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Grado: Nombre:

TEMA: CLASIFICACIÓN DE POLÍGONOS A PARTIR DE SUS PROPIEDADES

Grado 6MatemáticasLas representaciones artísticas, describiendo los movimientos en el plano.

Actividad introductoria: : “Los polígonos”

Características de un polígono: Una figura limitada por una secuencia finita de segmentos rectos consecutivos que cierran una región en el plano.

Después de ver la animación, clasifique las figuras siguientes como polígonos o no polígonos (justificar la respuesta en cada caso).

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Gráficas de apoyo

Linea poligonal abierta Línea poligonal cerrada

OBJETIVOS

Caracterizar los polígonos a partir de sus características.• Determinar los elementos que conforman los polígonos.• Diferenciar a partir de las características, entre polígono inscrito y circunscritos. • Realizar construcciones de polígonos regulares con regla y compás.

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Actividad 1: Identificación y clasificación de los polígonos

Parte 1.a) A continuación encontrará una tabla donde aparece un polígono y los conceptos de sus elementos. Lea cuidadosamente cada concepto y luego ubique en el grafico los elementos en su lugar correspondiente.

Lados: Segmentos de rectas que conforman la línea poligonal cerrada

Ángulos interiores: Región interna de la figura comprendida entre dos lados consecutivos.

Ángulos exteriores: Región externa de la figura comprendida entre un lado del polígono y la prolongación del lado adyacente.

Vértices: Puntos donde se unen cada par de lados consecutivos.

Diagonales: Segmentos que unen dos vértices no consecutivos del polígono.

POLIGONO

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b) Trace todas las diagonales posibles en cada uno de los polígonos siguientes; luego, escriba en los recuadros el número de lados y diagonales que tiene cada uno de ellos.

c) A continuación encontrará una tabla en la cual se da el número de lados del polígono, su correspondiente número de diagonales y una expresión que permite obtener el número de diagonales del mismo. Deduzca y escriba una formula general que permita escribir el número de diagonales de cualquier polígono.

# de lados del polígono

# de diagonales del polígono

Expresión para calcular el número de diagonales del polígono de acuerdo

con su número de lados.

3 03(3-3) = 0

# de lados # de diagonales # de lados # de diagonales # de lados # de diagonales

# de lados # de diagonales # de lados # de diagonales # de lados # de diagonales

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Parte 2.En las tablas siguientes, se da la clasificación de los polígonos de acuerdo con sus ángulos y de acuerdo con su número de lados, respectivamente. Observe cuidadosamente las mismas y después realice los ejercicios propuestos.

Tabla 1.

Clasificación de los polígonos de acuerdo con sus ángulos

Polígono Convexo.

Todos sus ángulos interiores miden menos de 180°.

Cualquier recta que corta al polígono solo toca dos puntos del mismo.

Polígono cóncavo.

Alguno de sus ángulos interiores mide más de 180°.

Existe alguna recta que al cortar al polígono toca más de dos puntos.

# de diagonales de un poligono de n lados es=

4 24(4-3) = 2

5 55(5-3) = 5

6 96(6-3) = 9

7 147(7-3) = 14

8 208(8-3) = 20

2

2

2

2

2

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Tabla 2

Clasificación de los polígonos de acuerdo con su número de lados.

A continuación encontrará algunas figuras del contexto real con forma de alguno de los polígonos mencionados anteriormente. En los recuadros escriba el nombre de la misma según su número de lados y también si es convexo o cóncavo.

Triángulo 3 lados

Heptágono 7 lados

Cuadrilátero 4 lados

Octágono 8 lados

Pentágono5 lados

Eneágono9 lados

Hexágono6 lados

Decágono10 lados

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Parte 3.A continuación encontrara la gráfica de un polígono especial. Este tipo de polígonos tiene todos sus lados y ángulos congruentes. ¿Sabes cómo se les llama a estos polígonos?

Escriba el nombre de cada una de las partes que se indican en el polígono siguiente, de acuerdo con las definiciones que se indican al lado.

Partes de un polígono regular.Definición de las partes de un

polígono regular.

Centro: Punto interior que se encuentra a la misma distancia de todos los vértices.

Radio: Cualquier segmento que une al centro con un vértice.

Angulo central: Cualquier ángulo determinado por dos radios.

Apotema: Cualquier segmento que une el centro con el punto medio de un lado.

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Actividad 2: Polígonos inscritos y circunscritos.

Parte 1.Tenga a la mano la regla, el compás y el transportador; luego, siga las instrucciones siguientes:• Dibuje un círculo del mismo diámetro que su trasportador (recuerde que un circulo

tiene 360°).• Divida 360° entre alguno de los números siguientes 3, 4, 5, 6, 8, 9 y entre 10

(escoja solo uno de estos para realizar la división).• Con ayuda del trasportador deben hacer la división de la circunferencia asignando la

cantidad de grados que le toca a cada una de las partes iguales en que han dividido la misma en el paso anterior (coloque puntos en el contorno de la circunferencia para indicar cada porción).

• Unir los puntos consecutivos con segmentos de recta.

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Nota: Trace los radios del polígono y conteste las preguntas siguientes:

¿La circunferencia está dentro del polígono formado

¿El polígono formado está dentro de la circunferencia?

¿Los polígonos inscritos en la circunferencia tienen todos sus vértices dentro de la misma?

¿Los radios del polígono son iguales a los radios de la circunferencia?

¿El centro del polígono formado es el mismo centro de la circunferencia?

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Pare 2.a) A continuación encontrará la noción del concepto de recta tangente a una circunferencia y una gráfica que representa dicha situación.

La recta t es tangente a la circunferencia porque es perpendicular a radio r en el punto T. La recta t toca a la circunferencia en ese único punto (en el punto T).

¿La circunferencia está dentro del polígono?

¿El polígono está dentro de la circunferencia?

0

r

T

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¿Todos los vértices del polígono están fuera de la circunferencia?

¿Los radios del polígono son iguales a los radios de la circunferencia?

¿El centro del polígono es el mismo centro de la circunferencia?

¿Los lados del polígono son tangentes a la circunferencia?

¿Cuál es el nombre que se le da a estos polígonos?

b)Escriba una diferencia entre los polígonos inscritos y circunscritos en la circunferencia.

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c) A continuación realizaremos algunas construcciones geométricas utilizando solo regla y compás.

Se darán una serie de pasos para cada figura que se quiere construir.

Figura 1.La primera figura que vamos a construir es un triángulo equilátero. Se recomienda leer cada paso cuidadosamente y de forma inmediata realizar el mismo.

Paso 1: Dibuja un segmento de recta con la regla.

Nota: El tamaño del segmento es cualquiera, pero por el espacio que disponemos lo tomamos entre1cm a 10cm.

Paso 2: En un extremo del segmento colocas la punta del compás y en el otro extremo colocas la punta del lápiz.

Paso 3: Dejando fija la punta del compás, gire la punta del lápiz hasta lograr un arco que abarque un poco más de un cuarto de circulo.

Paso4: Intercambiar los roles de la punta del compás y la del lápiz, y sin cambiar el ancho del mismo, realice el exactamente el procedimiento del paso 3. El nuevo arco debe cruzar el que se hizo en el paso anterior.

Paso 5: Marque con un punto el lugar donde se cruzan los dos arcos. Este punto constituye un vértice del triángulo equilátero, los otros dos vértices son los extremos del segmento.

Paso 6: Unir con segmentos de recta los puntos.

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Figura 2.La segunda figura a construir es un hexágono regular.

Paso 1: Dibuje el plano cartesiano.

Nota: Tomaremos un radio entre 2cm y 5cm por el espacio que disponemos en la hoja. Paso 2: Coloque la punta del compás en el origen del sistema cartesiano y trace una circunferencia que tenga de radio entre 2cm y 4cm. Paso 3: Los puntos de intersección de los ejes del sistema cartesiano con la circunferencia les llamamos A, B, C y D, colocando A en la parte superior (intersección del eje “y” con la circunferencia), y continua con B, C, D en el mismo sentido de las agujas del reloj. Paso 4: Con el mismo radio que se ha trazado la primera circunferencia, se coloca la punta del compás en el punto A y se traza otra circunferencia. Similarmente, se coloca la punta del compás en el punto C y se traza una tercera circunferencia. Paso 5: Coloque puntos donde se intersecan la segunda con la primera circunferencia y la tercera con la primera circunferencia. Esos cuatro puntos junto con los puntos A y C forman el hexágono regular, al ser unidos por segmentos de recta.

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Parte 3.a)Observe cuidadosamente cada figura y conteste las preguntas que se indican.

Figura 1.

¿Qué nombre recibe el polígono cuyos lados son de color rojo?

¿Qué nombre recibe el polígono cuyos lados son de color azul?

¿Tanto el cuadrado como el octágono están inscritos en la circunferencia?

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¿El octágono está inscrito en el cuadrado?

¿El cuadrado está inscrito en el octágono?

¿El cuadrado cuyos lados son de color negro está circunscrito en el cuadrado de color violeta?

Figura 2.

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¿El pentágono cuyos lados son de color negro está circunscrito en el pentágono de color violeta?

b)Construya un hexágono regular circunscrito en otro hexágono regular.(Nota: Use las figuras 2 y 3 del inciso a) como guía).

Figura 3.

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Resumen.

1. Marque con una x los polígonos convexos y con un chulito los cóncavos.

2. Observe cuidadosamente la figura siguiente y conteste las preguntas que se indican.

4 cm3.5 cm

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4. Marque con una x las gráficas donde aparezca un polígono inscrito y con un chulito las que contengan un polígono circunscrito.

¿Cuánto mide el lado de este polígono?

¿Cuánto mide el apotema de este polígono?

¿Cuánto mide el ángulo central de este polígono?

3. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono de 20 lados

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5. Observe cuidadosamente la figura siguiente y conteste la pregunta que se indica.

¿En la figura se dan ambas situaciones: polígono inscrito y polígono circunscrito en la circunferencia?, explique.

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1. Consulte relación entre series de polígonos inscritos y circunscritos con el número pi.

2. Consulte un programa de computación que le permita construir polígonos inscritos y circunscritos en la circunferencia.

Tarea.