98068856 Analisis Sismico de Edificios

VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS

GRADOS DE LIBERTAD

8.1 INTRODUCCIÓN

Cuando se trata con sistemas estructurales reales es necesario, en general, considerar varios grados de libertad, cada uno correspondiente a una coordenada independiente. En general podría pensarse que una estructura real tiene infinitos grados de libertad, sin embargo es posible reducir su número a uno finito considerando el hecho que los desplazamientos intermedios de los elementos pueden ser expresados en función de los desplazamientos de los nudos extremos.

El número de grados de libertad debería ser igual al número de componentes de desplazamiento necesario para definir adecuadamente la deformada del sistema bajo el tipo de excitación de interés, y como consecuencia poder determinar las fuerzas internas de manera suficientemente aproximada.

En el caso de los edificios sometidos a cargas sísmicas, la excitación principal son aceleraciones horizontales (y una vertical que es poco importante en general o que en caso de serlo puede ser tratada independientemente). Esto se traduce en fuerzas de inercia horizontales que imprimen a la estructura una deformación lateral y cuyos grados de libertad independientes importantes son los desplazamientos horizontales de los nudos.

Existen otras consideraciones aplicables a este caso, como el hecho que la masa está principalmente concentrada en el nivel de cada entrepiso y por consiguiente las fuerzas de inercia son fuerzas horizontales aplicadas al nivel de cada entrepiso. Esto sugiere que los grados de libertad dinámicos independientes son aquellos asociados con la dirección de las fuerzas. Lo cierto es que un edificio sometido a la acción de un sismo es un sistema de varios grados de libertad por lo que es importante analizar teóricamente el tratamiento de dichos sistemas.

2 CAP. 8: VIBRACIÓN DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD

En las secciones iniciales del presente capítulo se fundamentará, basados en los conceptos básicos del análisis dinámico de edificios, las simplificaciones hechas a ciertos sistemas. Dichas simplificaciones son aceptadas por muchos reglamentos modernos de construcción cuando hacen uso de métodos dinámicos de diseño. En la Secc. 8.2 se verá la diferencia entre un modelo de acoplamiento cercano y lejano, usando para esto un pórtico de 3 niveles. Después en la Secc. 8.3 y 8.4 con la finalidad de que los conceptos fundamentales y procedimientos numéricos sean asimilados con facilidad haremos uso de una estructura sencilla ( pórtico de 2 niveles mostrado en la Fig. 8.3 ). Ello significa que para sistemas más complejos los conceptos también son válidos, tal como se verá en la Secc 8.4., con la única diferencia de que en la mayoría de los casos se tendrá que recurrir a programas de computo avanzados para realizar el análisis, sin embargo, la última palabra la tiene el Ingeniero a cargo del análisis y no la computadora que no es mas que una herramienta [ Ref. 11 ]. Finalmente, en la Secc. 8.5 se tocará el tema acerca de los sistemas continuos que son los que en realidad nos permiten representar a los sistemas estructurales con su masa y rigidez a lo largo de los elementos que los componen.

8.2 MODELOS

El modelo más simple de un sistema de varios grados de libertad corresponde a una serie de masas interconectadas por resortes sin peso, como se muestra en la Fig. 8.1. Este modelo se denomina un sistema de acoplamiento cercano. Estrictamente sólo es aplicable a las vibraciones laterales de un pórtico con vigas infinitamente rígidas y despreciando la deformación axial de las columnas, o también a algún sistema vibratorio cuyas deformaciones sean principalmente desplazamientos laterales. Por esa razón también se lo denomina modelo tipo cortante.

Fig. 8.1 Modelo de acoplamiento cercano

En una estructura real, sin embargo, las masas están conectadas por elementos flexibles y el modelo anterior no es aplicable. El modelo real sería uno en que las

1m

2m

3m

2m

1P

2P

3P

1k

2k

3k

2P

)( 233 uuk −

)( 122 uuk −

22um &&

SECC. 8.3: GRADOS DE LIBERTAD DINÁMICOS 3

Dr. JAVIER PIQUÉ DEL POZO

masas se encuentran todas interconectadas dando origen a lo que se denomina modelo de acoplamiento lejano. Este modelo se representa en la Fig. 8.2.

Fig. 8.2 Modelo de acoplamiento lejano

8.3 GRADOS DE LIBERTAD DINÁMICOS

Los grados de libertad dinámicos son aquellos en los cuales se generan las fuerzas inerciales ( masa por aceleración o momento de inercia por aceleración angular). Por ende, dichos grados son los que interesarán para realizar el análisis.

En la Fig. 8.3.a se muestra se muestra el modelo de una edificación de 2 niveles, conformada por vigas y columnas. Su planta esta esquematizado en la Fig. 8.3.b, en ella se resalta las columnas cuyos ejes fuertes son paralelos al eje “ y ”. En la Fig. 8.3.c se muestra un pórtico secundario típico. Finalmente en la Fig. 8.3.d se puede apreciar un pórtico principal típico, el cual será usado, de aquí en adelante, para poder explicar los conceptos.

1m

2m

3m

1P

2P

3P


Fig. 8.3 Edificación de 2 niveles: ( a ) Modelo. ( b ) Planta. ( c ) Pórtico Secundario.

( d ) Pórtico Principal.

1L 1L 1L

2L

2L

x

y

( a ) Modelo de una edificación de 2 niveles.

( b ) Planta de la edificación.

x

( c ) Pórtico secundario típico. Elevación “ y ”.

( d ) Pórtico Principal Típico. Elevación “ x ”.

z

2L2L

1L 1L 1L

zy

x

y

z

[Figura obtenida del programa SAP 2000 versión educacional]

SECC. 8.3: GRADOS DE LIBERTAD DINÁMICOS 5


Si se quisiera analizar el pórtico plano principal ( ver la Fig. 8.3.d ) considerando todos sus grados de libertad (GDL) , vemos que este tendría 24 GDL estáticos tal como se muestra en la Fig. 8.4.

Fig. 8.4 Pórtico plano principal con sus 24 GDL estáticos.

Sin embargo, al ocurrir movimiento lateral, solo serían importantes las fuerzas de inercias generadas por el peso de cada piso (ver Fig. 8.5 ) en los que además las deformaciones en su plano son despreciables. Lo cual indicaría que ahora tenemos un sistema de 2 GDL dinámicos, que son precisamente los desplazamientos laterales 1 y 2.

Fig. 8.5 Pórtico plano principal con 2 GDL dinámicos.

Lo dicho en el párrafo anterior no implica que los restantes giros y desplazamientos se anulen, sino que, aunque asuman valores distintos a cero, las fuerzas de inercia son tan pequeñas que pueden despreciarse.

1 2

3

4 5

6

7 8

9

10 11

12

13 14

15

16 17

18

19 20

21

22 23

24

1m1

2m2


Es común que cuando se analicen edificaciones se suponga que los pisos son diafragmas rígidos en su plano ( Fig. 8.5 ), lo que permitiría expresar el movimiento de cualquier punto del piso en términos de tres grados de libertad: un giro alrededor de un eje vertical y dos desplazamientos horizontales. Cuando un pórtico, en este caso el de la Fig. 8.5, esta ligado a un piso rígido, los valores que tomen los tres GDL mencionados son los que definirán el desplazamiento lateral en cada nivel. Por otro lado, debido a que mayor parte de las masas están directamente soportada por los pisos, es aceptable suponer que las masas están concentradas en los mismos, de manera que las fuerzas de inercia generadas por desplazamientos laterales se pueda expresar como productos de la masa en cada piso por sus aceleraciones lineales ( en dos direcciones horizontales perpendiculares, para nuestro caso ejes “ x e y ” ) y del momento de inercia de dicha masa por la aceleración angular alrededor del eje vertical que pasa por el centro de masas.

Según lo anterior, realizar el análisis dinámico de un edificio con modelos que tiene tres grados de libertad por piso(un giro en planta y un desplazamiento en x e y) es aceptable. Pero se debe tener presente que la hipótesis de que los pisos se comportan como diafragmas rígidos implica que las vigas no tienen deformaciones axiales.

Cuando por simetría los pisos no rotan alrededor de ejes verticales, el edificio o sus componentes se puede modelar como un sistema de 1 GDL (desplazamiento lateral ) por piso ( u1 y u2 ) como se puede ver en la Fig. 8.6, que es una simplificación del pórtico plano principal con 2 GDL dinámicos mostrado en la Fig. 8.3. En la Fig. 8.4 se puede observar además que “ k1 y k2 ” son las rigideces laterales de cada piso (el cálculo aproximado de dichas rigideces fue enseñado en el Cap. 7).

Fig. 8.6 Simplificación del pórtico plano principal con 2 GDL dinámicos

Se ha podido apreciar como se redujo un sistema de 24 GDL, lo cual implicaba una matriz de rigidez de 24x24, a uno de 2 GDL que implica el trabajar con una matriz de rigidez de 2x2. En resumen lo hecho fue una “ condensación estática ”, quedando así matrices de rigideces y de masas que corresponden a los mismos grados de libertad.

1m

2u

1u2k

1k

2m

SECC. 8.4: VIBRACIÓN FORZADA Y LIBRE DE SISTEMAS DE VARIOS GDL. AMORTIGUAMIENTO 7


8.4 VIBRACIÓN FORZADA Y LIBRE DE SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD (GDL). AMORTIGUAMIENTO

En esta sección nuestro estudio estará basado en el sistema simplificado de 2 GDL Dinámicos visto en la Fig. 8.6, en el que además de las fuerzas inerciales también se considerarán fuerzas actuantes en cada GDL tal como se puede observar en la Fig..8.7. Primeramente obtendremos una expresión general para la vibración forzada del sistema no amortiguado. Luego haremos algunas simplificaciones para poder obtener la vibración libre (en la Secc. 8.4.2 presentaremos la expresión general que considera el amortiguamiento). Para poder estudiar las propiedades básicas de un sistema como el que se muestra en la Fig. 8.7 se hará uso del modelo tipo cortante (ver Secc. 8.2).

Fig.8.7 Sistema no amortiguado simplificado mas fuerzas actuantes.

El desplazamiento relativo es esquematizado en la Fig. 8.8 debido a su importancia mencionada en el Cap..5. Puesto que para poder obtener las fuerzas del resorte, en el diagrama de cuerpo libre del sistema que se muestra en la Fig. 8.9 se emplea el desplazamiento relativo.

Fig.8.8 Desplazamiento relativo generado en un sistema de 1 GDL

V

k

∆

∆kV =

1m

)(2 tfP

)(1 tfP

2k

2m

1k


Fig.8.9 Diagrama de cuerpo libre ( DCL ) del Sistema Simplificado.

De la Fig.8.9 aplicando equilibrio dinámico para el primer y segundo nivel, resulta:

)()()()( 1221211111221111 tfPukukkumtfPuukukum =−++→=−−+ &&&& (8.1)

)()()( 2221222212222 tfPukukumtfPuukum =+−→=−+ &&&& (8.2)

Ordenando matricialmente las Ecs. (8.1) y (8.2) se tiene:

)(0

0

2

1

2

1

22

221

2

1

2

1 tfPP

uu

kkkkk

uu

mm

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡&&

&&

O lo que es lo mismo escribir:

)(tfFKUUM =+&& (8.3)

donde:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=2

1

2

1

2

1 ,PP

Fyuu

Uuu

U&&

&&&&

son el vector aceleración, desplazamiento y fuerza (P1 y P2 son constantes) en

ese orden; y

2u

2∆

1m

2m

1k

2k

11um &&

)(2 tfP

)(1 tfP

1u

1∆

1111 ukk =∆

)( 12222 uukk −=∆

)( 12222 uukk −=∆22um &&



⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

22

221

2

1

00

kkkkk

Kym

mM

son la matriz masa y de rigidez respectivamente.

Antes de proseguir con la simplificación de la Ec. (8.3) es necesario enfatizar que de manera análoga, a lo que hemos hecho con 2 GDL, se procede cuando se tiene un sistema de n GDL (ver Fig. 8.10), el cual tendrá por consiguiente n frecuencias naturales y n formas modales o modos asociados.

Fig. 8.10 Modelo de acoplamiento cercano para un sistema forzado de “ n ” GDL sin

amortiguamiento

Haciendo el diagrama de cuerpo libre de cada masa (solo se muestra para m2), la correspondiente ecuación de equilibrio dinámico puede escribirse como:

)()( 111 tfP = )u u( k u u k u m iiiii iiii −−−+ ++−&& ordenando: nipara)t(fP = u k - u )k + k( + u k - u m iiiiiiiiii <<+++− 11111&&

)(1 12212111 tfP = u k - u )k + k( + u m = i Para && (8.4)

)(tfP = u k - u )k + k( + u k - u m 2 = i Para 2332321222 &&

)(tf P = u k + u k - u mni Para nnn1-nnnn &&= Hay tantas ecuaciones de movimiento como grados de libertad. Luego, expresando

las ecuaciones anteriores en forma matricial se tiene:

1m

2m

nm

2m

)(1 tfP

)(2 tfP

)(tfPn

1k

2k

3k

)(2 tfP

)( 233 uuk −

)( 122 uuk −

22um &&

: :


)(tfFKUUM =+&& (8.5)

que es la misma Ec. (8.3) pero aplicado a sistemas de n GDL. Para el modelo simple considerado, o en general cuando se trata con masas concentradas y usando sus desplazamientos como grados de libertad, la matriz de masas M es una matriz diagonal con la masa m ,i iésima , como el elemento diagonal iésimo .

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

−

n

n

mm

mm

m

M

0...0000...000::::::00..0000...0000...00

1

3

2

1

(8.6)

K es la matriz de rigidez del sistema que relaciona los grados de libertad dinámicos

escogidos a las fuerzas correspondientes. Para el sistema de acoplamiento cercano en estudio tiene la siguiente forma:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−+

+−−+−

−+

=

−

nn

nnn

kkkkk

kkkkkkk

kkk

K

...000

...000::::::00..000...00...0

1

433

3322

221

(8.7)

Nótese que en este tipo de modelo el acoplamiento de las n ecuaciones diferenciales es proporcionado solamente por la matriz de rigidez.

8.4.1 Vibración Libre de Sistemas de Varios Grados de Libertad Como en el caso de los sistemas de 1 GDL, es útil estudiar el comportamiento de un sistema sin amortiguamiento cuando está sometido a una perturbación inicial. Se sabe además que la vibración libre se da cuando no hay fuerzas actuando sobre los GDL dinámicos del sistema. Prosiguiendo con el estudio de nuestro modelo de 2 GDL y haciendo el vector fuerza de la Ec. (8.3) igual a un vector nulo se tiene:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=00

2

1

PP

F



0

0)(

=+∴

==+⇒

KUUM

tfFKUUM&&

&& (8.8)

SECC. 8.4.1.1: ECUACIÓN CARACTERÍSTICA 11


donde 0 representa un vector con n componentes, todas ellas cero. Las condiciones iniciales son:

00 )0()0( UUyUU && ==

Recordemos que en el Cap. 5 se observó que un sistema de 1 GDL sometido a una perturbación inicial desde su posición de equilibrio estaría forzado a vibrar con un movimiento periódico de período T o frecuencia circular π/Tω = 2 , que es una característica del sistema = k/M)ω( 2 . Por analogía es interesante averiguar si un sistema de varios grados de libertad, al que se le imponen un juego inicial de desplazamientos (o velocidades) vibrará armónicamente, manteniendo la forma relativa de estos desplazamientos y variando solamente sus amplitudes por un factor de proporcionalidad. Basado en esto, para nuestro sistema de 2 GDL el vector de desplazamientos vendría a ser:

)t(SenXU)t(Senxx

)t(Senx)t(Senx

uu

U φωφωφωφω

+=→+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=2

1

2

1

2

1

donde “ x1 y x2 ” son los máximos desplazamientos de los pisos 1 y 2 respectivamente (los cuales obviamente no son función del tiempo).

Derivando la Ec. (8.9) dos veces, obtenemos:

)t(SenXU φωω +−= 2&& (8.10)

Reemplazando las Ecs. (8.9) y (8.10) en la Ec. (8.8) se tiene:

( ) ( ) 02 =+++− )t(SenXK)t(SenXM φωφωω

Al simplificar la última expresión se obtiene:

02 =− XMXK ω (8.11)

8.4.1.1 Ecuación Característica

El problema, en la Ec. (8.11), es determinar si es que hay valores de 2ω y

vectores correspondientes X que satisfacen esta ecuación matricial, además de la solución trivial 00 , X = ω = . Este es un problema matemático llamado de valores característicos o de valores propios [ Ref. 9 ].

Al factorizar el vector de máximos desplazamientos en la Ec. (8.11), el problema a considerar resulta de la forma:

0)( 2 =− XMK ω (8.12)

(8.9)


La Ec. (8.12) también es válida para sistemas de n GDL. Observándose que dicha ecuación representa un sistema de n ecuaciones algebraicas lineales con n incógnitas (las componentes del vector X ). Como el segundo miembro es igual a cero, éste es un sistema homogéneo. No tendrá una solución única (la solución trivial 0 = X ) si el determinante de la matriz de coeficientes ( )MK 2ω− se hace cero (matriz singular). La expansión del determinante:

02 =−⇒ MK ω (8.13)

resultará en una ecuación algebraica de grado n en 2ω , llamada la ecuación característica. Las raíces de esta ecuación serán los valores deseados de 2ω que hacen cero el determinante.

Si ω2i es la raíz iésima de la ecuación característica, y es una raíz simple, el rango de

la matriz )( 2MK iω− será 1-n , indicando que el sistema de ecuaciones:

0)( 2 =− XMK iω (8.14)

tiene una ecuación que es una combinación lineal de las otras. Esto implica que uno puede eliminar esta ecuación, dar un valor arbitrario a una de las componentes del vector X y resolver un sistema de 1-n ecuaciones con 1-n ingógnitas (las componentes restantes de X ) cuyo segundo miembro ya no es cero. Este se obtiene pasando al segundo miembro los términos que contienen las componentes seleccionadas de X . Así es posible encontrar las otras 1-n componentes y definir un vector iX tal que:

iii XMXK 2ω= (8.15)

Es importante resaltar que si a la componente de X escogida arbitrariamente (el desplazamiento de la última o la primera masa, por ejemplo) se le hubiera dado un valor doble que el supuesto, todas las otras componentes del vector hubieran sido multiplicadas por dos. Por consiguiente el vector X i se define en función de un factor multiplicador constante y todas sus componentes pueden ser escaladas arbitrariamente para arriba o para abajo (Es claro que para cualquier vector Xa = Y ii ,

iiiiii YMXMaXKaYK 22 ωω === , y entonces iY también es una solución).

Para nuestro sistema de 2 GDL, al hallar la solución de la Ecuación Característica , Ec. (8.13), obtendríamos los siguientes valores característicos:

.

los cuales son valores positivos (por ser términos cuadráticos) cuyos subíndices se designan luego de haberlos ordenado de menor a mayor, adquiriendo de esta

222

211 ωλωλ == y

SECC. 8.4.1.2: FRECUENCIAS Y PERIODOS NATURALES 13


manera dichas frecuencias un significado físico. En general para un sistema de “ n ” GDL se tiene:

nidondeii ,...,12 ==ωλ

además:

nn

nn

TTTTy

>>>><<<<

−

−

121

121

...... ωωωω

(8.16)

Siendo llamado T1 “ Periodo Fundamental ” por ser el mayor periodo correspondiente a la menor frecuencia angular.

8.4.1.2 Frecuencias y Periodos Naturales Para ilustrar estos conceptos nos basaremos en nuestro sistema de 2 GDL.

Reemplazando las matrices en la Ec. (8.13) se tiene:

000

0

22

22

212

21

2

12

22

221 =−−−−+

→=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+

mkkkmkk

mm

kkkkk

ωω

ω

Al resolver y ordenar el determinante se tiene:

( )( ) ( )( )

( ) 0)(

0..

21212212

214

2222

212

21

=+++−→

=−−−−−+

kkkkmkmmm

kkmkmkk

ωω

ωω

Cuyas soluciones de la ecuación cuadrática generada son:

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++==

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++==

2

2

1

1

2

1

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1222

2

2

1

1

2

1

2

2

2

1

1

1

2

2

2

1

1211

41121

41121

mk

mk

mm

mk

mk

mm

mk

mk

mk

mk

mm

mk

mk

mm

mk

mk

ωλ

ωλ

8.4.1.3 Formas de Modo Haciendo uso de la Ec. (8.12) factorizada tenemos para ( i = 1 , 2 ):

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−−−+

00

2

1

22

22

212

21

i

i

i

i

xx

mkkkmkkω

ω

donde


Debido a que el sistema presenta un grado de dependencia sólo se puede usar una ecuación. En general para un sistema de “ n ” GDL se despejan (n-1) valores de “ x ” en función del restante. Para nuestro caso en particular, usando la primera fila tenemos:

( ) ( ) 022112

21 =−−+ iii xkxmkk ω (8.17)

Despejando la Ec. (8.17) para:

( )

( )

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

−+=

=→=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

−+=

=→=

22

122

122

12

22122

2212

21

111

112

12

12121

2111

/2

/1

xx

X

xk

mkkx

ctexxi

xx

X

xk

mkkx

ctexxi

ω

ω

se ve además de la Ec. (8.17) que constante para cualquier valor de la frecuencia.

Finalmente, basados en la la Ec. (8.9), los modos ( ver Fig. 8.11 ) vendrían a ser:

Fig. 8.11 Modos de vibración de la sistema.

=ii xx 21 /

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=21

111 x

xX

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=22

122 x

xX

11x

21x

12x

22x

)( 111 φω += tSenXU )( 222 φω += tSenXU

( a ) Modo 1 ( b ) Modo 2

SECC. 8.4.1.4: NORMALIZACIÓN DE LAS FORMAS DE MODO 15


“ Se debe resaltar que los modos se dan únicamente en el rango elástico, ya que desaparecerán cuando se entre al rango inelástico ( para sismos severos )”.

8.4.1.4 Normalización de las Formas de Modo

Debido a que las formas modales están siempre definidas en términos de un factor constante, es posible escalarlas arbitrariamente. Se pueden usar diferentes criterios para lograr ello.

1.-) A veces los vectores se escalan de manera que la máxima componente en términos absolutos se iguala a la unidad.

2.-) En otros casos una componente dada (por ejemplo el desplazamiento de la masa del último piso) es seleccionada arbitrariamente e igualada a la unidad en todos los modos. En general, esto se logra haciendo las componentes de los respectivos modos , siendo dicha componente “ r ” arbitraria. Luego los componentes restantes de cada modo “ i ” serán calculados en función de dicha componente “ r ”.

3.-) Desde el punto de vista del cálculo sin embargo, se prefiere escalar o normalizar los vectores con respecto a la matriz de masas “ M ” de manera que

1=iT

i M ΦΦ (8.18)

para todos los i , en vista de que este producto se repite constantemente en el denominador de muchas expresiones. Donde iΦ se obtiene al dividir las componentes de X i obtenidas de la solución del problema de valores característicos entre la raíz cuadrada de i

Ti XMX . Cuando las formas modales se escalan de esta última forma

se dice que están normalizadas. Entonces:

( )∑=

=

=

n

jjijj

ii

iT

i

ii

)x(m

Xó

XMX

X

1

2

Φ

Φ

(8.19)

Por ejemplo la Ec. (8.15) al premultiplicarla por X Ti ésta queda reducida a:

ω i2

iT

i = XKX

Asimismo, cabe mencionar que las formas modales normalizadas pueden ensamblarse como las columnas de una matriz Q que es llamada la matriz modal.

iX1=rix


⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

...

...

...

...

...

21 nXXX = Q

(8.20)

Usando la propiedad de la ortogonalidad de los modos, el producto QMQT es una matriz identidad (matriz diagonal con todos los términos de la diagonal iguales a la unidad) y el producto QKQT es una matriz diagonal cuyo término diagonal iésimo es

igual a 2iω .

8.4.1.5 Propiedades Matemáticas de los Modos de Vibración. Condición de Ortogonalidad

Cuando las matrices K y M son simétricas, como en este caso, y una de ellas es positivamente definida (K lo es cuando la estructura es estable) varias propiedades del problemas de valores característicos pueden ser automáticamente garantizadas:

1.-) Si el sistema tiene n grados de libertad, la ecuación característica tendrá n raíces reales 1

2ω a n2ω . (Nótese que una raíz puede tener un orden de multiplicidad

-es decir repetirse- mayor que uno. Si el orden de multiplicidad es r, deberían contarse como r raíces. Este es el caso de un edificio simétrico con la misma rigidez en ambas direcciones principales). De los “ n ” periodos el mayor es el fundamental.

2.-) Para cada valor propio o característico (frecuencia natural) iω de multiplicidad 1 hay una forma modal iX definida en función de un factor. Lo que implica que imponiendo al sistema un juego de desplazamientos con la forma del vector X i , éste vibrará con la frecuencia ω i .

Para recordar con facilidad la relación entre las frecuencias y los modos, se hace la siguiente analogía:

Dada(o) un(a): Se define su correspondiente:

BailedelForma

Modo

Baile

frecuencia↔

SECC. 8.4.1.5: PROPIEDADES MATEMÁTICAS DE LOS MODOS. CONDICIÓN DE ORTOGONALIDAD 17


3.-) Condición de Ortogonalidad; esta propiedad nos indica que las formas

modales X ,X ji correspondientes a dos frecuencias naturales ωω ji , , son tales que:

jiparaxmxXMXk

kjkkijT

i ≠== ∑ 0 (8.21)

Se dice que los vectores X y X ji son ortogonales con respecto a la matriz de masas M (La sumatoria sólo es válida cuando la matriz de masas es diagonal). Debe notarse que las formas modales también son ortogonales con respecto a la matriz de rigidez K , de manera que:

jiparaxxkXKXl n

njlilnjT

i ≠== ∑∑ 0 (8.22)

en resumen la condición de ortogonalidad establece:

(8.23)

siendo C la matriz de constantes de amortiguamiento. La construcción de dicha matriz es análoga a la de K como se verá en la Secc. 8.4.2, claro esta, en su forma mas simple.

Nota: Se dice que dos vectores son perpendiculares y no ortogonales para un sistema de 1, 2 ó 3 GDL.

4.-) Una raíz de la ecuación característica de multiplicidad r tiene asociada con ella r formas modales independientes que siempre pueden ser escogidas de modo que satisfagan la condición de ortogonalidad entre ellas. También satisfarán esta condición con respecto a las formas modales correspondientes a otras frecuencias.

5.-) El conjunto de n formas modales de X a X n1 constituye un juego completo de vectores que definen un espacio vectorial de orden n . Esto implica que cualquier vector V con n componentes puede ser expresado como una combinación lineal de las formas modales:

jiparaXKX

jiparaXCX

jiparaXMX

jT

i

jT

i

jT

i

≠=

≠=

≠=

0

0

0


IERÍA SISMORRESISTENTE

Xa = V i1

n

1=i∑

(8.24)

Los coeficientes ai se obtienen usando las condiciones de ortogonalidad. Siendo “ai(t)” una variable dependiente del tiempo que expresa la contribución ó participación dinámica (ello se verá en el Cap. 9).

Pre-multiplicando ambos lados de la ecuación por la matriz M y el vector X Tj :

iTj

n

ii

Tj XMXaVMX ∑

==

1 (8.25)

pero como 0=jTi XMX para i diferente de j :

i

Ti

Ti

i XMXVMXa = (8.26)

Esta propiedad es extremadamente importante porque permite expresar la solución de cualquier problema dinámico como una sumatoria donde cada término representa la contribución de un modo. Permite reducir la solución de un sistema de n grados de libertad a la solución de n sistemas independientes de 1 GDL, desacoplando así las ecuaciones de movimiento.

8.4.1.6 Aplicación y Verificación de las Propiedades de las Formas de Modo de Vibración Libre

Para el sistema mostrado calcule:

a ) La ecuación característica.

b ) Las frecuencias y los periodos.

c ) Formas de modo.

d ) Normalizar las formas de modo.

e ) Verificar las propiedades.

Datos:

1m

2u

1u2k

1k

2m

mtky

mtk

mstgpesomm

88,279387,6893

437,11/

21

2

21

==

−===

SECC. 8.4.1.6: APLICACIÓN Y VERIFICACIÓN DE LAS PROPIEDADES DE LAS FORMAS DE MODO 19


Solución: a) Sabemos que para este tipo de sistema la ecuación característica, por ser de vibración libre (ver Secc 8.4.1.1, Ec.(8.13)), viene dada por:

02 =− MK ω

ó

000

0

22

22

212

21

2

12

22

221 =−−−−+

→=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+

mkkkmkk

mm

kkkkk

ωω

ω

Siendo las matrices K (de rigidez) y M (de masas) al reemplazar los datos:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=→⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=→⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

9,27939,27939,279375,9696

437,1100437,11

00

22

221

2

1

Kkkkkk

K

Mm

mM

Luego el determinante de la ecuación característica vendría dado por:

0437,119,27939,27939,2793437,1175,9696

2

2

=−−

−−ω

ω

b) Es la solución del determinante la que nos permitirá la obtención de las frecuencias y los periodos. Luego, operando el determinante:

0)9,2793()437,119,2793).(437,1175,9696( 222 =−−−− ωω Resolviendo esta última ecuación, sabiendo que es el valor

característico, se tiene:

0988,51692133,8962 =+− λλ

Esta última ecuación es llamada el polinomio característico. Polinomio cuyas raíces nos proporcionarán las frecuencias y periodos, para ello es necesario que las frecuencias angulares se ordenen de menor a mayor:

2ωλ =

077,777059,119:

21 == λλ ypordadasvienenraícesCuyas


Frecuencias angulares:

21

21

:/876,27/91,10

ωωωω

<==

queObservesradysrad

Como el periodo natural se define como:

s,Tys,T 22505760 21 == Observe que según la Ec. (8.16): 21 T)damentalPeriodoFun(T >

Frecuencias naturales:

21

21

:44,474,1

ffqueObserveHzfyHzf

<==

c) Las Formas de modo se obtendrán a partir de las frecuencias angulares ya calculadas. De la siguiente igualdad (ver Secc 8.4.1.3) :

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−−−+

00

2

1

22

22

212

21

i

i

i

i

xx

mkkkmkkω

ω

Al usar la primera fila, puesto que la segunda fila es dependiente de la primera o viceversa, tenemos:

( ) ( ) 022112

21 =−−+ iii xkxmkk ω Reemplazando:

( ) ( ) 09,2793437,1175,9696 212 =−− iii xxω

Notar que cada producirá una forma de modo distinta , cuyas

componentes, al despejar la última ecuación, serían:

( )( ) i

i

ii xyxx 22

21 437,1175,9696

9,2793ω−

=

Se suele hacer , es decir la componente segunda en cada modo tomará el valor de uno. En general para sistemas de “ n ” GDL se hace siendo dicho valor a elegir arbitrario.

ii λω +=

iiT

ωπ2

=

ii T

f 1=

iω iX

12 =ix1=nx

(ordenamiento que se ha hecho para obtener T1>T2 )



Recordar que en la Secc 8.4.1.3 se despejó en función de . En este problema optaremos por despejar en función de , que es equivalente a lo hecho en la sección antes mencionada puesto que la única finalidad es obtener de manera cualitativa las formas de modo correspondientes a . Luego para:

( )

( )

)(1

5848,0

5848,091,10437,1175,9696

9,2793

1/91,10:1

1111

1

21

111

11

211

2121121

211

211

φω

ω

ωω

+=∴⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⇒

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

=→−

=

−+=

====

tSenXU

X

xx

Xluego

xx

x

xmkk

kx

xysradi i

( )

( )

)(17104,1

7104,1876,27437,1175,9696

9,2793

1/876,27:2

2222

2

22

122

12

212

2222121

212

222

φω

ω

ωω

+=∴⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⇒

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

−=→−

=

−+=

====

tSenXU

X

xx

Xluego

xx

x

xmkk

kx

xysradi i

iX iω

ix1ix2

)876,27(17104,1

2]2[

22 φ+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=

→=

tSenU

Modoi

)91,10(1

5848,01]1[

11 φ+⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=

→=

tSenU

Modoi

121 =x

5848,011 =x

122 =x

7104,112 −=x

⎯→⎯

⎯→⎯


d) La Normalización de las formas de modo será hecha basada en la Secc 8.4.1.4 :

d.1 ) Se deja como ejercicio para el lector.

d.2 ) Haciendo las componentes de los correspondientes modos , siendo dicha componente “ r ” arbitraria. Luego los componentes restantes de cada modo “ i ” serán calculados en función de dicha componente “ r ”.

En la parte ( c ) se ha visto cuando . A continuación veremos el caso cuando , para lo cual es necesario dividir su valor actual (positivo o negativo) al modo correspondiente, obteniendo modos equivalentes “ e ”. Esto se verá a continuación:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⇒

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==

→=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⇒

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==

→=

5848,01

)7104,1(11

2]2[

7097,11

5848,011

1]1[

)(22

)(12)(

2

1222

1212

12

2)(2

)(21

)(11)(

1

1121

1111

11

1)(1

e

ee

eeequivalent

e

ee

eeequivalent

xxX

xxxx

xXX

Modoi

xxX

xxxx

xXX

Modoi

d.3 ) Normalizando con respecto a la matriz de masas “ M ” :

1=i

Ti MΦΦ

de donde:

-

( )∑=

=Φ=Φn

jjij

ii

iT

i

ii

xm

XóXMX

X

1

2)(

iX1=rix

12 =ix11 =ix



Observar que son los modos normalizados con respecto a la matriz de masas. Trabajando con los vectores normalizados de la parte ( c ) del problema tenemos para:

iΦ


INGENIERÍA SISMORRESISTENTE

[ ]

[ ]

)!(1

)1493,0(437,11)2553,0(437,11)(

1

1493,02553,0

17104,1

8956,441

8956,44

)1(437,11)7104,1(437,11

17104,1

437,1100437,11

17104,1

17104,1

:2]2[

)!(1

)2553,0(437,11)1493,0(437,11)(

1

2553,01493,0

15848,0

3484,151

3484,15

)1(437,11)5848,0(437,11

15848,0

437,1100437,11

15848,0

15848,0

:1]1[

222

1

2222

22

22

122

22

22

22

2222

22

22

122

11

222

1

2111

11

21

111

11

11

11

2211

11

21

111

OkM

xxmMcomo

Moverificand

MXXXluego

MXX

xxMXX

MXX

xx

XconModoi

OkM

xxmMcomo

Moverificand

MXX

Xluego

MXX

xxMXX

MXX

xx

XconModoi

T

jjjj

T

T

T

T

T

T

T

jjjj

T

T

T

T

T

T

ΦΦ

+−==ΦΦ

=ΦΦ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=Φ⇒

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

==Φ

=

+−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=→=

≅ΦΦ

+==ΦΦ

=ΦΦ

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=Φ⇒

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

==Φ

=

+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=→=

∑

∑

=

=

ϕ

ϕϕ

ϕ

ϕϕ



e) La Verificación de las propiedades de las formas de modo será hecha basada en la Secc 8.4.1.5. Luego, siendo las matrices de masas ( M ) y rigidez ( K ) simétricas y K corresponde a una estructura estable, podemos garantizar que:

e.1 ) Existen tantas frecuencias angulares como grados de libertad se han considerado. Es decir, si existen “ n = 2 ” GDL, entonces, existirán “ 2 ” frecuencias naturales y por ende “ 2 ” periodos siendo el mayor el fundamental.

e.2 ) Para cada frecuencia existe una única forma de modo. Esto se ha podido observar durante la solución del problema.

e.3 ) Condición de Ortogonalidad; las formas de modo que corresponden a dos frecuencias naturales son ortogonales (perpendiculares para un sistema uno, dos ó e tres grados de libertad ).

Cumpliéndose:

Siendo C la matriz de constantes de amortiguamiento. La construcción de dicha matriz es análoga a la de K como se verá en la siguiente sección. Verificando la condición de ortogonalidad por ejemplo para:

[ ]

0

)11(437,11)7104,1()5848,0(437,11

17104,1

437,1100437,11

15848,0

21

21

21

=→

+−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

MXX

xxxxMXX

MXX

T

T

T

Los demás productos con M, C, K y combinaciones de formas modales, de 2 en 2, son análogos.

e.4 ) Para nuestro caso, no se tienen multiplicidad en la raíces por tratarse de un sistema sencillo de 2 GDL.

ijparaXKX

ijparaXCX

ijparaXMX

jT

i

jT

i

jT

i

≠=

≠=

≠=

0

0

0

SECC. 8.4.2: VIBRACIÓN FORZADA DE SISTEMAS DE VARIOS GDL CON AMORTIGUAMIENTO 25


e.5 ) El conjunto de formas modales constituye un sistema de referencia (espacio vectorial) con respecto al cual puede expresarse cualquier vector “ V ”. Siendo “ a i (t)

” una variable dependiente del tiempo que expresa la contribución ó participación dinámica (ello se verá en el siguiente capítulo). Es decir:

Permitiéndonos ésta última propiedad expresar la solución de cualquier problema dinámico como una sumatoria ( o combinación lineal ) donde cada término representa la contribución de cada modo. 8.4.2 Vibración Forzada de Sistemas de Varios GDL Considerando

Amortiguamiento

En toda la presentación anterior se supuso por simplicidad que el sistema no estaba amortiguado. Sin embargo, las edificaciones en realidad tienen diferentes mecanismos de disipación de energía mientras vibran bajo la acción de un sismo. Las pérdidas de energía (y por consiguiente el amortiguamiento) ocurrirá debido a la fricción interna en las uniones, o entre los muros y los pórticos y si las deformaciones son grandes debido a deformaciones plásticas.

Las ecuaciones de movimiento del sistema considerando el amortiguamiento bajo una matriz C serán:

)t(fFKUUCUM =++ &&& (8.27)

)t(fFX)t(a)t(a)t(a Tiiiiii =++ 22 ωωβ &&& (8.28)

Si se va a usar análisis modal no es necesario contar con una matriz de amortiguamiento. Todo lo que se requiere es introducir la fracción de amortiguamiento crítico o porcentaje de amortiguamiento β en la iésima ecuación modal.La determinación de la matriz C sólo es necesaria si no se va a usar análisis modal y se va a integrar numéricamente todo el conjunto completo de ecuaciones. Este es el caso si se va a realizar un análisis dinámico nolineal (inelástico) y se desea agregar a la estructura una cantidad adicional de amortiguamiento además del que resultará del comportamiento inelástico (lazos histeréticos).

Hay varias técnicas para determinar esta matriz C . Si se conocen todas las formas de modo y frecuencias naturales la forma más simple es definir:

MQBQMC T= (8.29)

i

n

ii XtaV ∑

==

1)(


donde M es la matriz de masas, Q la matriz modal (conteniendo todas las formas modales como columnas, ver Secc. 8.4.1.4) y B es una matriz diagonal cuyo término

iésimo es igual a ii2 ωβ (recordar que para 1 GDL se tiene ω

βmc

cc

crítico 2== ).

Otra forma de determinar C es considerar:

Ka + Ma = C 10 (8.30)

donde los parámetros oa y 1a se seleccionan de manera que la variación de β sobre el rango de frecuencias de interés sea pequeño (según la Norma Peruana de de Diseño Sismorresistente ).

Considerando amortiguamiento para nuestro sistema simplificado de 2 GDL Dinámicos visto en la Secc. 8.3, en el que además de las fuerzas inerciales también posee fuerzas actuando en cada GDL (Fig. 8.12).

Fig.8.12 Sistema forzado con amortiguamiento.

la ecuación para este sistema amortiguado forzado vendría a estar dado por la Ec..(8.27). Si en este sistema el amortiguamiento a considerar es en su forma más simple entonces la construcción de la matriz de amortiguamiento será análoga a la construcción de la matriz de rigidez, o sea:

1m

)(2 tfP

2k

1k

2m

1c

2c

)(1 tfP

%5=β

SECC. 8.5: SISTEMAS CONTINUOS O DE MASA DISTRIBUIDA: VIGA DE CORTE, VIGA DE FLEXIÓN 27


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+=⇒

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−+=

22

221

22

221

ccccc

C

kkkkk

KSi

8.5 SISTEMAS CONTINUOS O DE MASA DISTRIBUIDA: VIGA DE CORTE Y VIGA DE FLEXIÓN

Los sistemas estructurales reales son en realidad sistemas continuos con su masa y rigidez distribuida a lo largo de los elementos. Algunas estructuras, como los pórticos, poseen características de comportamiento ante las cargas sísmicas que justifican la reducción del número de grados de libertad. Hay otras que por estar constituidas por un número pequeño de elementos, como un emparrillado o una chimenea, pueden representarse adecuadamente por un sistema lineal de masa distribuida como los que se presentan a continuación. Por último es posible usar los resultados calculados usando estos modelos para predecir aproximadamente el comportamiento de estructuras más complejas.

La viga de corte es un elemento ideal que se utiliza para representar sistemas físicos que se caracterizan por comportarse presentando una deformación lateral similar a la deformación por corte, o sea únicamente una distorsión lateral. Por ejemplo, los edificios de altura mediana aporticados a base de elementos de rigidez similar, cuando son sometidos a cargas laterales experimentan desplazamientos laterales al nivel de sus entrepisos, manteniéndose éstos prácticamente horizontales. Esta deformación de todo el pórtico es similar a la de una viga de corte. Los estratos de suelos sometidos a sismos que experimentan solamente deformaciones laterales son a veces representados por vigas de corte. De hecho la teoría simplificada de amplificación de ondas hace uso de estas hipótesis.

8.5.1 Viga de Corte. Ecuación Diferencial

Cuando en un elemento prismático la deformación por corte transversal al eje del elemento es la única que se supone actuando se tiene una viga de corte.



Fig. 8.13 Viga de Corte

En la Fig. 8.13 se observa una viga que presenta una distribución uniforme del esfuerzo cortante en su sección transversal. El desplazamiento lateral (en este caso horizontal) está representado por la letra v . De la Resistencia de Materiales se conocen las siguientes relaciones que nos permiten establecer la ecuación diferencial que gobierna el comportamiento de la viga de corte:

q- =

xdvdGA 2

2

(8.31)

Si se considera la fuerza distribuida, q , aplicada a la viga como compuesta por una fuerza de inercia más una porción "excitadora":

tv A - t)q(x, 2

2

δδρ

(8.32)

obtenemos la ecuación diferencial de movimiento para la viga de corte.

t)q(x, - =

tv A -

xvGA 2

2

2

2

δδρ

δδ

(8.33)

8.5.1.1 Vibración Libre: Viga en Voladizo

Cuando no existe fuerza pulsante o excitadora, el sistema vibrará libremente. La ecuación de movimiento se transforma en la siguiente (ecuación homogénea cuyo segundo miembro igual a cero)

0 =

tv A -

xvGA 2

2

2

2

δδρ

δδ

(8.34)

Para determinar las condiciones bajo las cuales esta ecuación tiene solución, se supondrá la existencia de una vibración que sigue una amplitud o curva determinada

SECC. 8.5: SISTEMAS CONTINUOS O DE MASA DISTRIBUIDA: VIGA DE CORTE, VIGA DE FLEXIÓN 29


con una frecuencia Ω .Resolviendo el problema resultante para esas incógnitas obtendremos que la solución corresponderá a las características de la vibración libre.

Fig. 8.14 Viga de Corte en Voladizo

Supóngase que la viga vibrará siguiendo una función t)v(x, dependiente de la altura de la viga y del tiempo, que es a su vez función de una "forma" (x)v0 independiente del tiempo y de una función armónica de frecuencia Ω ,

) + tsen( ΨΩ .

) + tsen().x(v)t,x(v o ΨΩ= (8.35)

Sustituyendo esta función y sus derivadas en la ecuación diferencial anterior se tiene:

0 = vp +

xdvd

02

2

2

(8.36) donde:

G = p

22 Ωρ

(8.37)

Obsérvese que la solución de esta ecuación diferencial proveerá la forma de la función (x)v0 que será la que adoptará la viga al vibrar libremente con la frecuencia Ω incluida en el parámetro p . En buena cuenta representa la forma modal y Ω la frecuencia modal asociada.

La solución general de la ecuación diferencial Ec. (8.36) es:

Bsenpx + pxA = v0 cos (8.38)

Para el caso de la viga en voladizo las condiciones de borde son (Fig. 8.14):

SECC. 8.5.1.1: VIGA LIBRE: VIGA EN VOLADIZO 29


- desplazamiento en la base cero v(0) = 0

- giro en la parte superior cero, porque el cortante en el extremo es cero y por consiguiente en este caso eso requiere que la primera derivada del desplazamiento en ese punto sea cero, o sea 0= (H)v′ . Se obtiene como solución no trivial:

/(2H)1) - (2n = p π (8.39)

o expresado en términos de la frecuencia Ω :

ρπΩ G//(2H)]1) - [(2n = n (8.40)

Las frecuencias naturales corresponderán a valores sucesivos de 3;2;1:n

El término ρG/ corresponde a la velocidad de propagación de las ondas de corte, V s , en un estrato de suelo que se modela elásticamente como si fuera una viga de este tipo para las ondas transversales que causan esa deformación.

Los períodos se expresan como:

Ωπ/2 = T n (8.41)

V1)-4H/(2n = T sn (8.42)

El período fundamental, cuando 1 = n viene dado por la expresión:

V4H/ = T s1 (8.43)

Las formas modales vienen expresadas por (Fig. 8.15)

x/2LBsenn = (x)von π (8.44)


Fig. 8.15 Viga de Corte en Voladizo: Modos

8.5.2 Viga de Flexión. Ecuación Diferencial

El elemento básico en flexión es una viga prismática de sección constante sometida a deformaciones flexionantes. Las relaciones constitutivas son ampliamente conocidas. Aquí nos limitaremos s listar las ecuaciones aplicables para el comportamiento dinámico de una viga simple.

La ecuación diferencial de movimiento para la viga de flexión es:

p =

tv m + )

xv (EI

x 2

2

2

2

2

2

δδ

δδ

δδ

(8.45) 8.5.2.1 Vibración libre: Viga en voladizo

Para el caso de la viga en voladizo se obtienen las siguientes expresiones para las frecuencias y las formas de modo:

Frecuencias:

mEI

L) (0.597 =

2

2

1π

ω (8.46)

1> n

mEI

L4 )1- (2n =

2

22

nπω

(8.47) Formas de modo:

)xphsenxphcosxsenpxp(cosB)x(v nnnnon +−−= (8.48)

donde: EImp

24 Ω=

8.5.3 Estimación de Períodos para Edificios

Una aplicación muy útil de estos sistemas continuos es la estimación aproximada de los períodos de los modos altos. La Ec. (8.42) indica que los períodos en la viga de corte varían inversamente a los números impares. Es decir que siguen una serie inversa a 1; 3; 5; 7.... De esta manera si se considera el período fundamental de un edificio aquel calculado por métodos rigurosos (véase Ref. 12, Cap. 5), entonces los períodos de los modos superiores pueden estimarse directamente dividiendo éste del modo fundamental por los factores mencionados.

En el estudio de la Ref. 9, se demuestra que para pórticos sin muros de concreto o placas, la correlación entre los períodos exactos y los que predice la

SECC. 8.5.3: ESTIMACIÓN DE PERIODOS PARA EDIFICIOS 31


viga de corte es sorprendentemente buena. En el Cuadro 8.1 se muestra la comparación para un pórtico de 12 pisos, sin muros o placas.

Ti

Pórtico de 12 pisos sin placas

Períodos (s)

Viga de corte en voladizo (V.C.)

Períodos (s)

T1 0,993 0,993 T2 0,346 0,331 T3 0,197 0,199 T4 0,132 0,142 T5 0,099 0,110 T6 0,076 0,090

Cuadro 8.1 Comparación entre períodos de una viga de corte con los de un pórtico de 12 pisos sin placas o muros de corte [ Ref. 9 ]

Cuando el pórtico tiene muros de corte o placas la correlación con la viga de corte ya no se mantiene. En este caso es necesario usar como referencia también la viga de flexión o de Timoshenko. Que no es otra cosa que una viga en voladizo cuya deformación proviene primariamente de la flexión. En este caso de edificios con placas, la deformación lateral tiene una forma más cercana a la de una viga en volado a flexión. Estos períodos varían inversamente proporcional a (2n-1) al cuadrado del número del modo, o sea como 9; 25; 49; etc. considerando que el primero es como 1.426. Luego los períodos de los modos 2 al 6 varían inversamente proporcional a 6,31; 17,36; 34,37; 56,82; 84,87. También en la [ Ref. 9 ] se comprobó que los períodos calculados para un edificio con muros o placas y aquellos que se obtenían promediando los obtenidos usando la viga de corte y la de flexión eran suficientemente cercanos como para ser considerados como una buena referencia. En el Cuadro 8.2 se muestra la comparación mencionada para un edificio de 12 pisos, pero esta vez con placas o muros de corte.

Ti

Pórtico de 12 pisos con placas

Período (s)

Viga de flexión en voladizo

(V.F.) Período (s)

Viga de corte en voladizo

(V.C.) Período (s)

Promedio de V.F. y V.C. Período (s)

T1 0,733 0,733 0,733 0,733 T2 0,212 0,117 0,244 0,181 T3 0,103 0,042 0,147 0,095 T4 0,064 0,021 0,105 0,063 T5 0,045 0,013 0,081 0,047


Cuadro 8.2 Comparación de períodos promedio entre una viga de corte y una de flexión con los de un pórtico de 12 pisos con placas o muros de corte [ Ref. 9 ]

REFERENCIAS 33


REFERENCIAS

1. Biggs, J.M., "Dynamic Analysis of One-Degree Systems", en Notas del curso Fundamentals of Earthquake Engineering for Buildings . Massachusetts Institute of Technology. Cambridge, Massachusetts. 1972

2. Röesset, J.M. "Structural Dynamics". Notas de clase. Massachusetts Institute of Technology. Cambridge, Mass. 1974.

3. Biggs, J.M., Introduction to Structural Dynamics. McGraw-Hill. New York. 1964

4. Craig Jr., R.R., Structural Dynamics. John Wiley & Sons. New York. 1981

5. Clough, R.W. & Penzien, J. Dynamics of Structures. McGraw-Hill. New York. 1975

6. Okamoto, S. Introduction to Earthquake Engineering. Halsted Press. John Wiley & Sons. New York. 1973

7. Hurty, W.C. & Rubinstein, M.F. Dynamics of Structures. Prentice Hall. New Jersey 1964.

8. Bathe, K.J., Wilson, E.L. Numerical Methods in Finite Element Analysis, Prentice-Hall. Englewood Cliffs, New Jersey. 1976

9. Wilkinson, J.H., The Algebraic Eigenvalue Problem, Clarendon Press. Oxford. . 1965

10. Piqué, J., Echarry, A. "A Modal Combination for Dynamic Analysis of Reinforced Concrete Frames". 9a. Conferencia Mundial de Ingeniería Antisísmica. Tokyo-Kyoto. Japón. 1988

11. Bazán, E., Meli, R. Diseño Sísmico de Edificios, Editorial Limusa. Balderas, México. 2002

12. Piqué, J., Scaletti, H., Análisis Sísmico de Edificios, Ediciones Capítulo de Ingeniería Civil. Lima, Perú. 1991


ANEXO - CAP. 8: COCIENTE DE RAYLEIGH 35


ANEXO COCIENTE DE RAYLEIGH

Factorizando el vector de máximos desplazamientos en la ecuación característica, Ec. (8.11), el problema a considerar resulta de la forma:

0)( 2 =− XMK ω (8.49)

reordenando esta última ecuación se tiene:

XMXK 2ω= (8.50)

Suponiendo que se conoce la solución Xi de la Ec. (8.50), entonces se cumple que:

iii XMXK 2ω= (8.51)

y haciendo ii λω =2 la Ec. (8.51) queda:

iii XMXK λ= (8.52)

multiplicando la Ec. (8.52) por TiX :

iTiii

Ti XMXXKX λ= (8.53)

despejando la Ec. (8.53) :

i

Ti

iTi

ii XMXXKX

== 2ωλ (8.54)

El cociente de Rayleigh nos permite calcular el valor de iλ conocido su correspondiente vector característico iX . Esto se puede apreciar en la Ec. (8.54).

Debido a que la Ec. (8.54) puede ser usada con aproximaciones a los vectores propios [ Ref. 12 ], entonces, suponiendo que se conoce una forma de modo de manera aproximada:

VX i ← (8.55)

Reemplazando la Ec. (8.55) en la Ec. (8.54) se tiene:


VMVVKV

T

T

ii == 2ωλ (8.56)

Las fuerzas aplicadas serían:

FVK = (8.57)

Al reemplazadas deichas fuerzas en la Ec. (8.56) tenemos:

VMV

FVT

T

i =λ (8.58)

La Ec. (8.58) escritas en forma de sumatorias es:

( )2

1

1

j

n

jj

j

n

jj

i

vM

vF

∑

∑

=

==λ (8.59)

donde jj vyF son elementos de los vectores columnas VyF , y jM es un elemento que pertenece a la diagonal principal de la matriz de masas M.

Como 2ii ωλ = , entonces la Ec. (8.59) quedaría:

( ) ( )2

1

1

2

1

12

j

n

jj

j

n

jj

i

j

n

jj

j

n

jj

ii

vM

vF

vM

vF

∑

∑

∑

∑

=

=

=

= =→== ωωλ (8.60)

Si en la Ec. (8.60) se trabaja con pesos en vez de masas, entonces:

( )2

1

1.

j

n

jj

j

n

jj

i

VP

VFg

∑

∑

=

==ω (8.61)

Y como se conoce que i

iTωπ2

= , entonces el periodo correspondiente a la forma

de modo Xi según la Ec. (8.61) sería:

ANEXO - CAP. 8: COCIENTE DE RAYLEIGH 37


( ) ( )

j

n

jj

j

n

jj

j

n

jj

j

n

jj

i

vFg

vP

vF

vMT

∑

∑

∑

∑

=

=

=

= ==

1

2

1

1

2

1

..2.2 ππ (8.62)

EJEMPLO:

Para el siguiente sistema que se muestra calcule de manera aproximada el periodo:

Solución: Suponiendo de manera aproximada las fuerzas aplicadas, se tiene:

1m

2m

3m

mtk 000101 =

mtk 00082 =

mtk 00083 =

mst

m2

1 10−

=

mstm

2

2 9 −=

mstm

2

3 8 −=

1m

2m

3m

tF 000101 =

tF 000202 =

tF 000303 =


Resumiendo todos los cálculos en tablas se tiene:

Nivel j

kj

(t/m)

Fj supuestas

(t)

V’j = Fj acumuladas

(t) j

jj k

V '=∆

v j= ∆ j acumuladas

3 8 000 30 000 30 000 3,75 16,00

2 8 000 20 000 50 000 6,25 12,25

1 10 000 10 000 60 000 6,00 6,00

Nivel

Mj

(t-s2/m) Mj .vj

2 Fj .vj

3 8 2 048,00 480 000

2 9 1 350,56 245 000

1 10 360,00 60 000

∑= 3 758,56 ∑= 785 000

Usando la Ec. (8.60): sTT 435,0000785

56,75832 =→= π

1v

2v

3v

3∆

2∆

1∆

ANÁLISIS SÍSMICO POR

SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL

9.1 ANÁLISIS SÍSMICO Para lograr el objetivo del diseño estructural asísmico o antisísmico es indispensable atravesar la etapa del análisis. Esta es, a su vez, posterior a la de estructuración y determinación de las características elásticas y geométricas de la estructura, incluyendo la distribución de sus masas. En general el análisis estructural consiste en la determinación de los efectos que la solicitación aplicada demande de la estructura. En el caso de los sismos hablamos del análisis sísmico. En este caso la solicitación o carga sísmica está caracterizada por la norma local correspondiente y viene expresada en términos de un espectro de diseño. Los efectos que se desean determinar consisten las en fuerzas y deformaciones resultantes de la carga sísmica. Por fuerzas se entiende de modo general, tanto fuerzas de distinto tipo: axiales, cortantes, como también momentos flectores. Por deformaciones se entiende principalmente desplazamientos y rotaciones de los entrepisos así como distorsiones relativas entre piso y piso.

La práctica actual mundialmente aceptada del diseño antisísmico considera que las solicitaciones sísmicas sobre la estructura se determinan por medio de un análisis elástico. Si bien la tendencia moderna incorpora criterios de comportamiento inelástico como herramientas de disipación de energía, el análisis se hace sobre la base de que la estructura y sus elementos no exceden su resistencia y mantienen su forma inicial, hipótesis implícitas en el análisis estructural en el rango elástico. Desde este punto de vista entonces, se cuenta con dos caminos contemplados en los códigos de diseño: análisis estático o análisis dinámico.

2 CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL

El análisis estático reduce las acciones sísmicas a fuerzas estáticas equivalentes y todo el análisis se hace considerando un sólo juego de fuerzas aplicado a la estructura estáticamente. El edificio puede analizarse tri- o bi- dimensionalmente pero el análisis sigue siendo estático y único. Por otro lado el análisis dinámico, también contemplado en los códigos modernos de diseño sísmico, considera las características o propiedades dinámicas de la estructura en la determinación de las fuerzas sísmicas y en cada efecto particular que desee calcularse. Su aplicación, sin embargo, no ha estado tan difundida hasta la década de los 80’s en vista de la complejidad del cómputo involucrado y en la necesidad de disponer de máquinas para el cómputo y procedimientos para la determinación de las propiedades dinámicas de la estructura misma, sin mencionar el trabajo posterior para determinar y combinar los efectos modales.

Con la disponibilidad y potencia de las computadoras modernas, principalmente las personales, el análisis dinámico de edificios es la herramienta apropiada para la determinación de las fuerzas sísmicas, v.g.: el análisis dinámico.

En edificaciones particularmente elevadas el análisis dinámico viene a ser la única herramienta racional de análisis pues los métodos estáticos equivalentes se tornan demasiado conservadores. La distribución de fuerzas máximas resultante a lo alto del edificio es bastante diferente de la triangular supuesta en los códigos ( ver la Fig. 9.1.b).

Fig. 9.1 Resultados de un análisis dinámico para un edificio de 10 pisos

SECC. 9.2: SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD: VIBRACIÓN FORZADA 3


En la Fig. 9.1.a se puede apreciar también, que los desplazamientos máximos de cada piso tienen configuraciones que no responden a la de la hipótesis simplificatorias del análisis estático equivalente. Asimismo cuando las características de la estructura estimulan la contribución de modos adicionales al fundamental en la respuesta, se puede estar subestimando peligrosamente efectos locales en los pisos bajos y en los más altos. En realidad con la facilidad para realizar este tipo de análisis, tan difundidos actualmente, tiene poco asidero el seguir utilizando procedimientos estáticos equivalentes.

9.2 SISTEMAS DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD: VIBRACIÓN FORZADA Un edificio real es un sistema de varios grados de libertad (esto se vio en el

Cap..8). El establecimiento de las ecuaciones de equilibrio se desarrollará mas adelante [ Podría consultar también Ref. 11-Cáp.3 y 4 ]. Estas ecuaciones de movimiento para el sistema de varios grados de libertad, como se vio en el capítulo anterior, tienen la siguiente forma:

)(tFKUUCUM =++ &&& (9.1)

El vector de fuerzas ( )tF puede tener distintas variaciones en el tiempo, pero para sistemas lineales elásticos siempre es posible expresar estas variaciones como una superposición de términos de la forma )(tfF . Por lo tanto la Ec. (9.1) puede reemplazarse por una más simple:

)(tf F = U K + U C + U M &&& (9.2)

Donde F representa un vector independiente del tiempo que contiene las magnitudes de las fuerzas aplicadas en correspondencia con cada grado de libertad (o en cada piso si se trata de un pórtico plano)

9.3 MÉTODOS DE ANÁLISIS DINÁMICO La respuesta dinámica de una estructura a una excitación sísmica (caracterizada usualmente por un movimiento de la base) puede ser obtenida por cualquiera de los tres métodos generales usados en la solución de sistemas de varios grados de libertad.

1) Integración directa en el tiempo de las ecuaciones de movimiento, resolviendo simultáneamente las n ecuaciones diferenciales a través de un procedimiento de integración paso a paso.

2) Solución directa en el campo de frecuencias, resolviendo nuevamente n ecuaciones simultáneas.

3) Análisis Modal.

4 CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL De todos estos procedimientos el primero es el único medio riguroso para tomar en

cuenta comportamiento nolineal. Sin embargo, si se efectúa un análisis lineal será necesario, definir una matriz C de amortiguamiento (ver Cáp.8). Si el análisis es estrictamente nolineal, entonces la mayor parte de la disipación de energía será automáticamente incorporada y la matriz C se hace innecesaria, ya que sólo representará una pequeña cantidad de amortiguamiento a pequeñas amplitudes debida a otras causas.

En el tercer procedimiento la solución en cada modo puede nuevamente llevarse a cabo en el dominio del tiempo o en el de las frecuencias. Las soluciones en el campo de frecuencias están siempre limitadas a sistemas lineales pero tienen la ventaja que permiten considerar propiedades dependientes de la frecuencia (una condición deseable en el caso de los suelos). El comportamiento nolineal puede ser simulado a través de un procedimiento iterativo en que los valores de la rigidez y el amortiguamiento son recalculados al final de cada análisis para igualar el nivel de deformaciones obtenido. [ Ref. 2 ]

El análisis modal es de lejos el procedimiento más usado en dinámica estructural. Permite desacoplar las n3 ecuaciones diferenciales de movimiento, reduciendo el problema a la solución de n ecuaciones independientes de 1 grado de libertad. En la mayoría de los casos sólo algunos modos contribuyen significativamente a la respuesta y por lo tanto ni siquiera tienen que resolverse los n sistemas simples.

9.4 DESCOMPOSICIÓN MODAL DE LAS ECUACIONES DE MOVIMIENTO

La existencia de los modos como un espacio vectorial es extremadamente importante ya que permite reducir la solución de un sistema de n grados de libertad a la solución de n sistemas independientes de 1 GDL, desacoplando de esa manera las ecuaciones de movimiento.

Suponiendo que al inicio se ha resuelto el problema de valores propios o característicos para determinar las frecuencias naturales ωi y las correspondientes formas de modo . Asimismo se supondrá que las formas de modo iX han sido normalizadas con respecto a la matriz de masas de manera que el producto

1=iT

i XMX (véase Cap. 8).

9.4.1 Descomposición Modal sin considerar Amortiguamiento Al no considerar el amortiguamiento la Ec. (9.2) quedaría reducida de la siguiente manera:

)(tf F = U K + U M && (9.3)

SECC. 9.4.1: DESCOMPOSICIÓN MODAL SIN CONSIDERAR AMORTIGUAMIENTO 5


Usando la propiedad de los modos, que permite expresar cualquier vector del espacio vectorial, por ellos definido, como una combinación lineal de las formas modales y ciertos coeficientes, se supondrá que la solución de las ecuaciones de movimiento viene dada por:

X ta = U ii

n

1i)(∑

= (9.4)

derivándola dos veces obtendríamos:

X ta = U ii

n

1i=)(&&&& ∑ (9.5)

Al sustituir las Ecs. (9.4) y (9.5) en (9.3) se tendría:

)()()(

)()()(

tfF =] taXK + taX[M

tfF = XtaK + XtaM

iiii

n

1i=

ii

n

1iii

n

1i

&&

&&

∑

∑∑ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛==

Al premultiplicar esta última ecuación por TjX ( para nj ,,2,1 K= ), el cual es

independiente de “ i ” , obtendríamos:

)()()(

)()()(

tfFX =] taXKX + taXM[X

tfFX =] taXK + taX[MX

Tjii

Tjii

Tj

n

1i=

Tjiiii

n

1i=

Tj

&&

&&

∑

∑

Al aplicar las condiciones de ortogonalidad:

10 = MX Xi jsiperoi j para = XMX iTii

Tj =≠ (9.7)

ω = XKX i jsiperoij para = XKX iiTii

Tj

20 =≠ (9.8)

en la Ec. (9.6), para “ j = i ” y teniendo además en cuenta las condiciones de ortogonalidad, quedaría reducida así:

)()()( tfFX = taXKX + taXMX Tiii

Tiii

Ti && (9.9)

(9.6)


Al dividir la Ec. (9.9) entre iTi XMX :

)()()( tfXMX

FX = ta

XMXXKX

+ tai

Ti

Ti

ii

Ti

iTi

i&& (9.10)

Como podrá notarse la Ec. (9.10) aún no esta simplificada del todo. Sin embargo al observar que hay un término que involucra los modos y las matrices K y M, podríamos pensar en hacer uso de una expresión ya demostrada en el capítulo anterior, dada por:

iii XMXK 2ω= la cual al ser premultiplicada por TjX , con j = i, queda de la

siguiente forma:

iTiii

Ti XMXXKX 2ω=

realizando el despeje de la frecuencia se tendría:

i

Ti

iTi

i XMXXKX

=2ω (9.11)

Además, definiendo como factor de participación estática “ iΓ ”, al término que relaciona los modos y las matrices F y M, según la Ec. (9.10) éste sería:

( )∑

∑

=

===n

jjij

n

jjij

iTi

Ti

i

xm

xF

XMXFX

1

2

1Γ (9.12)

Cabe señalar que las Ecs. (9.10) ,(9.11) y (9.12) podrían reducirse aún más puesto que se normalizaron los modos respecto a la matriz de masas, es decir 1=i

Ti XMX ,

según esto se tendría:

)()()( tfFX = taXKX + ta Tiii

Tii&& . (9.13)

iTii XKX=2ω (9.14)

FX Tii =Γ (9.15)

Finalmente de las Ecs. (9.14) y (9.15) en (9.13) se obtiene:

SECC. 9.4.: DESCOMPOSICIÓN MODAL CONSIDERANDO AMORTIGUAMIENTO 7


)()()( 2 tf = ta + ta iiii Γω&& (9.16)

que representa las “ n ” ecuaciones modales de movimiento para un sistema forzado sin amortiguamiento. Es conveniente señalar que con frecuencia también se suele expresar “ U ” como sigue:

iii

n

1i=XtdU Γ)(∑= (9.17)

entonces, si la relacionamos con la Ec. (9.4), podremos apreciar con claridad que iii tdta Γ)()( = . Donde “ )(td i ” es el factor de participación dinámica (dependiente

del tiempo) y “ iΓ ” es el factor de participación estática (independiente del tiempo). Luego la Ec. (9.16) en función de “ )(td i ”quedaría expresada como:

)()()( 2 tf = td + td iii ω&& (9.18)

9.4.2 Descomposición Modal considerando Amortiguamiento

Considerando amortiguamiento la Ec. (9.19) sería la misma que la Ec. (9.2), es decir:

f(t) F = U K + U C + U M &&& (9.19)

De manera similar a la sección anterior, en ésta, se hará uso de la propiedad de los modos, que permite expresar cualquier vector del espacio vectorial, por ellos definido, como una combinación lineal de las formas modales y ciertos coeficientes, se supondrá para ello que la solución de las ecuaciones de movimiento viene dada por:

X ta = U ii

n

1i)(∑

= (9.20)

derivando una vez obtendríamos:

X ta = U ii

n

1i=)(&& ∑ (9.21)

derivando dos veces obtendríamos:

X ta = U ii

n

1i)(&&&& ∑

= (9.22)

8 CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL Al sustituir las Ecs. (9.20), (9.21) y (9.22) en (9.19), es decir, sustituyendo este

vector U y sus derivadas U& y U&& , expresadas en función de las formas modales iX , las ecuaciones de movimiento que obtendríamos serían:

)()()()(

)()()()(

tfF =] taXK +taXC + taX[M

tfF = XtaK XtaC + XtaM

iiiiii

n

1i=

ii

n

1iii

n

1iii

n

1i

&&&

&&&

∑

∑∑∑ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛===

Luego al premultiplicar esta última ecuación por el vector TjX ( para n,,,j K21= ),

el cual es independiente de “ i ” , obtendríamos:

)()()()(

)()()()(

tfFX =] taXKX +taXC X+ taXM[X

tfFX =] taXK +taXC + taX[MX

Tjii

Tjii

Tjii

Tj

n

1i=

Tjiiiiii

n

1i=

Tj

&&&

&&&

∑

∑

Aplicando las condiciones de ortogonalidad:

10 = MX Xi jsiperoi j para = XMX iTii

Tj =≠ (9.24)

iiiTii

Tj = XCX i jsii peroj para = CXX ωβ20 =≠ (9.25)

( Si C tiene una forma especial )

ω = XKXi pero j para = XKX iiTii

Tj

20 ≠ (9.26)

en la Ec. (9.23), para “ j = i ”, ésta quedaría reducida así:

)()()()( tfFX = taXKX + taXCX + taXMX Tiii

Tiii

Tiii

Ti &&& (9.27)

Escribiendo de otra manera la Ec. (9.27) se tiene:

)()()()( tfF = taK + taC + taM eii

eii

eii

ei &&& (9.28)

siendo ei

ei

ei

ei FyKCM ,, escalares, correspondientes a cada modo de vibración

“ i ”. Luego, al dividir la Ec. (9.28) entre eiM resulta :

(9.23)

SECC. 9.4.2: DESCOMPOSICIÓN MODAL CONSIDERANDO AMORTIGUAMIENTO 9


)()()()( tfMF

= taMK

+ taMC

+ ta ei

ei

iei

ei

iei

ei

i &&& (9.29)

Como podrá observarse, a la Ec. (9.29), que representa las “ n ” ecuaciones modales del movimiento, se le puede hacer una analogía para el caso en el que solo se tiene 1 GDL. Entonces tendríamos lo siguiente:

iTi

iTi

iiiii

Ti

iTi

e

e

críticoiei

ei

críticoei

ei

i

XMXXCX

XMXXCX

MC

mc

ccaeequivalentes

MC

CC

=∴==⇒

====

ωβωβ

ωβ

ωβ

22

2(%)

2(%)

)(

También, recordando que se demostró en la sección anterior:

i

Ti

iTi

i XMXXKX

=2ω (9.31)

y que además, el término que involucra a los modos y a las matrices F y M, llamado factor de participación estática “ iΓ ”, estaba dado por:

i

Ti

Ti

i XMXFX

=Γ (9.32)

Y debido a que se normalizaron los modos respecto a la matriz de masas, o sea 1=i

Ti XMX , las Ecs. (9.27), (9.30), (9.31) y (9.32) podrían reducirse, según ello

estas quedarían así:

)()()()( tfFX = taXKX +taXCX + ta Tiii

Tiii

Tii &&& . (9.33)

iTiii XCX=ωβ2 (9.34)

iTii XKX=2ω (9.35)

FX Tii =Γ (9.36)

Entonces, finalmente de las Ecs. (9.34), (9.35) y (9.36) en (9.33) se obtiene:

(t)f = (t)a (t)a + (t)a iiiiiii Γωωβ 22 +&&& (9.37)

(9.30)


Í

que representa las “ n ” ecuaciones modales de movimiento para un sistema forzado considerando amortiguamiento.

Análogamente a la sección anterior, “ U ” se suele expresar como:

iii

n

1i=X(t)dU Γ∑= (9.38)

se puede apreciar con claridad que iii (t)d(t)a Γ= al relacionar la Ec. (9.38) con la Ec. (9.20). Donde “ (t)d i ” , como ya se indico, es el factor de participación dinámica (dependiente del tiempo) y “ iΓ ” el factor de participación estática (independiente del tiempo). Entonces la Ec. (9.37) quedaría expresada en función de “ (t)d i ”como sigue:

(t)f = (t)d (t)d+ (t)d iiiiii22 ωωβ +&&& (9.39)

De las Ecs. (9.38) y (9.39) observamos que la contribución de cada modo iX a la respuesta está afectada por el factor de participación estática iΓ y un factor de participación dinámica (t)d i que resulta de la solución de una ecuación de un sistema de un grado de libertad con la frecuencia natural iω sometida a la función del tiempo ( )tf .

Si la distribución de fuerzas dinámicas F (o para fuerzas estáticas) es proporcional en cada masa al producto de la masa por su desplazamiento en el modo j , es decir jXMFα , únicamente FX T

jj =Γ no será igual a cero y por consiguiente sólo el modo j será excitado. El sistema vibrará manteniendo constante la forma del modo j , o sea jX , variando solamente su amplitud, que dependerá de la función ( )tf . En la mayoría de los casos prácticos el factor de participación estática

iΓ tiende a decrecer para los modos más altos, es decir aquellos con valores altos de frecuencias.

La importancia relativa del factor de participación dinámica )(td i para cada modo será una función de la variación de ( )tf con el tiempo en relación con la frecuencia natural iω . Nuevamente, en general, las frecuencias más altas tendrán menor amplificación y como resultado, la contribución de los modos altos en la respuesta no será tan significativa. En la mayoría de casos prácticos solamente algunos modos (3 a 5 a lo más) serán suficiente para obtener una respuesta apropiada. (ello considerando el problema plano; sin embargo si el problema se modela tridimensionalmente habrá que triplicar este número).

SECC. 9.5: ANÁLISIS MODAL PARA EXCITACIONES SÍSIMICAS 11


La determinación de )t(d i requiere la solución de la ecuación de movimiento para un sistema de 1 GDL. Esta puede efectuarse tanto en el campo del tiempo como en el campo de frecuencias.

Debe tenerse en cuenta que la aplicación del análisis modal requiere no solamente que el problema sea lineal (ya que está basado en la superposición) sino también la existencia de una matriz de amortiguamiento C apropiada que satisfaga la condición de ortogonalidad. Si se usa un modelo de acoplamiento cercano (ver Cáp. 8) cada masa estará conectada a la superior e inferior por un amortiguador y la matriz de amortiguamiento tendría una forma similar a la de la matriz de rigidez:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+−

−+−−+−

−+

=

−−

nn

nnnn

cccccc

cccccccc

ccc

C

00000

:::::0..00..00..00

11

4433

3322

221

(9.40)

Otra forma de hacerlo es calcular una matriz de amortiguamiento con la siguiente expresión

MQ B Q M= C T (9.41)

donde M es la matriz de masas, Q la matriz modal (conteniendo todas las formas modales como columnas) y B es una matriz diagonal cuyo término iésimo es igual a

iiωβ2 (ver Cáp. 8).

En la mayoría de los casos, cuando se usa análisis modal, la matriz de amortiguamiento ni siquiera se ensambla, sino que se comienza definiendo los porcentajes modales de amortiguamiento iβ y se los incorpora directamente en las ecuaciones modales, Ec. (9.39).

9.5 ANÁLISIS MODAL PARA EXCITACIONES SÍSMICAS En esta sección veremos cuando un sistema de varios grados de libertad está sometido a una excitación sísmica, la que es representada usualmente como una aceleración horizontal en la base.

Por simplicidad, para un mejor entendimiento de la expresión general, demostraremos la expresión general basándonos en un sistema de vibración libre de


Í

2 GDL dinámicos en el que no se considerará el amortiguamiento. Además, en dicho sistema se indicarán los desplazamientos absolutos “ u ” y relativos “ y ” (Fig. 9.2.a).

De la Fig. 9.2.b aplicando equilibrio dinámico para el primer y segundo nivel, en ese orden, resulta:

0)(0)( 22121111221111 =−++→=−−+ ykykkumyykykum &&&& (9.42)

00)( 22122212222 =+−→=−+ ykykumyykum &&&& (9.43)

Como se pude observar las Ecs. (9.42) y (9.43) están en función de desplazamientos absolutos “ u ” y desplazamientos relativos a la base “ y ”. Entre lo absoluto y relativo podría optarse por escoger cualquiera de los dos. Sin embargo

Fig.9.2 (a) Sistema simplificado no forzado de 2 GDL dinámicos (b) Movimiento de la base debido a una exitación sismica.

2y

2∆

1m

2m

1k

2k

11um &&

1y

1∆

1111 ykk =∆

)( 12222 yykk −=∆

22um &&

2u

1u

1m1m

1k

2k

2m2m

)( 12222 yykk −=∆

Fig.9.2.a Sistema simplificado

Fig.9.2.b Movimiento de la Base

)(tuG

SECC. 9.5: ANÁLISIS MODAL PARA EXCITACIONES SÍSMICAS 13


optaremos por trabajar con los desplazamientos relativos a la base, lo cual es conveniente, puesto que las Ecs. (9.42) y (9.43) quedarán expresadas de una forma ya tratada en el Cap. 8. El fundamento de lo dicho nuevamente será dado en breve una vez que se obtengan las ecuaciones de movimiento en función de “ y ”.

Observando la Fig. 9.2.b, vemos que los desplazamientos absolutos y lo relativos a la base están relacionados mediante:

iGi ytuu += )( (9.44)

donde, para nuestro caso, “ i ” va de 1 a 2, puesto que estamos analizando un sistema de 2 GDL dinámicos. Derivando dos veces la Ec. (9.44) tenemos:

iGi ytuu &&&&&& += )( (9.45)

Al reemplazar las Ecs. (9.44) y (9.45) en (9.42) y también en (9.43) se tiene:

0)())(( 1221111 =−−++ yykykytum G &&&&

0)())(( 12222 =−++ yykytum G &&&&

luego, al reordenar estas ecuaciones se tiene:

)()( 12212111 tumykykkym G&&&& −=−++ (9.46)

)(2221222 tumykykym G&&&& −=+− (9.47)

Ya reordenadas es fácil darse cuenta ahora que, como ya se dijo, fue conveniente colocar las ecuaciones en función de los desplazamientos relativos a la base ya que ecuaciones similares fueron tratadas en el Cap. 8, solo que en este caso la fuerza, es decir el término )(tum Gi &&− , depende de la masa “ im ”y de la aceleración del suelo o de la base “ )(tuG&& ” . Expresado de otra manera, podemos decir que las Ecs. (9.46) y (9.47) tienen por vector fuerza a “ F(t) ”dado por:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=)()(

)()(

)(2

1

2

1

tumtum

tfPtfP

tFG

G

&&

&&

Entonces, un sistema equivalente al sistema libre de la Fig. 9.2 vendría a estar dado por el sistema forzado que se muestra en la Fig. 9.3:


Í

Ordenando matricialmente las Ecs. ( 6.46) y ( 6.47 ) se tiene:

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−−

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡)()(

00

2

1

2

1

22

221

2

1

2

1

tumtum

yy

kkkkk

yy

mm

G

G

&&

&&

&&

&&

La ecuación anterior se suele escribir de la siguiente manera:

)(11

00

00

2

1

2

1

22

221

2

1

2

1 tum

myy

kkkkk

yy

mm

G&&&&

&&

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−++

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ (9.48)

su notación matricial de una manera mas concisa sería:

)(tuIMYKYM G&&&& −=+ (9.49)

donde:

Fig. 9.3 Diagrama de cuerpo libre ( DCL ) del sistema simplificado forzado sin amortiguamiento, expresado en desplazamientos relativos a la base “ y ”

2y

2∆

1m

2m

1k

2k

11 ym &&

)()( 22 tumtfP G&&−=

)()( 11 tumtfP G&&−=

1y

1∆

1111 ykk =∆

)( 12222 yykk −=∆

)( 12222 yykk −=∆

22 ym &&



⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

=11

2

1

2

1 Ieyy

Y,yy

Y&&

&&&&

Son los vectores aceleración y desplazamiento relativos a la base, y el vector columna 1 , en ese orden; además:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

22

221

2

1

00

kkkkk

Kym

mM

son la matriz masa y de rigidez respectivamente.

Una expresión más general, para el sistema forzado con amortiguamiento de 2 GDL dinámicos que se muestra a continuación:

1 Se debe de tener bien claro, para lo concerniente al tema, que I es un vector columna cuyos elementos son todos unos. No debemos confundirlo con la matriz identidad.

1m

)()( 22 tumtfP G&&−=

)()( 11 tumtfP G&&−=

2k

1k

2m

1c

2c

Fig. 9.4 Sistema forzado con amortiguamiento de 2 GDL dinámico (con fuerzas que dependen de las masas y de la acleración de la base), el cual es la equivalencia del problema original mostrado en la “ Fig. 9.2 ”(un sistema de vibración Libre de “ n ” GDL con amortiguamiento cuando está sometida a una aceleración en el suelo o la base).

16 CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL es la siguiente expresión:

)t(uIM = Y K Y C Y M G&&&&& −++ (9.50)

Se debe enfatizar que la Ec. (9.50), expresada en desplazamientos relativos, representa la ecuación para cuando se tiene un sistema de vibración libre de “ n ” GDL con amortiguamiento cuando está sometido a una aceleración en la base (ver Fig. 9.2 , 9.3 y 9.4).

Además, se debe recordar al lector que en el Cap. 8 se explicó como es que se forma la matriz de amortiguamiento “ C ”. Además se muestran las condiciones que debe cumplir dicha matriz para poder ser incluida en la Ec. (9.49) para finalmente tomar la forma de la Ec. (9.50).

De la Ec. (9.50) con Y , Y& e Y&& los vectores de desplazamiento, velocidad y aceleración relativos a la base )uIU Y( G−= e I vector cuyos elementos son todos iguales a la unidad, y (t)uG&& la aceleración del suelo, procederemos a aplicar descomposición modal presentada en la sección anterior.

Basados en la forma que tiene la Ec. (9.50), de forma análoga que en secciones anteriores, se hará uso de la propiedad de los modos, puesto que, como ya se sabe, nos permite expresar cualquier vector del espacio vectorial, por ellos definido, como una combinación lineal de las formas modales y ciertos coeficientes. Para tal propósito se supondrá que la solución de las ecuaciones de movimiento viene dada por:

X ta = Y ii

n

1i)(∑

= (9.51)

derivando una vez obtendríamos:

X ta = Y ii

n

1i=)(&& ∑

(9.52)

derivando dos veces obtendríamos:

X ta = Y ii

n

1i)(&&&& ∑

= (9.53)

al ser sustituidas las Ecs. (9.51), (9.52) y (9.53) en la Ec. (9.50), es decir, sustituyendo este vector Y y sus derivadas Y&& y Y&& , expresadas en función de las formas modales iX , las ecuaciones de movimiento que obtendríamos serían:



)t(uIM =] (t)aXK +(t)aXC + (t)aX[M

)t(uIM = X(t)aK X(t)aC + X(t)aM

Giiiiii

n

1i=

Gii

n

1iii

n

1iii

n

1i

&&&&&

&&&&&

−

−⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

∑

∑∑∑===

Luego al premultiplicar esta última ecuación por el vector TjX ( para

nj ,,2,1 K= ), el cual es independiente de “ i ” , obtendríamos:

)t(uIMX =] )t(aXKX +)t(aXC X+ )t(aXM[X

)t(uIMX =] )t(aXK +)t(aXC + )t(aX[MX

GTjii

Tjii

Tjii

Tj

n

1=i

GTjiiiiii

n

1=i

Tj

&&&&&

&&&&&

−

−

∑

∑

Al aplicar las condiciones de ortogonalidad:

10 = XM Xi jsii peroj para = XMX iTii

Tj =≠ (9.55)

iiiTii

Tj = XCX i jsii peroj para = CXX ωβ20 =≠ (9.56)

( Si C tiene una forma especial )

ω = XKXi pero j para = XKX iiTii

Tj

20 ≠ (9.57)

en la Ec. (9.54), para “ j = i ” , ahora, esta sería:

)t(uIMX = (t)aXKX + (t)aXCX + (t)aXMX GTiii

Tiii

Tiii

Ti &&&&& − (9.58)

De manera similar a lo hecho en secciones anteriores, al escribir la Ec. (9.58) de otra manera se tiene:

)(tuF = (t)aK + (t)aC + (t)aM Ge

iieii

eii

ei &&&&& − (9.59)

siendo ei

ei

ei

ei FyKCM ,, escalares, correspondientes a cada modo de vibración

“ i ”. Luego, dividiendo la Ec. (9.59) entre eiM resulta :

)(tuMF

= (t)aMK

+ (t)aMC

+ (t)a Gei

ei

iei

ei

iei

ei

i &&&&& − (9.60)

(9.54)


Í

Siendo la Ec. (9.60) la que representa las “ n ” ecuaciones modales del movimiento. Al observarla, vemos que posible realizar una analogía de ésta con el caso cuando solo se tenía 1 GDL, o sea:

iTi

iTi

iiiii

Ti

iTi

e

e

críticoiei

ei

críticoei

ei

i

XMXXCX

XMXXCX

MC

mc

ccaeequivalentes

MC

CC

(%)

=∴==⇒

====

ωβωβ

ωβ

ωβ

22

22 (%))(

Se demostró también en la Secc. 9.4.1 que:

i

Ti

iTi

i XMXXKX

=2ω (9.62)

y que además, según la Secc. 9.4.2 , el factor de participación estática “ iΓ ”, término que relaciona los modos y las matrices F y M, estaba dado por:

i

Ti

Ti

i XMXFX

=Γ solo que en este caso F = M I

quedando entonces, expresado como:

( )∑

∑

=

===Γ n

jjij

n

jjij

iTi

Ti

i

xm

xm

XMXIMX

1

2

1 (9.63)

Teniendo en cuenta que las Ecs. (9.58), (9.59), (9.60) y (9.61) podrían reducirse debido a que los modos fueron normalizados respecto a la matriz de masas, o sea

1=iTi XMX , según esto, dichas ecuaciones se escribirán así:

)(tuMIX = (t)aXKX +(t)aXCX + (t)a GTiii

Tiii

Tii &&&&& − . (9.64)

iTiii XCX=ωβ2 (9.65)

iTii XKX=2ω (9.66)

IMX Tii =Γ (9.67)

Entonces en la Ec. (9.64) al reemplazar las Ecs. (9.65), (9.66) y (9.67), se tiene:

(9.61)



)(2 2 tu = (t)a (t)a + (t)a Giiiiiii &&&&& Γωωβ −+ (9.68)

que representa las “ n ” ecuaciones modales de movimiento para un sistema forzado considerando amortiguamiento.

“ Y ” se suele expresar, al igual que en las secciones anteriores , como:

iii

n

1=iXtdY Γ)(∑= (9.69)

Al relacionar la Ec. (9.69) con la Ec. (9.51), vemos que iii )t(d)t(a Γ= . Donde “ )(td i ” , es el factor de participación dinámica (dependiente del tiempo) y “ iΓ ” el factor de participación estática (independiente del tiempo). Luego la Ec. (9.68) en función de “ )(td i ”quedaría expresada como:

)()()(2)( 2 tu = td td+ td Giiiiii &&&&& −+ ωωβ (9.70)

En resumen la respuesta estará dada por:

X(t)d = Y iii

n

1=iΓ∑ (9.71)

n1,2,...,=i para (t)u-=(t)d + (t)d2 + (t)d Gii2

iiii &&&&&& ωωβ (9.72)

MJX ó MIX = Ti

TiiΓ (9.73)

(si el modelaje es tridimensional 1 )

Hay dos formas de realizar el análisis modal:

a) Se puede resolver cada ecuación modal tanto en el dominio del tiempo como en el de frecuencias es decir integrada directamente o haciendo un cambio de variables de t a ω y resuelta en ese campo mediante el uso de las transformadas de Fourier.

Es más usual lo primero en que la solución de la ecuación modal o sea toda la historia en el tiempo de (t)d i es almacenada. Luego los modos se superponen apropiadamente en cada intervalo de tiempo y el tiempo-historia para cada efecto se revisa para encontrar su máximo valor. Esta superposición tiene que ser repetida independientemente para cada efecto ya que los coeficientes que afectan las respuestas modales (o sea las contribuciones de cada modo a cada respuesta en particular) variarán de un efecto al otro. Por ejemplo los desplazamientos de un piso relativo al terreno, la aceleración absoluta de una masa o la fuerza cortante en una columna. Por consiguiente

1 Esto se verá mas adelante en la Secc. 9.7.1.



este proceso es tedioso si se desea determinar muchas respuestas, como por ejemplo todas las fuerzas en los elementos de un edificio. Nótese, sin embargo, que la determinación de todas las fuerzas, momentos, cortes en una estructura es un problema estático una vez que se aplica a cada pórtico un juego de desplazamientos iguales a la forma modal X i . Estos valores modales después serán multiplicados por (t)d i y Γ i .

b) El análisis modal puede también llevarse a cabo manteniendo para cada modo sólo la máxima respuesta d máxi, . Esto es particularmente conveniente cuando se usa un espectro de respuesta para representar el movimiento, en vez de un registro -que es precisamente el caso de los análisis sísmicos especificados en los códigos de diseño- ya que el valor d máxi, se lee directamente del espectro para el amortiguamiento deseado,

),( S = d iidmáxi, βω ; véase Cap. 5. Este procedimiento es el que se conoce precisamente como análisis modal espectral.

Para ilustrar el primer procedimiento supongamos que el edificio de la Fig. 9.11 está siendo sometido a una aceleración de la base de 1.0 m/s² que actúa durante medio segundo.

Para simplificar el análisis supongamos que no hay amortiguamiento. La solución

de la Ec. (9.72) para el caso sin amortiguamiento y en que 1 = uG&& está dada por:

t t para t) - (1 1 = (t)d dii2i ≤ω

ωcos (9.74)

t > t parat] - )t-(t[ 1 = (t)d didii2i ωω

ωcoscos (9.75)

Luego el desplazamiento para cada modo está dado por las siguientes expresiones, aplicando la Ec. (9.71):

)84.65cos1(000017.0

5.0)05.33cos1(000600.0)074.9cos1(017000.0

ttparat

t

−<−−

− (9.76)

Cuando t > 0.5 las expresiones se modifican de acuerdo a la Ec. (9.75).

La respuesta del desplazamiento del piso superior debido a los dos primeros modos puede observarse en la Fig. 9.5. El modo 3 no tiene significación práctica.

SECC. 9.6: ANÁLISIS DINÁMICO MODAL ESPECTRAL 21


Fig. 9.5 Desplazamiento del piso superior. 1er y 2do modo Pulso de 1m/s2 y td = 0.55 s en la base

9.6 ANÁLISIS DINÁMICO MODAL ESPECTRALEn este caso particular del análisis modal la respuesta máxima correspondiente al modo i estará expresada como sigue:

XS=Y iidimáxi Γ, (9.77)

donde Sdi es el valor leído del espectro de respuesta que se está usando y que puede ser el valor máximo de la solución de la ecuación modal:

n1,2,...,=i con (t)u-= (t)d + (t)d2 + (t)d Gii2

iiii &&&&& ωωβ (9.78)

ó el valor leído de un espectro teórico suavizado como los que se consignan en las normas de diseño. Lo cierto es que en ambos casos del espectro se obtienen los valores máximos de la aceleración, desplazamiento o velocidad para una frecuencia determinada y un amortiguamiento fijo que son el dato de entrada para la expresión (9.77)

El factor de participación estática tiene la expresión presentada anteriormente para el caso de una excitación sísmica:

MJX ó MIX = Ti

TiiΓ (9.79)

(si el modelaje es tridimensional)


Í

Nótese que los máximos para otros efectos como fuerzas en los elementos se determinan para cada modo de un análisis estático, obteniendo los valores del juego de desplazamientos Xi y multiplicándolos por dS y iΓ .

9.6.1 Combinación Modal

En el análisis modal espectral la determinación del efecto debido a la superposición de todos los modos sólo puede ser hecha de forma aproximada combinando (ya no superponiendo) las respuestas o participaciones modales. Como es poco probable que todas las respuestas máximas de los modos coincidan en el tiempo, sumar los valores absolutos de los valores modales máximos sería demasiado conservador. El procedimiento establece que se deben calcular los efectos modales para la respuesta que se desee: desplazamientos, fuerzas globales, efectos locales en los elementos, y combinarlos siguiendo diversos criterios. Tradicionalmente se calculaba la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los máximos efectos (RCSC) pero modernamente se están usando otras aproximaciones, cada una tratando de acercarse a la respuesta predicha por el análisis tiempo-historia.

El Reglamento Nacional de Construcciones a través de su Norma de Diseño Sismo Resistente [ Ref. 10 ] prescribe(ordena) para el caso en que se use análisis dinámico modal espectral que los modos se combinen usando el promedio ponderado de la raíz cuadrada de la suma de las respuestas al cuadrado (RCSC) con la suma de los valores absolutos (Σ ABS).

RCSC.ABS + . 750250 ∑ (9.80)

Tradicionalmente se había usado sólo la RCSC pero se ha demostrado que es insegura para edificios de más de 8 pisos [ Ref. 7 ]. La de la Norma Peruana de 1997 [ Ref. 8 ] sin embargo, se ha evaluado que es conservadora. Por otro lado, en la Norma E-030 de 1997: Diseño Sismorresistente [ Ref. 10 ], se ha adoptado:

RCSC.ABS + . 750250 ∑ (9.83)

También se está usando en otros países la llamada "Combinación Cuadrática Completa", (CQC) (del Inglés: Complete Quadratic Combination) que es más laboriosa de implementar pero que según sus promotores es más precisa que todas las conocidas [ Ref. 9 ]. Esta expresada de la siguiente forma:

R R = R kjijkik ρ∑∑ (9.84)

donde R representa las respuestas modales, desplazamientos o fuerzas. Y los coeficientes de correlación están dados por:

ωω r =

)+rr(β + )r+(r+r)(β = ρ

i

j/

ij 2222

232

14118 (9.85)

SECC 6.6.1: COMBINACIÓN MODAL 23


Para concluir quizás debería recordarse que como el análisis modal espectral involucra claramente una aproximación en la combinación de los efectos modales, el grado de precisión que se tiene en el uso del espectro suavizado o de un registro sísmico en particular no parece justificar la necesidad de mayor precisión. En forma sintetizada, un esquema que contiene los pasos para realizar el análisis dinámico modal espectral estaría dado por:

Modelación de la Estructura Definición de las matrices de masas y rigidez

Análisis Dinámico Modal Espectral

Solución del Problema de Valores Característicos Determinación de las frecuencias y periodos

Cálculo de los Factores de Participación Estática

Leer Espectros de Diseño: Aceleraciones o Desplazamientos

Cálculo de las Respuestas Modales

Combinación de las respuestas Modales para la determinación de cada efecto

Fuerzas y deformaciones


Í

9.7 ANÁLISIS DINÁMICO SEUDO TRIDIMENSIONAL

Consideremos la edificación aporticada de 4 niveles mostrada en la Fig. 9.6. En dicha figura se puede observar los elementos diafragmas rígidos, que juegan un papel de suma importancia, puesto que distribuyen la fuerza horizontal, producida por el movimiento en la base (excitación sísmica), sobre los elementos verticales. La magnitud de la fracción de dicha fuerza sísmica que será tomada por cada elemento vertical es función directa de sus rigideces, o sea, mientras mayor sea la rigidez del elemento vertical tomará mayor fracción de la fuerza sísmica. Como ejemplo se podría citar a los muros de corte, los cuales absorben, por no decir toda, gran parte de la fuerza sísmica. Ello debido a su gran rigidez (esto se vio en el capítulo de rigideces).

La vista de planta del piso “ p ”de la Fig. 9.6 se muestra en la Fig. 9.7. En dicha

vista no sólo se aprecia 1 GDL como en el caso del análisis en el plano (como se vio el Cap. 8) sino mas bien se observa 3 GDL que corresponden a los dezplazamientos “ up ” y “ vp ”, y al giro del diafragma “ pθ ” (con respecto a un eje perpendicular al plano que lo contiene). Además, el centro de masas ( C.M. ) debido a la excentricidad accidental “ eacc ” se mueve en ambas sentidos tal como se muestra en la Fig. 9.7. Por ello, para obtener los mayores valores se deberá resolver para dichos sentidos y escoger aquel que produzca los mayores efectos.

También se debe acotar que la excentricidad no solo se da en la dirección “ x ” (en el cual se moverá en los dos sentidos ya indicados) sino también en la dirección del eje “ y ” (en él que, de manera análoga, se moverá en ambos sentidos). Lo dicho

Diafragmas Rígidos

Fig. 9.6 Vista tridimensional de una edificación de 4 niveles . Se indican los diafragmas rígidos y la aceleración de la base en ambas direcciones.

x

y)(, tu xG&&

)(, tu yG&&

z

SECC. 9.7: ANÁLISIS DINÁMICO SEUDO TRIDIMENSIONAL 25


significa que realmente de debe de hacerse 4 análisis: 2 en la dirección “ x ” y 2 en la dirección “ y ”.

La irregularidad torsional es el principal problema debido a que los giros en planta tienen resultados adversos. Por esto debe tratarse que el giro en planta tienda a cero. Magnitudes de giros tales como 10 -2 rad son malas [ Ref. 13 ].

Para realizar el análisis de un modelo seudo tridiemnsional se supone a la estructura como un ensamble de pórticos planos, los cuales se encuentran interconectados por un diafragma rígido. Lo que importa es el desplazamiento horizontal a lo largo del alineamiento del pórtico (no el perpendicular a su plano). Dicho desplazamiento puede describirse en función en de las tres componetes de desplazamiento ( ooo yv,u θ ) que definen el movimiento del diafragma [ Ref. 11]. Para explicar tal relación entre dichos desplazamientos nos basaremos en la Fig. 9.8:

Fig. 9.8.a Planta genérica

x

y)(, tu xG&&

)(, tu yG&&

pu

pv

pθ

acce acce

MC.

Fig. 9.7 Vista de planta del piso “ p ” de la edificación de 4 niveles , donde se muestra los sentidos de la eccentricidad “ eacc ” en dirección del eje “ x ” (de manera similar se da en la dirección y).

ou

ovoθ( )oo y,x

iuiα

x

y ( )ii y,x


Fig. 9.8.b Relación entre las coordenadas que describen el desplazamiento del

diafragma y el desplazamiento ( ui ) del pórtico “ i ”.

Debido a que no importa el desplazamiento perpendicular a su plano sino mas bien el desplazamiento a lo largo de su alineamiento ( ui ) de la Fig. 9.8.b se tiene que:

'''u''u'uu iiii ++=

ioioioi rsenvcosuu θαα ++= (9.86)

La Ec. (9.86) escrita vectorialmente es:

( ) oi

o

o

o

iiii u.Gvu

r,sen,cosu =⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

θαα (9.87)

De la Fig. 9.8.b.(3) usando relaciones vectoriales se tiene que:

( )( )( ) ( ) ioiioii

iioioii

cosyysenxxrcos,sen.yy,xxn.Tr

αααα

−−−=−−−== (9.88)

La fuerza “ Vi ” producida en el pórtico, función de su rigidez lateral (kLi) y de su desplazamiento (ui), tambien puede ser calculada en función de las coordenadas que definen el desplazamiento del diafragma.:

iLii ukV = (9.89)

usando la Ec. (9.87):

ou

ov

oθ

( )oo y,x

iu

iα

x

y ( )ii y,x

iα iα

iα

'ui

''ui

'''ui

oθ

ir

ir

ou

ov

toalineamien

( )ii y,x

( )oo y,x

(1) (2) (3)

T

n

SECC. 9.7: ANÁLISIS DINÁMICO SEUDO TRIDIMENSIONAL 27


oiLii u.GkV = (9.90)

Para una explicación más detallada véase Ref. 11 y 13.

Luego de haber visto que es posible realizar el análisis considerando solo 3 GDL, los cuales definen el desplazamiento del diafragma, proseguiremos a definir el momento polar de inercia “ J ”, el cual representa una medida de inercia rotacional. Para efecto del análisis se descompondrá en la suma de momentos polares de inercia. Veamos primeramente la expresión general para una placa de masa “ Mp ” situada en e plano xy (ver Fig. 9.9 ), luego veremos lo concerniente a nuestro caso.

Dicha expresión general correspondiente a la Fig. 9.9 es:

pMp dMrJ ∫= 2

Para nuestro caso, como se dijo , se obtendrá el momento polar de inercia sumando aquellos según como se muestra en la Fig. 9.10:

x

yr

pdM

Fig. 9.9 Esquema para el hallar la expresión del Momento Polar de Inercia de una Placa de masa “ Mp ” situada en el plano xy.

x

y

r

pdM

∫= pMp dMrJ 2

= +

Fig. 9.10 Esquema para el hallar la expresión del momento polar de inercia de una placa de masa “ Mp ” situada en el plano xy.

yJxJ= +

)J(AMJ

)J(mJ

)II(mJ

Mp

pMp

yxpMp

=

=

+=


Í

En el análisis dinámico seudo tridimensional la dirección del sismo se toma a través del factor de participación. O sea:

θΓ

Γ

Γ

,

,

,

""

""

i

yi

xi

yenactuandoSismo

xenactuandoSismo

→

→

9.7.1 Análisis Modal Seudo Tridimensional

Para este análisis los vectores desplazamientos y aceleraciones son:

iiaii

iidii

XSU

XSY

Γ

Γ

=

=&&

(9.91)

Sabemos por lo visto en las secciones iniciales del presente capítulo que para un análisis plano el factor de participación es:

iT

T

i XMXIMX

i

i=Γ

Para el análisis seudotridimensional se tiene:

i

Ty

T

y,ii

Tx

T

x,i XMXJMX

yXMXJMX

i

i

i

i == ΓΓ (9.92)

siendo definida la matriz de masas M como:

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] ⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

o

y

x

JM

MM

000000

y ⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

==

n

yx

m

mm

MM

000:.:::0..00..0

2

1

además Jo es la matriz de momentos polares de inercia de la masa.

Para cada modo

SECC. 9.8: EJEMPLO DE APLICACIÓN 29


Al trabajar por separado en cada dirección se tiene para:

fuerzas solo en “ x ” : xGx uJMYKYCYM ,−=++ &&& (9.93)

fuerzas solo en “ y ” : yGy uJMYKYCYM ,−=++ &&& (9.94)

donde:

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

=

0:01:10:0

0:00:01:1

,

:

:

:

1

1

1

yx

n

n

n

JyJv

vu

u

Y

θ

θ

9.8 EJEMPLO DE APLICACIÓN

El edificio cuya planta y elevaciones se muestran en la Fig. 9.11 ha sido modelado considerando tres grados de libertad por piso: dos desplazamientos horizontales u , v , y un giro en planta θ . Esto da origen a 12 grados de libertad dinámicos: 4 pisos x 3 GDL por piso.

Usando el programa "A3s" 1, versión 4 (1991) desarrollado por el Dr. Hugo Scaletti de la Universidad Nacional de Ingeniería se ha efectuado un análisis dinámico seudo-tridimensional, modelando el edificio a base de pórticos y muros o placas.

La solución del problema de valores propios o característicos da como resultado las frecuencias (períodos ya ordenados de mayor a menor), formas de modo y factores de participación. A continuación se presentan los valores numéricos para los 8 primeros modos, de un total de 12. Los modos son vectores con tres componentes por piso o nivel, cada una correspondiendo a los grados de libertad dinámicos. Su dimensión real es (12x1) en este caso ó (3nx1). La primera columna (u) corresponde a sus componentes en la dirección X , la segunda columna (v) a las componentes en la dirección Y y la tercera a las componentes de giro (θ ). Las filas corresponden a cada piso . Las formas de modo están normalizadas, es decir 1 = XMX i

Ti .

1 Este programa usa como separador decimal el punto y no la coma.

“ n “ componentes



“ 3 n “


Fig. 9.11 Edificio de 4 pisos. Ejemplo de aplicación.

(a) Planta



Fig. 9.11 Edificio de 4 pisos. Ejemplo de aplicación

(b) Elevaciones



MODO 1 MODO 2

T = .6925 seg f = 1.4441 Hertz, T = .1901 seg f=5.2606 Hertz ω = 9.074 rad/seg ω = 33.053 rad/seg Nivel u v θ u v θ 4 .203504 -.000071 -.000023 .238364 .000998 .000319 3 .163405 -.000070 -.000028 .021132 .000981 .000294 2 .107715 -.000059 -.000023 -.146275 .000940 .000297 1 .045146 -.000040 -.000015 -.125810 .000697 .000230

Factores de Participación: 6.959185 -.003430 -.043786 -2.639089 .052041 .546903 MODO 3 MODO 4 T = .0954 seg f = 10.4788 Hertz T = .0945 seg f=10.5837 Hertz ω = 65.840 rad/seg ω = 66.500 rad/seg Nivel u v θ u v θ 4 -.101434 .140142 .007967 .187837 .079009 .004222 3 .054347 .130545 .007733 -.107718 .073480 .004060 2 .013816 .102608 .006220 -.009803 .056968 .002995 1 -.086816 .058343 .003793 .148186 .031241 .001410

Factores de Participación: -.679863 6.050405 12.184690 1.232911 3.368265 5.948236

MODO 5 MODO 6 T = .0670 seg f = 14.9365 Hertz T = .0581 seg f=17.1984 Hertz ω = 93.849 rad/seg ω = 108.061 rad/seg Nivel u v θ u v θ 4 -.109810 .017752 -.004659 -.019704 -.058716 .027787 3 .110824 .015356 -.004346 .018992 -.048260 .025470 2 -.142864 .011724 -.003359 -.025454 -.036213 .019961 1 .138948 .004663 -.002505 .029646 -.018933 .011124

Factores de Participación: .764115 .680903 -6.989503 .193751 -2.210295 39.458440



MODO 7 MODO 8 T = .0319 seg f = 31.3972 Hertz T = .0216 seg f= 46.3189 Hertz ω = 197.274 rad/seg ω = 291.030 rad/seg Nivel u v θ u v θ 4 -.000582 .187761 .007484 .000295 .236363 -.016025 3 .000247 .074525 .005383 .000050 -.062996 -.006327 2 .000776- .118627 -.005540 -.111400 -.080886 .007818 1 -.002348- .149932 -.007965 .002601 .101583 .018901

Factores de Participación: -.019667 -1.828819 -2.461876 .020819 .368742 6.904037 Las masas y el momento polar de inercia de las mismas son las siguientes: /m)s-(t 2

Nivel ox oy Masa (x ó y) oJ

4 8.50 4.10 6.40E+00 2.16E+02 3 8.50 4.87 1.84E+01 6.14E+02 2 8.50 4.87 1.84E+01 6.14E+02 1 8.50 6.50 1.48E+01 5.00E+02

donde ox e oy corresponden a las coordenadas del centro de masas. (m)

Con estos valores se ha formado la matriz (M) de masas, que es una matriz diagonal de 12x12. Los cuatro primeros términos corresponden a la masa de cada piso en la dirección X , o sea M x , los siguientes 4 son las mismas masas que corresponden a la dirección Y , o sea M y y los últimos 4 son los momentos polares de inercia de la masa, J 0 .

[ ] [ ][ ] [ ][ ] [ ] ⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

o

y

x

JM

MM

000000

Los factores de participación iΓ se han calculado aplicando la expresión (9.16)

MJX = TiiΓ (9.16)

donde J es un vector con unos y ceros dependiendo de donde proviene el sismo que se está considerando. Recuérdese que al momento de desacoplar las ecuaciones de


Í

movimiento mediante la descomposición modal, éstas (las ecuaciones de movimiento) se plantean por separado para cada dirección de la aceleración de la base. Por consiguiente si el sismo es en la dirección X habrá que colocar 1s en los primeros n componentes de J y el resto cero. Si el sismo es en la dirección Y , serán 1s desde

1+n hasta 2n y el resto cero. Veamos:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧=

100

010

001

θJyJ,J yx

Por ejemplo Γ 1x , el factor de participación estática para el primer modo cuando el sismo actúa en la dirección X es:

JMX = xT11xΓ (9.95)

0)] 0 0 (0 0) 0 0 (0 1) 1 1 [(1 =JTx (9.96)

Al efectuar el producto matricial debido a que sólo los cuatro primeros términos de J son 1s, el resto no contribuye, por lo que (9.25) equivale a multiplicar solamente los cuatro primeros términos de la matriz de masa por las componentes de la forma modal correspondientes a la dirección X .

∑=

4

11

iiix mu = Γ

959196045146814107715418163405418203504461 . = x..+x..+x..+x.. = Γ x

9.8.1 Cálculo de Respuestas Modales

Para proseguir con el análisis sísmico usando el análisis dinámico modal espectral, es necesario considerar el sismo mediante un espectro de diseño. En este caso se ha usado el espectro de las Normas Peruanas (8) RNC, con un factor de reducción por ductilidad Rd = 3. Este espectro considera un porcentaje de amortiguamiento ( β ) del 5%.

9.8.2 Desplazamientos Los desplazamientos correspondientes a cada modo se obtienen aplicando la Ec. (9.77)

X S = Y iidii Γ (9.77)

y luego combinando estas contribuciones usando la combinación estipulada en el RNC.

SECC. 9.8.2: DESPLAZAMIENTOS 35


Por ejemplo, para determinar el desplazamiento en el piso superior cuando el sismo actúa en la dirección X se aplicará la expresión (9.77) para cada modo.

Los valores espectrales del desplazamiento S d se leen del espectro de desplazamientos, o como en este caso en que se tiene como dato el espectro de aceleraciones S a , se calcula Sd usando la relación que existe entre ellos mediante

ω 2ad /S = S (véase Cap. 5).

Las valores para cada modo son: Modo ω Sa Sd Γ i xi yi

rad/s sm/ 2 m m 1 9.074 8.060E-01 9.790E-03 6.959185 .203504 .013865 2 33.053 1.330E+00 1.217E-03 -2.639089 .238364 -.000766 3 65.840 1.330E+00 3.068E-04 -.679863 -.101434 .000021 4 66.500 1.330E+00 3.008E-04 1.232911 .187837 .000070 5 93.849 1.330E+00 1.510E-04 .764115 -.109810 .000041 6 108.061 1.330E+00 1.139E-04 .193751 -.019704 .000000 7 197.274 1.330E+00 3.418E-05 -.019667 -.000582 .000000 8 291.030 1.330E+00 1.570E-05 .020819 .000295 .000000

∑ABS = .014763 RCSC = .013886 Aplicando la combinación del RNC, o sea el promedio ponderado de ambos valores se tiene:

m.RCSC) = ABS + 0141075.025.0 ∑ (9.97)

De manera análoga se obtiene, para los restantes pisos (niveles), los correspondientes desplazamientos para el sismo en la dirección X (en metros): Nivel x y r 4 1.411E-02 5.598E-05 5.033E-06 3 1.120E-02 5.216E-05 5.077E-06 2 7.593E-03 4.118E-05 4.166E-06 1 3.336E-03 2.351E-05 2.648E-06 Como puede observarse, los desplazamientos en la dirección Y debidos al sismo en la dirección X son muy pequeños, igualmente los giros en planta. Indicando que hay poca influencia de la torsión. Los desplazamientos reales, de acuerdo a la Norma, serán los calculados en el análisis anterior multiplicados por dR75.0 , o sea por 252. .

36 CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL En este caso el máximo desplazamiento del piso superior será de

cm. cm = . x . 223431252 .

9.8.3 Fuerzas Se pueden determinar las fuerzas globales, como cortes y fuerzas aplicadas en cada piso, para todo el edificio o para cada pórtico, o también los efectos locales, o sea momentos, cortes, fuerzas axiales en cada viga y columna. En cada caso, como se ha visto previamente en la teoría, es necesario efectuar la combinación de las contribuciones modales para cada efecto por separado. Es teóricamente incorrecto obtener efectos modales de cortantes, calculándolos a partir de las fuerzas aplicadas ya combinadas. Los resultados son muy distintos, como puede apreciarse de los valores que se presentan a continuación.

Efectos Globales - Sismo actuando según la Dirección X

Fuerzas Concentradas (en toneladas) Nivel x y r 4 1.264E+01 1.561E+00 4.443E+00 3 2.096E+01 4.085E+00 1.187E+01 2 1.936E+01 3.211E+00 9.324E+00 1 1.297E+01 1.458E+00 4.627E+00 65.93 t

Cortantes en Cada Nivel (en toneladas) Nivel x y r 4 1.264E+01 1.561E+00 4.443E+00 3 2.953E+01 5.613E+00 1.631E+01 2 3.849E+01 8.757E+00 2.541E+01 1 4.597E+01 1.017E+01 2.990E+01

Nótese primeramente que la distribución de las fuerzas en altura no es triangular. Asimismo se puede observar que el cortante en la base calculado superponiendo directamente los cortantes que se obtienen en cada modo (como debe ser), son menores que si se calcularan sumando las fuerzas resultantes en cada piso, como se haría en el análisis estático. La fuerza cortante en la base es de 45.97 toneladas, mientras que si se suman las fuerzas de cada piso se obtiene 65.93 t. Recuerde que la combinación es la última operación que se realiza para obtener cualquier efecto. Las fuerzas pueden obtenerse de dos maneras:

a) Determinando las aceleraciones modales para cada modo y multiplicando por las masas o,

b) Determinando los desplazamientos de cada modo y multiplicando por la matriz de rigidez lateral. En cada caso se usará la que corresponda, la de todo el edificio si se desean valores globales, o la de cada pórtico -con los desplazamientos de cada pórtico- si se desean los efectos por pórtico. Para

∑=

SECC. 9.8.3: FUERZAS 37


determinar los cortantes habrá que calcularlos para cada modo, con cualquiera de los procedimientos mencionados. Recuérdese que la solución del pórtico o del edificio para cada modo es un problema estático, de manera que aplicando al pórtico los desplazamientos de un modo se pueden determinar todos los efectos, tanto globales como locales y luego combinar la contribución de cada modo para cada efecto por separado.

A continuación se ilustra el primer procedimiento; es decir, determinando las fuerzas en función de las aceleraciones para cada modo. Las aceleraciones modales se obtienen aplicando la siguiente expresión: X S = Y iiaii Γ&& (9.98)

y luego combinando estas contribuciones usando el procedimiento estipulado en el RNC (8). Por ejemplo, para determinar la fuerza global que se presenta en el piso superior de todo el edificio cuando el sismo actúa en la dirección X se aplicará la expresión (9.28) para determinar la contribución de la aceleración en cada modo y luego la fuerza correspondiente.

Los valores espectrales de la aceleración Sa se leen directamente del espectro de aceleraciones Sa .

Los valores para cada modo son:

Modo ω Sa Γ i xi iu&& Fi

rad/s sm/ 2 m/s2 t 1 9.074 .806 6.959185 .203504 1.141475 7.305439 2 33.053 1.330 -2.639089 .238364 -.836655 -5.354591 3 65.840 1.330 -.679863 -.101434 .091718 .586998 4 66.500 1.330 1.232911 .187837 .308010 1.971263 5 93.849 1.330 .764115 -.109810 -.111597 -.714220 6 108.061 1.330 .193751 -.019704 -.005078 -.032496 7 197.274 1.330 -.019667 -.000582 .000015 .000097 8 291.030 1.330 .020819 .000295 .000008 .000052

∑ABS =15.9650 RCSC =9.3167

Aplicando la combinación de la Norma Peruana (8), o sea el promedio ponderado de ambos valores se tiene

toneladas.RCSC) = ABS + 981075.025.0 ∑ (9.99)

38 CAP. 9:ANÁLISIS SÍSMICO POR SUPERPOSICIÓN MODAL ESPECTRAL Obsérvese que esta fuerza está constituida por contribuciones importantes del primero, segundo y cuarto modos. La fuerza debida al 2° modo es el 70% del 1° Y la del 4° modo es el 27% de la del 1o. Por lo tanto se aprecia que para la determinación de fuerzas que actúan sobre la estructura el análisis dinámico es una herramienta más adecuada considerando acciones que un análisis estático no puede representar.

En el caso de la determinación de desplazamientos sin embargo la contribución de los modos superiores es prácticamente despreciable. En la primera parte de este ejemplo para determinar el desplazamiento del piso superior, se puede observar que el desplazamiento del 2o. modo solo representa el 5% del 1o. Por lo tanto bastaría considerar los desplazamientos debidos únicamente al primero y ahorrarse la combinación modal.

REFERENCIAS 39


REFERENCIAS 1. Biggs, J.M., Dynamic Analysis of One-Degree Systems, en Notas del

curso Fundamentals of Earthquake Engineering for Buildings . Massachusetts Institute of Technology. Cambridge, Massachusetts. 1972

2. Röesset, J.M. Structural Dynamics. Notas de clase. Massachusetts Institute of Technology. Cambridge, Mass. 1974.

3. Biggs, J.M., Introduction to Structural Dynamics. McGraw-Hill. New York. 1964

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8. O.I.N., Ministerio de Vivienda y Construcción. Normas Peruanas de Diseño Sismo Resistente. Lima, 1977

9. Wilson, E.L., Der Kiureghian, A., Bayo, E.P. A Replacemente for the SRSS Method in Seismic Analysis Journal of Earthquake Engineering and Structural Dynamics, Vol. 9, 187'194. 1981

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11. Piqué, J., Scaletti, H., Análisis Sísmico de Edificios, Ediciones Capítulo de Ingeniería Civil. Lima, Perú. 1991

12. Bazán, E., Meli, R. Diseño Sísmico de Edificios, Editorial Limusa. Balderas, México. 2002

13. Scaletti, H., "Análisis Sísmico Seudo Tridimensional" en Notas del curso de Análisis Estructural II . Universidad Nacional de Ingeniería. Lima, Perú. 2003

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