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C/ Fernando Poo 5 Madrid (Metro Delicias o Embajadores).

OPCION A

Cuestión 1.

Solución:

a)

La energía cinética sigue la siguiente relación:

𝐸𝑐 =1

2𝑚𝑣2

Ahora, se procede igualando la fuerza gravitatoria a la fuerza centrípeta,

ya que es un movimiento circular:

Fg=Fc

G𝑀∙𝑚

𝑅²= 𝑚 ∙ 𝑎N

Siendo la aceleración normal aN=v²/R , llegamos a la siguiente expresión:

G𝑀∙𝑚

𝑅²= 𝑚 ∙

𝑣²

𝑅

v²=G∙𝑀

𝑅

Con esto, podemos ya deducir la energía cinética del satélite:

𝐸𝑐 =1

2𝑚𝑣2

𝑬𝒄 =𝟏

𝟐𝒎 G∙

𝑴

𝑹

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b)

Por el principio de conservación de la energía mecánica de un

cuerpo, y sin que existan fuerzas no conservativas tenemos:

Em=Ec+Ep

En Gravitatorio, la energía potencial sigue la siguiente formula:

Ep=−𝐺 ∙𝑀𝑚

𝑟

La energía cinética es:

Ec=1

2∙ 𝐺 ∙

𝑀𝑚

𝑟

Ahora sumamos ambos términos:

Em=Ec+Ep

Em=−𝑮𝑴𝒎

𝒓 +

𝟏

𝟐𝑮

𝑴𝒎

𝒓 =

𝟏

𝟐𝑬p

Cuestión 2.

Solución:

a)

Los radios de las orbitas que describen.

Para describir una órbita circular, tiene que haber un equilibrio de

fuerzas, en este caso, fuerza magnética y fuerza centrípeta:

FB=Fc

qv∙B = m∙𝑣2

𝑅





qv∙B = m∙𝑣

𝑅

R = 𝑚𝑣

𝑞𝐵

Para relacionar los radios de ambas partículas, comparamos la expresión

obtenida anteriormente, teniendo en cuenta lo siguiente:

mp+=1836me-

ve-=8vp+

la carga neta de ambas partículas es la misma, y dividiendo ambos términos:

𝑅𝑝

𝑅𝑒 ==

𝑚𝑝𝑣𝑝

𝑞𝑝𝐵𝑚𝑒𝑣𝑒𝑞𝑒𝐵

qe=qp

mp+=1836me-

ve-=8vp+

𝑹𝒑

𝑹𝒆=

𝟏𝟖𝟑𝟔

𝟖= 𝟐𝟐𝟗, 𝟓

b)

Los periodos orbitales de las mismas.

q·v·B=m·𝑣²

𝑅

v=ωR

q·v·B=m· (𝜔𝑅)²

𝑅

ω=2πf=2𝜋

𝑇

T²=4𝑚𝜋²𝑅

𝑞𝑣𝐵

Comparamos ahora dicha expresión para ambos, teniendo en cuenta:

mp+=1836me-





ve-=8vp+

𝑇ᴘ²

𝑇ₑ²=

4𝑚ᴩ𝜋²𝑅ᴩ

𝑞ᴩ𝑣ᴩ𝐵

4𝑚ₑ𝜋²𝑅ₑ

𝑞ₑ𝑣ₑ𝐵

=1836𝑚ₑ8𝑉ᴩ𝑅ᴩ

𝑚ₑ𝑣ᴩ𝑅ₑ=

𝑻ᴩ

𝑻ₑ=1836

Cuestión 3.

Solución:

a)

𝜆 =ℎ

𝑚𝑣

𝜆₁

𝜆₂=

ℎ𝑚₁𝑣₁

ℎ𝑚₂𝑣₂

=𝑚₂𝑣₂

𝑚₁𝑣₁

Con la relación que nos da el enunciado de la energía cinética,

obtenemos la relación de ambas velocidades:

Ec₁=Ec₂ 𝑣₂

𝑣₁=√50

m₁=50m₂

Con lo que podemos sacar la relación entre las longitudes de onda:

𝝀₁

𝝀₂=

𝒉

𝒎₁𝒗₁𝒉

𝒎₂𝒗₂

=𝒎₂𝒗₂

𝒎₁𝒗₁=

√𝟓𝟎

𝟓𝟎

b)

Una vez obtenida la relación de las longitudes de onda, podemos

relacionar las masas con las velocidades: 𝝀₁

𝝀₂=

𝒎₂𝒗₂

𝒎₁𝒗₁=500





𝒗₂

𝒗₁=500

𝒎₁

𝒎₂

Ec₁=Ec₂ 𝑚₁

𝑚₂= (

𝒗₂

𝒗₁)²

Como solución:

𝒗₂

𝒗₁=

𝟏

𝟓𝟎𝟎

Problema 1.

Solución:

a)

f = 1/T=0,5Hz

v=λf

λ=v/f= (60x10⁻²)/0,5= 1,2 m

λ=1,2 m

b)

Una onda sigue la siguiente ecuación:

Y(x,t)=Asen(ωt – kx +ϕ₀)

Donde:

Ω=2πf= π rad/s

K= 2π/λ= (5π)/3

Y(x,t)=Asen(πt –((5π)/3) x +ϕ₀)





Ahora, metiendo los datos: x=0,3 m t=1 s, sabemos que y=0

Y(x,t)=Asen(π1 –((5π)/3) (0,3) +ϕ₀)=0

Operando llegamos a la expresión:

sen(π1 –((5π)/3) (0,3) +ϕ₀)=0

(π1 –((5π)/3) (0,3) +ϕ₀)=0

ϕ₀=-π/2 rad

Para sacar la amplitud, metemos datos numéricos en x y t

x=0,3 m t=1,5 s

y=-0,05 v=0

-0,05=Asen(3π/2 –(0,3)5π/3 –π/2)

A=-0,05 m

c)

Teniendo en cuenta la ecuación de una onda transversal

Y(x,t)=Asen(ωt – kx +ϕ₀)

Especificando a este problema, tenemos:

Y(x,t)=-0,05sen(πt – (5π/3)x +π/2)

d)

La diferencia de fase entre los dos puntos, se puede hallar de

diferentes formas:

λ = 1,2 m Esta distancia se recorre en T segundos: T= 1/f=

1/0,5=2s





También, en una longitud de onda, se recorren 2π radianes.

En λ/4 tendremos una distancia de: Δx= 0,3 m

Con una simple relación, podemos ver el desfase entre dichos

puntos:

Δϕ= (0,3∙2π)/1,2 =π radianes.

Problema 2.

Solución:

a)

n=𝑐

𝑣

n=𝑐

𝑣=

𝜆˳∙𝑓

𝜆∙𝑓=

𝜆˳

𝜆

Aplicando los datos numéricos obtenemos:

λ=(650x10‾9)/1,48

λ= 440 nm

b)

La condición para que haya reflexión total es que el ángulo Ɵ2 sea

menor que el ángulo limite.

Angulo límite: n₁sen Ɵ2=n2 sen90

Ɵ2=76,7°





Ahora, con ayuda de la ley de Snell:

nsen Ɵ= n₁sen Ɵ1

Ɵ1+ Ɵ2=90°

Ɵ=19,9°





OPCION B

Cuestión 1.

Solución:

a)

T=1/f

Si reducimos la frecuencia a la mitad, el periodo será el doble:

T1= 1/f/2=2T0

Con lo que el periodo se duplica

b)

V= 𝑑𝑦(𝑡)

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡(𝐴𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡 + 𝜑˳)) = 𝐴𝜔𝑐𝑜𝑠 (𝜔𝑡 + 𝜑˳)

Para la velocidad máxima, tenemos que cos (𝜔𝑡 + 𝜑˳)=1

Vmax=Aω=A2πf

Vmax˳= A2πf

Vmax1=A2πf/2

Con lo que la velocidad máxima se reducirá a la mitad.

c)

a= 𝑑𝑣(𝑡)

𝑑𝑡=

𝑑

𝑑𝑡(-Aω²sen(𝜔𝑡 + 𝜑˳))

condición para amax : sen(𝜔𝑡 + 𝜑˳)=1

amax = -A(2πf)²= amax˳ /4

d)

Em=(1/2)kA²

K=ω²m

Em=(1/2) ω²m A²

Ω=2πf

Em=(1/2) (2πf) ²m A²





Al reducir la frecuencia a la mitad, tenemos:

Em1= Em˳/4

Cuestión 2.

Solución:

a)

El teorema de Gauss no dice, que el flujo total que atraviesa una

superficie cerrada, es igual a la suma infinitesimal de cada una de

las cargas encerradas en el interior de dicha superficie, dividida

entre la constante ε˳.

Φ=∮ 𝐸𝑑𝑆 = 𝑄𝑖𝑛/𝜀˳

b)

Φ=∮ 𝐸𝑑𝑆 = 𝑄𝑖𝑛/𝜀˳ = 𝐸 ∮ 𝑑𝑆 = 2𝐸𝑆 = 𝑄𝑖𝑛/𝜀˳𝑆

E=𝜎

2𝜀˳

Cuestión 3.

Solución:

a)

E=hv

V=c/λ

E=h(c/λ) λ = hc/E

E=Wext=2eV∙1,6x10‾19 J/eV =3,2x10‾19 J

λ = hc/E= (6,63 𝑥 10‾34 )3 𝑥 108

3,2𝑥10‾19=6,2x10‾7 nm

b)





E= Wext-Ecin(e‾)

Ecin(e‾)= Wext- E= 6,63 x 10‾34∙3 𝑥 108

600𝑥10‾9−3,2x10‾19=1,2x10‾20 J

Problema1.

Solución:

a)

p=mv

Para obtener la velocidad del satélite, recurrimos al movimiento

circular y a la atracción gravitatoria:

Fg=Fc

𝐺𝑀𝑚

𝑟²= 𝑚

𝑣²

𝑟

𝑣 = √𝐺𝑀

𝑟

p=mv=m√𝐺𝑀

𝑟=1000√6,67𝑥10‾11 ∙ 5,9𝑥1024/12𝑥10⁶ = 5,76𝑥10⁶

Momento angular: L=mvrsenα; α=90°

L=mvrsenα =1000√6,67𝑥10‾11 ∙ 5,9𝑥1024 ∙ 12𝑥10⁶ = 6,9𝑥10¹ᶟ

Respecto a la direcciones, en el momento lineal cambia al cambiar la

posición, pues es siempre tangente a la trayectoria, y paralelo a la

velocidad. En cambio, en el momento angular, es un vector

perpendicular al plano definido por el satélite y el centro del planeta,

por lo que siempre seguirá la misma dirección.





b)

Periodo:

Tercera ley de Kepler

T²=4𝜋²

𝐺𝑀rᶟ

T=√4𝜋²

𝐺𝑀𝑟ᶟ = √

4𝜋2

6,67𝑥10‾115,9𝑥1024(12𝑥106)ᶟ = 13165,9 𝑠

Energía:

Em=Ec+Ep

Ep= −𝐺𝑀𝑚

𝑟 ; Ec=

1

2𝒎𝒗²

Ec=1

2𝒎(√𝐺

𝑀

𝑟)²

Sumando ambas expresiones, podemos obtener la Energía mecánica:

Em=Ec+Ep

Em== −𝐺𝑀𝑚

𝑟+

1

2𝒎(√𝐺

𝑀

𝑟)² =−

1

2 𝐺

𝑀𝑚

𝑟=-1,65x10¹° J

Problema2.

Solución:

a)

Ley de Lorentz

F=q(v x B)





Al ser nula la velocidad, también lo será la fuerza magnética.

F=0, por consiguiente: a=0

b)

Con la regla de la mano derecha, y teniendo en cuenta la expresión

analítica de Biot y Savat, podemos aplicar:

B=𝜇˳𝐼

2𝜋𝑑=

4𝜋𝑥10‾ 7∙12

2𝜋0,2= 1,2 𝑥 10‾5𝑇

F=q(v x B)=qvB|𝑖 𝑗 𝑘0 1 0

−1 0 0| = −1,92 𝑥 10‾²⁴ KN

F=ma

a=−1,92 𝑥 10‾²⁴

9,1 𝑥 10‾ 19=-2,1 x 10⁶ m/s² j

c)

F=q(v x B)= qvB|𝑖 𝑗 𝑘0 0 1

−1 0 0|=1,92 x 10‾²⁴ N

a=F/m=1,92 𝑥 10‾²⁴

9,1 𝑥 10‾ 19=2,1 x 10⁶ m/s² j

d)

F=q(v x B)= qvB|𝑖 𝑗 𝑘1 0 0

−1 0 0|=0

Como la fuerza es cero, la aceleración será nula también.



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