UNIVERSIDAD “FERMIN TORO”

Facultad de Ingeniería Evaluación de Análisis Numérico 10%

Actividad Virtual II 10%

Nombres y Apellidos:_ José Armando Valladares Loyo CI:__24001921__

Sección:_______SAIA C_____________ Fecha:__ 25/11/2014 ___

EJERCICIOS 10%

Facilitador: Prof. José E. Linárez

Reciban un cordial saludo los siguientes ejercicios propuestos deberán resolverlos y

enviarlos al link correspondiente hasta el 25/11/2014 pueden enviarlas utilizando

cualquier argumento, escaneo, Word, entre otros. Nota deben participar luego en el

foro de soluciones para poder ser evaluado.

1. Mediante la regla del punto medio y con n = 4, aproximar la ∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥2𝑑𝑥1,6

0

Solución:

REGLA DEL PUNTO MEDIO

Sea f una función continua en [a, b]. La regla del punto medio para aproximar su

integral viene dada por:

∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑏

𝑎

≈𝑏 − 𝑎

𝑛∑ 𝑓

𝑛

𝑖=1

(�̅�𝑖)

Donde xi es el punto medio del i-ésimo subintervalo [𝑥𝑖−1, 𝑥𝑖], es decir, �̅�𝑖 =𝑥𝑖−1+𝑥𝑖

2

𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛𝑥2, 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎 = 0; 𝑏 = 1,6 𝑦 𝑛 = 4, 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:

∆𝑥 =𝑏 − 𝑎

𝑛

∆𝑥 =1,6 − 0

4= 0,4

Por lo que:

𝑥0 = 𝑎 = 0

𝑥1 = 𝑥0 + ∆𝑥 = 0 + 0,4 = 0,4

𝑥2 = 𝑥1 + ∆𝑥 = 0,4 + 0,4 = 0,8

𝑥3 = 𝑥2 + ∆𝑥 = 0,8 + 0,4 = 1,2

𝑥4 = 𝑥3 + ∆𝑥 = 1,2 + 0,4 = 1,6 = 𝑏

�̅�1 =𝑥0 + 𝑥1

2=

0 + 0,4

2= 0,2; �̅�2 =

𝑥1 + 𝑥2

2= 0,6; �̅�3 =

𝑥2 + 𝑥3

2= 1,0; �̅�4 =

𝑥3 + 𝑥4

2= 1,4

Luego:

∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥2𝑑𝑥1,6

0

≈ ∆𝑥 · ∑ 𝑓

4

𝑖=1

(�̅�𝑖)

∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥2𝑑𝑥1,6

0

≈ ∆𝑥 · [𝑓(�̅�1) + 𝑓(�̅�2) + 𝑓(�̅�3) + 𝑓(�̅�4)]

∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥2𝑑𝑥1,6

0

≈ 4 · [𝑓(0,2) + 𝑓(0,6) + 𝑓(1,0) + 𝑓(1,4)]

∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥2𝑑𝑥1,6

0

≈ 4 · [𝑠𝑒𝑛(0,22) + 𝑠𝑒𝑛(0,62) + 𝑠𝑒𝑛(1,02) + 𝑠𝑒𝑛(1,42)]

∫ 𝑠𝑒𝑛𝑥2𝑑𝑥1,6

0

≈ 8,635784292

2. Mediante la regla del trapecio estimar el error que se comete cuando se

aproxima la ∫ 𝑒−𝑥2𝑑𝑥

2

0 con n=10

Solución:

Una cota para el error del método del trapecio para una partición de 𝑛 es dado por

|𝐸𝑇| ≤(𝑏 − 𝑎)3

12𝑛2𝑀𝑇

los valores de 𝑎 y 𝑏 son conocidos el valor de 𝑛 es el que debemos encontrar, por lo

tanto, debemos primero encontrar un valor para 𝑀𝑇 , para esto, recordemos que

𝑀𝑇 ≤ sup𝑥∈[𝑎,𝑏]

|𝑓′′(𝑥)|

por lo cual debemos conocer la segunda derivada, en este caso sabemos que para

𝑓(𝑥) = 𝑒−𝑥2

Se tienen las derivadas:

𝑓′(𝑥) = 𝑒−𝑥2(−2𝑥)

𝑓′′(𝑥) = 𝑒−𝑥2(−2𝑥)(−2𝑥) + 𝑒−𝑥2

(−2)

𝑓′′(𝑥) = 4𝑥2𝑒−𝑥2− 2𝑒−𝑥2

𝑓′′(𝑥) = 𝑒−𝑥2(4𝑥2 − 2)

Por lo que solo debemos acotar |𝑓′′(𝑥)| , para esto previamente acotamos 𝑒−𝑥2, como:

0 ≤ 𝑥 ≤ 2 ⇒ 0 ≤ 𝑥2 ≤ 4

Multiplicando por -1 a ambos miembros:

−4 ≤ −𝑥2 ≤ 0

Mediante la función exponencial:

𝑒−4 ≤ 𝑒−𝑥2≤ 𝑒0 = 1

Portando:

𝑒−𝑥2≤ 1

Quedando acotado el primer factor, para el segundo factor partimos de 0 ≤ 𝑥 ≤ 2

con lo cual:

0 ≤ 𝑥 ≤ 2 ⇒ 0 ≤ 𝑥2 ≤ 4

Multiplicando por 4 ambos miembros:

0 ≤ 4𝑥2 ≤ 16

Restando 2

−2 ≤ 4𝑥2 − 2 ≤ 16 − 2

Tomando valor absoluto:

−14 ≤ −2 ≤ 4𝑥2 − 2 ≤ 14

|4𝑥2 − 2| ≤ 14

Luego:

|𝑓′′(𝑥)| = |𝑒−𝑥2(4𝑥2 − 2)| = |𝑒−𝑥2

||4𝑥2 − 2| ≤ 1 · 14

|𝑓′′(𝑥)| ≤ 14

Por lo que:

𝑀𝑇 = 14

El error para n = 10 nos queda:

|𝐸𝑇| ≤(𝑏 − 𝑎)3

12𝑛2𝑀𝑇 =

(2 − 0)3

12 · 10214

Por lo que tenemos:

|𝐸𝑇| ≤ 0,093333333

De todo lo anterior se obtiene que para 𝑛 = 10 particiones se obtiene un error

menor o igual a 0,093333333.

3. Hallar el numero n tal que la aproximación a través de la regla de Simpson de la

∫ 𝑒𝑥22

0𝑑𝑥 tenga una exactitud de 0,0001

Solución

Una cota para el error del método de Simpson para una partición de 𝑛

subintervalos es dado por

|𝐸𝑆| ≤(𝑏 − 𝑎)5

180𝑛4𝑀𝑆

Los valores de 𝑎 y 𝑏 son conocidos el valor de 𝑛 es el que debemos encontrar,

por lo tanto, debemos primero encontrar un valor para 𝑀𝑠, para esto, recordemos que

𝑀𝑆 ≤ 𝑠𝑢𝑝𝑥∈[𝑎,𝑏]

|𝑓(𝑖𝑣)(𝑥)|

Por lo tanto debemos conocer la cuarta derivada, en este caso sabemos del ejercicio

anterior,

𝑓′′(𝑥) = 𝑒−𝑥2(4𝑥2 − 2)

Derivando nuevamente:

𝑓′′′(𝑥) = 𝑒−𝑥2(−2𝑥)(4𝑥2 − 2) + 𝑒−𝑥2

8𝑥

𝑓′′′(𝑥) = 𝑒−𝑥2[(−2𝑥)(4𝑥2 − 2) + 8𝑥]

𝑓′′′(𝑥) = 𝑒−𝑥2(−8𝑥3 + 12𝑥)

𝑓(𝑖𝑣)(𝑥) = 𝑒−𝑥2(−2𝑥)(−8𝑥3 + 12𝑥) + 𝑒−𝑥2

(−24𝑥2 + 12)

𝑓(𝑖𝑣)(𝑥) = 𝑒−𝑥2(16𝑥4 − 24𝑥2 − 24𝑥2 + 12)

𝑓(𝑖𝑣)(𝑥) = 4𝑒−𝑥2(4𝑥4 − 12𝑥2 + 3)

Así, para hallar 𝑀𝑆 tenemos que acotar |𝑓(𝑖𝑣)(𝑥)| , para esto primero acotamos al igual

que en ejercicio anterior: 𝑒−𝑥2 para 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 y obtenemos

𝑒−𝑥2≤ 1

Quedando acotado el primer término.

Para el segundo término utilizaremos la desigualdad triangular en los reales (es decir,

|𝑎 + 𝑏 + 𝑐| ≤ |𝑎| + |𝑏| + |𝑐|) y obtenemos

|4𝑥4 − 12𝑥2 + 3| ≤ |4𝑥4| + |−12𝑥2| + |3| = 3 + 12|𝑥2| + 4|𝑥4|

Por lo tanto, lo único que es necesario acotar es: |𝑥2| y |𝑥4| a partir de 0 ≤ 𝑥 ≤ 2, de lo

cual tenemos

|𝑥2| ≤ 4

|𝑥4| ≤ 16

Sustituyendo en la desigualdad anterior aseguramos que

|3 − 12𝑥2 + 4𝑥4| ≤ 3 + 12(4) + 4(16) = 115

Y así, podemos elegir: 𝑀𝑆 = 4(115) = 460.

La cota del el error tomara la forma

|𝐸𝑆| ≤(3)5

180𝑛4460 =

111780

180𝑛4

donde estamos buscando a su vez que sea menor que 0,0001 es decir,

111780

180𝑛4< 0,0001

Despejando n tenemos:

√111780

180 · 0,0001

4

= 49,91980728 < 𝑛

Tomando el siguiente valor entero par, en este caso 𝑛 = 50 particiones lo cual

garantiza un error menor o igual a 0,0001.

4. Use el método de la cuadratura de Gauss para evaluar la ∫𝑑𝑥

3+𝑥2

1

−1

Para n = 2 mediante el método de cuadratura de Gauss y después compárelo con el

resultado exacto.

Número de puntos, n Puntos, xi Pesos, wi

1 0 2

2 ±√1/3 1

3

0 8⁄9

±√3/5 5⁄9

4

±√(3 − 2√6/5)/7 18 + √30

36

±√(3 + 2√6/5)/7 18 − √30

36

5

0 128⁄225

±1

3√5 − 2√10/7

322 + 13√70

900

±1

3√5 + 2√10/7

322 − 13√70

900

Para n = 2:

2n – 1 = 2·2 – 1 = 3

Se tiene para:

𝑓(𝑥) =1

3 + 𝑥2

Para n = 2 se puede resolver la integral con exactitud para todos los polinomios de

grado igual o menor a 3 para f(x).

∫𝑑𝑥

3 + 𝑥2

1

−1

≈ ∑ 𝜔𝑖𝑓 (1 − (−1)

2𝑥𝑖 +

1 + (−1)

2)

2

𝑖=1

∫𝑑𝑥

3 + 𝑥2

1

−1

= 𝜔1𝑓(𝑥1) + 𝜔2𝑓(𝑥2)

∫𝑑𝑥

3 + 𝑥2

1

−1

≈ 1 · 𝑓 (−1

√3) + 1 · 𝑓 (−

1

√3)

∫𝑑𝑥

3 + 𝑥2

1

−1

≈1

3 + (−1

√3)

2 +1

3 + (1

√3)

2

∫𝑑𝑥

3 + 𝑥2

1

−1

≈1

3 +1

3

+1

3 +1

3

=110

3

+110

3

∫𝑑𝑥

3 + 𝑥2

1

−1

≈ 0,6

Te deseo el mayor de los éxitos.

Prof: José E. Linárez