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INDUCCION MATEMATICA
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, , ,
¿Qué figura sigue ? ¿Cuántas rectas forman cada figura?
3 5 7 9
Dibuja la figura y cuenta su nmero de rectas
¿Cuántas rectas formarán la octa!a figura?
?
"7
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¿Qué figura com#leta la serie? ¿Cuántos c$rculos las forman?
, , , ,
" % 7 "& "3
Dibuja la no!ena figura de la serie '
¿Cuántos c$rculos la forman?
(5
?
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)na sucesi*n numérica es'
+ecuencia de nmeros relacionados de tal manera ue cada uno,
des#ués del #rimero, se #uede obtener del ue le #recede
sumando a éste una cantidad fija llamada diferencia comn-
( , 7, "( , "7 , (( , (7, 3(
+ 5 + 5 + 5
+ 5 + 5 + 5
DIFERENCIA COMUN ES 5
OBSERVA :
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( , 7, "(, "7, (( , (7, .a"
"/
a" 0 d
(/
a"0 (d
3/
a"0 3d
%/
a"0 %d
5/
a"0 5d
1/
a"0 2n"4d
n/
érmino inicial érmino nésimo
¿C66 8C6:;6+ 8< 8:=6 8+=6 ?
an > a" 0 2n "4 d
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;@ 9 ""&
(3/ término es "&"
d = 4 –9
d = -5
Determinamos la diferencia comn
Consecuente menosantecedente
;ntecedente
Consecuente
érmino inicial
+ustituimos !alores conocidos
an > a" 0 2n "4 d
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Aallar el 3B/ término de la sucesi*n numérica (3 , 3(, 73 .
a3B > (3 0 23B "4 251
a3B > (3 0 "B51
3B/ término es "B91 o 13(
d = 3 - 2 2 3
d = 5 6
Determinamos la diferencia comn
Consecuente menosantecedente
;ntecedente
Consecuente
érmino inicial
+ustituimos !alores conocidos
an > a" 0 2n "4 d
;@
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;@ % 0 2n "4 2 ( 4 3& > % 0 (n (
(B > (n
n > "%
érmino inicial
+ustituimos !alores conocidos
an > a" 0 2n "4 d
¿Cuántos términos tiene la #rogresi*n aritmética %, 1, .3& ?
an > a" 0 2n "4 d
uscando el !alor de EnF
an a" 0 d
n >
d
uscamos diferencia comn
d > 1 % d > (
G
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;@ a" 0 2"5 "4 2 (7 4
(& > a" 0 %
a" > "1
+ustituimos !alores conocidos
an > a" 0 2n "4 dan > a" 0 2n "4 d
uscando el !alor de EaF
a" > an nd d
G
8l "5/ término de una #rogresi*n aritmética es (& y la diferencia comn (7- Aallar el #rimer término-
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Determinamos la diferencia comn
;ntecedente Consecuente
+ustituimos !alores conocidos
5 ,9
,13 , 17 , 21 , 25 ,
…
érmino inicial
Consecuente menos antecedente
9 5 > %an > a" 0 2n "4 d
an > 5 0 2n "4 %
an > 5 0 %n %
an > %n 0 "
TERMINO ENESIMO GENERALIZACION
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PRIMER AÑO
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uscamos la diferenciaConsecuente menos antecedente
9 5 > 0 %n
% 2 " 4
0 %n
@rimera #osici*n
H 0 % > 5, donde H > 0 "
0 "
%n 0 "
IeneraliJaci*n
G¿ Qué nmero sumado a cuatro !eces la #rimera #osici*n de la sucesi*n da
como resultado el #rimer término de ésta ?
5 , 9 , 13 , 17 , 21 , 25 , …
;ntecedenteConsecuente
érmino inicialGENERALIZACION
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uscamos la diferencia
Consecuente menos antecedente
"( B > %n
% 2 " 4
%n
@rimera #osici*n
H 0 % > B, donde H > %
0 %
%n 0 %
IeneraliJaci*n
G¿ Qué nmero sumado a cuatro !eces la #rimera #osici*n de la sucesi*n
da como resultado el #rimer término de ésta ?
, 12 , 1! , 2" , 2# , …
;ntecedenteConsecuente
érmino inicialGENERALIZACION
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uscamos la diferencia
Consecuente menos antecedente
"" 9 > (n
( 2 " 4
(n
@rimera #osici*n
H 0 ( > 9, donde H > 7
0 (B
(n 0 7
IeneraliJaci*n
G¿ Qué nmero sumado a dos !eces la #rimera #osici*n de la sucesi*n
da como resultado el #rimer término de ésta ?
9 , 11 , 13 , 15 , 17 , …
;ntecedenteConsecuente
érmino inicialGENERALIZACION
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¿ Cuántos cuadritos forman la figura ue se ubica en la !igésima #osici*n ?
Primerfgura
Segundafgura
5
91
3
17
2
1
Cuartafgura
Quintafgura
Tercer fgura
%n 0 "
%2(&4 0 "
81 cuadrados debe tener lavigésima fgura
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¿ Cuál es la regla #ara encontrar el nmero de cubos ue Kay en una
figura cualuiera de esta sucesi*n? ¿ C*mo se #uede eH#resar esta
regla con una f*rmula ?
Primer fguraSegunda fgura
Tercer fgura
3
7
5
2$ + 1
G%$%&'()*')$
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De la siguiente sucesi*n, determina cuántos cuadrados Kay en la uinta
figura y escribe su generaliJaci*n-
Primer fguraSegunda fgura
Tercer fgura
Cuarta fgura
2 5
11
3$ - 1
IeneraliJaci*n
3.5/ 0 1 1#
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De la siguiente sucesi*n, determina cuántos cuadrados Kay en la uinta
figura y escribe su generaliJaci*n-
Primer fgura
Segunda fgura
Tercer fgura
Cuarta fgura
#
12
1!
%n
IeneraliJaci*n
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De la siguiente sucesi*n, determina cuántos cuadrados Kay en la uinta
figura y escribe su generaliJaci*n-
Primer fgura
Segunda fgura
Tercer fgura
Cuarta fgura
5 9 13
17 %n 0 "
IeneraliJaci*n
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De la siguiente sucesi*n, determina cuántas bolitas Kay en la seHta
figura y escribe su generaliJaci*n-
Primer fgura
Segunda fgura
Tercer fgura
Cuartafgura
Quinta fgura
#
7
1"
13
1!
3$ + 1
IeneraliJaci*n
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De la siguiente sucesi*n, determina cuántas bolitas Kay en la seHta
figura y escribe su generaliJaci*n-
Primerfgura Segunda
fgura Tercerfgura
Cuartafgura
Quinta
fgura
5 1"15
2"
25
5$
IeneraliJaci*n
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4 , 6 , 8 , 10
,
"- Aallar los dos términos siguientes de las sucesiones ue se indican'
14
-5 , -2 , 1 , 4 , 10
13
-3 , 5 , -7 , 9 , 13 -151 , 4 , 9 , 1
6, 3
649
1 , 2 , 4 , 7 , 16
22
1 , -2 , 3 , -4 , 7 -8
27
, 23
, 19
, 15
, 11
7
1 , 5 , 9 , 1
3
, 2
5
2
9
7 ,
-11 ,25
,
11
,
5 , -6 ,
1
7
, 2
1
,
12
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(- Determine el décimo término'
8 , 12 , 16 , 20 ,
3 , 6 , 9 , 1
2
,
9 , 11
, 13
, 15
,
57
, 60
, 63
, 66
,
1
5
,
17 ,
69
,
24 , …
…
…
…
30
27
84
44
#$ + # #.1"/ + # ##
3$ 3.1"/ 3"
2$ + 7 2.1"/ + 7 27
3$ + 5# 3.1"/ + 5# #
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2 , 4 , 6 , 8 ,
3- 8scribe la generaliJaci*n de cada una de las sucesiones siguientes'
5 , 10
, 15
, 20
, 5n
10 , 20 , 30 , 40 , 10n50
, 57
, 64
, 71
, 7n 43
14
, 21
, 28
, 35
, 7n 7
15
, 20
, 25
, 30
, 5n 10
35
, 40
, 45
, 50
, 5n 30
1
7
, 2
2
, 2
7
, 3
2
, 5n 12
25
,
50 ,…
42
,
35
, 40
,
3
7
, 4
2
,
2n10
, 12
,
30
, 35
,
55
, 60
,
4
7
, …
…
…
…
…
…
…
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%- Com#leta cada sucesi*n numérica y escribe el #atr*n ue la generaliJa'
3 , 6 , 9 , 12
, 15
, 18
, 21
3n
IeneraliJaci*n
7 , 12
, 17
, 22
, 27
, 3
2, 3
7
5n 2
5 , 9 , 13
, 17
, 21
, 25
, 29
4n 1
1 , 8 , 15 , 22 , 29 ,36 ,
43
7n - 6
2 , 11
, 20
, 29
, 38
, 47
, 56
9n - 7
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SEGUNDO AÑO
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30/68
uscamos la diferenciaConsecuente menos antecedente
( 2 5 4 > 0 3n
3 2 " 4
0 3n
@rimera #osici*n
H 0 3 > 5, donde H > B
B
3n B
IeneraliJaci*n
G¿ Qué nmero sumado a tres !eces la #rimera #osici*n de la sucesi*n da
como resultado el #rimer término de ésta ?
- 5 , - 2, 1 , # , 7 , …
;ntecedenteConsecuente
érmino inicialGENERALIZACION
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uscamos la diferenciaConsecuente menos antecedente
3 7( > "( n
"( 2 " 4
"( n
@rimera #osici*n
H "( > 7(, donde H > %
0 %
" n 0 %
(
IeneraliJaci*n
G¿ Qué nmero sumado a "( !eces la #rimera #osici*n de la sucesi*n da
como resultado el #rimer término de ésta ?
72 , 3 , 52 , 2 , 32 , …
;ntecedenteConsecuente
érmino inicialGENERALIZACION
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32/68
uscamos la diferenciaConsecuente menos antecedente
(3 (B > 5n
5 2 " 4
5n
@rimera #osici*n
H 5 > (B, donde H > 33
0 (B
5n 0 33
IeneraliJaci*n
G¿ Qué nmero sumado a cinco !eces la #rimera #osici*n de la sucesi*n
da como resultado el #rimer término de ésta ?
2 , 23 , 1 , 13 , , …
;ntecedenteConsecuente
érmino inicialGENERALIZACION
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33/68
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34/68
44
, 41
, 38
, 35
,
(- 8scribe la generaliJaci*n de cada una de las sucesiones siguientes'
28
, 23
, 18
, 13
, - 5n 33
8 , -2 , -12 , -22 ,- 10n
18
-80 , -66 , -52
, -38
, 14n - 94
-5 , -8 , -11
, -14
, - 3n - 2
-24 , -18 , -12
, -6 , 6n - 30
-30 , -25 , -20
, -15
, 5n - 35
-7 , -5 , -3 , -1 , 2n - 9
8 ,
-32,-24
-17
,
0 , 6 ,
1 , 3 ,
- 3n 47
32
, …
3 , …
-10
, -5 ,
…
…
-20
…
…
, …
, …
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-5 , -7 , -9 , -11
,
20
, 10
, 0 , -10
, - 10n 30
-3 , -8 , -13 , -18 ,- 5n 2
2 , -4 , -10 , -16
, - 6n 8
-1 , -2 , -3 , -4 , - n
6 , 3 , 0 , -3 , - 3n 9
- 3 22
, -1 , - 1
2
, 0 , 1 n ! 2 2
-20
,
-23 ,…
-5 ,
-6 , …
- 2n - 3-13
, …
12
, …
…
…
8scribe la generaliJaci*n de cada una de las sucesiones siguientes'
-22
,
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4 , 3 , 2 , 1 , - n 50 ,
-9 , -15
, -21
, -27
, - 6n - 3-33 , …
72
, 3 , 52
, 2 , - 1 n 4
2
32
, …
-
10
, -8 , -6 , -4 , 2n - 12-2 , …
8scribe la generaliJaci*n de cada una de las sucesiones siguientes'
-3 , -7 , -11 , -15
, - 4n 1-19
, …
5 , 3 , 1 , -1 , - 2n 7-3 , -5 , …
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TERCER AÑO
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De la siguiente sucesi*n, determina cuántos cuadrados Kay en la uinta
figura y escribe su generaliJaci*n-
Primer fgura Segunda fgura Tercer fgura
Cuarta fgura
1
#
9
1! n(
IeneraliJaci*n
254(
(5 cuadrados
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mero de mosaicos blancos ue tendrá la figura ue ocu#a la
uinta #osici*n en la siguiente sucesi*n'
Primer fgura Segunda
fgura
Tercer fgura
Cuarta fgura
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6bser!amos ue en las figuras #ro#uestas, se #resenta un mosaico blanco encada una de sus esuinas-
C);:6 6+;=C6+
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8n la siguiente sucesi*n determina cuántos cuadrados formarán la seHta
figura-
Primera fguraSegunda fgura
Tercer fgura
Cuarta fguraQuinta fgura
" 31
"&
"5
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D)%&%$)'4 )$)'4
1 ' + 6 +
3' + 6 #' + 26 +
9' + 36 +
1!' + #6 +
a"1#2 b"1# c $ a
b ca"2#2 b"2# c $ 4a 2b ca"3#2 b"3# c $9a 3b ca"4#2 b"4# c $16a 4b c
5' + 6
7' + 6
2'
2'
1
3
!
1"
2
3
#
1
1
'6
%enerali&aci'n
2
3
#
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43/68
8n la siguiente sucesi*n determina cuántas bolitas Kay en la uinta figura
y escribe su generaliJaci*n-
Primer fgura Segunda fgura
Tercer fgura Cuarta fgura
2
!
12 2"
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44/68
D)%&%$)'4 )$)'4
1 ' + 6 +
3' + 6 #' + 26 +
9' + 36 +
1!' + #6 +
a"1#2 b"1# c $ a
b ca"2#2 b"2# c $ 4a 2b ca"3#2 b"3# c $9a 3b ca"4#2 b"4# c $16a 4b c
5' + 6
7' + 6
2'
2'
2
!
12
2"
#
!
2
2
'6
G%$%&'()*')$
2
3
#
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45/68
8n la siguiente sucesi*n, en la figura " se !en tres caras del cubo, y en la
figura ( se !en nue!e caras-
Primerfgura Segunda
fgura
Tercer
fgura
Cuarta
fgura
3
9
17
27
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46/68
D)%&%$)'4 )$)'4
1 ' + 6 +
3' + 6 #' + 26 +
9' + 36 +
1! + #6 +
a"1#2 b"1# c $ a
b ca"2#2 b"2# c $ 4a 2b ca"3#2 b"3# c $9a 3b ca"4#2 b"4# c $16a 4b c
5' + 6
7' + 6
2'
2'
3
9
17
27
!
1"
2
2
'6
%enerali&aci'n
2
3
#
E$ (' 8)4);' ?4)6(% 8%& 152 '&'4
D)%&%$)'4 )$)'4
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47/68
D)%&%$)'4 )$)'4
1 ' + 6 +
3' + 6 #' + 26 +
9' + 36 +
1!' + #6 +
a"1#2 b"1# c $ a b ca"2#2 b"2# c $ 4a 2b ca"3#2 b"3# c $9a 3b c
a"4#2
b"4# c $16a 4b c
5' + 6
7' + 6
2'
2'
1"
2#
##
1#
2"
2!
!
!
a6
2
3
#
E@%&))? '
10
, 24
, 44
, 70
, 102
,
7"
D)%&%$)'4 )$)'4
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48/68
D)%&%$)'4 )$)'4
1 ' + 6 +
3' + 6 #' + 26 +
9' + 36 +
1!' + #6 +
a"1#2 b"1# c $ a b ca"2#2 b"2# c $ 4a 2b ca"3#2 b"3# c $9a 3b c
a"4#2
b"4# c $16a 4b c
5' + 6
7' + 6
2'
2'
5
11
21
!
1"
1#
#
#
a6
2
3
#
E@%&))? 6
5 , 11
, 21
, 35
, 53,
35
D)%&%$)'4 )$)'4
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D)%&%$)'4 )$)'4
a"1#2 b"1# c $ a b ca"2#2 b"2# c $ 4a 2b ca"3#2 b"3# c $
9a 3b ca"4#2
b"4# c $16a 4b c
- #
- 1
#
3
5
7
2
2
a6
1 ' + 6 +
3' + 6 #' + 26 +
9' + 36 +
1!' + #6 +
5' + 6
7' + 6
2'
2'
2
3
#
E@%&))?
-4
, -1
, 4 , 11
, 20,
11
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50/68
D)%&%$)'4 )$)'4
8/15/2019 Academia Sucesiones Niméricas 2003
51/68
D)%&%$)'4 )$)'4
a"1#2 b"1# c $ a b ca"2#2 b"2# c $ 4a 2b ca"3#2 b"3# c $9a 3b c
a"4#2
b"4# c $16a 4b c
12
27
52
15
25
35
1"
1"
a6
1 ' + 6 +
3' + 6 #' + 26 +
9' + 36 +
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