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GABRIEL SANHUEZA DAROCH MATEMTICA ARQUITECTURA(UBB) EJERCICIOS DE VECTORES - 1 -
UNIVERSIDAD DEL BO-BOFACULTAD DE CIENCIASDEPARTAMENTO MATEMTICA
GUIA DE APOYO MATEMTICA ARQUITECTURA 2005PROFESOR GABRIEL SANHUEZA DAROCH
Ejercicios de Vectores
1. a) Halla el punto Q simtrico de P(1, 2) respecto del punto H(2, 5).b) Halla n para que el punto S(4, n) est alineado con los puntos A(3, 4) y B(7, 2)w
u
c) Dados = (15, 2), = (3, 1) y = (6, 7), calcula m y n para queu
v
w
= m + n v
Solucin:
22
1x=
+a) Si P(x , y) es el simtrico de P respecto de H H es el punto medio del segmento PP
y 12y52
2y==
el punto buscado es P3x = (3, 12)
( )6,4AB = ( )2n,3BS = tienen la misma direccin yb) Si S(4, n) est alineado con A y B,
6
2n
4
3 =
2
5
4
10n ==18 = 4n 8 4n = 10
27m921n3m6
6n3m15
==+
=c) = m + n (6, 7) = m (15, 2) + n (3, 1)
=+
=
7nm2
6n3m15w
u
v
m = 3 n = 7 + 2m = 7 + 6 = 13
u
v
= (2, 1) y = (5, x).2. Dados los vectoresv
u
sea igual a 3 | |.a) Calcula x para que el mdulo deb) Calcula x para que sean paralelos
Solucin:
v u u 53x25 2 =+5 2 2 20x =a) = 3 | | , como | | = 25 + x = 45 x = 20
b) Siu y son paralelos = k
v
v
u
1
x
2
5
=
2
5x =
u
= (2, 1) .2. Halla un vector unitario que tenga la misma direccin y sentido queSolucin:
w
1w =
Si tiene la misma direccin que = kw
w
u
u
1kk4 22 =+ = (2k, k) y como
k5 2 = 1
5
1k =
Si 5
1k= =w
u
5
1,5
2tiene la misma direccin y sentido que
Si5
1k = =w
u
5
1,
5
2tiene la misma direccin y sentido opuesto a
514u =+=
, un vector unitario con la misma direccin y sentido que u ser:
Otra forma:
=
5
1,
5
2
|u|
u
u
3. a) Halla un vector perpendicular a = (5, 12) que tenga por mdulo 5. Cuntas soluciones hay?u
b) Halla las coordenadas de un vector con la misma direccin que = (3, 4) pero de mdulo 10. Cuntassoluciones hay?
Solucin:
w
a) = (x, y) es perpendicular a u = (5, 12) w
12
x5y =
u
= 0 5x + 12 y = 0
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GABRIEL SANHUEZA DAROCH MATEMTICA ARQUITECTURA(UBB) EJERCICIOS DE VECTORES - 2 -
12
x5y =Si el mdulo de es 5 w
5yx 22 =+ . Sustituyendo25yx 22 =+ obtenemos
25144
x25x
22 =+
13
60
169
360x ==
169
3600x2 = 14425x25x144 22 =+ .
Si13
60x = y =
13
25 =w
13
60x =
13
25
13
25,
13
60
13
25,
13
60w
= y =. Si
Por lo tanto hay dos soluciones b) Siw tiene la misma direccin que
w
w
u
u
10w =
10k16k9 22 =+= k = (3k, 4k) y como
25 k2 = 10 k2 = 4 k = 2w
Si k = 2 = (6, 8). Si k = 2 w
= (6, 8). Por lo tanto hay dos soluciones
b
4. a) Expresa los vectores a ,
y como combinacin lineal dec
u
v
y :
b) Dados = (15,2), = (3, 1) y = (6, 7). Calculau
v
w
wv3
1u2
(1 punto)
Solucin:
a) =a
u
+ v
; =b
u2
1 +2 v
; = c
u
v
+ 2
( ) ( ) )7,6(1,33
12.152
( )
3
467
3
911867,6
3
13,31 ==
=b)
)4,3(u =
5. Dado el vector , halla:
( )1,2v =a) El ngulo que forma con
b) El valor de k para que ( k,2w = ) sea perpendicular u
Solucin:
894,05
52
55
10
14169
46
vu
vuv,ucos
=
=
++
=
=
662153v,u =
a)
b) Para que y sean perpendiculares, su producto escalar ha de ser cero:u
v
( ) ( )2
3
4
6k0k46k,243,wu ===+==
)1,a(x =
)b,2(y =
x
y
6. Dados los vectores e , halla los valores de a y de b para que e sean perpendiculares, y
que 22y =
.
Solucin:
22y =
Calculamos el valor de b teniendo en cuenta que
( )
=
==
==+=+=+=
2b
2b4b
4b8b422b4b2y
2
1
22222
Hay dos posibles valores para b: b1 =2 y b2= 2x
y
Hallamos a teniendo en cuenta que e han de ser perpendiculares (su producto escalar ser cero)er 1 Caso:b = 21
( ) ( ) 1a02a22,21,ayx 1 ====
2 Caso:b = 2 2
( ) ( ) 1a02a22,21,ayx2
==+==
Por tanto las soluciones son dos:
=
=
=
=
2b
1ay
2b
1a
2
2
1
1
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GABRIEL SANHUEZA DAROCH MATEMTICA ARQUITECTURA(UBB) EJERCICIOS DE VECTORES - 3 -
7. Consideramos el cuadriltero de vrtices A(1, 2), B(7, 4), C(9, 6) y D(3, 4):
AC BDa) Escribe las coordenadas y los mdulos de los vectores y .b) Halla los puntos medios M, N, P y Q de los lados del cuadriltero y demuestra que el nuevo cuadriltero
MNPQ es un paralelogramo.Solucin:
16464100 =+AC AC= ( 10, 8) | | =a)
BD BD 16464100 =+= (10, 8) | | =b) M (3, 3), N(8, 1), P(3, 5) y Q(2, 1)
Si MNPQ es un paralelogramo tendr los lados paralelos e iguales dos a dos:
QPMN =)4,5(MN = )4,5(QP =, los lados MN y QP son paralelos e iguales
NPMQ =)4,5(MQ = )4,5(NP = , los lados MQ y NP son paralelos e iguales
8. Dados los puntos A(3, 7), B(11, 3) y C(8, 2). Comprueba que los puntos A, B y C no estn alineados. Hallael valor de a para que el punto D(a, 9) est alineado con A y B (1 puntos)
Solucin:
5
4
3
14
( )4,14AB = ( )5,3BC =y A, B y C no estn alineados
4
6
14
11a
=
+
( )4,14AB = ( )6,11aBD +=Si D(a, 9) est alineado con A y B, y
4a + 44 = 84 4a = 40 a = 10
9. Expresa de todas las formas posibles, poniendo el nombre, la ecuacin de la recta que pasa por los puntos
A(2, 3) y B(1, 5)
Solucin:Una recta queda determinada por un punto y un vector paralelo a ella. Podemos tomar A(2, 3) y de vector
director == ABd
(1, 2). La pendiente ser m = 2
Ecuacin vectorial (x, y) = (2, 3) + t (1, 2) Ecuaciones paramtricas: += += t23y t2x
2
3y
1
2x =
+Ecuacin continua: Ecuacin general: 2x y + 7 = 0
Ecuacin explcita: y = 2x + 7 Ecuacin puntopendiente: )2x(23y ++=
10. Calcula las ecuaciones paramtricas, la ecuacin continua, la ecuacin general y la ecuacin explcita de la rectar en los siguientes casos:a) Pasa por los puntos: A(1, 2) y B(2, 1).
b) Pasa por el punto A(3, 4) y su pendiente vale m = 3 (1, 6 puntos)
Solucin:a) Una recta queda determinada por un punto y un vector paralelo a ella. Podemos tomar A(1, 2) y de vector
director == ABd
(1, 3). La pendiente ser m = 3
Ecuaciones paramtricas: Ecuaciones general: 3x y + 5 = 0
=
=
t32y
t1x
3
2y
1
1x
=+
Ecuacin explcita: y = 3x + 5Ecuacin continua:
b) A(3, 4), m = 3 (1, 3) es un vector de direccin de la recta.=d
Ecuaciones paramtricas: Ecuaciones general: 3x + y + 13 = 0
=
+=
34y
3x
3
4y3x
+
=+Ecuacin continua: Ecuacin explcita: y = 3x 13
11. Obtn las ecuaciones paramtricas de la recta, r, que pasa por P(3, 2) y es perpendicular a la recta
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2x y + 4 = 0Solucin:
El vector (2, 1) es perpendicular a la recta 2x y + 4 = 0 por lo tanto ser un vector de direccin de lasrectas perpendiculares.
Ecuaciones paramtricas de la recta perpendicular a2x y + 4 = 0que pasa por P(3, 2):
=
+=
t2y
t23x:r
12. Calcula la ecuacin de la recta s que pasa por el punto P(2, 3) y es perpendicular a la recta r en los siguientescaso:
a) r: , b) r: 2x 3y + 7 = 0 c) r:
+=
=
21y
53x
4
2y
3
1x
=+
Solucin
)2,5(d =
a) r: un vector director de r:
+=
=
21y
53x, un vector perpendicular a r ser , al cual lo
podemos tomar como vector director de s, cuya ecuacin ser:
( 5,2 )
+=
+=
t53y
t22x
b) r: 2x 3y + 7 = 0 , un vector perpendicular a r es (2, 3) y por lo tato tendr la misma direccin que s, cuyaecuacin ser:
3
3y
2
2x
+
=
)4,3(d =
c) r:4
2x
3
1x
=+
un vector director de r: , un vector perpendicular a r ser , al cual lo
podemos tomar como vector director de s, cuya ecuacin ser:
( 3,4 )
3
3y
4
2x +=
13. Calcula la ecuacin de la recta, en forma genera y puntopendiente, que pasa por el punto P(2, 5) y es paralelaa la recta de ecuacin 6x + 3y 4 = 0. (1 puntos)
Solucin:
El haz de rectas paralelas a 6x + 3y 4 = 0 tiene de ecuacin 6x + 3y + k = 0. la recta buscada pasa por el puntoP(2, 5) 12 15 + k = 0 k = 3 la ecuacin de la recta es 6x + 3y + 3 = 0La pendiente de la recta es m = 2 la ecuacin puntopendiente: y = 5 2(x 2)
14. Dadas las rectas r: kx + 5y + 1 = 0 y s: 6x 3y + 8 = 0. Determinar k de modo que:a) r y s sean paralelas. b) r y s sean perpendiculares (1 punto)
Solucin:
)k,5(d =
)6,3(d =
yb) Si r y s son paralelas sus vectores directores tambin lo son son
proporcionales:6
k
3
5=
k = 10
)k,5(d =
c) Si r y s son perpendiculares y )6,3(d =
son perpendiculares 0dd =
15 + 6k = 0
a =25
615 =
15. a) Halla la ecuacin implcita de la recta que pasa por P(1, 2) y por el punto de corte de las rectas:x 2y + 3 = 0, 2x + y + 1 = 0
b)Determina la posicin relativa de la recta que has obtenido en a)con 2x + y + 1 = 0.
Solucin:
a)Hallamos el punto de corte de las dos rectas:
( )
1x1y55y
01y64y
01y3y22
3y2x
01yx2
03y2x
===
=++
=++
=
=++
=+
Tenemos que hallar la ecuacin implcita de la recta que pasa por los puntos(1, 2) y .( ))1,1
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2
1
2
1
11
21m =
=
=La pendiente es:
( ) 03y2x1x4y21x2
12y =++=+=Por tanto:
b) Tenemos que hallar la posicin relativa de:
observamos que:
01y4x2
03y2x
=+
=+
1
3
4
2
2
1
=
Por tanto, las rectas son paralelas.
16. Calcula el ngulo formado por las rectas: y = 2x + 3 , y = 4x + 1
Solucin:
La pendiente de cada recta es:y = 2x + 3 pendiente=2y = 4x + 1 pendiente= 4Por tanto, si es el ngulo que forman las rectas:
( )( ) 56340857,07
6
7
6
81
24
421
24tg ====
+=+
=
17. Dados los puntos P(0, 4), Q(2, 5) y la recta r: 3x + y + 1 = 0, halla la distancia:a) Entre P y Q b) De Q a r.
Solucin:
( ) ( ) ( ) u514121,2PQQ,Pdist 22 =+=+===a)
( )( )
u1010
1010
10
10
19
156
13
1523r,Qdist
22===
+
+=
+
+=b) d
18. Dado el tringulo de vrtices A(2, 4), B(6, 5) y C(4, 1), halla:a) Las ecuaciones de las alturas que parten de A y de C.
b) El ortocentropunto de corte de las alturas.
Solucin:
a) Altura que parte de A:
Como es perpendicular a la recta que pasa porB y por C, para obtener su pendiente hacemos lo siguiente:
22
4
46
15m ==
=La pendiente de la recta que pasa porB y C es:
2
1La pendiente de la recta perpendicular es:
( ) 010y2x2x8y22x214y =++==As la ecuacin de la altura es:
Altura que parte de C:
4
1
26
45m =
=La pendiente de la recta que pasa porA y B es:
44/1
1=
La pendiente de la perpendicular es:
( ) 017yx416x41y4x41y =++==As, la ecuacin de la altura es:
b) El ortocentro es el punto de corte de las alturas:
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( )
7
2410y2x
7
23
7
23y23y7
017y40y8
017y10y24
10y2x
017yx4
010y2x
=+=
=
==
=++
=++
+=
=+
=+
7
23,
7
24Por tanto el ortocentro es el punto
19. Halla la ecuacin de la mediatriz del segmento que tiene como extremo los puntos de corte de la recta3x + 4y 12 = 0 con los ejes de coordenadas.
Solucin:
1) Hallamos los puntos de corte de la recta 3x + 4y - 12 = 0 con los ejes de coordenadas:
x = 0 4 y 12 = 0 y = 3 Punto (0, 3)y = 0 3x 12 = 0 x = 4 Punto (4, 0)
2)
La mediatriz de un segmento es perpendicular a l y pasa por su punto medio.
2
3,2MEl punto medio del segmento de extremos(0, 3) y (4, 0) es:
4
3m
= La pendiente de la recta que une los puntos (0. 3) y (4, 0)es:
3
4
4/3
1m =
=La pendiente de su perpendicular es:
( )3
8
3
x4
3
2y2x
3
4
2
3y +=+=3.)La ecuacin de la mediatriz ser:
07y6x816x89y6 =+=
20. Halla el rea del tringulo de vrtices A(4, 0), B(2, 3) y C(0, 2)
Solucin
( ) 204162,4AC =+==1) Tomamos el lado AC como base:
2) La altura ser la distancia de B a la recta, r que pasa porA y C.
Hallamos la ecuacin de la recta.
2
1
4
2
40
02pendiente =
=
= ( ) 04y2x:r4xy24x2
1 y ===
( )
( ) 5
8
41
462
21
4322r,BdistPor tanto: altura
22
=
+
=
+
==
3) El rea ser:
2u82
82
2
84
2
5
820
2
alturabaserea =
=
=
=
=
21. Halla el punto simtrico de P(2, 3) con respecto a la recta r: 3x y + 5 = 0.
Solucin:P
M
P
r1)Hallamos la ecuacin de la recta, s, perpendicular a r que pasa por P:
Pendiente de r y=3x + 5 m=3
3
1larperpendiculadePendiente
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GABRIEL SANHUEZA DAROCH MATEMTICA ARQUITECTURA(UBB) EJERCICIOS DE VECTORES - 7 -
( ) 011y3x2x9y32x3
13y =++==La ecuacin de s ser:
2)Hallamos el punto, M, de interseccin de r y s:
y311x011y3x
05yx3=
=+
=+( ) y103805yy93305yy3113 ==+=+
5
2
5
5711y311x
5
19
10
38y
=====
.5
19,
5
2MespuntoEl
3) Si llamamos P(x, y) al simtrico de P con respecto a r, M es el punto medio del segmento que une Pcon P'.Por tanto:
5
14x14x5410x5
5
2
2
2x===+
=
+
5
23y23y53815y5
5
19
2
3y===+=
+
5
23,
5
14P:Luego
22. Dados el punto P(k, 1) y la recta r: 3x 4y + 1 = 0, halla el valor de k para que la distancia de P a r sea 3.
Solucin:
( )( )
35
3k3
25
3k3
169
3k3
43
14k3r,Pdist
22=
=
=
+
=
+
+=
====
====
4k12k3153k335
3k3
6k18k3153k335
3k3
Hay dos soluciones: k1= 6; k2=4
23. Dados los puntos A(2, 1) y B(1, 3), halla las rectas que pasan por A y distan dos unidades de BSolucin:
La ecuacin de cualquier recta que pasa por A ser de la forma (punto pendiente) y 1 = m (x + 2) m (x + 2) y + 1 = 0. mx y +1 + 2m
=+
++
1m
m213m
22
1m
2m3
2=
+
1m22m3 2 += .L a distancia de esta recta a B d =
Elevando al cuadrado: (3m 2)2 = 4 (m2 + 1) 9m2 12m +4 = 4m2 + 4 5m2 12m = 0 m(5m 12) = 0
=
=
5
12m
0m. Las rectas pedidas son: y = 1 y 12x 5y + 29 = 0
24. Sabiendo que dos de los lados de un cuadrado estn sobre las rectas:r: 2x 3y+4=0 s: 2x 3y+ 1 =0
Calcula el rea de dicho cuadrado.
SolucinAunque no sepamos dnde est situado exactamente el cuadrado, s sabemos que la longituddel lado es la distancia entre las dos rectas.Para calcular esta distancia, tomamos un punto, P, de s y hallamos su distancia a r.
1
4
3
3
2
2
=(Previamente hemos observado que r y s son paralelas, puesto que )
Obtenemos un punto, P, de s. Por ejemplo: x=1 2 3y+ 1 = 0 3 = 3y y= 1Tomamos entonces P(1, 1) y calculamos su distancia a la recta r:
( )( ) 13
394
232432r,Pdist
22=
+=
++=
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( ) 22
2 u69,013
9
13
3ladorea =
==
13
3. Y, su rea ser:Por tanto el lado del cuadrado es:
Ejercicios de Geometra
1. Encontrar las ecuaciones implcitas y la ecuacin general del plano que contiene a la recta r: (x, y,z) = (1, 2, 0) + t(1,1, 3) y al punto Q(2,1,5).
Solucin : Como el punto Q no pertenece a la recta, el plano quedardeterminado por un punto, por ejemplo Q(2,1,5) o un punto P(1,2, 0) de larecta, un vector director de la recta
P=v
(1, 1, 3) que ser paralelo al plano
y el vector (3, 1, 5). Las ecuaciones paramtricas del plano sern:=PQ
z
x
++=
=
++=
t5t30
st2y
s3t1
0
513
311
z2y1x
=
+
. La ecuacin implcita ser:
o si simplificamos: x + 2y + z 5 = 0010z2y4x2 =++
2. Halla un plano paralelo a : 2xy +3z 1=0 y que pase por el punto P(5,0,1)
Solucin: Si buscamos otro plano de modo que // , los vectores normales tambin sernparalelos y podemos usar el mismo: == n)3,1,2(n
luego : 2x y + 3z + D = 0. Para hallar D
utilizaremos que P 25 0 + 3 + D = 0 D = 13, y el plano buscado es . 2xy +3z13=0
3. Estudiar la posicin relativa de los planos y
=
=
++=
stz
t2y
st31x
:1 03zy2x:2 =+++
:Solucin: Vamos a calcular la ecuacin general o implcita de 1
101
123
zy1x
= 2x + 4y + 2z 2 = 0. Las ecuaciones de los dos planos en implcitas son:
=+++
=++
03zy2x
02z2y4x2
3
2
1
2
2
4
1
2 == los planos son paralelos y distintos.
4. Estudiar la posicin relativa de los planos segn los valores del parmetro m:
=++
=++
=++
2mmzyx
mzmyx
1zymx
Solucin:
02m3m
m11
1m1
11m3 =+=
=
m11
1m1
11m
M ; ; | M | =
=2
*
mm11
m1m1
111m
M
=
=
2m
1m
*a) Si m 1 y m 2, rango M = rango M = 3 los tres planos se cortan en un punto
b) Si m = 1, ; M , rango M = rango M
=
111
111
111
M
=
1111
1111
1111* = 1 los tres planos coinciden.*
c) Si m = 2; ,
=
211
121 112M 021
12
rango A = 3
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0
411
221
112
=
4211
2121
1112
M* *, rango M =3
* = 3 los tres planos no tienen ningn punto en comn.Rango M = 2 rango M
021
12
0
11
12
0
11
21
Como , , , los planos se cortan dos a dos en una recta.
=+
=+=
1z3yx:1z
21y
11x:r5. Estudiar la posicin relativa de la recta y el plano siguientes:
Solucin: Las ecuaciones implcitas de la recta1
z
2
1y
1
1x:r =
+=
son: y el sistema queda
de la siguiente forma . Como rango M = rango = 2 y rango M
=
=
1zx
3yx2:r
311
101
012
=+
=
=
1z3yx
1zx
3yx2* = rango
= 3 el sistema es incompatible la recta y el plano son paralelos.
13111101
3012
6. Halla la ecuacin de la recta que pasa por el punto P(1, 1, 3) y es perpendicular al plano:.02zy2x =+
)1,2,1(n =
Solucin: Un vector director de la recta ser paralelo al vector normal del plano: por lo
tanto la ecuacin de la recta ser:1
3z
2
1y
1
1x +=
=
7. Hallar la ecuacin del plano que contiene al punto A( , , )0 2 1 y es perpendicular a la recta
r: 12z
3
1y
2
1x =
+=
Solucin: El vector normal del plano ser paralelo al vector director de la recta, por lo tanto podemostomar como vector normal
n : 2x + 3y + z + D = 0 y como el punto pertenece
al plano: 6 + 1 + D = 0 D = 5 : 2x + 3y + z + 5=0)1,2,0(A = ( , , )2 3 1
8. Halla la ecuacin del plano que pasa por los puntos A(2, 1, 0) y B(0, 1, 3) y es perpendicular al plano2x y + z 4 = 0
Solucin: El plano buscado es paralelo a los vectores AB y)3,0,2(=
v
= (2,
1, 1), vector normal del plano dado. Por lo tanto quedar determinado por A,
y y su ecuacin ser:
v
AB
AB
x
+=
=
+=
st3z
s1y
s2t22
0
z13
1y10
2x22
=
v 3x + 8y
+ 2z 14 = 0
9. Halla la ecuacin implcita del plano que es perpendicular al plano
1
4z
2
3y
3
x =
=2z4yx5: =+ y contiene la recta r: .
Solucin: Como el plano que buscamos es perpendicular al plano , el vector normal de ,)4,1,5(n =
ser paralelo al plano . Como el plano contiene a la recta r, su vector director v
= (3,
2, 1) ser paralelo a , y por lo tanto podemos tomar como vector caracterstico de al vector
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( )7,7,741-5
12-3
kji
nxvn ===
o al vector (1, 1, 1). El plano : x y + z + D = 0 contiene a
la recta r y por lo tanto a todos sus puntos, entre ellos est (0, 3, 4) 3 + 4 + D = 0 D = 1 elplano buscado tiene de ecuacin: 01zyx =+ .
10. Halla el punto simtrico de (1, 2, 5) respecto del plano x + 2y + z = 2Solucin:a) Se halla la recta r que pasa por el punto P y es perpendicular al plano
Un vector caracterstico o normal al plano ser (1, 2, 1), el cual tendr la misma direccin que losvectores directores de la recta r, por lo tanto podemos coger como vector director de r a )1,2,1( .
La recta r que pasa por P y es perpendicular al plano ser:
+=
+=
+=
t5z
t22y
t1x
b) Se calcula el punto M de interseccin de r: y del plano x + 2y + z = 2:
+=+=
+=
t5zt22y
t1x
(1 + t) + 2(2 + 2t) + (5 + t) = 2 t = 1 M(2, 0, 4)
c) Si P(x, y, z) es el punto simtrico de P(1, 2, 5) respecto del plano, M(2, 0, 4) ser el puntomedio del segmento PP.Hallamos x, y, z
==+
==+
==+
3z42
y5
2y02
y2
3x22
x1
. El punto buscado Pes: P(3, 2, 3)
3
5zyx
+== .11. Halla el punto simtrico de P(1, 2, 3) respecto de la recta
Solucin: Sea Q el simtrico de P respecto de la recta r.a) Hallaremos el plano que contiene a P y es perpendicular
a r. El vector caracterstico de es paralelo a la recta, porlo tanto podemos tomar )3,1,1(n =
y la ecuacin del
plano es de la forma x + y + 3z + D = 0, como contiene al
punto P(1, 2, 3) 1 + 2 + 9 +D = 0 D = 12 012z3yx: =++ .
b) Obtenemos el punto M interseccin de y r (r enparamtricas)
M
Q
r
v
t + t + 3(5 + 3t) 12 = 0 11t 27 = 0 t = 27/11
=++
+=
=
=
012z3yx:t35z
ty
tx
:r11
26
11
2735z,
11
27y,
11
27=+=== x
11
26,
11
27,
11
27MPor lo tanto, es
c) Si Q(a, b, c) es el simtrico de P respecto de r, M es el punto medio del segmento PQ, luego:
11
27
2
a1=
+11
43a =
11
27
2
b2=
+11
32
11
26
2
c3=
+11
19c = ; b ; =
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11
19,
11
32,
11
43QPor lo tanto el punto simtrico de P respecto de r es
12. Hallar la proyeccin ortogonal del punto P (1, 0, 4) sobre el plano: 2x y + z + 2 = 0
Solucin: Para hallar Q (proyeccin ortogonal de P sobre el plano ) primero hallaremos la ecuacin de larecta r perpendicular al plano que pasa por P y despus obtendremos Q como punto de corte de dicha rectar con el plano .
Los vectores directores de la recta que pasa por el punto P(1, 0, 4) y esperpendicular al plano tendrn la misma direccin que los vectores normales delplano. Por lo tanto podemos tomar como vector director de la recta: =v
(2, 1, 1)
y su ecuacin ser: .
+=
=
+=
t4z
ty
t21x
:r
El punto de interseccin de y es: 2 (1 + 2t) (t) + (4 + t) + 2 = 0 2 + 4t + t
+ 4 + t + 2 = 0
P
3
4t
= . Luego el punto Q tiene de coordenadas
3
8,
3
4,
3
5Q .
13. Hallar la ecuacin de la proyeccin de la recta3z
11y
2xr == sobre el plano de ecuacin:
.04zy2x =++Solucin: La proyeccin de la recta r sobre se obtiene calculando la
proyeccin ortogonal de dos puntos de r sobre el plano.P
M
Como r y se cortan en un punto M, uno de los puntos puede ser M.
=
+=
=
t3z
t1y
t2x
:r)1,2,1(n
04zy2x:
=
=++P
Interseccin de r y : 2t +2(1 + t) 3t + 4 = 0 M(12, 5, 18) Un punto de r es P(0, 1, 0). Vamos a hallar su proyeccin sobre , para elle calculamos la recta perpendicular a
que pasa por P: .
=
+=
=
tz
t21y
tx
El punto P proyeccin de P sobre el plano ser la interseccin de esta recta con :2t + 2 (1 + 2t) + t + 4 = 0 t = 1 P(1, 1, 1).La recta buscada es la que pasa por Py M y su ecuacin ser:
=
)19,4,11(PM
)18,5,12(M
19
18z
4
5y
11
12x +=
+=
+
14. Dados el punto A(0, 1, 3) y la recta r determinada por los puntos B(0, 0, 1) y C(2,1, 3), se pide:a) Ecuacin de la recta r. [0,5 puntos]
b)Ecuacin general del plano determinado por A y r. [1 punto]c) Halla la proyeccin ortogonal del punto A sobre la recta r. [1 punto]Solucin:a) La recta r determinada por los puntos B(0, 0, 1) y C(2,1, 3): es la determinada por un punto , por
ejemplo, B(0, 0, 1) y es paralela al vector BC = (2, 1, 2) y por lo tanto sus ecuaciones
paramtricas son:
+=
=
=
t21z
ty
t2x
b) El plano buscado ser el determinado por los puntos A, B y C. En vector caracterstico o normal del plano ser perpendicular a los vectores n
= (0, 1, 4) yBA BC = (2, 1, 2) y por lo tanto =
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212
410
kji
x =BA BC = 2i 8j 2k, x 8y 2z + D = 0 y como, por ejemplo, el punto B(0,
0, 1) pertenece al plano 2 + D = 0 D = 2 y la ecuacin implcita del plano es: 2x 8y 2z +2 = 0 o si simplificamos x + 4y + z 1 = 0
c) Hallamos el plano que pasa por A y es perpendicular a r. La interseccin de dicho plano con la
recta r nos dar la proyeccin de A sobre rEl vector normal del plano ser paralelo al vector director de la recta, por lo tanto podemos tomarcomo vector normal )2,1,2(n =
2x y + 2z + D = 0 y como el punto pertenece al
plano: 1 6 + D = 0 D = 7 : 2x y + 2z + 7 = 0)3,1,0(A
Obtenemos el punto P proyeccin de A sobre r como interseccin de r con :
=++
+=
=
=
07z2yx2:
t21z
ty
t2x
2(2t) (t) + 2(1 + 2t)+ 7 = 0 9t + 9 = 0 t = 1 y por lo tanto el punto
es (2, 1, 1)
1
z1
2
y
0
1x2 ==
15. Hallar la ecuacin del plano paralelo a la recta r: y que contiene a la recta s:
(1,2,1).
1
1z
2
y
02
1x
==
Solucin: La ecuacin en forma continua de la recta r es y un vector paralelo a la
recta )1,2,0(v =
. La ecuaciones paramtricas de la recta s son , un punto de ella es A(1, 0,
1) y un vector director
=
=
=
1z
2y
1x
=w (1, 2, 0).Los vectores directores de las rectas sern paralelos al plano y un punto del plano es A. El plano quedadeterminado por A(1, 0, 1), )1,2,0(v =
y =w
(1, 2, 0) y sus ecuaciones paramtricas sern:
.
=
+=
=
t1z
s2t2y
s1x
=n
v
w
v
w
Otra forma: el vector normal del plano ser perpendicular a y x = (2, 1, 2) laecuacin general o implcita del plano es de la forma 2x + y +2z + D = 0 y como A(1, 0, 1) pertenece al
plano 2 + 2 + D = 0 D = 4 la ecuacin del plano es 2x + y +2z 4 = 0
1
1z
2
y
2
4x
=
=
16. Dada la recta r: y los puntos A(1, 1, 2) y B(1, 3, 0), se pide:
a) La ecuacin en forma continua de la recta s paralela a r que pasa por el punto medio de AB.
b) Halla el punto de r cuya distancia a A sea mnima.
Solucin:
w
a) Punto medio del segmento AB: M (0, 2, 1). El vector director de la recta s paralela a r tendr lamisma direccin que el de r: v
= (2, 2, 1), por lo tanto podemos tomar w
= v
. La ecuacin en forma
continua de la recta s paralela a r que pasa por el punto medio de AB ser: 1
1z
2
2y
=2
x
=
.
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GABRIEL SANHUEZA DAROCH MATEMTICA ARQUITECTURA(UBB) EJERCICIOS DE VECTORES - 13-
b) Las ecuaciones paramtricas de r son: y un punto cualquiera de r ser de la forma: P
(4+2t, 2t, 12t) . El punto P de r cuya distancia a A sea mnima estar en la recta perpendicular a rque pasa por A
=
=
+=
t21z
t2y
t24x
v
0vAP =
ser perpendicular a r ser perpendicular a .AP AP AP = (2t +3, 2t 1, t 1)
09t91t2t46t4vAP =+=+++++= t = 1 2)2,,2(P
17. Halla la ecuacin de la recta que pasa por el punto P(2, 1, 0) y corta perpendicularmente a la recta
=
=
=
tz
ty
t2x
:r
Solucin:a) Hallamos el plano que pasa por P y es perpendicular a r: El vector caracterstico del plano ser
paralelo al vector director de r por lo tanto podemos
tomar )1,1,2(vn ==
Mr
v
n 2x + y + z + D = 0, como pasapor el punto P(2, 1, 0) 4 + 1 + D = 0 D = 3
03zyx2: =+++ b) Hallamos M, punto de interseccin de y r.
4t + t + t + 3 = 0
=+++
=
=
=
03zyx2:tz
ty
t2x
:r
2
1t
=
2
1,
2
1,1M
2
1,
2
1,1Mc) La recta buscada es la que pasa por P(2, 1, 0) y
2/1
z
21
1y
1
2x
=
=+
18. Determinar la ecuacin de la recta que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a las rectasde ecuaciones.
3z3
9y
2
6x:r =
=
y
+=
=
+=
t1z
t1y
t44x
:s
u
Solucin: La recta est determinada por el origen de coordenadas O(0, 0, 0) y un vector director quesea perpendicular a )1,3,2(v =
)1,1,4(w =
== wxvu
y , vectores directores de las rectas r y s. (
4, 2, ). Por lo tanto la ecuacin ser:14
z
2
y
4
x
== .14
19. Determina el valor de a para que la recta r de ecuaciones: sea paralela al plano de
ecuacin: x + 2y 2az = 5
=+
=++
5z2y
03y2x
)a2,2,1(n =
v
Solucin: Un vector caracterstico o normal del plano es: .El vector lo podemos obtener
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poniendo r en paramtricas:
=+
=++
5z2y
03y2x,z25y = z413z4103y23x +=+==
=
=
+=
tz
t25y
t413x
( )1,2,4v =
.
n
0nv =
0a244nv ==
v
La condicin de paralelismo de r y es que y sean ortogonales: , a= 0.
20. Dadas las rectas r1: y r
=+
=+
3zy2x
1z4y3x2:
=++
=+
1zyx
2z3yx32
a) Probar que se cortanb) Dar la ecuacin del plano que contiene a ambas rectas.Solucin:
*A
1
2
3
1
A
111
313
121
432
1
2
1
3
111
313
432
121
2
7
7
3
030
670
670
121
a)
=++
=+
=+
=+
1zyx
2z3yx3
3zy2x
1z4y3x2
7
0
7
3
1800
000
670
121
0
7
7
3
000
1800
670
121
Rango A = rango A* = 3 = nmero de incgnitas
(sistema compatible determinado) las dos rectas se cortan en un punto que es la solucin del
sistema:
18
7,3
2,18
23
18
7z = 3
2y
= 18
23x =, , El punto es P
b)El plano que contiene a las dos rectas queda determinado por un vector normal al mismo, que
ser perpendicular a los vectores directores de r
18
7,
3
2,
18
23y r , y un punto P1 2
Como las rectas vienen dadas como interseccin de dos planos, su vector director ser perpendicular alos vectores normales de los dos planos que determinan la recta.
=
121
432
kji
1v
1v
Vector director de r : // (2, 3, 4) x (1, 2, 1) = 5i 6j 7k, puedo tomar como1 =
(5, 6, 7) o cualquiera que sea proporcional a l.
=
111
313
kji
2v
2v
Vector director de r : // (3, 1, 3) x (1, 1, 1) = 4i 6j + 2k, puedo tomar como1 = (2,
3, 1)n
El vector normal al plano que contiene a las rectas es perpendicular a los vectores directores de las
rectas por lo tanto =
132
765
kji
n
n
1v
2v
// x = 27i 9j + 27k, podemos tomar como = (3, 1,
3). La ecuacin del plano es de la forma 3x + y 3z + D = 0, como contiene al punto P
187,
32,
1823
0D18
73
3
2
18
233 =+ 0D
18
36=+ D = 2 la ecuacin del plano es 3x + y 3z 2 = 0.
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21. Demostrar que las rectas r: y s: se cruzan, cualquiera que sea el valor del parmetro
a.
=
=
0z
0y
=
=
5z
0ayx
Solucin:
Ecuaciones paramtricas de r: , un punto A (0, 0, 0) y un vector director
==
=
0z 0y
x
v
=(1, 0, 0)
Ecuaciones paramtricas de s: , un punto B(0, 0, 5) y un vector director
=
=
=
5z
y
ax
w
=(a, 1, 5)
w
t v
, rango { v
w
v
w
Cualquiera que sea el valor de a , } = 2, y tiene distinta direccin, por lotanto las rectas se cortan o se cruzan.
v
w
Consideremos el vector =(0, 0, 5), si det ( , ,AB AB ) = 0 los tres vectores sern linealmente
dependiente estn en el mismo plano las rectas se cortan. Si det ( v
w
, , AB ) 0 los tresvectores sern linealmente independientes las rectas no estarn en el mismo plano se cruzan.
05
500
01a
001
= , el determinante es distinto de cero para cualquier valor de a las recta se cruzan.
22. Halla el ngulo que forman los planos: x + y + z = 0 y x 2y + 3z + 4 = 0Solucin:
)1,1,1(n =
El vector caracterstico de x + y + z = 0 es
nEl vector caracterstico de x 2y + 3z + 4 = 0 es = (1, 2 , 3)
222222 3)2(1111
321
nn
nn
++++
+=
4221432 = 42
2Cos = = = arc cos
23. Cul es el ngulo que determinan la recta y el plano x + y z + 1 = 0
=+
=
01z3y
03y2x
==+
==
)3,1,0(n01z3y
)0,2,1(n03y2x
nxnv =
Solucin: Un vector director de la recta es
310
021
kji
v
= = kj3i6
++ = (6, 3, 1).v
)1,1,1(n =
Un vector caracterstico del plano x + y z + 1 = 0, es
nv
nv
138
8
346
136=
+
138
8Sen = = = arc sen
24. Hallar el ngulo que forman el plano 1 determinado por las rectas: 2z3
3
yx:r
== y
con el plano
=
+
+=
t3z
t1y
t1x
:s
de ecuacin. 2x y + z = 1.2Solucin:
=v wEl plano quedar por un punto (0, 0, 3)de r y un vector perpendicular a: (1, 3, 2) y1 =(1, 1, 1),vectores directores de r y s respectivamente:
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17/19
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0z2yx2
122
101
zyx
=++=
.
39
9
414
902002==
++
++Los planos y son paralelos, entonces: d( ,) = d(O, ) =
29. Halla la distancia entre las rectas r: y s:
=
+==
3z
1y2x
=+=
0zy
01y2x
Solucin:=v
w
(2, 1, 1) y el de sEl vector director de r = (1, 2, 0) x (0.1, 1) = (2, 1, 1) son proporcionalespor lo tanto las rectas tiene la misma direccin. Como A(0, 1, 3) r Ar r y s son paralelas. Ladistancia de r a s es igual a la distancia de un punto A r a s.
=AB (1, 1, 3).Tomamos un punto B de s haciendo z = 0 B(1, 0, 0),
.89,26
50
w
wxAB
)s,A(d)s,r(d ===
Recta que se apoya en otras dos y pasa por un punto
30. Dado el punto P(1, 1, 1) y las rectas: y . Calcula las ecuaciones de la recta que
pasa por el punto P y corta a r y s.
=
=
=
k2z
k3y
kx
:s
+=
=
+=
t21z
t2y
t1x
:r
Solucin:La recta que buscamos la podemos hallar como interseccin de los planos plano que pasa por P y
contiene a r, y , plano que pasa por P y contiene a la recta s.
1
2
=
=
010
211
1z2y1x
1)2,1,1(v =
:queda determinado por A(1, 2, 1), y )0,1,0(AP = 1
01zx2 =
=
=
111
131
2zyx
2)1,3,1(w =
: queda determinado por B(0, 0, 2), y )1,1,1(BP =
. La recta buscada es:
2
=+
=
04z2x2
01zx204z2x2 =+
Otra forma: Sean A y B los puntos en los que la recta buscada corta a r y s respectivamenteSea A un punto cualquiera de r: A t2,t1( + )t21, + y B uno de s:B ( .)k2,k3,k
r
s
P
A
B
,)t2,t1,t( =PA )k1,1k3,1k(PB . yPA PB= tienen la misma direccin
son proporcionales:k1
t2
1k3
t1
1
t
=
=k
A(1, 2, 1) y B(1, 3,
1).
=
=
1k
0t
La recta buscada es la que pasa por A y B.
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GABRIEL SANHUEZA DAROCH MATEMTICA ARQUITECTURA(UBB) EJERCICIOS DE VECTORES - 18-
Perpendicular comn a dos rectas que se cruzan
2
3z
1
1y
0
x +=
=
3
z
1
1y
1
1x=
+
=
31. Comprueba que las rectas r: y s: se cruzan y halla la ecuacin de la
perpendicular comn a ambas.Solucin:
2
3z
1
1y
0
x +=
= =v
, un punto A(0, 1, 3) y un vector director (0, 1, 2)r:
3
z
1
1y
1
1x=
+
=
=w
, punto B(1, 1, 0) y un vector director (1, 1, 3)s:
=v
=w
(0, 1, 2) yLos vectores (1, 1, 3) no son proporcionales, son linealmente independientes, por lo
tanto las rectas se cortan o se cruzan. Sea v
w
AB AB= (1, 2, 3), si rango { , , } = 2 (esto es
equivalente a que det ( , ,v
w
AB) = 0) entonces las rectas se cortan pero si rango { , ,v
w
AB} = 3
(det ( , ,v
w
AB) 0) las rectas se cruzan.
=
321
311
210
2 0 las rectas se cruzan.
wxvu
=Un vector director de la perpendicular comn a ambas rectas ser: = (5, 2, 1)La perpendicular comn la podemos obtener como interseccin delos planos y .Plano determinado por A(0, 1, 3) , =v
(0, 1, 2) wxv
= (5, 2, 1)
(plano que contiene a r y a la perpendicular a r y s)
12
21
3z1y
+
5
0
x
= 0 5x + 10y 5z 25 = 0 : x 2y +
z + 5 = 0
wPlano determinado por B(1, 1, 0), =
(1, 1, 3) y wxv
= (5, 2,
1) (plano que contiene a s y a la perpendicular a r y s)
s
r
125
311
z1y1x
+
= 0 : 5x 16y 7z 21
= 0
Por tanto la ecuacin de la perpendicular comn es:
=
=++
021z7y16x5
05zy2x
Otra forma (por puntos genricos)Vamos a hallar los puntos R y S en los que la perpendicular comn p corta a r y y a s.
Ecuaciones paramtricas de r: , un punto genrico de r es de la forma A(0,1+,3+2)
+=
+=
=
23z
1y
0x
Ecuaciones paramtricas de s , un punto genrico de s es de la forma (1+, 1, 3)
=
=
+=
3z
1y
1x
Un vector genrico de origen en r y extremo en s es = (1+, 2, 32+3)RS
RSEste vector debe ser perpendicular a r y s:=v
(1+, 2, 32+3) (0, 1, 2) = 0 2+64+6=0 5 5 = 4RS
=w
(1+, 2, 32+3)(1, 1, 3)=0 1++2+++96+9=0 5 +.11 = 12RS
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GABRIEL SANHUEZA DAROCH MATEMTICA ARQUITECTURA(UBB) EJERCICIOS DE VECTORES - 19-
=
=
3
415
8
15
61,
15
7,:
=+
=
12115
455
15
83,
15
81,0R; los puntos son = 0 y
+3
43,
3
41,
3
41S
4,3
1,
3
1
=15
1,
15
2,
3
1RS= , . , para el vector normal a las dos recta
podemos tomar RS o cualquiera que sea proporcional a l, por ejemplo (5, 2, 1).
1
4z
23
1y
53
1x
+=
=
+Las ecuaciones de la perpendicular comn: