97382653 Serres Historia Ciencias

MICHEL SERRES

HISTOEIADE LAS

CIENCIA

CATEDMA

Historia de las Ciencias

Michel Serres (ed.)Bernadette Bensaude-Vincent Catherine Goldstein Franoise Micheau Isabelle Stengers Michel Authier Paul Benoit GeofBowker Jean-Marc Drouin Bruno Latour Pierre Levy James Ritter8

SEGUNDA EDICIN

CATEDRA TEOREMA

T t u l o original de la obra:

lments d'Histoire des Sciences

Traduccin: Raquel Herrera: Prefacio, primera, tercera, cuarta, quinta, sexta y s p t i m a bifurcaciones. Luis Puig: Segunda, octava y u n d c i m a bufurcaciones. Isabel Pars: Novena y d c i m a bifurcaciones. . J o s L p e z y J e r n i m a Garca: D e la b i f u r c a c i n d u o d c i m a a la vigesimosegunda y A p n d i c e s .

... jams sabremos de dnde nos viene el Saber entre tantas posibles fuentes: ver, or, observar, hablar, informa); contradecir, simula); imitar, desear, odiar, amar, tener miedo y defender, arriesgarse, apostar, vivir y trabajar juntos o separados, dominar por posesin o por maestra, doblegar el dolor, curar enfermedades o asesinar por homicidio'o guerra so)prendeise ante la muerte orar hasta el xtasis, hacer con las manos, fertilizarla Tierra, destruir... ...y nos inquieta no saber hacia cules de estos actos, de estos verbos, de estos estados o hacia qu otras metas ignoradas, ahora se apresura, sin el saber...

Reservados todos los derechos. El contenido de esta obra est protegido por la Ley, que establece penas de prisin y/o multas, adems de las correspondientes indemnizaciones por daos y perjuicios, para quienes reprodujeren, plagiaren, distribuyeren o comunicaren pblicamente, en todo o en parte, una obra literaria, artstica o cientfica, o su transformacin, interpretacin o ejecucin artstica fijada en cualquier tipo de soporte o comunicada a travs de cualquier medio, sin la preceptiva autorizacin.

Ilustraciones: E d . Bordas Archivo Ed. Ctedra

B o r d a s , Pars, 1989 Ediciones Ctedra, S. A . , 1998 Juan Ignacio Luca de Tena, 15. 28027 Madrid Depsito legal: M . 23.090-1998 ISBN: 84-376-0988-7

Printed in SpainImpreso en Grficas Rogar, S. A . Navalcarnero (Madrid)

Prefacio que invita al lector a no descuidar su lectura para penetrar en la intencin de los autores y comprender la disposicin de este libroM l C H E L SERRES

historia de las ciencias conoce hoy, tanto en el extranjero como en Francia, un desarrollo considerable y suscita un inters creciente. Esto se debe, sin ninguna duda, a que, al vivir en un mundo en el que la ciencia y la tcnica predominan, nos interrogamos cada vez ms acerca de su formacin y su reciente advenimiento, y a veces hasta sobre su legitimidad. Ahora bien, ni las fluctuaciones polticas o militares, ni aun la economa, aisladamente, bastan para explicar cmo han terminado imponindose nuestras formas de vivir contemporneas: es necesaria una historia de las ciencias. Ahora bien, por una sorprendente paradoja, tal historia no goza todava, en nuestro pas, de una enseanza ni de un currculo comparables a los de las disciplinas usuales: se la encuentra slo dispersa al azar de las buenas voluntades. Aprendemos a menudo nuestra historia sin la de las ciencias, la filosofa privada de todo razonamiento cientfico, las letras esplndidamente aisladas de su entorno cientfico y, a la inversa, las diversas disciplinas arrancadas del humus de su historia, como si hubieran cado del cielo: en resumen, todo nuestro aprendizaje sigue siendo ajeno al mundo real en el que vivimos y que, penosamente, mezcla ciencia y sociedad, nuestras tradiciones sabias o insensatas con novedades tiles o inquietantes. Comenzamos apenas a formular una jurisprudencia y unas leyes en relacin con las conquistas de la qumica y de la biologa.

1 libro que van a leer pretende contribuir a resolver la crisis cultural en la que nos debatimos y que se debe, entre otras causas, a esta ajenidad, a este divorcio entre dos mundos, que se convierte a veces en hostilidad y a veces en adoracin, ambas intempestivas. Tambin pretende favorecer el establecimiento de una enseanza generalizada de esta disciplina, tanto en el nivel secundario como en el superior. Se dirige, pues, a un pblico muy amplio: A l hombre comn, primero, que se pregunta acerca de su entorno y a quien nadie dijo jams hasta qu punto la ciencia y la tcnica, cuya potencia experimenta a cada instante, fue un componente activo de su pasado. L o que hoy se toma por gran novedad data 9

Cmo explicar el amplio y difcil curso de una historia? .

PREFACIO

10 muchas veces de dos milenios, y lo que hoy parece irracional prepar a menudo el triunfo de la razn: a partir del momento en que resurge esta perspectiva, el mundo contemporneo cobra profundidad; se nos vuelve familiar. A los maestros, a los estudiantes de todas las disciplinas que quieran dar a sus exposiciones o a sus estudios un marco ms amplio y un entorno conexo. A los historiadores, filsofos, literatos, a los juristas, a los especialistas en ciencias humanas o sociales, a quienes a menudo falta un complemento de cultura cientfica. A los mismos cientficos, interesados por el pasado de su especialidad que tan de prisa va, y en la que muchas veces se considera obsoleto lo que data de veinte aos: en esta historia fragmentada en segmentos tan breves, olvidadiza, existe un flujo continuo o perspectivas ms amplias? Dnde y cmo leer, y comprender, en la propia lengua, a los predecesores de los investigadores? De la misma forma como, a veces, se sorprende uno al encontrar los mismos gestos o maneras semejantes en alguien que est a centenares de kilmetros, tanto como de su diferencia con el propio vecino, as disfrutar el lector al descubrir en la Media Luna frtil, hace ya ms de dos mil aos, prcticas muy prximas, aunque extraas, a su mundo cotidiano, o, por el contrario, las distancias infinitas que lo separan de la generacin anterior. As la historia de las ciencias abre nuestras ideas estancas acerca de nuestras disciplinas y nuestro tiempo: sin duda, funda una cultura. E l divorcio entre dos mundos y dos culturas slo data, seguramente, de ayer, cuando nosotros lo imaginbamos milenario y sin retorno.

11 la inversa, a un naturalista versado en teologa de la Edad Media, a una investigadora en teora de los nmeros interesada por la historia de las matemticas fuera de Occidente, a un ingeniero gelogo y fsico de la Tierra, a un socilogo positivo y sin embargo terico, a un especialista en comunicaciones y ordenadores y as otros: francs, americano, australiano... Cada uno aport su piedra al edificio, a menudo con el cuidado de aportar tambin el cimiento. De qu manera? Primero, y gracias a la generosidad de Mme. Annette GrunerSchlumberger, que recibi al grupo, sus integrantes vivieron juntos varias semanas: para exponer cada uno su programa y criticar su ejecucin. U n a vez redactado, cada texto ha sido ledo por todos, espulgado, discutido por todos; sentado en el banquillo, cada uno se someti de buen grado al fuego duro y vivo de las preguntas de todos los dems. Y redact de nuevo su escrito teniendo en cuenta estos pedidos de aclaracin. Dicho de otra forma, tal o cual texto que se refiere a las matemticas o a la geologa ha sido juzgado por una decena de personas que partan de puntos de vista muy diferentes, no especialistas, y de la misma manera se procedi con cada uno. En segundo lugar, y en presencia de todos, cada uno expuso, como docente, su texto a su auditorio de estudiantes cuyo nivel global puede ser evaluado en un segundo ao tras el bachillerato. Hacia fin de curso, los estudiantes formularon sus crticas, a veces duras, a menudo pertinentes. Los textos, entonces, fueron reescritos, para incorporar estas observaciones; y volvieron a ser presentados al ao siguiente a la promocin que suceda a la anterior para, una vez ms, comprobar su claridad. En su vida y su trabajo, escrito y oral, el grupo debi experimentar las dispersiones inevitables que caracterizan la disciplina, y lealmente intent reducirlas. Igualmente, ha querido probar la transparencia de su obra para facilitar su comunicacin. Por cierto, no faltaron las tensiones entre los que creen en la ciencia, los que creen en la historia, los que no confan ni en ta una ni en la otra y, por fin, los que otorgan su confianza un poco a cada una. Y si ni la competencia ni la buena voluntad bastan para dar coherencia a un saber compartido por camaradas, en nuestro caso contribuy, sin embargo, la conviccin comn de que la historia de las ciencias comienza a construir la cultura de nuestro tiempo, porque sumerge el saber positivo, osamenta y motor de nuestro mundo, en el tejido vivo y colectivo de la aventura humana. de la que se sigue la tercera lnea simplificada as. En la quinta lnea, aparece una nueva tcnica, que consiste en sacar los dos tercios de un nmero; nunca se descompone en pasos ms simples. Si bien encontrar los / de un nmero entero no plantea problemas particulares, no ocurre lo mismo con los / de una fraccin. En la quinta lnea se trata de encontrar los / del nmero escrito en la primera, esto es, 8 / / V i s . expresndolo, por supuesto, en forma de cuantavos. Los / de 8 dan fcilmente 5 / ; pero para las fracciones? La respuesta, como siempre, es: Consultad la tabla!, como la del papiro Rhind:n a 9 1 1 3 6 18 = 3 2 3 2 3 2 3 2 1 3 6 2 1 3 3

7

3

de %:3 6

Va Ve VeV12

%Vi8

V de 7 :3

7

L a operacin es, por supuesto, una multiplicacin. Reconocemos muchas de las tcnicas que ya habamos encontrado. L a desduplicacin, por ejemplo, de un cuantavo es sencilla, ya que basta con multiplicar su denominador por 2. Por el contrario, la duplicacin de una fraccin puede plantear problemas, ya que la tcnica ms directa, que consiste en dividir el denominador por 2, slo puede utilizarse si ste es par. Cmo duplica pues el escriba las dos primeras lneas? Dos veces / se expresa fcilmente como 1 7a- Dos veces 7e > tambin sencillamente, 7 . Pero qu hacer con dos veces 79? Cmo escribir el resultado bajo2 3 es 3

de 7 : 7a de y : % de su 7 : 7 de su 7 : Ve de su %: 7i2 de su 7 % sus 73

6

y /a 6

2

3

2

Va VeV12 V24Via

2

3

[V 4S

[

] '2 3

7? sus / : 7 su y :7

2

Vl4 Vl43

V42Vee

V i , (sus ) 7 :

V22V22

su V : Vas3

7 n su V :2

su y : 7 4 4 4

LAS MATEMATICAS E N EGIPTO Y E N MESOPOTAMIA

64

65 El problema babilnico

LAS MATEMATICAS EN EGIPTO Y E N MESOPOTAMIA

Antes de interesarnos por el procedimiento del texto babilnico, observemos que el dimetro del cilindro viene dado como 5 (es decir), un codo. Suponemos pues, correctamente por otra parte, que si ese 5 no est acompaado por ninguna unidad, es porque la medida que representa est expresada en la unidad lineal de base del sistema mesopotmico: se trata del nindan que vale doce codos (esto es, aproximadamente" 6,24 m.). De dnde viene entonces esa extraa afirmacin de que cinco nindan valen un codo? Henos aqu enfrentados a la primera de las numerosas diferencias entre las matemticas de nuestras dos culturas. Mientras que los egipcios, como nosotros, utilizaban un sistema de numeracin de base diez, los babilonios emplean en sus textos matemticos (pero rara vez en sus textos econmicos) la base sesenta. E l 5 se debe leer pues como 0;5 = / 6 = Vi 2 de un nindan; es decir, un codo.5 0

8

t-3d

i m

1

n

k-nh-bt;

o

9 nnbd

K x_R1 4 s 6

Clculo -O.

Observemos que el nmero 5 se designa aqu como igigubbm del crculo y que 6 (por 6.0.0) es el igigubbm de la medida de grano, exactamente igual que en nuestro texto. Los babilonios, como los egipcios, juzgaban que la adicin y la sustraccin eran demasiado elementales como para necesitar tablas o tcnicas especiales. En sentido contrario Miremos ahora la ltima parte de otro problema que proviene de la misma tablilla, seguido de su escritura simblica:Texto babilnico Si el (contenido en) grano era una sila y mi profundidad, 1 6 40, cunto son mi dimetro y mi circunferencia? Convierte 1 6 40, eso asciende a 13 20. Encuentra el inverso de 13 20, eso asciende a 4 30. Vuelve. Encuentra el inverso de 5 (el igigubbm del) crculo, eso asciende a 12. Encuentra el inverso de 6 (el igigubbm de), la medida de grano, eso asciende a 10. Multiplica 10 por 12, eso asciende a 2. 0;5_I

2

2

(7X)R

8

Constatamos que, en cada uno de los casos, el resultado de una inversin se utiliza a continuacin en una multiplicacin: el resultado de la etapa 2 se utiliza en la etapa 7; los de las etapas 3 y 4, en la etapa 5. Dicho de otra manera, la inversin sirve, conjuntamente con una multiplicacin, para formar lo que nosotros llamamos divisin (N/M = 1/JV x M). En Mesopotamia, el papel funcional de la divisin lo representa casi siempre la combinacin de estas dos operaciones. E l clculo de los inversos, faltara ms, se efecta por intermedio de una tabla anloga a la siguiente (de la que slo ofrecemos aqu el reverso): 1 sus / su mitad su 7 SU 743 3 2

Nmero de etapa

Clculo

Tcnica

-1.6.40 = 13.20 13.20 =4.30_1

nindan -codos

su Vs su Va su V8

= 12

6.0.0"'=0;0.0.10 0;0.0.10x 12=0;2

mverso multiplicacin

su % su Vio SU ' / l 2 su Vis SU Vi 6 SU Vi 8 su V20

40 30 20 15 12 10 7 6 6 5 4 3 3 3

30 40

45 20 )


70

71


Por supuesto que hay agujeros en esta tabla, nmeros para los que no existe ningn inverso en forma de su sexagesimal finito (de la misma manera que V = 0,33333... no tiene expresin decimal finita). Nmeros 3 como 7, 11, 13, 14, sencillamente se evacuarn, por tanto, de las tablas babilnicas de inversos. En cuanto a los textos matemticos, o bien evitan utilizar tales nmeros en sus ejemplos, o bien desarrollan tcnicas alternativas para tratarlos, como, por ejemplo, leer al revs una tabla de multiplicacin (11 no tiene inverso en sexagesimal, pero 22 x 7 n puede calcularse a partir de la tabla de multiplicacin por 11). Veamos otro ejemplo, relativo a la divisin de 70 por 7: El inverso de 7 no puede hallarse. Qu pondra yo para que me diera 1.10? Pon 10. El clculo de las races cuadradas y cbicas aboca al mismo tipo de Situacin. Con el asunto de los inversos, utilizados en los textos babilnicos frecuentemente y de manera esencial, llegamos a una de las principales partes duras de las matemticas babilnicas. Aunque haya habido tablas elaboradas disponibles y, ms adelante, en la poca selucida (fin de primer milenio a. de C ) , el nmero de cifras proporcionado por tales tablas se haya aumentado considerablemente, la manipulacin de los inversos se consider siempre como una fuente de muy notables dificultades para el escriba, tanto aprendiz como profesional.

Un primer balance

Cules son las diferencias que han aparecido en las tcnicas que desarrollaron las civilizaciones egipcia y babilnica? En el tratamiento de un mismo problema por ejemplo, el clculo del volumen de un cilindro las operaciones utilizadas son diferentes. El centro del problema consiste en determinar la superficie de la base: los egipcios utilizan un algoritmo que consiste en hallar el cuadrado de una cantidad / menor que el dimetro de la seccin; los babilonios, por su parte, empiezan calculando la circunferencia de esa seccin, luego multiplican su cuadrado por la constante Vi 2- Hay ya, pues, diferencias considerables en el mero nivel de las operaciones utilizadas. Pero la distincin ms seria aparece en torno a las tcnicas. E n los lugares en que los egipcios utilizan las tcnicas fundamentales de duplicacin, decuplicacin, sus recprocas, y lo que hemos llamado inversin y dos tercios, los babilonios recurren a tablas de productos, inversos, races. Incluso cuando la operacin es idntica, una multiplicacin, por ejemplo, los mtodos con que se efecta pueden ser completamente diferentes. Y, lo que an es ms importante para nuestro propsito, esta diferencia de tcnicas tiene un alcance considerable por lo que respecta a sus consecuencias tanto pedaggicas como conceptuales. Y a que, para cada tcnica, hay clculos fciles y clculos complicados, toda eleccin de una tcnica conduce implcitamente a decidir qu tipo de clculos ser difcil de efectuar. Dicho de otra manera, los clculos no son intrnsecamente fciles o difciles, slo lo son relativamente a la eleccin de una tcnica. En el caso de Egipto, hemos visto que las tcnicas utilizadas conducen rpidamente a nmeros fraccionarios, es decir, a cuantavos. Como tambin hemos observado, la desduplicacin de un cuantavo conduce1 9

sencillamente a otro cuantavo [1/iV -* l/(2iV)], as como la duplicacin de un cuantavo par [l/iV-> l/(N/2)]; en cambio, la duplicacin de un cuantavo impar no es en absoluto fcil, igual que no lo es, en ese contexto, el clculo de los dos tercios de un nmero. Finalmente, la adicin de fracciones es una dificultad central. Recordemos que la manera de resolver estos problemas es construir tablas, de manera que no haya que efectuar los clculos difciles ms que de una vez por todas, y que uno pueda referirse a ellas desde entonces, para copiar de ellas el resultado necesario. Para los babilonios, por el contrario, la conversin inmediata en sexagesimales permite evitar esos obstculos. Pero surgen de repente otros problemas! E l uso de los sexagesimales slo es til cuando el nmero en cuestin tiene una expresin finita. Esto significa que las tcnicas de inversin o de extraccin de races plantean problemas porque se corre el riesgo de que transformen sexagesimales finitos (por ejemplo, enteros) en otros nmeros que ya no lo son. Aqu es, por tanto, donde cobra todo su sentido el uso de tablas. Las tablas de multiplicacin operacin que no suscita, sin embargo, dificultades tcnicas comparables a las que acabamos de sealar facilitan el trabajo en un mundo de base sesenta (en el que las multiplicaciones elementales van desde 2 veces 2 hasta... 59 veces 59!); pero las tablas de inversos son en este caso algo ms que una comodidad: son absolutamente necesarias para que las tcnicas vigentes puedan ser al menos un poco eficientes en la resolucin de problemas prcticos. En resumen, la aparicin inevitable de regiones del saber para las que una eleccin prefijada de tcnicas creaba problemas especficos ha dado nacimiento, en las dos civilizaciones de manera independiente, a colecciones de resultados en forma tabular. Pero la mera existencia de estas tablas en ciertos dominios proporciona tambin un espacio de reflexin privilegiado sobre la naturaleza de los resultados as catalogados. Regularidades, modelos, relaciones aparecen en ellas con ms claridad y parecen imponerse por s mismos a los ojos del usuario. Las tcnicas cesan de ser meras herramientas tiles para resolver problemas que vienen del exterior, por ejemplo, planteados por las necesidades productivas de la sociedad en cuestin. D e l estudio de las tablas, subyacente a la ejecucin de estas tcnicas, empiezan a surgir nuevos problemas, que esta vez provienen del interior de la propia prctica matemtica, problemas que sealan un nuevo nivel de autonoma y de abstraccin en las matemticas. Por supuesto que sta no es, probablemente, la nica fuente de una autonomizacin de ese estilo: se puede suponer, por ejemplo, que las necesidades pedaggicas, el entrenamiento en el uso de las diferentes tcnicas, separadas cada vez ms de la prctica cotidiana, estn en el origen de muchos problemas. Pero, tambin en este caso, el desarrollo de las tcnicas es el que engendra la evolucin dinmica de la disciplina.

Hemos visto que ciertos clculos, ligados a las tcnicas de la duplicacin de los cuantavos impares y a la bsqueda de los dos tercios de una fraccin, causaron problemas a los egipcios, quienes, para esos casos en concreto, recurran a tablas. Veamos el texto que est al lado de la tabla de los dos tercios en el papiro Rhind:

Un paso ms... del lado de Egipto

LAS MATEMATICAS E N EGIPTO Y EN MESOPOTAMIA2

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LAS MATEMATICAS EN EGIPTO Y EN MESOPOTAMIA

Hacer los / de una fraccin. Si se te dice "Qu son de V ? " : Hars sus 2 veces y sus 6 veces. Eso son sus / . Mira, eso es lo que se hace de la misma manera para cualquier fraccin que se presente.3 3 s 2 3

La determinacin de los inversos es una de las zonas de dificultad mayores de los babilonios. L a construccin de tablas de inversos est precisamente en el origen de reflexiones y trabajos ulteriores sobre ese asunto. Veamos, por ejemplo, una tablilla protobabilnica, acompaada por su reescritura simblica: El ibibm era superior al igm en 7. Cules son el igm y el igibir! T, el 7, en que el igibm era superior al igm, fraccinalo en 2: 3 30. Multiplica 3 30 por 3 30: 12 15. A 12 15, a lo que esto ha ascendido para ti, aade 1 [...]: 1 12 15. Cul es la raz de 1 12 15? 8 30. Inscribe 8 30 y 8 30, su igual. Separa 3 30, el takiltum, de uno de ellos, ade(selo) al otro. E l primero es 12, el segundo es 5. E l igibm es 12, el igm es 5.Texto babilnico El igibm era superior al igm en 7. Cules son el igm y el igibm! T; el 7, en que el igibm era superior al igm, fraccinalo en dos: 3 30. Multiplica 3 30 por 3 30: 12 15. A 12 15, a lo que esto ha ascendido para ti, adele 1 ;[...]: 1 12 15. Cul es la raz de 1 12 15? 8 30. Inscribe 8 30 y 8 30, su igual. 1 2 3 4 5 (7 x)7 = 3.302

Un paso ms... del lado de Babilonia

Este breve texto es nico entre todos los problemas matemticos egipcios que conocemos. Sin embargo, como tantos otros, comienza anunciando lo que trata: el clculo de los dos tercios de una fraccin. Sigue, como de costumbre, el ejemplo particular que ser estudiado: / de 7 . Pero lo que viene a continuacin no es habitual. E l texto dice: Hars sus 2 veces y sus 6 veces; dicho de otra manera, se invita al estudiante a multiplicar el denominador del cuantavo de partida por 2, y luego, de manera independiente, por 6. Los dos cuantavos formados, sumados (es decir, en este caso, yuxtapuestos), sern sus dos tercios. Hoy en da diramos: / x 1/JV = 1(2N) + 1/(6N). El caso concreto de 7 ha desaparecido por el camino! L o que tenemos en su lugar es, por tanto, una regla general. L a dificultad real que experimenta un egipcio para escribir una regla de esa naturaleza es visible en la torpeza de la formulacin, en la misma introduccin de un ejemplo numrico que, de hecho, no interviene. L a frase final, Mira, eso es lo que se hace de la misma manera para cualquier fraccin que se presente. es la conclusin corriente de los procedimientos matemticos (o mdicos!): sirve en principio para indicar que el mismo algoritmo podra utilizarse para cualquier otro ejemplo numrico; pero aqu parece completamente superflua, ya que el procedimiento est previamente establecido en una forma completamente general! Todo esto tiende a probar que, si bien est claro que para un egipcio era posible expresar este nivel de generalidad, ello constitua, no obstante, una novedad relativamente incmoda de manipular. E l intento un poco irrisorio de encajar, esta idea nueva en el viejo molde de los algoritmos numricos muestra precisamente hasta qu punto era difcil. De hecho, este ejemplo es un ejemplo aislado entre los textos que poseemos; incluso mucho ms tarde, en las obras matemticas de los perodos helenstico y romano, slo en muy contadas ocasiones se repiti la experiencia. Pero por qu este intento? Y por qu en este sitio? Y a he mencionado que el problema se encontraba precisamente a continuacin de una pequea tabla de fracciones de fracciones, en una mayora de cuyos casos se calculaba los dos tercios de un cuantavo: junto al caso fcil de TJ encontramos / de %, de %, de % y de Que esta tabla haya sido copiada o calculada no nos importa: las tcnicas egipcias hacan necesarias esas tablas, ya que el clculo de los dos tercios es uno de los ncleos duros de las matemticas de Egipto. Acaso no se puede concebir que la construccin y sobre todo el uso constante de esas tablas pusieran en evidencia regularidades en su formacin? Y que esas observaciones pudieran intentar expresarse en el lenguaje de las matemticas algortmicas? Dicho de otra manera, la zona de dificultad de las matemticas egipcias proporcion, por la puesta a punto adyacente de tablas, a la vez la posibilidad y la motivacin para pergear avances conceptuales de los que este texto, por ejemplo, da testimonio.2 3 5 2 3 S 2 3

Nmero de etapa

Clculo

Tcnica

desduplicacin multiplicacin adicin raz cuadrada bifurcacin sustraccin adicin

3;30x3;30 = 12;15 12;15+1.0=1.12;15 yi.l2;15 = 8;30 8;30 8;30 8;30-3;30 = 5 8;30+3;30=12

Separa 3 30, el takiltum, de uno de ellos; ade(selo) al otro. El primero 6y7 es 12, el segundo es 5. El igibm es 12, el igm es 5.

El algoritmo nos propone algunas operaciones que an no nos son familiares: la desduplicacin en la etapa 1; la raz cuadrada en la etapa 4 y muy especialmente la bifurcacin en el nivel de las etapas 5 a 7: esta ltima, que opera en el nivel estructural del algoritmo, permite utilizar el mismo dato en dos etapas diferentes y se usa frecuentemente en los algoritmos babilnicos para convencernos de nuevo, si fuera necesario, del grado de sofisticacin algortmica alcanzado! Pero nuestro propsito esencial no es se. Los datos parecen incompletos a primera vista: tenemos que encontrar dos nmeros llamados igm y igibm, de los que lo nico que conocemos es su diferencia, 7. De hecho, la propia designacin de los nmeros proporciona una informacin suplementaria: el igm y el igibm son los nombres de las dos columnas de una tabla de inversos; dicho de otra manera, sabemos, como cualquier estudiante babilonio, que el producto de nuestros dos nmeros es el l . De hecho, el problema en su conjunto parece extrado directamente de la observacin de una tabla; todo indica esa fuente: el vocabulario, o que el producto se d implcitamente; en conclusin, la propia pregunta se basa en las relaciones aparentes que existen en una tabla de inversos.1

1

Ms precisamente, en este caso, 1.0, una sesentena. (Nota del Traductor.)


74


Ahora bien, este tipo de problema, bajo uno u otro disfraz, tendra un brillante porvenir en Mesopotamia. L a bsqueda de nmeros cuyo producto y cuya suma (o diferencia) se dan es un clsico de la educacin matemtica babilnica. Sucede a menudo que se plantea la pregunta en trminos del rea de un cuadrado a la que se aade, o se resta, un lado La interpretacin habitual entre los historiadores de las matemticas es que tales problemas son el testimonio de un lgebra naciente; es indudablemente cierto que aadir superficies y longitudes, por ejemplo, indica el camino de un nuevo nivel de abstraccin para los nmeros y testimonia que se liberan de su uniforme dimensional. Pero esto muestra sobre todo la importancia de las tcnicas, desarrolladas a priori para tratar un problema especfico, en la invencin de nuevos caminos que explorar y, ms concretamente aqu, el poder de sugestin que ha tenido la organizacin tabular. Varias de las conclusiones que hemos obtenido de esta discusin sobre las matemticas antiguas podran ser de cierto alcance para las matemticas en general. La ventaja de mirar las pocas ms primitivas de una ciencia es que, a menudo, la combinacin de la lejana histrica y cultural nos desembaraza de algunos de nuestros prejuicios, en particular del prejuicio segn el cual la ciencia debe fundarse segn lo que es hoy en da. Los problemas tratados pueden parecer elementales a nuestros ojos, y su estudio, menos gratificante que la reconstruccin hipottica del modo de fabricacin de las tablas utilizadas. Pero, como tampoco en matemticas, no hay camino real en la historia de las ciencias; y si, por ejemplo, una parte importante de la actividad matemtica se concentraba en torno a la lectura y la consulta de tablas, es primordial estudiar en detalle las incidencias de este tipo de trabajo en el desarrollo del dominio. M e limitar a sugerir algunas pistas para abordar una reflexin sobre estos asuntos: N o hay ninguna necesidad interna en la manera en que se resuelve un problema matemtico dado. Las tcnicas de resolucin estn ligadas a la cultura en que nacen y culturas diferentes resolvern el mismo problema por caminos diferentes, aunque los resultados finales puedan, por supuesto, ser similares. Por otra parte, esto no quiere decir que no haya problemas comunes a varias civilizaciones. ' Tampoco hay ninguna lnea directa que conduzca inevitablemente de los problemas prcticos a los problemas abstractos. Tcnicas diferentes pueden sugerir direcciones diferentes que explorar y stas, a su vez, pueden presentar niveles diversos y otros tipos de problemas y de enfoques ms alejados de las necesidades productivas inmediatas de la sociedad. Nuestros ejemplos, sacados del antiguo Egipto y de Babilonia, indican tambin la importancia, a este respecto, de los ejercicios de adiestramiento y de las tcnicas de aprendizaje. Finalmente, el desarrollo de las matemticas en su comienzo pone en evidencia la necesidad de un anlisis ms fino de la relacin entre las necesidades materiales de una sociedad y la naturaleza de la investigacin matemtica, que se engendra libremente. Si las matemticas antiguas nunca fueron simplemente prcticas y empricas, quiz tambin es igualmente cierto que las matemticas contemporneas no son puramente abstractas y especulativas. Si las tcnicas sirven de intermediarios de los avances de un dominio, no debe pensarse que cualquier problema matemtico

que surge en una sociedad dada est, a fin de cuentas, ligado a las tcnicas que esa misma sociedad ha forjado? Y, recprocamente, que las matemticas, igual que las sociedades, slo pueden plantearse las preguntas para las que existe, al menos en potencia, una respuesta?

Gnomon: los comienzos de la geometra en GreciaMICHEL SERRES

La geometra griega surge, quizs, de la astronoma y de los algoritmos corrientes en la Media Luna frtil

a diseminacin de los puertos, de Apolonia sobre el mar Negro a Cirene la Africana, o de Perga en Asia Menor a Sicilia o a Italia, se extiende tanto como se concentran los productores de conocimientos en escuelas rivales. L a sociedad docente y cientfica reproduce desde su nacimiento a la sociedad real. Ciudades-estado se dispersan y se enfrentan en las mrgenes del mar: la pequea ciudad ateniense de Academia, por ejemplo, bajo la direccin de Platn, libra tambin encarnizadas batallas contra diez sofistas, como sella alianzas temporales con extranjeros de Crotona, Cnido, Lcride, Elea: Pitgoras, Eudoxo, Timeo, Parmnides, Teodoro de Cirene.

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E l helenismo nunca logr la unidad, ni cuando florecieron las hegemonas de Atenas, Tebas, Esparta, ni cuando las grandes potencias de los cuatro puntos cardinales, medos y persas, macedonios, cartagineses o romanos la amenazaron con la destruccin. Ninguna liga dur mucho tiempo, porque los griegos, incansables rivales en las riberas del mar, slo se limitaron, como Alcibades, a soar un imperio unitario. Las ciudades o los reyezuelos se detestaban con tanta valenta como los filsofos. Sin embargo, el litoral se heleniza: las mrgenes de los tres continentes, Asia, frica, Europa hablan griego. Pero la lengua comn del comercio nutico perece, como perecen las breves hegemonas, las escuelas, los dioses menores, as como lo que nosotros llamamos economa. N o quedar nada de nada. A este derrumbamiento llamamos Antigedad. Ahora bien, en menos de cuatro siglos, de Tales de Mileto a Euclides de Alejandra, y lo hayan querido o no los pensadores griegos, rivales de ciudades y de escuelas, en economa y religin, siempre obstinados en contradecir al otro, hijos de la tierra contra amigos de las formas o pensadores de lo mutable contra filsofos de la eternidad, construyeron juntos, de forma fulminante e inesperada, un imperio invisible y nico cuya grandeza perdura hasta nuestros das, una constitucin sin parangn en la historia, en la que an trabajamos con los mismos gestos que ellos, y sin abandonarla con el pretexto de la confusin de nuestras lenguas, ni siquiera cuando nuestros odios aumentan. La humanidad form alguna vez un acuerdo equivalente? Este inslito logro se llama matemticas.11

Del Imperio griego

Las pirmides de Egipto y su estela de sombra. (Vista area de las pirmides de Gizeh.)

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Salvo excepciones, los productores se agrupan en Escuelas. Se parecan stas a centros de investigacin y enseanza, a sectas filosficas, a comunidades religiosas, a grupos de presin, partidos polticos, clubs o bandas? Lo ignoramos. Pero no importa qu colectivo se parece poco o mucho a todo esto, considerado como conjunto, incluso en la actualidad. Las escuelas Fin del siglo vn a. de C. 1. Fsicos de Mileto: Tales, Anaximandro, Anaxmenes. Naturaleza como objeto de ciencia. 2. Pitagricos de Crotona: Pitgoras de Samos. Nmeros; duplicacin del cuadrado; aritmtica, ciencia fundamental. Fin del siglo iv - siglo v a. de C. 3. Escuela de Elea: Jenfanes de Colofn, Parmnides, Zenn, Melisos. Unidad.

Mediados del siglo v a. de C. 4. Escuela de Quos: Oinpides, Hipcrates. Cuadratura del crculo; del cubo; triseccin del ngulo; primeros elementos. Siglo v a. de C. 5. Hipias de Elis, Euclides de Mgara. Cuadratriz.

duplicacin

Siglos v y iv a. de C. 6. Atomistas de Abdera: Leucipo, Demcrito. Primer algoritmo infinitesimal.

Siglo iv a. de C. 7. Escuela de Atenas: Platn, Espusipo. Poliedros. Vinculados a ella: Teodoro de Cirena, Tetetos. Irracionales. 8. Escuelas de Czico: Eudoxo de Cnido (Egipto, Tarento) Aritmtica; secciones cnicas. 9. Espacio Fin del siglo iv a. de C. E n una regin muy restringida se concentran Samos, donde naci Pitgoras, el Mileto de Tales, el feso de Herclicto, por no hablar de Patmos, la isla griega a la que San Juan Evangelista se retirara ms tarde: cuna de la aritmtica, de la geometra y de la fsica, es decir, tres definiciones del logos, nmero, relacin o invariante, sin contar la del Verbo. Ampliando un poco este circulo, encontramos otros lugares productores de matemticas o de matemticos, la isla de Quos y todo el litoral del Asia Menor, de Cnido a Czico. En los mismos sitios, se cuenta que se inventaron la escritura alfabtica, el dinero y la moneda, la metalurgia del hierro; y, un poco ms al sur, apareci el monotesmo. Si ampliamos an ms el espacio, el Mediterrneo oriental, cuyo mapa se muestra aqu, Jonia, Egipto, Grecia, Italia, sin contar a Palestina, configura la interseccin de Africa, Asia y Europa, territorio de ciudades martimas que sufran en sus espaldas la presin de los grandes imperios, egipcio, medo y persa, y muy pronto tambin del romano, y que tenan su punto de encuentro en los intercambios martimos. De esta grieta fsica y humana en actividad desde el principio de los tiempos, surgieron la ciencia, nuestras religiones, la historia y el grueso de las tradiciones de las que hemos vivido hasta hoy. Tiempo E l periodo ms activo va desde fines del siglo vii a fines del m y un poco antes, o sea ms de trescientos aos, lapso equivalente al que nos separa de Descartes. Durante los siglos que siguieron, Hiparco, Ptolomeo o Diofante inventan la trigonometra, un modelo clsico del mundo, y la primer lgebra, pero el movimiento se hace mucho ms lento hacia fines del milenio que transcurre entre Tales y Proclo. Faltan las fuentes directas de los resultados que preceden y preparan a Euclides, reconstruimos las cosas a partir de los textos de Platn y Aristteles, de los Elementos y de autores todava posteriores, autores de comentarios u otros, salvo rarsimos fragmentos. Nuestros nicos testigos hablan, pues, a una distancia a veces tan grande como la que nos separa del Renacimiento, de all la fragilidad de nuestras reconstrucciones. 10. Escuela de Alejandra: Euclides. Elementos. Peripatticos: Aristteles, Autlico de Ptane, Eudemo. Enciclopedia; historia.

Siglo ni a. de C. Arquimedes de Siracusa (287-212): espiral; grandes nmeros. Erasttenes de Cirene (276-195); geodesia; nmeros primos. Apolonio de Perga (262-180); secciones cnicas. Siglo n a. de C. Hiparco de Alejandra: trigonometra.

Siglos i y n d. de C. Ptolomeo de Alejandra (90-168): sistema del mundo. Fin del siglo m d. de C. Pappus de Alejandra: geometra. Siglo iv d. de C. Diofante de Alejandra: aritmtica y lgebra.

Siglo v d. de C. Escuela de Atenas formada por Proclo (412-485): comentarios.

Tradicin La historia, tal como hoy se escribe, prohibe hablar de milagro, como lo hizo Ernest Renn, para explicar el origen de la geometra en tierras griegas. Los cientficos actuales admiten la existencia de acontecimientos rarsimos en algunas disciplinas, los historiadores, por el contrario, no los encuentran en la suya propia y slo reconocen leyes. Como si

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el tiempo monocorde hubiera cambiado de campo. Sin embargo, el nacimiento del espacio abstracto constituye un acontecimiento totalmente inesperado para quienes saben lo que sucedi en los clculos de Egipto o de la Mesopotamia; sin embargo la construccin de este imperio griego al que an estamos sometidos, puede parecer an ms improbable: prueba de esto es que no figura, a pesar de su viva y tangible realidad, en ningn libro de historia. Todos, durante la infancia, hemos vuelto a hacer el viaje de Samos a Mifeto, del clculo de los enteros a los casos de igualdad entre tringulos, y de Mileto a Quos o a Abdera, hacia la medicin del crculo o del cono y del cilindro, y, si hemos continuado, nuestra odisea nos condujo a todos los puertos del mapa, retomando desde sus comienzos el tiempo de construccin de esos objetos ideales, transparentes. Existe desde entonces una sola escuela en el mundo que haya dejado de ensear a los nios los mismos elementos en un mismo lenguaje? Matemticas en griego antiguo quiere decir lo que se ensea o aprende: dnde y cundo no se ensean? Iranes, espaoles, franceses, ingleses, tamiles, todos hemos hablado en griego al decir paralelogramo, logaritmo y topologa. Esta lengua en este sistema perdura an y nos une. Nada queda en aquellas ciudades, ni de Cirene ni de Perga, nada queda de esas escuelas, ni de Elea ni de Cretona, ni templo, ni armas, ni comercio, ni talleres de produccin, pero la lista que va de los enteros a las secciones cnicas no tiene ni una arruga, incluso si a veces, bajo los trminos de nmero o diagonal, no entendemos lo mismo que los antiguos griegos. Quin pudo burlarse mejor de la historia y de sus fluctuaciones que el pequeo colectivo que, tan tempranamente, instituy esta rbrica nica en el tiempo y resistente a su usura? Quin despreci ms las batallas que este grupo de irreconciliables enemigos, que forjaban una lengua comn, la nica que supo detener los conflictos y que no tuvo jams necesidad de traduccin? Todos los culturalismos del mundo nada tienen que hacer con esta comunidad o con la universalidad de su enseanza. Estamos separados de la Antigedad por todos los caminos posibles; pero a travs de las matemticas, sigue siendo contempornea a nosotros. Sin ninguna extraeza, ya que con ella no podemos cometer ningn contrasentido.

Duro y blando Tales fue al pie de las pirmides para evaluar las condiciones de la larga duracin? Qu es lo que hay que hacer para permanecer? L a guerra, el juego mortal del ms fuerte, la tirana, los intercambios, la esclavitud, los instrumentos, la produccin, todo se detiene en algn momento. E l ms fuerte no es jams lo bastante fuerte para tener siempre el tiempo. L a gigantesca masa de piedras se desgrana o se cubre de arena bajo los vientos, y sin embargo la tumba de Keops maximizaba todas las claves, estrategias, potencia y capital, religin, armamento y fortuna. Su volumen, cuyas piedras, segn calcul Bonaparte, podran circundar Francia con una muralla alta y continua, no accede sin embargo a la dimensin del tiempo. Qu imperio llegar a l? En la poca de Tales, el viejo faran estaba doblemente muerto, casi olvidado. El ms duro no dura. As como otras culturas, para perdurar, representaron el papel no del vencedor sino de la vctima, Tales invierte el juego del ms duro: slo perdura el ms blando. Todas las materias y potencias se desgastan, qu ser de la forma pura? De la imagen ms desvanecida, de la menos

concreta, la ms ligera, la menos decible de todas? De aqulla cuya escritura no tiene ninguna importancia, y hasta su huella puede perderse sin prdida alguna para el sentido, y hasta su memoria puede pasar o morir sin inconvenientes para la historia? Dibjala mal, no importa. No la dibujes, no la escribas, qu ms da. Ms: destruye fuentes y testimonios, arrasa monumentos, quema manuscritos parciales o bibliotecas enteras, borra casi por completo el periodo en el que esta forma naci, y permanecer sin embargo contra toda anulacin, invariable desde el momento en que entr en el rigor, presente hasta en nuestros olvidos. Hasta su concepto puede variar sin gran perjuicio: ya no entendemos una razn semejante ni la misma similitud, y sin embargo, nada cambia de manera notable. Que de la pirmide quede un desplazamiento en el espacio de las homotecias, teorema tan fugaz y suave como un rayo de sol acechado por sus sombras, y llenar finalmente la dimensin del tiempo. Trasladando la sombra de la tumba a la de un poste o a la suya propia, Tales enunciar la invariabilidad de una misma forma por variacin de la altura. Su teorema comporta, pues, la progresin o reduccin infinitas de la dimensin conservando siempre una misma relacin. De lo colosal, la pirmide, a lo mediocre, poste o cuerpo, y as tan lejos como se quiera hacia lo pequeo, el teorema expresa un logos o una relacin idntica, la invariabilidad de una misma forma, del modelo gigante al modelo reducido, y, recprocamente: qu desprecio, de pronto, por la altura y por la fuerza, qu aprecio por la pequenez, qu desaparicin de toda escala o jerarqua, en adelante irrisorias, ya que cada estadio repite el mismo logos o relacin sin ningn cambio! Tales demuestra la extraordinaria debilidad del material ms pesado jams unido, as como la omnipotencia, con relacin al tiempo que pasa,

Las pirmides

de Gizeh.

Digenes de Laercio: Jernimo dice que Tales midi las pirmides segn su sombra, observando el momento en el que nuestra propia sombra se iguala a nuestra altura. Plutarco: La altura de una pirmide se relaciona con la longitud de su sombra exactamente como la altura de cualquier objeto vertical mensurable se relaciona con la longitud de su sombra en el mismo momento de la jornada.


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a ningn sistema lgico: al mismo logos, a condicin de redefinirlo, no ya como palabra o decir, sino, sutilizndolo, como relacin semejante; ms suave an, porque los trminos se desequilibran, se borran el uno al otro de manera que no quede ms que su pura y simple relacin. De los restos mximos del poder mximo de la historia ptimamente conservados, Tales obtiene la suavidad y la ligereza mnimas. Hasta la medida se olvida en el nuevo logos de la similitud, en el que una relacin entre pequeos es igual a otra entre grandes. Milagro: de medios casi nulos nace el ms perdurable de los imperios posibles, que se burla de la historia sin conocer la decadencia. Comenzamos apenas a estimar semejante economa, cuerno de la abundancia que provee infinitamente a partir de casi nada.

Sol y Tierra

Toda esta aventura comenz con la astronoma? Cmo se observaba en la Antigedad? ' L a aguja del cuadrante solar o gnomon proyecta sombras sobre el suelo o plano de lectura, segn las posiciones de los astros y el sol en el curso del ao. Desde Anaximandro, se dice, los fsicos griegos saben reconocer en estas proyecciones algunos acontecimientos del cielo. L a luz que llega desde lo alto escribe sobre la tierra o la pgina un dibujo que imita su paso, que representa sus formas y sus lugares reales en el Universo, por medio de la punta del estilete. Como en esos tiempos nadie tena verdaderamente necesidad de reloj y las horas variaban mucho, ya que los das de verano o de invierno, sean cuales fueren su longitud o brevedad, se dividan invariablemente por doce, el cuadrante solar poco serva para indicar la hora, de forma que el reloj no lo ha desplazado en absoluto, sino que, en tanto instrumento de investigacin cientfica, mostraba un modelo del mundo, dando la longitud de la sombra a medioda en los das ms largo y ms corto, e indicando pues equinoccios, solsticios y latitud del lugar, por ejemplo: ms observatorio, entonces, que reloj. N o sabemos verdaderamente por qu el eje o pivote se llama gnomon, pero no ignoramos que esta palabra designa lo que comprende, decide, juzga, interpreta o distingue, la regla que permite conocer. L a construccin del cuadrante solar introduce la sombra y la luz naturales que esta regla, aparato de conocimiento, intercepta. Segn un pasaje de Herdoto citado con frecuencia, parece que los griegos heredaron de los babilonios el gnomon y la divisin del da en dos partes: quin podr decir lo que debe la divisin sexagesimal de estos ltimos a la divisin del ao en trescientos sesenta das, y quin podr decir lo inverso? E n suma, cada ngulo o segmento de treinta grados divide el cielo en zonas que la lengua griega designa o8iov {zdior), de cpov (zon), animal, y 5c, (odos), va, es decir, figura de animal o de cualquier otro ser vivo; el adjetivo correspondiente designa la rbita, la ruta, el camino zodiacal. Recprocamente, el sustantivo expresa los signos del zodaco. E l cielo se puebla de formas vivas, punto por punto. Remontar de las sombras a la luz que las form, y de sta a su fuente nica, es sta una leccin de Platn, cuando habla del conocimiento. N o se trata de una imagen potica, sino del gesto cotidiano de los astrnomos, ms precisamente de su mtodo, que deduce mil indicaciones de la longitud y de la posicin de la huella o marca oscura. Ellos saban construir en esta ptica una regla tan precisa como el estilete que escribe. L o negro de la tinta sobre la pgina blanca refleja la vieja sombra que nos llega del Sol por la aguja del gnomon. Esta punta

escribe sola sobre el mrmol o sobre la arena, como si el mundo se conociera a s mismo. Quin sabe, quin conoce? L a Antigedad nunca formul estas dos preguntas. Dnde colocar la cabeza o el ojo, en este observatorio? En la playa de sombra, en la fuen'e luminosa, en el sitio de la punta del cuadrante? Estos son problemas modernos. Por ejemplo, el uso del anteojo astronmico -supone que se ha inventado el sujeto, que va a colocarse en el lugar adecuado del objetivo, contemplando, observando, calculando, ordenando los planetas: en lengua griega antigua no existe. En aquellos tiempos, el mundo mismo se llenaba de conocimiento, as como se dice que los cielos cantan la gloria de Dios. Para esta cultura, el gnomon conoce: discierne, distingue, intercepta la luz del sol, deja huellas sobre la arena como si escribiera en una pgina blanca, s, comprende. Entre el espacio exterior y sus acontecimientos claros u oscuros residen el conocimiento y el cuerpo entero; la vida, el destino y el grupo estn inmersos en la extensin o en el mundo, del que ya no se distinguen. ste se aplica sobre s mismo, se refleja en el cuadrante, y participamos en este acontecimiento ni ms ni menos que una estaca, ya que, de pie, tambin hacemos sombra, o, escribas sentados, estilete en mano, tambin dejamos huellas. L a modernidad comienza cuando este espacio mundial real pasa a ser escena, y esta escena, dirigida por un director, se vuelve del revs como un dedo de guante o un esquema de ptica simple ,y se sumerge en la utopa de un sujeto cognoscente interior, ntimo. Este agujero negro absorbe el mundo. Pero antes de esta absorcin, el mundo como tal sigue siendo la sede del conocimiento. Y a no podemos comprender esta frase, nosotros que, adems, destruimos lo que conocemos.

Gnomon: aguja o eje del cuadrante solar. (Siglo i d. de C, Egipto.)


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Remontar de las sombras a la luz y de las imgenes reproducidas o proyectadas a su modelo, son stas lecciones comunes a la astronoma griega y a la teora platnica del conocimiento. Que el instrumento que permite esta operacin se llame, en la primera, gnomon, es lo que nos ayuda a situar osadamente fuera de nosotros el centro activo del saber. Adems, el firmamento se puebla de formas vivas, los signos del zodaco. Si la luz proviene del sol, hasta cuando ste desaparece durante la noche, quin lleva entonces en sus espaldas las estatuas, de madera o de piedra, de los animales, en el alto camino del zodaco, para que stas se proyecten, inmensas, en la sombra pared del cielo? L a caverna platnica describe el mundo mismo. N o sabremos jams si Platn percibi primero, en la bveda estrellada sobre su cabeza, la Osa y el Perro, antes de concebir en su filosofa el cielo inteligible de las formas, que precede o condiciona la inteligencia de las cosas del mundo, pero vemos con claridad que las apariencias de las constelaciones se reducen a puntos. Nadie ha visto nunca, en realidad, Libra o Aries, sino simplemente, un simplejo: jams una imagen continua y difuminada, sino clavos yuxtapuestos. Como si los modelos celestes siguieran fieles a la teora de los pitagricos, para quienes todas las cosas son nmeros. Pero de dnde salen estas estatuas que proyectan sombras centelleantes en el negro cielo?

El perfil del Universo

'Alejandra Siena O*'

nXoq o polos: porcin de esfera hueca en cuya concavidad se proyecta la sombra del gnomon.

ElA gnomon o cuadrante solar sirve menos para indicar la hora, de la que todo el i mundo se burla desde la Antigedad hasta nuestros abuelos, que para construir un modelo geomtrico del Universo: a la vez observatorio y esquema cosmogrfico del mundo. AB representa el estilete del gnomon, B C mide la sombra que produce el sol a medioda en el solsticio de verano, B E la del solsticio de invierno, B D la sombra equinoccial. Las rectas y el crculo se dibujan entonces sobre el meridiano y lo definen, la lnea F G representa el horizonte y el punto A, la Tierra, flotando en el centro de la esfera del mundo. A partir de aqu, las lneas M J y K H siguen los trpicos y LI el ecuador, as como N O perpendicular a ste, el eje del mundo. El ngulo E N O igual a B A D da exactamente la latitud del lugar y el ngulo D A E , igual a D A C , la inclinacin de la eclptica, estimada en 24, es decir, el segmento circular incidido por el pentadecgono regular. El conjunto de estas informaciones, descubiertas sucesivamente desde Anaximandro a Vitruvio (arquitecto romano del siglo i a. de C.) y de Piteas de Marsella (navegante y gegrafo griego del siglo v a. de C.) hasta Ptolomeo pasando por Hiparco, se remonta en gran parte a una muy remota Antigedad. Tales escribi dos libros sobre los equinoccios y los solsticios; Oinpides dio sin duda la estimacin en 24 de la inclinacin de la eclptica. Hay que leer este esquema como un perfil del mundo tal como lo conceban los sabios griegos, pero tambin como una suma de la historia de su ciencia: cada generacin, desde el siglo v, dedujo de l al menos una lnea. Para dar una idea ms exacta de las prestaciones que los griegos obtenan del gnomon, veamos cmo calcula Erasttenes (276-2195 a. J. C). Coloca uno en Siena, en Egipto, no lejos de la primera catarata del Nilo, ciudad situada sobre el trpico de Cncer. En este lugar no produce sombra a medioda el da del solsticio de verano. El mismo da a la misma hora, Eratstenes mide el ngulo que hace el sol con un segundo gnomon situado en la ciudad de Alejandra, que l supona situada sobre el mismo meridiano. Los dos ngulos altemos-internos de la figura son iguales; luego, el que ha medido vale la quincuagsima parte de un crculo, basta pues con multiplicar por cincuenta la distancia de Alejandra a Siena para obtener la longitud entera del meridiano terrestre, resultado grandioso obtenido con medios mnimos. Para mejorar la medicin, Eratstenes estima la sombra del gnomon no ya proyectada sobre un plano, sino sobre una esfera o quizs el noXos (polos) del que habla Herdoto en el pasaje ya citado.

Nos cuesta traducir la palabra gnomon porque vibra con armnicos Mquina y memoria en torno a la cosa que designa, y porque el conocimiento emite destellos en la punta de su eje. Literalmente significa, bajo una forma aparentemente activa: el que discierne, el que regula, pero designa siempre un objeto. En su comentario a la segunda definicin del segundo libro de Euclides, Thomas L. Heath lo describe como a thing enable something to be known, observed o verified, una cosa que permite que algo sea conocido, observado o verificado. L a proximidad de estas dos cosas o su repeticin tiene un sentido: por si solas tienen relacin entre ellas. En esta cosa o por ella, en el lugar que sta ocupa, el mundo muestra el conocimiento. Como el eje del cuadrante se ergua perpendicular a su plano, la expresin a la manera del gnomon, expresaba entre los griegos, en un perodo arcaico, el ngulo recto o plomada. De pronto, podramos traducirlo casi por regla o escuadra, tanto ms cuanto Euclides, en el pasaje indicado, llama gnomon a las reas de los paralelogramos complementarios de un paralelogramo dado, de manera que su adicin o sustraccin haga a ambos semejantes entre s. As, una escuadra ofrece dos rectngulos o dos cuadrados complementarios de un cuadrado o rectngulo dado; la propia palabra parece significar la extraccin del cuadrado o cuadrante. Una vez ms, cmo describir el gnomon? Como un objeto, una caa cuyo emplazamiento apropiado da sorprendentes resultados, latitud, solsticio, equinoccio. Datos que suministra automticamente. Esto quiere decir que funciona solo, sin ninguna intervencin humana, como un autmata, sin sujeto motor: conocimiento maquinal, ya que intercepta un movimiento, el del sol. Preferimos aqu mquina a instrumento, pues, para nosotros, el til hace referencia al sujeto que lo utiliza o a la accin voluntaria y terminada para la cual ha sido concebido y fabricaGnomon do. Por el contrario, la actividad mental que designa la palabra gnomon realiza uno de los primeros conocimientos automticos de la historia, es la primera mquina que une material a sistemas lgicos. E l papel del sujeto, su funcin cognoscente o pensante, no tienen aqu nada en comn con los que adquirirn en lo que hasta hoy llamamos conociCaja de paralelogramo miento cientfico. E l clculo de las latitudes a partir de la sombra del sol en los solsticios y en los equinoccios, primer vnculo matemtico entre la astronoma y la geografa, dio lugar, por otra parte, al establecimiento, por Ptolomeo o antes por Hiparco, de lo que la Antigedad llam tablas de cuerdas: largas listas de relaciones entre la medida de los lados de los tringulos rectngulos y la de sus ngulos, en estas tablas puede leerse el nacimiento trigonomtrico. Memoria y gnomon: a la mquina Caja de rectngulo corresponde la tabla, al conocimiento automtico se asocia la mnemotecnia. De la misma manera, en la ciencia de los babilonios coexisten los procedimientos automticos de clculo y las tablas de medida. Dicho de otro modo y de forma ms general, un pensamiento algortmico muestra siempre dos componentes, uno que se puede llamar maquinal, y otro al que hay que llamar mnemotcnico. Capitalizacin o recapitulacin de los resultados de los procedimientos maquinales o condiciones de su reconduccin. E l autmata y las tablas o los diccionarios. Material y Caja de cuadrado sistemas lgicos.


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Antiferesia o algoritmo de Euclides (procedimiento) M C D . Sean dos nmeros, 20 y 12. Si dividimos el primero por el segundo, queda 8 como resto; si se divide 12 por 8, queda 4, y si de nuevo se divide 8 por 4, la operacin, exacta, no deja resto. Decimos entonces que 4 divide al mismo tiempo a 20 y a 12 en su calidad de mximo comn denominador. Para encontrarlo, se han dividido los dos nmeros, uno por el otro, y el segundo por el resto de la divisin, luego ste por el segundo resto, el tercero por el segundo, y continuamos asi hasta que no quede ningn resto. Llamamos M C D al ltimo nmero de la serie. Elementos. La antiferesia consiste en una sustraccin que resta la menor de dos magnitudes de la mayor y confronta la menor con el resto, y as sucesivamente. VII, 1: Dados dos nmeros desiguales, si resta siempre el menor del mayor, si el resto no tiene el mismo valor que el nmero anterior a l ms que cuando se haya tomado la unidad, los nmeros propuestos sern primos entre s. X, 2: dadas dos magnitudes desiguales y restndose la menor de la mayor, si el resto no vale nunca el resto anterior, estas dos magnitudes sern inconmensurables. Msica (tabla o mquina)

Euclides.

Arpad Szabo describe en los Comienzos de las matemticas griegas la Sectio canonis atribuida a Euclides. La cuerda entera se divide para producir la cuarta o la quinta. Se resta entonces el segmento pequeo del grande. Se sustrae el resto del segmento pequeo. Se puede proceder a esta sustraccin dos veces para la quinta y tres veces para la cuarta (2/3 y 3/4). As, despus de haber sustrado el segmento pequeo del mayor, se sustraa el resto del segmento menor hasta la desaparicin final de todo resto. Este es, segn Szabo, el origen del algoritmo de Euclides.

Otra razn? Todo el conocimiento anunciado por la palabra gnomon y acumulado en torno a su estaca, todo este saber objetal y tabular, se distinguen netamente de lo que, en matemticas, agrupamos clsicamente en torno a la demostracin o a la deduccin, y, en lo concerniente a la fsica, de la experiencia, segn los criterios de rigor y de exactitud, as como en torno al sujeto, personal o colectivo. Hay aqu otro logos, una episteme diferente, en suma, otra razn, que nos gustara llamar algortmica. E l pensamiento algortmico, eficaz y presente en egipcios y babilonios, coexiste en la Grecia antigua con la nueva geometra, aunque disimulado por su transparencia; as oculto por la matemtica oficial, helena de tradicin, perdurar, fecundo, durante muchos siglos, antes de adqurir, ya en nuestros das, un rango paralelo al de la primera.

Una astronoma sin ojo Un entendimiento formado en las ciencias modernas se sorprende de que haya podido existir, tan antiguamente, una astronoma sin vista ni mirada como la contempornea. Si el cuadrante solar no funcion casi nunca como reloj, si debemos verlo ms bien como un observatorio, la palabra misma, anacrnica y mal elegida, nos engaara. E l gnomon es tan poco el predecesor del teodolito como el cuadrante lo es del reloj. Pues el astrnomo griego no observa como lo hicieron las edades clsica y moderna, en las que se construyeron cpulas en torno a anteojos y telescopios. E l acto de ver no tiene aqu el mismo lugar ni ocupa el mismo sitio que el de conocer.

Estamos habituados a interpretar el conocimiento como un doblete de sensacin y formalidades abstractas, y los filsofos gustosamente repiten como loros que nada hay en el entendimiento que no haya estado antes en los sentidos. Esto supone un sujeto, y despus, un cuerpo y todo un entrenamiento que agudice la sensacin por medio de un material refinado. Aqu y en esta poca, el gnomon y el plano de proyeccin reciben solos la informacin, no el ojo. E l receptor objetivo, eje y marcas, dejar lugar al cuerpo sensible, pero lo ocupa primero. Cuando relatan la historia de Tales, que fue al pie de las pirmides para medir su altura, los historiadores o doxgrafos griegos confunden significativamente la sombra de un poste cualquiera y la de un cuerpo: ya se trate de una formidable construccin, de un poste, o de quien pensamos que observaba, qu importa, cada uno a su manera, piedra, madera o carne, asegura la funcin cannica del gnomon, la funcin de discernir, objetiva. Ciencia sin sujeto, ciencia que prescinde de lo sensible o que sencillamente no pasa por ello. Pongamos un poste en su lugar y no cambiar nada, construyamos una tumba de piedra en el sitio donde, cadver, se descompone, y el saber permanece. Que aqu podamos ver luz, sombras, y su contraste, toda una escena sensorial, quin podra dudarlo, pero nada de ella transita a travs de un sujeto, portador de facultades, filtrada o no por una teora o a punto de lograr su construccin. En el diagrama del sol, fuente luminosa, rayos, estaca, y escritura sobre el suelo, no hay lugar para el ojo, ni sitio que se pueda llamar punto de vista. Y sin embargo la teora se hace presente en l. L a medida exacta o aproximada, a veces rigurosa, la reduccin abstracta, el pasaje sabio del volumen al plano meridiano y de ste a la lnea, y de sta al punto, el modelo gemetra del mundo, se dibujan aqu sin que intervengan rganos, funciones ni facultades. E l mundo se da a conocer al mundo que lo ve: ste es el sentido de la palabra teora. Ms an: una cosa el gnomon interviene en el mundo para que ste pueda leer en s mismo la escritura que traza sobre s. Repliegue de conocimiento. En sentido literal, el gnomon es inteligente, ya que rene situaciones que elige entre mil, y por lo tanto discierne y comprende. Receptor pasivo, ve la luz, activo, escribe sobre la pgina la raya de sombra, terico, muestra el modelo del cielo. Para que volvamos a tener acceso a esta ciencia automtica, nosotros, contemporneos que hemos vuelto a conocer, s, esta inteligencia artificial, debemos olvidar los prejuicios filosficos del intervalo moderno: el hombre en el centro del mundo, en el lugar del gnomon, el sujeto en medio del conocimiento, su receptor y su motor universal, ms la reconstruccin imaginaria, en una oscura intimidad en la que nadie jams entr, salvo algunos filsofos trascendentales provistos de una mtica vara de oro, de esta misma escena de sombra y de luz reproducida a partir de un ojo real hacia el filtro de un legendario entendimiento. E n el fondo, nada ms fcil que dejar esta complicada facultad para simplemente leer lo que el sol escribe sobre el suelo. E l gnomon no es un instrumento en el sentido en que lo es un palo sostenido por un mono, que as prolonga su dominio, ni en el sentido de una lupa que aumenta el objetivo y aumenta las capacidades del ojo. E l artificio no se refiere al sujeto, que se orienta con l, sino que permanece objeto entre los objetos, entre el suelo y el sol, cosa que se ha vuelto inteligente por su ubicacin en un lugar singular del mundo que pasa por ella para reflejarse sobre s. Por medio del gnomon, el universo piensa avx Ka0'ax (auto kath'auto), se conoce a s mismo por s mismo. L a naciente idealidad matemtica no se refiri jams, en Grecia, a un


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sujeto pensante ni se pens por un idealismo. Por el contrario, el pensamiento que ms se impuso sigui siendo el realismo. Ahora, el realismo de las idealidades, conocer la forma cosa o la cosa forma, se muestra al pie del gnomon en la escena en la que las cosas ven las cosas. El punto, la lnea, el ngulo, la superficie, el crculo, el tringulo, el cuadrado... nacen all como formas ideales en la tiniebla y en la claridad, en medio de las cosas mismas, en el mundo tal cual, reales como los rayos de luz, las franjas de sombra, pero sobre todo como sus lmites comunes.

Tablas o listas cannicas Que se correspondan tablas de nmeros y el instrumento de observacin del que se las extrae o en el que se encuentran, no sorprende a un historiador de la ciencia, habituado, de alguna manera, a que una ciencia comience en este estado: por ejemplo, el anteojo astronmico indica mil posiciones de otros tantos astros, y un registro las recoge. Bienvenida aunque tarda, una teora comprensiva vuelve obsoleto este estado: as, las leyes de Kepler y Newton borran todo este frrago con una sola frase, pues a partir de ella ya no importa quin encuentre en un momento dado, como aplicacin numrica, tal detalle local. Una esperanza idntica mueve a los qumicos del siglo pasado, a quienes su material lleva a construir experimentalmente tablas de cuerpos, y suean, como los astrnomos, que una ley general las borre al comprenderlas todas de una vez. Esta coexistencia de listas, tablas o rbricas, y de un aparato, simple o complicado, nos parece caracterizar una era preterica, en la que l a observacin prevalecera sobre las leyes, a la espera de la induccin, todava por llegar. Tablas alfonsinas o toledanas: Cuando vemos coexistir, en la Antigedad, tablas de cuerdas que realizadas por orden de dan los valores de un arco o de un ngulo a partir de las medidas de los Alfonso X el Sabio lados de un tringulo y este instrumento de observacin que los griegos (1291-1284), rey de Castilla y llamaban gnomon, est presente en nuestra mente el esquema terico de Len, fueron compiladas por un grupo de astrnomos que produjo l a llegada de Newton o Kepler respecto a las tablas dirigidos por Isaac ben Sa'fd alfonsinas o toledanas. Percibimos entonces la figura de un saber en 1252 e impresas experimental que asocia un instrumento y tablas de nmeros a la espera repetidamente hasta el siglo de una teora que, con su poder unificador, vuelva obsoletos al mismo xvi. tiempo el primero y las segundas. A travs de este esquema comprendemos la situacin de la Antigedad, y sta, evidentemente, se le somete. E l gnomon precede al telescopio, las tablas de cuerdas se asemejan a las tablas toledanas. E l conjunto constituye una astronoma premoderna a la espera de la teora trigonomtrica. Ahora bien, acabamos de adquirir un nuevo hbito viendo coexistir una mquina y su memoria, un instrumento automtico y programas. Idntico esquema, en cierta forma, pero muy diferente, ya que no esperamos una ley terica cuya comprensin global anule de un plumazo nuestros sistemas lgicos y su relacin con lo material. Se trata de una manera de saber autntica y original, y no de un presaber o de un estado que precede el saber, se trata de un conocimiento y no de su funcionamiento incompleto. L a astronoma griega nos proporciona ms un ejemplo del segundo modelo que un paradigma del primero. Geometra

que en ella yace, el segundo, por un poste que estaba plantado all y su negra mitad. U n a leyenda cita este palo mientras otra nos habla de la sombra proyectada por la geometra de pie. Qu debemos preferir, el cuerpo o la estaca? Los ngulos son iguales y los lados proporcionales. L a misma relacin hace que pirmide y los dos elementos que se yerguen se correspondan, razn idntica, pero que se expresa en tres enunciados. En primer lugar, o ms bien al fin de cuentas, define la homotecia, literalmente, una misma forma de estar en un lugar, de posarse, o mejor, un espacio de transportes, desplazamientos con o sin rotaciones. Tenemos un enunciado de ciencia rigurosa, que podemos leer a partir de aqu en esta historia que relata las mediciones de Tales en el curso de su viaje. En segundo lugar, o mejor, por trmino medio, expresa el hecho patente de que cada uno de esos piquetes rectos, comunes en el horizonte, puede pasar por un gnomon: el instante del medioda, sealado por una de las leyendas, marca la funcin principal del cuadrante solar de fijar el meridiano, y, sobre ste, los solsticios y los equinoccios, momentos solemnes en los que la sombra se alarga hacia su extremo. Tales, segn se dice, haba escrito dos libros sobre ellos. Para cumplir esta funcin, la pirmide equivale aqu a la estaca o al palo clavado, que equivale a su vez al caminante inmvil, absorto en la contemplacin de la luz apical: todos son gnmones. Y la tumba entraa un pozo funerario que apunta a la ausencia de estrella que, en el cielo, marca el norte. Debemos llamar histrico a este enunciado medio que expresa la semejanza o la similitud, o mejor la homotecia en sentido literal, de todo lo que puede servir de eje a un observatorio tal, porque refiere la astronoma de los jonios y sus primeros modelos del mundo, as como lo que geomtricamente resulta de ella. Sin duda, la equivalencia de los gnmones de altura variable trae aparejada la homotecia de los tringulos vinculados por un mismo mundo estable, segn el enunciado de la geometra cannica, sin duda las rectas de sta provienen de los rayos solares de aqullos o de sus bordes ciegos de sombra, y los crculos de las rbitas y los puntos sin dimensin de las marcas impalpables en los solsticios o en los equinoccios: el milagro griego cae y desciende del cielo, la vieja cuestin del origen de la geometra se resuelve en este paso luminoso de los astros por este eje, cuyo nombre proclama que l conoce. Pero, en tercer lugar, o mejor, primero y arcaicamente, la meditacin antropolgica que discurre lentamente en Estatuas hace coherente y pensable, sin el firmamento y antes de la geometra, una similitud fundamental entre la tumba y la momia del faran, el cuerpo vivo erguido, mitad claro y mitad oscuro, y el piquete plantado en este sitio definido. Marcas, por la muerte y por lo que de ella se deriva, del lugar singular, del ser-all, seales hechas por el piquete y el herma que se yergue en las lindes, son tres estatuas, en el sentido que este libro ha dado a esta palabra, tres mojones exactamente homotticos, es decir, idnticamente erigidos all, momias, cuerpo vivo, cairn, obelisco o menhir, staff o stock, que asumen la misma funcin de designar un yacimiento, sepultura, habitat o frontera, oh, milagro! de trazar el instante, gracias al sol, la exacta latitud de ese lugar. Este enunciado va ms all de la historia y funda el enunciado de la ciencia, pues dice la misma cosa en otra lengua. E l enunciado medio dice la misma cosa en la misma lengua, mtrica, exacta, precisa, casi formal, y la geometra se encuentra aqu ya nacida, como embrionaria. Pero el tercero o primero, el ms recndito y original, que descubre tres estatuas aparentemente dismiles, muestra la rigurosa homotecia en sentido literal de estos tres

c

Apex: punto del cielo hacia el l ' parece avanzar.u e e l S o

A l pie de las pirmides Tales, pero qu importa su nombre, demuestra la similitud de los tringulos formados, el primero, por Keops y su sombra, pero qu importancia puede tener la tumba elegida y el faran


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testigos locales y mortuorios, de estas tres marcas de yacimiento, y la expresa en una lengua primordial tan llena de sombras que todo nuestro esfuerzo de pensamiento desde los orgenes de la geometra no fue suficiente para encontrarla, retraducirla o descifrarla tras la luz de los teoremas. Entonces, esta claridad enceguecedora surge de esta ocuridad como resucitan las estatuas de la tierra, de esta tierra primera y fundamental que, sin saberlo, repite desde hace ms de dos milenios la palabra geometra. E l suelo, revuelto por la crecida del Nilo, conmocin, regresa igualmente al caos y a las primeras tinieblas, de donde la medida lo devolver a la claridad. Aqullas no impiden que sta aparezca, pero siempre la luz impide que la oscuridad se vea. L a geometra brilla tanto que nos deslumhra y oculta asi su negra matriz. S, cae y desciende del cielo, por la historia gozosa de la astronoma, Ctodo: en griego y cada y ctodo fcil y simple; pero sube desde la tierra, anbasis y literalmente, va que va de lo procesin, surge de la tumba, de la caverna donde danza la sombra de alto a lo bajo. las estatuas, resucita de entre los muertos. Siempre dispuestos a rer y a Anbasis: en griego y estallar en burlas risueas, los paisanos tracios de la fbula saben que el literalmente, va de lo bajo a observador de los astros cae en el pozo: por ellas aprendemos que el lo alto, ascensin. Palabra consagrada por una clebre lugar de Tales cede bajo sus pasos como una zapa. S, la geometra lleva expedicin militar por Ciro el justamente el nombre de su madre, la tierra, sobre la cual se mide lo que Joven narrada por Jenofonte. cae del cielo. Jalonada con la ayuda de gnomon, permanece en la sombra como un fundamento, como una fundacin cavada bajo la ciencia, aqu reposa la momia, en entraas negras donde se hunde el piquete del que surge el saber. 'EJUOTT|UT), moTr)u.a. E l enunciado geomtrico se desarrolla en el tiempo nuevo, moderno, del saber cientfico; el enunciado astronmico se relata en el tiempo de la historia de las ciencias que nace antes de los comienzos de la geometra, el enunciado estatuario se expresa en el tiempo de la antropologa o el de las fundaciones que soporta los otros dos. Artificios Euclides llama gnomon a ese complemento acodado en cuadrado que los carpinteros llaman ordinariamente escuadra, palabra tcnica que describe a la perfeccin la extraccin de un cuadrado en el mismo centro de ese ngulo recto hueco. Aunque ste se deve de la normal y se incline hacia lo agudo o lo obtuso, el paralelogramo interior sigue siendo semejante al exterior, obtenido agregando al primero el gnomon: banda o corona en torno a una forma que de esta manera se reproduce tanto como se quiera. La aritmtica geomtrica de los pitagricos se comprender cuando se sepa que llamaban gnomon al complemento expresado en nmeros impares de los nmeros cuadrados sucesivos. Lejos de escribir esta situacin como nosotros: o l 2 32 2 2

semejante al primero. Con esquemas en los que el ngulo recto se inclina, se pueden producir tambin los nmeros triangulares, pentagonales... poligonales en general. Ten de Esmirna los llama nmeros gnomnicos. A travs de estos procedimientos accedemos a disposiciones que anuncian el tringulo de Pascal. Eje del cuadrante solar, el gnomon se convierte en escuadra: instrumento o artefacto en. ambos casos. E l primero dibuja sobre la arena algunas posiciones del sol mientras una regla, llamada as por el latn rectus, ngulo recto o lnea recta, como la escuadra, puede describirlas en una pgina. L a geometra ser definida como la ciencia que slo permite regla y comps. Qu pensar entonces de la categora, lugar y funcin de estos artefactos en un saber perfectamente puro? En segundo lugar, escuadra o gnomon, bandas laterales acodadas, formas complementarias de dos lados, magnifican o reducen, reproducen a voluntad cuadrado o paralelogramo, conservando la semejanza. Se puede explicar la historia de Tales en dos sentidos: el gnomon solar le hace descubrir la homotecia, o bien, por la homotecia, el crecimiento gnomnico le hace pasar de la estaca, modelo reducido, a la pirmide gigante. Finalmente, el gnomon alinea series de nmeros. Cmo definirlo sino como una ley de serie? Agreguemos un impar, hagamos la suma de los impares, y obtendremos cuadrados sucesivos. O bien, yuxtapongamos la banda complementaria y aparecer el paralelogramo semejante. E l gnomon se define como una ley de formacin, como la regla de una serie o su generacin. Regla automtica, que funciona sola, que inscribe a voluntad la cadena o-cada eslabn sin que intervengamos. Esta operacin

1 1 1 1 2 1 13 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10105 1 etc..Tringulo de Pascal.

Euclides. Elementos. Libro I. proposicin 47. El teorema de Pitgoras. (Manuscrito griego 2 344, siglo XII.)

x

,-

_

^

O +4o + o

o o

Humera

+ 3 = 2 + 5 = 3 + 7 = 4

2 2 2

*

# * *

+ (2n + 1) = (n + l )

2

Cada signo semejante, dispuesto en forma acodada, cuenta los nmeros impares que hay que agregar sucesivamente para construir un nuevo cuadrado. Sobre los nmeros se encuentran las bandas de la escuadra.

ellos la dibujaban como se muestra en la figura de la derecha y como un simplejo o como estrellas en el cielo. Esto reproduce, sin diferencia notable, la definicin de Euclides: los nmeros impares forman una escuadra alrededor del cuadrado interior y reproducen con l, indefinidamente, un cuadrado exterior evidentemente


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Exttica: en sentido etimolgico, lo caracterizado por un estado contrario al reposo.

prescinde de sujeto activo o pensante, lo mismo que el eje de la estaca escribe sobre el suelo en nuestra ausencia. Todo el mundo reconoce dos clases de artefactos: los que dependen y los que no dependen de nosotros. Los segundos funcionan solos sin parar, mejor dicho, no dejan nunca de ser artefactos. Ejemplos: la pared y el techo nos protegen siempre, hasta cuando dormimos, pero cuando dejamos la laya y la pluma, stas duermen, intiles y aniquiladas, inteligentes exclusivamente en nuestras horas extticas. En el fondo, los verdaderos tiles no dependen de nosotros, los dems descansan demasiado a menudo para tener autnticamente derecho a este ttulo. Llamar, pues, con un nombre idntico, que expresa conocimiento, tres automatismos, el del piquete erguido hacia el sol, el de la escuadra o de la banda lateral que se agrega o sustrae, y el de la operacin cuya repeticin forma series de nmeros, nos conduce a la inteligencia artificial. Vemos sus transformaciones, su devenir en estos tres estados: primero cosa, estaca o eje, til especulativo, luego regla capaz de reproducir a voluntad rectas, ngulos, polgonos ideales, extrados o mejor dicho abstrados de esta regla, finalmente, operacin formal con nmeros, regla automtica, algoritmo.

Perpendicular y autmata Segn el gnomon, decan los antiguos: esto quera decir verticalmente. Traducimos: perpendicularmente, ya que esta palabra, en nuestras lenguas y prcticas, se refiere al hilo de la plomada, esa cuerda que los griegos llamaban orGu/ri (stathm). Aqu, el aparato de albail se denomina con una palabra cuya raz designa la estabilidad, el equilibrio, como la de la palabra episteme, la ciencia misma. E n este objeto, este artefacto, se renen, por una coherencia y un concurso admirables, el origen esttico de la geometra que encontr al releer las Definiciones de Euclides en el Pasaje del Noroeste, y su fundacin estatuaria: la epistemologa y la antropologa, la lingstica y la historia. N o ya solamente la tierra y el cielo, sino el saber y la cosa. Tinieblas y claridad, los enunciados ms ideales, abstractos o formales y los ms carnalmente humanos conspiran a maravilla en esta sencilla y simple plomada. Estable para la mecnica, masa o piedra pesada y densa, estatua recta que apunta hacia la tierra profunda, regla fina que dibuja sobre el paramento una lnea casi perfecta con tal de que se la tina de color lquido (escribe, pues, como el gnomon), esta cosa nunca engaa y funciona automticamente. Segn la plomada: perpendicularmente. Reconsideremos, sopesemos este ltimo adverbio que usamos a la ligera. Qu? El gnomon, vertical, significa al mismo tiempo inteligencia y artefacto? Pero la perpendicular tambin. Por cierto, pende, como la cuerda del albail, y pesa, lo mismo que su plomo, goza, claro est, de la mayor pendiente, tanto como la unin de los platillos de la balanza, suspendida como un pndulo: pero piensa. E l verbo pensar no conoce otro origen que pesar, pender o pendiente. Aunque nos afanemos en urdir el lazo del sentido propio y duro al sentido figurado, muy tenue, por evaluacin o estima, la decisin sobre el pesillo concerniente al tenor en oro de una pieza o de un lingote, hasta la inquietud cercana del temor o de la espera, la referencia sigue siendo la balanza, el pndulo, siempre la plomada o stathm: s, la perpendicular piensa, o ms bien, el gnomon mantiene con el conocimiento el mismo vnculo o relacin, la misma razn que la perpendicular con el pensamiento. L a inteligencia artificial no data de ayer. Desde

el origen de la ciencia, existen cosas, o estados de cosas, que la historia de nuestras lenguas asocia a actividades mentales, como si estos artefactos, gnomon, plomada, regla o comps, escuadra, pasaran por sujetos del pensamiento. Esto no equivale a repetir la teora pragmtica del origen de las ciencias puras, segn la cual la prctica precede constantemente al saber, las cosas construidas por la mano del hombre detentan o contienen el secreto de las especulaciones abstractas por venir, como si la serie y el sistema de los teoremas desplegaran, imitaran, sublimaran, reordenaran una historia previa y oscura de actos y de gestos: hechos, antes del derecho; nuestros ancestros, diestros pero groseros, hacan sin saber. Jams podremos ni demostrar la falsedad ni tampoco verificar estos juicios sobre el pasado, falso y verdadero a voluntad como toda semejante arbitrariedad. Nada probar ni tampoco invalidar jams el pragmatismo, teora de profesores que creen que inventar consiste en copiar a la perfeccin un texto escrito por manos callosas o que el descubrimiento se reduce a interpretacin. No, la teora no siempre se reduce a la explicacin de lo que implica el trabajo manual. S a veces, a menudo no. M i l manipulaciones no guan, si acaso, ms que a aquel que ya ha encontrado. Pero qu importa. Grandes lingistas pretenden que el trmino popular charlatn surge de la prctica o del verbo griego correspondiente a nuestro verbo hacer, ya que el discurso favorito de los intelectuales consiste en exaltar la accin, de la que se guardan bien, en detrimento de la abstraccin, de la que no se separan jams. E l colmo de la charlatanera consiste en hablar de hacer mientras slo se diserta. En pocas palabras. Que nuestras lenguas nos conduzcan, por el conocimiento, a artefactos tan primitivos y simples como la plomada o el gnomon, indica solamente que el sujeto humano del pensamiento data de una poca reciente: la inteligencia artificial es ms antigua que la inteligencia sin ms, concebida como una facultad del espritu, que se reduce, como la palabra lo seala expresamente, a una posibilidad de hacer. E l pienso tiene trescientos aos mientras el gnomon dice que conoce desde hace ms de tres milenios. Y encuentro que es ms difcil concebir una instancia virtual, interna al individuo, condicin trascendental de las operaciones intelectuales, que ver la cuerda o el eje del cuadrante escribir automticamente. Utilizamos este ltimo adverbio a la ligera. Para nosotros, un automatismo se cumple sin que la voluntad o la intencin participen en l. Sin embargo, toda la familia a la que pertenece esta palabra hace referencia a una raz indoeuropea men que designa, por el contrario, la actividad mental: vehemente, demente, comentario, mencin, mentira, memoria, monumento, monstruo, demostracin, moneda, montre, se alinean en el subconjunto latino que nace de esta raz, mientras las palabras anamnesis, mana y autmata forman parte de los parientes griegos. Expresamos con una palabra de entendimiento una cosa que pretendemos privada de l. E n esta familia, basta acercar algunos parientes para obtener bonitos efectos de sentido. Ejemplo: como un reloj (montre), el autmata comenta o demuestra gracias a su memoria, y monstruosamente remedia los actos mentales; frase sta que parece meditar o decidir acerca de gestiones en apariencia osadas que planteamos a propsito de la inteligencia artificial, mientras a ojos y odos del artesano de la lengua se reduce slo a la repeticin montona de la misma unidad de sentido, a una especie de tautologa o mejor dicho de redundancia. E l cuadrante solar le debe sin duda su comparacin con

Comprese charlatn y nprtEiu, obrar, trabajar, de donde viene nuestra prctica.


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nuestros relojes. Hace mucho tiempo que nuestras lenguas saben que los autmatas piensan, al menos lo decan ya antes que los griegos, rabes y clsicos o modernos erigieran estatuas mviles, para ornamento o tormento de sus contemporneos. En suma, el autmata mantiene con la actividad mental la misma relacin que el gnomon con el conocimiento, que la perpendicular o el pndulo con el pensamiento o que el stathm, plomada, con la episteme, la estatua estable con la epistemologa. Ciencia recta, pensamiento, conocimiento, memoria, actos mentales, demencia o mana... la filosofa que aprendimos nos induce a distribuirlos, como si fueran facultades, ya funcionen bien o mal, en torno a un sujeto trascendental, casilla por casilla o en corona, pero la lengua que escribe o habla esta filosofa desde hace algunos miles de aos los devuelve a sus lugares de origen, la estaca del cuadrante solar, la escuadra, el cordel y la balanza... como si describiera una inteligencia objetal. Si existen una o varias reglas para la direccin del espritu, y si la lengua nota an alguna redundancia entre la. orientacin que este espritu debe seguir y la cosa que lo indica, ya que regla y direccin repiten el latn rectas que significa lnea recta, mientras el sujeto, en tercera posicin, no hace ms que imitar una forma objetiva. E l espritu, en primer trmino, reside ya en esta forma? Y por qu resistirse al refinado placer de destacar la etimologa, absolutamente cientfica, de pole: palabra proveniente del latn balnea pensilia, baos suspendidos. Qu otra cosa hacer en un bao, sino decir pienso?Gnomon significa tanto escuadra como perpendicular. (Estela decorativa de la tumba de un ingeniero romano, presenta los instrumentos de su oficio: plomada, comps, escuadra, nivel y regla, siglo I d. de C.)

cultura colectiva al inconsciente personal, y un cuasi objeto, de los libros a los cdigos: pero qu significa semejante frase.en la que una palabra, sujeto, cambia de lugar y no pueden fijarse entre su sentido propio o su contrasentido? Construido por nosotros que nos encontramos construidos por l, colectivamente y en el transcurso de una larga historia, utilizado por nosotros, individualmente y en grupos, el lenguaje, ejercido en el uso cotidiano o en la experiencia rara y estilizada, nos ensea inmediatamente que se comporta como un artefacto que piensa. Con frecuencia su artesano es guiado por l. E n otros trminos, forma parte de la inteligencia artificial, como la moneda. Materia y forma Gnomon vertical, escuadra acodada, regla, comps, perpendicular, pndulo, presentan todos una forma constante: recta vertical u horizontal en la balanza, normal o redonda, segn los casos. Forma significa tanto contorno, figura, bordes, definicin y determinacin en sentido literal como principio de organizacin del objeto. E l ngulo recto describe tanto la apariencia de la escuadra como su esqueleto constitutivo, su construccin. As, podemos considerar la forma fenmeno y esencia, aspecto y realidad. Que piedra, mrmol, hierro o bronce sean las materias primas del eje del cuadrante, qu importancia tiene, con tal de que se yerga normal al plano del suelo. L a informacin que da o muestra corresponde a su forma y vara con ella. Segn sea sta, se altera la primera, el conocimiento reside en la forma. E l lenguaje, nuevamente, asimila forma e informacin. En la primera reside la segunda. Las tcnicas de otras pocas informaban la materia: el tornero modelaba la tierra gredosa para que del crculo y de sus manos tangenciales surgiera la urna; as, de un montn de piedra el albail levantaba la casa sobre el plano del arquitecto y el herrero violentaba doblemente el pacfico metal, con el fuego y con el martillo. L a industria agreg un suplemento de planos al artesanado, pero en la misma va. Nosotros hemos cambiado todo esto. Nuestras tcnicas, hoy, tienden ms bien a explorar y a reconocer primero las formas finas y complejas dispersas en las cosas del mundo y a elegir una de ellas o a mezclar varias cuando esto responda a nuestros deseos o a las restricciones de la fabricacin en cuestin: y a veces hasta las preceden. Por supuesto, an montamos relojes de metal, como antes, pero tal cristal, tal molcula, incluso tal tomo o tal istopo, producen ahora mejores relojes, automticos y fieles, y tal otro cristal funciona como vlvula o semiconductor. Las formas informadas yacen en las cosas mismas, y basta reuniras, as nuestras obras invierten los antiguos procedimientos en los que la informacin slo provena de nuestras manos hbiles o del entendimiento experto. E l idealismo, narciso, encontraba en el mundo solamente su propia imagen, y en l la imprima a costa de un gran esfuerzo. L a ciencia y la tcnica reducan lo real a sus interpretaciones. Sin embargo, la tierra blanda y gredosa, la piedra antes del aparato, el metal en su nicho, en s mismos y por s mismos cristalinos, entraan mil artefactos, como un cuerno de la abundancia que las manos y las voluntades antiguas ignoraban y obstruan. Nuestra inteligencia, nuestra empresa un poco tonta, violenta, grosera, haban cerrado la puerta del tesoro, cuando el mundo esconde mil veces ms maravillas que nuestras decisiones. E l sentido, la direccin, el proyecto del trabajo cambian de sentido. En este sptimo da de las tcnicas, reconocemos ante todo que

Los filsofos que ensean hoy en sus clases, de las que han desaparecido las lecciones de cosas, al ubicar el sujeto en el lenguaje, para que slo quienes peroren adquieran una situacin privilegiada, se detienen tmidos a mitad de camino en este retorno a los objetos del mundo, ya que el lenguaje habita en nosotros, boca, garganta y gestos del cuerpo, y fuera de nosotros, en las bibliotecas y los semforos, bandas sonoras y receptores de radio: interno-externo, artificial y natural, sin poder separar uno u otro. E l sujeto, aqu, oscila entre un cuasi sujeto, de la

G N O M O N : LOS COMIENZOS D E L A GEOMETRIA E N GRECIA

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