III CONGRESO COLOMBIANO DE INGENIERÍA SÍSMICA

Evaluación del pandeo de tanques anclados de acero sometidos a terremotos utilizando espectros de demanda y capacidad

Juan C. Virella1, e-mail: jvirella@uprm.edu Luis E. Suárez2, e-mail: lsuarez@uprm.edu Luis A. Godoy3, e-mail: lgodoy@uprm.edu

RESUMEN

Este artículo presenta una metodología para la evaluación de pandeo de tanques cilíndricos de acero debido a terremotos, basado en el método del espectro de capacidad. Los tanques de acero son mayormente utilizados para el almacenamiento de líquidos como agua, petróleo y sus derivados. Se han reportado numerosas fallas por pandeo y otros daños severos en tanques de acero durante terremotos. Estos daños pueden tener varias consecuencias tales como pérdida de la estructura, contaminación del suelo en caso de pérdida del contenido, y la pérdida de la capacidad de la planta por un largo periodo. Algunos tanques de acero almacenan agua para combatir incendios, por lo que la interrupción del suministro de agua podría tener consecuencias impredecibles. Los códigos de diseño de tanques tales como el API 650 y AWWA-D100 basan la evaluación de pandeo para cargas sísmicas en establecer límites para esfuerzos que provienen de pruebas realizadas a tanques cilíndricos de pared delgada sujetos a compresión uniforme. Este estudio presenta una metodología para evaluar el pandeo sísmico de tanques que toma en consideración la respuesta hidrodinámica del sistema tanque-líquido, un modelo tridimensional de la estructura, así como un procedimiento para evaluar su desempeño usando espectros de demanda y capacidad. Se comparan los resultados de la metodología propuesta con los obtenidos utilizando las recomendaciones del código API 650.

ABSTRACT

This paper presents a methodology for the buckling evaluation of cylindrical steel tanks subjected to earthquakes, based on the Capacity Spectrum Method (CSM). The steel tanks are mostly used to storage liquids such as water, oil and its derivatives. Numerous evidence of buckling failure or severe damage to steel tanks has been reported after earthquakes. This damage could have serious consequences such as loss of the structure, soil contamination in case of loss of liquid contents, and the loss of the plant capacity for a long time. Some steel tanks storage water that is used for fire fighting, and thus the interruption of the water supply could bring unpredictable consequences. Design codes such as API 650 and AWWA base their evaluation of seismic buckling in stress limits derived from load testing of thin walled cylindrical tanks subjected to uniform compression. This study presents a

1 Investigador post-doctoral, Departamento de Ingeniería Civil, Universidad. de Puerto Rico, Mayagüez, P.R. 00681 2 Profesor, Departamento de Ingeniería Civil, Universidad. de Puerto Rico, Mayagüez, P.R. 00681 3 Profesor, Departamento de Ingeniería Civil, Universidad. de Puerto Rico, Mayagüez, P.R. 00681

methodology to evaluate the seismic buckling of tanks that takes into consideration the hydrodynamic response of the tank-liquid system, a three dimensional model of the structure, and a procedure to evaluate its performance using demand and capacity spectra. Numerical results of the proposed methodology are compared with those obtained from the API 650 recommendations.

INTRODUCCIÓN

Existe amplia evidencia de casos de fallas en tanques de acero de almacenamiento de líquido, ocasionado por pandeo u otras formas de daño severo. Prácticamente cada terremoto fuerte provee evidencia adicional sobre la vulnerabilidad de estas estructuras. (Cooper y Walchholz 1999, Jain et al. 2001, Suzuki 2002). Investigaciones previas sobre el comportamiento sísmico de tanques anclados utilizados para almacenar líquido nos ha permitido conocer el efecto hidrodinámico que la interacción fluido-estructura ejerce sobre la respuesta sísmica. Housner [4], Haroun y Housner (1963), Veletsos y Yang (1977) así como Veletsos (1984) reportaron que tanques cilíndricos con líquidos desarrollan un modo del tipo viga en voladizo cuando se someten a un movimiento horizontal. Housner (1963) evaluó la respuesta hidrodinámica del sistema tanque-líquido como la contribución de dos diferentes componentes: el modo impulsivo y el modo convectivo (sloshing). El líquido en la parte superior del tanque vibra con un periodo largo en modo convectivo, mientras que el resto se mueve de forma rígida con el tanque, en un modo impulsivo. Entre las diversas formas de daño sísmico en tanques nos concentraremos en este estudio en aquellas ocasionadas por pandeo en la cáscara del cilindro. Ito et al. (2003) describieron los patrones de pandeo de tanques de almacenamiento de líquidos de pared delgada como: pandeo de flexión, pandeo ocasionado por cortante y compresión, así como pandeo ocasionado por “non-linear ovaling vibration”. El pandeo de flexión ocurre en la parte inferior del tanque e incluye pandeo de “pata de elefante” así como el pandeo en forma de diamante (“diamond shape buckling”). El pandeo por compresión y cortante ocurre cerca de la altura media del cilindro. El pandeo ocasionado por “non-linear ovaling vibration” se observa comúnmente en la parte superior de cilindro. Rammerstorfer et al. (1990) denominan a este fenómeno como pandeo debido a presión externa. Códigos tales como el API 650 (1988) para el diseño de tanques de almacenamiento de petróleo prescribe la evaluación de pandeo de tanques de acero utilizando formulaciones basadas en esfuerzos permisibles. Estos métodos se desarrollaron basados en pruebas experimentales de tanques cilíndricos de pared delgada sujetos a compresión uniforme. Es evidente que ésta es una configuración de carga diferente a la que induce un terremoto en este tipo de estructuras y que eventualmente produce pandeo. Por consiguiente, sería de gran importancia tener una metodología que evalúe el comportamiento del tanque para una demanda sísmica específica, y que a su vez tome en consideración la respuesta hidrodinámica del sistema tanque-líquido usando modelos tridimensionales.

Los análisis de pandeo de estructuras pueden realizarse empleando técnicas de pandeo dinámico o estático. Utilizando métodos experimentales o computacionales, Liu y Lam (1983) Natsiavas y Babcock (1987), Nagashima et al. (1987), Redekop et al. (2002) así como Morita et al. (2003) reportaron la ocurrencia de pandeo en la parte superior de tanques inducido por la componente horizontal de la aceleración del suelo. Ito et al. (2003) así como Natsiavas y Babcock (1987) probaron que este modo de pandeo es mayormente inducido por la acción impulsiva de la respuesta hidrodinámica del líquido. La acción convectiva, aunque contribuye a la formación de este tipo de pandeo, no es la causa principal. Debido a que la respuesta sísmica es de naturaleza dinámica, los estudios dinámicos de pandeo pueden predecir de forma más precisa el comportamiento de pandeo de una estructura sujeta a un terremoto. Sin embargo, dado que los análisis dinámicos de pandeo son tan costosos frecuentemente se debe depender de análisis estáticos. Este estudio presenta una metodología para calcular la respuesta de pandeo elástico para tanques de acero sujetos a terremotos, usando un modelo tridimensional del tanque y un procedimiento basado en espectros de demanda y capacidad. La respuesta de pandeo sísmico se debe al componente horizontal del movimiento sísmico. Solamente se considera el componente impulsivo de la respuesta hidrodinámica del sistema tanque-líquido, es decir que los efectos del modo convectivo se ignoran. Se modifica el método del espectro de capacidad (CSM por sus siglas en inglés) para estructuras de edificios (ATC-40, 1996), tal que pueda aplicarse para evaluar el primer modo de pandeo elástico de la estructura (o pandeo debido a presión externa). Para una demanda sísmica dada, el CSM modificado provee la aceleración espectral asociada con el primer modo de pandeo del tanque. Conociendo ese parámetro, es posible obtener el componente horizontal de la aceleración pico del suelo (PGA) para el estado crítico y por tanto los resultados pueden ser directamente comparados con estudios de pandeo dinámico. Antes de introducir las modificaciones al método del espectro de capacidad, se presenta una breve descripción del procedimiento original.

MÉTODO CSM PARA LA EVALUACIÓN SÍSMICA Curva de capacidad y espectro de capacidad A pesar de que el procedimiento para desarrollar la curva de capacidad se explica en detalle en las guías del ATC-40, aquí se discuten unos conceptos importantes, relevantes a la metodología desarrollada para tanques. La curva de capacidad, también conocida como curva de empuje lateral (“pushover”) se obtiene aplicando cargas laterales a la estructura con magnitudes crecientes y con una distribución espacial predefinida. El resultado es una curva que muestra el cortante basal versus el desplazamiento del techo (u otro punto característico) sup∆ , el cual se considera que representa el comportamiento no–lineal global de la estructura. El ATC-40 emplea diferentes niveles de sofisticación para calcular las cargas laterales utilizadas para obtener la curva de capacidad. El nivel 1 se utiliza para un edificio de un solo piso, donde se aplica una sola carga lateral en el techo. El nivel 2 corresponde al procedimiento típico adoptado en los códigos, en el cual la magnitud de las cargas laterales en cada piso varía con el producto del peso y la altura

de cada nivel. En el nivel 3 las fuerzas laterales ( xF ) varían acorde al producto de las masas de cada piso ( xm ) por la forma del primer modo ( xφ ) del modelo elástico de la estructura:

Vm

mF

xx

xxx ∑

=φ

φ (1)

donde V es el cortante basal. El nivel 4 es similar al nivel 3 pero las fuerzas se ajustan con la forma deformada de la estructura en cada incremento después de que ocurre cedencia. El nivel 5 es similar a los niveles 3 y 4, pero considera los efectos de los modos superiores. La curva de capacidad (V versus sup∆ ) debe convertirse en un espectro de capacidad en formato de aceleración espectral-desplazamiento espectral ( aS versus dS ). Esto se realiza con las siguientes formulas:

1αWVSa = (2)

1,1 roof

roofd PF

Sφ

∆= (3)

donde 1PF es el factor de participación modal, 1α es el coeficiente de masa modal para el primer modo, W es el peso total del edificio y

1,supφ es la amplitud del primer modo en

el nivel superior. Para un edificio de N pisos con pesos iw concentrados en los niveles de pisos, estos parámetros son:

( )( )∑

∑=

== N

i ii

N

i ii

gw

gwPF

121

1 11

φ

φ ;

( )[ ][ ] ( )[ ]∑∑

∑==

== N

i iiN

i i

N

i ii

gwgw

gw

1211

2

1 11

φ

φα (4)

donde 1iφ es la amplitud del primer modo al nivel i y g es la aceleración de gravedad. Espectro de respuesta y demanda La carga sísmica en el CSM se representa por medio de un espectro de respuesta o diseño reducido y para una razón de amortiguamiento inicial de 5%. El espectro de respuesta seleccionado depende de los objetivos de desempeño (“performance objectives”) de la estructura evaluada. El espectro de respuesta tradicional se transforma al formato de aceleración espectral aS versus desplazamiento espectral dS (conocido como espectro ADRS por sus siglas en inglés). La conversión se realiza con la siguiente relación entre aS y dS :

224

1 TSS ad π= (5)

Procedimiento para encontrar el punto de desempeño (“performance point”) El documento ATC-40 describe tres métodos para calcular el punto de desempeño, es decir la intersección entre el espectro de demanda y capacidad. El método denominado como procedimiento A envuelve los siguientes pasos: 1) Usar una representación bilineal para el espectro de capacidad. 2) Seleccionar un punto de desempeño de prueba con coordenadas pia , pid . 3) Calcular factores de reducción para el espectro de demanda para amortiguamiento

mayor al 5%. ( )

12.2ln68.0

21.3 effRAS

β−= ;

( )65.1

ln41.031.2 effRVS

β−= (6)

( )5

7.635 +

−=+=

pipi

piypiyoeff da

addakkββ (7)

donde k varia de 1.0 a 1/3 dependiendo de cuán estable son los ciclos de histéresis. 4) Reducir el espectro de demanda y seleccionar un nuevo punto de prueba 1+pia , 1+pid . 5) Calcular el error aproximado entre 1+pia y pia , y entre 1+pid y pid . Si el error es

menor que una tolerancia pre-establecida, entonces tomar pa = 1+pia , pd = 1+pid . Si el error no es menor que la tolerancia tomar pia = 1+pia , pid = 1+pid , e ir al paso 3.

APLICACIÓN DEL PROCEDIMIENTO DEL CSM PARA TANQUES

El método del espectro de capacidad puede aplicarse para la evaluación sísmica de tanques de acero, si se introducen ciertas modificaciones para tomar en cuenta la diferencia entre la respuesta sísmica de tanques y edificios. Una de las principales diferencias consiste en que el modo fundamental debido a un movimiento horizontal del sistema tanque-líquido no corresponde al primer modo (es decir al del mayor periodo), como usualmente ocurre en edificios. Por consiguiente, para aplicar el CSM a tanques de almacenamiento de líquido, el procedimiento necesita modificarse para usar el modo fundamental en lugar del primer modo. Desarrollo de la curva de capacidad Para desarrollar la curva de capacidad para la evaluación sísmica de tanques de acero, utilizamos una metodología similar al nivel de carga 3 pero con ciertas modificaciones. Estas curvas de capacidad fueron obtenidas considerando solamente el modo impulsivo de sistemas tanque-líquidos ignorando el modo convectivo. La distribución de fuerzas para el nivel 3 aplicadas a la estructura del tanque son producidas por el componente impulsivo de la distribución de presiones hidrodinámicas, que se deben al modo fundamental del sistema tanque-líquido bajo un movimiento horizontal e incluyen la flexibilidad del tanque. La curva de capacidad se obtiene de un análisis de pandeo estático paso a paso no-lineal en el cual se considera no-linealidad geométrica y del material. La no-linealidad del

material se contempla por medio de un modelo elasto-plástico, utilizando el criterio de cedencia von Mises (σy = 248 MPa). Este tipo de análisis se utiliza porque los tanques fallan usualmente por pandeo en lugar de cedencia, como es el caso de edificios. La distribución de presiones utilizada en el análisis se normalizó para una aceleración de la base de 1g. El valor estimado de la carga de pandeo corresponde a la suma de las cargas iniciales aplicada al sistema estructural, y de las cargas aplicadas en el análisis de pandeo estático multiplicadas por un factor de carga λ , es decir, Cargas aplicadas = Cargas iniciales + λ * cargas aplicadas en 2do análisis (8) Las cargas iniciales corresponden a la presión hidrostática y al peso propio del tanque, las que se consideraron en un análisis estático inicial. Luego se realizó un análisis estático no-lineal paso a paso, en el cual se aplicaron las presiones hidrodinámicas. El factor de carga λ que se obtuvo del análisis de pandeo corresponde a la fracción de la presión impulsiva requerida para hacer pandear el tanque. Para el análisis no-lineal se utilizó el método modificado de Riks (1979) para el cual la respuesta no-lineal de la estructura se obtiene aplicando incrementos de carga y evaluando equilibrio. En el algoritmo modificado de Riks el factor de carga λ es una variable desconocida adicional. Con los valores de λ y los desplazamientos en un punto de la cáscara donde ocurre pandeo, se prepara un gráfico del multiplicador de la carga λ versus el desplazamiento radial ∆ . El multiplicador de carga critλ se toma igual al último multiplicador λ encontrado antes de que ocurra un incremento negativo de carga λ∆ . La curva λ vs. ∆ es equivalente a la curva de empuje lateral para edificios del CSM. Dado que las presiones aplicadas, o sea las cargas que multiplican a λ en la ecuación (8) fueron normalizadas para una aceleración de base de 1g, el factor de carga critλ puede ser asociado a la aceleración crítica espectral para el tanque. Procedimiento para encontrar el punto de desempeño El espectro de respuesta del suelo Para definir la demanda sísmica, tal y como recomienda Fischer y Rammerstorfer (1982), se usa un espectro de respuesta para una razón de amortiguamiento de 2% en lugar del espectro usual para 5% empleado para edificios. La demanda sísmica se puede representar mediante un espectro de diseño típico de códigos, o mediante un espectro de respuesta del suelo (“ground response spectrum”) correspondiente a acelerogramas de terremotos históricos. Este último permite una comparación más directa entre los resultados obtenidos con el CSM y aquellos obtenidos de análisis dinámicos no-lineales. Como se mensionó antes, el espectro de respuesta debe transformarse a la forma aceleración espectral ( aS ) versus desplazamiento espectral ( dS ) con la ecuación (3).

El espectro de capacidad Para transformar la curva de capacidad a coordenadas modales se usarán el factor de participación fPF y el coeficiente de masa modal fα para el modo fundamental (en lugar del primer modo). Estos dos parámetros modales se obtienen de un análisis de autovalores del sistema tanque-líquido. Debido a que en el análisis la presión impulsiva se normaliza para una aceleración de 1g, el factor de carga λ en la curva de capacidad es un multiplicador de la aceleración. Es por esto que el factor de carga es análogo al factor

WV en la ecuación (2), y la aceleración espectral ( aS ) se puede expresar como

faS

αλ

= (9)

También el desplazamiento espectral se obtiene a partir del desplazamiento de un nodo crítico en la zona de pandeo como

fcritf

critd PF

S,φ

∆= (10)

donde crit∆ es el desplazamiento radial en el nodo crítico donde ocurre el pandeo y fcrit ,φ es la coordenada modal del modo fundamental donde se localiza el nodo crítico. Punto de desempeño Para la evaluación sísmica de tanques anclados interesa principalmente determinar el primer modo de pandeo elástico. Por consiguiente, y contrario al CSM para edificios, no es necesario reducir las curvas de demanda elástica (espectros de respuesta). Es importante aclarar que los tanques de acero en la industria nuclear se diseñan usando un espectro de respuesta elástico (Sugiyama et al. 2003). Entonces, el objetivo en nuestro caso no es encontrar la deformación no-lineal de sistemas tanque-líquido, sino obtener la aceleración horizontal pico del suelo (PGA) que induce pandeo elástico durante un evento sísmico. La evaluación de la respuesta de tanques de acero utiliza primero como demanda sísmica la definida por espectros de diseño. Para mostrar la implementación de la metodología en este estudio se utilizó el espectro de diseño elástico del código Uniform Building Code, edición de 1997 (UBC 1997). Dicho espectro se reduce o aumenta variando los coeficientes sísmicos Ca y Cv que se usan en su definición. Dependiendo de la zona en que se intersecan los espectros de diseño y de capacidad, se puede encontrar el coeficiente crítico Ca o Cv. Si del procedimiento se obtiene el coeficiente sísmico Ca, éste se relaciona directamente con la aceleración horizontal pico del suelo (PGA) que el sistema tanque-líquido puede resistir. En el caso de que se encuentre el coeficiente crítico Cv, habría varios valores de PGA asociados a este parámetro, dependiendo de la zona sísmica y del perfil de suelo. Cuando se utiliza un espectro de respuesta de un terremoto histórico o artificial, el PGA que causa pandeo elástico en el tanque puede obtenerse indirectamente como sigue. Se obtiene primero el punto de desempeño como la ocurrencia del primer pandeo en el sistema. Se calcula el espectro de respuesta elástico escalando el acelerograma original

con un factor de escala inicial. Escalando hacia arriba o hacia abajo este espectro de respuesta en formato ADRS hasta que interseque el espectro de demanda en forma precisa en el punto de desempeño, puede obtenerse el factor de escala asociado con el PGA crítico. Multiplicando el PGA del acelerograma original por este factor de escala, puede obtenerse el PGA mínimo que induce el primer pandeo en el sistema tanque-líquido.

GUÍAS DEL CÓDIGO API 650 PARA EL DISEÑO SÍSMICO DE TANQUES El diseño sísmico de tanques para almacenamiento de líquidos se basa en un estudio de Wozniak y Mitchell (1978). El esfuerzo axial máximo que se transmite a tanques anclados y sin anclaje se determina considerando solamente un componente horizontal del terremoto, despreciando el componente vertical de la excitación sísmica y la interacción suelo-estructura. Se ignora también la flexibilidad del tanque al calcular las presiones hidrodinámicas. El modo de pandeo elástico que ocurre en la parte superior del tanque, también conocido como pandeo debido a presión externa, no es considerado por el código, dado que para este modo son los esfuerzos circunferenciales de compresión en lugar de los esfuerzos axiales de compresión los que originan el pandeo. A continuación se presenta la metodología del API 650 para la evaluación del pandeo elástico de tanques anclados debido a terremotos. Se consideran dos modos de respuesta sísmica: el modo impulsivo (responde a frecuencias altas); y el modo fundamental convectivo (responde a frecuencias bajas). El diseño sísmico consiste en determinar: 1. La masa hidrodinámica para cada modo. 2. La fuerza lateral y el momento de vuelco que proviene de la respuesta de las masas

(impulsivas y convectivas) al movimiento horizontal. 3. Provisiones para asegurar la estabilidad del tanque al vuelco y prevenir la ocurrencia

del pandeo del tanque como resultado de la compresión longitudinal (o axial). Momento de vuelco El momento de vuelco M (lbs-pie) que ocurre en la parte inferior del cilindro se calcula usando

( )22211111 XWCXWCHWCXWCIZM trss +++= (11)

donde Z es el factor de zona; I es el factor de importancia ≤ 1.5; 21 CyC son coeficientes laterales sísmicos; sW es el peso total de la cáscara del tanque; sX es la altura de la parte inferior del tanque al centro de gravedad de la cáscara del tanque (en pies); rW es el peso total del total del techo (fijo o flotante) más una porción de las cargas de nieve si aplica (lbs); tH es la altura total de la cáscara del tanque (en pies); 1W es el peso del líquido correspondiente al modo impulsivo (lbs); 1X es la altura desde la parte inferior del tanque al centroide de la fuerza lateral sísmica aplicada a 1W (en pies); 2W es el peso del líquido correspondiente al modo fundamental convectivo (lbs); 2X es la altura desde la parte inferior de la cáscara del tanque al centroide de la fuerza lateral sísmica aplicada a 2W (en pies). El peso efectivo del líquido para los modos impulsivos

( 1W ) y convectivos ( 2W ), así como sus correspondientes brazos de momentos se pueden hallar en las Figuras E-2 y E-3 del código API 650.

El coeficiente sísmico lateral 1C se considera usualmente igual a 0.24, al menos que se determine según se especifica a continuación. El coeficiente lateral sísmico 2C se determina de la siguiente manera:

Para sT 5.4≤ T

SC 30.02 = (12)

Para sT 5.4> 2235.1T

SC = (13)

( )5.0DkT = (14) donde S es el factor de amplificación por el tipo de suelo (de la Tabla E-2 del código); T es el periodo natural del primer modo convectivo; k es un factor dado en la Figura E-4 del código. Alternativamente 1ZIC y 2ZIC se pueden determinar de un espectro de respuesta desarrollado para la localización específica del tanque. Sin embargo 1ZIC no debe ser menor que lo descrito anteriormente. Se debe utilizar una razón de amortiguamiento de 2% para 1ZIC y de 0.5% para 2ZIC . Para hallar el coeficiente 1ZIC de diseño se utiliza la aceleración espectral correspondiente al periodo fundamental del tanque, o directamente se toma la máxima aceleración espectral del espectro de respuesta. Evaluación de pandeo por compresión longitudinal de la cáscara La máxima fuerza longitudinal en compresión en la parte inferior de tanques anclados se determina como

2

273.1D

Mwb t += (15)

donde b es la máxima fuerza longitudinal en compresión en la parte inferior de la cáscara del tanque en libras por pie de circunferencia; tw es el peso de la cáscara y la porción del techo fijo soportado por la cáscara en libras por pie de circunferencia y D es el diámetro del tanque. El esfuerzo máximo longitudinal actuando en la cáscara t

b12 no debe exceder el

esfuerzo permisible en compresión aF (en 2/ inlb ), el cual toma en consideración las presiones internas del líquido. En base a este esfuerzo permisible se diseña el espesor t de la parte inferior de la cáscara del tanque tal que:

aFt

b≤

12 (16)

donde:

Para D

tFt

GHDa

66

2

2 1010 =⇒≥ (17)

Para GHDtF

tGHD

a 6005.2

10106

62

2

+=⇒< (18) donde H es la altura del nivel del líquido (en pies) y G es la gravedad específica del líquido. Sin embargo en ningún caso tya FF 5.0> donde t es el espesor de la parte inferior de la cáscara del cilindro del tanque, excluyendo cualquier espesor adicional por corrosión (en pulgadas); tyF es el esfuerzo mínimo de cedencia especificado de la parte inferior de la

cáscara del cilindro (en 2/ inlb ). Si el espesor de la parte inferior de la cáscara del cilindro calculado para resistir el vuelco producido por el sismo es mayor que el espesor requerido para soportar la presión hidrostática (sin considerar el espesor adicional por corrosión), el espesor en las partes superiores de la cáscara del cilindro se aumenta en la misma proporción a menos que se realice un análisis especial donde se obtenga el momento de vuelco y los esfuerzos correspondientes en esos lugares.

EJEMPLOS NUMÉRICOS Modelos de tanques Para mostrar la implementación del CSM modificado se aplica el procedimiento a tanques con diferentes geometrías. Los modelos de elementos finitos de estos tanques se identifican como Modelos A, B, C, y corresponden a tanques con razón de altura/diámetro (H/D) de 0.40, 0.63 y 0.95 (ver Figura 1). Dichos modelos se consideraron empotrados en la base y con un techo cónico soportado por vigas radiales. Los espesores variables en forma escalonada que se muestran en los tanques en las Figuras 1(a), (b) y (c) fueron diseñados para condiciones de servicio usando el código API 650, sin consideraciones sísmicas. La placa inferior del tanque (la que está en contacto con el suelo) no se consideró en el modelo de elementos finitos, dado que se estudian tanques anclados, y el interés de este trabajo es el pandeo de la cáscara del cilindro. El programa de elementos finitos ABAQUS (2002) se utilizo para realizar los análisis. Se utilizó elementos de cáscara triangulares para el techo, cuadriláteros para el cilindro y elementos de viga para las vigas del techo. Dichos elementos se describen en Virella et al. (2003). Las mallas de elementos finitos contienen 9,262 elementos para el Modelo A y 10,942 elementos para los Modelos B y C.

D = 30.48 m

2.416 m

2.416 m

2.416 m

2.416 m

2.425 m

2.416 m

2.416 m

2.416 m

tr

D = 30.48 m

t = 0.0127 m

t = 0.0159 m

t = 0.0191 m

t = 0.0191 m

t = 0.0127 m

t = 0.0095 m

t = 0.0095 m

t = 0.0079 m

H = 19.337 m

2.858 m

2.416 m

2.416 m

2.416 m

2.416 m

2.416 m

2.416 m

2.416 m

2.416 m

2.425 m

2.416 m

2.416 m

2.416 m

slope = 3V:16H

H = 29.103 m

t = 0.0254 m

t = 0.0254 m

t = 0.0222 m

t = 0.0191 m

t = 0.0079 m

t = 0.0095 m

t = 0.0095 m

t = 0.0286 m

t = 0.0191 m

t = 0.0127 m

t = 0.0159 m

t = 0.0127 m

2.858 m

tr

slope = 3V:16H

(a) (b)

t = 0.0079 m

t = 0.0079 m

t = 0.0095 m

t = 0.0127 m

t = 0.0079 m

D = 30.48 m

2.416 m

2.416 m

2.416 m

2.416 m

2.425 m

H = 12.191 m

2.858 mtr

slope = 3V:16H

(c)

Figura 1 Modelos de tanque con techo cónico soportados por vigas; t = espesor de la cáscara, espesor del techo tr = 0.635cm. (a) Tanque con H/D =0.95; (b) Tanque con H/D = 0.63; (c) Tanque con H/D = 0.40. Curvas de capacidad Los modos fundamentales del componente impulsivo de la respuesta hidrodinámica de los sistemas tanque-líquido sujetos a un movimiento horizontal de la base se obtuvieron en un estudio previo (Virella et al. 2005a). Las Figuras 2 y 3 muestran dicho modo fundamental para los Modelos A y C. En la Tabla 1 se presentan los parámetros modales que caracterizan el modo fundamental de cada uno de los sistemas tanque-líquido utilizados en este estudio.

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

-3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0

U-radial normalizado

Altu

ra [m

]

H HL

Defrormada del cilindro suavizada

Xg

with circumferenceU-radial variation

mode: n = 1

3

θ

2

Meridian in Figure Xg

(a) (b)

Figura 2 Modo fundamental para el Modelo A. (a) Vista 3D, (b) Forma deformada en el meridiano con los desplazamientos máximos.

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

35.0

-5.0 -3.0 -1.0 1.0 3.0 5.0

U-radial normalizado

Altu

ra [m

]

H HL

Deformada del cilindrosuavizada

Xg

with circumferenceU-radial variation

Meridian in Figure

23

Xg

θ

mode: n = 1

(a) (b) Figura 3 Modo fundamental para el Modelo C. (a) Vista 3D, (b) Forma deformada en el meridiano con los desplazamientos máximos.

Tabla 1 Parámetros modales para los modos fundamentales de los sistemas tanque-líquido.

Modelo H/D Tf [s] αf PFf φcrit,f PFf * φcrit,f

A 0.40 0.212 0.64 1888 0.00038034 0.718B 0.63 0.200 0.79 1.5545 0.67349 1.047C 0.95 0.196 0.77 1.582 0.8678 1.373

El modo de pandeo para cada uno de los modelos se halló por medio de análisis estáticos paso a paso. La Figura 5 muestra los modos de pandeo encontrados para los Modelos A y C. También se muestra en dicha figura el nodo utilizado para calcular las curvas de capacidad de estos tanques. Las curvas de capacidad así como el factor de carga ( λ ) para el cual ocurre pandeo para todos los tanques se muestran en la Figura 6. El factor de carga que induce pandeo en el tanque disminuyó con el aumento en la razón altura/diámetro (H/D) de los tanques.

0.0

2.0

4.0

6.0

8.0

10.0

12.0

14.0

-2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0

Presión normalizada

Altu

ra [m

]H

HL

Xg

with circumferenceU-radial variation

mode: n = 1

3

θ

2

Meridian in Figure Xg

0.0

5.0

10.0

15.0

20.0

25.0

30.0

35.0

-3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0

Presión normalizada

Altu

ra [m

]

HHL

Xg

with circumferenceU-radial variation

Meridian in Figure

23

Xg

θ

mode: n = 1

(a) (b) Figura 4 Distribuciones de presiones en el meridiano con desplazamientos mayores para el modo fundamental. (a) Modelo A, (b) Modelo C.

(a) (b) Figura 5 Primer modo de pandeo para sistemas tanque-líquido obtenido del análisis no-lineal estático paso a paso. (a) Modelo A, (b) Modelo C.

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

-0.002 0.003 0.008 0.013 0.018 0.023

Desplazamiento radial [m]

Fact

or d

e ca

rga,

Modelo Aλ = 0.556

Modelo Bλ = 0.476

Modelo Cλ = 0.370

0.00

0.10

0.20

0.30

0.40

0.50

0.60

0.000 0.005 0.010 0.015 0.020 0.025

Desplazamiento radial [m]

Fact

or d

e ca

rga,

Modelo Aλ = 0.556

Modelo Bλ = 0.476

Modelo Cλ = 0.370

(a) (b)

Figure 6 Curvas de capacidad para los sistemas tanque-líquido. (a) Desplazamientos radiales desde la configuración original, (b) Desplazamientos radiales desde la posición de equilibrio estático. Espectro de demanda La Figura 7 muestra el espectro de diseño elástico del código UBC (1997) para un lugar con un factor de zona (Z) de 0.30, un perfil de suelo SB (roca), un factor de importancia (I) de 1.0 y una razón de amortiguamiento de 2% que se usó para la evaluación de pandeo sísmico de los tanques. Los coeficientes sísmicos Ca y Cv son 0.39 y 0.37, respectivamente. También se usaron los espectro de respuesta para los componentes horizontales de los terremotos de Parkfield 1966 (PGA = 0.27g) y El Salvador 1986 (PGA = 0.69g). La Figura 8 muestra los acelerogramas de los terremotos. La Figura 9 presenta los espectros de respuesta para una razón de amortiguamiento de 2%, los que se obtuvieron suavizando los espectros originales.

Nodo crítico

Nodo crítico

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

T, sSa

, g

Figura 7 Espectro elástico del UBC 1997 para una razón de amortiguamiento de 2%.

-0.80

-0.60

-0.40

-0.20

0.00

0.20

0.40

0.60

0.0 2.0 4.0 6.0 8.0 10.0

time, s

Acc

eler

atio

n, g

-0.30

-0.20

-0.10

0.00

0.10

0.20

0.30

0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0 30.0

time [s]

Acc

eler

atio

n, g

(a) (b) Figura 8 Registros de terremotos usados en este estudio. (a) Terremoto de El Salvador 1986, PGA = 0.69g; (b) Terremoto de Parkfield 1966, PGA = 0.27g.

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6

T, s

Sa, g

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6

T, s

Sa, g

(a) (b) Figura 9 Espectros de respuesta para una razón de amortiguamiento de 2%. (a) Terremoto de El Salvador 1986, (b) Terremoto de Parkfield 1966. Metodología del CSM Primeramente se presentan los resultados obtenidos utilizando el espectro de diseño elástico del UBC (1997). El espectro de capacidad y demanda se graficaron en formato ADRS y el proceso iterativo descrito anteriormente se aplicó para hallar el punto de desempeño. Los puntos de desempeños para los Modelos A y C para esta demanda sísmica se presentan en la Figura 10. La aceleración espectral crítica (indicada en la figura, disminuye con la razón de altura-diámetro (H/D). Las coordenadas ( aS , dS ) del punto de desempeño, los desplazamientos radiales físicos ∆ , y el coeficiente sísmico Ca para los tres tanques se presentan en la Tabla 2. El coeficiente Ca disminuye con la razón H/D, mientras que los desplazamientos radiales en la zona de pandeo aumentan con H/D.

Los resultados presentados a continuación corresponden a los espectros de respuesta de los acelerogramas presentados en la Figura 9. Los puntos de desempeño de los Modelos A y C sujetos al componente horizontal de los terremotos de El Salvador 1986 y Parkfield 1966 se ilustran en las Figuras 11 y 12, respectivamente. El PGA que indujo el primer modo de pandeo se incluye en las figuras. El PGA asociado con el primer modo de pandeo disminuye con H/D. Las Tablas 3 y 4 resumen los resultados de la evaluación sísmica de los tanques utilizando los acelerogramas de los terremotos históricos.

0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.0

0.00 0.05 0.10 0.15 0.20

Sd, m

Sa, g

P.P. - first bucklingPSAcrit = 0.87g

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

Sd, mSa

, g

P.P. - first bucklingPSAcrit. = 0.48g

(a) (b) Figura 10 Punto de desempeño (P.D.) para el espectro elástico del UBC 1997 obtenido con el CSM modificado. (a) Modelo A, (b) Modelo C.

Tabla 2 Resumen de resultados para los tres modelos del tanque usando como demanda sísmica el espectro UBC (1997).

Crítico Crítico ∆-radial Ca PSA [g] PSD [m] [m]

A 0.40 0.87 0.0098 0.0070 0.35B 0.63 0.60 0.0166 0.0174 0.24C 0.95 0.48 0.0154 0.0211 0.19

Modelo H/D

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

0.000 0.025 0.050 0.075 0.100 0.125 0.150

Sd, m

Sa, g

Espectro de capacidad

Espectro reducidoPGA = 0.33g

P.D.- primer pandeo

0.00.10.20.30.40.50.60.7

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10

Sd, m

Sa g

P.P.- primer pandeo

Espectro decapacidad

Espectro reducidoPGA = 0.195g

(a) (b)

Figura 11 Punto de desempeño para el registro de El Salvador 1986, obtenido con el CSM modificado. (a) Modelo A, (b) Modelo C.

P.D. 1er pandeo PSAcrit = 0.87g

P.D. 1er pandeo PSAcrit = 0.48g

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.000 0.010 0.020 0.030 0.040

Sd, m

Sa, g

Espectro decapacidad

Espectro reducidoPGA = 0.23g

P.D. - primer pandeo

0.00.10.20.30.40.50.60.70.8

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08

Sd, m

Sa g P.P.- primer pandeo

Espectro decapacidad

Espectro reducidoPGA = 0.18g

(a) (b) Figura 12 Punto de desempeño para el registro de Parkfield 1966, obtenido con el CSM modificado. (a) Modelo A, (b) Modelo C.

Tabla 3 Aceleración crítica pico del suelo (PGA) y desplazamientos radiales para los tres modelos del tanque obtenidos con el CSM para el terremoto de El Salvador (1986).

Acelerograma Crítico

PGA [g] PGA [g]A 0.69 0.48 0.330 0.0070 0.89B 0.69 0.30 0.210 0.0176 1.83C 0.69 0.28 0.195 0.0211 2.22

∆crit/tcáscaraModelo Factor escala ∆crit. [m]

Tabla 4 Aceleración crítica pico del suelo (PGA) y desplazamientos radiales para los tres modelos del

tanque obtenidos con el CSM para el terremoto de Parkfield (1966).

Acelerograma CríticoPGA [g] PGA [g]

A 0.269 0.85 0.228 0.0070 0.89B 0.269 0.81 0.217 0.0176 1.83C 0.269 0.68 0.182 0.0211 2.22

Modelo Factor escala ∆crit. [m] ∆crit/tcáscara

La Figura 13 presenta el PGA crítico para los tres modelos de tanques, considerando todas las demandas sísmicas. Para todas las demandas sísmicas consideradas el PGA para el primer modo de pandeo elástico es similar para los Modelos B (H/D = 0.63) y C (H/D = 0.95). Para el modelo más bajo (H/D = 0.40), el PGA crítico es significativamente menor para el acelerograma de Parkfield.

0.000.050.100.150.200.250.300.350.40

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20

H/D

PGA

[g]

Pandeo estático - CSMEl Salvador (1986)

Pandeo estático - CSMParkfield (1966)

Pandeo estático - CSMespectro UBC (1997)

Figura 13 Aceleración del suelo (PGA) para inducir pandeo obtenido con el CSM modificado. Comparaciones con análisis dinámicos de pandeo La evaluación sísmica de los tanques obtenida por medio de la metodología del CSM se comparó con los resultados de análisis dinámicos de tanques (Virella et al. 2005b). Dichas comparaciones se ilustran en las Figura 14 y 15. De estas figuras se puede concluir que el PGA crítico obtenido del CSM y los valores predichos por los análisis más precisos de pandeo dinámico, resultaron razonablemente similares para todos los sistemas tanque-líquido. Igualmente los modos de pandeo de los tanques resultaron similares para los análisis de pandeo estático y dinámico. Para todos los sistemas tanque-liquido el pandeo ocurrió cerca de la parte superior del cilindro. Este pandeo se debe a los esfuerzos circunferenciales en compresión que inducen pandeo en la zona superior de la cáscara, donde los espesores del cilindro son menores.

0.0000.0500.1000.1500.2000.2500.3000.350

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20

H/D

PGA

[g]

Pandeo dinámicoEl Salvador (1986)

Pandeo estático-CSMEl Salvador (1986)

Figura 14 Comparación entre los resultados del CSM y los análisis de pandeo dinámico para el acelerograma del terremoto de El Salvador 1986.

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.00 0.20 0.40 0.60 0.80 1.00 1.20

H/D

PGA

[g]

Dynamic bucklingParkfield (1966)

Static buckling-CSMParkfield (1966)

Figure 15 Comparación entre los resultados del CSM y los análisis de pandeo dinámico para el acelerograma del terremoto de Parkfield 1966. Resultados numéricos utilizando el código API 650 Para evaluar la metodología empleada por el código API 650 para la evaluación de pandeo sísmico se halló la capacidad de pandeo del Modelo A descrito anteriormente, y se comparó con los resultados obtenidos del CSM utilizando como demanda sísmica el espectro del UBC 1997. La capacidad del tanque se halló considerando solamente el modo impulsivo del tanque anclado. La demanda sísmica está dada por 1ZIC la cual representa la aceleración espectral para el espectro usado. Se varió el factor de zona Z hasta que los esfuerzos

actuando en la parte inferior de la cáscara del cilindro (t

b12

) igualaron el esfuerzo

permisible ( aF ).

Para el Modelo A se halló un PGA efectivo de 0.92g. Los cómputos para obtener este resultado se muestran en el Apéndice A. El PGA crítico para el Modelo A obtenido con la metodología del CSM modificado para la demanda sísmica del código UBC (1997) resulta mucho menor al obtenido mediante el código API 650. Los resultados se presentan en la Figura 17. La razón para las diferencias se debe principalmente a que para este tipo de tanque corto el modo de pandeo en la parte superior (donde el espesor del cilindro es menor) es más crítico que el modo de flexión para el cual se obtuvo la capacidad a pandeo según el API 650.

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

API 650 CSM-UBC 1997

PGA

[g]

Figura 16 Comparación de PGA crítico efectivo para el Modelo A utilizando las metodologías del API 650 con la del CSM modificado.

CONCLUSIONES Este estudio presenta un método para la evaluación del pandeo elástico de tanques de acero sujetos a un movimiento de origen sísmico de la base, en el cual pandeo estático puede ser utilizado en lugar del más costoso análisis de pandeo dinámico. El método propuesto se basa en la modificación del Método del espectro de Capacidad (CSM) tradicional que se utiliza para la evaluación sísmica de edificios. Para un espectro dado, el método permite calcular el PGA crítico que induce pandeo en el tanque como resultado de un movimiento horizontal. Los resultados se comparan con aquellos obtenidos de análisis de pandeo dinámico para verificar la presición de la metodología propuesta. Tres tanques típicos de acero con razones de altura/diámetro (H/D) decreciente identificados como Modelos A, B y C, se usaron para presentar ejemplos numéricos de la implementación del procedimiento propuesto. Los PGAs que producen el primer pandeo elástico en la cáscara del tanque obtenido con el CSM modificado resultaron similares a aquellos obtenidos de análisis de pandeo dinámico. Los resultados numéricos muestran que el pandeo dinámico disminuye con la razón de H/D, independiente de la demanda sísmica considerada. También se presentó la metodología del API 650 para la evaluación de pandeo sísmico de tanques anclados, y demostró que el tipo de pandeo observado en los tanques ocurre para un PGA mucho menor al obtenido con dicho código. Es importante notar que el modo de pandeo en la parte superior del tanque (o pandeo debido a presión externa) no está considerado en el código API 650. Se demostró que, especialmente para tanques cortos, este tipo de pandeo resulta mucho más crítico que el modo de flexión considerado en dicho código.

AGRADECIMIENTOS Durante el transcurso de esta investigación el Dr. J.C. Virilla recibió una beca post doctoral de PR-EPSCOR mediante el subsidio No. EPS-0223152.

REFERENCIAS

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Apéndice 1

Diseño sísmico para el Modelo A de acuerdo con el API 650

Altura Diámetro Alt. líquido Peso unitariocilindro [pies] [pies] [pies] líquido [lbs/pie3]

39.66 100 34.90 62.4 1

Sección-cilindro Altura [pies] espesor [in] Area [pies2] wt [lbs] Alt. eq. [pies] wti * Alt. eq. Xs [ft]1 7.96 0.31 8.14 31736.8 35.7 1132551.6 17.92 7.93 0.31 8.14 31619.0 27.7 877241.23 7.93 0.31 8.14 31619.0 19.8 626600.84 7.93 0.37 9.79 38020.8 11.9 452080.75 7.93 0.50 13.08 50822.5 4.0 201432.3

183818.0 3289906.6

Momento de vuelco

Z I Wt [lbs] Ws [lbs] Wrtot [lbs] Wr [lbs] W1/Wt W2/Wt X1/Alt. liq. X2/Alt.cil3.83 1 17106208.11 183818.0 146735.0 37048.0 0.406 0 0.375 0

W1 [ft] X1 [ft] W2 [ft] X2 [ft] C1 C2 M [lbs-pie]6945120.49 13.09 0 0 0.6 0.058 229835711.4

Compresión en la cáscara - Tanques anclados

wt [lb/pie] b [lbs/pie] b/12t GHD2/t2 Fa1[lb/in2] Fa2 [lb/in2] Fa [lb/in2]703.0 29961.12 4993.53 1396178.702 4999.99 18000 4999.99 Is Fa > b/12t OK

ZIC1 = 2.30 Capacidad de pandeo: Demanda para la cual se cumpleEff. PGA = 0.92

F.S. = 1.00%error: b/12t vs. Fa < 0.15%

Verificación Diseño

G

aFt

b≈

12