al2013afs

Instituto Tecnolgico de CiudadJurez

lgebra Lineal

Apuntes para el curso lgebraLineal

Autor:Cuevas-Machado,Francisco

Dirigido a:Estudiantes de las

diferentes Ingenieras

21 de enero de 2013

ndice general

1. Nmeros Complejos 51.1. Orgen de los nmeros complejos . . . . . . . . . . . . . . . 51.2. Definicin de nmero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . 101.3. Propiedades de los nmeros complejos . . . . . . . . . . . . 101.4. Parte real e imaginaria de un nmero complejo . . . . . . . 121.5. Operaciones bsicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.6. Potencias de i, mdulo y argumento . . . . . . . . . . . . . 141.7. Forma polar, trigonomtrica y exponencial . . . . . . . . . . 161.8. Frmula de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.9. Teorema de De Moivre, potencias y races . . . . . . . . . . 191.10. Ecuaciones polinmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2. Matrices y Determinantes 292.1. Definicin de matriz, notacin, orden . . . . . . . . . . . . . 292.2. Operaciones con matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.2.1. Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.2. Resta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.3. Producto de una matriz por un escalar . . . . . . . . 292.2.4. Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2.5. Divisin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.3. Clasificacin de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4. Clculo de la inversa de una matriz . . . . . . . . . . . . . . 312.5. Definicin del determinante de una matriz . . . . . . . . . . 312.6. Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . . . . . . 312.7. Inversa de una matriz a travs de la adjunta . . . . . . . . . 312.8. Solucin de un sistema de ecuaciones a travs de la inversa 312.9. Solucin de un sistema de ecuaciones por la regla de Cramer 312.10. Aplicaciones de matrices y determinantes . . . . . . . . . . 31

3. Sistemas de ecuaciones lineales (SEL) 333.1. Definicin de SEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.2. Clasificacin de los SEL y tipos de solucin . . . . . . . . . 333.3. Interpretacin geomtrica de las soluciones . . . . . . . . . . 333.4. Mtodos de solucin de un SEL . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.4.1. Eliminacin gaussiana . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.4.2. Mtodo de Gauss-Jordan . . . . . . . . . . . . . . . 363.4.3. Mtodo de la inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4.4. Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.5. Sistemas homogneos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.6. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3

4 NDICE GENERAL

4. Espacios Vectoriales 454.1. Definicin de espacio vectorial y propiedades . . . . . . . . 454.2. Definicin de subespacio vectorial y propiedades . . . . . . 454.3. Propiedades de vectores, combinacin lineal, dependencia e

independencia lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.4. Bases y dimensin de un espacio vectorial . . . . . . . . . . 464.5. Espacio vectorial con producto interno y propiedades . . . . 47

4.5.1. Norma de un vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.5.2. ngulo entre dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . 474.5.3. Distancia entre dos vectores . . . . . . . . . . . . . . 484.5.4. Relatividad especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.6. Cambios de base y proceso Gram-Schmidt . . . . . . . . . . 52

5. Transformaciones Lineales 575.1. Definicin de transformacin lineal y sus propiedades . . . . 575.2. Ejemplos de transformaciones lineales (reflexin, dilatacin,

contraccin y rotacin) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575.3. Definicin de Kernel e imgen de una transformacin lineal 585.4. La matriz de una transformacin lineal y representacin ma-

tricial de una transformacin lineal . . . . . . . . . . . . . . 585.5. Transformaciones y sistemas de ecuaciones lineales . . . . . 585.6. lgebra de las transformaciones lineales . . . . . . . . . . . 585.7. Aplicaciones de las transformaciones lineales . . . . . . . . . 58

6. Valores y Vectores Caractersticos 596.1. Definicin de valores y vectores caractersticos de una matriz

cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.2. Polinomio y ecuacin caracterstica . . . . . . . . . . . . . . 596.3. Determinacin de los valores y vectores caractersticos de

una matriz cuadrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.4. Diagonalizacin de matrices, potencias y races de matrices 596.5. Diagonalizacin de matrices simtricas, diagonalizacin or-

togonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.6. Formas cuadrticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.7. Teorema de Cayley-Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . 596.8. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7. Apndice 617.1. Raz de un nmero complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617.2. Ecuacin Cbica: Mtodo de Tartaglia . . . . . . . . . . . . 637.3. Ecuacin de la recta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 667.4. Formas cuadrticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 677.5. Frmulas algebraicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687.6. Identidades trigonomtricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

1 Nmeros Complejos

Abordaremos el sistema de los nmeros complejos, el cual, como veremosadelante es una extensin del sistema de nmeros reales, con el cual ellector estar bastante familiarizado, es por esto que se suponen conocidaslas propiedades del sistema de los nmeros reales. AqB

1.1. Orgen de los nmeros complejos

Aunque hoy nos es muy familiar el concepto de nmero, ste fue elabo-rado muy lentamente a travs de los tiempos. Incluso en tiempos recientes,tribus que mantenan normas de vida muy primitivas tenan los conceptosnumricos muy atrasados. Por ejemplo, se dan casos en los que no existanombre para cantidades mayores que tres; en otros, para nmeros un pocomayores se utilizaban trminos similares a muchos o incontables.

Si retrocedemos al tiempo, de las cuatro grandes civilizaciones del mun-do occidental antiguo (Babilonia, Egipto, Grecia y Roma) veremos quebabilonios y griegos desarrollaron elevados conocimientos matemticos.

Para poder realizar importantes obras agrcolas y arquitectnicas, losbabilonios tuvieron que desarrollar, hacia el siglo XXII a. n. e., un sistemade numeracin til, Se sabe que su sistema de numeracin era de base 60(a diferencia del actual, que es de base 10); es decir, dividan la unidad en60 partes (de forma similar a como dividimos una hora en 60 minutos).Los sumerios tambin utilizaban este sistema de numeracin, y realizabancomplicados clculos aritmticos. Aunque los egipcios no hicieron aporta-ciones tan significantes como los griegos al desarrollo de los nmeros, seha encontrado un interesante documento, en el cual se demuestra que yamanejaban algunas fracciones sencillas. Este documento se denomina elPapiro de Rhind . Fue escrito bajo el reinado del Rey Hicso EkenenreApopi, hacia el 1600 a. n. e., y al parecer, es una transcripcin de un escritoms antiguo, que se remontara al reinado de Amenemhat o Amenemes III(XII dinasta, 18501800 a. n. e.). En este papiro se observan unas reglaspara realizar sumas y restas de fracciones. Cuando se deba realizar unareparticin exacta, no se presentaban problemas de clculo; sin embargo, sihaba que dividir 42 panes entre 10 personas, la operacin se complicaba.En estos casos, los babilonios utilizaban el nmero decimal 4.2, mientrasque los egipcios, con un sistema de numeracin ms primitivo, necesitabande las fracciones para expresar estas divisiones no exactas. Conocan lasfracciones de numerador 1 y de denominador 2, 3, 4, etc., adems de lasfracciones 23 y

34 . En el papiro de Rhind se propone un mtodo de clculo

(bastante pesado) que permite dividir 19 entre 2. El mtodo empleado parala divisin es realmente curioso. Se basa en la multiplicacin y siempre seobtenan cantidades enteras o fracciones exactas. No podemos asegurar quedesconociesen totalmente el resto, pero no tenemos pruebas de divisiones

5

6 CAPTULO 1. NMEROS COMPLEJOS

en las que aparezca.

Si se quiere dividir nm entonces la idea consiste en obtener el nmerode m y de partes de m que suman n. Como ya hemos comentado el sistemase basa en la multiplicacin, pero ahora es el divisor el nmero que seduplica. Se genera una tabla de 2 columnas que tiene en la primera fila elnmero 1 y el denominador m. La idea se basa en obtener en la columna dela derecha el nmero n con la construccin de sucesivas filas obtenidas porduplicacin o divisin. El dividendo se obtiene, entonces, como la suma delos elementos duplicados de la columna del divisor, y el cociente es la sumade los nmeros elegidos en la columna base de la duplicacin. Por ejemplopara dividir 213 se haca:

1 32 64 12

Al igual que en la multiplicacin el siguiente nmero ser 8 y corresponderaa 24 que es mayor que 21. Por tanto no se sigue con la tabla. Si el nmero21 se puede obtener como suma de los valores de la columna de la derecha,entonces ya est. En este caso

12 + 6 + 3 = 21 213

= 4 + 2 + 1 = 7

Este ejemplo es el ms sencillo, pues la divisin es entera. El problema surgacuando no se obtenan divisiones enteras y haba que utilizar fracciones.Para dividir 216 se ejecutaba el mismo proceso anterior, pero cuando seobtiene un nmero mayor que el numerador, si este no se puede obtenercomo suma de valores de la columna de la derecha, se contina la tabla,dividiendo por 2.

1 62 1212 3

Ahora ya no tiene sentido poner 4 24 porque 24 > 21. Tampoco se puedeobtener el valor 21 como suma de valores de la columna de la derecha; portanto se contina con divisiones ( 12 ,

14 , . . .)

6 + 12 + 3 = 21 216

= 1 + 2 +1

2= 3.5

Lgicamente el tema se puede complicar bastante ms. Qu pasa sillegamos a un punto en el que no tenemos nmeros enteros en la columnade la derecha? Por ahora simplemente vamos a emplear estos mtodos pararealizar la divisin 10013 . El problema es el nmero 65 del papiro Ahmes quese resuelve de la siguiente forma.

1.1. ORGEN DE LOS NMEROS COMPLEJOS 7

Obtenemos la tabla inicial:

1 132 264 5223 8 +

23

113 1139

13

Como puede apreciarse el mayor problema lo representa la eleccin delos nmeros:

13 + 26 + 52 + 8 +2

3+

1

3= 100 100

13= 1 + 2 + 4 +

2

3+

1

39

Si empleamos el mtodo de la duplicacin llegamos a un punto en elque no podemos continuar y aqu es donde se presenta el problema. Qunmero elegir? Los escribas no dejaban constancia de los procedimientosintermedios que seguan, pero debieron emplear un mtodo para seleccio-nar los nmeros. Si analizamos la resolucin advertimos que el uso de 13es innecesario, sin embargo el escriba lo emplea, por qu? Hemos vistoque se emplean nmeros enteros innecesarios para seguir un mtodo, el deduplicacin. El empleo de fracciones innecesarias nos lleva a pensar queefectivamente se empleaba un mtodo para seleccionar los nmeros, perodesgraciadamente hoy por hoy lo desconocemos.

Pero, entre todos los pueblos de la antigedad, fueron los griegos losque realizaron las aportaciones ms valiosas al desarrollo del concepto denmero.

Figura 1.1: Brahamagupta

La escuela pitagrica (siglo V a. n. e.)descubri que slo con los nmeros na-turales y las fracciones no pueden rea-lizarse todas las medidas posibles. Exis-tan pares de segmentos, como la dia-gonal y el lado de un pentgono re-gular, o la diagonal y el lado de uncuadrado, cuyo cociente de longitudes noes una fraccin. Creyeron que el caosentraba en su mundo ordenado, y lla-maron a tal razn alogos o irracio-nal.

Posteriormente se desarroll el concepto denmero negativo. Fueron los chinos, quienes en el siglo III a. n. e., em-plearon las varas de contar, un conjunto de barras pintadas de rojo para losnmeros positivos, y de negro para los negativos. Un siglo despus, aparecen


por primera vez reglas para operar con los nmeros negativos; sin embargo,no eran aceptados como soluciones de problemas. Siglos despus, hacia elao 500, en la India se plasmaron los orgenes de nuestro sistema de nume-racin. El principio de posicin (valor relativo a las cifras), las nueve cifrasy el cero aparecen en las obras del matemtico Brahmagupta. Durante estapoca, los matemticos indios tambin aceptaron las soluciones negativasde las ecuaciones, al tiempo que admitan como nmeros las races de otrosnmeros que no podan ser expresados mediante nmeros racionales.

Figura 1.2: Al-Khuwarismi

En el ao 772, una embajada in-dia llev hasta Bagdad los libros enque se recogan estos conocimientos. Gra-cias a este hecho, en la primera mitaddel siglo IX se recopilaron los nuevosmtodos matemticos en un tratado deAl-Khuwarismi , que en el siglo siguien-te se difundieron lentamente por Occiden-te.

La civilizacin musulmana llev estosconocimientos a Sicilia y a Espaa, y los

mercaderes rabes e italianos los adoptaron, satisfechos de no tener que lle-var consigo el incmodo baco. Fue el mercader Leonardo Pisano Fibonacciquien, despus de haber aprendido aquel arte de los rabes en sus viajescomerciales por Argelia, Siclia y Oriente, reuni todos los conocimientosde aritmtica y lgebra de su tiempo en una obra llamada Liber Abaci(1202), que difundi por Europa la numeracin india.

Figura 1.3: Leonardo PisanoFibonacci

Hasta entonces, en Europa se habanevitado los nmeros negativos; pero Fibo-nacci, en un problema referente al dinero,que no tiene solucin positiva, observ sunecesidad.

Durante el siglo XIV, los nmeros nega-tivos eran denominados numeri absurdi . Sedebi esperar hasta el siglo XV, para que elfrancs Chaquet expresara por primera vezun nmero negativo aislado en la ecuacin

4x = 2.Durante el siglo XVI, se populariz el uso de la barra horizontal para

separar los trminos de una fraccin, nomenclatura de origen rabe. Pe-ro, aunque algunos problemas se solucionaban, surgan otros. Al intentarresolver ecuaciones de segundo grado como

x2 2x+ 5 = 0

1.1. ORGEN DE LOS NMEROS COMPLEJOS 9

y otras de grado mayor, empezaron a encontrarse expresiones tales como16, que no se saba interpretar. An sin entenderlas, algunos comenza-ron a manipularlas con las mismas reglas que utilizaban para los nmerosque conocan. Fue Cardano1 durante este mismo siglo, quien propuso unnuevo tipo de nmeros, que denomin ficticios, como solucin a las racescuadradas de nmeros negativos.

El problema de los nmeros irracionales no se resolvi por completo sinohasta el siglo XVII, cuando Fermat2 quien puede ser considerado como elpadre de la moderna teora de nmeros, demostr que expresiones como

3

no eran nmeros racionales.

Slo quedaba por resolver el problema de las races negativas; y estoocurri en 1777, cuando Euler3 di a la

1 el nombre de i (imaginario).En 1799, Gauss4 acab de resolver el problema al demostrar que las solucio-nes de cualquier ecuacin algebraica, fuera cual fuese su grado, pertenecaa un conjunto de nmeros que l llam complejos, a los que consider com-puestos de un nmero ordinario (hoy le llamamos nmero real), ms unmltiplo de la

1, llamado unidad imaginaria.1Girolamo Cardano (1501-1576). Italiano, mdico de profesin y matemtico de pri-

mera lnea. Plagi, copi y public como propio el mtodo de resolucin de ecuacionesde tercer grado de Tartaglia, despus de prometer a su descubridor que lo mantendraen secreto. Pas varias etapas de su vida en la crcel, debido a sus numerosas trampasy pilleras. Desde entonces se asumi que la gloria de un trabajo cientfico correspondea quien primero lo publique.

2Pierre de Fermat (1601-1665). Francs, fu un abogado de profesin, que desarrollsu gusto por las matemticas a tal grado que hizo aportaciones notables en los camposde Teora de nmeros, Teora de Juegos y otros ms.

3Leonhard Euler (17071783). Suizo, hijo de un clrigo, que viva en los alrededoresde Basilea. Su talento natural para las matemticas se evidenci pronto por el afn yla facilidad con que dominaba los elementos, bajo la tutela de su padre. A una edadtemprana fue enviado a la Universidad de Basilea, donde atrajo la atencin de JeanBernoulli. Inspirado por un maestro as, madur rpidamente, a los 17 aos de edad,cuando se gradu de Doctor, provoc grandes aplausos con un discurso probatorio, eltema del cual era una comparacin entre los sistemas cartesiano y newtoniano.

4Karl Friedrich Gauss (1777-1855). Alemn, a los diez aos de edad, su maestrosolicit a la clase que encontrara la suma de todos los nmeros comprendidos entre unoy cien. El maestro, pensando que con ello la clase estara ocupada algn tiempo, quedasombrado cuando Gauss, levant en seguida la mano y di la respuesta correcta. Gaussrevel que encontr la solucin usando el lgebra, el maestro se di cuenta de que el nioera una promesa en las matemticas. Hijo de un humilde albail, Gauss di seales de serun genio antes de que cumpliera los tres aos. A esa edad aprendi a leer y hacer clculosaritmticos mentales con tanta habilidad que descubri un error en los clculos que hizosu padre para pagar unos sueldos. Ingres a la escuela primaria antes de que cumpliera lossiete aos. Cuando tena doce aos, critic los fundamentos de la geometra euclideana;a los trece le interesaba las posibilidades de la geometra no euclideana. A los quince,entenda la convergencia y prob el binomio de Newton. El genio y la precocidad deGauss llamaron la atencin del duque de Brunswick, quien dispuso, cuando el muchachotena catorce aos, costear tanto su educacin secundaria como universitaria. Gauss, aquien tambin le interesaban los clsicos y los idiomas, pensaba que hara de la filologala obra de su vida, pero las matemticas resultaron ser una atraccin irresistible.


Como ha podido comprobarse, para llegar a estos conceptos que hoy nosparecen sencillos y lgicos, han tenido que pasar muchos siglos y muchasculturas, cada uno de los cuales ha hecho sus aportaciones al conocimientode los nmeros.

1.2. Definicin de nmero complejo

DEFINICIN 1.1. Nmero complejo.

Los nmeros complejos z C los definimos como pares ordenados

z = (x, y)

con x e y nmeros reales.

DEFINICIN 1.2. Dos nmeros complejos z1 = (x1, y1) z2 = (x2, y2),son iguales si y slo si

x1 = x2 y1 = y2es decir, son iguales si tienen las mismas partes real e imaginaria.

DEFINICIN 1.3. El nmero complejo z = (x,y), es el nmero com-plejo conjugado de z = (x, y) o simplemente, el conjugado de z y se denotapor z.

Con los nmeros complejos se pueden efectuar operaciones aritmticascomo las que se pueden efectuar con los nmeros reales, y poseen las pro-piedades que a continuacin enumeramos.

1.3. Propiedades de los nmeros complejos

Sean z1, z2 y z3 nmeros complejos, se cumplen las siguientes propieda-des:

1. Leyes conmutativas (adicin y multiplicacin).

z1 + z2 = z2 + z1

z1 z2 = z2 z12. Leyes asociativas (adicin y multiplicacin).

z1 + (z2 + z3) = (z1 + z2) + z3

z1 (z2 z3) = (z1 z2) z3

1.3. PROPIEDADES DE LOS NMEROS COMPLEJOS 11

3. Ley distributiva.

z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3

4. Elemento neutro (adicin y multiplicacin).

z1 + 0 = z1

z1 1 = z15. Inversos (aditivo y multiplicativo).

z1 + (z1) = 0

z1 1z1

= 1; z1 6= 0

6. Transitividad.z1 = z2 z2 = z3

z1 = z3

El conjunto de los nmeros complejos no est ordenado en el sentidoque lo estn los nmeros reales, o sea que la proposicin z1 < z2 carece desentido en el conjunto de los nmeros complejos. Tomando en cuenta queel conjunto de los nmeros reales est ordenado, podramos pensar que elconjunto de los nmeros imaginarios tambin lo est, sin embargo, no es asya que para que un conjunto est ordenado a < b implica a2 < b2, sin em-bargo, si a y b son cantidades imaginarias, llegaramos a una contradiccin5.

PROBLEMA PROPUESTO: Siendo z1 y z2 nmeros complejos, enton-ces si z1 z2 = 0, por lo menos uno de los factores debe ser cero.

Demostracin. Supngase que z1 z2 = 0 y que z1 6= 0, sea z1 = x1 + iy1 z2 = x2 + iy2, entonces por la definicin del producto, se tiene que:

z1 z2 = (x1x2 y1y2) + i(x1y2 + x2y1) = 0 + 0i

y por la definicin de igualdad entre nmeros complejos

x1x2 y1y2 = 0

y1x2 + x1y2 = 0

5Si partimos que la desigualdad 2i > i, al investigar los axiomas de orden podemosdarnos cuenta que no es verdadera, esto es, si 2i > i entonces debe ser cierto que (2i)2 >(i)2, sin embargo, (2i)2 = 4 y por otra parte (i)2 = 1, por tanto, no es cierto que4 > 1.


el cual es un sistema homogneo de ecuaciones simultneas; y ya que eldeterminante del sistema

=x1 y1y1 x1

= x21 + y21

es diferente de cero (x1 y y1 no pueden ser simultneamente cero, ya quez1 6= 0 y es una suma de cuadrados), el sistema es consistente y de-terminado, o sea que el sistema tiene solucin y es nica, siendo estax2 = 0 y2 = 0, es decir, z2 = 0. Por lo tanto, si z1 z2 = 0, entonces,z1 = 0 o z2 = 0.

1.4. Parte real e imaginaria de un nmero com-plejo

Se conoce como parte real del complejo z = (x, y) al nmero real x, ycomo parte imaginaria al nmero real y, y se escribe:

x = Re(z)

y = Im(z)

que cumplen las siguientes propiedades:

1. x =z + z

2

2. y =z z

2i

1.5. Operaciones bsicas

Suma. Para sumar dos nmeros complejos, hay que sumar las partes realesy las partes imaginarias por separado.

Desde cierto punto prctico, la suma de nmeros complejos puede serconvenientemente realizada solo si ambos nmeros estn en la forma rec-tangular o cartesiana.

Sean z1 y z2 dos nmeros complejos, la suma viene dada por

z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2, y1 + y2) (1.1)

Resta. Para restar dos nmeros complejos, hay que restar las partes realesy las partes imaginarias por separado.

1.5. OPERACIONES BSICAS 13

Desde cierto punto prctico, la resta de nmeros complejos puede serconvenientemente realizada solo si ambos nmeros estn en la forma rec-tangular o cartesiana.

Sean z1 y z2 dos nmeros complejos, la resta viene dada por

z1 z2 = (x1, y1) (x2, y2) = (x1 x2, y1 y2)Multiplicacin. El producto de nmeros complejos en la forma cartesianao rectangular se puede hallar tratando a los dos nmeros complejos comobinomios.

Sean z1 y z2 dos nmeros complejos, el producto viene dado por

z1z2 = (x1x2 y1y2, x1y2 + x2y1) (1.2)Divisin. La divisin de nmeros complejos en la forma cartesiana o rec-tangular se puede hallar multiplicando el numerador y el denominador porel conjugado del denominador. Es decir,

z1z2

=(x1, y1)

(x2, y2)

y al multiplicar por el conjugado del denominador en ambas partes delcociente, queda

x1, y1x2, y2

x2,y2x2,y2 =

(x1x2 + y1y2x22 + y

22

,x2y1 x1y2x22 + y

22

)

N complejo en forma de combinacin lineal. Los nmeros complejosde la forma (0, y) se llaman imaginarios (puros). Los nmeros complejos dela forma (x, 0) se llaman reales. Todo nmero imaginario es complejo y todonmero real es complejo.

De acuerdo con la suma y el producto ya definidos, tenemos que enparticular se cumple que:

(x, 0) + (0, y) = (x, y) (0, 1) (1, 0) = (0, 1)por lo que

(x, y) = (x, 0) + (0, 1) (y, 0) (1.3)Adems identificamos a cualquier par ordenado de la forma (x, 0) como elnmero real x, y as el conjunto de los nmeros complejos tendr comosubconjunto al conjunto de los nmeros reales. Adems, las operacionesdefinidas por medio de las ecuaciones (1.1) y (1.2) se transforman en las


operaciones comunes de adicin y multiplicacin cuando se restrinjan a losnmeros reales. El sistema de los nmeros complejos es, de esta manera,una extensin natural del sistema de los nmeros reales.

Si precisamos en un nmero real x como (x, 0) y denotamos por i alnmero imaginario (0, 1) podemos reescribir la ecuacin (1.3) como:

(x, y) = x+ iy (1.4)

Si convenimos en seguir usando la notacin familiar z2 = zz, z3 = zzz,zn = zzz . . . z

n veces

, etc., observamos que i2 = (0, 1)(0, 1) = (1, 0)6.

Es decir:i2 = 1

A partir de (1.4), las ecuaciones (1.1) y (1.2) las podemos escribir como

z1 + z2 = (x1 + iy1) + (x2 + iy2) = (x1 + x2) + i(y1 + y2) (1.5)z1z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = (x1x2 y1y2) + i(x1y2 + x2y1) (1.6)

Es fcil ver que el segundo miembro de stas ecuaciones se obtiene sioperamos los trminos del primer miembro como si fueran solamente n-meros reales y sustituyendo i2 por 1 cada vez que aparezca.

1.6. Potencias de i, mdulo y argumento

Potencias de i. Si i2 = 1, cunto vale i3, i4, o de forma ms general,cunto vale in? Calculamos i3 de la siguiente forma: i3 = ii2 = i(1) = i,de la misma forma calculamos el valor de i4 = i2 i2 = (1)(1) = 1. Qupasa con los exponentes negativos?, por ejemplo, i2, por propiedades delos exponentes, i2 = 1i2 , y como ya sabemos que i

2 = 1, pues tenemosque i2 = 1i2 =

11 = 1 como se ve en la tabla de la seccin anterior.

Como toda cantidad elevada a la potencia 0 es igual a 1, ser cierto quei0 = 1? [Se deja como ejercicio al lector]. Intente encontrar el valor de i457,qu estrategia habra que seguir?

Representacin grfica de un nmero complejo. A cada nmero com-plejo z = x+ iy le asociamos un punto en el plano cuyas coordenadas car-tesianas son x e y. O sea, cada nmero x + iy esta asociado con el punto

6Tenga presente la siguiente tabla y sela como sugerencia para encontrar una frmulageneral para calcular las potencias de i

i7 = i i3 = i i1 = i i5 = ii6 = 1 i2 = 1 i2 = 1 i6 = 1i5 = i i1 = i i3 = i i7 = ii4 = 1 i0 = 1 i4 = 1 i8 = 1

1.6. POTENCIAS DE I, MDULO Y ARGUMENTO 15

(x, y). De esta manera se establece una correspondencia biunvoca entre elplano cartesiano (en el plano cartesiano, al representar nmeros complejosse le denomina plano de Argand7) y el conjunto de los nmeros complejos.Podemos imaginar al nmero complejo z como un vector desde el origenhasta el punto (x, y) ver la figura 1.4.

Figura 1.4: Representacincartesiana

Mdulo de un nmero complejo. Elmdulo8 de un nmero compejo es una me-dida de la distancia desde el origen hasta elpunto z que es la representacin geomtricadel nmero complejo, ver figura (1.4), y serepresenta por |z|. Para calcular el mdu-lo de un nmero complejo, recurriremos alllamado Teorema de Pitgoras que enun-cia una ley entre los lados de un tringulorectngulo.

DEFINICIN 1.4. El mdulo del nmero complejo z es

|z| =x2 + y2

Argumento de un nmero complejo. Con frecuencia, los puntos delplano complejo, que representan nmeros complejos, se definen en trminosde coordenadas polares, ver la figura 1.5.

Figura 1.5: Argumento y m-dulo

El nmero complejo z = x+ iy est re-presentado por el punto z cuyas coordena-das en el sistema cartesiano son (x, y), sinembargo tambin, las coordenadas pueden

7Se llama as en honor a JeanRobert Argand (17681822), matemtico suizo queen 1806 propuso esta representacin para los nmeros complejos. En 1806 apareci eltrabajo: Essai sur une manire de reprsenter les quantits imaginaires dans les cons-tructions gomtriques. En este pequeo libro Argand di una representacin geomtricamoderna para la adicin y la multiplicacin de nmeros complejos, y mostr como starepresentacin se poda aplicar para deducir algunos teoremas en trigonometra, geo-metra elemental y lgebra. La manera en que se conoci el trabajo de Argand fue untanto complicado. Pens enviar una copia de su trabajo y se la envi a Francois Francaisa pesar de que l no conoca la identidad del autor. Despus de la muerte de FrancoisFrancais en 1810 su hermano Jacques Francais trabajando en sus papeles, encontr elpequeo libro de Argand. En septiembre de 1813, Jacques Francais public un trabajo enel cul mostr una representacin geomtrica de los nmeros complejos con aplicacionesinteresantes, basndose en las ideas de Argand, mencionando que su documento se basen el trabajo de un matemtico desconocido invitando a ste hacerse conocer l mismo.El artculo de Jacques Francais apareci en los Annales de mathematiques y Argandrespondi a Jacques Francais reclamando el reconocimiento como autor, presentando li-geras modificaciones a la versin original con algunas aplicaciones. Posteriormente en elGergonnes Journal apareci una vigorosa discusin entre Jacques Francais, Argand yServoir en donde los dos primeros argumentaban la validez de la representacin geom-trica de los nmeros complejos mientras Servois argumentaba que los nmeros complejosdeban manejarse usando nicamente el lgebra.

8El mdulo tambin se puede identificar como: tamao, distancia, longitud, magnitudo norma.


darse en el sistema de coordenadas pola-res, y son (r, ). Vemos que r es idntico almdulo de z, es decir, a la distancia de zal origen; y es el ngulo que forma con elsemieje positivo x, el segmento que va delorigen a z.

DEFINICIN 1.5. Decimos que es el argumento de z y escribimos

= arg z

en ocasiones se dice que es el ngulo de z, y se calcula de la siguienteforma

arg(z) = arctan

[im(z)

re(z)

]siempre que z 6= 0.

1.7. Forma polar, trigonomtrica y exponen-cial

Forma Polar o de Steinmetz. La forma polar o de Steinmetz9 es muyutilizada en los nmeros complejos. Para convertir un nmero en formacartesiana o rectangular (la forma con la cual hemos estado trabajando)utilizamos las siguientes frmulas:

r =x2 + y2

= arctan(yx

)donde 0 2pi entonces la forma cartesiana

z = x+ iy

la podemos cambiar a forma polar:

z = (r, )

9Charles Proteus Steinmetz (18651923) El uso de los nmeros complejos para resolverproblemas de circuitos de C.A. fue puesto en prctica primero por este matemtico eingeniero electricista germanoaustriaco en un artculo presentado en 1893. tambin sedistingue por la leyes de histresis y por su trabajo en la manufactura de sistemas dealumbrado. Steinmetz naci en Breslau, Alemania, hijo de un trabajador de ferrocarrilesdel gobierno. As como su trabajo sobre la histresis atrajo la atencin de la comunidadcientfica, sus actividades polticas cuando asista a la Universidad de Breslau atrajerona la polica. Se vi obligado a huir del pas justo cuando haba terminado su trabajopara obtener el doctorado, el cual ya nunca recibi. Trabaj en investigacin elctricaen Estados Unidos, principalmente en la General Electric Company. Su ponencia sobrenmeros complejos revolucion el anlisis de los circuitos de C.A., aunque en aqueltiempo se dijo que nadie, excepto Steinmetz, comprenda el mtodo. En 1897 publictambin su primer libro para sintetizar los clculos de C.A. en una ciencia.

1.7. FORMA POLAR, TRIGONOMTRICA Y EXPONENCIAL 17

y tambin podemos escribir el nmero en la forma de Steinmetz con

z = r

las operaciones de multiplicacin y divisin las podemos efectuar de la for-ma siguiente:

Multiplicacin. Sean z1 = r1 1 y z2 = r2 2, la multiplicacin viene dadapor

z1z2 = r1r2 1 + 2

Divisin. Sean z1 = r1 1 y z2 = r2 2, la divisin viene dada por

z1z2

=r1r2

1 2

Forma Trigonomtrica. La forma trigonomtrica para representar a losnmeros complejos se deduce a partir de

x = r cos

y = r sin

y entonces el nmeroz = x+ iy

lo escribimos comoz = r(cos + i sin )


Multiplicacin. Sean z1 = r1(cos 1 + i sin 1) y z2 = r2(cos 2 + i sin 2), lamultiplicacin viene dada por

z1z2 = r1r2[cos (1 + 2) + i sin(1 + 2)]

Divisin. Sean z1 = r1(cos 1+i sin 1) y z2 = r2(cos 2+i sin 2), la divisinviene dada por

z1z2

=r1r2

[cos (1 2) + i sin (1 2)]

Forma Trigonomtrica Abreviada. Una vez que sabemos los valores dex e y en trminos de r y abreviamos la forma trigonomtrica

z = r ci s



Multiplicacin. Sean z1 = r1 ci s 1 y z2 = r2 ci s 2, la multiplicacin vienedada por

z1z2 = r1r2 ci s(1 + 2)

Divisin. Sean z1 = r1 ci s 1 y z2 = r2 ci s 2, la divisin viene dada por

z1z2

=r1r2

ci s(1 2)

Forma Exponencial. Una identidad muy importante dentro de los nme-ros complejos es

ei = cos + i sin (1.7)

ya que podemos escribir ahora el nmero complejo en la forma exponencial

z = rei


Multiplicacin. Sean z1 = r1ei1 y z2 = r2ei2 , la multiplicacin viene dadapor

z1z2 = r1r2ei(1+2)

Divisin. Sean z1 = r1ei1 y z2 = r2ei2 , la divisin viene dada por

z1z2

=r1r2ei(12)

1.8. Frmula de Euler

La identidad anterior (1.7) es conocida como la frmula de Euler10

Teorema 1.8.1. Decimos que si est definida la funcin exponencial y =ei entonces

ei = cos + i sin

Demostracin. Sea y = cos + i sin , tomemos la derivada de la funcincon respecto de la variable , entonces

dy

d= sin + i cos

y de las potencias de i, identificamos 1 = i2, as quedy

d= i2 sin + i cos

10As se le conoce en honor al matemtico Leonhard Euler (17071783).

1.9. TEOREMA DE DE MOIVRE, POTENCIAS Y RACES 19

factorizamos la i y reacomodamos

dy

d= i(cos + i sin )

que lo podemos escribir como

dy

d= iy

separamos variablesdy

y= id

integramos con sus correspondientes lmites de integracin y1

dy

y= i

0

d

evaluamos la integral y tenemos

ln y = i

y tomando exponenciales en ambos lados nos queda

y = ei

asi queei = cos + i sin

1.9. Teorema de De Moivre, potencias y races

Potencias de un nmero complejo. En la seccin 1.5 se abordaron laspotencias de i, es decir, Re(z) = 0 e Im(z) = y, ahora veremos las potenciasde z = x + iy. Como establecimos anteriormente z2 = zz, eso implica quez2 = (x+ iy)2 = (x+ iy)(x+ iy) = (x2y2)+ i(2xy). Asi podemos obtenerotros resultados tales como:

z3 = (x3 3xy2) + i(3x2y y3)

o como:z4 = (x4 6x2y2 + y4) + i(4x3y 4xy3)

o tambin:

z5 = (x5 10x3y2 + 5xy4) + i(5x4y 10x2y3 + y5)


sin embargo, a medida que crece el valor de la potencia, cada vez es msdifcil calcularla. Si convertimos el nmero en forma cartesiana a formatrigonomtrica, obtenemos el nmero en la forma

z = r(cos + i sin )

Teorema de De Moivre. El teorema de De Moivre11 establece que si zes un nmero complejo y n es un entero positivo, entonces

zn = [r(cos + i sin )]n = rn(cosn + i sinn)

Races de un nmero complejo. Para calcular las races de un nmerocomplejo, a partir del teorema de De Moivre, podemos encontrar que

z1/nk = r

1/n

[cos

( + 2pik

n

)+ i sin

( + 2pik

n

)]k = 0, 1, . . . , (n 1).

EJEMPLO 1.1. Calcular las races cbicas de la unidad.

Solucin. Para calcular las races cbicas de la unidad establecemos laecuacin como

3

1 = z = z3 = 1.Comenzamos convirtiendo este nmero a la forma polar, en donde r = 1 y = 0 rad. Usando el teorema de De Moivre, calculamos la primer raz, quees

z1/30 = 1

1/3

[cos

(0 + 2pi(0)

3

)+ i sin

(0 + 2pi(0)

3

)]= 1

la segunda raz ser

z1/31 = 1

1/3

[cos

(0 + 2pi(1)

3

)+ i sin

(0 + 2pi(1)

3

)]= 1

2+

3

2i

y la tercer raz es

z1/32 = 1

1/3

[cos

(0 + 2pi(2)

3

)+ i sin

(0 + 2pi(2)

3

)]= 1

2

3

2i

EJEMPLO 1.2. Calcular las races cbicas de 1 + i.

11Esta til y novedosa frmula fue descubierta por Abraham De Moivre (16671754),hugonote nacido en Francia, quien vivi la mayor parte de su vida en Inglaterra. Fuediscpulo de Isaac Newton.

1.10. ECUACIONES POLINMICAS 21

Solucin. Ahora escribimos la ecuacin como

z3 = 1 + i.

Comenzamos convirtiendo este nmero a la forma polar, en donde r =

2y = pi4 rad. Usando el teorema de De Moivre, calculamos la primer raz,que es

z1/30 =

(2)1/3 [

cos

( pi4 + 2pi(0)

3

)+ i sin

( pi4 + 2pi(0)

3

)]= 21/6

[cos( pi

12

)+ i sin

( pi12

)]= 21/6

[6 +

2

4+ i

62

4

]

=3

4(

3 + 1)

4+ i

3

4(

3 1)4

1.08421 + 0.29051i

la segunda raz ser

z1/31 =

(2)1/3 [

cos

( pi4 + 2pi(1)

3

)+ i sin

( pi4 + 2pi(1)

3

)]= 21/6

[cos

(3pi

4

)+ i sin

(3pi

4

)]= 21/6

[ 1

2+ i

12

]=

3

4

2+ i

3

4

2 0.79370 + 0.79370i

la tercer y ltima raz es

z1/32 =

(2)1/3 [

cos

( pi4 + 2pi(2)

3

)+ i sin

( pi4 + 2pi(2)

3

)]= 21/6

[cos

(17pi

12

)+ i sin

(17pi

12

)]= 21/6

[26

4 i

2 +

6

4

]

=3

4(13)4

i3

4(1 +

3)

4 0.29051 1.08421i

1.10. Ecuaciones polinmicas

Una ecuacin polinmica de grado n es de la forma

anzn + an1zn1 + an2zn2 + + a1z + a0 = 0

donde a0, a1, a2, , an son nmeros reales y n es un nmero entero queindica el grado del polinomio. Si los coeficientes a0, a1, a2, , an son com-plejos, entonces la ecuacin ser una ecuacin polinmica compleja de grado


n.

Ecuaciones complejas de segundo grado. Una ecuacin polinomialcompleja de segundo grado o ms brevemente una ecuacin cuadrtica com-pleja, presenta la forma conocida

Az2 +Bz + C = 0

donde A, B y C son nmeros complejos y la solucin de sta viene dadapor la frmula general:

z1,2 =B B2 4AC

2A

Ecuaciones complejas de tercer grado. Una ecuacin polinomial com-pleja de tercer grado o ms brevemente una ecuacin cbica compleja, pre-senta la forma conocida

Az3 +Bz2 + Cz +D = 0

donde A, B, C y D son nmeros complejos y la solucin de sta viene dadapor el mtodo de TartagliaCardano o por las frmulas de Vieta.

Ecuaciones complejas de cuarto grado. Una ecuacin polinomial com-pleja de cuarto grado o ms brevemente una ecuacin curtica compleja,presenta la forma conocida

Az4 +Bz3 + Cz2 +Dz + E = 0

donde A, B, C, D y E son nmeros complejos y la solucin de sta vienedada por el mtodo de Ferrari.

Ecuaciones complejas de grado n. No hay una frmula general pararesolver una ecuacin polinomial de grado mayor o igual que 5, aunque sepueden resolver algunos casos. Esto fue demostrado primeramente por NielsHenrik Abel12 para el caso n = 5 y despus fue demostrado para n 5 porel matemtico Evariste Galois13

12 Niels Henrik Abel (18021829). Matemtico noruego que realiz su mayoraportacin a las matemticas en 1827 en un trabajo titulado Recherches sur lesfonctions elliptiques, ms informacin sobre su obra, se encuentra en el sitio:http://www.math.sciences.univ-nantes.fr/guillope/Abel/abel1.html y tambin en el si-tio http://www.numdam.org/historique/abel.html

13Evariste Galois (18111832). Matemtico Francs, naci en Bourg-la-Reine, Francia.Puede encontrarse el trabajo de Galois en la pgina electrnica http://math-doc.ujf-grenoble.fr/JMPA en el ao 1846 publicado por Evariste Galois. El trabajo est escritoen francs.


Ejercicios de prctica

1. Escribe a la derecha de cada afirmacin una v si es verdadera o unaf si es falsa.

a) pi es un nmero imaginario

b) Todo nmero real es complejo

c) El valor de ln(1) es igual a piid) epii + 1 es igual a cero

e) Si z = z entonces z es un nmero imaginario

2. Resuelve los siguientes problemas.

a) Probar que z1 + z2 = z1 + z2b) Probar la desigualdad triangular: |z1 + z2| |z1|+ |z2|c) Probar la desigualdad |z1 z2| |z1| |z2|

3. Obtn el resultado de las siguientes operaciones, recuerda escribirloen la forma x+ iy.

a) (3 + 2i) + (7 i)b) (8 6i) (2i 7)c) (5 + 3i) + [(1 + 2i) (7 5i)]d) (5 + 3i) + (1 + 2i) (7 5i)e) (2 i)[(3 + 2i)(5 4i)]f ) [(2 i)(3 + 2i)](5 4i)g) (1 + 2i)[(7 5i) + (3 + 4i)]h)

3 2i1 + i

i)5 + 5i

3 4i +20

4 + 3i

j )3i30 i19

2i 14. Localice grficamente los siguientes nmeros complejos en el plano

complejo.

a) z1 = 1 + 3i

b) z2 = 7i

c) z3 =

3 + 2i

d) z4 = 4 6ie) z5 = 4 i


f ) z6 = ig) z7 = 3i

h) z8 = 1 3i5. En base al problema anterior efecte las siguientes operaciones y lo-

calice el resultado en el plano complejo.

a) 5z1 z2b) z2 + 4z3c) z5 + 7z6d) 2z4 + 2z8e) 2z7 2z1f ) 2z3 + 5z4 3z2

6. Efecte las siguientes operaciones y exprese el resultado en la formax+ iy.

a) (3 + 2i) + (3 8i)b) (1 + i)(1 i)(3 2i)c) i2479

d) (1 + i)6

e)1 + i

1 if ) i12376

g) (1 + i)3078 [Sugerencia: Determine primero (1 + i)2]

h)(

1 + i

1 i)3

7. Determine el mdulo de las siguientes expresiones.

a) (3 + 4i)

b) 2i (3 + 5i)

c)i2 + i4 + i6

i3 + i5 + i7

d) 2 + 2i (1 i)2

e)1 + i

1 if )

(3 + 4i)(1 + i)

3 4i8. Efectuar cada una de las siguientes operaciones


a) (4 3i) + (2i 8)b) 3(1 + 4i) 2(7 i)c) (3 + 2i)(2 i)d) (i 2) (2(1 + i) 3(i 1))e)

2 3i4 i

f ) (4 + i)(3 + 2i)(1 i)

g)(2 + i)(3 2i)(1 + 2i)

(1 i)2

h) (2i 1)2[

4

1 i +2 i1 + i

]i)

i4 + i9 + i16

2 i5 + i10 i15

j ) 3(

1 + i

1 i)2 2

(1 i1 + i

)9. Exprese los siguientes nmeros complejos en su forma polar y expo-

nencial.

a) 1 + i

b)

3 ic) 13id) 1 + ie) 6

3 + 6i

f ) ig) 5i

h) 3

10. Escriba los siguientes nmeros complejos en la forma rectangular.

a) 2(cos 45 + i sin 45)

b) 5(cos 30 + i sin 30)

c) 8(cos 180 + i sin 180)

d) 7(cos 90 + i sin 90)

e) 14(cos 60 + i sin 60)

11. Efecte las siguientes operaciones y exprese el resultado en la formapolar y rectangular.

a) [2(cos 15 + i sin 15)] [5(cos 75 + i sin 75)]


b)[2(cos 15 + i sin 15)][5(cos 75 + i sin 75)]

c)[6(cos 16 + i sin 16)]

[3(cos 144 + i sin 144)] [2(cos 62 + i sin 62)]12. Demostrar que

a) cos =ei + ei

2

b) sin =ei ei

2i

13. Demuestra que 2 + i =

5ei arctan(1/2)

Problemas avanzados

1. Demuestre la frmula de Euler. Asuma que una funcin f(x) puedeser representada por una serie de potencias en x, que la serie debe serde la forma de las series de Maclaurin

f(x) = f(0) + xf (0) +x2

2!f (0) + + x

n1

(n 1)! (0) +

donde la funcin y todas sus derivadas existen en x = 0

2. Reduzca las siguientes expresiones a la forma polar, en algunos casosutilice el teorema de De Moivre.

a)(cos 30 + i sin 30)4

[cos (30) + i sin (30)]4b) (1 + i)6

c)(1 + i)6(1 i)

(1 i)2(cos 45 + i sin 45)3. Determine sin 4, cos 4

4. Demuestre que cos 5 = cos5 10 cos3 sin2 + 5 cos sin 5. Demuestre que sin 5 = 5 cos4 sin 10 cos2 sin3 + sin5 6. Determine las siguientes races y localcelas grficamente en el plano

complejo.

a) 3

1 + i

b) 3

8

c) 532

d) 4

1 + i

e) 5

1


f ) 4i

7. Resuelva las siguientes ecuaciones obteniendo todas sus races y dla interpretacin geomtrica de las mismas.

a) z3 + 2z2 23z 60 = 0b) z3 1 = 0c) z3 + 8 = 0

d) z4 i = 0e) z5 2z4 15z3 = 0f ) z2 + (i 2)z + (3 i) = 0g) z5 + 243 = 0

Ejercicios de anlisis

1. Demuestre que (cos + i sin )m = cos (m) + i sin (m) para todoentero m.

2. Si z es un nmero complejo y si n 1, es cualquier entero positivo,demuestre que hay n nmeros complejos distintos w tales que z = wn

3. Se dice que el nmero complejo tiene orden n, con n 1, y m 6= 1para 0 < m < n. Demuestre que si tiene orden n y k = 1, dondek > 0 entonces n|k.

2 Matrices y Determinantes

2.1. Definicin de matriz, notacin, orden

Daremos la definicin de matriz de la siguiente forma

DEFINICIN 2.1. Una matriz A Mmn(F ) un arreglo rectangularde m n nmeros (reales o complejos) llamados elementos de la matriz yconsta de m renglones dispuestos en n columnas.

2.2. Operaciones con matrices

2.2.1. SumaSi A = {aij} y B = {bij} son dos matrices de tamao m n, la suma

de A y B da como resultado la matriz C = {cij} de m n, definida porcij = aij + bij (1 i m, 1 j m)

Esto quiere decir que la matriz resultante C es es resultado de sumarlos componentes correspondientes de las dos matrices dadas (A y B). Hayque notar que para poder hacer la suma de dos matrices, stas deben serdel mismo tamao.

2.2.2. Resta

2.2.3. Producto de una matriz por un escalar

2.2.4. Producto

2.2.5. Divisin

2.3. Clasificacin de matrices

A continuacin daremos la definicin de las matrices que vamos a estarusando para nuestro trabajo durante este curso.

DEFINICIN 2.2. Una matriz A Mnn(F ) se llama triangular in-ferior si, Aij = 0, para 1 i < j n.DEFINICIN 2.3. Una matriz A Mnn(F ) se llama triangular su-perior si, Aij = 0, para 1 j < i n.DEFINICIN 2.4. Una matriz A Mnn(F ) se llama diagonal siAij = 0, para i 6= j.DEFINICIN 2.5. Una matriz A Mnn(F ) se llama escalar si Aij =k, para 1 j < i n.

29

30 CAPTULO 2. MATRICES Y DETERMINANTES

DEFINICIN 2.6. Una matriz A Mnn(F ) se llama identidad siAij = 1, para 1 j < i n.

DEFINICIN 2.7. Potencia

DEFINICIN 2.8. Peridica

DEFINICIN 2.9. Una matriz M Mnn(C) se llama nilpotente si,para algunos enteros positivos k, Mk = O, donde O es la matriz cero den n.

DEFINICIN 2.10. Idempotente

DEFINICIN 2.11. Involutiva

DEFINICIN 2.12. Transpuesta

DEFINICIN 2.13. Simtrica

DEFINICIN 2.14. Una matrizM Mnn(C) se llama antisimtricasi, M t = M .

DEFINICIN 2.15. Compleja

DEFINICIN 2.16. Hermitiana

DEFINICIN 2.17. Antihermitiana

DEFINICIN 2.18. Una matriz Q Mnn(R) se llama ortogonal si,QQt = I.

DEFINICIN 2.19. Una matriz Q Mnn(C) se llama unitaria si,QQ = I, donde Q = Qt.

2.4. CLCULO DE LA INVERSA DE UNA MATRIZ 31

2.4. Clculo de la inversa de una matriz

2.5. Definicin del determinante de una ma-triz

2.6. Propiedades de los determinantes

2.7. Inversa de una matriz a travs de la ad-junta

2.8. Solucin de un sistema de ecuaciones atravs de la inversa

2.9. Solucin de un sistema de ecuaciones porla regla de Cramer

2.10. Aplicaciones de matrices y determinan-tes

Ejercicios de prcticaEjercicios de anlisis

32 CAPTULO 2. MATRICES Y DETERMINANTES

3 Sistemas de ecuaciones lineales (SEL)

3.1. Definicin de SEL

DEFINICIN 3.1. Un sistema de ecuaciones lineales es una lista de mecuaciones de primer grado con n incgnitas.

3.2. Clasificacin de los SEL y tipos de solu-cin

Los sistemas de ecuaciones lineales se clasifican por: a). Forma, b). Ta-mao. La forma de los sistemas de ecuaciones lineales es a). Cuadrados y b).No cuadrados (o rectangulares). El tamao de los sistemas de ecuacioneslineales es mn donde m y n son valores enteros positivos. En el caso quem = n se dice que el sistema es cuadrado, y si m 6= n entonces el sistema esrectangular. Podemos hacer una clasificacin de los sistemas de ecuacioneslineales por su estructura, como a continuacin:

SEL

Consistente

{Determinado (Solucin nica)Indeterminado (Infinitas soluciones)

Inconsistente{Indeterminado (Ninguna solucin)

3.3. Interpretacin geomtrica de las solucio-nes

Todo sistema de ecuaciones es de tamao 22 entonces puede tener lassiguientes soluciones:

1. Solucin nica, solamente hay una sola solucin.

2. Infinitas soluciones, es decir, hay una cantidad infinita de soluciones.

3. Ninguna solucin, quiere decir que el sistema no posee soluciones.

3.4. Mtodos de solucin de un SEL

Algunos de los mtodos para resolver un sistema de ecuaciones linealesse enlistan a continuacin:

1. Igualacin.

2. Sustitucin.

33

34 CAPTULO 3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES (SEL)

3. Reduccin por suma o resta.

4. Determinantes o regla de Cramer.

5. Eliminacin gaussiana.

6. Mtodo de Gauss-Jordan.

7. Mtodo de la inversa.

8. Regla de Cramer.

Los primeros 4 mtodos son vistos y usados en el nivel medio superior,ahora es conveniente aprender los otros mtodos. El mtodo de eliminacingaussiana es, posiblemente, anterior cronolgicamente al mtodo de Gauss-Jordan dada su estructura algortmica. Adems de ser operativamente elms rpido.

3.4.1. Eliminacin gaussiana

Este mtodo tiene dos momentos:

Triangular la matriz aumentada (reducir por renglones). Sustituir hacia atrs.

Reduccin por renglones. Para reducir un SEL por renglones (en elcual suponemos que consta de igual nmero de ecuaciones que de incg-nitas) primero escribimos el sistema e identificamos el primer elemento dela primer ecuacin y con l, convertimos todos los dems elementos de lamisma columna en ceros, enseguida identificamos el segundo elemento de lasegunda ecuacin y convertimos todos los dems elementos de la misma co-lumna en ceros, y as sucesivamente hasta terminar con todas las ecuaciones.

Ilustremos algunos cuantos pasos de la solucin de un SEL por stemtodo en un sistema m ecuaciones y n incgnitas, pero m = n.

a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + . . . + a2nxn = b2a31x1 + a32x2 + a33x3 + . . . + a3nxn = b3

......

.... . .

......

am1x1 + am2x2 + am3x3 + . . . + amnxn = bm

Despus de aplicar el mtodo, en el primer paso, el sistema quedaracomo sigue:

3.4. MTODOS DE SOLUCIN DE UN SEL 35

a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1c22x2 + c23x3 + . . . + c2nxn = d2c32x2 + c33x3 + . . . + c3nxn = d3

......

. . ....

...cm2x2 + cm3x3 + . . . + cmnxn = dm

Luego, en el paso siguiente, tenemos:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1c22x2 + c23x3 + . . . + c2nxn = d2

e33x3 + . . . + e3nxn = f3...

. . ....

...em3x3 + . . . + emnxn = fm

Y as sucesivamente, en un ltimo paso, llegaramos a:

a11x1 + a12x2 + a13x3 + . . . + a1nxn = b1c22x2 + c23x3 + . . . + c2nxn = d2

e33x3 + . . . + e3nxn = f3...

...gmnxn = hm

Sustituir hacia atrs. Sustituir hacia atrs significa que analicemos laltima ecuacin que debe tener la forma

gmnxn = hm

y al despejar xn, queda

xn =hmgmn

donde vamos a analizar los cuatro casos siguientes:

1. Si hm 6= 0 y gmn 6= 0. En este caso, si ninguno de los nmeros es iguala cero, entonces tenemos un valor determinado para xn.

2. Si hm = 0 y gmn 6= 0. En este caso, si el numerador es cero, mientrasque el denominador es diferente de cero, tenemos un valor determi-nado para xn.

3. Si hm = 0 y gmn = 0. En este caso, si ambos nmeros son iguales acero, tenemos un valor indeterminado para xn.

4. Si hm 6= 0 y gmn = 0. En este caso, si nicamente el denominador esigual a cero, tenemos un valor infinito para xn.


Como resumen, veamos la siguiente tabla (p y q son valores diferentesde cero).

Tipo de solucin FraccinSolucin nica p/qSolucin nica 0/qInfinitas soluciones 0/0Ninguna solucin p/0

Al resolver esta ecuacinm, podemos determinar si existe solucin nica(los dos primeros casos) enseguida procedemos a usar el valor encontradopara xn y lo sustitumos en la ecuacin anterior m 1, para calcular elvalor de la incgnita anterior a xn, xn1. Ahora que tenemos los valores dexn y xn1 los sustitumos en la ecuacin m 2 para encontrar el valor dela incgnita xn2, y as sucesivamente hasta encontrar el valor de x1.

3.4.2. Mtodo de Gauss-Jordan

3.4.3. Mtodo de la inversa

3.4.4. Regla de Cramer

3.5. Sistemas homogneos

Aplicaciones a las Ciencias Econmico -Administrativas. Dentro delas Ciencias Econmico -Administrativas existen conceptos tales como: cos-tos, precios, produccin, oferta, demanda, etc. Por ejemplo, al realizar algu-na transaccin de ciertos objetos, hablamos de cantidades, precios, costos,utilidades, impuestos, tiempo, pagos, ganancias, etc. Todo depende de qutipo de transaccin estamos realizando.

EJEMPLO 3.1. En Walmart se vende un pantaln en $12.95 y se aplicaun impuesto de 8.25%, cul es la cantidad total de dinero que se va agastar?

Solucin. El concepto de porcentaje indica una cantidad dada que el go-bierno cobra por cada 100 unidades del costo de venta. Por ejemplo, si a cier-to artculo cuyo costo es $100.00 se le aplica un impuesto de 6%, eso quieredecir adems de pagar los $100.00 hay que pagar el impuesto, esto es, $6.00entonces en total el pago es de $106.00, por tanto, si el artculo cuesta $200,el impuesto que se paga es $12

3.6. APLICACIONES 37

3.6. Aplicaciones

Interpolacin polinomial.

1. Determinar el polinomio cuadrtico que interpola los puntos (1, 3),(2, 4) y (3, 7).

Distribucin de temperatura (Tringulos y cuadrados).

1. Los lados de una placa metlica triangular tienen una temperaturade 100, 50 y 20 grados Fahrenheit. Calcular T1, T2 y T3.

2. Los lados de una placa metlica cuadrada tienen una temperatura de100, 70, 50 y 20 grados Fahrenheit. Calcular T1, T2, T3 y T4.

Circuitos elctricos.

Programacin lineal.

Mtodo Simplex. El Problema de la Ubicacin de un Aeropuerto. Unaregin tiene un problema serio de turismo, porque las vas que comunicanel resto del pas con la regin estn en muy mal estado. Por eso ha decidi-do construir un aeropuerto dentro de sus fronteras. Como es natural, cadaciudad dentro de la regin est en alerta y presionando para que el sitio noquede cerca de su ciudad, pues son ciudades que han vivido ajenas a la con-taminacin por ruido. Por tal razn, los administradores de la regin quierenencontrar un sitio que quede lo ms lejos posible de la ciudad ms cercana.

Figura 3.1: MtricaManhattan

Los administradores han decidido medir la dis-tancia entre dos ciudades con la mtrica Manhat-tan1 la cual define la distancia entre dos puntoscomo la distancia en el eje X ms la distancia enel eje Y (ver figura 3.1). La regin se represen-ta como un cuadrado perfecto de N km por Nkm. Denotamos la esquina al suroccidente de laregin con la posicin (0, 0). En este sistema, lasciudades estn situadas sobre las intersecciones.

Problema: Se debe realizar un modelo del pro-blema y resolverlo (encontrar la ubicacin quedebe tener el aeropuerto) utilizando el mtodo Simplex. Observacin: Parael planteamiento del modelo tenga en cuenta que la funcin valor absoluto

1Distancia Manhattan contra distancia Euclideana: Las lneas rojo, azul y amarillastienen la misma longitud (12) en las geometras Euclideana y Manhattan (tambin lla-mada Taxicab). En la geometra Euclideana, la lnea verde tiene longitud 62 8,48,y es el nico camino ms corto. En la geometra Manhattan, la lnea verde tiene longitud12, por lo que no es ms corta que los otros caminos.


no es una funcin lineal.

Ejercicios de prctica

1. Considere el sistema

2x1 x2 + 3x3 = a3x1 + x2 5x3 = b

5x1 5x2 + 21x3 = cPara qu valores de a, b y c el sistema es consistente indeterminado?

2. Resolver el sistema (si es posible)

3x+ 2y 5z = 42x+ y 3z = 1

2x 5y + 4z = 8

3. Encuentra los valores de a de tal forma que el sistema de ecuaciones

2x+ 2a2y = 24 2ax+ (6 a)y = 9 2a

tenga

Solucin nica. Infinidad de soluciones. Ninguna solucin.

4. Encuentra los valores de k de tal forma que el sistema de ecuaciones

x+ k2y = 10 kx+ (10 3k)y = 12 2k

tenga

Solucin nica. Infinidad de soluciones. Ninguna solucin.

5. Encuentra los valores de m de tal forma que el sistema de ecuaciones

x+m2y = 3 4mx+ (2m+ 3)y = m2

tenga

Solucin nica. Infinidad de soluciones.


Ninguna solucin.Ejercicios verbales

1. Un grupo A y un grupo B pueden armar una mquina si el grupo Atrabaja 6 horas y el grupo B trabaja 12 o pueden hacer el trabajo siel grupo A trabaja 9 horas y el grupo B trabaja 8 horas. Qu tiempodeber trabajar cada grupo si solamente uno hace el trabajo?

2. Encuentra dos nmeros cuya suma sea igual a 30, y el doble del pri-mero, ms el segundo sea igual al doble de este ltimo.

3. La edad de Carla es el doble que la edad de Macarena. Hace diez aosla suma de las edades era igual a la edad que tiene hoy Carla. Cules la edad de cada una en la actualidad?

4. Si se divide un ngulo recto en dos ngulos agudos, de modo que unosea el doble del otro ms 3 pies, cul es la medida de cada uno?

5. Un padre reparte $10,000 entre sus dos hijos. Al mayor le da $2,000ms que al menor. Cunto dinero le corresponde a cada uno?

6. Encuentra dos nmeros tales que si a cada uno le agregamos sieteunidades, los resultados estn en la razn 3:2, pero si les restamoscinco unidades, la razn es 5:2.

7. El permetro de un rectngulo es 30 cm. El doble de la base tiene 6cm ms que la altura. Cules son las dimensiones del rectngulo?

8. Dos estantes contienen en total 40 libros. Al traspasar 5 libros de unestante a otro, resulta que uno queda con el triple del otro. Cuntoslibros haba originalmente en cada estante?

9. Para pagar una cuenta de $3,900, un extranjero entrega 9 libras es-terlinas y 15 dlares, recibiendo $75 de vuelto. Otro extranjero pagasu cuenta de $4,330, con 15 libras esterlinas y 9 dlares, recibiendo$25 de vuelto. A qu cambio, en pesos, se han cotizado las librasesterlinas y los dlares?

10. Encuentra las edades de dos hermanos sabiendo que al mayor le faltandos aos para tener cinco veces la edad actual del menor y que si elmayor tuviera seis aos menos tendran la misma edad.

11. La suma de dos nmeros es 45. Si al primero se le suma 5 y al segundose le resta 5, se obtienen dos nmeros tales que el primero es el dobleque el segundo. Cules son los nmeros?

12. El valor de una fraccin es 1. Si se disminuye el numerador en 3unidades y se aumenta el denominador en 5 unidades, el nuevo valores igual a 3. Cul es la fraccin?


13. Encuentra dos nmeros tales que su suma sea 42 y su diferencia 6.

14. Una persona tiene $8,000 en 200 monedas de $10 y de $50. Cuntasmonedas de $10 y de $50 tiene?

15. Las ciudades A y B estn separadas por 180 km. Simultneamentesale un auto de cada ciudad en el mismo sentido. El que sale de B lohace con una velocidad de 60 km/h y el que sale de A, a 90 km/h.Al cabo de cunto tiempo el auto que sale de A alcanza al que salede B, y cuntos kilmetros ha recorrido cada uno?

16. Encuentra un nmero entre 10 y 99 sabiendo que la cifra de las uni-dades es el doble que la cifra de las decenas y que si se invierten, elnmero aumenta en 36.

17. En un nmero la cifra de las decenas es el doble de la cifra de lasunidades. Si a ese nmero le restamos 27 se obtiene otro nmero queresulta de invertir el orden de sus dos cifras. Cul es el nmero?

18. Descomponer 895 en dos partes, de modo que al dividir la mayor porla menor se obtenga 6 de cociente y 6 de resto.

19. La suma de las dos cifras de un nmero es 9 y la diferencia entre ly el que resulta de invertir el orden de sus cifras es 45. Cul es elnmero primitivo?

20. La edad de Eliana es 1/5 de la edad de Miguel y hace 5 aos, laedad de Eliana era 1/10 de la edad de Miguel. Determinar sus edadesactuales.

21. Dos nmeros estn en la razn 5:5. Si el primero se aumenta en 12y el segundo se disminuye en 3, quedan en razn de 9:4. Cules sonlos nmeros?

22. La edad de Adolfo es 15 aos menos que el doble de la edad de Teresay la sptima parte de la edad de Adolfo es 20 aos menos que la edadde Teresa. Calcula ambas edades.

23. Hace 4 aos la edad de Ximena era 8 veces la edad de Matas. Encuatro aos ms la edad de Ximena ser 4 veces la de Matas. Cules la edad de cada uno?

24. El largo de una piscina rectangular es 3 veces su ancho. Si su permetroes de 32 m, cules son sus dimensiones?

25. Divide el nmero 19 en dos partes tales que 2/3 de la menor sea iguala 3/5 de la mayor.


26. Encuentra una fraccin que si se disminuye su numerador en 4 uni-dades y se aumenta su denominador en 5, es equivalente a 1. Pero sise disminuye slo el denominador en 7, ser equivalente.

27. La suma de dos nmeros es 13, si el mayor se divide por el menor seobtiene por cuociente 2 y por resto 1. Encuentra ambos nmeros.

28. La edad de un hijo es 1/4 de la edad de su padre. En 7 aos ms laedad del hijo ser 4/9 la del padre. Encuentra las edades actuales deambos.

29. Un nio tiene 2 aos menos que el cudruplo de la edad de su perro. Sila diferencia entre sus edades es 4 aos. Encuentra la edad de ambos.

30. Si el numerador de una fraccin se aumenta en 3 y su denominadorse disminuye en 1, se obtiene 5/2, pero si solamente se aumenta sunumerador en 2, sta equivale a 4/3. Determina la fraccin.

31. Encuentra dos nmeros enteros consecutivos, sabiendo que la cuartaparte y la quinta parte del primero y la suma de la tercera parte y lasptima parte del segundo son tambin nmeros consecutivos.

32. Estn en su clase de Laboratorio de Informtica Juan y Jos, y Juanle pregunta a Jos: De qu capacidad son tus USBs?, y Jos leresponde: De 1 Gb cada una, Juan asiente y dice, igual que las mas yle dice a Jos, si tu me dieras una de las tuyas, tendramos el mismonmero de USBs, entonces Jos le dice, mejor, si tu me dieras unade las tuyas, yo tendra el doble que tu. Cuntas memorias USBstiene Juan y cuntas Jos?

33. Un viajero que acaba de regresar de Europa gast $30 diarios en In-glaterra, $20 diarios en Francia y $20 diarios en Espaa por conceptode hospedaje. En comida gast $20 diarios en Inglaterra, $30 diariosen Francia y $20 diarios en Espaa. Sus gastos adicionales fueron $10diarios en cada pas. Los registros del viajero indican que gast untotal de $340 en hospedaje, $320 en comida y $140 en gastos adi-cionales durante su viaje por estos tres pases. Calcule el nmero dedas que pas el viajero en cada pas o muestre que los registros sonincorrectos debido a que las cantidades no son compatibles una conla otra. R. 6 das en Inglaterra, 4 das en Francia y 4 das en Espaa.

34. Un agente secreto sabe que 60 equipos areos, que consisten en avio-nes de combate y bombarderos, se encuentran estacionados en ciertocampo areo secreto. El agente quiere determinar cuntos de los 60equipos son aviones de combate y cuntos son bombarderos. Existe,adems, un tipo de cohete que llevan ambos aviones; el de combatelleva 6 de ellos y el bombardero slo 2. El agente averigua que se re-quieren 250 cohetes para armar a todos los aviones del campo areo.


An ms, escucha que se tiene el doble de aviones de combate que elde bombarderos en la base (es decir, el nmero de aviones de combatemenos dos veces el nmero de bombarderos es igual a cero). Calcule elnmero de aviones de combate y bombarderos presentes en el campoareo o muestre que la informacin del agente es incorrecta debido asu incosistencia. R. La informacin es inconsistente.

35. En una tienda de alquiler de automviles se puede alquilar 3 Nissan, 2Ford y 4 Renault al da por e106. Casi por el mismo precio 2 Nissan,4 Ford y 3 Renault costando e107. En cambio 4 Nissan, 3 Ford y 2Renault cuestan e102. Hallar el costo del alquiler de cada uno. R. N= e10, F = e12 y R = e13.

36. Una biloga ha colocado 3 cepas bacterianas en un tubo de ensayo,donde sern alimentadas con 3 diferentes fuentes alimenticias A, B yC. Cada da 2,300 unidades de A, 800 de B y 1,500 de C se coloca-ron en un tubo de ensayo y cada bacteria consume cierto nmero deunidades de cada alimento por dia como se muestra en la tabla

Alimento Cepa bacteriana 1 C. B. 2 C. B. 3A 2 2 4B 1 2 0C 1 3 1

Cuntas bacterias de cada cepa pueden coexistir en el tubo de ensayoy consumir todo el alimento? R. 100, 350, 350.

37. Un nutrilogo prepara una dieta que consiste en los alimentos A,B y C. Cada onza de alimento A tiene 4 unidades de protena, 1unidad de grasa y 2 unidades de carbohidratos. El alimento B tiene3 unidades de protena, 4 de grasa y 2 de carbohidratos. Si la dietade proporcionar exactamente 25 unidades de protena, 24 de grasa y21 de carbohidratos, cuntas onzas de cada tipo de alimento debenutilizarse? R. P = 151/46, G = 91/23 y C = 75/46.

38. Un agricultor de Sinaloa tiene 3 productos para exportar maz, arrozy trigo. Pone las siguientes ofertas a sus consumidores: 1 costal demaz, 2 de arroz y 5 de trigo por $53, 4 costales de maz, 3 de arroz y4 de trigo por $82 y 3 costales de maz, 5 de arroz y 2 de trigo por 84pesos. Cunto cuesta cada costal de maz, arroz y trigo? R. M = 8,A = 10 y T = 5.

39. Si sumamos la edad de Pepe menos 2 veces la edad de Pedro ms 5veces la edad de Paco nos d un total de 1 ao. Si sumamos 2 vecesla edad de Pepe ms 4 veces la edad de Pedro menos la edad de Paconos da 15 aos. Si sumamos la edad de Pepe, Pedro y Paco nos da 6aos. Qu edad tiene Pedro, Pepe y Paco? R. 1, 2, 3. [Nota: revisar]


40. Un nmero de 3 cifras satisface las siguientes condiciones: la suma delas tres cifras del nmero es igual a 17. La diferencia del doble de lacifra de las decenas menos la cifra de las unidades es igual a 10. Lacifra de las centenas ms la cifra de las decenas ms 10 es igual aldoble de la cifra de las unidades. Encuentra el nmero. R. 359

41. El clima promedio de las temperaturas en las ciudades de Nueva York,Washington D. C. y Boston fu de 88F por cuatro das de verano.Durante 4 das de verano en Washington la temperatura fue 9Fmayor que el promedio de las temperaturas de las otras dos ciudades.En Boston, 9F menos que la temperatura promedio de las otras dosciudades y la temperatura promedio de las 3 ciudades fue de 88FCul fue la temperatura promedio en cada ciudad? R. N = 88,W = 94 y B = 52.

Ejercicios verbales para las Ciencias Econmico-Administrativas.

1. El consejo municipal del ayuntamiento de una ciudad decide comprar2 impresoras, 5 ordenadores y 3 escneres. Para determinar el costode los artculos se sabe que 1 impresora ms 4 ordenadores ms 3escneres cuestan 13/5 dlares, 2 impresoras ms 5 ordenadores ms4 escneres valen 3.5 dlares y 1 impresora ms 3 ordenadores ms 2escneres valen 2 dlares. Cunto cuesta cada artculo?

2. 6 libras de t y 5 libras de caf cuestan $985.00. 7 libras de t y 8 decaf cuestan $1355.00. Encontrar el precio por libra de cada uno.

3. Jos tiene $75.00 para comprar 160 tornillos. Un tipo de tornillo cues-ta 50c y el otro 40c. Cuntos tornillos de cada tipo puede comprar?

4. Un granjero cra y vende pollos, patos y pavos, durante cierto mestiene 230 aves de las cuales 70 son pavos. Si gana $1 por pollo, $2 porpato y $3 por pavo y sus entradas totales son $400, cuntos pollos,patos y pavos debe tener?

5. Un grupo A y un grupo B pueden armar una mquina si el grupoA trabaja 6 horas y el grupo B trabaja 12 horas o pueden hacer eltrabajo si el grupo A trabaja 9 horas y el grupo B 8 horas. Qutiempo deber trabajar cada grupo si solamente uno hace el trabajo?

6. Una compaa invierte $30,000. Una parte al 6% y el resto al 9%. Losdividendos anuales de las dos inversiones son iguales a los que ganaratodo el dinero si estuviera invertido al 7%. Encontrar la cantidadinvertida a cada tasa.

7. Una cafetera vende 3 distintos platillos A, B y C, los cuales cuestan $7los 3 juntos, pero si compra 5 platillos A ms 3 platillos C y 7 platillosB le cuestan $35 dlares, tambin 3 platillos A ms 9 platillos B y 2platillos C cuestan $31. Cunto cuesta cada platillo?


8. El dueo de un bar ha comprado refrescos, cerveza y vino por unimporte de $500. El valor del vino es $60 menos que el de los refrescosy las cervezas conjuntamente. Teniendo en cuenta que los refrescosdeben pagar un iva del 6%, por la cerveza 12% y por el vino 30%lo que hace que la factura total con los impuestos sea de $592.40.Calcular la cantidad invertida en cada tipo de bebida.

9. Un videoclub est especializado en 3 tipos de pelculas: infantiles,oeste americano y terror. Se sabe que el 60% de las pelculas infantilesms el 50% de las del oeste americano representan el 30% del totalde las pelculas. Tambin el 20% de las infantiles ms el 60% de lasdel oeste americano representan la mital del total de las pelculas.Hay 100 pelculas ms de oeste americano que infantiles. Encontrarel nmero de pelculas de cada tipo.

10. Los lados de un tringulo miden 26, 28 y 34 cm. Con centro en ca-da vrtice se dibujan 3 circunferencias tangentes entre si, dos a dos.Calcular las longitudes de los radios de las circunferencias.

11. Un cliente de supermercado ha pagado un total de $156 por 24 litrosde leche, 6 kg de jamn y 12 litros de aceite. Calcular el precio decada artculo sabiendo que 1 litro de aceite cuesta el triple que 1 litrode leche y que 1 kg de jamn cuesta igual que 4 litros de aceite ms4 litros de leche.

12. Un carpintero hace y vende cortineros pero quiere saber cunto cuestacada tornillo que l pone en sus cortineros ya que existen 3 medidasde tornillos A, B y C que l utiliza, los cuales si el carpintero compraun tornillo de cada medida cuestan $6, pero si compra 3 tornillosA ms 8 tornillos B ms 7 tornillos C le cuestan $40, tambin sicompra 9 tornillos B ms 1 tornillo C ms 7 tornillos A le cuestan$28. Determine cunto cuesta cada tornillo.

Ejercicios de anlisis

4 Espacios Vectoriales

4.1. Definicin de espacio vectorial y propie-dades

DEFINICIN 4.1. Un espacio vectorial (o espacio lineal) V sobre uncampo F consiste de un conjunto en el cual, dos operaciones (llamadasadicin y multiplicacin por un escalar, respectivamente) estn definidas detal forma que para cada par de elementos u, v V existe un nico elementou v en V, y para cada elemento a en F y cada elemento u en V existe unelemento a u V, tales que las siguientes condiciones se mantienen.

1. Cerradura de la suma. Si u, v V, entonces u v V.2. Conmutatividad de la suma. u, v V, u v = v u.3. Asociatividad de la suma. u, v, w V, (u v) w = u (v w).4. Elemento neutro de la suma. V tal que u = u = u,u V.

5. Inverso aditivo. Para cada u V, V tal que u = , u V.6. Cerradura de la multiplicacin escalar. Si a F y u V, entonces

a u V.7. Asociatividad de la multiplicacin escalar. Para cada par a, b F y

cada elemento u V, (ab) x = a (b u).8. Distributividad 1 de la multiplicacin escalar. Para cada a F y cada

par de elementos u, v V a (u v) = a u a v.9. Distributividad 2 de la multiplicacin escalar. Para cada par a, b F

y cada elemento u V, (a+ b) u = a u b u.10. Elemento neutro del producto escalar. Para cada u V, 1 u = u.

4.2. Definicin de subespacio vectorial y pro-piedades

Los conjuntos R2 y R3 cumplen con las propiedades de espacio vectorial,son por tanto, espacios vectoriales, sin embargo, sabemos que un plano R2est contenido en un espacio R3, esto es, R2 es un subconjunto de R3 oR2 R3, asi que, de alguna forma, R2 hereda las propiedades que hacen aR3 un espacio vectorial.

45

46 CAPTULO 4. ESPACIOS VECTORIALES

DEFINICIN 4.2. Subespacio vectorial

Sea V un espacio vectorial y W un subconjunto no vaco de V. Sedice que W es un subespacio de V si es cerrado bajo la adicin yla multiplicacin por un escalar.

Para determinar si un subconjunto de V es un subespacio, usaremos elsiguiente

TEOREMA 4.1. Un subconjunto no vaco de V es un subespacio vectorialW, si se cumple que:

1. u, v W u v W2. c R, u W c u W3. 0 W

4.3. Propiedades de vectores, combinacin li-neal, dependencia e independencia lineal

Para tener una idea de lo que significa generar espacio abordemos lasiguiente motivacin. En el plano, esto es, en R2 definamos 2 vectores cua-lesquiera, esto es, digamos que tenemos el vector ~u = 3, 4 y el vector~v = 1,2

DEFINICIN 4.3. Independencia lineal

Los vectores u1, u2, . . . , un en un espacio vectorial V son linealmen-te dependientes si existen escalares c1, c2, . . . , cn no todos igualesa cero, tales que c1u1 + c2u2 + . . .+ cnun = 0. En caso contrario sedice que u1, u2, . . . , un son linealmente independientes.

4.4. Bases y dimensin de un espacio vectorial

DEFINICIN 4.4. Base

Los vectores u1, u2, . . . , un en un espacio vectorial V forman unabase para V si u1, u2, . . . , un generan a V, y u1, u2, . . . , un son linealmente independientes.

4.5. ESPACIO VECTORIAL CON PRODUCTO INTERNOY PROPIEDADES47

4.5. Espacio vectorial con producto interno ypropiedades

DEFINICIN 4.5. Espacio vectorial con producto interno.

Un producto interno en un espacio vectorial real V es una funcinque asocia un nmero que se denota u, v, con cada par de vectoresu, v V. Esta funcin debe satisfacer las condiciones siguientes paralos vectores u, v y w, y el escalar c.

1. u, v = v, u. (Axioma de simetra).2. u+ v, w = u,w+ v, w. (Axioma de la adicin).3. cu, w = cu,w. (Axioma de la homogeneidad).4. u, u 0, y u, u = 0 u = 0. (Axioma del positivo

definido).

TEOREMA 4.2. Propiedades de un espacio con producto interno. Sea Vun espacio con producto interno. Entonces, para u, v y w V, los siguientesenunciados son ciertos.

1. u, v + w = u, v+ u,w2. u, cv = cu, v3. u, 0 = 0, u = 04. u, u = 0 si y slo si u = 05. Si u, v = u,w u V, entonces v = w

4.5.1. Norma de un vector

DEFINICIN 4.6. Sea V un espacio vectorial con producto interno. Lanorma de un vector u se denota por u y se define como

u =u, u.

4.5.2. ngulo entre dos vectores

DEFINICIN 4.7. Sea V un espacio vectorial real con producto interno.El ngulo entre dos vectores distintos de cero u y v en V est dado por

cos =u, vuv .


4.5.3. Distancia entre dos vectores

DEFINICIN 4.8. Sea V un espacio vectorial real con producto internodefinida. La distancia entre dos vectores distintos de cero u y v en V sedenota por d(u, v) se define como

d(u, v) =u v =

u v, u v.

4.5.4. Relatividad especial

Albert Einstein1 formul la relatividad especial para describir el mundofsico en el que vivimos. En ese tiempo, se utilizaba la mecnica de Newtonpara describir el movimiento de los cuerpos. No obstante, los experimentosllevaron a los cientficos a creer que los movimientos a gran escala de loscuerpos, tales como los movimientos de los planetas no eran descritos conexactitud por la mecnica de Newton. Una de las contribuciones de Einsteina la ciencia fue la creacin de modelos matemticos ms exactos. Primerodesarroll la relatividad especial. Se expondr el modelo matemtico de larelatividad especial al explicar las predicciones de la teora y al mostrarcmo surgen las matemticas.

La estrella ms cercana a la Tierra, adems del Sol, es Alfa Centauri; seencuentra aproximadamente a 4 aos luz. (Un ao luz es la distancia queviaja en 1 ao, 5.88 1012 millas.) Suponga que a dos gemelos se les separainmediatamente despus de nacer. El gemelo 1 permanece en la Tierra y elgemelo 2 es enviado a Alfa Centauri en un cohete que viaja a una velocidadde 0.8 de la velocidad de la luz. Al llegar a Alfa Centauri, vuela en rbitay regresa a la Tierra a la misma velocidad. La relatividad especial predi-ce que cuando los gemelos se encuentren, el gemelo que permaneci en laTierra tendr 10 aos, mientras que el que viaj a Alfa Centauri tendr 6aos. Se describe la escena en funcin de unos gemelos, ya que sta destacacon claridad el fenmeno que interesa, la diferencia de edades en el procesode crecimiento. Uno de los gemelos ser un nio de 10 aos y el otro unnio de 6 aos de edad. La prediccin del fenmeno es la misma para dos

1Albert Einstein (1879 1955) fue uno de los cientficos ms importantes de todoslos tiempos. Estudi en Zurich, e imparti clases en Zurich, Praga, Berln y Princeton.Se le conoce mejor por sus teoras de la relatividad, que revolucionaron el pensamientocientfico con nuevas percepciones del tiempo, el espacio, la masa, el movimiento y lagravedad, aunque recibi el premio Nbel por sus trabajos relacionados con el efectofotoelctrico. Einstein se mud a Estados Unidos cuando Hitler ascendi al poder. Re-nunci a su postura pacifista cuando se le convenci que el rgimen de Hitler slo podaser derribado por la fuerza. Dirigi una carta junto con los fsicos Teller y Wigner aRoosevelt, que contribuy a que se iniciaran los trabajos que dieron como resultado labomba atmica (aunque Einstein no saba nada de este proyecto). A Einstein le gustabala msica clsica y tocaba el violn. Aunque no perteneca a ninguna religin, era denaturaleza profundamente religiosa. Jams crey que el universo fuera producto del azaro el caos.


personas cualesquiera, una que permanezca en la Tierra y otra que viajea un planeta distante y regrese. Las cantidades variarn de acuerdo con ladistancia y la velocidad del viajero. Por ejemplo, los astronautas que fuerona la Luna experimentaron este fenmeno a un grado considerablemente me-nor. Al llegar a la Tierra eran ms jvenes por una fraccin que si hubieranpermanecido en la Tierra.

Se han diseado muchos experimentos para probar la hiptesis de queel tiempo en la Tierra difiere del tiempo de un objeto que se mueve conrespecto a la Tierra. Se mencionar un experimento llevado a cabo por elprofesor J. C. Hafale, del departamento de fsica de la Universidad de Wa-shington (Saint Louis) y el Dr. Richard E. Keating, del Observatorio Navalde Estados Unidos, Washington , D. C., publicado en la revista Science,vol. 177, 1972. En octubre de 1971, cuatro relojes atmicos se enviaron envuelos de aviones de propulsin programados con regularidad alrededor dela Tierra dos veces. Hubo ligeras diferencias en los tiempos registrados porestos relojes y los relojes ubicados en la Tierra. Las diferencias estaban deacuerdo con las predicciones de la teora de la relatividad. Sin embargo, es-tas variaciones de tiempo no seran percibidas por los seres humanos comoen el caso del viaje a Alfa Centauri en el futuro cercano, en virtud de quela energa que se requiere para alcanzar dichas velocidades en un cuerpomacroscpico es prohibitiva. Desde el punto de vista sociolgico, quizs es-to sea afortunado. Tericamente, un hombre que emprendiera dicho viajepodra contar con la edad para casarse con su bisnieta cuando regresara.

Ahora se expondr el modelo matemtico de la relatividad especial yveremos cmo surgen las predicciones de este modelo. La relatividad espe-cial constituye un modelo del espacio-tiempo y, por lo tanto, implica cuatrocoordenadas; tres coordenadas espaciales x1, x2, x3 y una coordena-da temporal, x4. Se emplear el espacio vectorial R4 para representar elespacio-tiempo. Hay muchos productos internos que pueden establecerse enR4; cada uno llevar a una geometra de R4. Sin embargo, ninguno de losproductos internos conduce a una geometra que se adecue a los resultadosexperimentales. Establecindose el cuarto axioma del producto interno, en-tonces alguien podra proponer un pseudoproducto interno que conduzca auna geometra que se adapte a los resultados experimentales. La geometrade la relatividad especial recibe el nombre de textbfgeometra de Minkows-ki, en honor de Hermann Minkowski2, quien propuso esta interpretacingeomtrica de la relatividad especial.

2Hermann Minkowski (18641909) estudi en Knigsberg e imparti clases en Bonn,Knigsberg, Zurich y Gttingen. Se interes en la teora de nmeros, la geometra y ellgebra. Aos ms tarde se interes en la relatividad. Fue el primero en concebir que elprincipio de la relatividad formulado por Einstein implicaba el abandono del conceptode espacio y tiempo como entidades separadas y reemplazarlo por un espacio-tiempo decuatro dimensiones. Esta concepcin se convirti en el marco de la evolucin posteriorde la teora y llev a Einstein a crear su audaz concepcin de la relatividad general.


Sean X = (x1, x2, x3, x4) y Y = (y1, y2, y3, y4) elementos cualesquierade R4. La funcin siguiente, X,Y , desempea el papel de producto internoen esta geometra.

X,Y = x1y1 x2y2 x3y3 + x4y4.Observe que X,Y no es un verdadero producto interno; el signo negativoprovoca que se viole el axioma 4 de un producto interno.

Este pseudoproducto interno se utiliza de la manera indicada adelantepara definir normas vectoriales y distancias entre puntos. Observe el usodel signo de valor absoluto en estas definiciones. La justificacin de stas essencilla: son las definiciones que nos permiten describir geomtricamente elespacio-tiempo.

X =|X,X|

y

(X, y) = X Y = (x1 y1, x2 y2, x3 y3, x4 y4)=| (x1 y1)2 (x2 y2)2 (x3 y3)2 + (x4 y4)2|

Se ver ahora la aplicacin de esta geometra para describir el comporta-miento del tiempo, por ejemplo, del viaje a Alfa Centauri. Trace un dia-grama espacio-tiempo. Por conveniencia, suponga que Alfa Centauri selocaliza en la direccin del eje x1 a partir del la Tierra. El gemelo que seencuentra sobre la Tierra se mueve en el tiempo x4, mientras que el gemeloa bordo de la nave espacial se mueve en el tiempo y tambin en la direccincreciente x1 en su viaje al exterior y posteriormente en la direccin decre-ciente de x1 en el viaje de regreso a su casa. La siguiente figura [Aqui vala figura] muestra el diagrama espacio-tiempo. La trayectoria del gemelo 1es PQ. La trayectoria del gemelo 2 es PR hacia Alfa Centauri y posterior-mente RQ de regreso a la Tierra. No hay movimiento en la direccin x2 ox3; de aqu se eliminan estos ejes del diagrama.

Ahora se ver la situacin desde el punto de vista de cada gemelo.

Gemelo 1 Distancia a Alfa Centauri y regreso = 8 aos luz; velocidad dela nave = 0.8 velocidad de la luz. As,

Distancia de recorrido con respecto a la Tierra =distanciavelocidad

=8

0.8= 10 aos

Geomtricamente esto significa que la longitud de PQ es 10.

Gemelo 2 Ahora establezca coordenadas para los diferentes puntos en eldiagrama. [Ver la siguiente figura]. Sea P el origen, (0, 0, 0, 0), en R4. Como


PQ = 10, Q es el punto (0, 0, 0, 10) y S es el punto (0, 0, 0, 5).

PT es la distancia de Alfa Centauri a la Tierra; es decir, 4 aos luz. Deesta manera, R es el punto (4, 0, 0, 5). Al aplicar la geometra de Minkowskipara calcular la distancia entre R y P , se tiene

d(R,P ) = (4, 0, 0, 5) (0, 0, 0, 0)=| (4 0)2 (0 0)2 (0 0)2 + (5 0)2|

=| 16 + 25| =

9 = 3

De la misma manera, desde la perspectiva de esta geometra,

d(R,Q) = 3.

Hasta aqu concluyen los clculos matemticos. Ahora viene la parteinteresante al relacionar los resultados geomtricos con la situacin fsica.El siguiente postulado de la relatividad especial proporciona el significadofsico-geomtrico.

La distancia entre dos puntos en la trayectoria de un observador, como elgemelo 2, en la geometra de Minkowski, corresponde al tiempo que registraun observador que viaja entre los puntos.

Por lo tanto, d(R,P ) = 3 implica que la edad del gemelo 2 es de 3 aoscuando viaja de P a R. Asimismo, d(R,Q) = 3 implica que la edad delgemelo 2 es de 3 aos al viajar de R a Q. Por consiguiente, la duracintotal del viaje para el gemelo 2 es de 6 aos.

Por lo tanto, cuando los gemelos se encuentran en Q, el gemelo 1 habrcumplido 10 aos mientras que el gemelo 2, 6 aos.

Observe que este modelo propone un nuevo tipo de geometra dondela distancia en lnea recta PQ de P a Q es 10, mientras que la distanciaPR+RQ de P a Q es 6, que es menor! Por lo tanto, no slo resulta fasci-nante la interpretacin fsica del modelo, sino que abre una nueva direccinen el pensamiento geomtrico.

Este ejemplo ilustra la flexibilidad con que se cuenta al aplicar las ma-temticas. Si el cuerpo fundamental de las matemticas (los axiomas delproducto interno en este caso) no encaja con la situacin, una pequea mo-dificacin podra hacerlo. Los matemticos han moldeado y desarrolladolas matemticas para satisfacer sus necesidades. Las matemticas no sonun cuerpo rgido y absoluto, como a veces se quiere creer; se trata de uncampo en continua evolucin y aplicacin desde la perspectiva que aqu seha presentado.


4.6. Cambio de base, base ortonormal, proce-so de ortonormalizacin Gram-Schmidt

DEFINICIN 4.9. Proceso de ortogonalizacin de Gram-Schmidt

Sea {~v1, ~v2, . . . , ~vn} una base para el espacio vectorial V. El con-junto de vectores {~u1, ~U2, . . . , ~un} definido de la manera siguientees ortogonal. Para obtener una base ortonormal de V, se normalizacada uno de los vectores ~v1, ~v2, . . . , ~vn.

~u1 = ~v1 (4.1)~u2 = ~v2 proyu1 ~v2 (4.2)

4.6. CAMBIOS DE BASE Y PROCESO GRAM-SCHMIDT 53

PreguntasContesta los siguientes enunciados con V si son verdaderos o F si son

falsos.

1. Todo espacio vectorial contiene al vector cero.

2. Un espacio vectorial puede tener ms de un vector cero.

3. En cualquier espacio vectorial, ax = bx implica que a = b.

4. En cualquier espacio vectorial, ax = ay implica que x = y.

5. Un vector en Fn puede ser una matriz en Mn1(F ).

6. Una matriz de m n tiene m columnas y n filas.7. En P (F ), solamente polinomios del mismo grado se pueden sumar.

8. Si f y g son polinomios de grado n, entonces f + g es un polinomiode grado n.

9. Si f es un polinomio de grado n y c es un escalar diferente de cero,entonces cf es un polinomio de grado n.

10. Un escalar diferente de cero de F puede ser considerado un polinomioen P (F ) de grado cero.

11. Dos funciones en F (S, F ) son iguales si y solo si tienen el mismo valoren cada elemento de S.

Ejercicios de prcticaEn los ejercicios 1 a 4, determine si el conjunto dado V es cerrado bajo

las operaciones y .1. V es el conjunto de todos los pares ordenados de nmeros reales (x, y)

donde x > 0 y y > 0;

(x, y) (x, y) = (x+ x, y + y)

yc (x, y) = (cx, cy).

2. V es el conjunto de todas las ternas ordenadas de nmeros reales dela forma (0, y, z);

(0, y, z) (0, y, z) = (0, y + y, z + z)

yc (0, y, z) = (0, 0, cz).


3. V es el conjunto de todos los polinomios de la forma at2 + bt + c,donde a, b y c son nmeros reales y b = a+ 1;

(a1t2 +b1t+c1) (a2t2 +b2t+c2) = (a1 +a2)t2 +(b1 +b2)t+(c1 +c2)

yr (at2 + bt+ c) = (ra)t2 + (rb)t+ (rc).

4. V es el conjunto de todas las matrices de 2 2,[a bc d

],

donde a = d; es la suma matricial y es la multiplicacin por unescalar.

5. Verifique con detalle que R2 es un espacio vectorial.

6. Verifique con detalle que R3 es un espacio vectorial.

7. Verifique que el conjunto del ejemplo 2 es un espacio vectorial.

8. Verifique que el conjunto del ejemplo 3 satisface todas las propiedadesde la definicin 1, excepto la propiedad (f).

9. Muestre que el conjunto del ejemplo 5 es un espacio vectorial.

10. Muestre que el espacio P de todos los polinomios es un espacio vec-torial.

En los ejercicios 11 a 17, determine si el conjunto dado, junto con las ope-raciones dadas, es un espacio vectorial. Si no lo es, enumere las propiedadesde la definicin (4.1) que no se cumplen.

11. El conjunto de todas las ternas ordenadas de nmeros reales (x, y, z)con las operaciones

(x, y, z) (x, y, z) = (x, y + y, z)

yc (x, y, z) = (cx, cy, cz).

12. El conjunto de todas las ternas ordenadas de nmeros reales (x, y, z)con las operaciones

(x, y, z) (x, y, z) = (x+ x, y + y, z + z)

yc (x, y, z) = (x, 1, z).

4.6. CAMBIOS DE BASE Y PROCESO GRAM-SCHMIDT 55

13.

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