ALGEBRA LINEAL
Trabajo Colaborativo No. 1
Grupo: 100408_352
Presentado Por:
WILLIAM CAMILO SALCEDO
CODIGO: 1057578237
CRISTIAN CAMILOPEREZ GUTIERREZ
CODIGO: 1.057.590.041
JOSE ALEXANDER CARDENAS
CODIGO:
TUTOR:
IVAN FERNANDO AMAYA
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
UNAD
SEPTIEMBRE DE 2015
INTRODUCCIÓN
Con este trabajo se pretende que el estudiante identifique algunos aspectos que son fundamentales para abordar el estudio de la Algebra Lineal, por eso se presenta a través de ejercicios prácticos el afianzamiento de dichos conceptos.
En la unidad 1 del programa de Algebra Lineal se abordan temas como vectores, matrices y determinantes, y se explica los métodos de solución para estos sistemas.
OBJETIVOS
Afianzar mediante ejercicios prácticos los conocimientos adquiridos en la unidad 1 del programa de Algebra Lineal.
Entender el concepto de matriz y reconocer los diferentes elementos que la componen.
Realizar las operaciones algebraicas básicas con matrices y sus propiedades.
Resolver los cinco problemas que se presentan a continuación, describiendo el proceso paso por paso:
1. Dados los siguientes vectores dados en forma polar:
a. |u|=5 ;θ=2250
b. |v|=3 ;θ=600
Realice analíticamente, las operaciones siguientes:
1.1. 2u−6 v1.2. v−u1.3 6 v−7u
SOLUCION:
1.1
a. |u|=5 ;θ=2250 Ū= (5 Cos 225°, 5 Sen 225°) = (-3.535 ,-3.535)
b. |v|=3 ;θ=600v= (3 Cos 60° , 3 Sen 60°) = (1.5 , 2.59)
2u−6 vū + ¯v= (-3.535+ 1.5 , -3.535 + 2.59) = (-2.035 , -0.945)
1.2. v−u
¯v –ū = (1.5 , 2.59) -(-3.535 ,-3.535) = (5.035 , 6.125)
1.3 6 v−7u
6¯v - 7ū= 6(1.5 , 2.59)- 7(-3.535 ,-3.535)= (9, 15.54)-(-23.471,-23.471)=(32.471 , 39.011)
2. Encuentre el ángulo entre los siguientes vectores:
2.1. u=2 i+9 j y v=−6 i+9 j
2.2. w=−5 i− j y z=−7 i−4 j
2.1. u=2 i+9 j y v=−6 i+9 j
u=2 i+9 j= (2,9) ǀuǀ= √ (2 )2+ (9 )2=√85
v=−6 i+9 j= (-6,9) ǀvǀ= √ (−6 )2+(9 )2=√117
u*v= (2,9)*(-6,9)= -12+81=69
Ө= cos−1( u∗vǀu ǀ ǀ v ǀ
) = cos−1( 69
√85+√117)
Ө= cos−10.692
Ө=46.21
2.2. w=−5 i− j y z=−7 i−4 j
w=−5 i− j= (-5,-1) ǀwǀ= √ (−5 )2+(−1 )2=√26
z=−7 i−4 j= (-5,-1) ǀzǀ= √ (−7 )2+(−4 )2=√65
w*z= (-5,-1)*(-7,-4)= 35+4=39
Ө= cos−1( w∗zǀw ǀ ǀ z ǀ
) = cos−1( 39
√26+√65)
Ө= cos−10.9487
Ө=18.43
3. Dada la siguiente matriz, encuentre 1A empleando para ello el método de
Gauss – Jordán. (Describa el proceso paso por paso). NO SE ACEPTAN PROCEDIMIENTOS REALIZADOS POR PROGRAMAS DE CALCULO
(Si se presenta el caso, trabaje únicamente con números de la
forma b
a
y NO con sus representaciones decimales).
C=( 2 8 0−3 0 −18 1 −3 )
SOLUCION
Trabajamos la inversa A−1
A−1=[ 2 8 0−3 0 −18 1 −3
¿1 0 0¿ 0 1 0¿ 0 0 1] F3=4 (F2 )+(−1 (F3 ))
A−1=[ 2 8 0−3 0 −10 31 3
¿1 0 0¿0 1 0¿4 0 −1] F1=−1 (F1 )+(−1 (F2 ))
A−1=[ 1 −8 1−3 0 −10 31 3
¿−1 −1 0¿0 1 0¿4 0 −1] F2=3 (F1 )+F2
A−1=[1 −8 10 −24 20 31 3
¿−1 −1 0¿−3 −2 0¿ 4 0 −1] F2=
−124F2
A−1=[1 −8 1
0 1−112
0 31 3
¿−1 −1 0
¿ 18
112
0
¿4 0 −1] F1=8 (F2)+F1
A−1=[1 013
0 1−112
0 31 3
¿0 −13
0
¿18
112
0
¿ 4 0 −1] F3=−31 (F2 )+F3
A−1=[1 013
0 1−112
0 06712
¿0 −13
0
¿ 18
112
0
¿18
−3112
−1] F3=1267F3
A−1=[1 013
0 1−112
0 0 1
¿0 −13
0
¿ 18
112
0
¿3134
−3112
−1267
] F1=−13F3+F1
A−1=[1 0 0
0 1−112
0 0 1
:− 1134
−1267
467
:18
112
0
:3134
−3112
−1267
] F2=112F3+F2
A−1=[1 0 00 1 00 0 1
¿− 1134
−1267
467
¿ 17134
367
−167
¿3134
−3112
−1267
]At=[−1 /134 −12 /67 4 /67
17 /134 3 /67 −1/673 /134 −31/12 12/67 ]
4. Encuentre el determinante de la siguiente matriz describiendo paso a paso la operación que lo va modificando (sugerencia: emplee las propiedades e intente transformarlo en una matriz triangular).
A = [−1 0 9 2 18 3 3 −4 15 6 −4 2 10 0 0 1 −20 −1 2 −3 1
] = detA = 1(480) + (-2)(36) = 408
A44 * [−1 0 9 18 3 3 15 6 −4 10 −1 2 1
] -A42 * [−1 9 1
8 3 15 −4 1]
-A42 * [−1 9 18 3 15 −4 1]
−1 98 35 −4
-3+45-32-15-4-72 = -81
A43 * [−1 0 18 3 15 6 1]
A43 * [−1 0 18 3 15 6 1]
−1 08 35 6
-3+48-15+6 = 36
A44 * [−1 0 98 3 35 6 −4]
A44 * [−1 0 98 3 35 6 −4]
−1 08 35 6
12+432-135+18 = 327
A44 = (-1)(-81) + 2(36) + 1(327) = 480
-A44 * [−1 0 9 28 3 3 −45 6 −4 20 −1 2 −3]
-A42 * [−1 9 28 3 −45 −4 2 ]
-A42 * [−1 9 28 3 −45 −4 2 ]−1 9
8 35 −4
-6+180-64-30+16-144 = -48
A43 * [−1 0 28 3 −45 6 2 ]
A43 * [−1 0 28 3 −45 6 2 ]−1 0
8 35 6
-6+96-30-24 = 96
- A44 * [−1 0 98 3 35 6 −4]
- A44 * [−1 0 98 3 35 6 −4]
−1 08 35 6
12+432-135+18 = 327
A44 = (-1)(-48) + 2(96) + (-3)(327) = -741
5. Encuentre la inversa de la siguiente matriz, empleando para ello
determinantes (Recuerde: AdjA
DetAA *
11
) Nota: Describa el proceso paso por paso
C = [−2 5 −13 0 −43 1 −5 ]
C = - 60 – 3 - 8 + 75 = 4
Aᵗ = [−2 3 35 0 1
−1 −4 −5] = ([0 1
−4 −5] −[ 5 1−1 −5] [ 5 0
−1 −4 ][ 3 3−4 −5] [−2 3
−1 −5] [−2 3−1 −4 ]
[3 30 1] [−2 3
5 1] [−2 35 0] ) = (−4 −24 −26
3 7 −53 −13 15 )
A G¹ = ¼ . (−4 −24 −263 7 −53 −13 15 ) = (−1 −6 −56
3 /4 7/ 4 −5/43 /4 −13/ 4 15/4 )