11

19c = ; b ; =


11/19


11

19,

11

32,

11

43QPor lo tanto el punto simtrico de P respecto de r es

12. Hallar la proyeccin ortogonal del punto P (1, 0, 4) sobre el plano: 2x y + z + 2 = 0

Solucin: Para hallar Q (proyeccin ortogonal de P sobre el plano ) primero hallaremos la ecuacin de larecta r perpendicular al plano que pasa por P y despus obtendremos Q como punto de corte de dicha rectar con el plano .

Los vectores directores de la recta que pasa por el punto P(1, 0, 4) y esperpendicular al plano tendrn la misma direccin que los vectores normales delplano. Por lo tanto podemos tomar como vector director de la recta: =v

(2, 1, 1)

y su ecuacin ser: .

+=

=

+=

t4z

ty

t21x

:r

El punto de interseccin de y es: 2 (1 + 2t) (t) + (4 + t) + 2 = 0 2 + 4t + t

+ 4 + t + 2 = 0

P

3

4t

= . Luego el punto Q tiene de coordenadas

3

8,

3

4,

3

5Q .

13. Hallar la ecuacin de la proyeccin de la recta3z

11y

2xr == sobre el plano de ecuacin:

.04zy2x =++Solucin: La proyeccin de la recta r sobre se obtiene calculando la

proyeccin ortogonal de dos puntos de r sobre el plano.P

M

Como r y se cortan en un punto M, uno de los puntos puede ser M.

=

+=

=

t3z

t1y

t2x

:r)1,2,1(n

04zy2x:

=

=++P

Interseccin de r y : 2t +2(1 + t) 3t + 4 = 0 M(12, 5, 18) Un punto de r es P(0, 1, 0). Vamos a hallar su proyeccin sobre , para elle calculamos la recta perpendicular a

que pasa por P: .

=

+=

=

tz

t21y

tx

El punto P proyeccin de P sobre el plano ser la interseccin de esta recta con :2t + 2 (1 + 2t) + t + 4 = 0 t = 1 P(1, 1, 1).La recta buscada es la que pasa por Py M y su ecuacin ser:

=

)19,4,11(PM

)18,5,12(M

19

18z

4

5y

11

12x +=

+=

+

14. Dados el punto A(0, 1, 3) y la recta r determinada por los puntos B(0, 0, 1) y C(2,1, 3), se pide:a) Ecuacin de la recta r. [0,5 puntos]

b)Ecuacin general del plano determinado por A y r. [1 punto]c) Halla la proyeccin ortogonal del punto A sobre la recta r. [1 punto]Solucin:a) La recta r determinada por los puntos B(0, 0, 1) y C(2,1, 3): es la determinada por un punto , por

ejemplo, B(0, 0, 1) y es paralela al vector BC = (2, 1, 2) y por lo tanto sus ecuaciones

paramtricas son:

+=

=

=

t21z

ty

t2x

b) El plano buscado ser el determinado por los puntos A, B y C. En vector caracterstico o normal del plano ser perpendicular a los vectores n

= (0, 1, 4) yBA BC = (2, 1, 2) y por lo tanto =


12/19


212

410

kji

x =BA BC = 2i 8j 2k, x 8y 2z + D = 0 y como, por ejemplo, el punto B(0,

0, 1) pertenece al plano 2 + D = 0 D = 2 y la ecuacin implcita del plano es: 2x 8y 2z +2 = 0 o si simplificamos x + 4y + z 1 = 0

c) Hallamos el plano que pasa por A y es perpendicular a r. La interseccin de dicho plano con la

recta r nos dar la proyeccin de A sobre rEl vector normal del plano ser paralelo al vector director de la recta, por lo tanto podemos tomarcomo vector normal )2,1,2(n =

2x y + 2z + D = 0 y como el punto pertenece al

plano: 1 6 + D = 0 D = 7 : 2x y + 2z + 7 = 0)3,1,0(A

Obtenemos el punto P proyeccin de A sobre r como interseccin de r con :

=++

+=

=

=

07z2yx2:

t21z

ty

t2x

2(2t) (t) + 2(1 + 2t)+ 7 = 0 9t + 9 = 0 t = 1 y por lo tanto el punto

es (2, 1, 1)

1

z1

2

y

0

1x2 ==

15. Hallar la ecuacin del plano paralelo a la recta r: y que contiene a la recta s:

(1,2,1).

1

1z

2

y

02

1x

==

Solucin: La ecuacin en forma continua de la recta r es y un vector paralelo a la

recta )1,2,0(v =

. La ecuaciones paramtricas de la recta s son , un punto de ella es A(1, 0,

1) y un vector director

=

=

=

1z

2y

1x

=w (1, 2, 0).Los vectores directores de las rectas sern paralelos al plano y un punto del plano es A. El plano quedadeterminado por A(1, 0, 1), )1,2,0(v =

y =w

(1, 2, 0) y sus ecuaciones paramtricas sern:

.

=

+=

=

t1z

s2t2y

s1x

=n

v

w

v

w

Otra forma: el vector normal del plano ser perpendicular a y x = (2, 1, 2) laecuacin general o implcita del plano es de la forma 2x + y +2z + D = 0 y como A(1, 0, 1) pertenece al

plano 2 + 2 + D = 0 D = 4 la ecuacin del plano es 2x + y +2z 4 = 0

1

1z

2

y

2

4x

=

=

16. Dada la recta r: y los puntos A(1, 1, 2) y B(1, 3, 0), se pide:

a) La ecuacin en forma continua de la recta s paralela a r que pasa por el punto medio de AB.

b) Halla el punto de r cuya distancia a A sea mnima.

Solucin:

w

a) Punto medio del segmento AB: M (0, 2, 1). El vector director de la recta s paralela a r tendr lamisma direccin que el de r: v

= (2, 2, 1), por lo tanto podemos tomar w

= v

. La ecuacin en forma

continua de la recta s paralela a r que pasa por el punto medio de AB ser: 1

1z

2

2y

=2

x

=

.


13/19


b) Las ecuaciones paramtricas de r son: y un punto cualquiera de r ser de la forma: P

(4+2t, 2t, 12t) . El punto P de r cuya distancia a A sea mnima estar en la recta perpendicular a rque pasa por A

=

=

+=

t21z

t2y

t24x

v

0vAP =

ser perpendicular a r ser perpendicular a .AP AP AP = (2t +3, 2t 1, t 1)

09t91t2t46t4vAP =+=+++++= t = 1 2)2,,2(P

17. Halla la ecuacin de la recta que pasa por el punto P(2, 1, 0) y corta perpendicularmente a la recta

=

=

=

tz

ty

t2x

:r

Solucin:a) Hallamos el plano que pasa por P y es perpendicular a r: El vector caracterstico del plano ser

paralelo al vector director de r por lo tanto podemos

tomar )1,1,2(vn ==

Mr

v

n 2x + y + z + D = 0, como pasapor el punto P(2, 1, 0) 4 + 1 + D = 0 D = 3

03zyx2: =+++ b) Hallamos M, punto de interseccin de y r.

4t + t + t + 3 = 0

=+++

=

=

=

03zyx2:tz

ty

t2x

:r

2

1t

=

2

1,

2

1,1M

2

1,

2

1,1Mc) La recta buscada es la que pasa por P(2, 1, 0) y

2/1

z

21

1y

1

2x

=

=+

18. Determinar la ecuacin de la recta que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a las rectasde ecuaciones.

3z3

9y

2

6x:r =

=

y

+=

=

+=

t1z

t1y

t44x

:s

u

Solucin: La recta est determinada por el origen de coordenadas O(0, 0, 0) y un vector director quesea perpendicular a )1,3,2(v =

)1,1,4(w =

== wxvu

y , vectores directores de las rectas r y s. (

4, 2, ). Por lo tanto la ecuacin ser:14

z

2

y

4

x

== .14

19. Determina el valor de a para que la recta r de ecuaciones: sea paralela al plano de

ecuacin: x + 2y 2az = 5

=+

=++

5z2y

03y2x

)a2,2,1(n =

v

Solucin: Un vector caracterstico o normal del plano es: .El vector lo podemos obtener


14/19


poniendo r en paramtricas:

=+

=++

5z2y

03y2x,z25y = z413z4103y23x +=+==

=

=

+=

tz

t25y

t413x

( )1,2,4v =

.

n

0nv =

0a244nv ==

v

La condicin de paralelismo de r y es que y sean ortogonales: , a= 0.

20. Dadas las rectas r1: y r

=+

=+

3zy2x

1z4y3x2:

=++

=+

1zyx

2z3yx32

a) Probar que se cortanb) Dar la ecuacin del plano que contiene a ambas rectas.Solucin:

*A

1

2

3

1

A

111

313

121

432

1

2

1

3

111

313

432

121

2

7

7

3

030

670

670

121

a)

=++

=+

=+

=+

1zyx

2z3yx3

3zy2x

1z4y3x2

7

0

7

3

1800

000

670

121

0

7

7

3

000

1800

670

121

Rango A = rango A* = 3 = nmero de incgnitas

(sistema compatible determinado) las dos rectas se cortan en un punto que es la solucin del

sistema:

18

7,3

2,18

23

18

7z = 3

2y

= 18

23x =, , El punto es P

b)El plano que contiene a las dos rectas queda determinado por un vector normal al mismo, que

ser perpendicular a los vectores directores de r

18

7,

3

2,

18

23y r , y un punto P1 2

Como las rectas vienen dadas como interseccin de dos planos, su vector director ser perpendicular alos vectores normales de los dos planos que determinan la recta.

=

121

432

kji

1v

1v

Vector director de r : // (2, 3, 4) x (1, 2, 1) = 5i 6j 7k, puedo tomar como1 =

(5, 6, 7) o cualquiera que sea proporcional a l.

=

111

313

kji

2v

2v

Vector director de r : // (3, 1, 3) x (1, 1, 1) = 4i 6j + 2k, puedo tomar como1 = (2,

3, 1)n

El vector normal al plano que contiene a las rectas es perpendicular a los vectores directores de las

rectas por lo tanto =

132

765

kji

n

n

1v

2v

// x = 27i 9j + 27k, podemos tomar como = (3, 1,

3). La ecuacin del plano es de la forma 3x + y 3z + D = 0, como contiene al punto P

187,

32,

1823

0D18

73

3

2

18

233 =+ 0D

18

36=+ D = 2 la ecuacin del plano es 3x + y 3z 2 = 0.


15/19


21. Demostrar que las rectas r: y s: se cruzan, cualquiera que sea el valor del parmetro

a.

=

=

0z

0y

=

=

5z

0ayx

Solucin:

Ecuaciones paramtricas de r: , un punto A (0, 0, 0) y un vector director

==

=

0z 0y

x

v

=(1, 0, 0)

Ecuaciones paramtricas de s: , un punto B(0, 0, 5) y un vector director

=

=

=

5z

y

ax

w

=(a, 1, 5)

w

t v

, rango { v

w

v

w

Cualquiera que sea el valor de a , } = 2, y tiene distinta direccin, por lotanto las rectas se cortan o se cruzan.

v

w

Consideremos el vector =(0, 0, 5), si det ( , ,AB AB ) = 0 los tres vectores sern linealmente

dependiente estn en el mismo plano las rectas se cortan. Si det ( v

w

, , AB ) 0 los tresvectores sern linealmente independientes las rectas no estarn en el mismo plano se cruzan.

05

500

01a

001

= , el determinante es distinto de cero para cualquier valor de a las recta se cruzan.

22. Halla el ngulo que forman los planos: x + y + z = 0 y x 2y + 3z + 4 = 0Solucin:

)1,1,1(n =

El vector caracterstico de x + y + z = 0 es

nEl vector caracterstico de x 2y + 3z + 4 = 0 es = (1, 2 , 3)

222222 3)2(1111

321

nn

nn

++++

+=

4221432 = 42

2Cos = = = arc cos

23. Cul es el ngulo que determinan la recta y el plano x + y z + 1 = 0

=+

=

01z3y

03y2x

==+

==

)3,1,0(n01z3y

)0,2,1(n03y2x

nxnv =

Solucin: Un vector director de la recta es

310

021

kji

v

= = kj3i6

++ = (6, 3, 1).v

)1,1,1(n =

Un vector caracterstico del plano x + y z + 1 = 0, es

nv

nv

138

8

346

136=

+

138

8Sen = = = arc sen

24. Hallar el ngulo que forman el plano 1 determinado por las rectas: 2z3

3

yx:r

== y

con el plano

=

+

+=

t3z

t1y

t1x

:s

de ecuacin. 2x y + z = 1.2Solucin:

=v wEl plano quedar por un punto (0, 0, 3)de r y un vector perpendicular a: (1, 3, 2) y1 =(1, 1, 1),vectores directores de r y s respectivamente:


16/19


17/19


0z2yx2

122

101

zyx

=++=

.

39

9

414

902002==

++

++Los planos y son paralelos, entonces: d( ,) = d(O, ) =

29. Halla la distancia entre las rectas r: y s:

=

+==

3z

1y2x

=+=

0zy

01y2x

Solucin:=v

w

(2, 1, 1) y el de sEl vector director de r = (1, 2, 0) x (0.1, 1) = (2, 1, 1) son proporcionalespor lo tanto las rectas tiene la misma direccin. Como A(0, 1, 3) r Ar r y s son paralelas. Ladistancia de r a s es igual a la distancia de un punto A r a s.

=AB (1, 1, 3).Tomamos un punto B de s haciendo z = 0 B(1, 0, 0),

.89,26

50

w

wxAB

)s,A(d)s,r(d ===

Recta que se apoya en otras dos y pasa por un punto

30. Dado el punto P(1, 1, 1) y las rectas: y . Calcula las ecuaciones de la recta que

pasa por el punto P y corta a r y s.

=

=

=

k2z

k3y

kx

:s

+=

=

+=

t21z

t2y

t1x

:r

Solucin:La recta que buscamos la podemos hallar como interseccin de los planos plano que pasa por P y

contiene a r, y , plano que pasa por P y contiene a la recta s.

1

2

=

=

010

211

1z2y1x

1)2,1,1(v =

:queda determinado por A(1, 2, 1), y )0,1,0(AP = 1

01zx2 =

=

=

111

131

2zyx

2)1,3,1(w =

: queda determinado por B(0, 0, 2), y )1,1,1(BP =

. La recta buscada es:

2

=+

=

04z2x2

01zx204z2x2 =+

Otra forma: Sean A y B los puntos en los que la recta buscada corta a r y s respectivamenteSea A un punto cualquiera de r: A t2,t1( + )t21, + y B uno de s:B ( .)k2,k3,k

r

s

P

A

B

,)t2,t1,t( =PA )k1,1k3,1k(PB . yPA PB= tienen la misma direccin

son proporcionales:k1

t2

1k3

t1

1

t

=

=k

A(1, 2, 1) y B(1, 3,

1).

=

=

1k

0t

La recta buscada es la que pasa por A y B.


18/19


Perpendicular comn a dos rectas que se cruzan

2

3z

1

1y

0

x +=

=

3

z

1

1y

1

1x=

+

=

31. Comprueba que las rectas r: y s: se cruzan y halla la ecuacin de la

perpendicular comn a ambas.Solucin:

2

3z

1

1y

0

x +=

= =v

, un punto A(0, 1, 3) y un vector director (0, 1, 2)r:

3

z

1

1y

1

1x=

+

=

=w

, punto B(1, 1, 0) y un vector director (1, 1, 3)s:

=v

=w

(0, 1, 2) yLos vectores (1, 1, 3) no son proporcionales, son linealmente independientes, por lo

tanto las rectas se cortan o se cruzan. Sea v

w

AB AB= (1, 2, 3), si rango { , , } = 2 (esto es

equivalente a que det ( , ,v

w

AB) = 0) entonces las rectas se cortan pero si rango { , ,v

w

AB} = 3

(det ( , ,v

w

AB) 0) las rectas se cruzan.

=

321

311

210

2 0 las rectas se cruzan.

wxvu

=Un vector director de la perpendicular comn a ambas rectas ser: = (5, 2, 1)La perpendicular comn la podemos obtener como interseccin delos planos y .Plano determinado por A(0, 1, 3) , =v

(0, 1, 2) wxv

= (5, 2, 1)

(plano que contiene a r y a la perpendicular a r y s)

12

21

3z1y

+

5

0

x

= 0 5x + 10y 5z 25 = 0 : x 2y +

z + 5 = 0

wPlano determinado por B(1, 1, 0), =

(1, 1, 3) y wxv

= (5, 2,

1) (plano que contiene a s y a la perpendicular a r y s)

s

r

125

311

z1y1x

+

= 0 : 5x 16y 7z 21

= 0

Por tanto la ecuacin de la perpendicular comn es:

=

=++

021z7y16x5

05zy2x

Otra forma (por puntos genricos)Vamos a hallar los puntos R y S en los que la perpendicular comn p corta a r y y a s.

Ecuaciones paramtricas de r: , un punto genrico de r es de la forma A(0,1+,3+2)

+=

+=

=

23z

1y

0x

Ecuaciones paramtricas de s , un punto genrico de s es de la forma (1+, 1, 3)

=

=

+=

3z

1y

1x

Un vector genrico de origen en r y extremo en s es = (1+, 2, 32+3)RS

RSEste vector debe ser perpendicular a r y s:=v

(1+, 2, 32+3) (0, 1, 2) = 0 2+64+6=0 5 5 = 4RS

=w

(1+, 2, 32+3)(1, 1, 3)=0 1++2+++96+9=0 5 +.11 = 12RS


19/19


=

=

3

415

8

15

61,

15

7,:

=+

=

12115

455

15

83,

15

81,0R; los puntos son = 0 y

+3

43,

3

41,

3

41S

4,3

1,

3

1

=15

1,

15

2,

3

1RS= , . , para el vector normal a las dos recta

podemos tomar RS o cualquiera que sea proporcional a l, por ejemplo (5, 2, 1).

1

4z

23

1y

53

1x

+=

=

+Las ecuaciones de la perpendicular comn:

90_vectores_ejercicios_resueltos

Documents

Transcript of 90_vectores_ejercicios_resueltos