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ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA por Randy Fernández y Ciro Bazán
Detalles del Producto
• Encuadernación Rústica: 448 páginas
• Editora: Publicaciones Universidad de Piura; (Abril, 2006)
• Lenguaje: Español • ISBN: 9972-48-101-8
• Dimensiones del producto: 23,5 x 17 x 2.2 cms
• Peso: 01 kgs
• Lugar de venta: Librería de la Universidad de Piura
• Precio: S/. 30
2
Índice
Capítulo I: OPERACIONES CON MATRICES 1
1. Definición de una matriz 2 Ejercicios 4
2. Tipos especiales de matrices 5 2.1. Matriz nula 5 2.2. Matriz vector 5 2.3. Matriz cuadrada 5 2.4. Matriz diagonal 6 2.5. Matriz escalar 6 2.6. Matriz identidad 6 2.7. Matriz triangular superior 6 2.8. Matriz triangular inferior 7 2.9. Matriz simétrica 7 2.10. Matriz antisimétrica 7 2.11. Matriz rectangular 7 Ejercicios 8
3. Operaciones con matrices 10 3.1. Igualdad de matrices 10 3.2. Suma de matrices 10 3.3. Producto de un número real por una matriz 11 3.4. Multiplicación de matrices 12 3.5. Matriz transpuesta 14 3.6. Potenciación de una matriz 15 3.7. Polinomio de matrices 16 3.8. Suma de elementos 17 3.9. El determinante de una matriz cuadrada 18 3.10. Matriz inversa 20 Solución al problema introductorio del capítulo 23 Ejercicios 26 Problemas resueltos 33 Problemas propuestos 54
4. Otras matrices especiales 63 5.1. Matriz ortogonal 63 5.2. Matriz periódica−k 63 5.3. Matriz idempotente 63 5.4. Matriz nilpotente−p 63 5.5. Matriz involutiva 64 Ejercicios 64
5. Matrices particionadas 66 5.1. Adición y multiplicación de matrices particionadas 66 5.2. Determinantes de matrices particionadas 69 5.3. Inversa de matrices particionadas 72 5.4. Producto de Kronecker 76 Ejercicios 77
6. Análisis de Insumo−Producto 79 Problemas resueltos 84 Problemas propuestos 96
3
Capítulo II: ESPACIOS VECTORIALES 99 1. Geometría de matrices 100
1.1. Definición de un vector 100 1.2. Componentes de un vector 100 1.3. Suma de vectores y multiplicación de un escalar con un
vector 101 1.4. Vectores ortogonales 101 1.5. Vector unitario 102
2. Espacio vectorial 103 3. Combinación lineal 104 4. Dependencia e independencia lineal 106 5. Sistema generador 108 6. Bases vectoriales 109 7. Dimensión de un espacio vectorial 110 8. Subespacios 110 9. Interpretación geométrica del determinante 112
9.1. Interpretación geométrica del determinante de una matriz de orden 2 112
9.2. Interpretación geométrica del determinante de una matriz de orden 3 113
10. Rango 113 Ejercicios 118
11. Regresión mínimo cuadrática 128 Solución al problema introductorio del capítulo 135 Problemas resueltos 138 Problemas propuestos 168
Capítulo III: SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES 171
1. Disposición matricial de un sistema de ecuaciones lineales 172
2. Clasificación de un sistema de ecuaciones lineales de acuerdo a su solución 173 2.1. Sistema incompatible 173 2.2. Sistema compatible determinado 173 2.3. Sistema compatible indeterminado 173
3. Geometría de un sistema de ecuaciones lineales 174 3.1. Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas 174 3.2. Tres ecuaciones lineales con tres incógnitas 176
4. Clasificación de un sistema de ecuaciones lineales de acuerdo al vector b 179 4.1. Sistema de ecuaciones homogéneo 179 4.2. Sistema de ecuaciones no homogéneo 180
5. Métodos de resolución de un sistema de ecuaciones lineales 180 5.1. Método de la matriz inversa 180 5.2. Método de Cramer 181 5.3. Método de eliminación de Gauss−Jordan 183 Ejercicios 186
6. Métodos de resolución de un sistema de ecuaciones homogéneo 187 Solución al problema introductorio del capítulo 188 Ejercicios 191
4
Problemas resueltos 208 Problemas propuestos 262
Capítulo IV: AUTOVALORES Y AUTOVECTORES 267
1. Introducción 268 2. Autovalores y autovectores 268 3. Matrices semejantes 280 4. Diagonalización 281 5. Matrices simétricas y diagonalización ortogonal 287
Solución al problema introductorio del capítulo 295 Ejercicios 297 Problemas resueltos 311 Problemas propuestos 315
Capítulo V: FORMAS CUADRÁTICAS 319
1. Introducción 320 2. Formas cuadráticas 320 3. Clasificación de las formas cuadráticas 323
3.1. Definida positiva 323 3.2. Definida negativa 323 3.3. Semidefinida positiva 324 3.4. Semidefinida negativa 324 3.5. Indefinida o no definida 325
4. Método de estudio del signo de la forma cuadrática 325 4.1. Método de los autovalores 325 4.2. Método de los menores principales dominantes 328
5. Formas cuadráticas reales con restricciones 332 Solución al problema introductorio del capítulo 336 Ejercicios 338
Capítulo VI: OPTIMIZACIÓN CLÁSICA 349
1. Introducción 350 2. Conceptos básicos 351
2.1. Vector gradiente 351 2.2. Matriz jacobiana 352 2.3. Matriz hessiana 353 2.4. Definiciones de mínimos y máximos 353 Ejercicios 354
3. Optimización libre 357 Problemas resueltos 363 Problemas propuestos 396
4. Optimización restringida 404 Ejercicios 405 Solución al problema introductorio del capítulo 407 Problemas resueltos 409 Problemas propuestos 437
Referencias bibliográficas 447
5
Prólogo
El presente trabajo es resultado de la experiencia docente en Álgebra lineal de los autores, en la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de la Universidad de Piura, durante los últimos años. En este manual se han recopilado y seleccionado ejercicios y problemas del material bibliográfico consultado para la elaboración de estos apuntes. Asimismo, se han desarrollado ejercicios y problemas prácticos con un enfoque económico−empresarial para el dictado de la primera parte de la asignatura de Matemáticas Empresariales, que se imparte a alumnos de los Programas Académicos de Economía, Administración de Empresas y Contabilidad en la Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales de la casa de estudios antes mencionada. El objetivo de estos apuntes es proporcionar conceptos y desarrollar habilidades en el alumno que le permitan dominar las herramientas que proporciona el álgebra lineal. Para ello, se ha buscado dar a este libro un enfoque intuitivo, ilustrativo y analítico, mostrando en algunos casos resultados de manera no formal, pero cuidando no comprometer el contenido y el rigor matemático. Motivados por el hecho que esta rama de la matemática se estudia en numerosas disciplinas, y que gracias a la invención de las computadoras de alta velocidad se han incrementado las aplicaciones matemáticas de álgebra lineal en áreas no técnicas, hemos desarrollado este trabajo con la esperanza que sea de gran utilidad para estudiantes universitarios de primer año de las carreras de Economía, Administración de Empresas, Contabilidad, así como también de Ingeniería. Cada capítulo del libro empieza enunciando de manera clara y precisa definiciones, principios y teoremas pertinentes, junto con ejemplos y otro material descriptivo. A esto, le siguen colecciones graduadas de problemas resueltos y problemas propuestos. Los problemas resueltos, buscan ampliar e ilustrar la teoría con puntos sutiles que permitan al estudiante asimilar las nociones básicas. Los problemas propuestos, revisan el material completo de cada capítulo buscando la aplicación matemática afín a cada carrera. Ambos tipos de problemas son necesarios para un aprendizaje efectivo del alumno. Este libro está constituido por seis capítulos, en el primero de ellos se estudia las diversas operaciones básicas que se pueden efectuar con matrices. El segundo capítulo se ocupa del estudio de espacios vectoriales. En el tercer capítulo se revisan sistemas de ecuaciones lineales. En el cuarto capítulo se analizan los denominados autovalores y autovectores. En el capítulo cinco realizamos un detallado estudio de las formas cuadráticas. En el capítulo final se abordan las técnicas para resolver problemas de optimización libre y restringida.
Los Autores
Capítulo I
Operaciones con matrices
En los últimos tres años, cuatro niños exploradores, Rosita, Carolina, Carla y Sergio, han tenido como misión recolectar fondos para apoyar un asilo. Con este objetivo en mente, cada año compraron chocolates. Los adquirieron de tres tipos: blanco, amargo y semiamargo. Cada caja contiene 20 chocolates. Los venden por piezas y los tres últimos años vendieron todos. A continuación se resume la información para el primer año:
En esta tabla se muestra el número de cajas que cada uno compró.
Cajas de chocolate Blanco Amargo Semiamargo Rosita 6 15 9 Carolina 13 10 7 Carla 10 10 10 Sergio 5 12 13
En esta otra se muestra el precio por caja y el precio al que vendieron cada tipo de chocolate:
Tipo de chocolate Precio por caja ($) Precio de venta por
pieza ($) Blanco 50 4 Amargo 30 3 Semiamargo 40 3
Con base en esta información, determine: a. ¿Quién hizo la menor inversión? b. ¿Quién obtuvo mayor beneficio el primer año? c. El segundo y el tercer año compraron las mismas cantidades de cajas de
chocolates, pero el precio por caja para el segundo año fue 10% mayor que el del primer año, mientras que en el tercer año fue de 65, 45 y 40, para el chocolate blanco, amargo y semiamargo, respectivamente. Además, ellos conservaron los precios de venta del primer año. Responda a las dos preguntas anteriores para el segundo y tercer año.
TEMARIO
1. DEFINICIÓN DE UNA MATRIZ 2. TIPOS ESPECIALES DE MATRICES 3. OPERACIONES CON MATRICES 4. OTRAS MATRICES ESPECIALES 5. MATRICES PARTICIONADAS 6. ANÁLISIS DE INSUMO−PRODUCTO
OPERACIONES CON MATRICES
2
1. Definición de una matriz Conjunto de elementos, ya sean números o caracteres, agrupados en m filas y en n columnas.
Veamos una tabla donde nos interesa trabajar con los datos que ella contiene:
Año
Consumo (miles de
millones de dólares)
PBI (miles de millones de dólares)
Deflactor del PBI
Tasa de descuento
1972 737.1 1 185.9 1.0000 4.50 1973 812.0 1 326.4 1.0575 6.44 1974 808.1 1 434.2 1.1508 7.83 1975 976.4 1 549.2 1.2579 6.25 1976 1 084.3 1 718.0 1.3234 5.50 1977 1 204.4 1 918.3 1.4005 5.46 1978 1 346.5 2 163.9 1.5042 7.46 1979 1 507.2 2 417.8 1.6342 10.28 1980 1 667.2 2 633.1 1.7864 11.77
Como podemos observar esta tabla contiene 10 filas y 5 columnas, donde la primera fila describe la correspondencia que existe entre los elementos de cada columna (Carácter informativo).
Todos los datos que nos interesan los podemos representar como una matriz de la siguiente forma:
=
77.117864.11.26332.166728.106342.18.24172.150746.75042.19.21635.134646.54005.13.19184.120450.53234.10.17183.108425.62579.12.15494.97683.71508.12.14341.80844.60575.14.13260.81250.40000.19.11851.737
198019791978197719761975197419731972
A
Simbología de una matriz:
Una matriz se representa con una letra mayúscula, como en el ejemplo, y si se quiere representar la matriz en forma total sin necesidad de escribir todos los elementos se representa de la siguiente forma: mxnA . Donde m indica la
cantidad de filas y n el número de columnas de la matriz. A los subíndices de esta representación se les llama dimensión u orden de la matriz. La matriz anterior se representa de la siguiente manera: 59×A .
OPERACIONES CON MATRICES
3
Si nos interesa algún elemento de la matriz entonces, éste se representa con una letra igual a la letra de la matriz a la que pertenece, pero con minúscula y con subíndices la fila y la columna a la cual pertenece dicho elemento ija que
estará situado en la intersección de la fila i y la columna j.
Ejemplo:
Si de la matriz anterior nos interesa el dato del deflactor del producto bruto interno en el año 1977, entonces lo representamos de la siguiente forma
4005.164 =a .
Información que puede contener una matriz
Resultado de una encuesta realizada a m individuos sobre n preguntas. Una tecnología lineal que emplea m factores en n procesos productivos. Los coeficientes de las incógnitas de un modelo lineal de m ecuaciones y n
incógnitas. Una aplicación lineal de nR en nR . Una base de datos. Etc.
Problema:
Un fabricante produce tres tipos de clavos: de aluminio (A), de cobre (Q) y de acero (H). Todos ellos se fabrican en longitudes de 1, 1.5, 2 y 2.5 cm. con los precios respectivos siguientes:
Clavos A: 0.20 0.30 0.40 0.50 Euros Clavos Q: 0.30 0.45 0.60 0.75 Euros.Clavos H: 0.40 0.60 0.80 1.00 Euros.
Presentar la información en una matriz 4×3 que recoja los precios.
Solución: Precios Tamaño Clavos A Clavos Q Clavos H
1 0.20 0.30 0.40 1.5 0.30 0.45 0.60 2 0.40 0.60 0.80
2.5 0.50 0.75 1.00
=
00.180.060.040.0
75.060.045.030.0
50.040.030.020.0
M
Respuesta: En la matriz M se observa que cada fila representa el tamaño del clavo, mientras que cada columna representa el tipo de clavo, y sus elementos son sus precios correspondientes.
OPERACIONES CON MATRICES
4
Ejercicios 1. Dadas las siguientes matrices:
−−−−=
410421321
A
−=
32101
B
−
=
21001032
C
=
321 π
D
( )5341=E
−−−−
=41002121023432101
F
=
baacbaba
G
=
1000110011101111
H
−
=
413
211
10
L
−−
−−−=
2103752313
M
jijiN , 2n /M ij22 ∀+=∈ ×
I. ¿Cuál es la dimensión de las siguientes matrices?
a) 33×⇒A b) B
c) E d) G
e) M f) L
II. ¿Cuál es el elemento?
a) 132 =a
b) 51b
c) 32c
d) 15l
e) 24g f) 23d
III. Construya la Matriz N.
( ) ( )( ) ( )
=
++++
=
=
6453
222122221121
2221
1211nnnn
N
2. Construya una matriz
= ijaA , si A es de 43× y jiaij 32 += .
3. Escribir la matriz 32×
= ijaA , donde ( ) ji
ija +−= 1 .
OPERACIONES CON MATRICES
5
4. Hallar A, B y C, si:
=+≠
=
=
+<+≥
=
=
>=−<
=
=
×
×
×
jijji
ccC
jiji
bbB
jiijiji
aaA
ijij
ijij
ijij
si 7 si 5
:que tal
2 si 12 si 0
:que tal
si si 1 si 0
:que tal
26
34
55
2. Tipos especiales de matrices 2.1. Matriz nula.- Todos sus elementos son cero, aij = 0 , ∀ i, j.
Ejemplo:
=
000000000
B
2.2. Matriz vector.- Conjunto ordenado de elementos dispuestos o en una fila o
en una columna.
a) Vector fila: Matriz de una sola fila.
Ejemplo: [ ]8251 −=A
b) Vector columna: Matriz de una sola columna.
Ejemplo:
−=
7530
B
2.3. Matriz cuadrada.- Matriz que tiene el número de filas igual al número de
columnas.
Ejemplo:
−
=8032
C
−
=283/45
D
Características de una matriz cuadrada:
Si tenemos una matriz cuadrada A, donde:
=
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
A
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
OPERACIONES CON MATRICES
6
Entonces podemos hablar de la diagonal principal formada por los elementos { }nnaaa ,,, 2211 K .
La suma de los elementos de la diagonal principal recibe el nombre de Traza.
( ) ∑=
=n
iiiaATraza
1
Una matriz cuadrada nnA × también se puede representar como nA .
2.4. Matriz diagonal.- Es una matriz cuadrada, cuyos elementos son todos
iguales a cero excepto los que pertenecen a la diagonal principal.
Ejemplo:
=
800040002
P
También se puede representar de la siguiente manera: Diagonal ( )8,4,2 . 2.5. Matriz escalar.- Es una matriz diagonal, cuyos elementos de la diagonal
principal son todos iguales.
Ejemplo:
=
2002
Q
2.6. Matriz identidad.- Es una matriz diagonal muy útil, cuyos elementos de la
diagonal principal son iguales a la unidad.
Ejemplo:
=
100010001
I
La matriz identidad en la multiplicación de matrices es semejante al 1 de los números reales. Es decir, representa el elemento neutro en la multiplicación.
También se le conoce como Delta de Kronecker:
=≠
=jiji
ij 10
δ
2.7. Matriz triangular superior.- Es una matriz cuadrada, cuyos elementos que
se encuentran debajo de la diagonal principal son iguales a cero.
0=ijA si i > j
Ejemplo:
=
800240032
B
OPERACIONES CON MATRICES
7
2.8. Matriz triangular inferior.- Es una matriz cuadrada, cuyos elementos que se encuentran encima de la diagonal principal son iguales a cero.
0=ijA si i < j
Ejemplo:
=
802053004
C
2.9. Matriz simétrica.- Es una matriz cuadrada, donde los elementos simétricos
(imágenes especulares respecto a la diagonal) son iguales, es decir cada
jiij aa = .
Ejemplo:
=
878723831
E
2.10. Matriz antisimétrica.- Es una matriz cuadrada que cumple con jiij aa −= .
Ejemplo:
−−
−−−
=
0703701201043240
F
2.11. Matriz rectangular.- Es una matriz donde el número de filas no coincide
con el número de columnas.
Ejemplo:
−−=
10408392752
G
OPERACIONES CON MATRICES
8
Ejercicios 1. Escribir una matriz:
a) Cuadrada de orden 3.
−−=
5048732491
S
b) Triangular inferior de orden 4.
c) Simétrica de orden 3. 2. Sean :
=
6007
A ,
−=
3100020001
B ,
=
000000000
C y
−=
600040102
D
a) ¿Cuáles son matrices diagonales? Sólo la matriz A.
b) ¿Cuáles son matrices triangulares? 3. ¿Cuál(es) de las matrices:
=
0111
A
=
0101
B
=
1101
C
=
0011
D
=
0110
E
=
2001
F
=
3003
G
=
1110
H
a) ¿Es triangular superior?
b) ¿Es triangular inferior?
c) ¿Es diagonal? d) ¿Es escalar?
e) ¿Es ninguna de las anteriores?
OPERACIONES CON MATRICES
9
4. Si B es una matriz antisimétrica cuyos elementos de la diagonal principal son
ceros y que cumple:
−
−=
40042B . Hallar los elementos de la matriz B.
Solución:
Matriz antisimétrica cuya diagonal son ceros y de orden 2:
−=
00a
aB
Nos indican que
−
−=
40042B , entonces:
−
−=
−−=
−=
−×
−=
4004
00
00
00
00
2
222
aa
aa
aa
aa
B
Obtenemos: 242 ±=⇒−=− aa .
Respuesta:
Si 2=a ⇒
−=
0220
B , y si 2−=a ⇒
−
=0220
B .
5. Calcule )()( ATrazayADiagonal para
=
825523741
A .
6. ¿Para qué valores de a , es
−−++
−−
143421
312
2
aaa
aa simétrica?
Solución:
112 +=− aa Λ aa 442 =+
12 −=∨= aa Λ 2=a ⇒ 2=a . 7. Calcule x e y para que la matriz B sea antisimétrica:
+−=
0140120
2
xyxx
xB .
Solución:
OPERACIONES CON MATRICES
10
+−=
0140120
2
xyxx
xB
Como es antisimétrica debe cumplir: jiij bb −=
2112 bb −=
22 xx −= → 022 =+ xx
0)2( =+xx
−==
20
xx
3113 bb −=
)1(1 +−= y )1(1 +−= y → 211 −=→−−= yy
3223 bb −=
0034 =→=−→−=− xxxx Entonces, tenemos que: { } { }02,0: ∩−x 20 −=∧= yx
3. Operaciones con matrices
3.1. Igualdad de matrices.- Las matrices A y B son iguales, si y sólo si tienen la misma dimensión y cada elemento de A es igual al correspondiente de B.
A = B si y sólo si ijij ba = para todo i, j.
Ejemplo 1:
Hallar a + b + c si:
−=
832
32 c
ba
Solución:
De acuerdo a la definición c = 2, a = −2 y b = 8.
Respuesta: Por lo tanto a + b + c = 8. Ejemplo 2:
Encuentre a + b si:
+
=
+)3/(5
59755)2/(
baba
Solución:
De acuerdo a la definición se debe cumplir lo siguiente:
92
=+ ba
y 3
7b
a +=
OPERACIONES CON MATRICES
11
Desarrollando este sistema de ecuaciones obtenemos: 524=a y 533=b
Respuesta: En consecuencia, 557=+ ba . 3.2. Suma de matrices.- Las matrices se pueden sumar, si y sólo si tienen la
misma dimensión y el resultado se obtiene sumando los elementos que ocupan el mismo lugar en las matrices.
Ejemplo:
=
+++−+
=
−+
5351
142123)1(2
1221
4132
Problema:
Una empresa tiene tres librerías, y cada una de ellas tiene libros de ficción, de viajes y de deportes. Las cantidades de libros se tabulan como sigue:
Librería Ficción Viajes Deportes 1 300 300 100 2 300 100 240 3 50 150 200
Suponga que las entregas a cada librería están representadas por D. Calcule las existencias actualizadas.
=
304060304060204060
D
Solución:
Se crea una matriz con la cantidad de libros que tiene cada librería:
=
20015050240100300100300300
E
La entrega a las librerías viene dada por:
=
304060304060204060
D
Entonces, las nuevas cantidades de libros en cada librería son:
=
+
230190110270140360120340360
304060304060204060
20015050240100300100300300
OPERACIONES CON MATRICES
12
Respuesta: Esto quiere decir que, si hacemos un inventario en las tiendas debemos encontrar lo siguiente:
• En la librería 1: 360 libros de ficción, 340 libros de viajes y 120 libros de deportes.
• En la librería 2: 360 libros de ficción, 140 libros de viajes y 270 libros de deportes.
• En la librería 3: 110 libros de ficción, 190 libros de viajes y 230 libros de deportes.
3.3. Producto de un número real por una matriz.- (Multiplicación por un
Escalar) El producto de un número real k por una matriz nmA × es una matriz
que resulta de multiplicar el escalar por cada uno de elementos de la matriz.
Ejemplo: 2
−
=
− 216
081804
Problema:
Suponga que las distancias, en millas, entre Annapolis, Baltimore y Wahington, D.C., se expresan como sigue:
Annapolis Baltimore Washington Annapolis 0 30 25 Baltimore 30 0 18 Washington 25 18 0
Si deseamos trazar un mapa cuya escala sea tal que 1 pulgada en el papel corresponda a 5 millas de distancia real, ¿Cuál es la matriz de las distancias del mapa?
Solución:
Nuestros datos los podemos expresar en una matriz:
=
018251803025300
A
Como deseamos tener las distancias en pulgadas lo que debemos tener presente que cada milla en el papel representará 5
1 de una pulgada. Por
lo tanto, la matriz que nos representa las distancias entre ciudades en pulgadas es:
=
=
06.356.306
560
018251803025300
51
B
Respuesta: Esto quiere decir que la distancia entre Annapolis y Baltimore será de 6 pulgadas en el papel, entre Annapolis y Washington será de 5 pulgadas y entre Baltimore y Washignton será de 3.6 pulgadas en el papel.
OPERACIONES CON MATRICES
13
3.4. Multiplicación de matrices.- Dos matrices sólo se pueden multiplicar si son
multiplicativamente conformes, y esto se verifica cuando el número de columnas del multiplicando coincide con el número de filas del multiplicador.
pmpnnm CBA ××× =×
Cuando se multiplican 2 matrices, el elemento ijc de la matriz producto, es
el producto del i−ésimo vector fila de la primera matriz con el j−ésimo vector columna de la segunda (Producto interior).
=
==×
∑∑
∑∑
==
==
×××× n
jjpmj
n
jjmj
n
jjpj
n
jjj
pmjipmpnnm
baba
baba
cCBA
111
11
111
L
MOM
L
Ejemplo:
Sea
−
=154231
A y
=
506142
B . Hallar BA× y AB× .
Solución:
=
−++−++
++++=×
××× 4113
325)5)(1()6(5)4(4)0)(1()1(5)2(4
)5(2)6(3)4(1)0(2)1(3)2(1
222332 BA
−−=
−+++−+++−+++
=×
×
××525204332502618
)1(5)2(0)5(5)3(0)4(5)1(0)1(6)2(1)5(6)3(1)4(6)1(1)1(4)2(2)5(4)3(2)4(4)1(2
33
3223 AB
Se puede observar que la propiedad conmutativa no se da en la multiplicación de matrices ( BA× ≠ AB× ), es por eso que definimos la premultiplicación y la postmultiplicación. En el producto BA× , B está premultiplicando por A, mientras que A está postmultiplicado por B, y en el producto AB× , A está premultiplicado por B, mientras que B está postmultiplicado por A.
Propiedades de la multiplicación matricial:
a)
××=×
× ×××××× qppnnmqppnnm CBACBA : Asociativa.
OPERACIONES CON MATRICES
14
b)
×+×=×
+
×+×=
+×
×××××××
×××××××
qppnqppnqppnpn
pnnmpnnmpnpnnm
ACABACB
CABACBA
: Distributiva.
c)
×=×
=
× ×××××× qppnqppnqppn CaBCBaCBa
d) AIAAI =×=× (A es una matriz cuadrada): Identidad multiplicativa.
e) 000 =×=× AA (A y 0 son matrices cuadradas).
Capítulo II
Espacios Vectoriales
Observe los datos de población para Estados Unidos en la década de 1800 a 1900.
AÑO 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 1890 1900POBLACIÓN (MILLONES) 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76.2
Visualice que el crecimiento de la población es exponencial. Esa relación que existe
entre x(años) y P(población) se representa mediante kxAeP = para algunas constantes
A y k. Usando las propiedades de los logaritmos, se obtiene que ( ) ( ) kxALnPLn += .
Observe que ( )PLn tiene una relación lineal.
Así, si se espera una relación exponencial se expresan los datos (x, P) en términos de los
datos ( )( )PLnx, y se encuentra una solución de mínimos cuadrados para reexpresar los
datos. Esto conduce a ( ) bmxPLn += y, por lo tanto, bmxeP += es el ajuste
exponencial.
a. Encuentre la recta de ajuste de mínimos cuadrados para los datos x e ( )PLny = . ¿El
crecimiento de la población ser exponencial?
b. Suponiendo que la población continúa creciendo a la misma tasa, utilice la solución
de mínimos cuadrados para predecir la población en 1950.
TEMARIO 1. GEOMETRÍA DE MATRICES
2. ESPACIO VECTORIAL 3. COMBINACIÓN LINEAL 4. DEPENDENCIA E INDEPENDENCIA LINEAL 5. SISTEMA GENERADOR 6. BASES VECTORIALES 7. DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL 8. SUBESPACIOS 9. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DEL DETERMINANTE
10. RANGO 11. REGRESIÓN MÍNIMO CUADRÁTICA
ESPACIOS VECTORIALES
100
1. Geometría de matrices En esta parte del curso recordaremos conceptos de vectores, suma de vectores y multiplicación de un vector por un escalar. 1.1. Definición de vector.- Designamos como vector, aquel elemento
matemático, indicado por un segmento de recta orientado, y que nos permite representar gráficamente a una magnitud vectorial.
Los vectores se pueden representar en coordenadas o en forma matricial a través de vectores filas o columnas, siendo esta última la que utilizaremos.
Vectores del Espacio Coordenadas Matriz (Vector columna)
R2 (x1, x2)
2
1xx
R3 (x1, x2, x3)
3
2
1
xxx
R4 (x1, x2, x3, x4)
4
3
2
1
xxxx
M M M
Rn (x1, x2, x3, x4, …xn)
nx
xxx
M3
2
1
1.2. Componentes de un vector.- Recordemos como está compuesto un vector:
• Origen: Es el punto donde se aplica el vector. • Dirección: Es la recta que contiene al vector. En el plano se define por el
ángulo medido en sentido antihorario desde el semieje positivo de las x. • Sentido: Nos indica hacia donde se dirige (orientación). • Módulo, norma, intensidad, magnitud o longitud: viene a ser el valor o
medida de la magnitud vectorial representada.
Sea un vector de Rn:
=x
nx
xxx
M3
2
1
ESPACIOS VECTORIALES
101
Entonces su magnitud será:
∑=
=++++=×=n
iin
txxxxxxxx
1
2223
22
21 L .
1.3. Suma de vectores y multiplicación de un escalar con un vector.-
Recordemos con el ejemplo siguiente lo que es la suma de vectores y la multiplicación de un escalar con un vector.
Ejemplo: Si tenemos los siguientes vectores ( )2,1=a y ( )1,2=b , entonces
hallar ba + , a2 , ( )a21− .
Solución:
( ) ( )3,312,21 =++==+ cba
( ) ( )4,22,122* === aa
( ) ( )( ) ( )1,2,121
21
21** −−=−=−= aa
En la gráfica se observa los resultados de estas operaciones con vectores.
**a
1 2
-1
-1
1
2
3
3
4
a
b
c
*a
1.4. Vectores ortogonales.- Dos vectores a y b son ortogonales, lo que
escribiremos a ⊥ b , si y sólo si 0=×=× abbatt
.
Ejemplo: identificar si los siguientes vectores son ortogonales. a) ( )0,4 y ( )3,0 . b) ( )0,2,3 y ( )6,0,0 .
Solución:
a) Usaremos matrices columnas:
=
04
a y
=
30
b ⇒ [ ] 030
04 =
×=× ba
t entonces a y b
son vectores ortogonales.
ESPACIOS VECTORIALES
102
b) Usaremos matrices columnas:
=
023
a y
=
600
b ⇒ [ ] 0600
023 =
×=× ba
t entonces a y b
son vectores ortogonales.
Representación de vectores ortogonales en el espacio R2 y R3.
1.5. Vector unitario u .- Es aquel vector que tiene un módulo igual a la unidad
y cumple que 1=× uut
.
Normalizar.- Es transformar un vector cualquiera a su vector unitario, esto se puede conseguir de la siguiente manera:
Sea a un vector de Rn:
=
na
aa
aM2
1
y a su norma, entonces lo transformamos en vector unitario
cuando:
=
=
aa
aa
aa
aa
a
n
u M2
11 .
Ejemplo: Normalizar el vector ( )4,4=a .
Solución:
Primero hallamos su norma: 2444 22 =+=a
Ahora efectuamos:
=
=
2121
2442441 a
a
ESPACIOS VECTORIALES
103
1 2 3 4 5 6
123456
7
7
2. Espacio vectorial Es un conjunto de vectores que está definido bajo la suma y la multiplicación escalar.
Ejemplos:
Espacio R2, si sumamos dos vectores del espacio R2, es decir:
++
=
+
dbca
dc
ba
, entonces obtenemos otro vector en R2, si multiplicamos un
escalar k a un vector de R2 , es decir:
=
kbka
ba
k , se obtiene otro vector que pertenece a R2.
En general, el conjunto de vectores de n elementos reales, es un espacio vectorial de n dimensiones, designado por Rn.
Otros ejemplos de espacios vectoriales son el Espacio de matrices nmM × , el
espacio de polinomios )(tP , el espacio de Funciones )(xF .
Propiedades de los espacios vectoriales:
1. Rkk ∈∀=⋅ 00 .
2. Vvv ∈∀=⋅ 00 .
3. ( ) ( ) ( )vkvkvk ⋅−=⋅−=−⋅ .
4. 0o00 ==⇒=⋅ vkvkSi .
Los espacios R2 y R3 son ejemplos de espacios vectoriales que se pueden representar.
ESPACIOS VECTORIALES
104
2R :
**a
a
b
c
*a
3R :
1
2
3
5
xy
z
a
12
31
23
5
4
4
4
3. Combinación lineal
Un vector v es combinación lineal de los vectores { }nvvv ...,,, 21 si es el
resultado de sumar los productos de dichos vectores por escalares nkkk ...,,, 21 :
∑=
⋅=⋅++⋅+⋅=n
iiinn vkvkvkvkv
12211 ...
Ejemplos:
1. En R3, el vector
−
777
es una combinación lineal de los vectores
−
−
135
421
y ya que: ( )
−−+
−=
−
135
1421
2777
.
ESPACIOS VECTORIALES
105
2. En 32×M , la matriz
−−
391823
es una combinación lineal de
−511401
y
−−−
632210
ya que:
−−−
+
−=
−−
632210
2511401
3391823
.
3. Dados los vectores de R3:
−
−
−
235
,131
,011
exprese cada uno de ellos
como una combinación lineal de los otros dos.
4. Calcule el valor de a para que el vector
032
sea una combinación lineal de
los vectores
110
,01a
.
a
b
f
*ad
c
e
1−
ESPACIOS VECTORIALES
106
4. Dependencia e independencia lineal
Los vectores { }nvvv ...,,, 21 son linealmente independientes (l.i) si ninguno de
ellos es combinación lineal de los demás. Son linealmente dependientes (l.d) si al menos uno de ellos es combinación lineal de los demás.
Un conjunto de vectores { }nvvv ...,,, 21 que genera con unicidad el vector cero
se denomina conjunto linealmente independiente. De no ser así ese conjunto de vectores es linealmente dependiente.
• Independencia lineal significa:
01
=⋅∑=
n
iii vk implica que iki ∀= 0
• Dependencia lineal significa:
01
=⋅∑=
n
iii vk pero no todo 0=ik
Interpretación geométrica:
1a2a
Los vectores 1a y 2a son linealmente dependientes
1a
2a
Los vectores 1a y 2a son linealmente independientes
ESPACIOS VECTORIALES
107
x
y
z
1a2a
3a
Los vectores 1a , 2a , y 3a son linealmente dependientes
x
y
z1a
3a
2a
Los vectores 1a , 2a , y 3a son linealmente independientes
Ejemplos:
1. Determine si los vectores
−
−
710
022
,321
y son linealmente dependientes o
independientes.
Solución:
Supongamos que
=
+
−+
−
000
710
022
321
321 kkk de lo cual obtenemos las
siguientes ecuaciones:
0703
0122
002
321
321
321
=++
=+−−
=++
kkk
kkk
kkk
Luego de resolver obtenemos 01 =k , 02 =k y 03 =k .
ESPACIOS VECTORIALES
108
De lo cual se concluye que por ser la única solución, estos vectores generan con unicidad al vector 0 , por lo tanto son linealmente independientes.
2. Determine si los vectores
−
−
126
11
403
,031
y son linealmente independientes
o dependientes.
Solución:
Supongamos que
=
−+
+
−
000
126
11
403
031
321 kkk , de donde obtenemos el
sistema:
01240
0603
0113
321
321
321
=++
=−+−
=++
kkk
kkk
kkk
Desarrollando el sistema se obtiene lo siguiente:
03
02
32
31=+
=+
kk
kk, de lo que concluímos que existen infinidad de soluciones, por lo
tanto partimos de un valor, si 13 =k , entonces 32 −=k y 21 −=k , de manera
que puede verificarse,
=
−+
−
−−
000
126
111
403
3031
2 , por lo tanto los
vectores son linealmente dependientes.
5. Sistema generador
Es un conjunto de vectores { }svvv ...,,, 21 de un espacio vectorial V, tales que
todo vector de V sea combinación lineal de ellos. Es decir:
∑=
⋅=⋅++⋅+⋅=s
iiiss vkvkvkvkv
12211 ...
Ejemplo:
El siguiente conjunto de vectores
23
,51
,42
es un sistema generador del
espacio R2, porque genera cualquier vector de R2 como una combinación lineal de
ellos, por ejemplo el vector
14
de R2, se escribe como una combinación lineal de
ESPACIOS VECTORIALES
109
ese conjunto. Es decir, ( )
=
+
−+
14
23
151
142
1 y así con cualquier vector de
R2.
6. Bases vectoriales Es un conjunto de vectores que además de ser sistema generador de V son linealmente independientes.
Una base para un espacio vectorial de n dimensiones es cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en ese espacio.
Ejemplos:
a)
−
101
,432
no son base de R3,
porque se necesita tres vectores linealmente independientes del espacio R3.
b)
−
−
34
,11
,21
no son base
de R3 porque no son vectores del espacio R3.
c)
−
−
− 3290
,073
,152
no son
base porque a pesar que los tres vectores son de R3 no generan con unicidad al vector cero.
d)
−
−
−
12
,256
,573
no son
base de R3, porque hay un vector del espacio R2.
e)
−
−
111
,111
,111
si son una
base del espacio R3 porque generan con unicidad el vector cero.
Nota: Se llaman bases canónicas de un espacio Rn a un conjunto de vectores de la forma siguiente:
=
=
=
=
1
000
,,
0
100
,
0
010
,
0
001
321M
L
MMMneeee
Ejemplo: Las bases canónicas de R2 son:
=
=
10
01
21 eye
ESPACIOS VECTORIALES
110
7. Dimensión de un espacio vectorial Sea el espacio vectorial V de dimensión finita y que posee una base
{ }nvvvv ,,,, 321 L , entonces la dimensión del espacio vectorial V es el número n
lo cual denotamos por dim V = n (donde n es el número de vectores que constituyen una de las bases de V).
Observaciones:
• Si V tiene como único elemento el vector nulo, entonces la dimensión de V es
cero, es decir, dim { }0 = 0.
• Si V tiene una base infinita, la dimensión de V se denota por dim V = ∞ .
Ejemplo: Una base de R4 es ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,0,0,0;0,1,0,0;0,0,1,0;0,0,0,1 entonces su dimensión es dim R4 = 4.
8. Subespacios Un subespacio vectorial S de un espacio vectorial V es un subconjunto de V que tiene estructura de espacio vectorial.
Ejemplos:
43
21
12
34
5
1
2
3
4
5
0=z
1e2e
3e
( )0,0,1
( )2,0,0
( )0,2,0
( )0,2,1
x y
z
xy 2=
En los dibujos tenemos los subespacios: z = 0, x = 0, y = 0, y = 2x.
0
0=y
0=x
x y
Z
x
Z
y
ESPACIOS VECTORIALES
111
Ejemplos:
1) Encuentre las ecuaciones del subespacio vectorial formado por los vectores linealmente independientes ( ) ( )3,0,1y1,0,1 21 −=−= vv .
Solución:
=
−+
− zyx
kk301
101
21
Obteniendo la siguiente ecuación del subespacio y = 0.
2) Encuentre las ecuaciones del subespacio vectorial formado por los vectores linealmente independientes ( ) ( )0,2,1y2,0,0 21 == vv .
Solución:
=
+
zyx
kk021
200
21
De lo que se obtiene lo siguiente:
zk
xk
yk
=
=
=
1
2
2
2
2
Siendo la ecuación del subespacio 2x = y.
3) Encuentre las ecuaciones del subespacio vectorial formado por los vectores
linealmente independientes ( ) ( ) ( )1,0,1,0y2,1,1,1;1,1,0,1 321 =−=−= vvv .
Solución:
=
+
−
+
− wzyx
kkk
1010
2111
1101
321
De lo que obtengo lo siguiente:
wkkk
zkk
ykk
xkk
=++−
=+
=+
=−
321
21
32
21
2
Siendo la ecuación del subespacio 0=−+− wyx .
ESPACIOS VECTORIALES
112
4) Encuentre las ecuaciones del subespacio vectorial formado por los vectores linealmente independientes ( ) ( )0,1,2y1,1,1 21 =−= vv .
Nota: El espacio generado por un conjunto de vectores en Rk tiene como máximo k dimensiones. Si este espacio tiene menos de k dimensiones, es un subespacio, o hiperplano. La idea fundamental es que cada conjunto de vectores genera algún espacio; puede ser el espacio entero en el cual residen los vectores, o puede ser algún subespacio de él.
9. Interpretación geométrica del determinante Si las filas (o columnas) de una matriz cuadrada se interpretan como vectores de Rn y el determinante es no nulo entonces dichos vectores son linealmente independientes.
9.1. Interpretación geométrica del determinante de una matriz de orden 2.-
Sean los vectores de R2:
=
=
32
14
bya , ahora con ellos formamos una
matriz
=
=
3124
baA .
( )2111,aa
( )2221,aa
2221
1211
aaaa
Área ±=
R2212 aa +
22a
11a 2212 aa +
12aP
Q21a
El área del paralelogramo, formado por las columnas de A, puede obtenerse mediante la manipulación de triángulos contenidos en él.
1b 1a
2a
2b
x
y
ESPACIOS VECTORIALES
113
El resultado es ( ) ( ) 102134 =− , siendo este valor el determinante de la matriz A. Si estos vectores fuesen linealmente dependientes, entonces no se obtendría un área, por lo tanto el determinante sería nulo.
9.2. Interpretación geométrica del determinante de una matriz de orden 3.-
Sean 3 vectores de R3 y con ellos formamos una matriz, entonces el volumen (del paralelepípedo) que forman los paralelogramos para los vectores dados, representará el determinante de esa matriz. En el caso que no se forme ningún volumen, es decir que exista al menos una columna que dependa de las otras dos, entonces el determinante será cero ya que no existe volumen.
( )131211 ,, aaa
( )232221 ,, aaa
( )333231 ,, aaa
x
y
z
=±
vectores treslos
con construído
pedoparalelepí
del volumen el
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
Este resultado general se cumple también, con dimensiones superiores.
10. Rango Se puede asociar a toda matriz un número muy importante que toma el nombre de rango. Una matriz A de orden m×n tiene n vectores columna, cada uno con m componentes. El mayor número de esos vectores columna de A que forman un conjunto linealmente independiente se llama el rango columna de A y se designa por rc (A). El mayor número de vectores filas que forman un conjunto linealmente independiente se llama rango fila de A y se designa por rf (A).
El rango fila rf (A) y el rango columna rc (A) de una matriz tienen la misma dimensión, por lo tanto hablaremos sólo de rango r (A).
Se utilizará el término rango completo para describir una matriz cuyo rango es igual al número de columnas que contiene.
Se puede caracterizar el rango de una matriz en términos de los menores no nulos de la matriz.
Menor.- Se llama menor de orden k de A al determinante de una submatriz de A que resulta de suprimir todas las filas de A salvo k de ellas y suprimir todas las columnas de A salvo k de ellas.
Aprenderemos a hallar los menores para luego calcular el rango.
Ejemplo: Hallar los menores de la matriz:
=
122024201201
A
Solución:
a) 4 menores de orden 3. Se obtienen suprimiendo una columna.
ESPACIOS VECTORIALES
114
0122242120
;0120240121
;2120220101
;4220420201
==−=−=
b) 18 menores de orden 2. Se obtienen suprimiendo una fila y dos columnas de todas las formas posibles. Dos de ellos son:
22001
= (Se obtiene suprimiendo la tercera fila y la tercera y cuarta
columna).
21210
−= (Se obtiene suprimiendo la segunda fila y la primera y tercera
columna).
c) 12 menores de orden 1. Son los 12 elementos de A.
El rango r(A) de la matriz A es igual al orden de un menor no nulo de A de orden máximo.
Ejemplo:
Analizar si los vectores son linealmente independientes:
a) ( )1,1,1,1 ; ( )0,1,1,1 ; ( )0,0,1,1 . b) ( )3,2,1 − ; ( )1,0,5 ; ( )0,1,4 ; ( )1,1,2 − . c) ( )1,0,1 − ; ( )3,0,1 − . d) ( )0,5,1,3 − ; ( )1,9,2,6 −− ; ( )1,6,1,3 − . e) ( )1,1,0,1 − ; ( )2,1,1,0 ; ( )1,0,1,1− ; ( )1,2,1,3 −− .
Solución:
a) Primero debemos formar una matriz de tal manera que cada vector sea una columna de dicha matriz.
=
001011111111
A ; luego hallamos los menores de orden 1, comenzando por la
parte superior izquierda (Sólo para llevar un orden). 011 ≠= , como este menor de orden 1 es diferente de cero, entonces el
Rango es por lo menos uno.
Hallamos los menores de orden 2, comenzando por la parte superior izquierda,
01111
= ; buscamos algún otro menor de orden 2 que sea diferente de cero;
10111
−= como este menor de orden 2 es diferente de cero, entonces el
Rango es por lo menos dos.
ESPACIOS VECTORIALES
115
Hallamos los menores de orden 3, comenzando por la parte superior
izquierda, 00111111
10111
10111
1011111111
=++−=×+×−×= ,
buscamos algún otro menor de orden 3 que sea diferente de cero;
( ) ( ) 1110100111
10101
10001
1001011111
−=−+−=×+×−×= , como
este menor de orden 3 es diferente de cero, entonces el Rango es por lo menos 3.
Ya no podemos hallar menores de orden mayor que tres, por lo tanto r(A) = 3. Por tanto, en este caso estos tres vectores columna del espacio R4 son linealmente independientes.
b) Primero debemos formar una matriz de tal manera que cada vector sea una
columna de dicha matriz.
−−=
101311022451
A , luego hallamos los menores
de orden 1, comenzando por la parte superior izquierda (Sólo por orden); 011 ≠= , como este menor de orden 1 es diferente de cero, entonces el
Rango es por lo menos uno.
Hallamos los menores de orden 2, comenzando por la parte superior izquierda,
( ) 101000251
=−−=−
, como este menor de orden 2 es diferente de cero,
entonces el Rango es por lo menos dos.
Hallamos los menores de orden 3, comenzando por la parte superior izquierda,
6013102451
=− , como este menor de orden 3 es diferente de cero, entonces
el Rango es por lo menos 3.
Ya no podemos hallar menores de orden mayor que tres, por lo tanto esa matriz es de r(A) = 3. Por tanto, en este caso las tres primeras columnas son vectores linealmente independientes del espacio R3.
c) Primero debemos formar una matriz de tal manera que cada vector sea una
columna de dicha matriz.
−−=
310011
A , luego hallamos los menores de orden
1, comenzando por la parte superior izquierda. 011 ≠= , como este menor de orden 1 es diferente de cero, entonces el Rango es por lo menos uno.
Capítulo III
Sistemas de Ecuaciones Lineales
La compañía constructora Madison se encargará de edificar almacenes, pisos y torres a
base de dos tipos de materiales: hierro y madera. Para la construcción de un almacén se
precisa una unidad de hierro y ninguna de madera, para la construcción de un piso se
precisa de una unidad de cada material y para la de una torre se necesitan 4 unidades de
hierro y una de madera. Conociendo que la compañía sólo dispone de 16 unidades de
hierro y 5 de madera.
a. Determine, utilizando sólo Álgebra Matricial, ¿Cuántos almacenes, pisos y torres se
pueden construir empleando todas las unidades posibles?
b. Si el precio de cada almacén es de 6 u.m, el de cada piso es 2 u.m y el de cada torre
4 u.m. ¿Hay algún plan de producción que cueste 28 u.m.? Si lo hay indicarlo y sino
justifique su respuesta. ¿Qué se puede concluir de los resultados?
TEMARIO 1. DISPOSICIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA DE
ECUACIONES LINEALES 2. CLASIFICACIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES
LINEALES DE ACUERDO A SU SOLUCIÓN 3. GEOMETRÍA DE UN SISTEMA DE ECUACIONES
LINEALES 4. CLASIFICACIÓN DE UN SISTEMA DE ECUACIONES
LINEALES DE ACUERDO AL VECTOR b 5. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE
ECUACIONES LINEALES 6. MÉTODOS DE RESOLUCIÓN DE UN SISTEMA DE
ECUACIONES LINEALES HOMOGÉNEO
ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA
172
1. Disposición matricial de un sistema de ecuaciones lineales Partiremos de un sistema de n incógnitas y m ecuaciones, cuya forma es:
mnmnmmm
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxabxaxaxaxa
=++++
=++++=++++
L
MMMMOMMMMMM
L
L
332211
22323222121
11313212111
Dando la forma matricial:
mnmmm
n
n
aaaa
aaaaaaaa
L
MOMMM
L
K
321
2232221
1131211
×
nx
xx
M2
1
=
mb
bb
M2
1
bxA =×
Donde:
A : Es la matriz de coeficientes que acompañan a las variables.
x : Es el vector columna de variables.
b : Es el vector columna de términos independientes.
Ejemplo 1: Dar forma matricial al siguiente sistema de ecuaciones lineales:
( )dYcT
TYbaGGICY
+=−+=
++=
Las variables son Y, C, T.
Solución:
Reordenando el sistema, colocando las variables al lado izquierdo y las constantes al lado derecho nos queda:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) cTCYd
GaTbCYbGITCY
=++−−=++−+=+−+
100
011
Dando forma matricial:
−−
−
100
011
dbb ×
TCY
=
−+
cGaGI
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
173
Ejemplo 2: Dar forma matricial al siguiente sistema de ecuaciones lineales:
0
0
10
GICYTYY
veYdicIubYaC
d
t
d
++=−=
+++=++=
−
Las variables son Y, C, I.
Solución:
Reordenando el sistema y colocando las variables al lado izquierdo y las constantes al lado derecho, tenemos:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 0
10
0
11110001
GICYveYdicICY
ubTaICYb
t=−+−+
+++=+++−=++−
−
Dando forma matricial:
−−
−
11110001b
×
ICY
=
++++−
−
o
to
o
GveYdic
ubTa
1 .
2. Clasificación de un sistema de ecuaciones de
acuerdo a su solución
Se puede clasificar en:
2.1. Sistema incompatible.- Si el sistema carece de solución (llamado también sistema inconsistente).
2.2. Sistema compatible determinado.- Si tiene solución única cada variable (llamado sistema consistente determinado).
2.3. Sistema compatible indeterminado.- Si tiene infinitas soluciones (llamado sistema consistente indeterminado).
¿Cómo saber cuándo un sistema puede ser clasificado de acuerdo a los criterios anteriores?
La discusión de la solución del sistema la haremos a través del Teorema de Rouché−Fröbenius.
Pasos a seguir para identificar que tipo de solución tiene el sistema por el teorema de Rouché−Fröbenius:
• Tener el sistema en la forma matricial bxA =× .
• Hallar el número de incógnitas en el sistema: n.
• Analizar el rango de A, ( ) rARango = .
• Analizar el rango de A aumentada en la columna B, '/ rbARango =
.
ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA
174
• Condiciones:
1. Si 'rr ≠ : el sistema es incompatible.
2. Si nrr == ' el sistema es compatible determinado.
3. Si nrr <= ' el sistema es compatible indeterminado.
Grado de indeterminación: Nos indica cuántas variables necesitamos como dato para poder encontrar una solución. Se calcula mediante la diferencia entre el número de incógnitas y el rango del sistema. Ejemplo:
1.
=−=−
13227
yxyx
Sistema incompatible
Solución: { }≡∅.
2.
=++=++−=−+
112493243
zyxzyxzyx
Sistema compatible determinado
Solución:
===
321
zyx
.
3.
=++=++=−+
674925242
zyxzyx
zyx Sistema compatible indeterminado
Solución: infinitas soluciones para cada variable.
4.
−=−−=+−−=−
442252
yxzyxzy
Sistema incompatible
Solución: { } ≡∅.
3. Geometría de un sistema de ecuaciones lineales 3.1. Dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.- Consideremos el siguiente
sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas x y y:
22221
11211
byaxabyaxa
=+=+
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
175
Donde 11a , 12a , 21a , 22a , 1b y 2b son números dados. Sabemos que la gráfica de cada una de las ecuaciones es una recta (excepto en los casos extremos 000y000 ≠=+=+ byxyx ). A continuación se presenta una interpretación geométrica de cada una de las posibles soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas, a través de ejemplos:
a) Sistema incompatible
Consideremos el siguiente sistema:
=−=−
13227
yxyx
Desarrollando este sistema se obtiene lo siguiente 1314 = , lo cual es falso. Por lo tanto, estamos frente a un sistema que no tiene solución.
Geométricamente:
y
x
En la gráfica se observan dos rectas paralelas y distintas, lo que indica que no hay solución por no tener intersección.
b) Sistema compatible determinado
Consideremos el siguiente sistema:
=+=−
57
yxyx
Desarrollando este sitema se obtiene lo siguiente 6=x y 1−=y . Por lo tanto, estamos frente a un sistema con solución única.
Geométricamente:
( )1,6 −
y
x
ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA
176
En la gráfica se observan dos rectas con pendiente diferente. Por lo tanto, se cortan en un punto, lo cual indica que existe una solución única.
c) Sistema compatible indeterminado
Consideremos el siguiente sistema:
=−=−14227
yxyx
Desarrollando este sistema se obtiene 00 = . Esto siempre se cumple, es decir estamos ante dos ecuaciones que son equivalentes. Por lo tanto, tenemos un sistema que tiene infinitas soluciones.
Geométricamente:
y
x
Se puede observar que se tienen dos rectas paralelas que coinciden. Es decir, se tienen un número infinito de puntos de intersección; razón por la cual el sistema tiene infinitas soluciones.
3.2. Tres ecuaciones lineales con tres incógnitas.- Consideremos el siguiente sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas x, y y z:
3333231
2232221
1131211
bzayaxa
bzayaxa
bzayaxa
=++
=++
=++
Donde: 11a , 12a , 13a 21a , 22a , 23a , 31a , 32a , 33a , 1b , 2b y 3b son números dados. Sabemos que la gráfica de cada una de las ecuaciones dadas es un plano (excepto en los casos extremos 0000 =++ zyx y
0000 ≠=++ bzyx ). Acontinuación se presenta una interpretación geométrica de cada una de las posibles soluciones de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, a través de ejemplos:
a) Sistema incompatible
Consideremos el siguiente sistema:
−=−−=+−−=−
442252
yxzyxzy
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
177
Desarrollando este sistema se obtiene lo siguiente 50 = , lo cual es falso. Por lo tanto, estamos frente a un sistema que no tiene solución. Geométricamente: Se observa, en Los gráficos de los tres planos, en vistas diferentes, no tienen intersección común a los tres. Esto muestra con claridad la conclusión obtenida de forma algebraica (el sistema no tiene solución).
Otros casos donde no se tiene solución:
• Al menos dos de los planos son paralelos y distintos.
• Dos planos paralelos, intersecados por el tercero.
ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA
178
b) Sistema compatible determinado
Consideremos el siguiente sistema:
=++=++−=−+
112493243
zyxzyxzyx
Desarrollando este sitema se obtiene 1=x , 2=y y 3=z . Por lo tanto, estamos frente a un sistema con solución única.
Geométricamente:
En la gráfica se puede observar como los tres planos se intersectan en un solo punto, razón por la cual el sistema tiene solución única.
c) Sistema compatible indeterminado
Consideremos el siguiente sistema:
=++=++=−+
674925242
zyxzyx
zyx
Desarrollando este sitema se obtiene 00 = , lo cual siempre es verdadero. Es decir, el sistema tiene infinitas soluciones.
Geométricamente:
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
179
En la figura se observa que los tres planos se intersectan en una misma recta, por lo cual, cada punto de esta recta indica una solución. Es decir, un número infinito de soluciones.
Otros casos donde se obtienen infinitas soluciones son:
• Los tres planos coinciden. Entonces cada punto sobre el plano es un una solución. Así se tiene un número infinito de soluciones.
• Dos de los planos coinciden e intersectan a un tercero en una recta. Es decir cada punto sobre la recta es una solución. Por lo tanto, existe un número infinito de soluciones.
4. Clasificación de un sistema de ecuaciones lineales de acuerdo al vector b
uur
Se clasifica en:
4.1. Sistema de ecuaciones homogéneo.- Es un sistema de ecuaciones que
adopta la forma A× x = 0 .
ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA
180
Ejemplo:
=
×
−
−
000
11558613293
zyx
4.2. Sistema de ecuaciones no homogéneo.- Es un sistema que adopta la forma bxA =× , donde b es un vector no nulo.
Ejemplo:
−=
×
−−
1064
329245131
zyx
5. Métodos de resolución de un sistema de ecuaciones
lineales 5.1. Método de la matriz inversa.- Se podrá utilizar cuando tengamos un
sistema de n ecuaciones con n incógnitas, y se verifique que el ( ) 0≠ADet (las condiciones anteriores implican que nuestro sistema sea compatible).
Esto es:
xA× = b
xAA ××−1 = bA ×−1
xI × = bA ×−1
x = bA ×−1
Esto significa que para poder hallar el vector columna de variables debemos hallar la inversa de A ( 1−A ) y después debe ser postmultiplicada por el vector columna de términos independientes b .
Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de la matriz inversa.
6323
1234242
4321
4321
4321
4321
=−+−−=+−+
=+++=+++
xxxxxxxxxxxxxxxx
Solución:
Dando forma matricial:
−=
×
−−−
62
124
1311111313421211
4
3
2
1
xxxx
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
181
Hallando la inversa de A:
−−−
−−−−
=−
31031181810414851613183163165081
1A
Efectuando 1−A × b :
−
=
−×
−−−
−−−−
=×−
2220
62
124
3103118181041
4851613183163165081
1 bA
De lo que se concluye:
−
=
2220
4
3
2
1
xxxx
5.2. Método de Cramer.- Se podrá utilizar cuando se pueda reducir nuestro
sistema a n ecuaciones con n incógnitas, y se verifique que el ( ) 0≠ADet , (las condiciones anteriores implican que nuestro sistema sea compatible).
Procedimiento:
1º. Hallar el determinante de A: ( )ADet .
2º. Definir la variable a la cual deseamos encontrar su solución.
3º. Crear una matriz, a partir de la matriz A, cambiando la columna de constantes que afecta la variable a determinar, por la columna de los términos independientes.
4º. Hallar el determinante de esa matriz modificada.
5º. Dividir el determinante de la matriz modificada entre el determinante de la matriz A.
nnnnnnn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxabxaxaxaxa
=++++
=++++=++++
L
MMMMOMMMMMM
L
L
332211
22323222121
11313212111
Dando forma matricial:
nnnnn
n
n
aaaa
aaaaaaaa
L
MOMMM
L
K
321
2232221
1131211
×
nx
xx
M2
1
=
nb
bb
M2
1
ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA
182
A× x = b
Para hallar las variables efectuamos el método de Cramer:
nnnn
n
n
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
aab
aabaab
x
L
MOMM
L
L
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
2
2222
1121
1 = ,
nnnn
n
n
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
aba
abaaba
x
L
MOMM
L
L
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
1
2221
1111
2 = , …
nnnn
n
n
nnnn
aaa
aaaaaa
baa
baabaa
x
L
MOMM
L
L
L
MOMM
L
L
21
22221
11211
21
22221
11211
=
Ejemplo: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones por el método de Cramer.
6323
1234242
4321
4321
4321
4321
=−+−−=+−+
=+++=+++
xxxxxxxxxxxxxxxx
Solución:
Dando forma matricial:
−=
×
−−−
62
124
1311111313421211
4
3
2
1
xxxx
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
183
Resolviendo por Cramer:
0480
131111131342121113161112134121214
1 ==
−−−
−−−−
=x 24896
131111131342121113611123131221241
2 ==
−−−
−−−
=x
24896
131111131342121116111213112421411
3 ==
−−−
−−−
=x 24896
131111131342121163112113
123424211
4 −=−
=
−−−
−−−
=x
5.3. Método de eliminación de Gauss–Jordan.- Es usado para cualquier tipo de
sistema de ecuaciones lineales.
Este método puede indicarnos que tipo de solución da nuestro sistema de ecuaciones lineal.
Para entender este método debemos dar alguna idea de transformaciones elementales.
Operaciones o transformaciones elementales
Trabajaremos con filas (también se puede trabajar con columnas).
Si se tiene una matriz y se le aplica una operación elemental, aquella matriz resultante toma el nombre de matriz elemental.
Tenemos tres operaciones elementales:
Tipo I: Intercambian filas (o columnas): F i j ≡ F i ↔ F j C i j ≡ C i ↔ C j
Tipo II: Multiplicar una fila (o columna) por un número distinto de cero: )(ti
F ≡ t F i )(tiC ≡ t C i
Tipo III: Sumar a una fila (o columna) un múltiplo de otra fila (o columna): )(tij
F ≡ F i + t F j )(tijC ≡ C i +t C j
Capítulo IV
Autovalores y Autovectores
En una zona geográfica que contiene varias ciudades se venden dos marcas diferentes,
A y B, de leche esterilizada. Las estadísticas de los estudios de mercado realizados en
los últimos meses nos indica la proporción de personas que cambia de marca de leche
cada mes. Este cambio está motivado por diferentes razones como el precio, la
propaganda, etc. Para ello se sabe que la proporción de clientes de la marca A que sigue
comprando mensualmente la misma marca es 108 . Por otra parte la proporción de
clientes que se mantiene con la marca B es 107 . Si se sabe que en un inicio ambas
marcas se dividían el mercado en forma equitativa. A lo largo del tiempo, ¿Cómo serán
las proporciones para cada marca? (Suponer que la suma de los clientes de ambas
marcas se mantienen constantes a lo largo del tiempo).
TEMARIO 1. INTRODUCCIÓN
2. AUTOVALORES Y AUTOVECTORES 3. MATRICES SEMEJANTES 4. DIAGONALIZACIÓN 5. MATRICES SIMÉTRICAS Y DIAGONALIZACIÓN
ORTOGONAL
1. Introducción Los autovalores y autovectores son herramientas invaluables en el estudio de sistemas de ecuaciones lineales y no lineales; también juegan un papel importante en muchos aspectos de la Teoría Económica. Ellos son los componentes de soluciones explícitas de modelos dinámicos lineales. Además, los signos de los autovalores determinan la estabilidad para el equilibrio de modelos dinámicos no lineales. Consecuentemente, ellos juegan un rol central en las condiciones de segundo orden, que distinguen un máximo de un mínimo en la optimización de problemas económicos. También nos sirven para resolver sistemas de ecuaciones diferenciales y para resolver procesos de Markov.
2. Autovalores y autovectores El autovalor llamado también raíz característica, valor propio, valor característico, valor invariante, valor latente, eingenvalor (eingen = propio, es una palabra alemana), etc. Se representará por λ (lambda).
El autovector llamado también vector característico, vector propio, vector invariante, vector latente, eingenvector, etc. Lo representaremos con c .
Veamos un ejemplo que nos permita entender su uso:
Ejemplo:
Suponer un proceso lineal dependiente, en el que el valor de un instante está en función del instante anterior.
t1
12
68yxyyxx
tt
ttt−−=+−=
+
+
Dando forma matricial:
tt
t
t
t
t
zAz
y
x
y
x
×=
×
−−
−=
+
+
+
1
1
11268
Si consideramos t = 0 como el instante inicial, entonces tenemos:
[ ][ ]
[ ] 001
1
03
02
323
02
0212
01
zAzAAzzAz
zAzAAzzAz
zAzAAzzAz
zAz
ttttt ×=××=→×=
×=××=→×=
×=××=→×=
×=
−−
M
Si conocemos 0z , se puede calcular el proceso en cualquier instante de acuerdo a
la siguiente ecuación:
0zAz tt ×= (I)
Observando la expresión anterior nos damos cuenta que el cálculo más complicado es hallar tA , conforme t sea más grande más laborioso resultará su cálculo. Para evitar este engorroso trabajo, consideremos una matriz C.
=
1223
C
Que es invertible:
−
−=−
32211 C
Se verifica que:
−
−=
×
−−
−×
−
−=××−
5004
1223
1268
32211 CA C
Observamos que se forma una matriz diagonal:
DCA C =××−1
Podemos hallar A:
1
11
1
−
−−
−
××=
××=××
×=×××
CDCA
CDCCC A
DCCACC
Si deseamos hallar tA :
( ) ( ) ( ) ( )444444444 3444444444 21
L
vecest
tt CDCCDCCDCCDCA 1111 −−−− ×××××××××=××=
Reagrupando obtenemos:
( ) ( ) ( )1
1111
−
−−−−
××=
×××××××××××××=
CDCA
CDCCDDCCDCCDC Att
t L
Si reemplazamos en la ecuación (I) tenemos:
01 zCDCz t
t ×××= −
Ahora nosotros debemos hallar tD :
( )( )
4 04 00 5 0 5
ttt
tD
−− = = − −
Recordar, que si tenemos una matriz diagonal y nos piden dicha matriz elevada a la potencia t entonces podemos encontrarla de forma rápida de la siguiente manera:
( )( )
( )
=
=
tnn
t
tt
nn
t
d
d
d
d
dd
D
L
MOMMM
L
L
L
MOMMM
L
L
000
000
000
000
000000
22
11
12
11
Esta simplificación sugiere estudiar lo siguiente: si dada una matriz cuadrada A, se puede encontrar una matriz invertible C, tal que CAC ××−1 sea una matriz diagonal.
Veremos algunas características de esta matriz C:
El producto de A por cada uno de los vectores columna de C tiene como resultado:
−=
−
−=
×
−−
−23
48
1223
1268
−=
−
−=
×
−−
−12
55
1012
1268
Observamos que –4 y –5 son los elementos de esa matriz diagonal D y nos damos cuenta como están relacionados con las columnas de la matriz C. Si denotamos como λ1 y λ2 los elementos de la diagonal D y por 1c y 2c las dos columnas de la matriz C, entonces se cumple que:
111 cλcA =×
222 cλc A =×
O equivalentemente:
DccccA ×
=
× 2121
Es decir: DCC A ×=×
Los vectores 1c y 2c se llaman vectores propios de A, mientras que los escalares
λ1 y λ2 se llaman autovalores.
En este capítulo nos dedicaremos al estudio de los valores y vectores propios de matrices cuadradas reales, por lo tanto a la diagonalización de estas matrices.
Por lo mostrado anteriormente, un conjunto útil de resultados para analizar una matriz A, surge de las soluciones al conjunto de ecuaciones:
cλcA =×
Donde c es un vector no nulo, las soluciones de la anterior ecuación matricial son
los vectores característicos c y las raíces características λ.
=
×
nnnnnnn
n
n
n
c
ccc
c
ccc
aaaa
aaaaaaaaaaaa
MM
L
MOMMM
L
L
L
3
2
1
3
2
1
321
3333231
2232221
1131211
λ
nnnnnn
n
n
λcacacaca
λcacacacaλcacacaca
=++++
=++++=++++
L
MM
L
L
332211
22323222121
11313212111
Observamos que tenemos n ecuaciones y 1+n incógnitas ( )λ,,,, 21 nccc L .
Para eliminar la indeterminación, en algunos casos se normaliza c de modo que:
1
122
322
21 =++++
=×
n
t
c c c c
cc
L
La solución está constituidapor λ y las ( )1−n incógnitas de c .
Ecuación característica:
( ) 0
0
ticacaracterís matriz
=×−
=×−×
×=×
=×
cIA
cλIcA
cλIcA
cλc A
43421 λ
Aquí tenemos un sistema homogéneo donde deseamos un vector c no nulo. Por lo tanto, la solución de este sistema va ser compatible indeterminada y debe cumplir:
( ) 0=−=− λIAIADet λ
La expresión anterior toma el nombre de ecuación característica, la cual forma un polinomio en λ de grado n que depende del orden de la matriz cuadrada A. Este polinomio (polinomio característico) puede dar como respuesta valores complejos conjugados, valores reales distintos, valores repetidos e incluso 0. A estos valores se les conoce como autovalores.
Multiplicidad algebraica.- Es el número de veces que aparece el autovalor como raíz del polinomio característico.
Una definición que se deriva de lo visto anteriormente es el autovalor de A, que es un número λ tal que cuando lo sustraemos de cada elemento de la diagonal principal convierte a la matriz A en una matriz singular.
Propiedades de los autovalores con respecto a algunas matrices:
• Si la matriz cuadrada es simétrica, siempre los autovalores λ van a ser valores reales (distintos, valores repetidos e incluso 0).
• Si tenemos una matriz diagonal A, entonces sus autovalores son los elementos de la diagonal.
8
58005
2
1−=
=
−
=
λ
λ
A
• Si tenemos una matriz triangular (ya sea superior o inferior), entonces sus autovalores son los elementos de la diagonal.
2.algebraicadadmultiplicicon1
5180012005
32
1−==
=
−−=
λ λ
λ
A
• Si A es una matriz cuadrada entonces se cumple:
a) A y tA tienen los mismos valores propios con las mismas multiplicidades algebraicas.
b) Si λ es un autovalor de A y k ≥ 1, entonces kλ es un valor propio de kA .
• Sea A una matriz cuadrada de orden n con autovalores: nλλλλ ,,,, 321 L
entonces se cumple:
a) Traza (A) = nλλλ λ ++++ L321 .
b) ( )ADet = A = nλλλλ ⋅⋅⋅⋅ L321 .
• Si tenemos tres matrices A, B y C no singulares entonces:
( ) ( )ARangoCBARango =××
• El rango de una matriz simétrica es el número de raíces características distintas de cero que contiene.
• El rango de una matriz A es igual al número de raíces características distintas de cero en ( )AAt × .
• Las raíces características no nulas de tAA× son las mismas que AAt × .
• Si A−1 existe, las raíces características de A−1 son las recíprocas de A, y los vectores característicos son los mismos.
Ejemplo: Hallar los autovalores de las siguientes matrices:
1.
=
4215
A
Solución:
−
−=
−
=−
λλ
λλIA44
151001
4215
( )( ) ( )( )
( )( )36
036λ0189
01245
21
2
===−−==+−=
=−−−=−
λ y λ λ λλλ P
λλλIA
2.
−=
101110002
A
Solución:
101
110002
100010001
101110002
−−
−−=
−
−=−
λλ
λλIA λ
( )( )2. algebraica admutiplicidcon 1y 2
012
321
2
==−=
=−+−=−
λλλλλλIA
3.
−
=4215
A
Solución:
−−
−=
−
−
=−λ
λλλ
4215
1001
4215
IA
( )( ) ( )
279
y 2
79
0229)(
01245
21
2
ii
P
IA
−=
+=
=+−=
=+−−=−
λλ
λλλ
λλλ
Nota: En este caso, los autovalores no son reales. Algunos libros imponen que los autovalores sean reales, pero con ello limitan la utilidad de los autovalores y autovectores.
Por simplicidad, nosotros trabajaremos con autovalores reales.
4.
=
2002
A
Solución:
−
−=
−
=−
λλ
λλ20
021001
2002
IA
2. algebraica dadmultiplicicon 2 044)(
0)(2
21
2
2
===+−=
=−=−
λλλλλ
λλ
P
IA
5.
=
4221
A
Solución:
−
−=
−
=−
λλ
λλ42
211001
4221
IA
( )( )
0y 5 05)(
0441
21
2
===−=
=−−−=−
λλλλλ
λλλ
P
IA
Autovectores (o vectores característicos):
Conociendo λ, los vectores característicos se hallan resolviendo:
( ) 0=×−
=×
cλIA
cλcA
Ejemplo: Hallar los autovectores para los ejercicios anteriores:
1. 364215
21 ==
= λ y λA .
Solución: :6λPara 1 =
( ) 0 1 =×− cIλA
=
×
−
00
1001
64215
2
1c
c
=
×
−
−
=
×
−
−
=
00
2211
00
642165
2
1
1
2
1
c
c
c
c
Rango43421
Como el rango es 1 significa que existe una ecuación linealmente independiente.
.soluciones infinitas tiene022 2121 cccc =→=−
{ }011
:es autovector El 112
1 −∈
=
Rccc
c
Puede ser:
etc.,,5151
22
11
1 K
=
.
.,,c
Pero si normalizamos 1c , es decir 111 =× cct
la respuesta es:
[ ]
1
1
22
21
2
121
=+
=
×
c c
c
c cc
: tantolopor que sabemos Si 21 cc =
−−
=
±==
2121o
2121
21
1
21
c
cc
:3Para 2 =λ
=
×
=
×
−
−
=
00
1212
00
342135
2
1
1
2
1
c
c
c
c
Rango321
Como el rango es 1 significa que existe una ecuación linealmente independiente.
1221 2 02 c ccc −=→=+ :ser Puede
etc.,,42
21
21
2 K
−
−
−
= ,,
c
:es respuesta la entonces,1decir es , osnormalizam si Pero 222 =× ccct
( ) 12
12
12
1
22
21
=−+
=+
cc
cc
14 21
21 =+ cc
−
−=
=±=
52
51o
52/
51/
5
2,
5
1
2
21
/
/c
cc m
2. 12donde,101110002
321 ==−=
−= λ y λ λ A .
Solución:
λ :2 Para 1 −=
( ) 0 1 =×− cIλA
=
×
++
+−
000
210112100022
3
2
1
c
c
c
=
×
=
000
301130000
3
2
1
2c
c
c
Rango43421
Como el rango es 2 significa que existen dos ecuaciones linealmente independientes, en este caso la segunda y tercera ecuación.
adoindetermincompatiblesistemauntenemos331
31
32
−=
−=
cc
cc .
{ }0 donde131
33
3
33
3
3
3
3
2
1
1 −∈
−−
=
−−
=
= Rccc
cc
ccc
c
:ser puede autovector El
etc.,319
,1313
1 K,c
−−
−
−=
,1decir es, vector el osnormalizam si Pero 111 =× cc ct
tenemos que:
123
22
21 =++ ccc
( ) ( )
−
−−
=
±=
=+−+−
913911919
o913911919
913
133
1
3
23
23
23
c
c
ccc
:1Para 32 == λλ
( ) 0 1 =×− cIλA
=
×
−
=
×
−−
−−
=
000
001100003
000
1101
11100012
3
2
1
2
3
2
1
c
c
c
c
c
c
Rango43421
Como el rango es 2 significa que existen dos ecuaciones linealmente independientes, en este caso la primera y la segunda ecuación.
001
003
33
11=→=
=→=−
cc
cc
{ }0 donde010
0
0
222
3
2
1
2 −∈
=
=
= Rcccccc
c
El autovector puede ser:
etc.,,010
,020
,010
2 K
−
=c
,1decires,vectorelosnormalizamsiPero 222 =× ccct
tenemos que:
( ) ( ) ( ) 100
1
222
2
23
22
21
=++
=++
c
ccc
12 ±=c
−
=
010
o010
2c
• El conjunto de autovectores asociado a un autovalor λ junto con el vector nulo, forman un subespacio vectorial de Rn de dimensión n menos el rango de la matriz característica ( IA λ− ). Al espacio propio de un autovalor lo denotaremos como Eλ.
dim(Eλ) = n − Rango( IA λ− )
Al espacio propio de un autovalor también se le conoce como la envolvente de los autovectores linealmente independientes para ese autovalor
( { }kccccEnv ,,,, 321 K ). Asimismo, el espacio propio de un autovalor está
constituido por los autovectores generadores linealmente independientes de
dicho autovalor ( { }kc,,c,c,cGen K321 ).
• Espacio propio es un subespacio de A correspondiente al valor propio λ.
• Vectores propios correspondientes a valores propios distintos son linealmente independientes.
, :si 321 nλλλλ ≠≠≠≠ L entonces:
{ } ,,,,, 4321 nccccc L son linealmente independientes
Ejemplo: Calcular los valores, vectores y espacios propios de la matriz siguiente:
=
2 2 11 3 11 2 2
A
Solución:
2. algebraica dadmultiplicicon 1,50)1)(5()(
0)(
21
2
===−−−=
=−=
λλλλλ
λλ
P
IAP
Para: :51 =λ
=
×
−−
−
=
000
321121123
3
2
1
2c
c
c
Rango44 344 21
Como el rango es 2 significa que existen dos ecuaciones linealmente independientes, en este caso podemos tomar la segunda y tercera ecuación.
231321
2312332123032
202
ccccc c
ccccccc c
−=→=−+
=→−=→=+−
( )21
2121 223
c c
ccc c
=
−−=
321 cc c ==→
{ }0111
11
1
1
1
1 −∈
=
= R cc
c
c
c
c
etc.,,212121
222
111
1 K
=
///
,,c
: donormalizan estamos 1 considera se Si 111 ccct
=×
31
1
1
23
22
21
=
=++
c
cc c
=
3/1
3/1
3/1
1c
: propio espacio El
===
111
)}1,1,1{(5 GenEnvEλ
( ) ( )( ) :
115
IA RangoIARangonEdim
λλλ
−=−−===
321121123
−−
−Rango
3rango tantolopor ,0321121123
2 menos lopor rango 4262123
≠=−
−−
=−=−
−
( ) 2.I =−∴ λARango
:1 Para 2 =λ
=
×
=
000
121121121
3
2
1
1c
c
c
Rango43421
Como el rango es 1 significa que existe una ecuación linealmente independiente, en este caso puede ser cualquiera de ellas.
213
3212
02
ccc
ccc
−−=
=++
Rcccccc
cc
c ∈
−+
−=
−−= 2121
21
2
1
2 y donde ;210
101
2
:propio espacio El )}2,1,0(),1,0,1{(1 −−== EnvEλ
( )3
21
==−−==
nIARangon)Edim( λλ
( ) :IARango λ−
1 es rango el ;121121121
=− IA λ
2)Edim( λ =−== 131 .
:matriz la de propios espaciosy vectores valores,loscalcular :Ejemplo
−−−
−−−=
732198955
A
• Multiplicidad geométrica. Sea λ un valor propio de la matriz A, entonces la multiplicidad geométrica de λ es la dimensión del espacio propio correspondiente a λ. Es decir, la multiplicidad geométrica de λ = dim(Eλ).
• Sea λ un valor propio de A entonces: La multiplicidad geométrica de λ ≤ la multiplicidad algebraica de λ.
• Sea A una matriz nn × , entonces A tiene n vectores propios linealmente independientes si y sólo si la multiplicidad geométrica de cada autovalor es igual a su multiplicidad algebraica. En particular, A tiene n autovectores linealmente independientes, si todos los valores propios son distintos (ya que la multiplicidad algebraica de cada valor propio es 1).
3. Matrices semejantes
Se dice que las matrices cuadradas del mismo orden son semejantes, si existe una matriz invertible C tal que:
CACB
CBCA
××=
××=−
−
1
1
Sean A y B matrices semejantes, entonces A y B tienen el mismo polinomio característico P( λ ) y tienen los mismos autovalores con sus mismas multiplicidades algebraicas.
Propiedades:
• Sean A y B dos matrices semejantes de tamaño nn × , entonces:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )BTrazaA Traza
BRangoARangoBDetADet
===
Nota: Que cumplan estas tres condiciones no necesariamente implica que A y B sean semejantes.
• Si dos matrices son semejantes también lo son las potencias de ambas de igual exponente.
A semejante a B kA semejante a kB
Ejemplo: Comprobar que CACB ××= −1 , es decir A y B son semejantes:
−=
−=
−=
110101020
100120111
200111201
y C, BA
Solución:
Primero debemos comprobar que C es invertible para eso hallamos C :
2−=C
Como C es distinto de cero, podemos decir que es invertible. Por lo tanto, cumple:
−=
−×
−=×
220011240
100120111
110101020
BC
−=
−×
−=×
220011240
110101020
200111201
CA
Si BCCA ×=× entonces A y B son semejantes.
4. Diagonalización Las matrices diagonales tienen la ventaja de que es sencillo trabajar con ellas.
Tenemos las siguientes matrices diagonales:
=
=
kkkk e
ee
, E
d
dd
D
0000
00000000
0000
00000000
22
11
22
11
L
MMOMMM
L
L
L
MMOMMM
L
L
,
de
dede
ED
kkkk
=×
0000
00000000
2222
1111
L
MMOMMM
L
L
=
kkk
k
k
k
d
d
d
D
0000
0000
0000
22
11
L
MMOMMM
L
L
=−
kkd
dd
D
/10000
000/100000/1
22
11
1
L
MMOMMM
L
L
Veamos ahora qué matrices son diagonalizables:
• Una matriz cuadrada A se dice que es diagonalizable cuando existe una matriz diagonal semejante a ella, es decir, si existe una matriz invertible C de tamaño
nn × tal que DCAC =××−1 , entonces se dice que la matriz C diagonaliza a la matriz A.
• Si existe una matriz ortogonal C, tal que el resultado de CAC ××−1 es una matriz diagonal, entonces A es diagonalizable ortogonalmente y se dice que C diagonaliza ortogonalmente a A.
• Una matriz A de orden nn × es diagonalizable si y sólo si se tienen n vectores propios linealmente independientes. En tal caso, la matriz diagonal D semejante a A esta dada por:
=
k
D
λ
λλ
L
MOMMM
L
L
000
000000
2
1
donde 1λ , 2λ , ... nλ son los autovalores de A, y C es una matriz cuyas columnas
son los autovectores linealmente independientes de A.
CACD ××= −1
• Cuando A es diagonalizable, entonces el conjunto de los n vectores propios es una base de R n .
• Una matriz A de orden n es diagonalizable si y sólo si, la suma de las dimensiones de los espacios propios es n.
• Una matriz A de tamaño nn × es diagonalizable si y sólo si, se verifican las dos condiciones siguientes:
Capítulo V
Formas Cuadráticas
La empresa Reyes−Neyra S.A fabrica tres productos en cantidades 1x , 2x y 3x ; donde
la función de beneficios es:
313223
22
21321 6210),,( xxxxxxxxxx −−++=π .
a. ¿Existen niveles de producción que puedan generar pérdida?
b. ¿Cómo serán los beneficios si las cantidades que se producen del primer y del
segundo producto son el doble y el triple respectivamente, de la cantidad que
produce el tercero?
TEMARIO 1. INTRODUCCIÓN 2. FORMAS CUADRÁTICAS 3. CLASIFICACIÓN DE LAS FORMAS CUADRÁTICAS 4. MÉTODO DE ESTUDIO DEL SIGNO DE LA FORMA
CUADRÁTICA 5. FORMAS CUADRÁTICAS REALES CON RESTRICCIONES
ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA
320
1. Introducción Este tipo de análisis tiene gran interés en varios ámbitos (Análisis matemático, Estadística, etc.). Es el punto de partida para el estudio de problemas de optimización.
Las formas cuadráticas desarrollan una excelente introducción al vocabulario y técnicas de problemas de optimización. Además, las condiciones de segundo orden (necesarias y/o suficientes) que distinguen un máximo de un mínimo en optimización de problemas económicos, son expresadas en términos de formas cuadráticas. Finalmente, un gran número de problemas de optimización tiene una función objetivo cuadrática, por ejemplo: en finanzas se resuelven problemas de minimización del riesgo de no recuperar una determinada inversión, donde el riesgo es medido por la varianza de retornos de las inversiones.
Por otro lado, al buscar los máximos y mínimos relativos de una función de n variables surgen formas cuadráticas cuyo signo es preciso conocer.
2. Formas cuadráticas Las formas cuadráticas son las funciones más simples después de las lineales.
Las formas cuadráticas tienen matrices representativas, así el estudio de propiedades de una forma cuadrática se reduce al estudio de propiedades de una matriz simétrica.
Como las formas cuadráticas están relacionadas con las matrices simétricas, daremos un breve repaso de conceptos vistos anteriormente.
Una matriz simétrica A cumple: tA A= .
Una matriz simétrica A es diagonalizable de la forma:
CACD t ××= o tCDCA ××=
Donde se cumplen los siguientes conceptos:
A es semejante a D.
D es una matriz diagonal con los autovalores de A.
C es una matriz invertible y en este caso ortogonal, donde sus columnas son los autovalores ortonormales correspondiente a los autovalores de A.
Observemos algunos ejemplos de formas cuadráticas:
( ) 2bxxQ =
( ) 22222112
211121 xaxxaxax,xQ ++=
( ) 23333223
222231132112
2111321 ,, xaxxaxaxxaxxaxaxxxQ +++++=
Concluimos: − ¿Qué tipo de expresiones tenemos?
Un polinomio homogéneo de grado 2.
FORMAS CUADRÁTICAS
321
− ¿Qué tipo de entrada tiene esta expresión? Un vector.
− ¿Qué resultado nos da este tipo de expresiones? Un valor real.
− ¿Cómo generalizamos esta expresión para un vector de entrada de dimensión n?
( ) ∑∑= ≥
=n
i
n
ijjiijn xxaxxxQ
121 ,,, L
∑∑= ≥
=
n
i
n
ijjiij xxaxQ
1
Por tanto, podemos definir una forma cuadrática ( )xQ , como toda aplicación
(función) de nR en R tal que a cada vector x ∈ nR le hace corresponder el valor numérico dado por el polinomio cuadrático (cada uno de sus términos es de segundo grado).
Las formas cuadráticas también tienen una representación matricial.
[ ]nxxxx L321 ×
×
nnnnnn
n
n
n
x
x
x
x
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
M
L
MMMMM
L
L
L
3
2
1
321
3333231
2232221
1131211
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
21
donde: jiij aa = .
Compactando tenemos: xAxQt
××= donde A es una matriz simétrica.
Ejemplos:
1. Exprese en forma matricial las siguientes formas cuadráticas:
a) ( ) 22222112
211121 xaxxaxax,xQ ++= .
b) ( ) 3223311321122333
2222
2111321 xxaxxaxxaxaxaxax,x,xQ +++++= .
c) ( ) 323122
21321 232 xxxxxxx,x,xQ −+−= .
ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA
322
d) 2122
21 42 xxxxxQ +−=
.
e) 2332
2221
21 232 xxxxxxxxQ −−−+−=
.
f) 2332
223121 22 xxxxxxxxxQ −−+++−=
.
Solución:
a) [ ]21 xx ×
2212
1211
21
21
aa
aa×
2
1xx
b) [ ]321 xxx ×
332313
2322
12
131211
22
22
22
aaa
aaa
aaa
×
3
2
1
xxx
c) [ ]321 xxx ×
−−−
01231202301
×
3
2
1
xxx
2. Exprese en forma polinómica las siguientes formas cuadráticas:
a) [ ]321 xxxxQ =
×
−−−−
−
110131011
×
3
2
1
xxx
b) [ ]321 xxxxQ =
×
−−−−
−
12112111110
×
3
2
1
xxx
c) [ ]321 xxxxQ =
×
−−1111
112125
×
3
2
1
xxx
d) [ ]321 xxxxQ =
×
301001111
×
3
2
1
xxx
Solución:
a) 2332
2221
21 232 xxxxxxxxQ −−−+−=
FORMAS CUADRÁTICAS
323
b) 2332
223121 22 xxxxxxxxxQ −−++−=
c) 2332
223121
21 112245 xxxxxxxxxxQ +−+++=
d) 233121
21 322 xxxxxxxQ +++=
3. Clasificación de las formas cuadráticas
Existen 5 Formas Cuadráticas:
3.1. Definida positiva (DP).- Si todo vector no nulo le asigna un valor positivo a
la forma cuadrática. 0>
xQ ó 0>×× xAx
t, ∀ 0≠x en nR .
Ejemplo: .22
21 xxxQ +=
3x
1x
2x
3.2. Definida negativa (DN).- Si todo vector no nulo le asigna un valor negativo
a la forma cuadrática. 0<
xQ ó 0<×× xAx
t, ∀ 0≠x en nR .
Ejemplo: .22
21 xxxQ −−=
3x
1x
2x
ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA
324
3.3. Semidefinida positiva (SDP).- Si asigna valor positivo para unos vectores y
nulos para los demás. Llamada también definida no negativa. 0≥
xQ ó
0≥×× xAxt
, ∀ 0≠x en nR .
Ejemplo: 2221
21 2 xxxxxQ ++=
. Se observa que para todos los vectores
que se encuentran sobre el eje 1x 0=
xQ y para cualquier otro vector que
no pertenece al eje 1x se verifica que 0>
xQ .
2x
3x
1x
3.4. Semidefinida negativa (SDN).- Si asigna valor negativo para unos vectores
y nulos para los demás. Llamada definida no positiva. 0≤
xQ ó
0≤×× xAxt
, ∀ 0≠x en nR .
Ejemplo: 2221
21 2 xxxxxQ −−−=
. Se observa que para todos los vectores
que se encuentran sobre el eje 1x 0=
xQ y para cualquier otro vector que
no pertenece al eje 1x se verifica que 0<
xQ .
1x
3x
2x
FORMAS CUADRÁTICAS
325
3.5. Indefinida o no definida.- Si hay unos vectores a los que se les asigna valor
positivo, y a otros negativo. 0>
xQ para unos x y 0<
xQ para otros
x .
0>×× xAxt
para algunos x en nR y 0<×× xAxt
para algunos x
en nR .
Ejemplo: 22
21 xxxQ −=
. Se observa que para todos los vectores de la
forma ( )0,1xx = ⇒ ( )00 121 ≠>=
xxxQ (Curva AB), mientras que
para vectores de la forma ( )2,0 xx = ⇒ ( )00 222 ≠<−=
xxxQ (Curva
CD).
1x
2x
3x
Dado que es la matriz simétrica A la que determina la forma cuadrática. Averiguar a cuál de los 5 tipos pertenece, es lo que se conoce como estudio del signo de la matriz simétrica A o de la forma cuadrática de la matriz A.
4. Método de estudio del signo de la forma cuadrática
Existen dos métodos para el estudio del signo de la forma cuadrática: 4.1. Método de los autovalores.-
Si: xAxxQt
××=
Como A es una matriz simétrica entonces tCDCA ××= , por lo tanto:
xCDCxxQ tt××××=
Si reemplazamos xCy t ×= tenemos que:
ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA
328
[ ]321 xxxxQ =
×
−−
−
110121011
×
3
2
1
xxx
Solución:
−−
−=
110121011
A
( ) ( ) 0110121011
=−−
−−−−
=−=λ
λλ
λλ IADetP
( ) ( )( ) 031 =++−= λλλλP 0=λ 1−=λ 3−=λ
Por lo tanto, la forma cuadrática es semidefinida negativa.
Nota: Este método es conveniente siempre y cuando sea fácil hallar los autovalores. Cuando es difícil, se calcula por métodos iterativos que no se van a desarrollar en el presente libro.
4.2. Método de los menores principales dominantes.-
Primero debemos saber algunas definiciones para entender este método.
Menores principales de una matriz: Sea A una matriz de n×n. Una submatriz k×k de A formada eliminando (n − k) columnas y las mismas (n − k) filas de A es llamada submatriz principal de A de orden k. Al determinante de la submatriz principal de k×k se le denomina menor principal de A de orden k.
Ejemplo: Hallar los menores principales de la siguiente matriz:
=
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
A
Solución:
Menor principal de orden 3 =
333231
232221
131211
aaaaaaaaa
Menores principales de orden 2 = 2221
1211aaaa
, 3331
1311aaaa
, 3332
2322aaaa
Menores principales de orden 1 = 11a , 22a , 33a
Nota: Una matriz de orden nn× tiene 12 −n submatrices principales.
Capítulo VI
Optimización Clásica
Una fábrica produce un único bien a partir de tres factores, según una función de
producción dada, siendo fijos tanto el precio de venta del producto, como los precios de
compra de los factores de producción (inputs). El beneficio obtenido por dicha empresa
es:
( ) 1021
,, 23 ++−= zyxzyxπ millones de dólares.
Donde x, y y z representan el número de toneladas de las tres materias primas utilizadas
en el proceso de producción. La empresa tiene un contrato con un proveedor que le
obliga a consumir exactamente 2 toneladas al mes de la primera materia prima y, que
las cantidades consumidas de las otras dos sean iguales.
Se pide:
Teniendo en cuenta las condiciones del contrato que ha firmado con el proveedor,
calcular las cantidades de materias primas que debe comprar la empresa para
maximizar los beneficios.
TEMARIO 1. INTRODUCCIÓN
2. CONCEPTOS BÁSICOS 3. OPTIMIZACIÓN LIBRE 4. OPTIMIZACIÓN RESTRINGIDA
ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA
350
1. Introducción Optimización es cualquier proceso genérico mediante el cual se obtiene la mejor solución a un problema dado.
El problema de optimización más antiguo conocido, data del siglo V a.C., consiste en encontrar entre todas las curvas planas cerradas del mismo perímetro aquella, que abarca mayor superficie. La optimización clásica aparece ante el nacimiento del cálculo diferencial en el siglo XVII.
En la actualidad la optimización matemática se encuadra en el área que se denomina Investigación Operativa.
La optimización juega un papel importante en la teoría económica, ya que los problemas más interesantes de optimización económica son aquellos en los que hay más de una variable de decisión.
Ejemplo:
• Una empresa que trabaje con varios productos, donde las decisiones para obtener un beneficio máximo, consiste en la elección de niveles óptimos de producción de diversos bienes y en la combinación óptima de varios insumos diferentes.
La optimización matemática la podemos clasificar de la siguiente manera:
Cálculo de variaciones
Programación dinámica
Programación lineal
Programación Vectorial o multiobjetivo
Programación escalar
Teoría de juegos estáticos
Programación matemática
Optimización dinámica
Optimización estática
Programación no lineal
Optimización clásica
Optimización libre
Optimización restringida
Teoría del control o control óptimo
CLASIFICACIÓN DE LA OPTIMIZACIÓN MATEMÁTICA
OPTIMIZACIÓN CLÁSICA
351
Hablaremos en forma sucinta de que trata cada una de ellas:
Optimización estática: analiza modelos en un instante de tiempo dado.
Optimización dinámica: estudia sistemas que evolucionan en el tiempo (sistemas dinámicos). Esta técnica trabaja con variables de decisión que dependen del tiempo.
Optimización escalar: se distingue porque presenta un único objetivo.
Optimización vectorial o multiobjetivo: aquella que presenta más de un objetivo. Por ejemplo maximizar el beneficio y minimizar el número de horas trabajadas.
Teoría de juegos: estudia situaciones de conflicto y cooperación (juegos), en las que interactúan individuos racionales que buscan obtener el mejor resultado posible (maximizar su utilidad), teniendo en cuenta que el resultado del juego depende de sus acciones y de las acciones del resto de jugadores.
Programación lineal: consiste en optimizar una función objetivo lineal con una serie de restricciones de desigualdad, también lineales.
Programación no lineal: cuando la función objetivo y/o las restricciones de desigualdad son no lineales.
Optimización clásica: aparece cuando la función objetivo es suficientemente diferenciable y continua.
Optimización libre: sólo presenta la función objetivo sin restricciones.
Optimización restringida: presenta la función objetivo y una serie de restricciones de igualdad.
En este libro, sólo se estudiará laoptimización libre y la optimización con restricciones de igualdad, ya que los otros temas de la optimización exceden los objetivos del presente material.
Para nuestro estudio, supondremos que nuestra función objetivo presenta derivadas parciales continuas de cualquier orden; con la finalidad de asegurarnos la continuidad y la diferenciabilidad de la función objetivo y de sus derivadas parciales.
En la formulación de un problema de optimización, primero debe definirse el conjunto de variables independientes (variables de decisión) que intervendrán en la función objetivo (función a optimizar) y luego las restricciones que se presentarán en el problema.
2. Conceptos básicos 2.1. Vector gradiente.- Si una función real RRf n →: admite derivadas
parciales en un punto ( )naaaaa ,...,,, 321= , lleva asociado un vector
( )af∇ que se denomina gradiente de f en a :
ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA
352
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=∇nxaf
xaf
xaf
xafaf ,,,,
321L
( )
( )
( )
( )
∂∂
∂∂
∂∂
=∇
nxaf
xaf
xaf
af
M2
1
2.2. Matriz jacobiana (Jacobiano).- Si una función vectorial mn RRf →:
admite derivadas parciales en un punto a , lleva asociada una matriz
( )afJ de orden mxn que se denomina Jacobiano de f en a .
Una función vectorial es mm Rxfxfxfxf ∈
=
,,, 21 L ,
donde ( ) nn Rxxxx ∈= ,,, 21 L . En particular:
mm Rafafafaf ∈
=
,,, 21 L
nmm
n
mm
n
n
af
af
af
x
af
x
af
x
af
x
af
x
af
x
af
afJx
af
×
∇
∇
∇
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=
=
∂
∂
M
LL
MM
LL
KL
2
1
1
2
1
2
1
1
1
Teorema: Si el determinante del Jacobiano es distinto de 0, las componentes de la función vectorial son funcionalmente independientes, eso quiere decir que ninguna de las funciones puede ser obtenida mediante combinación de las otras.
Ejemplo: Sea la función 22: RRf → , dada por:
( ) ( ) ( ) ( )
===4847648476 21
2122112121,,,,,
yy
xxfxxfyyxxGf
( ) 212111 35, xxxxfy +==
OPTIMIZACIÓN CLÁSICA
353
( ) 2221
212122 93025, xxxxxxfy ++==
Demostrar si las componentes de la función vectorial son funcionalmente independientes.
Solución:
( )( ) ( )
( ) ( )
++
=
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
=2121
2
2
1
2
2
1
1
1
1830305035
xxxx
x
xf
x
xf
xxf
xxf
xfJ
( ) ( ) ( ) 03050318305 2121 =+−+= xxxxxfJ
Esto quiere decir, que ambas componentes son funcionalmente dependientes, esto se ve si se reescribe la segunda componente como sigue:
( )1211 35 xxy +=
( ) ( )121
2212 35 yFyxxy ==+=
Es importante resaltar que muchas veces esto no se ve por simple inspección.
2.3. Matriz hessiana.- Si una función real RRf n →: admite derivadas
parciales segundas en un punto a , entonces lleva asociada una matriz de
orden nn× denominada Hessiana de f en a y se halla de la siguiente manera:
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
∂
∂∂∂
∂∂∂
∂
∂∂∂
∂
∂∂∂
∂
∂∂∂
∂∂∂
∂
∂
=
2
2
2
2
1
2
2
2
22
2
12
21
2
21
2
21
2
nnn
n
n
xaf
xxaf
xxaf
xxaf
xaf
xxaf
xxaf
xxaf
xaf
afH
L
MOMM
L
L
2.4. Definiciones de máximos y mínimos.- Para una función Real RRf n →:
se cumple que:
a) Un punto nRx ∈0 es un máximo global de la función f si
( ) ( )xfxf ≥0 nRx ∈∀ .
ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA
354
b) Un punto nRx ∈0 es un máximo global estricto (o único) de la función f
si ( ) ( )xfxf >0 nRx ∈∀ 0xx ≠∧ .
c) Un punto nRx ∈0 es un máximo relativo (o local) de la función f si hay
una región cerca de 0x tal que
≥
xfxf 0 x∀ que pertenezca a
dicha región.
d) Un punto nRx ∈0 es un máximo relativo estricto (o local único) de la
función f si hay una región cerca de 0x tal que ( ) ( )xfxf >0 x∀
que pertenezca a dicha región y 0xx ≠ .
Lo mismo ocurre con los puntos mínimos sólo que ahora se invierte el sentido de los signos de desigualdad.
Ejercicios Compruebe los siguientes resultados:
1. )12,12()0,1( −+=∇ baf , siendo 12),( 22 +−+−+= yxybxyaxyxf .
2. )1,7,2()1,1,1( −−=∇f , siendo 3212
213
1321 32),,( xxxxxxxxxf −−= .
3.
=
2212
)1,1(fJ , siendo ),(),( 22
212
2121 xxxxxxf += .
4.
−=
010100
)1,0(fJ , siendo
−+= 21
21
22
2121 ,),2(),( xx
xx
xxxxxf .
5.
=
121281266862
)1,1,1(Hf , siendo 43
32
21321 ),,( xxxxxxf = .
6.
=
013127378
)1,1,1(Hf , siendo 32132
12
23
1321 ),,( xxxxxxxxxxf ++= .
Solución:
1. )12,12()0,1( −+=∇ baf , siendo 12),( 22 +−+−+= yxybxyaxyxf .
OPTIMIZACIÓN CLÁSICA
355
122
122
−−=∂∂
++=∂∂
ybxyf
byaxxf
)1)0(2)1(2,1)0(2)1(2()0,1( −−++=∇ bbaf )12,12()0,1( −+=∇ baf l.q.q.d
2. )1,7,2()1,1,1( −−=∇f , siendo 321221
31321 32),,( xxxxxxxxxf −−= .
31122
3222
21
1
6
36
xxxxxf
xxxxxf
−−=∂∂
−−=∂∂
213
xxxf
−=∂∂
))1(1),1(1)1)(1(6),1(1)1(3)1(6()1,1,1( 22 −−−−−=∇f )1,7,2()1,1,1( −−=∇f l.q.q.d
3.
=
2212
)1,1(fJ , siendo ),(),( 22
212
2121 xxxxxxf += .
211
1 2 xxx
f=
∂
∂ 2
12
1 xx
f=
∂
∂
11
2 2xx
f=
∂
∂ 22
2 2xx
f=
∂
∂
=
=
2212
)1(2)1(2)1()1)(1(2)1,1(2
fJ l.q.q.d
4.
−=
010100
)1,0(fJ , siendo
−+= 21
21
22
2121 ,),2(),( xx
xx
xxxxxf .
)2(2 211
1 xxx
f+=
∂
∂ ( )221
2
1
2xx
x
x
f
−
−=
∂
∂ 21
3 xx
f=
∂
∂
21
2
1 xx
f=
∂
∂ ( )221
1
2
2xx
x
x
f
−=
∂
∂ 1
2
3 xx
f=
∂
∂
−=
−−
−+
=010100
01)10(
0
)10(
10)12)(0(2
)1,0(22
2
fJ l.q.q.d
ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA
356
5.
=
121281266862
)1,1,1(Hf , siendo 43
32
21321 ),,( xxxxxxf = .
43
321
12 xxx
xf=
∂∂ 4
322
21
23 xxx
xf=
∂∂ 3
332
21
34 xxx
xf=
∂∂
( )33
32
21
43
22
21
43
321321 4,3,2),,( xxxxxxxxxxxxf =∇
43
322
1
22 xx
x
f=
∂
∂ 4
3221
12
26 xxx
xxf
=∂∂
∂ 33
321
13
28 xxx
xxf
=∂∂
∂
43
221
21
26 xxx
xxf
=∂∂
∂ 4
32212
2
26 xxx
x
f=
∂
∂ 3
322
21
23
212 xxx
xxf
=∂∂
∂
33
321
31
28 xxx
xxf
=∂∂
∂ 33
22
21
32
212 xxx
xxf
=∂∂
∂ 23
32
212
3
212 xxx
x
f=
∂
∂
( )
=
=121281266862
1)1()1(12)1()1()1(12)1()1)(1(8)1()1()1(12)1()1)(1(6)1()1)(1(6)1()1)(1(8)1)(1()1(6)1()1(2
)1,1,1(23232233
3224242
334243
Hf l.q.q.d
6.
=
013127378
)1,1,1(Hf , siendo ( ) 321321
22
31321 ,, xxxxxxxxxxf ++= .
323122
21
123 xxxxxx
xf
++=∂∂ 312
31
22 xxxx
xf
+=∂∂ 21
21
3xxx
xf
+=∂∂
),2,23(),,( 2121312
313231
22
21321 xxxxxxxxxxxxxxxxf ++++=∇
32212
1
226 xxx
x
f+=
∂
∂ 32
21
12
26 xxx
xxf
+=∂∂
∂ 2113
22 xx
xxf
+=∂∂
∂
3221
21
26 xxx
xxf
+=∂∂
∂ 3
122
22x
x
f=
∂
∂ 123
2x
xxf
=∂∂
∂
2131
22 xx
xxf
+=∂∂
∂ 132
2x
xxf
=∂∂
∂ 023
2=
∂
∂
x
f
=
+
+++=
013127378
011)1(21)1(2)1()1(6
1)1(21)1()1(6)1(2)1)(1(6)1,1,1( 32
22
Hf l.q.q.d
OPTIMIZACIÓN CLÁSICA
357
3. Optimización libre
Los casos más frecuentes de aplicación económica de este tipo de problemas se dan en la teoría de la empresa. Por ejemplo, en problemas de maximización de beneficios de una empresa monopólica o en condiciones de competencia perfecta productora de n bienes y con una función de costo conocida. Cabe anotar, sin embargo, que en estos problemas existe la restricción implícita, que las variables que se usan deben ser no negativas.
Partiremos de la versión diferencial de las condiciones de óptimo para una función RRf →2: diferenciable en un subconjunto abierto .2RD ⊆
Condición necesaria de Primer orden de extremo local
Versión diferencial: 0=yd
Si se tiene una función RRf →2: diferenciable en :2RD ⊆
( )
== xfxxfy 21,
La condición necesaria de primer orden para un extremo local (máximo o mínimo)
Da ∈ implica que la .0=
=
afdayd
Teniendo en cuenta que la diferencial total
xyd es:
22
11
xdxy
xdxy
xfdxyd∂∂
+∂∂
=
=
Dando forma matricial:
[ ] [ ]
48476876
∇
∇
∂
∂
∂
∂
×=
∂∂∂∂
×=
=
xf
y
x
xf
x
xf
dxxd
xyxy
dxxdxfdxyd
2
121
2
121
Si llamamos un vector diferencial dx :
000
2
1 =
≠
= dx
dxdx
Entonces la expresión anterior queda simplificada de la siguiente forma:
∇⋅=∇⋅=
=
xfdxydxxfdxyd
tt
Como el vector 0≠dx , para verificar la condición necesaria de primer orden de
extremo local se deberá cumplir que .0=
∇ af
ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA
358
Todos los puntos que cumplen 0=
∇ af reciben el nombre de puntos
estacionarios. Los puntos estacionarios pueden ser máximos locales, mínimos locales o puntos de silla (puntos de inflexión para RRf →: ).
Ejemplo: RRf →:
a
( )af
x
A
y = ( )xf
( ) ( )( )
( )( )afaAaf
xfxf
,:inflexióndePunto0
'
==∇
=∇
Podemos generalizar, que para una función RRf n →: diferenciable en un
subconjunto abierto nRD ⊆ , si deseamos hallar sus puntos estacionarios Da ∈ , debe cumplirse que:
00
01
=
=
∂
∂
∂
∂
=
∇ MM
nx
af
x
af
af
Condición suficiente de segundo orden de extremo local
Versión diferencial:
• Si 02 >
afd entonces el punto estacionario a es un mínimo.
• Si 02 <
afd entonces el punto estacionario a es un máximo.
Si se tiene una función RRf →2: diferenciable en :2RD ⊆
( )
== xfxxfy 21,
Analizando
xfd 2 tenemos:
∂∂
+∂∂
=
=
22
11
2 xdxf
xdxf
dxdfdxfd
OPTIMIZACIÓN CLÁSICA
359
222
2
2
2112
2
1221
2212
1
2
222
112
122
111
xdx
fxdxd
xxf
xdxdxxf
xdx
f
xdxdxf
xdxf
xxdxd
xf
xdxf
x
∂
∂+
∂∂∂
+∂∂
∂+
∂
∂=
∂∂
+∂∂
∂∂
+
∂∂
+∂∂
∂∂
=
En esta expresión se observa una forma cuadrática. Por lo tanto, podemos representarla de la siguiente forma:
[ ] dxfHdxxdxd
x
xf
xx
xf
xx
xf
x
xf
dxdxxfdt
××=
×
∂
∂
∂∂
∂
∂∂
∂
∂
∂
×=
2
1
22
2
12
221
2
21
2
212
• Si 02 >
afd , esto significa que si 0>
afH (esto es, la matriz Hessiana
analizada en a debe ser definida positiva), diremos que a es un mínimo relativo estricto.
• Si 02 <
afd eso significa que si 0<
afH (esto es, la matriz Hessiana
analizada en a debe ser definida negativa), si cumple, diremos que a es un máximo relativo estricto.
• Si
afd 2 es indefinida en a , entonces diremos que a es un punto de silla.
A través de los métodos de autovalores y/o menores principales dominantes
podremos saber cuando
afd 2 es definida (positiva o negativa) o indefinida.
Podemos generalizar que para una función RRf n →: diferenciable en nRD ⊆ , si deseamos saber que tipo de puntos (máximo, mínimo o punto de silla) son sus puntos estacionarios Da ∈ , deberemos analizar cómo se define ( ).afH
Donde ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
∂
∂∂∂
∂∂∂
∂
∂∂∂
∂
∂∂∂
∂
∂∂∂
∂∂∂
∂
∂
=
2
2
2
2
1
2
2
2
22
2
12
21
2
21
2
21
2
nnn
n
n
xaf
xxaf
xxaf
xxaf
xaf
xxaf
xxaf
xxaf
xaf
afH
L
MOMM
L
L
es la matriz hessiana
evaluada en el vector a (donde a es un punto estacionario). Por tanto:
• Si la matriz Hessiana analizada en ese punto es definida negativa, entonces estamos hablando de un punto máximo relativo.
ÁLGEBRA LINEAL PARA ADMINISTRACIÓN Y ECONOMÍA
360
• Si la matriz Hessiana analizada en ese punto es definida positiva, entonces estamos hablando de un punto mínimo relativo.
• Si la matriz Hessiana analizada en ese punto es indefinida, entonces estamos hablando de un punto de silla.
Ejemplo:
Determinar los máximos y mínimos locales de las siguientes funciones:
1. ( ) 412332, 233 −−−++= xyxyxyxf
2. ( )4
, 22 ++=
yx
xyxf
3. ( ) 13210385,, 222 −+−−+−−= zyzxyxzyxf
Solución:
1. ( ) 412332, 233 −−−++= xyxyxyxf
Hallamos los puntos estacionarios, a través de la condición de primer orden:
0=
∇ af
=
−
−+=
∇
00
33
126620
020
y
xxaf
Desarrollando obtenemos los siguientes puntos estacionarios:
( )( )( )( )( )
−−
−−
==
1,11,11,2
1,2
, 00 yxa
Estudiaremos que clase de puntos estacionarios son a través de la condición de segundo orden:
+=
0
060
0612y
xafH
Para el punto estacionario ( )1,2 −− :
( )
−
−=−−
60018
1,2fH . Por lo tanto, la matriz Hessiana analizada en ese
punto estacionario es definida negativa. Entonces, el punto ( )1,2 −− es un máximo relativo.
Para el punto estacionario ( )1,2− :
( )
−=−
60018
1,2fH . Por lo tanto, la matriz Hessiana analizada en ese
punto estacionario es indefinida. Entonces, el punto ( )1,2− es un punto de silla.
447
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