Academia Sucesiones Niméricas 2003

8/15/2019 Academia Sucesiones Niméricas 2003

1/68


2/68


3/68

INDUCCION MATEMATICA


4/68

, , ,

¿Qué figura sigue ? ¿Cuántas rectas forman cada figura?

3 5 7 9

Dibuja la figura y cuenta su nmero de rectas

¿Cuántas rectas formarán la octa!a figura?

?

"7


5/68

¿Qué figura com#leta la serie? ¿Cuántos c$rculos las forman?

, , , ,

" % 7 "& "3

Dibuja la no!ena figura de la serie '

¿Cuántos c$rculos la forman?

(5

?


6/68

)na sucesi*n numérica es'

+ecuencia de nmeros relacionados de tal manera ue cada uno,

des#ués del #rimero, se #uede obtener del ue le #recede

sumando a éste una cantidad fija llamada diferencia comn-

( , 7, "( , "7 , (( , (7, 3(

+ 5 + 5 + 5

+ 5 + 5 + 5

DIFERENCIA COMUN ES 5

OBSERVA :


7/68

( , 7, "(, "7, (( , (7, .a"

"/

a" 0 d

(/

a"0 (d

3/

a"0 3d

%/

a"0 %d

5/

a"0 5d

1/

a"0 2n"4d

n/

érmino inicial érmino nésimo

¿C66 8C6:;6+ 8< 8:=6 8+=6 ?

an > a" 0 2n "4 d


8/68

;@ 9 ""&

(3/ término es "&"

d = 4 –9

d = -5

Determinamos la diferencia comn

Consecuente menosantecedente

;ntecedente

Consecuente

érmino inicial

+ustituimos !alores conocidos

an > a" 0 2n "4 d


9/68

Aallar el 3B/ término de la sucesi*n numérica (3 , 3(, 73 .

a3B > (3 0 23B "4 251

a3B > (3 0 "B51

3B/ término es "B91 o 13(

d = 3 - 2 2 3

d = 5 6


Consecuente menosantecedente

;ntecedente

Consecuente

érmino inicial


an > a" 0 2n "4 d

;@


10/68


11/68

;@ % 0 2n "4 2 ( 4 3& > % 0 (n (

(B > (n

n > "%

érmino inicial


an > a" 0 2n "4 d

¿Cuántos términos tiene la #rogresi*n aritmética %, 1, .3& ?

an > a" 0 2n "4 d

uscando el !alor de EnF

an a" 0 d

n >

d

uscamos diferencia comn

d > 1 % d > (

G


12/68

;@ a" 0 2"5 "4 2 (7 4

(& > a" 0 %

a" > "1


an > a" 0 2n "4 dan > a" 0 2n "4 d

uscando el !alor de EaF

a" > an nd d

G

8l "5/ término de una #rogresi*n aritmética es (& y la diferencia comn (7- Aallar el #rimer término-


13/68


;ntecedente Consecuente


5 ,9

,13 , 17 , 21 , 25 ,

…

érmino inicial

Consecuente menos antecedente

9 5 > %an > a" 0 2n "4 d

an > 5 0 2n "4 %

an > 5 0 %n %

an > %n 0 "

TERMINO ENESIMO GENERALIZACION


14/68

PRIMER AÑO


15/68

uscamos la diferenciaConsecuente menos antecedente

9 5 > 0 %n

% 2 " 4

0 %n

@rimera #osici*n

H 0 % > 5, donde H > 0 "

0 "

%n 0 "

IeneraliJaci*n

G¿ Qué nmero sumado a cuatro !eces la #rimera #osici*n de la sucesi*n da

como resultado el #rimer término de ésta ?

5 , 9 , 13 , 17 , 21 , 25 , …

;ntecedenteConsecuente

érmino inicialGENERALIZACION


16/68

uscamos la diferencia


"( B > %n

% 2 " 4

%n

@rimera #osici*n

H 0 % > B, donde H > %

0 %

%n 0 %

IeneraliJaci*n

G¿ Qué nmero sumado a cuatro !eces la #rimera #osici*n de la sucesi*n

da como resultado el #rimer término de ésta ?

, 12 , 1! , 2" , 2# , …




17/68

uscamos la diferencia


"" 9 > (n

( 2 " 4

(n

@rimera #osici*n

H 0 ( > 9, donde H > 7

0 (B

(n 0 7

IeneraliJaci*n

G¿ Qué nmero sumado a dos !eces la #rimera #osici*n de la sucesi*n


9 , 11 , 13 , 15 , 17 , …




18/68

¿ Cuántos cuadritos forman la figura ue se ubica en la !igésima #osici*n ?

Primerfgura

Segundafgura

5

91

3

17

2

1

Cuartafgura

Quintafgura

Tercer fgura

%n 0 "

%2(&4 0 "

81 cuadrados debe tener lavigésima fgura


19/68

¿ Cuál es la regla #ara encontrar el nmero de cubos ue Kay en una

figura cualuiera de esta sucesi*n? ¿ C*mo se #uede eH#resar esta

regla con una f*rmula ?

Primer fguraSegunda fgura

Tercer fgura

3

7

5

2$ + 1

G%$%&'()*')$


20/68

De la siguiente sucesi*n, determina cuántos cuadrados Kay en la uinta

figura y escribe su generaliJaci*n-

Primer fguraSegunda fgura

Tercer fgura

Cuarta fgura

2 5

11

3$ - 1

IeneraliJaci*n

3.5/ 0 1 1#


21/68



Primer fgura

Segunda fgura

Tercer fgura

Cuarta fgura

#

12

1!

%n

IeneraliJaci*n


22/68



Primer fgura

Segunda fgura

Tercer fgura

Cuarta fgura

5 9 13

17 %n 0 "

IeneraliJaci*n


23/68

De la siguiente sucesi*n, determina cuántas bolitas Kay en la seHta


Primer fgura

Segunda fgura

Tercer fgura

Cuartafgura

Quinta fgura

#

7

1"

13

1!

3$ + 1

IeneraliJaci*n


24/68

De la siguiente sucesi*n, determina cuántas bolitas Kay en la seHta


Primerfgura Segunda

fgura Tercerfgura

Cuartafgura

Quinta

fgura

5 1"15

2"

25

5$

IeneraliJaci*n


25/68

4 , 6 , 8 , 10

,

"- Aallar los dos términos siguientes de las sucesiones ue se indican'

14

-5 , -2 , 1 , 4 , 10

13

-3 , 5 , -7 , 9 , 13 -151 , 4 , 9 , 1

6, 3

649

1 , 2 , 4 , 7 , 16

22

1 , -2 , 3 , -4 , 7 -8

27

, 23

, 19

, 15

, 11

7

1 , 5 , 9 , 1

3

, 2

5

2

9

7 ,

-11 ,25

,

11

,

5 , -6 ,

1

7

, 2

1

,

12


26/68

(- Determine el décimo término'

8 , 12 , 16 , 20 ,

3 , 6 , 9 , 1

2

,

9 , 11

, 13

, 15

,

57

, 60

, 63

, 66

,

1

5

,

17 ,

69

,

24 , …

…

…

…

30

27

84

44

#$ + # #.1"/ + # ##

3$ 3.1"/ 3"

2$ + 7 2.1"/ + 7 27

3$ + 5# 3.1"/ + 5# #


27/68

2 , 4 , 6 , 8 ,

3- 8scribe la generaliJaci*n de cada una de las sucesiones siguientes'

5 , 10

, 15

, 20

, 5n

10 , 20 , 30 , 40 , 10n50

, 57

, 64

, 71

, 7n 43

14

, 21

, 28

, 35

, 7n 7

15

, 20

, 25

, 30

, 5n 10

35

, 40

, 45

, 50

, 5n 30

1

7

, 2

2

, 2

7

, 3

2

, 5n 12

25

,

50 ,…

42

,

35

, 40

,

3

7

, 4

2

,

2n10

, 12

,

30

, 35

,

55

, 60

,

4

7

, …

…

…

…

…

…

…


28/68

%- Com#leta cada sucesi*n numérica y escribe el #atr*n ue la generaliJa'

3 , 6 , 9 , 12

, 15

, 18

, 21

3n

IeneraliJaci*n

7 , 12

, 17

, 22

, 27

, 3

2, 3

7

5n 2

5 , 9 , 13

, 17

, 21

, 25

, 29

4n 1

1 , 8 , 15 , 22 , 29 ,36 ,

43

7n - 6

2 , 11

, 20

, 29

, 38

, 47

, 56

9n - 7


29/68

SEGUNDO AÑO


30/68


( 2 5 4 > 0 3n

3 2 " 4

0 3n

@rimera #osici*n

H 0 3 > 5, donde H > B

B

3n B

IeneraliJaci*n

G¿ Qué nmero sumado a tres !eces la #rimera #osici*n de la sucesi*n da


- 5 , - 2, 1 , # , 7 , …




31/68


3 7( > "( n

"( 2 " 4

"( n

@rimera #osici*n

H "( > 7(, donde H > %

0 %

" n 0 %

(

IeneraliJaci*n

G¿ Qué nmero sumado a "( !eces la #rimera #osici*n de la sucesi*n da


72 , 3 , 52 , 2 , 32 , …




32/68


(3 (B > 5n

5 2 " 4

5n

@rimera #osici*n

H 5 > (B, donde H > 33

0 (B

5n 0 33

IeneraliJaci*n

G¿ Qué nmero sumado a cinco !eces la #rimera #osici*n de la sucesi*n


2 , 23 , 1 , 13 , , …




33/68


34/68

44

, 41

, 38

, 35

,

(- 8scribe la generaliJaci*n de cada una de las sucesiones siguientes'

28

, 23

, 18

, 13

, - 5n 33

8 , -2 , -12 , -22 ,- 10n

18

-80 , -66 , -52

, -38

, 14n - 94

-5 , -8 , -11

, -14

, - 3n - 2

-24 , -18 , -12

, -6 , 6n - 30

-30 , -25 , -20

, -15

, 5n - 35

-7 , -5 , -3 , -1 , 2n - 9

8 ,

-32,-24

-17

,

0 , 6 ,

1 , 3 ,

- 3n 47

32

, …

3 , …

-10

, -5 ,

…

…

-20

…

…

, …

, …


35/68

-5 , -7 , -9 , -11

,

20

, 10

, 0 , -10

, - 10n 30

-3 , -8 , -13 , -18 ,- 5n 2

2 , -4 , -10 , -16

, - 6n 8

-1 , -2 , -3 , -4 , - n

6 , 3 , 0 , -3 , - 3n 9

- 3 22

, -1 , - 1

2

, 0 , 1 n ! 2 2

-20

,

-23 ,…

-5 ,

-6 , …

- 2n - 3-13

, …

12

, …

…

…

8scribe la generaliJaci*n de cada una de las sucesiones siguientes'

-22

,


36/68

4 , 3 , 2 , 1 , - n 50 ,

-9 , -15

, -21

, -27

, - 6n - 3-33 , …

72

, 3 , 52

, 2 , - 1 n 4

2

32

, …

-

10

, -8 , -6 , -4 , 2n - 12-2 , …

8scribe la generaliJaci*n de cada una de las sucesiones siguientes'

-3 , -7 , -11 , -15

, - 4n 1-19

, …

5 , 3 , 1 , -1 , - 2n 7-3 , -5 , …


37/68

TERCER AÑO


38/68



Primer fgura Segunda fgura Tercer fgura

Cuarta fgura

1

#

9

1! n(

IeneraliJaci*n

254(

(5 cuadrados


39/68

mero de mosaicos blancos ue tendrá la figura ue ocu#a la

uinta #osici*n en la siguiente sucesi*n'

Primer fgura Segunda

fgura

Tercer fgura

Cuarta fgura


40/68

6bser!amos ue en las figuras #ro#uestas, se #resenta un mosaico blanco encada una de sus esuinas-

C);:6 6+;=C6+


41/68

8n la siguiente sucesi*n determina cuántos cuadrados formarán la seHta

figura-

Primera fguraSegunda fgura

Tercer fgura

Cuarta fguraQuinta fgura

" 31

"&

"5


42/68

D)%&%$)'4 )$)'4

1 ' + 6 +

3' + 6 #' + 26 +

9' + 36 +

1!' + #6 +

a"1#2 b"1# c $ a

b ca"2#2 b"2# c $ 4a 2b ca"3#2 b"3# c $9a 3b ca"4#2 b"4# c $16a 4b c

5' + 6

7' + 6

2'

2'

1

3

!

1"

2

3

#

1

1

'6

%enerali&aci'n

2

3

#


43/68

8n la siguiente sucesi*n determina cuántas bolitas Kay en la uinta figura

y escribe su generaliJaci*n-

Primer fgura Segunda fgura

Tercer fgura Cuarta fgura

2

!

12 2"


44/68

D)%&%$)'4 )$)'4

1 ' + 6 +

3' + 6 #' + 26 +

9' + 36 +

1!' + #6 +

a"1#2 b"1# c $ a


5' + 6

7' + 6

2'

2'

2

!

12

2"

#

!

2

2

'6

G%$%&'()*')$

2

3

#


45/68

8n la siguiente sucesi*n, en la figura " se !en tres caras del cubo, y en la

figura ( se !en nue!e caras-

Primerfgura Segunda

fgura

Tercer

fgura

Cuarta

fgura

3

9

17

27


46/68

D)%&%$)'4 )$)'4

1 ' + 6 +

3' + 6 #' + 26 +

9' + 36 +

1! + #6 +

a"1#2 b"1# c $ a


5' + 6

7' + 6

2'

2'

3

9

17

27

!

1"

2

2

'6

%enerali&aci'n

2

3

#

E$ (' 8)4);' ?4)6(% 8%& 152 '&'4

D)%&%$)'4 )$)'4


47/68

D)%&%$)'4 )$)'4

1 ' + 6 +

3' + 6 #' + 26 +

9' + 36 +

1!' + #6 +

a"1#2 b"1# c $ a b ca"2#2 b"2# c $ 4a 2b ca"3#2 b"3# c $9a 3b c

a"4#2

b"4# c $16a 4b c

5' + 6

7' + 6

2'

2'

1"

2#

##

1#

2"

2!

!

!

a6

2

3

#

E@%&))? '

10

, 24

, 44

, 70

, 102

,

7"

D)%&%$)'4 )$)'4


48/68

D)%&%$)'4 )$)'4

1 ' + 6 +

3' + 6 #' + 26 +

9' + 36 +

1!' + #6 +


a"4#2

b"4# c $16a 4b c

5' + 6

7' + 6

2'

2'

5

11

21

!

1"

1#

#

#

a6

2

3

#

E@%&))? 6

5 , 11

, 21

, 35

, 53,

35

D)%&%$)'4 )$)'4


49/68

D)%&%$)'4 )$)'4

a"1#2 b"1# c $ a b ca"2#2 b"2# c $ 4a 2b ca"3#2 b"3# c $

9a 3b ca"4#2

b"4# c $16a 4b c

- #

- 1

#

3

5

7

2

2

a6

1 ' + 6 +

3' + 6 #' + 26 +

9' + 36 +

1!' + #6 +

5' + 6

7' + 6

2'

2'

2

3

#

E@%&))?

-4

, -1

, 4 , 11

, 20,

11


50/68

D)%&%$)'4 )$)'4


51/68

D)%&%$)'4 )$)'4


a"4#2

b"4# c $16a 4b c

12

27

52

15

25

35

1"

1"

a6

1 ' + 6 +

3' + 6 #' + 26 +

9' + 36 +

1!' + #6 +

5' + 6

7' + 6

2'

2'

2

3

#

E@%&))? %

12

, 27

, 52

, 87

, 132

,

7


52/68


53/68

-7 , 2 , 17

, 38

, 65, …

3' + 62'

-7

2

17

3

9

15

21

!

!

'6

G%$%&'()*')$

!527

!

' + 6 +

E@%&))?


54/68

6 , 13

, 24

, 39

, 58, …

3' + 62'

!

13

2#

39

7

11

15

#

#

'6

G%$%&'()*')$

5

' + 6 +

E@%&))?

#19


55/68

5 , 12

, 23

, 38

, 57, …

3' + 62'

5

12

23

3

7

11

15

#

#

'6

G%$%&'()*')$

57

' + 6 +

E@%&))? )

#19


56/68


57/68

E@ ) ) (


58/68

1(2 , 2 , 9(2

, 8 , 25(2

, …

3' + 62'

12

2

92

32

52

72

1

1

'6

G%$%&'()*')$

252

' + 6 +

E@%&))? (

192

E@ ) )


59/68

1(4 , 1 , 9(4

, 4 , 25(4

, …

3' + 62'

1#

1

9#

#

3#

5#

7#

12

12

'6

G%$%&'()*')$

25#

' + 6 +

E@%&))? ;

129#


60/68

E@ ) )


61/68

3 , 6 , 11

, 18

, 27, …

3' + 62'

3

!

11

1

3

5

7

2

2

'6

G%$%&'()*')$

27

' + 6 +

E@%&))?

2 9

E@ ) )


62/68

2 , 8 , 18

, 32

, 50, …

3' + 62'

2

1

32

!

1"

1#

#

#

'6

G%$%&'()*')$

5"

' + 6 +

E@%&))? ?

#1

E@ ) )


63/68

-1 , 8 , 23

, 44

, 71, …

3' + 62'

- 1

23

##

9

15

21

!

!

'6

G%$%&'()*')$

71

' + 6 +

E@%&))? >

!27

E@%&))?


64/68

0 , 2 , 6 , 12

, 20, …

3' + 62'

"

2

!

12

2

#

!

2

2

'6

G%$%&'()*')$

2"

' + 6 +

E@%&))? <

2

E@%&))? &


65/68

3 , 12

, 27

, 48

, 75, …

3' + 62'

3

12

27

#

9

15

21

!

!

'6

G%$%&'()*')$

75

' + 6 +

E@%&))? &

!27

E@%&))? 4


66/68

4 , 15

, 30

, 49

, 72, …

3' + 62'

#

15

3"

#9

11

15

19

#

#

'6

G%$%&'()*')$

72

' + 6 +

E@%&))? 4

#23

E@%&))?


67/68

1(2 , 3 , 15(2

, 14

,45(2

, …

3' + 62'

12

3

152

1#

52

92

132

2

2

'6

G%$%&'()*')$

#52

' + 6 +

E@%&))?

2172

E@%&))? =


68/68

-3(2

, 0 , 5(2 , 6 ,21(2

, …

3' + 62'

- 32

"

52

!

32

52

72

1

1

'6

G () )

212

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Academia Sucesiones Niméricas 2003

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