Álgebra Lineal Ma1010 - cb.mty.itesm.mxcb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-24a.pdf · valores...
Transcript of Álgebra Lineal Ma1010 - cb.mty.itesm.mxcb.mty.itesm.mx/ma1010/materiales/ma1010-24a.pdf · valores...
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 1/34
Álgebra LinealMa1010
Mínimos CuadradosDepartamento de Matemáticas
ITESM
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 2/34
Introducción
En esta sección veremos cómo se trabaja un sistema inconsistente.
Esta situación es muy frecuente en el ajuste de datos a un modelo
matemático: cuando se tiene un conjunto de datos y un modelo con
parámetros a ajustar se conduce a un sistema de ecuaciones que
rara vez tiene solución. Entonces, lo que procede es encontrar los
valores de los parámetros que mejor ajustan el modelo a los datos.
Primero veremos el concepto de error al asumir una sustitución
como si fuera solución a un sistema de ecuaciones. Posteriormente
veremos el procedimiento para encontrar la solución que minimiza
el error cuadrático. Por último, veremos algunas aplicaciones del
método de mínimos cuadrados a ajuste de modelos.
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 3/34
Error Cuadrático
Sea Ax = b un sistema de ecuaciones (A m× n).
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 3/34
Error Cuadrático
Sea Ax = b un sistema de ecuaciones (A m× n).El error cuadrático cometido al asumir lasustitución x = xo, simbolizado por ‖△‖
xose
define por‖△‖
xo= ‖b−Axo‖
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 3/34
Error Cuadrático
Sea Ax = b un sistema de ecuaciones (A m× n).El error cuadrático cometido al asumir lasustitución x = xo, simbolizado por ‖△‖
xose
define por‖△‖
xo= ‖b−Axo‖
Un vector x se dice solución de mínimoscuadrados de Ax = b
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 3/34
Error Cuadrático
Sea Ax = b un sistema de ecuaciones (A m× n).El error cuadrático cometido al asumir lasustitución x = xo, simbolizado por ‖△‖
xose
define por‖△‖
xo= ‖b−Axo‖
Un vector x se dice solución de mínimoscuadrados de Ax = b si x es tal que minimiza elerror cuadrático entre todos los vectores en Rn.
Note que el error no se mide contra la soluciónque de momento no se tiene y que posiblementeno exista. Se mide en el efecto de si al sustituirlaen la ecuación da b y qué tal lejos quedó de b.
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 4/34
Ejemplo
Determine el error de cuadrático cometido porx = xo = (1, 2)′ como solución del sistema:
1 2
2 −1
3 3
x =
1
2
−3
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 4/34
Ejemplo
Determine el error de cuadrático cometido porx = xo = (1, 2)′ como solución del sistema:
1 2
2 −1
3 3
x =
1
2
−3
Soluci onDirecto de la definción:
‖△‖xo
=
∥∥∥∥∥∥∥∥
1
2
−3
−
1 2
2 −1
3 3
1
2
∥∥∥∥∥∥∥∥=
∥∥∥∥∥∥∥∥
1
2
−3
−
5
0
9
∥∥∥∥∥∥∥∥
=√
(−4)2 + (2)2 + (−12)2 = 2√41�
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 5/34
Las figuras 1 y 2 muestran loc cálculos realizados en la TI.
Figura 1: Ejemplo 1: Captura de datos.
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 6/34
Mínimos Cuadrados y Proyección Ortogonal
El siguiente resultado indica que efectivamente existe solución alproblema de mínimos cuadrados y lo que la solución representa.Teorema
Para cualquier matriz A m× n y cualquier vector m b existeuna solución x de mínimos cuadrados para
Ax = b.
Además, si bpr es la proyección ortogonal de b sobre elespacio generado por las columnas de A, entonces
Ax = bpr
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 7/34
La figura 3 pretende ilustrar el teorema anterior. Bajo el supuestode Ax = b inconsistente, el vector b está fuera de C(A). Laproyección de b sobre C(A) simbolizada por bpr es el elemento deC(A) lo más cercano posible a b. El vector b− bpr resultaperpendicular a todo C(A). Mínimos cuadrados no resuelveAx = b, sino Ax = bpr. Claro, el problema ahora es calcular bpr.
Figura 3: La proyección de b sobre C(A).
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 8/34
El siguiente resultado indica lo que debe satisfacer la solución alproblema de mínimos cuadrados y da el método para obtenerla.Teorema
x es una solución por mínimos cuadrados de
Ax = b
si y sólo si x es una solución de las ecuaciones normales:
ATAx = A
Tb
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 9/34
El sistema anterior, podría tener infinitas soluciones en algunoscasos. El siguiente teorema indica las circunstancias en las cualeses única la solución al problema y cómo determinar la solución demínimos cuadrados.Teorema
A tendrá columnas linealmente independientes si y sólo siATA es invertible. En este caso, la solución por mínimoscuadrados es única y puede calcularse con
x = (ATA)−1
ATb
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 10/34
El siguiente resultado da el método que usan los profesionales pararesolver el problema de mínimos cuadrados a partir unafactorización QR de la matriz de coeficientes.Teorema
Si A es una matriz de m× n con columnas linealmenteindependientes, y si A = QR es una factorización QR, laúnica solución x de Ax = b por mínimos cuadrados seexpresa teóricamente con
x = R−1
QTb
y puede calcularse resolviendo el sistema
Rx = QTb
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 11/34
Ejemplo de Solución
Ejemplo
Resuelva el siguiente problema de mínimoscuadrados y calcule el error de mínimos cuadradospara el sistema:
1 1
1 2
1 3
[
x1
x2
]=
2
4
3
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 12/34
Soluci on
Basta resolver las ecuaciones normales ATAx = ATb
mutiplicando por AT por la izquierda ambos lados del sistema:
1 1 1
1 2 3
1 1
1 2
1 3
x =
1 1 1
1 2 3
2
4
3
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 12/34
Soluci on
Basta resolver las ecuaciones normales ATAx = ATb
mutiplicando por AT por la izquierda ambos lados del sistema:
1 1 1
1 2 3
1 1
1 2
1 3
x =
1 1 1
1 2 3
2
4
3
quedando las ecuaciones normales 3 6
6 14
x =
9
19
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 12/34
Soluci on
Basta resolver las ecuaciones normales ATAx = ATb
mutiplicando por AT por la izquierda ambos lados del sistema:
1 1 1
1 2 3
1 1
1 2
1 3
x =
1 1 1
1 2 3
2
4
3
quedando las ecuaciones normales 3 6
6 14
x =
9
19
formando la matriz aumentada y reduciendo: 3 6 9
6 14 19
→
1 0 2
0 1 1/2
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 13/34
La solución del sistema normal es la solución por mínimoscuadrados:
x =
2
12
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 13/34
La solución del sistema normal es la solución por mínimoscuadrados:
x =
2
12
cuyo error de mínimos cuadrados es:
‖△‖ = ‖b−Ax‖ =
∥∥∥∥∥∥∥∥
2
4
3
−
1 1
1 2
1 3
2
12
∥∥∥∥∥∥∥∥
=
∥∥∥∥∥∥∥∥
− 12
1
− 12
∥∥∥∥∥∥∥∥=
√
62
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 14/34
Figura 4: Ejemplo 2: Captura de datos.
Figura 5: Ejemplo 2: solución por mínimos cuadrados usandoQR..
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 15/34
Aplicaciones de Mínimos Cuadrados
Uno de los usos frecuentes de los mínimoscuadrados ocurre en el área de la modelación.
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 15/34
Aplicaciones de Mínimos Cuadrados
Uno de los usos frecuentes de los mínimoscuadrados ocurre en el área de la modelación. Elproblema en general consiste en ajustar unconjunto de datos a un cierto modelo matemático.
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 15/34
Aplicaciones de Mínimos Cuadrados
Uno de los usos frecuentes de los mínimoscuadrados ocurre en el área de la modelación. Elproblema en general consiste en ajustar unconjunto de datos a un cierto modelo matemático.El modelo contiene ciertos parámetros constantesque deben determinarse para que éste se ajuste lomás posible al conjunto de datos muestreados.
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 15/34
Aplicaciones de Mínimos Cuadrados
Uno de los usos frecuentes de los mínimoscuadrados ocurre en el área de la modelación. Elproblema en general consiste en ajustar unconjunto de datos a un cierto modelo matemático.El modelo contiene ciertos parámetros constantesque deben determinarse para que éste se ajuste lomás posible al conjunto de datos muestreados.En la práctica, el conjunto de datos es grande yvariado y no existe un modelo matemático que seajuste perfectamente a los datos encontrados
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 15/34
Aplicaciones de Mínimos Cuadrados
Uno de los usos frecuentes de los mínimoscuadrados ocurre en el área de la modelación. Elproblema en general consiste en ajustar unconjunto de datos a un cierto modelo matemático.El modelo contiene ciertos parámetros constantesque deben determinarse para que éste se ajuste lomás posible al conjunto de datos muestreados.En la práctica, el conjunto de datos es grande yvariado y no existe un modelo matemático que seajuste perfectamente a los datos encontrados y loque se hace es determinar las constantes delmodelo que minimizan el error cuadráticodatos-modelo.
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 16/34
Ejemplos modeladoEjemplo
Determina la recta de mínimos cuadrados para el porcentaje decalificaciones por encima del 80 que ha reunido el profesor deálgebra lineal. Además, calcule el porcentaje esperado después deldécimo semestre.
Semestre 1 2 3 4 5 6
Porcentaje 0.20 0.25 0.20 0.35 0.45 0.40
-(0,0)(-0.1,-0.1)(7,0.5)
bb
b
b
bb
e1e2 e3
e4e5 e6
Meta: Encontrar un modelo que minimice el error total
Etotal =
6∑
i=1
ei2
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 17/34
En este caso se desea ajustar los puntosproporcionados a un modelo lineal que en generaltiene la forma:
y = mx+ b
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 17/34
En este caso se desea ajustar los puntosproporcionados a un modelo lineal que en generaltiene la forma:
y = mx+ b
Los parámetros constantes a determinar en estemodelo son m y b.
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 17/34
En este caso se desea ajustar los puntosproporcionados a un modelo lineal que en generaltiene la forma:
y = mx+ b
Los parámetros constantes a determinar en estemodelo son m y b. Las variables en este modelorepresentan: x el semestre y y el porcentaje decalificaciones por encima del 80.
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 17/34
En este caso se desea ajustar los puntosproporcionados a un modelo lineal que en generaltiene la forma:
y = mx+ b
Los parámetros constantes a determinar en estemodelo son m y b. Las variables en este modelorepresentan: x el semestre y y el porcentaje decalificaciones por encima del 80. Es importanteobservar que nuestras incógitas son lasconstantes del modelo no las variables: lasvariables tomarán sus valores de los datosmuestreados
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 17/34
En este caso se desea ajustar los puntosproporcionados a un modelo lineal que en generaltiene la forma:
y = mx+ b
Los parámetros constantes a determinar en estemodelo son m y b. Las variables en este modelorepresentan: x el semestre y y el porcentaje decalificaciones por encima del 80. Es importanteobservar que nuestras incógitas son lasconstantes del modelo no las variables: lasvariables tomarán sus valores de los datosmuestreados Así, el primer dato (semestre=1,porcentaje de calificación=0.20) se convierte en laecuación:
m ∗ (semestre 1) + b = porcentaje 0.20 es decir b+m = 0.20
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 18/34
El segundo dato (semestre=2, porcentaje decalificación=0.25) se convierte en la ecuación:
m (2) + b = 0.25, es decir: b+ 2m = 0.25
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 18/34
El segundo dato (semestre=2, porcentaje decalificación=0.25) se convierte en la ecuación:
m (2) + b = 0.25, es decir: b+ 2m = 0.25
El tercer dato (semestre=3, porcentaje decalificación=0.20) se convierte en la ecuación:
m (3) + b = 0.20, es decir: b+ 3m = 0.20
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 18/34
El segundo dato (semestre=2, porcentaje decalificación=0.25) se convierte en la ecuación:
m (2) + b = 0.25, es decir: b+ 2m = 0.25
El tercer dato (semestre=3, porcentaje decalificación=0.20) se convierte en la ecuación:
m (3) + b = 0.20, es decir: b+ 3m = 0.20
El cuarto dato (semestre=4, porcentaje decalificación=0.35) se convierte en la ecuación:
m (4) + b = 0.35, es decir: b+ 4m = 0.35
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 19/34
Continuando con este proceso nos lleva el sistemade ecuaciones:
b+ 1m = 0.20
b+ 2m = 0.25
b+ 3m = 0.20
b+ 4m = 0.35
b+ 5m = 0.45
b+ 6m = 0.40
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 19/34
Continuando con este proceso nos lleva el sistemade ecuaciones:
b+ 1m = 0.20
b+ 2m = 0.25
b+ 3m = 0.20
b+ 4m = 0.35
b+ 5m = 0.45
b+ 6m = 0.40
Este sistema se escribe en la notación matricial
A
[b
m
]= b
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 20/34
Siendo
A =
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
,b =
0.20
0.25
0.20
0.35
0.45
0.40
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 21/34
Por tanto,
ATA =
[1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6
]
1 1
1 2
1 3
1 4
1 5
1 6
=
[6 21
21 91
]
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 22/34
y
ATb =
[1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6
]
0.20
0.25
0.20
0.35
0.45
0.40
=
[1.85
7.35
]
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 22/34
y
ATb =
[1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6
]
0.20
0.25
0.20
0.35
0.45
0.40
=
[1.85
7.35
]
Así, las ecuaciones normales son[
6 21
21 91
][b
m
]=
[1.85
7.35
]
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 23/34
Resolviendo este sistema[
6 21 1.85
21 91 7.35
]∼
[1 0 0.13333
0 1 0.05
]
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 23/34
Resolviendo este sistema[
6 21 1.85
21 91 7.35
]∼
[1 0 0.13333
0 1 0.05
]
Por consiguiente, m = 0.05 y b = 0.13333.
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 23/34
Resolviendo este sistema[
6 21 1.85
21 91 7.35
]∼
[1 0 0.13333
0 1 0.05
]
Por consiguiente, m = 0.05 y b = 0.13333. Demanera que la recta es
y = 0.13333 + 0.05x
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 23/34
Resolviendo este sistema[
6 21 1.85
21 91 7.35
]∼
[1 0 0.13333
0 1 0.05
]
Por consiguiente, m = 0.05 y b = 0.13333. Demanera que la recta es
y = 0.13333 + 0.05x
Para x = 10 se obtieney = 0.13333 + 0.05× 10 = 0.63333.
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 23/34
Resolviendo este sistema[
6 21 1.85
21 91 7.35
]∼
[1 0 0.13333
0 1 0.05
]
Por consiguiente, m = 0.05 y b = 0.13333. Demanera que la recta es
y = 0.13333 + 0.05x
Para x = 10 se obtieney = 0.13333 + 0.05× 10 = 0.63333. Esto significaque más o menos esperaríamos 63.3 % decalificaciones estarían por encima del 80 en eldécimo semestre, si continua esta tendencia decalificaciones.
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 24/34
Figura 6: Ejemplo 3: Captura de datos.
Figura 7: Ejemplo 3: solución por mínimos cuadrados usando
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 25/34
Ejemplo
Encuentre la ecuación de la recta y = mx+ b quese ajusta mejor, en el sentido de mínimoscuadrados, a los datos de la siguiente tabla:
x y
40 48145 46650 45355 43560 420
Hint: Forme el sistema para m y b sustituyendo lospuntos en el modelo, por ejemplo al sustituir elprimer punto queda la ecuación :
40m+ b = 481
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 26/34
Soluci on
Convirtiendo cada dato en ecuación, obtenemos el sistema:
40m+ b = 481
45m+ b = 466
50m+ b = 453
55m+ b = 435
60m+ b = 420
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 26/34
Soluci on
Convirtiendo cada dato en ecuación, obtenemos el sistema:
40m+ b = 481
45m+ b = 466
50m+ b = 453
55m+ b = 435
60m+ b = 420
Así, el sistema queda Ax = b con
A =
40 1
45 1
50 1
55 1
60 1
y b =
481
466
453
435
420
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 27/34
Así
ATA =
12750 250
250 5
y A
Tb =
111985
2255
Por tanto, las ecuaciones normales quedan:
ATAx = A
Tb →
12750 250
250 5
x =
111985
2255
Al formar la aumentada y reducir obtenemos: 12750 250 111985
250 5 2255
→
1 0 −3.06
0 1 604.0
De donde m = −3.06 y b = 604.0. Por tanto, el modelo del mínimoerror cuadrático es:
y = −3.06x+ 604.0�
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 28/34
Ejemplo
Una población de conejos en una gran isla se estimó desde 1981hasta 1984 y se obtuvieron los datos:
año N
1981 2960
1982 4540
1983 8080
1984 17060
Se espera que los datos se ajusten a una función exponencial
N(t) = No ek (t−1981)
Use el método de mínimos cuadrados para hacer este ajuste.Usando esto determine la población en 1985.
Hint: Tome logaritmos para convertir el ajuste a un modelo lineal.
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 29/34
Soluci on
Tomando logaritmo natural al modelo propuestoN(t) = No e
k (t−1981) tenemos:
ln (N) = k (t− 1981) + ln (No)
Si y = ln (N) y b = ln (No) el modelo buscado es:
y = k (t− 1981) + b
siendo los parámetros incógnitas k y b. Al añadir a la tabla de datosla columna ln (N) queda:
año N ln (N)
1981 2960 7.992944547
1982 4540 8.420682291
1983 8080 8.997147152
1984 17060 9.744491821
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 30/34
Al sustituir los datos en el modelo, obtenemos las ecuaciones:
0 k + b = 7.992944547
1 k + b = 8.420682291
2 k + b = 8.997147152
3 k + b = 9.744491821
Así, el sistema tiene la forma Ax = b con
A =
0 1
1 1
2 1
3 1
y b =
7.992944547
8.420682291
8.997147152
9.744491821
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 31/34
De donde:
ATA =
14 6
6 4
y A
Tb =
55.64845205
35.15526581
Por tanto, la matriz aumentada de las ecuaciones normales y sureducción quedan
14 6 55.64845205
6 4 35.15526581
→
1 0 0.583110664
0 1 7.914150457
Concluimos que k = 0.583110664 yNo = eb = e7.914150457 = 2735.72143 . Por tanto, el modelo queminimiza el error cuadrático bajo el logaritmo natural es:
N(t) ≈ 2735.72143 e.583110664 (t−1981)
Por tanto el estimado de la población para t = 1985 sería:
N(1985) ≈ 2735.72143 e.583110664 (1985−1981) = 28186.35046
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 32/34
El problema puede hacerse también utilizando lafactorización QR de A, estos cálculos semuestran en las figuras 8, 9 y 10.
Figura 8: Ejemplo 5: Captura de datos.
IntroduccionErrorTeorıaEjemploModelacionEjemplos
Mínimos Cuadrados Álgebra Lineal - p. 33/34
En la figura 9 se ilustra cómo tomar el logaritmonatural a un vector columna.
Figura 9: Ejemplo 6: logaritmo de un vector y factorizaciónQR.