Algebra IV Bim
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ALGEBRA IV BIM.
TRILCE PRIMARIA
LOCUTORIO REN@TRIX CEL :992444616
ALGEBRA
Í n d i c e
Pág.
å Multiplicación de un monomio por un polinomio55
å División de un polinomio entre un monomio....59
å Notación polinómica - Valor numérico de un polinomio.....................................................63
å Resolución de ecuaciones con coeficiente entero67
å Resolución de ecuaciones con coeficientefraccionario......................................................71
å Repaso de ecuaciones I....................................73
åRepaso de ecuaciones II 75
COLEGIO TRILCE Página 2
ALGEBRA
Para poder reducir o simplificar expresiones de la forma: a . (b + c)
se hace uso de la Propiedad Distributiva:
a(b + c) = ab + ac
además de considerar:Ley de S ignos:
(+ )
(+ )
( - )
( - )
.
.
.
.
(+ )
( - )
( - )
(+ )
=
=
=
=
+
-
+
-
• Ejemplos
Efectuar cada caso:
1. 2x(x + 2y)
2x ( x + 2y )1 1 1 1=
2x + 4xy2 =
Recuerda que: x
tiene características: x + 1 1
2. -3x y (x - y)2 3 3
-3x y ( x - y )2 3 31 1 1=
-3x y + 3x y5 3 2 4=
Recuerda : x .x = x
(busca bases iguales)
( - ) . ( - ) = +
a b a + b
Ahora con tu ayuda:
3.
2x ( x - 3x - 2) = 2x ( x - 3x - 2 )4 5 2 4 5 2
= x - x - x 4
COLEGIO TRILCE Página 3
Conclusión:
* Si se multiplica dos expresiones del
mismo signo se obtiene siempre "+".
* Si se multiplica dos expresiones de signos contrarios, se obtiene siempre "-"
ALGEBRA
4.
-3x (2x - 5x + 1) = -3x (2x - 5x + 1)4 5 4 5
= - x + x - x
5.
x y z (xyz - 2x y z) = x y z (x y z - 2x y z )4 2 3 2 4 4 4 2 3 2 4 2
= x y z - x y z
AHORA HAZLO TU
I. Efectúa cada uno de los casos en tu cuaderno, si es posible simplifica cada
expresión:
1. 4(5x + 3) 8. 4xy3(x7 + 2x4 - 3x7 + x4)
2. -3(5xy - 2) 9. -x4y(x4 - 5x3 + y3 + 2x4)
3. 7x(x2 - yx2) 10. 3x2y3(x3 - z4 + x3)
4. -3x2y3(x3 - y2) 11. 2x2y2(x2 + x2 + y2)
5. 4x2(x3 - x7 + 2x4) 12. -5xy(xy - 3xy + 5x2y)
6. -3xy2(x - y + 2xy) 13. 2x2y3(3x3y - 2x4y3)
7. 5(x + 2y - 3z) 14. -5x4(2x2 - 3x3 + 5x3)
II. Reduce en cada caso en el cuaderno:
1. P(x) = 2x(x2 + 1) - 2x3
2. G(x) = 3x2(x - 1) + 3x2
3. F(x) = -5x(2 - 3x) + x(10 - 6x)
4. E(x) = 7x3(x2 - x4) + x4(7x3 + x)
5. M(x) = 3x4 - 5x(x2 + x3) + (3 + 2x4)
III. Desafíos
1. Simplifica: Q(x) = 3x(x2 + 2x) + 5x(5x - 3x2)
2. Simplifica:
COLEGIO TRILCE Página 4
ALGEBRA
Q(x) = x(7x - 5) + 7x2(8 + 3x) + 5x
3. Simplifica y luego halla: P(x) + Q(x)
si: P(x) = 3x(6x - 8) + 4x(9 - 2x) y Q(x) = 5x2 + 8(3x2 - 2x)
4. Calcula: P(x) - Q(x)
si: P(x) = 3x3 + 7(x2 + 5x3) y Q(x) = 10x2(5 - 3x)
5. Si: R(x) = 7x3(5x3 - 3) + 4(2x6 - x3)
halla la suma de coeficientes del polinomio simplificado.
6. Dado: A(x) = (2x2 - 3x3)7x y B(x) = (5x3 - 4x2)8x
calcula: A(x) + B(x)
7. Halla el grado absoluto (GA) del polinomio simplificado, si:
P(x) = 7x2(5x3 + 8x4) + 8x5(x2 - 3x3)
8. Calcula el grado relativo con respecto a "y" del polinomio simplificado
en:P(x,y) = 4x2y3(y2 - 2x2y5 - 8x) + 7y8x4
9. Dado el polinomio: P(x;y;z) definido como:
P(x;y;z) = 8a3b4x3y4z5 - 4b4a3z5x3y4
encuentra:
a. GA = b. GR(x) = c. GR(y) =
d. GR(z) = e. Coeficientes =
10. Halla el valor numérico (V.N:) de P(2); si: P(x) = 7x(x2 - 3x) - 4x3 + 21x2
+ 5x(2x - 3x2)
(Sugerencia: primero reduce el polinomio)
11. Representa algebraicamente el perímetro (P) de cada figura que se muestra a continuación:
a.
COLEGIO TRILCE Página 5
4x + 8
12x - 5
3x + 4
P = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
ALGEBRA
b.
P = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2x + 5
2x + 5
c.
P = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2 + 3x
2 + 3x
5x - 1
12. Halla la expresión algebraica que represente el área (A) de cada figura:
a.
A = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2x
2x
b.
A = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _4x
3xy
c.
A = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
4x
3x2
COLEGIO TRILCE Página 6
ALGEBRA
d.
A = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
10xy
12xy
9xy
4xy
Para dividir un polinomio entre un monomio, se divide cada término del
polinomio entre el monomio. Además se debe considerar:L e y d e S i g n o s :
( + )
( + )
( - )
( - )
( + )
( - )
( - )
( + )
=
=
=
=
+
-
+
-
* Ejemplos
Efectuar cada caso:
1.
4484
8
xxx
x
Recuerda que:
mnm
n
xx
x
2.
356
9
3
8
63
98yx6
y
y.
x
x.
424
yx4
yx24
(Se trabaja con los que tienen la misma variable)
3.
651
7
1
676
yx8y
y.
x
x.
432
xy4yx32
4.104
7
8
4
4
5
9
745
849
zyx5z
z.
y
y.
x
x.
420
zyx4
zyx20
(Recuerda que: y0 = 1) î -5x4z
COLEGIO TRILCE Página 7
Conclusión:
* Si se dividen dos expresiones del
mismo signo, el resultado siempre es
"+"
* Si se dividen dos expresiones de signos contrarios, el resultado siempre es "-"
ALGEBRA
5.
(32x - 4x - 12x ) (4x ) = 8x - x - 3x8 6 5 4 4 2
6.55
58
55
56
55
75
55
85675
yx12
yx24
yx12
yx12
yx12
yx36
yx12
5yx24yx12yx36
= 3y2 - x - 2x3
AHORA HAZLO TU
I. Reduce cada uno de los siguientes casos en tu cuaderno, si es posible simplifica cada expresión.
1.54
87
yx8
yx16
3.64
8576
yx4
yx32yx12
2.26
39
yx3
yx15
4. (16x6y6 - 36x9y5) (4x5y5)
5.810
8109141013
yx3
yx9yx3yx12
6.985
108591061098
zyx100
zyx300zyx300zyx200
7.85
146
35
96
yx8
yx32
yx12
yx24
8. (16x4y9 - 32x6y9) (4x3y8)
9. (324x9y8 - 42x6y10) (-6x5y8)
10.85
85968596
yx2
yx50yx2yx44yx20
II. Desafíos
COLEGIO TRILCE Página 8
ALGEBRA
1. Simplifica: x2)x3x(x3)x3x5(x5 22
2. Simplifica: x5x5
x7)x38(x7
7)7x7(x 2
3. Halla el grado absoluto del polinomio simplificado.
2
4332
)x(x2
)x5x7(2)x2x3(x4P
4. Si: x2xy30yx2xy36yx18
P242242
)y;x(
calcula: P(3;2)
5. Indica la suma de coeficientes del polinomio simplificado, si:
222
433866433
)z;y;x(zyx3
zyx6)zyx3zyx(3P
6. Calcula "A(x) + B(x)", si:
2
322
)x(x4
)x5x3x4(x8A
3
3245
)x(x3
)xx2x4(x6x3B
7. Halla el Valor Numérico (V.N.) de P(1;0); si:
55
10106886
)y;x(yx6
yx6yx36yx18P
8. Dado el polinomio P(x;y;z) definido como:
x3x7)xx(3
zyx60zyx100yx50P
22
10101068844
)z;y;x(
calcula:
a. GA = b. GR(z) = c. GR(y) =
d. GR(x) = e. Suma de coeficientes =
9. Calcula el grado relativo respecto de "x", del polinomio simplificado, si:
COLEGIO TRILCE Página 9
ALGEBRA
2
242343
)x(x4
x16x8)x2x3x(8x16P
10. Si: )x5x5x10(x15
)xx5(4)3x5(x7R
2222
3633
)x(
halla la suma de coeficientes del polinomio simplificado.
HABILIDAD OPERATIVAReemplaza para cada caso: x = 5; y = 2; z = 3 y obtén el valor mentalmente:
a. 2zyx
î Rpta.: _______________
b. 2x - 3y - z î Rpta.: _______________
c. x2 - y4 î Rpta.: _______________
d.z2y
4 î Rpta.: _______________
e. x2 + y2 + z2 î Rpta.: _______________
f.2
22
y
zx
î Rpta.: _______________
g. 6yz
10xy
î Rpta.: _______________
h. 2x + 5y - 3xy î Rpta.: _______________
COLEGIO TRILCE Página 10
ALGEBRA
i. 5x2
13yz 22
î Rpta.: _______________
NOTACIÓN POLINÓMICA
Un polinomio cuya única variable es "x" puede ser representado así: P(x)
Se lee: "P de x" o "P en x"
Significa: Polinomio cuya única variable es "x"
Por lo tanto:1. M(x;y) = -2x4y5
será un monomio de variables: "x" e "y"
2. P(x;y;z) = 3a2bx4y5z3
será un monomio de variables: "x", "y", "z"
Nota: "a" y "b" se llaman constantes y forman parte del coeficiente del monomio.
3. P(x) = 3x4 + 2x3 - 2x2 + x - 7
será un polinomio de cinco términos, cuya variable es "x".
4. P(x,y) = -x2 + y3x4 - 7x2y7 - m
será un polinomio de cuatro términos cuyas variables son "x" e "y"
VALOR NUMÉRICO DE UN POLINOMIO (V.N.)
Se llama así al número que se obtiene al reemplazar su variable o variables,
por los valores numéricos que se dan.
Ejemplo:
a. Si: P(x) = 3x2 + 1; hallar P(2)
Resolución: como: P(x) = 3x2 + 1
entonces: P(2) = 3.(2)2 + 1 = 13
COLEGIO TRILCE Página 11
ALGEBRA
b. Si: P(x;y) = -x2y + 3x; hallar P(1;2)
Resolución: como: P(x;y) = -x2y + 3x
entonces: P(1;2) = -(1)2(2) + 3(1) = 1
c. Si: M(x) = 7b2x3; hallar: M(5)
Resolución: como: M(x) = 7b2x3
entonces: M(5) = 7b2(5)3 = 875b2
AHORA HAZLO TU
1. Sean los polinomios:
P(x) = 2x2 - x + 1
Q(x) = x + 3
H(x) = 2x - 3x2
calcula cada caso:
a. P(2) = b. Q(-1) =
c. H(2) = d. A = P(1) + Q(1)
e. B = Q(6) - H(3)
Ahora en el cuaderno:
2. Si: P(x) = 3x - 4; halla: P(0) + P(2) + P(4)
3. Conocido: F(x) = 5x - 3; calcula: F(3) + F(1)
4. Si: Q(x;y) = 2xy - y2, calcula: Q(3;2)
5. Sabiendo que: M(x) = 3x2 - x + 1 y N(x) = 5x - x2 + 3, calcula: M(3) + N(4)
COLEGIO TRILCE Página 12
ALGEBRA
6. Si: P(x) = 3x2 - x - 3 y Q(x) = x2 - x + 1; calcula: P(3) + P(1) - Q(3)
7. Sabiendo que: G(x;y) = 2x + xy - y2
calcula: G(0;1) + G(1;2) + G(-1;-1)
8. Si se sabe que: P(x) = 2x - 3 y G(x) = 3x + 2
calcula: M(P(1) + P(2)), donde: M(x) = x
9. Dado: H(x) = 3x - (x - 2)2; halla: H(4) - H(12)
10. Para qué valor de "n" se cumple que: F(0;3) = n + G(2;5)
donde: F(x;y) = x10 + y; G(x;y) = 3x - 5y
11. Sabiendo que el monomio: M(x;y) = 3xn + 1ym + 2
tiene grado relativo respecto de "x" igual a 6 y grado relativo respecto de
"y" igual a 9. Halla "m + n"
12. Se sabe que el monomio: N(x;z) = 25xa + 2z2a - 1
es de grado relativo respecto de "x" igual a 12. Halla el grado relativo
respecto de "z".
13. Sabiendo que el polinomio: P(x) = 2xn + 3 + xn + 2 + x
es de grado absoluto igual a 5, calcula el valor de "n".
14. Halla el valor de "a + b" si: GR(x) = 8 y GR(y) = 6, si:
P(x;y) = 2xa + 2 + 3xy3 + b
15. Si el polinomio: P(x) = 3(x2)3(2xn)
es de grado relativo respecto a "x" igual a 13, halla: 2n + 6.
COLEGIO TRILCE Página 13
ALGEBRA
* Ecuación
Es una igualdad condicional que presenta una o más incógnitas.
Solución: Valor que verifica a toda la ecuación.
* Ejemplo:
Sabiendo que la solución de la ecuación en "x" es 3, calcular "a"
2(2a + x) = -[-(3a - x)] + 4
Resolución:Del dato: x = 3, ahora reemplazamos en la ecuación:
2(2a + 3)
4a + 6
4a - 3a
a
=
=
=
=
-[ - ( 3a - 3) ] + 4
3a - 3 + 4
-3 + 4 - 6
-5
* Ahora para resolver una ecuación se trabaja:
- Primer paso
Se trabajan los paréntesis, llaves, corchetes.
- Segundo paso
Se transponen términos (hacia el mayor)
- Tercer Paso
Se reducen términos semejantes.
- Cuarto Paso
Se despeja la incógnita.
AHORA HAZLO TU
I. Resuelve en tu cuaderno
1. 3x + (5 - 2x) + 4 = 6
COLEGIO TRILCE Página 14
ALGEBRA
2. 4x - (5 - 7x) - 6 = 11
3. -3x + 2 - (x + 3) = -5x + 4
4. 4 + 5x - (3 - 3x) = 6x - 7
5. 8 - 5x + 3(2 + x) = -(x + 6)
6. 9 - 3x + 2(3 - x) = -5(x + 4) - x
7. 5 - (3y - 6y - 8) - 7y = 2y + 16 - 9
8. 3(y - 4) = (3y - 5 - 4y) - (2 - 5y + 10)
9. 2m - (3 - 9m + 8) = 35 - (3m - 62 + 4m)
10. 8 - (7m - 4) - 36 = -5m - [4m - (8 - 2m)]
11. 3(x + 1) - 5(x + 5) = 4(1 - 2x) - 2(x - 3)
12. 5z - 7(z - 1) = -{2(z - 3) + z}
13. 3(x + 6) + 3 = 3 + 5(x - 4)
14. 11 + [3(x + 2) + 4] = [6(-2x - 2) + 1] - 13
15. 4 + 12(2x + 1) = 2 + 3(-2x + 8)
II. Resuelve los siguientes problemas:
1. Si: x = 3; es la solución de la ecuación: 3(x + a) - (5x + 2a) = 8
calcular "a"
2. La solución de la ecuación en "x": 2x - a + (5x - a) = 3x - a; es 1
calcular "a"
3. Hallar "a", si la solución de la ecuación en "x": 4 - (5x - 3a) = 3 - 4(x +
a)
es -2
4. Calcular "m" si la ecuación en "x": 3(x - 4m) + 4m = 6x - 7m
tiene como solución: x = 4
III. En cada caso calcular "x"
COLEGIO TRILCE Página 15
ALGEBRA
1. 1x1x4
8
x26x5
x4
31x4
8
x26x5
x4
î x = __________
2. x94x5
x4
x36
3x4x5
x4
6x3
î x = __________
3. x5
4x7
1x38
x4
x5
4x7
1x31x7
x4
î x = __________
4. !Desafío!
1
6x3
x28
20x5
1x)4x(5
x2
6x3
î x = __________
recuerda que:
ab
ba
1
Para resolver este nuevo tipo de problemas se trabajará:
â Primer pasoSe calcula el m.c.m. de los denominadores.
â Segundo pasoSe multiplica a cada uno de los términos por el m.c.m.
â Tercer Paso
COLEGIO TRILCE Página 16
ALGEBRA
Se reducen términos semejantes (transponiendo términos).
â Cuarto PasoSe despeja la incógnita.
AHORA HAZLO TU
I. Hallar el valor de "x" en cada caso:
1.1
4x
25
6x
2. 67
2x
3x2
3.1x
34
3x
21
2x
4.x2
41
4x3
31
3x2
5.5
51
5x2
6.x
42x
31
3x
7. 41
2x3
21
3x4
8.0
41
21x3
9. 41
12x
45
x
10.2
61x
41x
11.x2
3x
61x6
12.0
47x5
33x4
13. 47
41
22x
1x
14.0
48x
36x
15. 310x2
32
6)4x(5
3x
16. 4x313
32x
29x2
17. 310x4
612x5
27x3
18. 45
3x4
43
3x2
19. 37x2
24x3
9x2
COLEGIO TRILCE Página 17
ALGEBRA
Resolver cada caso en tu cuaderno:1. 3 - (x + 4) + x = 2x - 3
2. 16 - (3x + 9) + 4x = 36
3. 3x - 3(x - 4) = 5 - x
4. 16 - 8x + 4(x - 6) = -(2x - 3) + [ - (x + 1) + 6]
5. 12x - 14(x - 1) = -6(2x + 3) + 9x
6. 4(x - 1) + x - 3 = -2(x + 4) + 6(x - 1)
7. 3(2x - 1) - 2(3x - 1) = x - 16
8. 2(3 - x) + 5 = 7(5 - x) + 4x
9. 10x - {2x - (4x + 6)} = 7(6 + x) + 4x
10. 3(x - 4) + 5(3 - x) + x = 24
11. 2(x - 6) - 3(x - 4) = 4x - 25
12. x - 2(x - 3) + 3(x - 4) = 4(5 - x) + 10
13. 4x - 11 + 2(x - 3) - 6x = 3x - 2
14. x + (x + 1) + 2(x + 1) + 3(x + 1) = 6x + 14
15. -13x + 6 + 4(x - 1) = 3 - (x - 4) - 8x
16. 12x - 12(x - 4) + 3(2x - 6) - x = 0
17. 5x - 6(x - 4) - 2(x + 1) + 5 = 0
18. - {x - 2(2x - 4) + 3(x - 3)} = 1 + x
19. 10x - {4x - (5 - x)} + 3 = x - 16
20. 3x - 6 + 4(x - 2) + 5 = -(x - 4) + 23
21. El doble de mi edad aumentado en 32 es igual a restar 98 de 16.
COLEGIO TRILCE Página 18
ALGEBRA
22. El número de monedas que tengo es igual al doble de las que tuve ayer. Si
entre los dos días tuve 48 monedas, ¿cuántas tengo hoy?
23. Alfredo posee 32 láminas menos que Lucho pero Pepe el triple de Lucho. Si
entre los tres tienen 320 láminas, ¿cuánto tiene cada uno?
24. Si: x = 1; es la solución de la ecuación en "x":
3x - (2x + a) + 3a = 2a + 5x
calcular "a"
25. Sabiendo que: x = 8; es la solución de la ecuación en "x":6x - 4a + (3 - 2a) = 5(x - a)
26. Calcular "x".
4x3
12
3x6
80x3
4x3
12
3x6
x13
î x = __________
27. Resolver: 4x3
12
3x6
80x3
4x3
12
3x6
x13
î x = __________
28. Hallar "x".
x784
x412
x36x4
x6
x784
x2
x36x4
x6
î x = __________
Resolver cada ejercicio en tu cuaderno:
COLEGIO TRILCE Página 19
ALGEBRA
1. 32
31
2x
11.
35
x62
x5
2. 21
2x
2x3 12.
25x
41x3
3. 3x
21
6x
13. 2
3x5
32x
4.
15x
3x1
14. 21x
32
3x
5.
x14
x28
15.
x23
4x
6. 32
131
3x2
16.
x32
1x3
7.
x2x
215
17.
2x3
1x2
8. 32x
36x2
18.
x16
1x5
COLEGIO TRILCE Página 20
ALGEBRA
9.
25x
72x
19. 43
4x
32
23x
10.
3x3
1x2
20.06
32
x43
51
5x2
COLEGIO TRILCE Página 21