Algebra Lineal Problemas Resueltos - María Isabel García Planas

8/10/2019 Algebra Lineal Problemas Resueltos - María Isabel García Planas

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A l g e b r a L i n e a l

P r o b l e m a s r e s u e l t o s

M

a

I s a b e l G a r c a P l a n a s

3



Primera edición: septiembre de 1993Segunda edición: septiembre de 1994

Diseño de la cubieta: Antoni Gutiérrez

© M. Isabel GarcíaPlanas, 1993

© Edicions UPC, 1993

Edicions de la Universitat Politècnica de Catalunya, SLJordi Girona Salgado 31, 08034 BarcelonaTel.: 934 016 883 Fax: 934 015 885Edicions Virtuals: www.edicionsupc.ese-mail: [email protected]

Producción: Servei de Publicacions de la UPCy CPDAAV. Diagonal 647, ETSEIB. 08028 Barcelona

Depósito legal: B-22.363-93ISBN: 84-7653-295-4



A ( J L )

2

S & M

a

I

5

Primera edición: septiembre de 1993



I N D I C E

C a p . 1 P o l i n o m i o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1

C a p . 2 E s p a c i o s v e c t o r i a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3

C a p . 3 S i s t e m a s d e e c u a c i o n e s . M a t r i c e s . . . . . . . . . . . . . . . 3 9

C a p . 4 A p l i c a c i o n e s l i n e a l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1

C a p . 5 D e t e r m i n a n t e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3

C a p . 6 D i a g o n a l i z a c i o n d e e n d o m o r s m o s . . . . . . . . . . . . . . 8 5

C a p . 7 F o r m a r e d u c i d a d e J o r d a n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 9

C a p . 8 A n a l i s i s m a t r i c i a l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 7

A p e n d i c e I G r u p o s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3 1

A p e n d i c e I I A n i l l o d e c l a s e s d e r e s t o . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 1

9




P o l i n o m i o s y F r a c c i o n e s r a c i o n a l e s 1 1

C a p t u l o 1 P o l i n o m i o s y f r a c c i o n e s r a c i o n a l e s

1 H a l l a r e l m a x i m o c o m u n d i v i s o r , p o r e l a l g o r i t m o d e E u c l i d e s , d e l o s p o l i n o m i o s

P

1

( x ) = 2 1 5 6 x

5

+ 1 1 2 0 x

4

; 4 3 3 x

3

; 1 7 9 x

2

+ 3 2 x + 4

P

2

( x ) = 1 3 7 2 x

5

+ 7 8 4 x

4

; 2 4 5 x

3

; 1 3 1 x

2

+ 1 6 x + 4

S o l u c i o n :

R e c o r d a n d o e l t e o r e m a d e E u c l i d e s :

M C D ( P

1

( x ) P

2

( x ) ) = M C D ( P

2

( x ) R ( x ) )

S i e n d o R ( x ) e l r e s t o d e d i v i d i r P

1

( x ) e n t r e P

2

( x )

S a b e m o s q u e

M C D ( P

1

( x ) P

2

( x ) ) = M C D ( P

1

( x ) P

2

( x ) ) 8 u n i d a d e n R x

y a l s e r 2 1 5 6 = 4 7

2

1 1 y 1 3 7 2 = 4 7

3

, m u l t i p l i c a r e m o s P

1

( x ) p o r 7 p a r a e v i t a r

f r a c c i o n e s a l h a c e r l a d i v i s i o n d e P

1

( x ) p o r P

2

( x )

7 P

1

( x ) = P

2

( x ) 1 1 + ( ; 7 8 4 x

4

; 3 3 6 x

3

+ 1 8 8 x

2

+ 4 8 x ; 1 6 )

R ( x ) = ; 7 8 4 x

4

; 3 3 6 x

3

+ 1 8 8 x

2

+ 4 8 x ; 1 6

q u e s i m p l i c a m o s p o r ; 4 q u e d a n d o

R ( x ) = 1 9 6 x

4

+ 8 4 x

3

; 4 7 x

2

; 1 2 x + 4

P

2

( x ) = R ( x ) ( 7 x + 1 ) + 0 l u e g o M C D ( P

2

( x ) R ( x ) ) = R ( x )

p o r l o q u e :

M C D ( P

1

( x ) P

2

( x ) ) = R ( x ) = 1 9 6 x

4

+ 8 4 x

3

; 4 7 x

2

; 1 2 x + 4




1 2

A l g e b r a L i n e a l . P r o b l e m a s r e s u e l t o s

2 H a l l a r l a s r a c e s d e l p o l i n o m i o P ( x ) = x

4

; x

3

; 3 x

2

+ 5 x ; 2 s a b i e n d o q u e

u n a d e e l l a s e s t r i p l e .

S o l u c i o n :

L a d e s c o m p o s i c i o n e n f a c t o r e s p r i m o s d e l p o l i n o m i o s e r a :

P ( x ) = ( x ; )

3

( x ; )

S i e s u n a r a z t r i p l e d e P ( x ) e s r a z d o b l e d e P

0

( x ) y s i m p l e d e P " ( x )

P o r l o t a n t o e l M C D ( P

0

( x ) P " ( x ) ) c o n t i e n e e l f a c t o r ( x ; ) . B a s t a p u e s h a l l a r

M C D ( P

0

( x ) P " ( x ) ) y e n t r e s u s f a c t o r e s , p o r t a n t e o e n P ( x ) , p u e d e e x t r a e r s e e l v a l o r

d e

A h o r a b i e n , e n e s t e c a s o c o n c r e t o , p u e s t o q u e P " ( x ) e s d e g r a d o d o s , r e s u l t a m a s

s e n c i l l o h a l l a r l a s r a c e s d e P " y d e l a s d o s v e r c u a l l o e s t a m b i e n d e P ( x )

P

0

( x ) = 4 x

3

; 3 x

2

; 6 x + 5

P " ( x ) = 1 2 x

2

; 6 x ; 6

D e P " ( x ) = 0 t e n e m o s x = ;

1

2

x = 1

P ( ;

1

2

) 6= 0 , l u e g o ;

1

2

n o e s r a z d e P ( x ) , s i n e m b a r g o P ( 1 ) = 0 l u e g o = 1 e s l a

r a z b u s c a d a .

P u e s t o q u e d a d o u n p o l i n o m i o p ( x ) = a

n

x

n

+ + a

0

c o n r a c e s

1

: : :

n

c o n t a d a s

c o n s u m u l t i p l i c i d a d , e s a

n ; 1

= ; (

1

+ +

n

) , s e t i e n e = ; 2

3 P r o b a r q u e P ( x ) = n x

n + 2

; ( n + 2 ) x

n + 1

+ ( n + 2 ) x ; n e s d i v i s i b l e p o r ( x ; 1 )

3

( S e s u p o n e P ( x ) 2 R x y n 2 N )

S o l u c i o n :

Q u e P ( x ) s e a d i v i s i b l e p o r ( x ; 1 )

3

e q u i v a l e a q u e 1 e s p o r l o m e n o s r a z t r i p l e

d e P ( x ) , r a z d o b l e p o r l o m e n o s , d e P

0

( x ) y r a z s i m p l e p o r l o m e n o s , d e P " ( x )





V e a m o s

P ( 1 ) = n ; ( n + 2 ) + ( n + 2 ) ; n = 0 l u e g o 1 e s r a z d e P ( x )

P

0

( x ) = n ( n + 2 ) x

n + 1

; ( n + 2 ) ( n + 1 ) x

n

+ ( n + 2 )

P

0

( 1 ) = n ( n + 2 ) ; ( n + 2 ) ( n + 1 ) + ( n + 2 ) = 0 l u e g o 1 e s r a z d e P

0

( x )

P " ( x ) = n ( n + 2 ) ( n + 1 ) x

n

; ( n + 2 ) ( n + 1 ) n x

n ; 1

P " ( 1 ) = n ( n + 2 ) ( n + 1 ) ; ( n + 2 ) ( n + 1 ) n = 0 l u e g o 1 e s r a z d e P " ( x )

p o r l o t a n t o P ( x ) e s d i v i s i b l e p o r ( x ; 1 )

3

c o m o p r e t e n d a m o s p r o b a r

O b s e r v a m o s a d e m a s q u e P ( x ) n o e s d i v i s i b l e p o r ( x ; 1 )

4

p u e s

P

0 0 0

( x ) = n

2

( n + 2 ) ( n + 1 ) x

n ; 1

; ( n + 2 ) ( n + 1 ) ( n ; 1 ) n x

n ; 2

P

0 0 0

( 1 ) = n

2

( n + 2 ) ( n + 1 ) ; ( n + 2 ) ( n + 1 ) ( n ; 1 ) n = n ( n + 1 ) ( n + 2 ) 6= 0

4 C o n s i d e r e m o s P ( x ) = x

3

; 4 x

2

+ 5 x ; 2 a c o e c i e n t e s r e a l e s .

a ) D e t e r m i n a r P

0

( x ) ( p o l i n o m i o d e r i v a d o d e P ( x ) ) y d a r s u d e s c o m p o s i c i o n e n

f a c t o r e s p r i m o s .

b ) P r o b a r q u e u n a d e l a s r a c e s d e P

0

( x ) l o e s t a m b i e n d e P ( x ) y d e d u c i r d e e s t o

l a d e s c o m p o s i c i o n e n f a c t o r e s p r i m o s d e P ( x )

c ) C a l c u l a r M C D ( P ( x ) P

0

( x ) ) y d e t e r m i n a r d o s p o l i n o m i o s P

1

( x ) y P

2

( x ) t a l e s

q u e :

P

1

( x ) P ( x ) + P

2

( x ) P

0

( x ) = M C D ( P ( x ) P

0

( x ) )

S o l u c i o n :

a )

P

0

( x ) = 3 x

2

; 8 x + 5 = ( x ; 1 ) ( 3 x ; 5 )

b ) L a s r a c e s d e P

0

( x ) s o n 1 y

5

3

, a h o r a b i e n :

P (

5

3

) 6= 0 l u e g o

5

3

n o e s r a z d e P ( x )

P ( 1 ) = 0 l u e g o 1 e s r a z d o b l e d e P ( x )

P " ( 1 ) = ; 2 l u e g o 1 n o e s r a z t r i p l e d e P ( x )




1 4


L u e g o

P ( x ) = ( x ; 1 )

2

( x ; a ) = x

3

; ( 2 + a ) x

2

+ ( 2 a + 1 ) x ; a =

= x

3

; 4 x

2

+ 5 x ; 2

d e d o n d e a = 2

c ) d e

P ( x ) = ( x ; 1 )

2

( x ; 2 )

P

0

( x ) = ( x ; 1 ) ( 3 x ; 5 )

s e d e d u c e q u e : M C D ( P ( x ) P

0

( x ) ) = ( x ; 1 )

P o r e l a l g o r i t m o d e d i v i s i o n ( P ( x ) = P

0

( x ) Q ( x ) + R ( x ) ) t e n e m o s :

9 P ( x ) = P

0

( x ) ( 3 x ; 4 ) + ( ; 2 x + 2 ) = P

0

( x ) ( 3 x ; 4 ) ; 2 ( x ; 1 )

D e s p e j a n d o ( x ; 1 )

9 P ( x ) ; P

0

( x ) ( 3 x ; 4 ) = ; 2 ( x ; 1 )

; 9

2

P ( x ) ;

1

2

( 3 x ; 4 ) P

0

( x ) = ( x ; 1 )

L u e g o

P

1

( x ) =

; 9

2

P

2

( x ) =

; 1

2

( 3 x ; 4 )

5 L o s r e s t o s d e d i v i d i r u n p o l i n o m i o P ( x ) 2 R x ] p o r x ; 1 x ; 2 y x ; 3

s o n r e s p e c t i v a m e n t e 3 7 1 3

D e t e r m i n a r e l r e s t o d e d i v i d i r P ( x ) p o r e l p r o d u c t o

( x ; 1 ) ( x ; 2 ) ( x ; 3 )

S o l u c i o n :

P o r e l a l g o r i t m o d e d i v i s i o n s a b e m o s

P ( x ) = D ( x ) Q ( x ) + R ( x ) c o n g r a d o R ( x ) < g r a d o D ( x )

P ( x ) = ( x ; 1 ) Q

1

( x ) + R

1

( x ) = ( x ; 1 ) Q

1

( x ) + 3

P ( x ) = ( x ; 2 ) Q

2

( x ) + R

2

( x ) = ( x ; 2 ) Q

2

( x ) + 7

P ( x ) = ( x ; 3 ) Q

3

( x ) + R

3

( x ) = ( x ; 3 ) Q

3

( x ) + 1 3

P ( x ) = ( x ; 1 ) ( x ; 2 ) ( x ; 3 ) Q + R ( x ) c o n R ( x ) = a x

2

+ b x + c





S a b e m o s q u e e l v a l o r n u m e r i c o d e u n p o l i n o m i o P ( x ) e n u e s e l r e s t o d e

d i v i d i r e l p o l i n o m i o p o r x ; u l u e g o y p a r a i = 1 2 3

P ( u ) = ( x ; u ) Q

i

( u ) + R

i

( u ) = ( u ; 1 ) ( u ; 2 ) ( u ; 3 ) Q ( u ) + R ( u )

d e d o n d e :

P ( 1 ) = R

1

( 1 ) = 3 = R ( 1 ) = a + b + c

P ( 2 ) = R

2

( 2 ) = 7 = R ( 2 ) = 4 a + 2 b + c

P ( 3 ) = R

3

( 3 ) = 1 3 = R ( 3 ) = 9 a + 3 b + c

9

>

=

>

q u e , r e s o l v i e n d o e l s i s t e m a n o s q u e d a :

a = b = c = 1 y R ( x ) = x

2

+ x + 1

6 E n c o n t r a r u n p o l i n o m i o P ( x ) 2 R x ] d e g r a d o c i n c o , t a l q u e P ( x ) + 1 0 s e a

d i v i s i b l e p o r ( x + 2 )

3

y P ( x ) ; 1 0 s e a d i v i s i b l e p o r ( x ; 2 )

3

S o l u c i o n :

P u e s t o q u e P ( x ) + 1 0 e s d i v i s i b l e p o r ( x + 2 )

3

, t e n e m o s q u e P

0

( x ) =

( P ( x ) + 1 0 )

0

e s d i v i s i b l e p o r ( x + 2 )

2

y p u e s t o q u e P ( x ) ; 1 0 e s d i v i s i b l e

p o r ( x ; 2 )

3

, t e n e m o s q u e P

0

( x ) = ( P ( x ) ; 1 0 )

0

e s d i v i s i b l e p o r ( x ; 2 )

2

l u e g o P

0

( x ) ( p o l i n o m i o d e g r a d o c u a t r o ) s e r a

P

0

( x ) = k ( x + 2 )

2

( x ; 2 )

2

= k ( x

4

; 8 x

2

+ 1 6 ) c o n k 2 R

d e d o n d e

P ( x ) = k (

x

5

5

;

8

3

x

3

+ 1 6 x + c ) c o n c 2 R e i m p o n i e n d o q u e

P ( ; 2 ) = ; 1 0

P ( 2 ) = 1 0

N o t a : O b s e r v a m o s q u e

P ( x ) + 1 0 = ( x + 2 )

3

Q

1

( x ) = ) P ( x ) = ( x + 2 )

3

Q

1

( x ) ; 1 0 = ) P ( ; 2 ) = ; 1 0

P ( x ) ; 1 0 = ( x ; 2 )

3

Q

2

( x ) = ) P ( x ) = ( x ; 2 )

3

Q

2

( x ) + 1 0 = ) P ( 2 ) = 1 0




1 6


r e s u l t a

; 1 0 = k (

; 3 2

5

+

6 4

3

; 3 2 + c )

1 0 = k (

3 2

5

;

6 4

3

+ 3 2 + c )

y r e s o l v i e n d o e l s i s t e m a t e n e m o s

c = 0 k =

7 5

1 2 8

y P ( x ) =

1 5

1 2 8

x

5

;

2 5

1 6

x

3

+

7 5

8

x

O t r o m e t o d o :

D e :

P ( x ) + 1 0 = ( x + 2 )

3

C

1

( x ) c o n g r a d o C

1

( x ) = 2

P ( x ) ; 1 0 = ( x + 2 )

3

C

2

( x ) c o n g r a d o C

2

( x ) = 2

t e n e m o s :

2 0 = ( x + 2 )

3

C

1

( x ) ; ( x ; 2 )

3

C

2

( x )

1 = ( x + 2 )

3

(

1

2 0

C

1

) + ( x ; 2 )

3

(

1

2 0

C

2

( x ) )

e s d e c i r , h e m o s d e b u s c a r

1

2 0

C

1

( x ) y

1

2 0

C

2

( x ) q u e s o n l o s p o l i n o m i o s d e g r a d o m n i m o

q u e h a c e n q u e s e c u m p l a l a i d e n t i d a d d e B e z o u t , ( o b s e r v e s e q u e ( x + 2 )

3

y ( x ; 2 )

3

s o n p r i m o s e n t r e s ) .

7 D e s c o m p o n e r e n f r a c c i o n e s s i m p l e s s o b r e R , l a f r a c c i o n

; 1 4 x

2

+ 3 x ; 3 9

( x ; 1 )

2

( x ; 3 ) ( x

2

+ 4 )

I d e m s o b r e C

S o l u c i o n :

P l a n t e a m o s

; 1 4 x

2

+ 3 x ; 3 9

( x ; 1 )

2

( x ; 3 ) ( x

2

+ 4 )

=

a

x ; 1

+

b

( x ; 1 )

2

+

c

x ; 3

+

d x + e

x

2

+ 4





( O b s e r v a m o s q u e x

2

+ 4 e s p r i m o s o b r e R ) . O p e r a n d o e n e l s e g u n d o m i e m b r o , q u e d a

; 1 4 x

2

+ 3 x ; 3 9

( x ; 1 )

2

( x ; 3 ) ( x

2

+ 4 )

=

a ( x ; 1 ) ( x ; 3 ) ( x

2

+ 4 ) + b ( x ; 3 ) ( x

2

+ 4 ) + c ( x ; 1 )

2

( x

2

+ 4 ) + ( d x + e ) ( x ; 1 )

2

( x ; 3 )

( x ; 1 )

2

( x ; 3 ) ( x

2

+ 4 )

D e l a i g u a l d a d d e e s t a s d o s f r a c c i o n e s s e d e d u c e l a i g u a l d a d d e l o s p o l i n o m i o s n u -

m e r a d o r e s d e l a s f r a c c i o n e s . D e a q u s e d e d u c e p o r l o t a n t o u n m e t o d o d e c a l c u l o

d e l o s c o e c i e n t e s d e s c o n o c i d o s : i d e n t i c a r l o s c o e c i e n t e s d e i g u a l g r a d o d e a m b o s

p o l i n o m i o s , o b t e n i e n d o a s u n s i s t e m a d e c i n c o e c u a c i o n e s c o n c i n c o i n c o g n i t a s . O t r o

m e t o d o m a s s e n c i l l o p a r a o b t e n e r l o s c o e c i e n t e s e s : s i d o s p o l i n o m i o s s o n i g u a l e s , s u s

f u n c i o n e s p o l i n o m i c a s a s o c i a d a s s o n t a m b i e n i g u a l e s , p o r l o q u e , d a n d o v a l o r e s a x e n

a m b o s p o l i n o m i o s , l o s v a l o r e s n u m e r i c o s h a n d e s e r i g u a l e s . A s ,

p a r a x = 1 e s ; 1 4 + 3 ; 3 9 = b ( 1 ; 3 ) ( 1 + 4 ) ) b = 5

p a r a x = 3 e s ; 1 4 3 2 + 9 ; 3 9 = c ( 3 ; 1 )

2

( 3

2

+ 4 ) ) c = ; 3

p a r a x = 0 e s ; 3 9 = 1 2 a ; 6 0 ; 1 2 ; 3 e ) 1 2 a ; 3 e = 3 3

p a r a x = ; 1 e s ; 1 4 ; 3 ; 3 9 = 4 0 a ; 1 0 0 ; 6 0 ; 1 6 ( ; d + e ) ) 1 0 a + 4 d ; 4 e = 2 6

p a r a x = 2 e s ; 5 6 + 6 ; 3 9 = ; 8 a ; 4 0 ; 2 4 ; ( 2 d + e ) ) 8 a + 2 d + e = 2 5

R e s o l v i e n d o l a s t r e s u l t i m a s e c u a c i o n e s r e s u l t a a = 3 , d = 0 , e = 1 , l u e g o l a

d e s c o m p o s i c i o n e s

3

x ; 1

+

5

( x ; 1 )

2

+

; 3

x ; 3

+

1

x

2

+ 4

P a s e m o s a h o r a a e f e c t u a r l a d e s c o m p o s i c i o n e n C

x

2

+ 4 y a n o e s p r i m o e n C , x

2

+ 4 = ( x ; 2 i ) ( x + 2 i ) , p o r l o q u e l a d e s c o m p o s i c i o n

s e r a :

; 1 4 x

2

+ 3 x ; 3 9

( x ; 1 )

2

( x ; 3 ) ( x

2

+ 4 )

=

a

x ; 1

+

b

( x ; 1 )

2

+

c

x ; 3

+

m

x ; 2 i

+

n

x + 2 i

C o m p a r a n d o e s t a d e s c o m p o s i c i o n c o n l a a n t e r i o r , p o d e m o s a s e g u r a r q u e a , b , c

s e r a n l o s m i s m o s o b t e n i d o s p a r a e l c a s o r e a l , y

m

x ; 2 i

+

n

x + 2 i

=

1

x

2

+ 4

p o r l o q u e

1 = m ( x + 2 i ) + n ( x ; 2 i ) , q u e p a r a x = ; 2 i s e t i e n e 1 = ; 4 n i ! n = +

1

4

i

p a r a x = 2 i s e t i e n e 1 = 4 m i ) m = ;

1

4

i , y l a d e s c o m p o s i c i o n e s

3

x ; 1

+

5

( x ; 1 )

2

+

; 3

x ; 3

+

;

1

4

i

x ; 2 i

+

1

4

i

x + 2 i




1 8


8 D e s c o m p o n e r e n f r a c c i o n e s s i m p l e s s o b r e C , R y Q l a f r a c c i o n r a c i o n a l s i g u i e n t e

t

6

+ t

4

; t

2

; 1

t

3

( t

2

; 2 t ; 1 )

= Q ( t )

S o l u c i o n :

P u e s t o q u e e l g r a d o d e l n u m e r a d o r e s m a y o r q u e e l d e l d e n o m i n a d o r , e f e c t u a m o s l a

d i v i s i o n y t e n e m o s

Q ( t ) = t + 2 +

6 t

4

+ 2 t

3

; t

2

; 1

t

5

; 2 t

4

; t

3

t

5

; 2 t

4

; t

3

t i e n e l a m i s m a d e s c o m p o s i c i o n e n f a c t o r e s p r i m o s t a n t o s o b r e R c o m o

s o b r e C :

t

5

; 2 t

4

; t

3

= t

3

( t ; 1 ;

p

2 ) ( t ; 1 +

p

2 )

N o a s s o b r e Q q u e t

2

; 2 t ; 1 e s p r i m o , p o r l o q u e l a d e s c o m p o s i c i o n e n f r a c c i o n e s

s i m p l e s d e Q ( t ) s e r a l a m i s m a t a n t o s o b r e R c o m o s o b r e C y d i s t i n t a p a r a Q

V e a m o s p a r a R y C :

Q ( t ) = t + 2 +

A

t

3

+

B

t

2

+

C

t

+

D

t ; 1 ;

p

2

+

E

t ; 1 +

p

2

q u e o p e r a n d o o b t e n e m o s

Q ( t ) = t + 2 +

( A + B t + C t

2

) ( t

2

; 2 t ; 1 ) + t

3

( D ( t ; 1 +

p

2 ) + E ( t ; 1 ;

p

2 ) )

t

5

; 2 t

4

; t

3

= t + 2 +

P ( t )

t

5

; 2 t

4

; t

3

p o r l o q u e

6 t

4

+ 2 t

3

; t

2

; 1 = ( A + B t + C t

2

) ( t

2

; 2 t ; 1 ) + t

3

( D ( t ; 1 +

p

2 ) + E ( t ; 1 ;

p

2 ) ) = P ( t )

y h a c i e n d o u s o d e l h e c h o : s i d o s p o l i n o m i o s s o n i g u a l e s t a m b i e n l o s o n s u s f u n c i o n e s

p o l i n o m i c a s a s o c i a d a s , t e n e m o s

( 6 t

4

+ 2 t 3 ; t

2

; 1 ) ( 0 ) = ; 1 = P ( 0 ) = ; A

( 6 t

4

+ 2 t

3

; t

2

; 1 )

0

( 0 ) = 0 = P

0

( 0 ) = ; B ; 2 A

( 6 t

4

+ 2 t 3 ; t

2

; 1 )

0 0

( 0 ) = ; 2 ; P

0 0

( 0 ) = 2 ( A ; 2 B ; C )

( 6 t

4

+ 2 t

3

; t

2

; 1 )

0 0 0

( 0 ) = 1 2 =

= P

0 0 0

( 0 ) = 6 ( B ; 2 C + ( ; 1 +

p

2 ) D + ( ; 1 ;

p

2 ) E )

( 6 t

4

+ 2 t

3

; t

2

; 1 )

0 0 0 0

( 0 ) = 1 4 4 = P

0 0 0 0

( 0 ) = 4 8 C + 4 8 ( D + E )





R e s o l v i e n d o e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s o b t e n e m o s :

A = 1 B = ; 2 C = 6 D = 4

p

2 E = ; 4

p

2

y l a d e s c o m p o s i c i o n e s

Q ( t ) = t + 2 +

1

t

3

+

; 2

t

2

+

6

t

+

4

p

2

t ; 1 ;

p

2

+

; 4

p

2

t ; 1 +

p

2

P a s e m o s a l a d e s c o m p o s i c i o n d e Q ( t ) s o b r e Q :

Q ( t ) = t + 2 +

A

t

3

+

B

t

2

+

C

t

+

M

t

2

; 2 t ; 1

h a c i e n d o

4

p

2

t ; 1 ;

p

2

+

; 4

p

2

t ; 1 +

p

2

=

1 6

t

2

; 2 t ; 1

2 Q ( t )

p o r l o q u e

Q ( t ) = t + 2 +

1

t

3

+

; 2

t

2

+

6

t

+

1 6

t

2

; 2 t ; 1

y p u e s t o q u e l a d e s c o m p o s i c i o n e n f r a c c i o n e s s i m p l e s e s u n i c a , e s t a s e r a l a d e s c o m -

p o s i c i o n s o b r e Q

9 D e s c o m p o n e r e n f r a c c i o n e s s i m p l e s s o b r e C l a f r a c c i o n r a c i o n a l s i g u i e n t e

Q ( x ) =

1

( x ; 3 )

9

( x ; 5 )

9

S o l u c i o n :

L a d e s c o m p o s i c i o n s e r a

Q ( x ) =

9

X

n = 1

A

n

( x ; 3 )

n

+

9

X

n = 1

B

n

( x ; 5 )

n

d o n d e A

n

, B

n

c o n n = 1 : : : 9 s o n n u m e r o s c o m p l e j o s a d e t e r m i n a r .

C o n s i d e r e m o s F ( x ) =

1

( x ; 5 )

9

f u n c i o n r a c i o n a l d e s a r r o l l a m o s F ( x ) p o r l a f o r m u l a

d e T a y l o r e n e l p u n t o x = 3 , h a s t a e l o r d e n 8 , o b t e n i e n d o

F ( x ) = F ( 3 ) +

F

0

( 3 )

1 !

( x ; 3 ) + +

F

8

( 3 )

8 !

( x ; 3 )

8

+ G ( x ) ( x ; 3 )

9




2 0


s i e n d o G ( x ) u n a f u n c i o n r a c i o n a l q u e e s t a d e n i d a p a r a x = 3 u s a n d o e s t e d e s a r r o l l o

t e n e m o s

1

( x ; 3 )

9

( x ; 5 )

9

=

F ( 3 )

( x ; 3 )

9

+

F

0

( 3 )

( x ; 3 )

8

+ +

F

8

( 3 )

8 ! ( x ; 3 )

+ G ( x )

P o r l a u n i c i d a d d e l o s c o e c i e n t e s A

n

y B

n

t e n e m o s

A

n

=

F

9 ; n

( 3 )

( 9 ; n ) !

F

n

( x ) = ( ; 9 ) ( ; 9 ; 1 ) ( ; 9 ; n + 1 ) ( x ; 5 )

; 9 ; n

= ( ; 1 )

n

( 8 + n ) !

8 !

1

( x ; 5 )

9 + n

l u e g o F

n

( 3 ) = ( ; 1 )

n

( 8 + n ) !

8 !

1

( ; 2 )

9 + n

y A

n

= ( ; 1 )

9 ; n

( 1 7 ; n ) !

8 ! ( 9 ; n ) !

1

( ; 2 )

1 8 ; n

y p o r s i m e t r a t e n e m o s , ( o b s e r v e s e q u e o b t e n e m o s B

n

c o n s i d e r a n d o F

1

( x ) =

1

( x ; 3 )

n

y r e p i t i e n d o e l p r o c e s o a n t e r i o r ) .

B

n

= ( ; 1 )

9 ; n

( 1 7 ; n ) !

8 ! ( 9 ; n ) !

1

2

1 8 ; n

1 0 S o b r e e l c u e r p o d e l o s r a c i o n a l e s , d e s c o m p o n e r e n f r a c c i o n e s s i m p l e s l a f r a c c i o n

r a c i o n a l s i g u i e n t e

Q ( x ) =

2 ( x

2

+ 1 )

( x + 1 ) ( x

3

+ 2 )

S o l u c i o n :

O b s e r v a m o s q u e x

3

+ 2 n o t i e n e r a c e s e n Q , l u e g o

2 ( x

2

+ 1 )

( x + 1 ) ( x

3

+ 2 )

=

A

( x + 1 )

+

B x

2

+ C x + D

( x

3

+ 2 )





O p e r a n d o

2 ( x

2

+ 1 )

( x + 1 ) ( x

3

+ 2 )

=

A ( x

3

+ 2 ) + ( B x

2

+ C x + D ) ( x + 1 )

( x + 1 ) ( x

3

+ 2 )

I g u a l a n d o n u m e r a d o r e s t e n e m o s

A + B = 0

B + C = 2

C + D = 0

2 A + D = 2

9

>

>

>

=

>

>

>

)

A = 4

B = ; 4

C = 6

D = ; 6

l u e g o l a d e s c o m p o s i c i o n e s

Q ( x ) =

4

( x + 1 )

+

; 4 x

2

+ 6 x ; 6

x

3

+ 2

1 1 D e s c o m p o n e r s o b r e R l a f r a c c i o n :

Q ( x ) =

x

2

( x

2

+ 1 )

n

S o l u c i o n :

H a c i e n d o x

2

+ 1 = y t e n e m o s x

2

= y ; 1 , l u e g o

x

2 n

( x

2

+ 1 )

n

=

( y ; 1 )

n

y

n

=

P

n

i = 0

n

i

( ; 1 )

i

y

n ; i

y

n

=

= 1 ;

n

1

y

+

n

2

y

2

+ + ( ; 1 )

n

n

1

y

=

= 1 ;

n

1

x

2

+ 1

+

n

2

( x

2

+ 1 )

2

+ + ( ; 1 )

n

n

n

( x

2

+ 1 )

n




E s p a c i o s v e c t o r i a l e s 2 3

C a p t u l o 2 E s p a c i o s v e c t o r i a l e s

1 S e a R

0

e l g r u p o m u l t i p l i c a t i v o d e l o s n u m e r o s r e a l e s e s t r i c t a m e n t e p o s i t i v o s . P r o -

b a r q u e R

0

R

0

R

0

e s u n R - e s p a c i o v e c t o r i a l c o n l a s o p e r a c i o n e s s i g u i e n t e s :

8 ( x y z ) ( x

1

y

1

z

1

) 2 R

0

R

0

R

0

8 2 R

( x y z ) ( x

1

y

1

z

1

) = ( x x

1

y y

1

z z

1

)

( x y z ) = ( x

y

z

)

E n c a s o d e s e r d i m e n s i o n n i t a d e t e r m i n a r u n a b a s e

S o l u c i o n :

E s f a c i l p r o b a r q u e c o n l a o p e r a c i o n e l c o n j u n t o R

0

R

0

R

0

e s u n g r u p o a b e l i a n o :

A s o c i a t i v i d a d

8 ( x y z ) ( x

1

y

1

z

1

) ( x

2

y

2

z

2

) 2 R

0

R

0

R

0

( x y z ) ( ( x

1

y

1

z

1

) ( x

2

y

2

z

2

) ) = ( x y z ) ( x

1

x

2

y

1

y

2

z

1

z

2

) =

= ( x ( x

1

x

2

) y y

1

y

2

) z z

1

z

2

) ) = ( ( x x

1

) x

2

( y y

1

) y

2

( z z

1

) z

2

) =

= ( x x

1

y y

1

z z

1

) ( x

2

y

2

z

2

) = ( ( x y z ) ( x

1

y

1

z

1

) ) ( x

2

y

2

z

2

)

( E s t a p r o p i e d a d n o s p e r m i t e e s c r i b i r ( x y z ) ( x

1

y

1

z

1

) ( x

2

y

2

z

2

) )

C o n m u t a t i v i d a d

8 ( x y z ) ( x

1

y

1

z

1

) 2 R

0

R

0

R

0

( x y z ) ( x

1

y

1

z

1

) = ( x x

1

y y

1

z z

1

) = ( x

1

x y

1

y z

1

z ) =

= ( x

1

y

1

z

1

) ( x y z )

E l e m e n t o n e u t r o




2 4


8 ( x y z ) 2 R

0

R

0

R

0

( 1 1 1 ) ( x y z ) = ( 1 x 1 y 1 z ) = ( x y z )

E l e m e n t o s i m e t r i c o

8 ( x y z ) 2 R

0

R

0

R

0

9 ( 1 = x 1 = y 1 = z ) 2 R

0

R

0

R

0

t a l q u e

( x y z ) ( 1 = x 1 = y 1 = z ) = ( x 1 = x y 1 = y : z 1 = z ) = ( 1 1 1 )

V e a m o s a h o r a q u e l a o p e r a c i o n e x t e r n a v e r i c a l a s c u a t r o p r o p i e d a d e s n e c e s a r i a s p a r a

q u e e l c o n j u n t o s e a u n e s p a c i o v e c t o r i a l :

P r i m e r a l e y d i s t r i b u t i v a

8 2 R 8 ( x y z ) ( x

1

y

1

z

1

) 2 R

0

R

0

R

0

( ( x y z ) ( x

1

y

1

z

1

) ) = ( x x

1

y y

1

z z

1

) =

= ( ( x x

1

)

( y y

1

)

( z z

1

)

) = ( x

x

1

y

y

1

z

z

1

) =

= ( x

y

z

) ( x

1

y

1

z

1

) = ( ( x y z ) ) ( ( x

1

y

1

z

1

) )

S e g u n d a l e y d i s t r i b u t i v a

8 2 R 8 ( x y z ) 2 R

0

R

0

R

0

( + ) ( x y z ) = ( x

+

y

+

z

+

) = ( x

x

y

y

z

z

) =

= ( x

y

z

) ( x

y

z

) = ( ( x y z ) ) ( ( x y z ) )

A s o c i a t i v i d a d d e l o s e s c a l a r e s

8 2 R 8 ( x y z ) 2 R

0

R

0

R

0

( ) ( x y z ) = ( x

y

z

) =

= ( ( x

)

( y

)

( z

)

) = ( x

y

z

) =

= ( ( x y z ) )

P r o p i e d a d d e l e l e m e n t o u n i d a d d e l c u e r p o

8 ( x y z ) 2 R

0

R

0

R

0

1 ( x y z ) = ( x

1

y

1

z

1

) = ( x y z )





l u e g o , e n e f e c t o R

0

R

0

R

0

e s u n R - e s p a c i o v e c t o r i a l .

V e a m o s c u a l e s s u d i m e n s i o n y s i e s p o s i b l e , d e t e r m i n e m o s u n a b a s e .

S a b e m o s q u e 8 x 2 R

0

x = e

o g x

, l u e g o 8 ( x y z ) 2 R

0

R

0

R

0

, s e t i e n e

( x y z ) = ( e

o g x

e

o g y

e

o g z

) = ( e

o g x

1 1 ) ( 1 e

o g y

1 ) ( 1 1 e

o g z

) =

= ( l o g x ( e 1 1 ) ) ( l o g y ( 1 e 1 ) ) ( l o g z ( 1 1 e ) )

l u e g o l o s v e c t o r e s ( e 1 1 ) ( 1 e 1 ) ( 1 1 e ) 2 R

0

R

0

R

0

f o r m a n u n s i s t e m a d e

g e n e r a d o r e s .

C l a r a m e n t e s o n i n d e p e n d i e n t e s , v e a m o s :

d e (

1

( e 1 1 ) ) (

2

( 1 e 1 ) ) (

3

( 1 1 e ) ) = ( 1 1 1 )

t e n e m o s

( e

1

e

2

e

3

) = ( 1 1 1 ) ) e

= 1 8 i = 1 2 3 )

i

= 0 8 i = 1 2 3

p o r l o q u e f o r m a n u n a b a s e d e d i c h o e s p a c i o v e c t o r i a l .

2 D e m o s t r a r q u e e l c o n j u n t o E d e l a s s u c e s i o n e s n u m e r i c a s

u = ( u

1

u

2

u

n

) = ( u

n

) n 2 N

d e n u m e r o s r e a l e s p r o v i s t a d e d o s l e y e s d e c o m p o s i c i o n , u n a i n t e r n a + y u n a e x t e r n a

, d e n i d a s m e d i a n t e :

8 u v 2 E 8 2 R

u + v = ( u

n

+ v

n

) 8 n 2 N

u = ( u

n

) 8 n 2 N

e s u n e s p a c i o v e c t o r i a l .

S o l u c i o n :

P r i m e r o , p r o b a r e m o s q u e l a o p e r a c i o n ( i n t e r n a ) + d o t a a E d e e s t r u c t u r a d e g r u p o

a b e l i a n o




2 6



u + ( v + w ) = ( u

n

+ ( v + w )

n

) = ( u

n

+ ( v

n

+ w

n

) ) =

( 1 )

= ( ( u

n

+ v

n

) + w

n

) = ( ( u + v )

n

+ w

n

) = ( u + v ) + w

( 1 ) R t i e n e e s t r u c t u r a d e g r u p o , c o n l a o p e r a c i o n +


( u + v ) = ( u

n

+ v

n

) = ( v

n

+ v

n

) = ( v + u )

E x i s t e n c i a d e e l e m e n t o n e u t r o

v e a m o s q u e e x i s t e e 2 E t a l q u e u + e = u 8 u 2 E

s i u + e = ( u

n

+ e

n

) = u 8 u 2 E , e n t o n c e s u

n

+ e

n

= u

n

8 n 2 N , d e d o n d e

e

n

= 0 8 n 2 N y e = ( 0 0 : : : 0 : : : ) , l u e g o e e x i s t e y e s u n i c o .

E x i s t e n c i a d e e l e m e n t o s i m e t r i c o

h e m o s d e v e r q u e 8 u 2 E e x i s t e u

; 1

t a l q u e u + u

; 1

= e

s i u + u

; 1

= ( u

n

+ u

; 1

n

) = e , e n t o n c e s u

n

+ u

; 1

n

= 0 8 n 2 N , d e d o n d e u

; 1

n

=

; u

n

8 n 2 N y u

; 1

= ( ; u

n

) l u e g o u

; 1

e x i s t e y e s u n i c o .

V e a m o s a h o r a q u e l a o p e r a c i o n ( e x t e r n a ) v e r i c a l a s c u a t r o p r o p i e d a d e s , n e c e s a r i a s

p a r a q u e e l g r u p o a b e l i a n o E s e a u n R - e s p a c i o v e c t o r i a l

P r i m e r a l e y d i s t r i b u t i v a

8 u v 2 E 8 2 R

( u + v ) = ( ( u + v )

n

) = ( ( u

n

+ v

n

) ) = ( u

n

+ v

n

) =

= ( u

n

) + ( v

n

) = ( u

n

) + ( v

n

) = u + v

S e g u n d a l e y d i s t r i b u t i v a

8 2 R 8 u 2 E

( + ) u = ( ( + ) u

n

) = ( u

n

+ u

n

) = ( u

n

) + ( u

n

) =

= ( u

n

) + ( u

n

) = u + u

A s o c i a t i v i d a d d e l o s e s c a l a r e s





8 2 R 8 u 2 E

( ) u = ( ( ) u

n

) = ( ( u

n

) ) = ( u

n

) = ( ( u

n

) ) =

= ( u )

P r o p i e d a d d e l e l e m e n t o u n i d a d d e l c u e r p o

S e a 1 2 R y 8 u 2 E

1 u = ( 1 u

n

) = ( u

n

) = u

l u e g o E e s u n R - e s p a c i o v e c t o r i a l .

3 S e a F ( R R ) e l e s p a c i o v e c t o r i a l d e t o d a s l a s f u n c i o n e s d e R e n R . E s t u -

d i a r , p a r a q u e v a l o r e s d e k 2 R

W = f f 2 F ( R R ) = f ( 1 ) = k g

e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e F

S o l u c i o n :

R e c o r d e m o s q u e F e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l d e l K - e s p a c i o v e c t o r i a l E s i y s o l a m e n t e

s i :

8 2 K 8 u v 2 F e n t o n c e s u + v 2 F

S e a n p u e s 2 R y f g 2 F ( R R )

( f + g ) 2 F ( R R ) s i y s o l o s i ( f + g ) ( 1 ) = k

c o m p r o b e m o s s i e s t o e s a s

( f + g ) ( 1 ) = ( f ) ( 1 ) + ( g ) ( 1 ) = f ( 1 ) + g ( 1 ) = k + k = ( + ) k

l u e g o ( + ) k = k 8 2 R s i y s o l o s i k = 0 , p o r l o t a n t o W e s s u b e s p a c i o

v e c t o r i a l s i y s o l o s i k = 0

4 S e a f e

1

e

2

e

3

g u n a b a s e d e l R - e s p a c i o v e c t o r i a l R

3




2 8


> D e t e r m i n a n l o s v e c t o r e s a e

1

+ b e

2

c e

2

+ d e

3

e e

3

+ f e

1

, c o n a b c d e f e s c a l a r e s

n o n u l o s , u n a b a s e d e E ?

A p l i c a r e l r e s u l t a d o a l a s f a m i l i a s d e v e c t o r e s

a ) ( 1 1 0 ) ( 0 1 1 ) ( 1 0 ; 1 )

b ) ( 3 1 0 ) ( 0 2 1 ) ( 1 0 2 )

r e f e r i d o s a l a b a s e n a t u r a l d e R

3

S o l u c i o n :

P u e s t o q u e e l n u m e r o d e v e c t o r e s d a d o c o i n c i d e c o n l a d i m e n s i o n d e l e s p a c i o , e s t o s

v e c t o r e s f o r m a n b a s e s i y s o l o s i s o n i n d e p e n d i e n t e s . R e c o r d e m o s q u e u n a c o l e c c i o n d e

v e c t o r e s f e

1

: : : e

n

g d e u n K - e s p a c i o v e c t o r i a l s o n i n d e p e n d i e n t e s s i y s o l o s i :

1

e

1

+ +

n

e

n

= 0 ,

1

= =

n

= 0

V e a m o s p u e s ,

1

( a e

1

+ b e

2

) +

2

( c e

2

+ d e

3

) +

3

( e e

3

+ f e

1

) = 0

(

1

a +

3

f ) e

1

+ (

1

b +

2

c ) e

2

+ (

2

d +

3

e ) e

3

= 0

Y p u e s t o q u e f e

1

e

2

e

3

g e s b a s e , t e n e m o s

1

a +

3

f = 0

1

b +

2

c = 0

2

d +

3

e = 0

9

>

>

=

>

>

,

1

a b +

3

f b = 0

1

a b +

2

a c = 0

2

d +

3

e = 0

9

>

>

=

>

>

)

3

f b ;

2

a c = 0

2

d +

3

e = 0

)

,

3

f b d ;

2

a c d = 0

2

a c d +

3

a c e = 0

)

)

3

( f b d + a c e ) = 0

L u e g o , s i f b d + a c e 6= 0 )

3

= 0

2

= 0

1

= 0 y l o s v e c t o r e s s e r a n i n d e p e n d i e n t e s

y f o r m a r a n b a s e ( s i f b d + a c e = 0 c u a l q u i e r

3

2 R e s s o l u c i o n d e l s i s t e m a y p o r l o

t a n t o , l o s v e c t o r e s d a d o s , n o p u e d e n f o r m a r b a s e . ) .

A p l i c a n d o e l r e s u l t a d o a l a s f a m i l i a s d a d a s , t e n e m o s

a ) ( 1 1 0 ) = ( 1 0 0 ) + ( 0 1 0 ) ) a = b = 1

( 0 1 1 ) = ( 0 1 0 ) + ( 0 0 1 ) ) c = d = 1

( 1 0 ; 1 ) = ( 1 0 0 ) ; ( 0 0 1 ) ) e = 1 f = ; 1

9

>

=

>

) f b d = ; a c e





l u e g o , s o n d e p e n d i e n t e s ( l a r e l a c i o n d e d e p e n d e n c i a e s ( 1 1 0 ) ; ( 0 1 1 ) = ( 1 0 1 )

b ) ( 3 1 0 ) = 3 ( 1 0 0 ) + ( 0 1 0 ) ) a = 3 b = 1

( 0 2 1 ) = 2 ( 0 1 0 ) + ( 0 0 1 ) ) c = 2 d = 1

( 1 0 2 ) = ( 1 0 0 ) + 2 ( 0 0 1 ) ) e = 1 f = 2

9

>

=

>

) f b d 6= ; a c e

l u e g o , s o n i n d e p e n d i e n t e s , y p o r l o t a n t o f o r m a n b a s e .

5 S e a E u n e s p a c i o v e c t o r i a l s o b r e C d e d i m e n s i o n n y s e a f u

i

g

1 i n

u n a b a s e .

P o r r e s t r i c c i o n d e l c u e r p o d e e s c a l a r e s , E p u e d e c o n s i d e r a r s e c o m o u n e s p a c i o v e c t o r i a l

s o b r e R

D e m o s t r a r q u e l o s 2 n v e c t o r e s f u

1

: : : u

n

i u

1

: : : i u

n

g f o r m a n u n a b a s e d e E s o b r e

R . D e d u c i r d e a q u q u e d i m E

R

= 2 d i m E

C

N o t a : h e m o s l l a m a d o E

C

E

R

a E c o m o C e s p a c i o v e c t o r i a l y c o m o R e s p a c i o

v e c t o r i a l r e s p e c t i v a m e n t e .

S o l u c i o n :

A n t e t o d o , n o t a m o s q u e l o s v e c t o r e s d e E

C

y E

R

s o n l o s m i s m o s . V e a m o s p r i m e r o q u e

l o s v e c t o r e s d a d o s s o n i n d e p e n d i e n t e s e n E

R

c o n s i d e r e m o s u n a c o m b i n a c i o n l i n e a l

i g u a l a d a a c e r o :

1

u

1

+ +

n

u

n

+

n + 1

i u

1

+ +

2 n

i u

n

= 0 c o n

j

2 R j = 1 : : : 2 n

s u m e r g i e n d o E

R

e n E

C

e s t a i g u a l d a d p u e d e e s c r i b i r s e

(

1

+

n + 1

i ) u

1

+ + (

n

+

2 n

i ) u

n

= 0 c o n

j

+

n + j

i 2 C

y p u e s t o q u e f u

i

g s o n b a s e d e E

C

, t e n e m o s

j

+

n + j

i = 0 8 j = 1 : : : n

p o r l o q u e :

j

=

n + j

= 0 8 j = 1 : : : n

y p o r l o t a n t o , l o s v e c t o r e s f u

1

: : : u

n

i u

1

: : : i u

n

g s o n i n d e p e n d i e n t e s . V e a m o s

a h o r a q u e g e n e r a n E

R

S i u 2 E

R

, e n t o n c e s u 2 E

C

y p o r l o t a n t o

u =

1

u

1

+ +

n

u

n

c o n j 2 C j = 1 : : : n




3 0


e s d e c i r ,

j

= a

j

+ b

j

i j = 1 : : : n c o n a

j

b

j

2 R

l u e g o

u = ( a

1

+ b

1

i ) u

1

+ + ( a

n

+ b

n

i ) u

n

=

= a

1

u

1

+ b

1

i ) u

1

+ + a

n

u

n

+ b

n

i u

n

=

= a

1

u

1

+ + a

n

u

n

+ b

1

i u

1

+ + b

n

i u

n

l u e g o , s o n t a m b i e n g e n e r a d o r e s . P o r s e r u n s i s t e m a d e g e n e r a d o r e s i n d e p e n d i e n t e s s o n

b a s e , y p o r l o t a n t o

d i m E

R

= 2 : d i m E

C

6 S e a E = R

3

. D e c i r s i l o s v e c t o r e s f ( 1 2 3 ) ( 2 5 8 ) ( 1 3 7 ) g s o n d e p e n d i e n t e s

o i n d e p e n d i e n t e s .

S o l u c i o n :

E l m e t o d o q u e v a m o s a u s a r a q u p a r a l a d i s c u s i o n d e l a d e p e n d e n c i a o i n d e p e n d e n c i a

s e a p o y a e n l a s p r o p o s i c i o n e s s i g u i e n t e s .

a ) D a d o s p v e c t o r e s , p n , d e u n e s p a c i o v e c t o r i a l d e d i m e n s i o n n , x

i

=

( a

1

i

: : : a

n

i

) 1 i p , s i l o s c o e c i e n t e s a

j

i

s o n n u l o s p a r a i > j c o n a

i

i

6= 0 ( e s

d e c i r , s i c o l o c a m o s l o s v e c t o r e s e n c o l u m n a , l a m a t r i z o b t e n i d a e s t a l q u e p o r e n c i m a

d e l a d i a g o n a l p r i n c i p a l , l o s e l e m e n t o s s o n t o d o s n u l o s ) , e n t o n c e s l o s v e c t o r e s s o n

i n d e p e n d i e n t e s ( e s u n a c o n d i c i o n s u c i e n t e , p e r o n o n e c e s a r i a ) . A n a l o g a m e n t e , s i l o s

c o e c i e n t e s a

j

i

s o n n u l o s p a r a i < j c o n a

i

i

6= 0 ( e s d e c i r , s i c o l o c a m o s l o s v e c t o r e s

e n c o l u m n a , l a m a t r i z o b t e n i d a e s t a l q u e p o r d e b a j o d e l a d i a g o n a l p r i n c i p a l , l o s

e l e m e n t o s s o n t o d o s n u l o s ) , t a m b i e n s o n i n d e p e n d i e n t e s .

b ) E l r a n g o d e u n s i s t e m a d e v e c t o r e s n o v a r a s i a u n o d e e l l o s l e s u m a m o s u n a

c o m b i n a c i o n l i n e a l d e l o s d e m a s , p o r l o t a n t o p a r a i n v e s t i g a r l a s d e p e n d e n c i a o n o d e

l o s v e c t o r e s d a d o s l o s c o l o c a r e m o s e n c o l u m n a y u x t a p o n i e n d o l o s y h a r e m o s o p e r a c i o n e s

e l e m e n t a l e s d e l a o c o l u m n a p a r a c o n s e g u i r l o s c e r o s n e c e s a r i o s p a r a c o n o c e r e l r a n g o

d e l a m a t r i z , e s d e c i r l a d i m e n s i o n d e l s u b e s p a c i o q u e e n g e n d r a n

x

1

x

2

x

3

x

0

1

x

0

2

x

0

3

x

0 0

1

x

0 0

2

x

0 0

3

0

@

1 2 1

2 5 3

3 8 8

1

A

0

@

1 0 0

2 1 1

3 2 5

1

A

0

@

1 0 0

2 1 0

3 2 3

1

A





x

0

1

= x

1

x

0

2

= ; 2 x

1

+ x

2

x

0

3

= ; x

1

+ x

3

x

0 0

1

= x

0

1

x

0 0

2

= x

0

2

x

0 0

3

= ; x

0

2

+ x

0

3

L o s t r e s v e c t o r e s c u m p l e n l a c o n d i c i o n e s t a b l e c i d a e n a ) , l u e g o s o n i n d e p e n d i e n t e s .

7 H a l l a r 2 R p a r a q u e ( ; 3 7 ; 6 ) 2 R

4

p e r t e n e z c a a l s u b e s p a c i o F R

g e n e r a d o p o r ( 1 2 ; 5 3 ) y ( 2 ; 1 4 7 )

S o l u c i o n :

P a r a q u e e l v e c t o r ( ; 3 7 ; 6 ) p e r t e n e z c a a F e s c o n d i c i o n n e c e s a r i a y s u c i e n t e

q u e p u e d a p o n e r s e e n c o m b i n a c i o n l i n e a l d e l o s g e n e r a d o r e s d e F :

( ; 3 7 ; 6 ) = a ( 1 2 ; 5 3 ) + b ( 2 ; 1 4 7 )

o b l i g a n d o p u e s a l a c o m p a t i b i l i d a d d e l s i s t e m a r e s u l t a n t e

= a + 2 b

= 2 a ; b

; 3 7 = ; 5 a + 4 b

; 6 = 3 a + 7 b

9

>

>

>

=

>

>

>

a = 5 b = ; 3 = ; 1 = 1 3

l u e g o e l v e c t o r ( ; 3 7 ; 6 ) 2 F s i y s o l o s i = ; 1 y = 1 3 .

8 S e a E = R

2

y W e l s u b e s p a c i o e n g e n d r a d o p o r e l v e c t o r ( 1 1 ) . S i U e s e l

s u b e s p a c i o e n g e n d r a d o p o r e l v e c t o r ( 0 1 ) . P r o b a r q u e E e s s u m a d i r e c t a d e W y

U . S e a a h o r a U

0

e l s u b e s p a c i o e n g e n d r a d o p o r e l v e c t o r ( 3 1 ) . P r o b a r q u e t a m b i e n

s e v e r i c a E = W U

0

( n o u n i c i d a d d e l c o m p l e m e n t a r i o ) .

S o l u c i o n :

R e c o r d e m o s q u e s i F G s o n s u b e s p a c i o s d e E e s t o s f o r m a n s u m a d i r e c t a s i y s o l o

s i

F \ G = f 0 g

S i F y G f o r m a n s u m a d i r e c t a y a d e m a s s e v e r i c a q u e

F + G = E




3 2


d i r e m o s q u e E e s s u m a d i r e c t a d e e s t o s d o s s u b e s p a c i o s y l o n o t a r e m o s p o r F G

S i E e s d e d i m e n s i o n n i t a y F y G f o r m a n s u m a d i r e c t a , p a r a q u e F + G = E

b a s t a c o m p r o b a r q u e

d i m F + d i m G = d i m E

T o m e m o s p u e s x 2 W \ U , e s x = ( 1 1 ) p o r s e r d e W , y x = ( 0 1 ) p o r s e r d e

U

I d e n t i c a n d o ( 1 1 ) = ( 0 1 ) e s

= 0 = 0

l u e g o x = 0 y p o r t a n t o l a s u m a e s d i r e c t a . P u e s t o q u e d i m E = 2 y d i m W =

d i m U = 1 s e t i e n e

d i m W + d i m U = d i m E

l u e g o , e n e f e c t o , E = W U

S e a a h o r a y 2 W \ U

0

c o m o a n t e s : y = ( 1 1 ) = ( 3 1 ) , d e d o n d e

= 3 =

y d e a q u s e d e d u c e = = 0 , e s d e c i r , y = 0 l u e g o W y U

0

f o r m a n t a m b i e n

s u m a d i r e c t a y d i m W + d i m U

0

= 2 = d i m E , p o r t a n t o e s t a m b i e n E = W U

0

9 S e a P

3

e l e s p a c i o v e c t o r i a l d e p o l i n o m i o s d e u n a v a r i a b l e d e g r a d o i n f e r i o r o i g u a l

a 3 a c o e c i e n t e s e n R

a ) P r o b a r q u e l o s p o l i n o m i o s p 2 P

3

q u e v e r i c a n p ( 1 ) = p

0

( 1 ) = 0 ( s i e n d o p

0

e l

p o l i n o m i o d e r i v a d o d e p ) f o r m a n u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l F d e P

3

. D a r s u d i m e n s i o n

b ) L o s p o l i n o m i o s ( x ; 1 )

2

y x ( x ; 1 )

2

, > s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s ? D a r u n a

b a s e d e F

c ) E n c o n t r a r d o s p o l i n o m i o s p a r a c o m p l e t a r l a b a s e d e F y f o r m a r u n a b a s e d e P

3

D e t e r m i n a r u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l c o m p l e m e n t a r i o E d e F e n P

3

S o l u c i o n :

a ) S e a n p q 2 F v e a m o s s i p ; q 2 F 8 2 R

( p ; q ) ( 1 ) = p ( 1 ) ; q ( 1 ) = 0 ; 0 = 0

( p ; q )

0

( 1 ) = ( p

0

; q

0

) ( 1 ) = p

0

( 1 ) ; q

0

( 1 ) = 0 ; 0 = 0





L u e g o , e n e f e c t o , p ; q 2 F , y F e s p u e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l .

S e a p ( x ) = a

3

x

3

+ a

2

x

2

+ a

1

x + a

0

2 F , l u e g o

p ( 1 ) = a

3

+ a

2

+ a

1

+ a

0

= 0

p

0

( 1 ) = 3 a

3

+ 2 a

2

+ a

1

= 0

)

a

1

= ; 3 a

3

; 2 a

2

a

0

= 2 a

3

+ a

2

y p o r t a n t o ,

p ( x ) = a

3

x

3

+ a

2

x

2

+ ( ; 3 a

3

; 2 a

2

) x + ( 2 a

3

+ a

2

) =

= a

3

( x

3

; 3 x + 2 ) + a

2

( x

2

; 2 x + 1 ) = a

3

p

1

( x ) + a

2

p

2

( x )

y p

1

( x ) p

2

( x ) 2 F ( p

1

( 1 ) = p

0

1

( 1 ) = 0 y p

2

( 1 ) = p

0

2

( 1 ) = 0 ) p o r l o q u e s o n

g e n e r a d o r e s .

Y s o n i n d e p e n d i e n t e s , p u e s d e

a

3

p

1

( x ) + a

2

p

2

( x ) = 0 s e t i e n e a

3

= a

2

= 0

l u e g o s o n b a s e , y d i m F = 2

O t r a f o r m a :

D e h e c h o , b a s t a o b s e r v a r q u e s i p ( x ) 2 F e n t o n c e s p ( x ) = ( x ; 1 )

2

( a x + b ) = a x ( x ;

1 )

2

+ b ( x ; 1 )

2

= a p

1

( x ) + b p

2

( x ) l u e g o F e s e l c o n j u n t o d e p o l i n o m i o s g e n e r a d o p o r

p

1

( x ) p

2

( x ) c o n p

1

( x ) y p

2

( x ) i n d e p e n d i e n t e s , p o r l o q u e F e s u n s u b e s p a c i o v e c t o r i a l

d e d i m e n s i o n 2 y e s t o s d o s p o l i n o m i o s d e t e r m i n a n u n a b a s e

b ) S e a ( x ; 1 )

2

+ x ( x ; 1 )

2

= 0 , r e o r d e n a n d o t e r m i n o s t e n e m o s

x

3

+ ( ; 2 ) x

2

+ ( ; 2 ) x + = 0

y p o r t a n t o , = = 0 , e s d e c i r , s o n i n d e p e n d i e n t e s . E n a h e m o s o b s e r v a d o , q u e

( x ; 1 )

2

x ( x ; 1 )

2

2 F ( p u e s F e s e l c o n j u n t o d e p o l i n o m i o s d e g r a d o m e n o r o i g u a l

q u e t r e s t a l e s q u e t i e n e n a 1 c o m o r a z d e m u l t i p l i c i d a d p o r l o m e n o s d o s ) , l u e g o , s o n

b a s e d e F

c ) L o s v e c t o r e s x

2

; 2 x + 1 x

3

; 2 x

2

+ x s o n i n d e p e n d i e n t e s y a q u e f o r m a n u n a b a s e

d e F 1 x s o n v e c t o r e s i n d e p e n d i e n t e s d e x

2

; 2 x + 1 x

3

; 2 x

2

+ x , y a q u e

1 + x + ( x

2

; 2 x + 1 ) + ( x

3

; 2 x

2

+ x ) = 0 )

x

3

+ ( ; 2 ) x

2

+ ( ; 2 + ) x + + = 0

d e d o n d e = = = = 0




3 4


l u e g o G = 1 x ] e s u n s u b e s p a c i o c o m p l e m e n t a r i o d e F

1 0 S e a n A = f a

1

a

2

a

3

g , B = f b

1

b

2

b

3

g d o s b a s e s d e l e s p a c i o v e c t o r i a l R

3

r e l a c i o n a d a

m e d i a n t e :

8

>

<

>

:

a

1

= b

1

; 3 b

2

+ 4 b

3

a

2

= b

2

+ b

3

a

3

= b

1

+ b

2

+ b

3

a ) H a l l a r l a m a t r i z q u e t r a n s f o r m a l a s c o o r d e n a d a s d e l o s v e c t o r e s d e l a b a s e B a l a

A

b ) S e a C = f c

1

c

2

c

3

g u n a n u e v a b a s e c u y a s c o o r d e n a d a s r e s p e c t o d e B s o n :

8

>

<

>

:

c

1

= b

1

; b

2

+ b

3

c

2

= ; b

1

+ b

2

c

3

= b

2

; b

3

H a l l a r l a m a t r i z d e t r a n s f o r m a c i o n d e B a C y d e A a C

S o l u c i o n :

a ) R e c o r d e m o s q u e l a m a t r i z S d e p a s o d e A a B e s l a m a t r i z c u a d r a d a c u y a s c o l u m -

n a s s o n l a s c o o r d e n a d a s d e l o s v e c t o r e s d e A e x p r e s a d o s e n l a b a s e B . L u e g o :

S =

0

@

1 0 1

; 3 1 1

4 1 1

1

A

m a t r i z d e p a s o d e A a B

y e s t a m a t r i z e s t a l q u e s i c o m p o n e m o s d i c h a m a t r i z c o n u n v e c t o r c o l u m n a c u y o s

c o m p o n e n t e s s o n l a s c o o r d e n a d a s d e u n v e c t o r d e R

3

e n l a b a s e A , e l r e s u l t a d o e s

e l m i s m o v e c t o r ( v e c t o r c o l u m n a ) c u y o s c o m p o n e n t e s s o n l a s c o o r d e n a d a s d e l v e c t o r ,

p e r o e x p r e s a d o e n l a b a s e B

O b v i a m e n t e , l a m a t r i z d e p a s o d e B a A s e r a

S

; 1

=

1

7

0

@

0 ; 1 1

; 7 3 4

7 1 ; 1

1

A

( o b s e r v e s e q u e n e c e s i t a m o s l a e x p r e s i o n d e l o s v e c t o r e s d e l a b a s e B e n f u n c i o n d e l a

b a s e A , p o r l o q u e t e n e m o s q u e i n v e r t i r e l s i s t e m a d a d o ) .





b ) A n a l o g a m e n t e , l a m a t r i z d e p a s o d e C a B e s

T =

0

@

1 ; 1 0

; 1 1 1

1 0 ; 1

1

A

l u e g o , l a m a t r i z d e p a s o d e B a C e s

T

; 1

=

0

@

1 1 1

0 1 1

1 1 0

1

A

y s i c o m p o n e m o s l a s m a t r i c e s S y T

; 1

T

; 1

S =

0

@

2 2 3

1 2 2

; 2 1 2

1

A

n o s p r o p o r c i o n a , o b v i a m e n t e , l a m a t r i z d e p a s o d e A a C

1 1 E s t u d i a r s i l o s v e c t o r e s w

1

= ( 0 1 ; 2 1 ) w

2

= ( 1 1 2 ; 1 ) w

3

= ( 1 0 0 1 )

w

4

= ( 2 2 0 ; 1 ) f o r m a n o n o , u n a b a s e d e R

4

S o l u c i o n :

P a r a q u e f o r m e n b a s e e s c o n d i c i o n n e c e s a r i a y s u c i e n t e q u e s e a n l i n e a l m e n t e i n d e p e n -

d i e n t e s , e s d e c i r ,

1

w

1

+

2

w

2

+

3

w

3

+

4

w

4

= 0 ,

1

=

2

=

3

=

4

= 0

l o q u e e q u i v a l e a d e c i r , q u e e l s i s t e m a

0

1

+ 1

2

+ 1

3

+ 2

4

= 0

1

1

+ 1

2

+ 0

3

+ 2

4

= 0

; 2

1

+ 2

2

+ 0

3

+ 0

4

= 0

1

1

; 1

2

+ 1

3

; 1

4

= 0

9

>

>

>

=

>

>

>

t e n g a s o l u c i o n u n i c a l o q u e e q u i v a l e a q u e

D =

0 1 1 2

1 1 0 2

; 2 2 0 0

1 ; 1 1 ; 1

6= 0




3 6


D = ; 8 6= 0 , l u e g o , e n e f e c t o , s o n b a s e .

O b s e r v a m o s q u e , p a r a v e r s i n v e c t o r e s d e u n e s p a c i o v e c t o r i a l d e d i m e n s i o n n , f o r m a n

b a s e b a s t a c a l c u l a r e l d e t e r m i n a n t e d e l a m a t r i z , f o r m a d a p o r l o s v e c t o r e s c o l u m n a q u e

e x p r e s a n l o s v e c t o r e s d a d o s r e s p e c t o u n a b a s e y v e r s i e s o n o d i s t i n t o d e c e r o .

1 2 E n e l e s p a c i o v e c t o r i a l R

4

s e c o n s i d e r a n l o s s u b e s p a c i o s E

1

y E

2

g e n e r a d o s

p o r l o s v e c t o r e s ( 1 , 1 , 1 , 1 ) y ( 1 , - 1 , 1 , - 1 ) p a r a E

1

, y ( 1 , 2 , 0 , 1 ) , ( 1 , 2 , 1 , 2 ) y ( 3 , 1 , 3 , 1 ) p a r a

E

2

H a l l a r l a s d i m e n s i o n e s d e l s u b e s p a c i o i n t e r s e c c i o n y d e l s u b e s p a c i o s u m a .

S o l u c i o n :

O b s e r v a m o s q u e d i m E

1

= 2 y a q u e ( 1 , 1 , 1 , 1 ) , ( 1 , - 1 , 1 , - 1 ) s o n i n d e p e n d i e n t e s .

V e a m o s c u a l e s e l s u b e s p a c i o E

1

\ E

2

: s i v 2 E

1

\ E

2

, e n t o n c e s

v =

1

( 1 1 1 1 ) +

2

( 1 ; 1 1 ; 1 ) =

=

1

( 1 2 0 1 ) +

2

( 1 2 1 2 ) +

3

( 3 1 3 1 )

e s d e c i r ,

1

+

2

=

1

+

2

+ 3

3

1

;

2

= 2

1

+ 2

2

+

3

1

+

2

=

2

+ 3

3

1

;

2

=

1

+ 2

2

+

3

9

>

>

>

=

>

>

>

)

1

= 0

2

1

= 3

2

+ 4

3

2

2

= ;

2

+ 2

3

9

>

=

>

p o r l o q u e , d a n d o v a l o r e s c u a l e s q u i e r a a l o s e s c a l a r e s

2

3

, o b t e n d r e m o s l o s v e c t o r e s

d e E

1

\ E

2

, y p u e s t o q u e h a y d o s p a r a m e t r o s l i b r e s d i m E

1

\ E

2

= 2

P o r e j e m p l o , p a r a

2

= ; 1

3

= 1 , s e t i e n e

w

1

= ( 3 1 3 1 ) ; ( 1 2 1 2 ) = ( 2 ; 1 2 ; 1 ) 2 E

1

\ E

2

p a r a

2

=

3

= 1

w

2

= ( 1 2 1 2 ) + ( 3 1 3 1 ) = ( 4 3 4 3 ) 2 E

1

\ E

2

o b s e r v a m o s q u e w

1

y w

2

s o n i n d e p e n d i e n t e s p o r l o q u e d i m E

1

\ E

2

2 y p u e s t o

q u e

E

1

\ E

2

E

1

y d i m E

1

= 2





s e t i e n e q u e E

1

\ E

2

= E

1

y d i m E

1

\ E

2

= 2

S a b e m o s q u e d i m ( E

1

+ E

2

) = d i m E

1

+ d i m E

2

; d i m ( E

1

\ E

2

) , l u e g o d i m ( E

1

+ E

2

) =

d i m E

2

( T e n e m o s q u e E

1

+ E

2

= E

2

, p u e s E

2

E

1

+ E

2

y t i e n e n l a m i s m a d i m e n s i o n ) .




S i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s . M a t r i c e s 3 9

C a p t u l o 3 S i s t e m a s d e e c u a c i o n e s l i n e a l e s . M a t r i c e s

1 D a d a l a m a t r i z

B =

0

@

8 ; 5 ; 1 3

8 ; 4 ; 2 9

4 ; 1 ; 6

1

A

r e d u c i r l a a u n a m a t r i z d i a g o n a l m e d i a n t e t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s d e l a s y c o l u m -

n a s .

S o l u c i o n :

T o m a m o s l a m a t r i z B y r e s t a m o s l a p r i m e r a l a a l a s e g u n d a y l a p r i m e r a a l d o b l e

d e l a t e r c e r a , q u e d a n d o

B

0

@

8 ; 5 ; 1 3

0 1 ; 1 6

0 3 1

1

A

= B

1

T o m a m o s a h o r a l a m a t r i z B

1

y r e s t a m o s a l a t e r c e r a l a e l t r i p l e d e l a s e g u n d a ,

q u e d a n d o

B

1

0

@

8 ; 5 ; 1 3

0 1 ; 1 6

0 0 4 9

1

A

= B

2

S o b r e B

2

, d i v i d i m o s l a t e r c e r a l a p o r 4 9

B

2

0

@

8 ; 5 ; 1 3

0 1 ; 1 6

0 0 1

1

A

= B

3




4 0


S o b r e B

3

, s u m a m o s a l a s e g u n d a l a d i e c i s e i s v e c e s l a t e r c e r a y a l a p r i m e r a t r e c e

v e c e s l a t e r c e r a

B

3

0

@

8 ; 5 0

0 1 0

0 0 1

1

A

= B

4

S o b r e B

4

, s u m a m o s a l a p r i m e r a l a c i n c o v e c e s l a s e g u n d a y t e n e m o s

B

4

0

@

8 0 0

0 1 0

0 0 1

1

A

= B

5

q u e e s y a d i a g o n a l p o d e m o s s e g u i r r e d u c i e n d o d i v i d i e n d o l a p r i m e r a l a p o r 8 ,

o b t e n i e n d o

B

5

0

@

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1

A

= I

l u e g o B I

2 D e t e r m i n a r l a i n v e r s a d e l a m a t r i z

A =

0

@

1 4 8

0 1 2

; 1 2 3

1

A

d o n d e A 2 M

3

( R )

p o r e l m e t o d o d e l p i v o t e

S o l u c i o n :

Y u x t a p o n e m o s l a m a t r i z A y l a m a t r i z i d e n t i d a d I

0

B

B

@

1 4 8 . 1 0 0

0 1 2 . 0 1 0

; 1 2 3 . 0 0 1

1

C

C

A

= A





y h a c e m o s l a s t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s d e l a s , n e c e s a r i a s p a r a c o n v e r t i r A e n

I . U n a v e z t e r m i n a d o e l p r o c e s o l a m a t r i z q u e a p a r e c e e n e l l u g a r q u e o c u p a b a I e s

l a m a t r i z A

; 1

i n v e r s a d e A

A

( a )

0

B

B

@

1 4 8 . 1 0 0

0 1 2 . 0 1 0

0 6 1 1 . 1 0 1

1

C

C

A

( b )

0

B

B

@

1 4 8 . 1 0 0

0 1 2 . 0 1 0

0 0 1 ; 1 6 ; 1

1

C

C

A

( c )

0

B

B

@

1 4 8 . 1 0 0

0 1 0 2 ; 1 1 2

0 0 1 ; 1 6 ; 1

1

C

C

A

( d )

0

B

B

@

1 4 0 9 ; 4 8 8

0 1 0 2 ; 1 1 2

0 0 1 ; 1 6 ; 1

1

C

C

A

( e )

0

B

B

@

1 0 0 1 ; 4 0

0 1 0 2 ; 1 1 2

0 0 1 ; 1 6 ; 1

1

C

C

A

y p o r c o n s i g u i e n t e

A

; 1

=

0

@

1 ; 4 0

2 ; 1 1 2

; 1 6 ; 1

1

A

( a ) A l a t e r c e r a l a d e A l e s u m a m o s l a p r i m e r a , o b t e n i e n d o A

1

( b ) A l a t e r c e r a l a d e A

1

m u l t i p l i c a d a p o r ; 1 l e s u m a m o s s e i s v e c e s l a s e g u n d a d e

A

1

o b t e n i e n d o A

2

( c ) A l a s e g u n d a l a d e A

2

l e r e s t a m o s d o s v e c e s l a t e r c e r a d e A

2

, o b t e n i e n d o A

3

( d ) A l a p r i m e r a l a d e A

3

l e r e s t a m o s o c h o v e c e s l a t e r c e r a , o b t e n i e n d o A

4

( e ) A l a p r i m e r a l a d e A

4

l e r e s t a m o s c u a t r o v e c e s l a s e g u n d a

3 R e s o l v e r e l s i s t e m a




4 2


x ; 2 y + 3 z = 7

2 x + y ; 2 z = ; 2

3 x ; y + z = 6

9

>

=

>

S o l u c i o n :

E l s i s t e m a s e e x p r e s a e n f o r m a m a t r i c i a l p o r

0

@

1 ; 2 3

2 1 ; 2

3 ; 1 1

1

A

0

@

x

y

z

1

A

=

0

@

7

; 2

6

1

A

A X =

0

@

7

; 2

6

1

A

c o n X =

0

@

x

y

z

1

A

Y u x t a p o n e m o s a l a m a t r i z A l a m a t r i z c o l u m n a

0

@

7

; 2

6

1

A

, o b t e n i e n d o l a m a t r i z B y

h a c e m o s t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s a B p a r a p o d e r c o m p a r a r l o s r a n g o s d e A y

B

0

@

1 ; 2 3 7

2 1 ; 2 ; 2

3 ; 1 1 6

1

A

0

@

1 ; 2 3 7

0 5 ; 8 ; 1 6

0 5 ; 8 ; 1 5

1

A

0

@

1 ; 2 3 7

0 5 ; 8 ; 1 6

0 0 0 1

1

A

l u e g o r a n g o A = 2 , r a n g o B = 3 , y p o r t a n t o , e l s i s t e m a e s i n c o m p a t i b l e .

4 D i s c u t i r s e g u n l o s v a l o r e s d e a b c d e l s i s t e m a a c o e c i e n t e s e n K s i g u i e n t e

x + 2 y + 3 z + 4 t = a

2 x + 3 y + 4 z + t = b

3 x + 4 y + z + 2 t = c

4 x + y + 2 z + 3 t = d

9

>

>

>

=

>

>

>

s u p o n i e n d o : a ) K = Q b ) K = Z

S o l u c i o n :





0

B

@

1 2 3 4 a

2 3 4 1 b

3 4 1 2 c

4 1 2 3 d

1

C

A

0

B

@

1 2 3 4 a

0 ; 1 ; 2 ; 7 ; 2 a + b

0 ; 2 ; 8 ; 1 0 ; 3 a + c

0 ; 7 ; 1 0 ; 1 3 ; 4 a + d

1

C

A

0

B

@

1 2 3 4 a

0 1 2 7 2 a ; b

0 0 4 ; 4 a ; 2 b + c

0 0 4 3 6 1 0 a ; 7 b + d

1

C

A

0

B

@

1 2 3 4 a

0 1 2 7 2 a ; b

0 0 4 ; 4 ; a + 2 b ; c

0 0 0 4 0 1 1 ; 9 b + c + d

1

C

A

0

B

@

1 0 2 0 3 0 4 0 1 0 a

0 4 0 8 0 2 8 0 8 0 a ; 4 0 b

0 0 4 0 0 a + 1 1 b ; 9 c + d

0 0 0 4 0 1 1 a ; 9 b + c + d

1

C

A

0

B

@

4 0 0 0 0 ; 9 a + b + c + 1 1 d

0 4 0 0 0 a + b + 1 1 c ; 9 d

0 0 4 0 0 a + 1 1 b ; 9 c + d

0 0 0 4 0 1 1 a ; 9 b + c + d

1

C

A

a ) p a r a K = Q l a s t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s r e a l i z a d a s s o n v a l i d a s e l s i s t e m a

t i e n e s o l u c i o n u n i c a

x =

; 9 a + b + c + 1 1 d

4 0

y =

a + b + 1 1 c ; 9 d

4 0

z =

a + 1 1 b ; 9 c + d

4 0

t =

1 1 a ; 9 b + c + d

4 0

b ) p a r a K = Z l a s t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s r e a l i z a d a s s o n v a l i d a s p a r a q u e h a y a

s o l u c i o n l o s e l e m e n t o s ; 9 a + b + c + 1 1 d a + b + 1 1 c ; 9 d a + 1 1 b ; 9 c + d 1 1 a ; 9 b + c + d

h a n d e s e r m u l t i p l o s d e 4 0 .

5 E s t u d i a r s e g u n l o s v a l o r e s d e a e l s i s t e m a

a x + y + z = a

x + a y + z = a

x + y + a z = a

9

>

=

>

r e s o l v i e n d o l o e n l o s c a s o s e n q u e e l l o s e a p o s i b l e .




4 4


S o l u c i o n :

H a l l e m o s e l v a l o r d e l d e t e r m i n a n t e d e l a m a t r i z a s o c i a d a a l s i s t e m a

d e t A = d e t

0

@

a 1 1

1 a 1

1 1 a

1

A

= ( a + 2 ) ( a ; 1 )

2

L u e g o , s i a 6= ; 2 y a 6= 1 e l s i s t e m a e s c o m p a t i b l e y d e t e r m i n a d o y p o r e l m e t o d o

d e C r a m e r t e n e m o s q u e l a s o l u c i o n e s

x =

a 1 1

a a 1

a 1 a

( a + 2 ) ( a ; 1 )

2

=

a

a + 2

y =

a a 1

1 a 1

1 a a

( a + 2 ) ( a ; 1 )

2

=

a

a + 2

z =

a 1 a

1 a a

1 1 a

( a + 2 ) ( a ; 1 )

2

=

a

a + 2

S i a = ; 2 r a n g o A = 2 y a q u e

; 2 1

1 ; 2

6= 0 , y r a n g o A = 3 s i e n d o A l a m a t r i z

o b t e n i d a d e A y u x t a p o n i e n d o l e l a m a t r i z c o l u m n a

0

@

a

a

a

1

A

r a n g o A = 3 y a q u e

; 2 1 ; 2

1 ; 2 ; 2

1 1 ; 2

6= 0

L u e g o e l s i s t e m a e s i n c o m p a t i b l e .

S i a = 1 r a n g o A = r a n g o A = 1 , l u e g o e l s i s t e m a e s c o m p a t i b l e i n d e t e r m i n a d o y e l

c o n j u n t o d e s o l u c i o n e s e s :

S = f ( x y z ) 2 R

3

x + y + z = 1 g





6 R e s o l v e r e n M

2

( R ) e l s i s t e m a

2 x + 3 y + z =

5 5

; 5 1

x + 2 y ; 3 z =

; 1 3

; 3 ; 3

3 x + 5 y ; z =

5 8

; 8 ; 1

9

>

>

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

>

>

S o l u c i o n :

A

0

@

x

y

z

1

A

=

0

@

2 3 1

1 2 ; 3

3 5 ; 1

1

A

0

@

x

y

z

1

A

=

0

B

B

B

@

5 5

; 5 1

; 1 3

; 3 ; 3

5 8

; 8 ; 1

1

C

C

C

A

= B

T o m a m o s l a m a t r i z A d e l s i s t e m a a m p l i a d a c o n l a m a t r i z B y p r o c e d e m o s a e f e c t u a r

l a s o p o r t u n a s t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s

0

B

B

B

@

2 3 1

5 5

; 5 1

1 2 ; 3

; 1 3

; 3 ; 3

3 5 1

5 8

; 8 ; 1

1

C

C

C

A

0

B

B

B

@

1 2 ; 3

; 1 3

; 3 ; 3

2 3 1

5 5

; 5 1

3 5 1

5 8

; 8 ; 1

1

C

C

C

A

0

B

B

B

@

1 2 ; 3

; 1 3

; 3 ; 3

0 ; 1 7

7 ; 1

1 7

0 ; 1 8

8 ; 1

1 8

1

C

C

C

A

0

B

B

B

@

1 2 ; 3

; 1 3

; 3 ; 3

0 ; 1 7

7 ; 1

1 7

0 0 1

1 0

0 1

1

C

C

C

A

0

B

B

B

@

1 2 ; 3

; 1 3

; 3 ; 3

0 ; 1 0

0 ; 1

1 0

0 0 1

1 0

0 1

1

C

C

C

A

0

B

B

B

@

1 0 0

2 1

; 1 0

0 ; 1 0

0 ; 1

1 0

0 0 1

1 0

0 1

1

C

C

C

A

y p o r l o t a n t o l a s o l u c i o n d e l s i s t e m a e s

X =

2 1

; 1 0

Y =

0 1

; 1 0

Z =

1 0

0 1




4 6


7 S e d i c e q u e A 2 M

3

( R ) e s m a g i c a s i a l s u m a r l o s e l e m e n t o s d e c a d a l a , d e c a d a

c o l u m n a , d e l a d i a g o n a l p r i n c i p a l , y d e l a d i a g o n a l s e c u n d a r i a , s e o b t i e n e s i e m p r e e l

m i s m o v a l o r . C o n s t r u i r t o d a s l a s m a t r i c e s m a g i c a s s i m e t r i c a s .

S o l u c i o n :

U n a m a t r i z A = ( a

i j

) e s s i m e t r i c a s i y s o l o s i a

i j

= a

j i

l u e g o l a s m a t r i c e s m a g i c a s

s i m e t r i c a s s e r a n d e l a f o r m a

0

@

x a b

a y c

b c z

1

A

c o n x + a + b = s a + y + c = s b + c + z = s x + y + z = s 2 b + y = s q u e

i n t e r p r e t a n d o l o c o m o u n s i s t e m a d e c i n c o e c u a c i o n e s c o n s i e t e i n c o g n i t a s

x + y + z ; s = 0

y + a + c ; s = 0

x + a + b ; s = 0

z + b + c ; s = 0

y + 2 b ; s = 0

9

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

r e s u l t a u n s i s t e m a h o m o g e n e o , p o r t a n t o c o m p a t i b l e , y q u e v a m o s a r e s o l v e r p o r t r a n s -

f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s

0

B

B

B

@

1 1 1 0 0 0 ; 1

0 1 0 1 0 1 ; 1

1 0 0 1 1 0 ; 1

0 0 1 0 1 1 ; 1

0 1 0 0 2 0 ; 1

1

C

C

C

A

0

B

B

B

@

1 1 1 0 0 0 ; 1

0 1 0 1 0 1 ; 1

0 ; 1 ; 1 1 1 0 0

0 0 1 0 1 1 ; 1

0 0 0 ; 1 2 ; 1 0

1

C

C

C

A

0

B

B

B

@

1 1 1 0 0 0 ; 1

0 1 0 1 0 1 ; 1

0 0 ; 1 2 1 1 ; 1

0 0 1 0 1 1 ; 1

0 0 0 ; 1 2 ; 1 0

1

C

C

C

A

0

B

B

B

@

1 1 1 0 0 0 ; 1

0 0 1 1 0 1 ; 1

0 0 1 ; 2 ; 1 ; 1 1

0 0 0 2 2 2 ; 2

0 0 0 1 ; 2 1 0

1

C

C

C

A

0

B

B

B

@

1 1 1 0 0 0 ; 1

0 1 0 1 0 1 ; 1

0 0 1 ; 2 ; 1 ; 1 1

0 0 0 1 1 1 ; 1

0 0 0 0 ; 3 0 1

1

C

C

C

A

0

B

B

B

@

1 1 1 0 0 0 ; 1

0 1 0 1 0 1 ; 1

0 0 3 ; 6 0 ; 3 2

0 0 0 3 0 3 ; 2

0 0 0 0 ; 3 0 1

1

C

C

C

A

0

B

B

B

@

1 1 1 0 0 0 ; 1

0 3 0 0 0 0 ; 1

0 0 3 0 0 3 2

0 0 0 3 0 3 ; 2

0 0 0 0 ; 3 0 1

1

C

C

C

A

0

B

B

B

@

3 0 0 0 0 ; 3 0

0 3 0 0 0 0 ; 1

0 0 3 0 0 3 ; 2

0 0 0 3 0 3 ; 2

0 0 0 0 ; 3 0 1

1

C

C

C

A





q u e d a n d o e l s i s t e m a d e r a n g o c i n c o :

3 x ; 3 c = 0

3 y ; s = 0

3 z + 3 c ; 2 s = 0

3 a + 3 c ; 2 s = 0

; 3 b + s = 0

9

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

,

3 x = 3 c

3 y = s

3 z = ; 3 c + 2 s

3 a = ; 3 c + 2 s

3 b = s

9

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

,

x = c

y =

s

3

= b

z =

2 s ; 3 c

3

= a

p o r l o t a n t o l a m a t r i z m a g i c a s i m e t r i c a b u s c a d a e s

0

B

B

B

@

c

2 s ; 3 c

3

s

3

2 s ; 3 c

3

s

3

c

s

3

c

2 s ; 3 c

3

1

C

C

C

A

= c

0

@

1 ; 1 0

; 1 0 1

0 1 ; 1

1

A

+

s

3

0

@

0 2 1

2 1 0

1 0 2

1

A

p a r a t o d o c s 2 R

8 D i s c u t i r y r e s o l v e r e n R e l s i s t e m a :

3 x + 2 y + 5 z = 1

4 x + 3 y + 6 z = 2

5 x + 4 y + 7 z = 3

6 x + 5 y + 8 z = 4

9

>

>

>

=

>

>

>

S o l u c i o n :

E s c r i t o m a t r i c i a l m e n t e , e l s i s t e m a e s

A

0

@

x

y

z

1

A

=

0

B

@

3 2 5

4 3 6

5 4 7

6 5 8

1

C

A

0

@

x

y

z

1

A

=

0

B

@

1

2

3

4

1

C

A

= B

T o m a m o s l a m a t r i z A o b t e n i d a d e A y u x t a p o n i e n d o l e l a m a t r i z c o l u m n a B y p r o -

c e d e m o s a e f e c t u a r t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s d e l a

0

B

@

3 2 5 1

4 3 6 2

5 4 7 3

6 5 8 4

1

C

A

0

B

@

3 2 5 1

0 ; 1 2 ; 2

0 ; 2 4 ; 4

0 ; 1 2 ; 2

1

C

A

0

B

@

3 2 5 1

0 ; 1 2 ; 2

0 0 0 0

0 0 0 0

1

C

A

0

B

@

6 9 0 1 2

0 ; 1 2 ; 2

0 0 0 0

0 0 0 0

1

C

A

0

B

@

2 3 0 4

0 ; 1 2 ; 2

0 0 0 0

0 0 0 0

1

C

A




4 8


y t e n e m o s r a n g o A = r a n g o A = 2 < 3 , l u e g o e l s i s t e m a e s c o m p a t i b l e i n d e t e r m i n a d o

y e l c o n j u n t o d e s o l u c i o n e s e s

f ( x y z ) 2 R

3

= 2 x + 3 y = 4 ; y + 2 z = ; 2 g = f ( 2 ;

3

2

; 1 +

1

2

) 8 2 R g

9 D e t e r m i n a r X t a l q u e A X = B , s i e n d o

A =

0

@

1 1

1 0

1 1

1

A

y B =

0

@

2 1

0 2

2 1

1

A

S o l u c i o n :

T o m e m o s l a m a t r i z A

0

o b t e n i d a d e A y u x t a p o n i e n d o l e l a m a t r i z B y p r o c e d a m o s

a e f e c t u a r t r a n s f o r m a c i o n e s e l e m e n t a l e s d e l a

A

0

=

0

@

1 1 2 1

1 0 0 2

1 1 2 1

1

A

( a )

0

@

1 0 0 2

1 1 2 1

1 1 2 1

1

A

( b )

0

@

1 0 0 2

1 1 2 1

0 0 0 0

1

A

( c )

0

@

1 0 0 2

0 1 2 ; 1

0 0 0 0

1

A

Y t e n e m o s q u e r a n g A = 2 y r a n g A

0

= 2 p o r l o t a n t o e l s i s t e m a e s c o m p a t i b l e y

d e t e r m i n a d o y l a u n i c a s o l u c i o n e s :

X =

0 2

2 ; 1

( a ) P e r m u t a m o s l a p r i m e r a c o n l a s e g u n d a l a

( b ) A l a t e r c e r a l a l e r e s t a m o s l a s e g u n d a

( c ) A l a s e g u n d a l a l e r e s t a m o s l a p r i m e r a .

1 0 S e a n a b c d c u a t r o n u m e r o s r e a l e s e s t r i c t a m e n t e p o s i t i v o s . D e m o s t r a r q u e

e l s i s t e m a s i g u i e n t e n o p o s e e n i n g u n a s o l u c i o n e n R

x + y + z + t = a

x ; y ; z + t = b

; x ; y + z + t = c

; 3 x + y ; 3 z ; 7 t = d

9

>

>

>

=

>

>

>





S o l u c i o n :

E l d e t e r m i n a n t e d e l s i s t e m a e s

1 1 1 1

1 ; 1 ; 1 1

; 1 ; 1 1 1

; 3 1 ; 3 ; 7

=

1 0 0 0

1 ; 2 0 0

; 1 0 ; 2 2

; 3 4 ; 4 ; 4

= 0

l u e g o e l s i s t e m a n o e s d e r a n g o m a x i m o

1 1 1

1 ; 1 ; 1

; 1 ; 1 1

=

1 0 0

1 ; 2 ; 2

; 1 0 2

= ; 4 6= 0

l u e g o e l s i s t e m a e s d e r a n g o t r e s y l a s t r e s p r i m e r a s e c u a c i o n e s s o n i n d e p e n d i e n t e s .

C o n s i d e r a m o s p u e s e l s i s t e m a

x + y + z = a ; t

x ; y ; z = b ; t

; x ; y + z = c ; t

9

>

=

>

q u e e s c o m p a t i b l e y d e t e r m i n a d o p o r s e r d e r a n g o m a x i m o y r e s o l v i e n d o p o r C r a m e r ,

t e n e m o s

x =

a + b

2

; t y = t ;

b + c

2

z =

a + c

2

; t

P a r a q u e e l s i s t e m a i n i c i a l s e a c o m p a t i b l e e s t o s v a l o r e s d e x y z h a l l a d o s , h a n d e

s a t i s f a c e r l a c u a r t a e c u a c i o n s u b s t i t u y e n d o p u e s , t e n e m o s

; 3 (

a + b

2

; t ) + ( t ;

b + c

2

) ; 3 (

a + c

2

; t ) ; 7 t = d

l u e g o l a c o m p a t i b i l i d a d i m p l i c a

; ( 3 a + 2 b + 2 c ) = d

y p u e s t o q u e a b c d s o n e s t r i c t a m e n t e p o s i t i v o s , e s t a i g u a l d a d e s i m p o s i b l e y e l

s i s t e m a e s i n c o m p a t i b l e .

1 1 R e s o l v e r e l s i g u i e n t e s i s t e m a d e e c u a c i o n e s e n C

x + y + z = a

x + w y + w

2

z = b

x + w

2

y + w z = b

9

>

=

>




5 0


s a b i e n d o q u e w e s u n a r a z c u b i c a d e l a u n i d a d .

S o l u c i o n :

E l d e t e r m i n a n t e d e l s i s t e m a e s

1 1 1

1 w w

2

1 w

2

w

= ( w ; 1 )

2

; ( w

2

; 1 )

2

= 3 w ( w ; 1 )

( N o t a : p u e s t o q u e w

3

= 1 , s e t i e n e w

4

= w : : : y w

3

; 1 = ( w ; 1 ) ( w

2

+ w + 1 ) ) .

S i w ( w ; 1 ) 6= 0 , e l s i s t e m a e s c o m p a t i b l e y d e t e r m i n a d o p a r a t o d o a b 2 C y

r e s o l v i e n d o e l s i s t e m a p o r C r a m e r ,

x =

a 1 1

b w w

2

b w

2

w

3 w ( w ; 1 )

=

a + 2 b

3

y =

1 a 1

1 b w

2

1 b w

3 w ( w ; 1 )

=

a ; b

3

z =

1 1 a

1 w b

1 w

2

b

3 w ( w ; 1 )

=

a ; b

3

s i w ( w ; 1 ) = 0 , s e t i e n e q u e w = 0 o w ; 1 = 0 , p e r o s i w

3

= 1 , e s w 6= 0 ,

l u e g o h a d e s e r w ; 1 = 0 , e s d e c i r w = 1 , e n c u y o c a s o

0

@

1 1 1 a

1 1 1 b

1 1 1 b

1

A

0

@

1 1 1 a

0 0 0 b ; a

0 0 0 b ; a

1

A

y p a r a q u e e l s i s t e m a s e a c o m p a t i b l e , b ; a = 0 , y e l c o n j u n t o d e s o l u c i o n e s e s

f ( x y z ) 2 C

3

= x + y + z = a g

s i a 6= b , e l s i s t e m a e s i n c o m p a t i b l e .




A p l i c a c i o n e s l i n e a l e s 5 1

C a p t u l o 4 A p l i c a c i o n e s l i n e a l e s

1 C o n s i d e r e m o s l a s a p l i c a c i o n e s e n t r e R - e s p a c i o s v e c t o r i a l e s s i g u i e n t e s :

a ) f : R

3

; ! R

3

t a l q u e f ( x y z ) = ( x + y x ; y z ; 1 )

b ) g : R

3

; ! R

2

t a l q u e g ( x y z ) = ( x + z y ; z )

c ) h : R

2

; ! R

3

t a l q u e h ( x y ) = ( x + k y + k x + y ) c o n k 2 R

D e t e r m i n a r s i s o n o n o l i n e a l e s .

S o l u c i o n :

R e c o r d e m o s q u e u n a a p l i c a c i o n f : E ; ! F c o n E F , K - e s p a c i o s v e c t o r i a l e s e s

l i n e a l , s i y s o l o s i

1 ) 8 v w 2 E f ( v + w ) = f ( v ) + f ( w )

2 ) 8 v 2 E 8 2 K f ( v ) = f ( v )

c o m p r o b e m o s s i , p a r a c a d a c a s o , s e v e r i c a n l o s a x i o m a s :

a ) 1 ) s e a n v = ( x

1

y

1

z

1

) w = ( x

2

y

2

z

2

) , e n t o n c e s

v + w = ( x

1

+ x

2

y

1

+ y

2

z

1

+ z

2

)

f ( v + w ) = ( ( x

1

+ x

2

) + ( y

1

+ y

2

) ( x

1

+ x

2

) ; ( y

1

+ y

2

) ( z

1

+ z

2

) ; 1

f ( v ) + f ( w ) = ( x

1

+ y

1

x

1

; y

1

z

1

; 1 ) + ( x

2

+ y

2

x

2

; y

2

z

2

; 1 ) =

= ( ( x

1

+ y

1

) + ( x

2

+ y

2

) ( x

1

; y

1

) + ( x

2

; y

2

) ( z

1

; 1 ) + ( z

2

; 1 ) ) =

= ( ( x

1

+ x

2

) + ( y

1

+ y

2

) ( x

1

+ x

2

) ; ( y

1

+ y

2

) ( z

1

+ z

2

) ; 2 ) ) 6=

6= f ( v + w )




5 2


l u e g o , n o p u e d e s e r l i n e a l , ( y n o h a c e f a l t a p r o b a r 2 )

b ) 1 ) s e a n v = ( x

1

y

1

z

1

) w = ( x

2

y

2

z

2

) , e n t o n c e s

v + w = ( x

1

+ x

2

y

1

+ y

2

z

1

+ z

2

)

g ( v + w ) = ( ( x

1

+ x

2

) + ( z

1

+ z

2

) ( y

1

+ y

2

) ; ( z

1

+ z

2

) )

g ( v ) + g ( w ) = ( x

1

+ z

1

y

1

; z

1

) + ( x

2

+ z

2

y

2

; z

2

) =

= ( ( x

1

+ z

1

) + ( x

2

+ z

2

) ( y

1

; z

1

) + ( y

2

; z

2

) ) =

= ( ( x

1

+ x

2

) + ( z

1

+ z

2

) ( y

1

+ y

2

) ; ( z

1

+ z

2

) ) = g ( v + w )

2 ) S e a v = ( x

1

y

1

z

1

) , e n t o n c e s 8 2 R v = ( x

1

y

1

z

1

)

g ( v ) = g ( x

1

y

1

z

1

) = ( x

1

+ z

1

y

1

; z

1

)

g ( v ) = ( x

1

+ z

1

y

1

; z

1

) = ( ( x

1

+ z

1

) ( y

1

; z

1

) ) =

= ( x

1

+ z

1

y

1

; z

1

) = g ( v )

l u e g o , g e s l i n e a l .

c ) 1 ) S e a n v = ( x

1

y

1

) w = ( x

2

y

2

) , e n t o n c e s v + w = ( x

1

+ x

2

y

1

+ y

2

)

h ( v + w ) = ( ( x

1

+ x

2

) + k ( y

1

+ y

2

) + k ( x

1

+ x

2

) + ( y

1

+ y

2

) )

h ( v ) + h ( w ) = ( x

1

+ k y

1

+ k x

1

+ y

1

) + ( x

2

+ k y

2

+ k x

2

+ y

2

) =

= ( ( x

1

+ k ) + ( x

2

+ k ) ( y

1

+ k ) + ( y

2

+ k ) ( x

1

+ y

1

) + ( x

2

+ y

2

) ) =

= ( ( x

1

+ x

2

) + 2 k ( y

1

+ y

2

) + 2 k ( x

1

+ x

2

) + ( y

1

+ y

2

) )

p a r a q u e h ( v + w ) = h ( v ) + h ( w ) , e s n e c e s a r i o y s u c i e n t e q u e 2 k = k , e s d e c i r

k = 0

2 ) S e a p u e s k = 0 y s e a v = ( x y ) , e n t o n c e s 8 2 R v = ( x y )

h ( v ) = ( x y x + y )

h ( v ) = ( x y x + y ) = ( x y ( x + y ) ) = ( x y x + y ) = h ( v )

l u e g o , h e s l i n e a l s i y s o l o s i k = 0

N o t a : n o h a c e f a l t a p r o b a r 2 p a r a k 6= 0 y a q u e d e t o d o s m o d o s l a a p l i c a c i o n n o s e r a

l i n e a l .

O b s e r v a c i o n : S e a n E y F d o s e s p a c i o s v e c t o r i a l e s s o b r e K d e d i m e n s i o n e s ( n i t a s ) n

y m r e s p e c . y u n a a p l i c a c i o n f : E = ) F , f ( v ) = f ( x

1

: : : x

n

) = w = ( y

1

: : : y

m

) ,





c o n x

i

e y

i

l a s c o o r d e n a d a s d e l o s v e c t o r e s v 2 E y w 2 F r e s p e c t o a b a s e s d e E y

F p r e v i a m e n t e e s c o g i d a s . f e s l i n e a l s i y s o l o s i l a s c o o r d e n a d a s y

i

s o n p o l i n o m i o s

h o m o g e n e o s d e g r a d o 1 e n l a s v a r i a b l e s x

1

: : : x

n

: y

1

= a

1

1

x

1

+ : : : a

1

n

x

n

, , y

m

=

a

m

1

x

1

+ : : : a

m

n

x

n

, y l a m a t r r i z d e l a a p l i c a c i o n e n l a s b a s e s d a d a s e s

A =

0

B

@

a

1

1

: : : a

1

n

a

m

1

: : : a

m

n

1

C

A

e s t o e s c a d a l a d e l a m a t r i z e s t a f o r m a d a p o r l o s c o e c i e n t e s d e l p o l i n o m i o c o r r e s p o n -

d i e n t e .

2 S e a f : R

3

; ! R l i n e a l , d e l a c u a l s e s a b e q u e

f ( 1 2 3 ) = ( 6 4 3 1 )

f ( 2 0 1 ) = ( 3 6 1 2 )

f ( 0 1 0 ) = ( 0 1 2 )

9

>

=

>

H a l l a r l a m a t r i z d e f e n l a b a s e n a t u r a l .

S o l u c i o n :

S i f e

1

e

2

e

3

g e s l a b a s e n a t u r a l , p a r a d a r l a m a t r i z d e f e n d i c h a b a s e n e c e s i t a m o s

c o n o c e r f ( e

1

) f ( e

2

) f ( e

3

) e x p r e s a d o s e n l a b a s e n a t u r a l

( 1 2 3 ) = e

1

+ 2 e

2

+ 3 e

3

f ( 1 2 3 ) = f ( e

1

+ 2 e

2

+ 3 e

3

) = f ( e

1

) + 2 f ( e

2

) + 3 f ( e

3

) =

= ( 6 4 3 1 ) = 6 e

1

+ 4 e

2

+ 3 1 e

3

A n a l o g a m e n t e s e t i e n e q u e

f ( 2 0 1 ) = 2 f ( e

1

) + f ( e

3

) = 3 e

1

+ 6 e

2

+ 1 2 e

3

f ( 0 1 0 ) = f ( e

2

) = e

2

+ 2 e

3

e s d e c i r , t e n e m o s e l s i s t e m a

f ( e

1

) + 2 f ( e

2

) + 3 f ( e

3

) = 6 e

1

+ 4 e

2

+ 3 1 e

3

2 f ( e

1

) + f ( e

3

) = 3 e

1

+ 6 e

2

+ 1 2 e

3

f ( e

2

) = e

2

+ e

3

9

>

=

>




5 4


q u e , d e s p e j a n d o f ( e

1

) f ( e

2

) f ( e

3

) , t e n e m o s

f ( e

1

) =

3

5

e

1

+

1 6

5

e

2

+

9

5

e

3

= (

3

5

1 6

5

9

5

)

f ( e

2

) = e

2

+ 2 e

3

= ( 0 1 2 )

f ( e

3

) =

9

5

e

1

;

2

5

e

2

+

4 2

5

e

3

= (

9

5

;

2

5

4 2

5

)

l u e g o , l a m a t r i z s e r a

A =

0

B

B

B

@

3

5

0

9

5

1 6

5

1 ;

2

5

9

5

2

4 2

5

1

C

C

C

A

O t r a f o r m a d e r e s o l v e r e l p r o b l e m a :

P u e s t o q u e ( 1 2 3 ) ( 2 0 1 ) ( 0 1 0 ) s o n i n d e p e n d i e n t e s f o r m a n u n a b a s e f v

1

v

2

v

3

g d e

R

3

F i j a n d o e s t a b a s e e n e l e s p a c i o d e p a r t i d a , y j a n d o l a n a t u r a l e n e l e s p a c i o d e l l e g a d a ,

l a m a t r i z d e l a a p l i c a c i o n e n e s t a s b a s e s e s

B =

0

@

6 3 0

4 6 1

3 1 1 2 2

1

A

L a m a t r i z d e p a s o d e l a b a s e f e

1

e

2

e

3

g a l a b a s e f v

1

v

2

v

3

g e s

S

; 1

=

0

@

1 2 0

2 0 1

3 1 0

1

A

; 1

=

1

5

0

@

; 1 0 2

3 0 ; 1

2 5 ; 4

1

A

y t e n e m o s e l d i a g r a m a :

R

3

v

B

; ; ; ; ! R

3

e

S

1

x

?

?

R

3

e





L u e g o A = B S

; 1

=

0

B

B

B

@

3

5

0

9

5

1 6

5

1 ;

2

5

9

5

2

4 2

5

1

C

C

C

A

3 S e a E u n e s p a c i o v e c t o r i a l s o b r e K d e d i m e n s i o n n > 1 > Q u e d e s i g u a l d a d v e r i -

c a n l o s r a n g o s d e d o s e n d o m o r s m o s f g d e E t a l e s q u e g f = 0 ?

S o l u c i o n :

S i g f = 0 , e n t o n c e s p a r a t o d o x 2 E s e t i e n e g ( f ( x ) ) = 0 , l o q u e i m p l i c a q u e

I m f e s t a c o n t e n i d o e n K e r g e n t o n c e s d i m I m f d i m K e r g , l o q u e e q u i v a l e a

d e c i r

r a n g o f + r a n g o g n

( y a q u e d i m k e r g + r a n g o g = n )

4 D e m o s t r a r q u e l a a p l i c a c i o n f : R

3

; ! R

2

d e n i d a p o r f ( x y z ) = ( x ; 2 y z +

y ) e s l i n e a l . H a l l a r s u m a t r i z e n l a s b a s e s n a t u r a l e s y s u r a n g o . E n c o n t r a r u n a b a s e d e

K e r g y o t r a d e I m f

S o l u c i o n :

V e a m o s l a l i n e a l i d a d :

S e a n v = ( x

1

y

1

z

1

) w = ( x

2

y

2

z

2

)

f ( v + w ) = f ( x

1

+ x

2

y

1

+ y

2

z

1

+ z

2

) =

= ( ( x

1

+ x

2

) ; 2 ( y

1

+ y

2

) ( z

1

+ z

2

) + ( y

1

+ y

2

) ) =

= ( ( x

1

; 2 y

1

) + ( x

2

; 2 y

2

) ( z

1

+ y

1

) + ( z

2

+ y

2

) ) =

= ( x

1

; 2 y

1

z

1

+ y

1

) + ( x

2

; 2 y

2

z

2

+ y

2

) = f ( v ) + f ( w )

8 2 R s e a v = ( x y z )

f ( v ) = f ( x y z ) = ( x ; 2 y z + y ) =

= ( ( x ; 2 y ) ( z + y ) ) = ( x ; 2 y 2 + y ) = f ( v )

l u e g o , e n e f e c t o e s l i n e a l .




5 6


H a l l e m o s l a m a t r i z d e l a a p l i c a c i o n , c a l c u l a n d o l a i m a g e n d e l o s v e c t o r e s d e l a b a s e

n a t u r a l d e R

3

f ( 1 0 0 ) = ( 1 0 )

f ( 0 1 0 ) = ( ; 2 1 )

f ( 0 0 1 ) = ( 0 1 )

p o r l o t a n t o

A =

1 ; 2 0

0 1 1

r a n g o A = 2 = d i m I m f = R

2

( = n u m e r o d e v e c t o r e s c o l u m n a d e A q u e s o n

l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s ) .

d i m K e r f = 3 ; r a n g o f = 3 ; 2 = 1

u n a b a s e d e I m f p u e d e s e r f ( 1 0 ) ( 0 1 ) g

d e t e r m i n e m o s a h o r a u n a d e K e r f

v 2 K e r f s i y s o l o s i f ( v ) = 0 . S e a p u e s ( x y z ) 2 K e r f e n t o n c e s

1 ; 2 0

0 1 1

0

@

x

y

z

1

A

=

x ; 2 y

y + z

=

0

0

P o r l o t a n t o K e r f = f ( x y z ) = x ; 2 y = 0 y + z = 0 g y u n a b a s e p u e d e s e r : t o m a n d o

y = 1 l a s c o m p o n e n t e s x z s o n : x = 2 z = ; 1 y e l v e c t o r d e l a b a s e e s ( 2 1 ; 1 )

D e h e c h o , l o s d o s p r i m e r o s a p a r t a d o s y s e g u n l a o b s e r v a c i o n d e l p r o b l e m a 1 p o d e m o s

r e s o l v e r l o d e l a m a n e r a : f e s l i n e a l y a q u e l a i m a g e n d e u n v e c t o r d a d o e n c o o r d e n a d a s ,

e s u n v e c t o r c u y a s c o o r d e n a d a s s o n p o l i n o m i o s h o m o g e n e o s d e g r a d o 1 e n l a s v a r i a b l e s

d e l v e c t o r i n i c i a l . L a m a t r i z d e l a a p l i c a c i o n v i e n e d a d a p o r l o s c o e c i e n t e s d e d i c h o s

p o l i n o m i o s .

5 U n e n d o m o r s m o f 2 L ( E

2

) t i e n e p o r m a t r i z e n l a b a s e f e

1

e

2

g d e E

2

a

A =

2 ; 3

; 3 2





H a l l a r s u m a t r i z e n l a b a s e f e

0

1

e

0

2

g d a d a p o r

2 e

0

1

= e

1

+ e

2

2 e

0

2

= e

2

; e

1

S o l u c i o n :

T e n e m o s e l d i a g r a m a

R

2

B

; ; ; ; ! R

2

'

B

?

?

y

'

1

B

x

?

?

E

2

f

; ; ; ; ! E

2

'

A

x

?

?

'

1

A

?

?

y

R

2

A

; ; ; ; ! R

2

L a r e l a c i o n e n t r e a m b a s m a t r i c e s e s

B = S

; 1

A S

s i e n d o S = '

; 1

A

'

B

l a m a t r i z c a m b i o d e b a s e q u e p a r a l a b a s e f e

1

e

2

g

S =

0

@

1

2

;

1

2

1

2

1

2

1

A

N e c e s i t a m o s c o n o c e r S

; 1

S

; 1

=

1 1

; 1 1


B =

1 1

; 1 1

2 ; 3

; 3 2

1

2

;

1

2

1

2

1

2

=

; 1 0

0 5

6 S e a f : R

2

; ! R

3

u n a a p l i c a c i o n l i n e a l d e n i d a p o r

f ( x y ) = ( 2 x ; y x + y 2 y ; x )




5 8


a ) D a r l a m a t r i z d e f e n l a s b a s e s n a t u r a l e s d e R

2

y R

3

r e s p e c t i v a m e n t e c a l c u l a r

f ( 3

1

2

)

b ) D a r u n a b a s e , y l a d i m e n s i o n d e K e r f y d e I m f

c ) D a r l a m a t r i z d e f e n l a s b a s e s f v

1

v

2

g , f u

1

u

2

u

3

g , s i e n d o

v

1

= ( 2 1 )

v

2

= ( 0 3 )

u

1

= ( 1 1 1 )

u

2

= ( 2 0 1 )

u

3

= ( 0 0 2 )

9

>

=

>

C a l c u l a r f (

1

2

v

1

+ ( ;

1

3

) v

2

)

S o l u c i o n :

a ) f ( 1 0 ) = ( 2 1 ; 1 ) f ( 0 1 ) = ( ; 1 1 2 ) , l u e g o l a m a t r i z d e f e n l a s b a s e s n a t u -

r a l e s e s

A =

0

@

2 ; 1

1 1

; 1 2

1

A

y

f ( 3

1

2

) =

0

@

2 ; 1

1 1

; 1 2

1

A

3

1

2

=

0

@

1 1

2

7

2

; 2

1

A

b ) K e r f = f ( x y ) 2 R

2

= f ( x y ) = 0 g , l u e g o

0

@

2 ; 1

1 1

; 1 2

1

A

x

y

= ( 0 0 0 ) )

2 x ; y = 0

x + y = 0

; x + 2 y = 0

9

>

=

>

S i s t e m a c o m p a t i b l e y d e t e r m i n a d o l u e g o K e r f = f ( 0 0 ) g y d i m K e r f = 0 , p o r l o

t a n t o

d i m I m f = d i m R

2

; d i m K e r f = 2 y

I m f = ( 2 1 ; 1 ) ( ; 1 1 2 )

c ) T e n e m o s e l d i a g r a m a :

R

2

A

; ; ; ; ! R

3

S

x

?

?

T

1

?

?

y

R

2

f v g

B

; ; ; ; ! R

3

f u g





s i e n d o S =

2 0

1 3

l a m a t r i z d e p a s o d e l a b a s e f v

1

v

2

g a l a n a t u r a l y T =

0

@

1 2 0

1 0 0

1 1 2

1

A

l a m a t r i z d e p a s o d e l a b a s e f u

1

u

2

u

3

g a l a n a t u r a l . N e c e s i t a m o s

T

; 1

T

; 1

=

1

4

0

@

0 4 0

2 ; 2 0

; 1 ; 1 2

1

A


B = T

; 1

A S =

0

@

3 3

0 ; 3

;

3

2

3

1

A

n a l m e n t e , s i h a c e m o s

f (

3

2

v

1

+ ( ;

1

3

v

2

) ) =

0

@

3 3

0 ; 3

;

3

2

3

1

A

3

2

;

1

3

=

0

@

7

2

1

;

1 3

4

1

A

=

=

7

2

u

1

+ u

2

;

1 3

4

u

3

o b s e r v a m o s q u e

3

2

v

1

+ ( ;

1

3

) v

2

=

3

2

( 2 1 ) ;

1

3

( 0 3 ) = ( 3

1

2

) l u e g o

7

2

u

1

+ u

2

;

1 3

4

u

3

= (

1 1

2

7

2

; 2 )

7 S e a n E F G t r e s K - e s p a c i o s v e c t o r i a l e s ( d e d i m e n s i o n n i t a ) , y s e a n

f : E ; ! G

g : F ; ! G

d o s a p l i c a c i o n e s l i n e a l e s . D e m o s t r a r q u e e s c o n d i c i o n n e c e s a r i a y s u c i e n t e p a r a q u e

e x i s t a a l m e n o s u n a a p l i c a c i o n h : E ; ! F t a l q u e g h = f , q u e I m f I m g

S o l u c i o n :

C o n s i d e r e m o s e l d i a g r a m a




6 0


E

h

; ; ; ; ! F

f

?

?

y

g

G

V e a m o s q u e l a c o n d i c i o n e s n e c e s a r i a . S e a y 2 I m f e x i s t e p u e s x 2 E , t a l q u e

f ( x ) = y

s i g h = f s e t i e n e g ( h ( x ) ) = f ( x ) = y , e s d e c i r , e x i s t e z 2 F ( z = h ( x ) ) , t a l

q u e g ( z ) = y . P o r l o t a n t o , I m f I m g

V e a m o s q u e l a c o n d i c i o n e s s u c i e n t e . C o n s i d e r e m o s K e r g F y s e a F

1

F , t a l

q u e F = K e r g F

1

D a d o x 2 E , v a m o s a d e n i r h ( x ) . S e a f ( x ) 2 I m f I m g , l u e g o e x i s t e y 2 F t a l

q u e g ( y ) = f ( x ) c o n y = y

1

+ y

2

, y

1

2 K e r g , y

2

2 F

1

. L u e g o g ( y ) = g ( y

2

)

D e n i m o s h ( x ) = y

2

h e s t a b i e n d e n i d o , p u e s s e a n y = y

1

+ y

2

y = y

1

+ y

2

t a l e s

q u e g ( y ) = g ( y ) e n t o n c e s y ; y 2 K e r g p u e s t o q u e y

2

; y

2

2 F

1

y y ; y 2 K e r g ,

s e t i e n e q u e y

2

; y

2

2 K e r g \ F

1

= f 0 g l u e g o y

2

= y

2

8 S e a R x ] e l e s p a c i o d e l o s p o l i n o m i o s a c o e c i e n t e s r e a l e s . D e n i m o s D M :

R x ; ! R x ] m e d i a n t e

1 ) D ( P ( x ) ) = P

0

( x ) p o l i n o m i o d e r i v a d o .

2 ) M ( P ( x ) ) = x P ( x )

a ) P r o b a r q u e D y M s o n l i n e a l e s .

b ) > E s D n i l p o t e n t e ? ( d i r e m o s q u e f 2 L ( E ) e s n i l p o t e n t e s i e x i s t e n 2 N , t a l q u e

f

n

= 0 ) .

c ) P r o b a r q u e D M ; M D = I

d ) D e d u c i r d e e l l o q u e ( D M )

2

= D

2

M

2

; D M

S o l u c i o n :





a ) V e a m o s q u e s e c u m p l e n l a s d o s c o n d i c i o n e s

D ( p ( x ) + q ( x ) ) = ( p ( x ) + q ( x ) )

0

= p

0

( x ) + q

0

( x ) = D ( p ( x ) + D ( q ( x ) )

D ( p ( x ) ) = ( p ( x ) )

0

= p

0

( x ) = D ( p ( x ) )

l u e g o D e s l i n e a l .

M ( p ( x ) + q ( x ) ) = x ( p ( x ) + q ( x ) ) = x p ( x ) + x q ( x ) = M ( p ( x ) ) + M ( q ( x ) )

M ( p ( x ) ) = x ( p ( x ) ) = x p ( x ) = M ( p ( x ) )

l u e g o M e s l i n e a l .

b ) S i e x i s t e n 2 N t a l q u e D

n

= 0 , i m p l i c a q u e p a r a t o d o p ( x ) 2 R x ] , e s

D

n

p ( x ) = 0

S e a q ( x ) = a

n + 1

x

n + 1

+ + a

0

, c o n a

n + 1

6= 0 ,

D

n

( q ( x ) ) = D

n ; 1

( D ( q ( x ) ) = D

n ; 1

( a

n + 1

( n + 1 ) x

n

+ + a

1

) =

= = a

n + 1

( n + 1 ) ! 6= 0

c o n t r a d i c c i o n . L u e g o D n o e s n i l p o t e n t e .

N o t e s e q u e R x ] e s d e d i m e n s i o n i n n i t a , y q u e s i n o s r e s t r i n g i m o s a D

R

n

x

:

R

n

x ; ! R

n

x ] e n t o n c e s s q u e e s n i l p o t e n t e , p u e s D

n + 1

= 0

c ) D a d a s f g 2 E n d ( E ) e n t o n c e s f = g , 8 x 2 E f ( x ) = g ( x ) , e n n u e s t r o c a s o :

( D M ; M D ) ( p ( x ) ) = D ( M ( p ( x ) ) ) ; M ( D ( p ( x ) ) ) =

D ( x p ( x ) ) ; M ( p

0

( x ) ) = p ( x ) + x p

0

( x ) ; x p

0

( x ) = p ( x ) = I ( p ( x ) )

l u e g o D M ; M D = I

d ) ( D M )

2

= ( D M ) ( D M ) = D ( M D ) M = D ( D M ; I ) M = ( D

2

M ; D ) M = D

2

M

2

;

D M

9 S e a E e l e s p a c i o d e l a s m a t r i c e s c u a d r a d a s a c o e c i e n t e s e n C d e o r d e n 2 . D e n -

i m o s u n a a p l i c a c i o n f d e E e n C d e l a f o r m a

f (

a b

c d

) ) = a + d




6 2


a ) P r o b a r q u e f e s l i n e a l .

b ) P r o b a r q u e s i A B s o n d o s e l e m e n t o s c u a l e s q u i e r a d e E , s e t i e n e f ( A B ) =

f ( B A )

c ) D e m o s t r a r q u e e s i m p o s i b l e e n c o n t r a r d o s e l e m e n t o s d e E t a l e s q u e

A B ; B A = I

d ) D a r u n a b a s e d e K e r f

S o l u c i o n :

a ) S e a n A =

a b

c d

A

0

=

a

0

b

0

c

0

d

0

f ( A + A

0

) = f (

a + a

0

b + b

0

c + c

0

d + d

0

) = a + a

0

+ b + b

0

=

= a + d + a

0

+ d

0

= f ( A ) + f ( A

0

)

f ( A ) = f (

a b

c d

) = a + d = ( a + d ) = f ( A )

l u e g o f e s l i n e a l .

O t r a f o r m a : e s c o g i d a s b a s e s e

1

=

1 0

0 0

, e

2

=

0 1

0 0

, e

3

=

0 0

1 0

, e

4

=

0 0

0 1

, p a r a

E y 1 p a r a C , l a a p l i c a c i o n s e e x p r e s a :

f ( a b c d ) = a + d

y a h o r a p o d e m o s a p l i c a r l a o b s e r v a c i o n d a d a e n e l p r o b l e m a 1 .

b ) S e a n A =

a b

c d

B =

a

0

b

0

c

0

d

0

, e n t o n c e s

A B =

a a

0

+ b c

0

a b

0

+ b d

0

c a

0

+ d c

0

c b

0

+ d d

0

B A =

a

0

a + b

0

c a

0

b + b

0

d

c

0

a + d

0

c c

0

b + d

0

d

f ( A B ) = a a

0

+ b c

0

+ c b

0

+ d d

0

= a

0

a + b

0

c + c

0

b + d

0

d = f ( B A )

c ) P u e s t o q u e f ( A B ) = f ( B A ) s e t i e n e q u e f ( A B ; B A ) = 0 , o s e a q u e , p a r a

t o d o A B 2 E s e t i e n e q u e A B ; B A 2 k e r f S i I = A B ; B A p a r a u n a s c i e r t a s

m a t r i c e s A B s e t e n d r a I 2 k e r f , p e r o f ( I ) = 2 6= 0 l u e g o , p a r a t o d o A B 2 E

e s A B ; B A 6= I





( C o m p a r a r d i c h o r e s u l t a d o c o n e l h a l l a d o e n e l a p a r t a d o c , d e l p r o b l e m a a n t e r i o r ) .

d ) S i A =

a b

c d

2 k e r f e s a = ; d l u e g o

A =

a b

c d

= a

1 0

0 ; 1

+ b

0 1

0 0

+ c

0 0

1 0

= a A

1

+ b A

2

+ c A

3

A

1

A

2

A

3

2 k e r f , g e n e r a n k e r f y s o n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s , l u e g o s o n b a s e

d e k e r f

1 0 S e a E u n e s p a c i o v e c t o r i a l s o b r e K , c u e r p o c o n m u t a t i v o d e c a r a c t e r s t i c a d i s -

t i n t a d e d o s . D i r e m o s q u e p 2 E n d ( E ) e s u n p r o y e c t o r s i y s o l o s i p

2

= p

a ) C o m p r o b a r q u e : p e s p r o y e c t o r , I ; p e s p r o y e c t o r .

b ) C o m p r o b a r q u e : p e s p r o y e c t o r ) I m p K e r p = E

c ) > E s c i e r t o e l r e c p r o c o d e b ?

d ) S i p

1

p

2

s o n p r o y e c t o r e s , c o m p r o b a r q u e p

1

+ p

2

e s p r o y e c t o r s i y s o l o s i p

1

p

2

=

p

2

p

1

= 0

S o l u c i o n :

a ) ) ) ( I ; p )

2

= I

2

+ p

2

; I p ; p I = I

2

+ p

2

; 2 p =

( a )

I + p ; 2 p = I ; p , l u e g o s i

p e s p r o y e c t o r I ; p t a m b i e n l o e s .

( a ) p o r s e r p p r o y e c t o r

( ) P u e s t o q u e ( I ; p )

2

= I ; p , s e t i e n e q u e I + p

2

; 2 p = I ; p , l u e g o p

2

; p = 0 ,

e s d e c i r , p

2

= p

b ) S e a x 2 E . C o n s i d e r e m o s x ; p ( x ) s e t i e n e q u e

p ( x ; p ( x ) ) = p ( x ) ; p

2

( x ) = p ( x ) ; p ( x ) = 0

l u e g o x ; p ( x ) 2 K e r f

O b v i a m e n t e , x = p ( x ) + x ; p ( x ) 2 I m p + K e r p

) E I m p + K e r p E ) I m p + K e r p = E




6 4


V e a m o s q u e l a s u m a e s d i r e c t a : s e a x 2 K e r p \ I m p s e t i e n e p ( x ) = 0 y e x i s t e

y 2 E , t a l q u e p ( y ) = x , l u e g o 0 = p ( x ) = p

2

( y ) =

( a )

p ( y ) = x

E n t o n c e s E = I m p K e r p

( a ) p o r s e r p p r o y e c t o r

c ) C o n s i d e r e m o s E = R

2

y f t a l q u e s u m a t r i z e n l a b a s e n a t u r a l s e a

2 0

0 0

S e t i e n e I m f = ( 1 0 ) K e r f = ( 0 1 ) ] , l u e g o R

2

= I m f K e r f . S i n e m b a r g o ,

2 0

0 0

2

=

4 0

0 0

6=

2 0

0 0

, l u e g o f n o e s p r o y e c t o r .

N o t a : E n u n e s p a c i o d e d i m e n s i o n n i t a E s e t i e n e s i e m p r e q u e

d i m E = d i m I m f + d i m K e r f

p a r a t o d o f 2 E n d E , p e r o e s t o n o i m p l i c a E = I m f K e r f . P a r a e l l o v e a m o s u n

e j e m p l o :

S e a R

2

y f t a l q u e e n l a b a s e n a t u r a l s e a

0 1

0 0

T e n e m o s I m f = ( 0 1 ) ] y K e r f = ( 0 1 ) ] , l u e g o I m f = K e r f y n o p u e d e n f o r m a r

s u m a r d i r e c t a p e r o

d i m I m f + d i m K e r f = 1 + 1 = 2 = d i m R

2

d ) S e a n p

1

p

2

p r o y e c t o r e s . S i p

1

+ p

2

e s p r o y e c t o r ) ( p

1

+ p

2

)

2

= p

1

+ p

2

p e r o

( p

1

+ p

2

)

2

= p

2

1

+ p

2

2

+ p

1

p

2

+ p

2

p

1

= p

1

+ p

2

+ p

1

p

2

+ p

2

p

1

l u e g o p

1

p

2

+ p

2

p

1

= 0 l u e g o p

1

p

2

= ; p

2

p

1

, p o r l o t a n t o

p

1

( p

1

p

2

) = ; p

1

( p

2

p

1

)

p

1

p

2

= p

2

1

p

2

= ; ( p

1

p

2

) p

1

y c o m p o n i e n d o e s t a u l t i m a i g u a l d a d p o r p

1

p o r l a d e r e c h a t e n e m o s

( p

1

p

2

) p

1

= ; ( ( p

1

p

2

) p

1

) p

1

= ; ( p

1

p

2

) ( p

1

p

1

) = ; ( p

1

p

2

) p

1

l u e g o p

1

p

2

p

1

= ; p

1

p

2

p

1

) 2 p

1

p

2

p

1

= 0 )

( a )

p

1

p

2

p

1

= 0 p o r l o q u e

p

1

p

2

= ; p

1

p

2

p

1

= 0





l u e g o p

1

p

2

= p

2

p

1

= 0 , y r e c p r o c a m e n t e , s i p

1

p

2

s o n p r o y e c t o r e s y p

1

p

2

=

p

2

p

1

= 0 , s e t i e n e

( p

1

+ p

2

)

2

= p

2

1

+ p

2

2

+ p

1

p

2

+ p

2

p

1

= p

1

+ p

2

l u e g o p

1

+ p

2

, e s u n p r o y e c t o r .

( a ) a q u e s d o n d e i n t e r v i e n e l a h i p o t e s i s d e c a r a c K 6= 2

1 1 S e a n u

1

= ( 2 ; 1 1 ) u

2

= ( 1 1 0 ) u

3

= ( 1 ; 2 3 ) u

4

= ( 6 ; 1 6 ) v e c t o r e s

d e R

3

y s e a f : R

3

; ! R

2

u n a a p l i c a c i o n l i n e a l d e l a q u e c o n o c e m o s f ( u

1

) =

( 1 ; 1 ) f ( u

2

) = ( 4 1 ) y f ( u

3

) = ( 3 1 )

a ) > E s p o s i b l e d e t e r m i n a r f ( u

4

) ? , > P o r q u e ?

b ) L a a p l i c a c i o n f > s e r a i n y e c t i v a ? > s e r a e x h a u s t i v a ?

c ) C a l c u l a r l a m a t r i z d e f e n l a s b a s e s n a t u r a l e s d e R

3

y R

2

r e s p e c t i v a m e n t e .

d ) D e t e r m i n a r u n a b a s e d e K e r f

S o l u c i o n :

a ) E s p o s i b l e h a l l a r f ( u

4

) y a q u e f u

1

u

2

u

3

g f o r m a n b a s e d e R

3

( E n e f e c t o ,

2 1 1

; 1 1 ; 2

1 0 3

= 6 6= 0 ) , p o r l o t a n t o

u

4

= a u

1

+ b u

2

+ c u

3

y f ( u

4

) = a f ( u

1

) + b f ( u

2

) + c f ( u

3

)

b ) f n o p u e d e s e r i n y e c t i v a , y a q u e

d i m K e r f = d i m R

3

; d i m I m f 3 ; 2 = 1 6= 0

( d i m I m f 2 p u e s t o q u e I m f R

2

)

f s e r a e x h a u s t i v a e n c a s o d e q u e d i m I m f = 2 . V e a m o s s i e s a s : l a m a t r i z d e f e n

l a b a s e f u

1

u

2

u

3

g d e R

3

y l a n a t u r a l d e R

2

e s

A =

1 4 3

; 1 1 1




6 6


y r a n g o A = 2 = r a n g o

1 4 3

; 1 1 1

= r a n g o

1 0 0

; 1 5 4

=

= r a n g o

1 0 0

; 1 1 0

c ) L a m a t r i z d e f e n l a s b a s e s n a t u r a l e s s e r a

R

3

u

A

; ; ; ; ! R

2

S

?

?

y

A

0

R

3

e

S e s l a m a t r i z d e c a m b i o d e b a s e d e f u

1

u

2

u

3

g a l a n a t u r a l f e

1

e

2

e

3

g , y A

0

=

A S

; 1

c o n

S =

0

B

B

B

@

2 1 1

; 1 1 ; 2

1 0 3

1

C

C

C

A

y S

; 1

=

0

B

B

B

@

1

2

;

1

2

;

1

2

1

6

5

6

1

2

;

1

6

1

6

1

2

1

C

C

C

A

A

0

=

1 4 3

; 1 1 1

0

B

B

B

@

1

2

;

1

2

;

1

2

1

6

5

6

1

2

;

1

6

1

6

1

2

1

C

C

C

A

=

0

@

2

3

2 0

6

3

;

1

2

3

2

3

2

1

A

d ) K e r f = f ( x y z ) 2 R

3

= f ( x y z ) = 0 g

0

@

2

3

2 0

6

3

;

1

2

3

2

3

2

1

A

0

@

x

y

z

1

A

=

0

0

4 x + 2 0 y + 1 8 z = 0

; x + 3 y + 3 z = 0

S i s t e m a c o m p a t i b l e i n d e t e r m i n a d o d e r a n g o = 2 c u y o c o n j u n t o d e s o l u c i o n e s e s

K e r f = f ( x y z ) 2 R

3

= y = ;

1 5

1 6

z x =

3

1 6

z g = ( 3 1 5 1 6 ) ]

1 2 E n c o n t r a r l o s v a l o r e s d e a p a r a l o s c u a l e s e l e n d o m o r s m o d e R

3

d a d o p o r

f ( x y z ) = ( x + a y ; a z a x + y + z ; a x + a y + z ) e s u n a u t o m o r s m o .





S o l u c i o n :

f s e r a a u t o m o r s m o s i e l d e t e r m i n a n t e d e s u m a t r i z a s o c i a d a , e n c u a l q u i e r b a s e , e s

d i s t i n t o d e c e r o . B u s q u e m o s p u e s l a m a t r i z d e f e n l a b a s e n a t u r a l ( p o r e j e m p l o ) .

f ( 1 0 0 ) = ( 1 a ; a )

f ( 0 1 0 ) = ( a 1 a )

f ( 0 0 1 ) = ( ; a 1 1 )

l u e g o

A =

0

@

1 a ; a

a 1 1

; a a 1

1

A

y d e t A = 1 ; a ; 3 a

2

; a

3

= ; ( a + 1 ) ( a + 1 ;

p

2 ) ( a + 1 +

p

2 ) , l u e g o d e t A 6= 0 s i

y s o l o s i a e s d i s t i n t o d e

; 1 ; 1 +

p

2 ; 1 ;

p

2

1 3 S e a l a m a t r i z

A =

0

@

0 2 1

0 0 3

0 0 0

1

A

a s o c i a d a a l a a p l i c a c i o n l i n e a l f d e n i d a s o b r e R

3

r e s p e c t o l a b a s e n a t u r a l .

a ) H a l l a r l o s s u b e s p a c i o s I m f y K e r f

b ) H a l l a r u n a b a s e d e R

3

p a r a l a c u a l l a m a t r i z d e f e n d i c h a b a s e s e a

B =

0

@

0 1 0

0 0 1

0 0 0

1

A

S o l u c i o n :




6 8


a ) R e c o r d a n d o l a d e n i c i o n d e I m f y d e K e r f :

I m f = f y 2 R

3

= 9 x 2 R

3

c o n f ( x ) = y g =

= f ( 1 0 0 ) f ( 0 1 0 ) f ( 0 0 1 ) ] =

= ( 0 0 0 ) ( 2 0 0 ) ( 1 3 0 ) ] = ( 2 0 0 ) ( 1 3 0 )

K e r f = f x 2 R

3

= f ( x ) = 0 g

0

@

0 2 1

0 0 3

0 0 0

1

A

0

@

x

y

z

1

A

=

0

@

0

0

0

1

A

,

2 y + z = 0

3 z = 0

)

) K e r f = ( 1 0 0 )

D e h e c h o , o b s e r v a n d o l a m a t r i z A q u e e s d e r a n g o 2 y l a p r i m e r a c o l u m n a e s i d e n t i c a m e n t e

n u l a , y a p o d e m o s a r m a r q u e K e r f = ( 1 0 0 )

b ) B u s c a m o s v

1

= ( x

1

x

2

x

3

) v

2

= ( y

1

y

2

y

3

) v

3

= ( z

1

z

2

z

3

) t a l e s q u e f o r m e n

b a s e , y s i

S =

0

@

x

1

y

1

z

1

x

2

y

2

z

2

x

3

y

3

z

3

1

A

e n t o n c e s S B = A S

0

@

x

1

y

1

z

1

x

2

y

2

z

2

x

3

y

3

z

3

1

A

0

@

0 1 0

0 0 1

0 0 0

1

A

=

0

@

0 2 1

0 0 3

0 0 0

1

A

0

@

x

1

y

1

z

1

x

2

y

2

z

2

x

3

y

3

z

3

1

A

p o r l o t a n t o

x

2

= x

3

= y

3

= 0

2 y

2

= x

1

3 z

3

= y

2

2 z

2

+ z

3

= y

1

9

>

>

>

=

>

>

>

y p o d e m o s t o m a r :

v

1

= ( 6 0 0 ) v

2

= ( 1 3 0 ) v

3

= ( 0 0 1 )

1 4 S e c o n s i d e r a l a a p l i c a c i o n f

k

: R

3

; ! R

3

d e n i d a p o r

f

k

( x y z ) = ( ( 2 ; k ) x + ( k ; 1 ) y 2 ( 1 ; k ) x + ( 2 k ; 1 ) y k z )





a ) D e t e r m i n a r l a m a t r i z d e f

k

a s o c i a d a a l a b a s e n a t u r a l d e R

3

b ) D e t e r m i n a r K e r f

k

c ) S u p u e s t o k ( k ; 1 ) 6= 0 , d e m o s t r a r q u e l a m a t r i z M

k

p u e d e p o n e r s e d e l a f o r m a

M

k

= A + k B d o n d e A y B s o n d o s m a t r i c e s a d e t e r m i n a r , y d a r l a e x p r e s i o n d e

M

2

k

e n f u n c i o n d e A B y k y d e d u c i r d e e l l o u n a e x p r e s i o n p a r a M

n

k

S o l u c i o n :

a )

f ( 1 0 0 ) = ( 2 ; k 2 ( 1 ; k ) 0 )

f ( 0 1 0 ) = ( k ; 1 2 k ; 1 0 )

f ( 0 0 1 ) = ( 0 0 k )

l u e g o

M

k

=

0

@

2 ; k k ; 1 0

2 ( 1 ; k ) 2 k ; 1 0

0 0 k

1

A

b ) O b s e r v a m o s q u e d e t M

k

= k

2

, l u e g o , s i k 6= 0 , e s r a n g o f

k

= 3 y , p o r t a n t o ,

K e r f

k

= f 0 g

S e a p u e s k = 0

M

0

=

0

@

2 ; 1 0

2 ; 1 0

0 0 0

1

A

y e l K e r f

0

e s :

0

@

2 ; 1 0

2 ; 1 0

0 0 0

1

A

0

@

x

y

z

1

A

=

0

@

0

0

0

1

A

) 2 x ; y = 0

L u e g o K e r f

0

= ( 1 2 0 ) ( 0 0 1 )

c )

M

k

=

0

@

2 ; 1 0

2 ; 1 0

0 0 0

1

A

+ k

0

@

; 1 1 0

; 2 2 0

0 0 1

1

A

= A + k B

M

2

k

= ( A + k B )

2

= A

2

+ k

2

B

2

+ k A B + k B A




7 0


O b s e r v a m o s q u e

A

2

=

0

@

2 ; 1 0

2 ; 1 0

0 0 0

1

A

0

@

2 ; 1 0

2 ; 1 0

0 0 0

1

A

=

0

@

2 ; 1 0

2 ; 1 0

0 0 0

1

A

= A

B

2

=

0

@

; 1 1 0

; 2 2 0

0 0 1

1

A

0

@

; 1 1 0

; 2 2 0

0 0 1

1

A

=

0

@

; 1 1 0

; 2 2 0

0 0 1

1

A

= B

A B =

0

@

2 ; 1 0

2 ; 1 0

0 0 0

1

A

0

@

; 1 1 0

; 2 2 0

0 0 1

1

A

=

0

@

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1

A

= 0

B A =

0

@

; 1 1 0

; 2 2 0

0 0 1

1

A

0

@

2 ; 1 0

2 ; 1 0

0 0 0

1

A

=

0

@

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1

A

= 0

l u e g o , M

2

k

= A + k

2

B , y p o r l o t a n t o , p o r i n d u c c i o n s e c o n c l u y e q u e M

n

k

= A + k

n

B ,

v e a m o s l o :

E s v a l i d o p a r a n = 1 , s u p u e s t o c i e r t o p a r a n ; 1 : M

n ; 1

k

= A + k

n ; 1

B v e a m o s l o

p a r a n :

M

n

k

= M

k

M

n ; 1

k

= M

k

( A + k

n ; 1

B ) = ( A + k B ) ( A + k

n ; 1

B ) =

= A

2

+ k

n ; 1

A B + k B A + k

n

B

2

= A + k

n ; 1

0 + k 0 + k

n

B = A + k

n

B

N o t a : s i k = 0 , e n t o n c e s B p o d r a s e r c u a l q u i e r m a t r i z , y p o r t a n t o n o t e n d r a p o r

q u e s e r A B = B A = 0 . Y s i k = 1 , M

k

= I y M

n

k

= I , s i b i e n l a e x p r e s i o n h a l l a d a

t i e n e s e n t i d o .

1 5 S e a R

n

x ] e l e s p a c i o v e c t o r i a l d e l o s p o l i n o m i o s d e g r a d o m e n o r o i g u a l q u e

n . C o n s i d e r e m o s l o s e n d o m o r s m o s f D : R

n

x ; ! R

n

x ] s i e n d o D e l o p e r a d o r

d e r i v a d a : D ( p ( x ) ) = p

0

( x ) y f t a l q u e f ( p ( x ) ) = p ( x ) ; p

0

( x ) . D e m o s t r a r q u e

e x i s t e f

; 1

, y q u e s e p u e d e p o n e r e n f u n c i o n d e l o p e r a d o r D

S o l u c i o n :

S e a p ( x ) 2 K e r f ) f ( p ( x ) ) = 0 = p ( x ) ; p

0

( x ) , l u e g o p ( x ) = p

0

( x ) . P e r o

g r a d o p

0

( x ) g r a d o p ( x ) , y v a l e l a i g u a l d a d , s i y s o l o s i g r a d o p ( x ) = 0 , l u e g o

p ( x ) = a p o l i n o m i o c o n s t a n t e , p e r o p

0

( x ) = ( a )

0

= 0 . L u e g o a = 0 y p ( x ) = 0 .





P o r l o t a n t o , f e s i n y e c t i v a y t o d a a p l i c a c i o n l i n e a l i n y e c t i v a d e u n e s p a c i o v e c t o r i a l d e

d i m e n s i o n n i t a e n s m i s m o e s e x h a u s t i v a , y p o r t a n t o , e x i s t e f

; 1

S i f

; 1

s e p u e d e p o n e r e n f u n c i o n d e D e s t a h a d e s e r :

f

; 1

=

0

D

0

+ +

n

D

n

y a q u e D

n + 1

= 0

y h a d e c u m p l i r s e q u e f

; 1

f = I

N o t a r q u e : f = I ; D

I = f

; 1

f = (

0

D

0

+ +

n

D

n

) ( I ; D ) =

=

0

D

0

+ +

n

D

n

;

0

D

1

; ;

D

n + 1

n

=

=

0

I + (

1

;

0

) D

1

+ (

2

;

1

) D

2

+ (

n

;

n ; 1

) D

n ; 1

p o r l o t a n t o

0

= 1

1

;

0

= 0

n

;

n ; 1

= 0

9

>

>

>

=

>

>

>

)

i

= 1 i = 1 n

y f

; 1

= D

0

+ + D

n




D e t e r m i n a n t e s 7 3

C a p t u l o 5 D e t e r m i n a n t e s

1 D a d a s l a s p e r m u t a c i o n e s s = ( 4 3 1 2 ) t = ( 1 2 4 3 ) , d e t e r m i n a r l a s p e r m u t a -

c i o n e s s t t s s

; 1

t

; 1

, a s c o m o e l s i g n o d e c a d a u n a d e e l l a s .

S o l u c i o n :

R e c o r d a n d o q u e s = ( a b c d ) s i g n i c a s ( 1 ) = a , s ( 2 ) = b , s ( 3 ) = c , s ( 4 ) = d ,

t e n e m o s

s t ( 1 ) = s ( t ( 1 ) ) = s ( 1 ) = 4

s t ( 2 ) = s ( t ( 2 ) ) = s ( 2 ) = 3

s t ( 3 ) = s ( t ( 3 ) ) = s ( 4 ) = 2

s t ( 4 ) = s ( t ( 4 ) ) = s ( 3 ) = 1

9

>

>

>

=

>

>

>

s t = ( 4 3 2 1 )

t s ( 1 ) = t ( s ( 1 ) ) = t ( 4 ) = 3

t s ( 2 ) = t ( s ( 2 ) ) = t ( 3 ) = 4

t s ( 3 ) = t ( s ( 3 ) ) = t ( 1 ) = 1

t s ( 4 ) = t ( s ( 4 ) ) = t ( 2 ) = 2

9

>

>

>

=

>

>

>

t s = ( 3 4 1 2 )

D e s

; 1

( 1 ) = i t e n e m o s s ( i ) = 1 l u e g o i = 3

D e s

; 1


D e s

; 1


D e s

; 1


9

>

>

>

=

>

>

>

s

; 1

= ( 3 4 2 1 )

D e t

; 1

( 1 ) = i t e n e m o s t ( i ) = 1 l u e g o i = 1

D e t

; 1


D e t

; 1


D e t

; 1


9

>

>

>

=

>

>

>

t

; 1

= ( 1 2 4 3 )




7 4


V e a m o s c u a l e s e l s i g n o d e c a d a u n a d e e s t a s p e r m u t a c i o n e s

N ( s ) = 3 + 2 = 5 l u e g o s e s i m p a r : " ( s ) = ; 1

N ( t ) = 1 l u e g o t e s i m p a r : " ( t ) = ; 1

" ( s t ) = " ( s ) " ( t ) = ( ; 1 ) ( ; 1 ) = 1

" ( t s ) = " ( t ) " ( s ) = ( ; 1 ) ( ; 1 ) = 1

" ( s

; 1

) = " ( s ) = ; 1

" ( t

; 1

) = " ( t ) = ; 1

2 H a l l a r e l v a l o r d e l d e t e r m i n a n t e

A =

3 1 2

0 1 1

1 0 1

S o l u c i o n :

R e c o r d a n d o l a d e n i c i o n d e d e t e r m i n a n t e :

s i A = ( a

i

j

) d e t A =

X

s

" ( s ) a

s

1

1

a

s

2

2

a

s

3

3

s e t i e n e

A = + 3 1 1 + 0 0 2 + 1 1 1 ; 1 1 2 ; 3 0 1 ; 0 1 1 = 3 + 1 ; 2 = 2

3 H a l l a r e l v a l o r d e l d e t e r m i n a n t e

A =

3 ; 2 4 5

2 0 5 2

1 3 ; 1 2

2 5 2 ; 3





a ) P o r l a r e g l a d e L a p l a c e , p o r e j e m p l o , p o r l o s m e n o r e s d e l a s d o s p r i m e r a s

c o l u m n a s .

b ) P o r l o s e l e m e n t o s d e u n a l n e a , p o r e j e m p l o , d e l a p r i m e r a l a .

c ) O b t e n i e n d o \ a p r i o r i " c e r o s e n u n a l n e a y d e s a r r o l l a n d o l u e g o p o r l o s e l e m e n t o s d e

e s t a ( r e d u c c i o n d e l o r d e n ) .

S o l u c i o n :

a )

A =

3 ; 2 4 5

2 0 5 2

1 3 ; 1 2

2 5 2 ; 3

( 1 )

( 2 )

( 3 )

( 4 )

H a y q u e f o r m a r s u m a s d e p r o d u c t o s d e d e t e r m i n a n t e s 2 2 , e x t r a d o s d e A

d e m a n e r a q u e l a s d o s c o l u m n a s d e l p r i m e r f a c t o r s e c o r r e s p o n d a n c o n l a p r i m e r a y

s e g u n d a c o l u m n a s d e A y l a s d o s c o l u m n a s d e l s e g u n d o f a c t o r s e c o r r e s p o n d a n c o n

l a t e r c e r a y c u a r t a c o l u m n a s d e A . C a d a f a c t o r t e n d r a d o s l a s c u y a o r d e n a c i o n

s e r a u n a p e r m u t a c i o n d e f 1 2 3 4 g

P o r e j e m p l o

( 1 )

( 2 )

3 ; 2

2 0

; 1 2

2 ; 3

( 3 )

( 4 )

( 1 )

( 3 )

3 ; 2

1 3

5 2

2 ; 3

( 2 )

( 4 )

e t c .

E l s i g n o d e c a d a s u m a n d o s e r a e l s i g n o d e l a c o r r e s p o n d i e n t e p e r m u t a c i o n d e l a s .

P o r e j e m p l o , e l s i g n o d e l p r i m e r s u m a n d o a n t e r i o r e s e l s i g n o d e l a p e r m u t a c i o n

( 1 2 3 4 ) , q u e e s + , y e l d e l s e g u n d o , e l d e l a p e r m u t a c i o n ( 1 3 2 4 ) , q u e

e s ;

P a s e m o s p u e s a l c a l c u l o d e A

A = +

3 ; 2

2 0

; 1 2

2 3

;

3 ; 2

1 3

5 2

2 ; 3

+

3 ; 2

2 5

5 2

; 1 2

+

+

2 0

1 3

4 5

2 ; 3

;

2 0

2 5

4 5

; 1 2

+

1 3

2 5

4 5

5 2

=

= 4 ( ; 1 ) ; 1 1 ( ; 1 9 ) + 1 9 1 2 + 6 ( ; 2 2 ) ; 1 0 1 3 + ( ; 1 ) ( ; 1 7 ) = 1 8 8




7 6


b )

A =

3 ; 2 4 5

2 0 5 2

1 3 ; 1 2

2 5 2 ; 3

= 3

0 5 2

3 ; 1 2

5 2 ; 3

; ( ; 2 )

2 5 2

1 ; 1 2

2 2 ; 3

+

+ 4

2 0 2

1 3 2

2 5 ; 3

; 5

2 0 5

1 3 ; 1

2 5 2

=

= 3 1 1 7 + 2 4 1 ; 4 4 0 ; 5 1 7 = 3 5 1 + 8 2 ; 1 6 0 ; 8 5 = 1 8 8

c ) S e g u i r e m o s u n m e t o d o q u e n o s p e r m i t e o b t e n e r e l m a x i m o n u m e r o d e c e r o s e n u n a

l n e a ( l a o c o l u m n a ) a b a s e d e s u m a r l e a d i c h a l n e a u n a c o m b i n a c i o n l i n e a l d e l a s

r e s t a n t e s . P o r e j e m p l o , c o m o e n l a s e g u n d a c o l u m n a h a y u n c e r o , e m p l e a m o s e s t a

c o l u m n a p a r a r e l l e n a r l a d e c e r o s

f i l a a ; !

f i l a b ; !

f i l a c ; !

f i l a d ; !

3 ; 2 4 5

2 0 5 2

1 3 ; 1 2

2 5 2 ; 3

s u b s t i t u i m o s l a l a c p o r c ; d ; a ( c o m b i n a c i o n l i n e a l d e l a s ) , e s d e c i r , l e s u m a m o s

a l a l a c l a s l a s a y d c a m b i a d a s d e s i g n o )

f i l a a ; !

f i l a b ; !

f i l a c ; !

f i l a d ; !

3 ; 2 4 5

2 0 5 2

; 4 0 ; 7 0

2 5 2 ; 3

s u b s t i t u i m o s , p o r e j e m p l o , l a l a d p o r d +

5

2

a , q u e d a n d o

3 ; 2 4 5

2 0 5 2

; 4 0 ; 7 0

1 9

2

0 1 2

1 9

2

D e s a r r o l l a n d o p u e s p o r l a s e g u n d a c o l u m n a t e n e m o s





; ( ; 2 )

2 5 2

; 4 ; 7 0

1 9

2

1 2

1 9

2

= 2

1

2

2 5 2

; 4 ; 7 0

1 9 2 4 1 9

= 1 8 8

4 P r o b a r q u e

V

n

=

1 x

1

x

2

1

: : : x

n ; 1

1

1 x

2

x

2

2

: : : x

n ; 1

2

: : : : : : : : : : : : : : :

: : : : : : : : : : : : : : :

1 x

n

x

2

n

: : : x

n ; 1

n

=

Y

1 i < j n

( x

j

; x

i

)

p a r a n 2 ( E s e l l l a m a d o d e t e r m i n a n t e d e V a n d e r M o n d e ) .

S o l u c i o n :

V a m o s a p r o b a r l o p o r i n d u c c i o n

P a r a n = 2

V

2

=

1 x

1

1 x

2

= x

2

; x

1

S u p o n g a m o s q u e e s c i e r t o p a r a m = n ; 1 , v e a m o s q u e t a m b i e n l o e s p a r a n




7 8


V

n

=

( a )

1 0 0 0 0

1 x

2

; x

1

x

2

2

; x

1

x

2

x

3

2

; x

2

2

x

1

: : : x

n ; 1

2

; x

n ; 2

2

x

1

1 x

3

; x

1

x

2

3

; x

1

x

3

x

3

3

; x

2

3

x

1

: : : x

n

3

; x

n ; 2

3

x

1

: : : : : : : : : : : : : : : : : :

1 x

n

; x

1

x

2

n

; x

n

x

1

x

3

n

; x

2

n

x

1

: : : x

n ; 1

n

; x

n ; 2

n

x

1

=

( b )

=

x

2

; x

1

x

2

2

; x

1

x

2

x

3

2

; x

2

2

x

1

: : : x

n ; 1

2

; x

n ; 2

2

x

1

x

3

; x

1

x

2

3

; x

1

x

3

x

3

3

; x

2

3

x

1

: : : x

n ; 1

3

; x

n ; 2

3

x

1

: : : : : : : : : : : : : : :

x

n

; x

1

x

2

n

; x

1

x

n ; 1

x

3

n

; x

2

n

x

1

: : : x

n ; 1

n

; x

n ; 2

n

x

1

=

( c )

= ( x

2

; x

1

) ( x

3

; x

1

) ( x

n

; x

1

)

1 x

2

x

2

2

: : : x

n ; 2

2

1 x

3

x

2

3

: : : x

n ; 2

3

: : : : : : : : : : : : : : :

1 x

n

x

2

n

: : : x

n ; 2

n

=

( d )

= ( x

2

; x

1

) ( x

3

; x

1

) ( x

n

; x

1

) V

n ; 1

=

Y

1 i < j n

( x

j

; x

i

)

( a ) r e s t a n d o a l a s e g u n d a c o l u m n a l a p r i m e r a m u l t i p l i c a d a p o r x

1

y a l a t e r c e r a

l a s e g u n d a p o r x

1

, . . . , y a l a n - s i m a l a ( n - 1 ) - s i m a p o r x

1

( b ) d e s a r r o l l a n d o p o r l a p r i m e r a l a .

( c ) s i u n a l a o c o l u m n a e s t a m u l t i p l i c a d a p o r u n e s c a l a r , e s t e s a l e f u e r a .

( d ) e l d e t e r m i n a n t e e s e l d e V a n d e r M o n d e d e o r d e n n - 1 .

5 C a l c u l a r

V =

1 1 1

b + c c + a a + b

b c a c a b

S o l u c i o n :

V =

( a )

1 0 0

b + c a ; b a ; c

b c a c ; b c a b ; b c

=

( b )

a ; b a ; c

c ( a ; b ) b ( a ; c )

=

= ( a ; b ) ( a ; c )

1 1

c b

= ( a ; b ) ( a ; c ) ( b ; c )





( a ) r e s t a n d o l a p r i m e r a c o l u m n a a l a s e g u n d a y t e r c e r a .

( b ) d e s a r r o l l l a n d o p o r l a p r i m e r a l a .

6 C a l c u l a r

4 =

z ; z 0

0 z

2

; 1

1 z z + 1

s a b i e n d o q u e z 2 C e s t a l q u e z

5

= 1 y z 6= 1

S o l u c i o n :

4 = z z

2

( z + 1 ) + 0 z 0 + 1 ( ; z ) ( ; 1 ) ; 1 z

2

0 ; z z ( ; 1 ) ; 0 ( ; z ) ( z + 1 ) =

= z

4

+ z

3

+ z

2

+ z

A h o r a b i e n , p u e s t o q u e

0 = z

5

; 1 = ( z ; 1 ) ( z

4

+ z

3

+ z

2

+ z + 1 )

s e t i e n e

o

z ; 1 = 0

z

4

+ z

3

+ z

2

+ z + 1 = 0

p e r o z 6= 1

l u e g o z

4

+ z

3

+ z

2

+ z + 1 = 0 , d e d o n d e 4 = ; 1

7 C a l c u l a r e l d e t e r m i n a n t e d e o r d e n n s i g u i e n t e

A

n

=

2 1 0 0 0 0

1 2 1 0 0 0

0 1 2 1 0 0

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

0 0 0 0 1 2




8 0


S o l u c i o n :

D e s a r r o l l a n d o p o r l a p r i m e r a c o l u m n a t e n e m o s

A

n

= 2

2 1 0 0 0

1 2 1 0 0

: : : : : : : : : : : : : : : : : :

0 0 0 1 2

; 1

1 0 0 0 0

1 2 1 0 0

: : : : : : : : : : : : : : : : : :

0 0 0 1 2

=

=

( a )

2

2 1 0 0 0

1 2 1 0 0

: : : : : : : : : : : : : : : : : :

0 0 0 1 2

; 1 1

2 1 0 0 0

1 2 1 0 0

: : : : : : : : : : : : : : : : : :

0 0 0 1 2

=

= 2 A

n ; 1

; A

n ; 2

( a ) d e s a r r o l l a n d o e l s e g u n d o d e t e r m i n a n t e p o r l a p r i m e r a l a

L u e g o t e n e m o s l a r e l a c i o n d e r e c u r r e n c i a s i g u i e n t e

A

n

= 2 A

n ; 1

; A

n ; 2

q u e n o s p e r m i t i r a d e d u c i r e l v a l o r d e A

n

: t e n e m o s q u e p a r a n = 1 2 3 e s

A

1

= 2 A

2

= 3 A

3

= 4

S u p o n g a m o s p u e s q u e A

n ; 1

= n v e a m o s q u e A

n

= n + 1

A

n

= 2 A

n ; 1

; A

n ; 2

= 2 n ; ( n ; 1 ) = 2 n ; n + 1 = n + 1

l u e g o A

n

= n + 1

8 S i n e f e c t u a r e l d e s a r r o l l o , p r o b a r q u e

4 =

1 a b + c

1 b c + a

1 c a + b

= 0





S o l u c i o n :

S a b e m o s q u e n o s e a l t e r a e l v a l o r d e u n d e t e r m i n a n t e s i a u n a l n e a l e s u m a m o s u n a

c o m b i n a c i o n l i n e a l d e l a s d e m a s . S u m a n d o a l a t e r c e r a c o l u m n a l a s e g u n d a , n o s q u e d a

4 =

1 a a + b + c

1 b b + c + a

1 c c + a + b

= ( a + b + c )

1 a 1

1 b 1

1 c 1

=

( a )

0

( a ) o b s e r v a n d o q u e h a y d o s c o l u m n a s i g u a l e s

9 C a l c u l a r l a s r a c e s d e l a e c u a c i o n

4

n

=

1 + x 1 1

1 1 + x : : : 1

: : : : : : : : : : : :

1 1 1 + x

S o l u c i o n :

S u m a n d o a l a p r i m e r a c o l u m n a t o d a s l a s d e m a s t e n e m o s

4

n

=

n + x 1 1

n + x 1 + x : : : 1

: : : : : : : : : : : :

n + x 1 1 + x

= ( n + x )

1 1 1

1 1 + x : : : 1

: : : : : : : : : : : :

1 1 1 + x

=

=

( a )

( n + x )

1 0 0

1 x : : : 0

: : : : : : : : : : : :

1 0 : : : x

= ( n + x ) x

n ; 1

= 0

( a ) r e s t a n d o a c a d a c o l u m n a , a p a r t i r d e l a s e g u n d a , l a p r i m e r a c o l u m n a

L u e g o l a s r a c e s s o n x = ; n y x = 0 d e m u l t i p l i c i d a d n - 1 .

1 0 S a b i e n d o q u e 1 8 8 8 7 , 3 9 8 6 5 , 5 8 7 5 2 , 6 4 8 7 2 , 9 6 5 2 6 s o n d i v i s i b l e s p o r 1 7 , d e m o s t r a r

q u e D e s t a m b i e n m u l t i p l o d e 1 7 , s i e n d o D e l d e t e r m i n a n t e s i g u i e n t e




8 2


D =

1 8 8 8 7

3 9 8 6 5

5 8 7 5 2

6 4 8 7 2

9 6 5 2 6

s i n c a l c u l a r e l v a l o r d e l d e t e r m i n a n t e .

S o l u c i o n :

S a b e m o s q u e

1 8 8 8 7 = 1 7 a

3 9 8 6 5 = 1 7 b

5 8 7 5 2 = 1 7 c

6 4 8 7 2 = 1 7 d

9 6 5 2 6 = 1 7 e

9

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

c o n a b c d 2 Z

D =

1

1 0

4

1 1 0

4

8 8 8 7

3 1 0

4

9 8 6 5

5 1 0

4

8 7 5 2

6 1 0

4

4 8 7 2

9 1 0

4

6 5 2 6

=

=

1

1 0

4

1 1 0

4

+ 8 1 0

3

+ 8 1 0

2

+ 8 1 0 + 7 8 8 8 7

3 1 0

4

+ 9 1 0

3

+ 8 1 0

2

+ 6 1 0 + 5 9 8 6 5

5 1 0

4

+ 8 1 0

3

+ 7 1 0

2

+ 5 1 0 + 2 8 7 5 2

6 1 0

4

+ 4 1 0

3

+ 8 1 0

2

+ 7 1 0 + 2 4 8 7 2

9 1 0

4

+ 6 1 0

3

+ 5 1 0

2

+ 2 1 0 + 6 6 5 2 6

=

=

1

1 0

4

1 8 8 8 7 8 8 8 7

3 9 8 6 5 9 8 6 5

5 8 7 5 2 8 7 5 2

6 4 8 7 2 4 8 7 2

9 6 5 2 6 6 5 2 6

=

1

1 0

4

1 7 a 8 8 8 7

1 7 b 9 8 6 5

1 7 c 8 7 5 2

1 7 d 4 8 7 2

1 7 e 6 5 2 6

=

=

1 7

1 0

4

a 8 8 8 7

b 9 8 6 5

c 8 7 5 2

d 4 8 7 2

e 6 5 2 6

=

1 7

1 0

4

D

0





D =

1 7

1 0

4

D

0

p u e s t o q u e m c d ( 1 7 1 0

4

) = 1 y D D

0

2 Z , s e t i e n e q u e

D

0

= 1 0

4

h y p o r t a n t o D = 1 7 h

1 1 D e t e r m i n a r l a i n v e r s a d e l a m a t r i z A = ( a

i j

)

A =

0

@

1 2 2

2 1 2

2 2 1

1

A

S o l u c i o n :

A

; 1

=

1

d e t A

( A

i j

)

S i e n d o

A

j i

= ( ; 1 )

i + j

d e t

0

B

B

B

B

B

@

a

1 1

a

1 2

: : : a

1 j ; 1

a

1 j + 1

: : : a

1 n

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

a

i ; 1 1

a

i ; 1 2

: : : : : : : : : : : : a

i ; 1 n

a

i + 1 1

a

i + 1 2

: : : : : : : : : : : : a

i + 1 n

: : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

a

n 1

a

n 2

: : : : : : : : : : : : a

n n

1

C

C

C

C

C

A

N o t a : A

i j

= A

t

j i

L u e g o , d e t A = 5

A

1 1

= ( ; 1 )

2

1 2

2 1

= ; 3 A

1 2

= ( ; 1 )

3

2 2

2 1

= 2

A

1 3

= ( ; 1 )

4

2 2

1 2

= 2 A

2 1

= ( ; 1 )

3

2 2

2 1

= 2

A

2 2

= ( ; 1 )

4

1 2

2 1

= ; 3 A

2 3

= ( ; 1 )

5

1 2

2 2

= 2

A

3 1

= ( ; 1 )

4

2 1

2 2

= 2 A

3 2

= ( ; 1 )

5

1 2

2 2

= 2

A

3 3

= ( ; 1 )

6

1 2

2 1

= ; 3




8 4


p o r l o q u e l a m a t r i z i n v e r s a e s :

A

; 1

=

1

5

; 3 2 2

2 ; 3 2

2 2 ; 3




D i a g o n a l i z a c i o n d e e n d o m o r s m o s 8 5

C a p t u l o 6 D i a g o n a l i z a c i o n d e e n d o m o r s m o s

1 S e a E u n R - e s p a c i o v e c t o r i a l y f u n e n d o m o r s m o d e E c u y a m a t r i z e n u n a

d e t e r m i n a d a b a s e f u

1

u

2

u

3

g e s

A =

0

@

1 2 1

0 1 2

3 1 0

1

A

H a l l a r e l p o l i n o m i o c a r a c t e r s t i c o Q ( t )

Q ( t ) =

1 ; t 2 1

0 1 ; t 2

3 1 0 ; t

=

= ; t

3

+ ( t r A ) t

2

; ( A

1 1

+ A

2 2

+ A

3 3

) t + d e t A =

= ; t

3

+ 2 t

2

+ 4 t + 7

N o t a A

i i

e s e l d e t e r m i n a n t e d e l m e n o r a d j u n t o a l e l e m e n t o a

i i

d e l a m a t r i z A

2 D e t e r m i n a r e l p o l i n o m i o c a r a c t e r s t i c o d e l a m a t r i z

A =

0

B

@

a

2

a b a b b

2

a b a

2

b

2

a b

a b b

2

a

2

a b

b

2

a b a b a

2

1

C

A

d a n d o s u s r a c e s .

S o l u c i o n :




8 6


d e t ( A ; t I ) =

( a + b )

2

; t a b a b b

2

( a + b )

2

; t a

2

; t b

2

a b

( a + b )

2

; t b

2

a

2

; t a b

( a + b )

2

; t a b a b a

2

; t

=

= ( ( a + b )

2

; t )

1 a b a b b

2

1 a

2

; t b

2

a b

1 b

2

a

2

; t a b

1 a b a b a

2

; t

=

= ( ( a + b )

2

; t )

1 a b a b b

2

0 a

2

; a b ; t b

2

; a b a b ; b

2

0 b

2

; a b a

2

; a b ; t a b ; b

2

0 0 0 a

2

; b

2

; t

=

= ( ( a + b )

2

; t )

a

2

; a b ; t b

2

; a b a b ; b

2

b

2

; a b a

2

; a b ; t a b ; b

2

0 0 a

2

; b

2

; t

=

= ( ( a + b )

2

; t ) ( a

2

; b

2

; t )

a

2

; a b ; t b

2

; a b

b

2

; a b a

2

; a b ; t

=

= ( ( a + b )

2

; t ) ( a

2

; b

2

; t )

a

2

+ b

2

; 2 a b ; t b

2

; a b

a

2

+ b

2

; 2 a b ; t a

2

; a b ; t

=

= ( ( a + b )

2

) ( a

2

; b

2

; t ) ( ( a ; b )

2

; t )

1 b

2

; a b

1 a

2

; a b ; t

=

= ( ( a + b )

2

; t ) ( a

2

; b

2

; t ) ( ( a ; b )

2

; t )

1 b

2

; a b

0 a

2

; b

2

; t

=

= ( ( a + b )

2

; t ) ( a

2

; b

2

; t )

2

( ( a ; b )

2

; t )

y p o r l o t a n t o , l a s r a c e s s o n ( a + b )

2

( a ; b )

2

( a

2

; b

2

) , y e s t a u l t i m a d e m u l t i -

p l i c i d a d d o s .

3 S i A 2 M

n

( K ) e s u n a m a t r i z i n v e r s i b l e , d e m o s t r a r q u e A B y B A t i e n e n l o s

m i s m o s v a l o r e s p r o p i o s ( s i e n d o K u n c u e r p o c o n m u t a t i v o ) .

S o l u c i o n :

E n e f e c t o ,





d e t ( A B ; I ) = d e t ( A B A A

; 1

; I A A

; 1

) = d e t ( A B A A

; 1

; A I A

; 1

) =

= d e t ( A ( B A ; I ) A

; 1

) = d e t A d e t ( B A ; I ) d e t A

; 1

=

= d e t ( B A ; I )

4 D e m o s t r a r q u e s i l a m a t r i z A 2 M

n

( K ) v e r i c a A

m

= 0 , e l u n i c o v a l o r p r o p i o

p o s i b l e d e A e s e l c e r o ( d o n d e K e s u n c u e r p o c o n m u t a t i v o ) .

S o l u c i o n :

S u p o n g a m o s l o c o n t r a r i o , e s d e c i r , s u p o n g a m o s q u e e x i s t e 6= 0 q u e s e a v a l o r p r o p i o

d e l a m a t r i z A , l o q u e e q u i v a l e a q u e s e a u n v a l o r p r o p i o d e l e n d o m o r s m o f d e l

e s p a c i o v e c t o r i a l K

n

c u y a m a t r i z e n d e t e r m i n a d a b a s e e s A y e s t o s i g n i c a q u e e x i s t e

u n v e c t o r v 2 K

n

v 6= 0 t a l q u e f ( v ) = v 6= 0

Y a p l i c a n d o f a a m b o s m i e m b r o s d e l a i g u a l d a d s e t i e n e

f

2

( v ) = f ( v ) = f ( v ) =

2

v

l u e g o

2

e s u n v a l o r p r o p i o n o n u l o d e f

2

y p o r t a n t o d e A

2

i n d u c t i v a m e n t e t e n e m o s q u e f

m

=

m

v 6= 0 , e n e f e c t o :

S a b e m o s q u e e s c i e r t o p a r a m = 1 2 s u p o n g a m o s q u e l o e s p a r a m ; 1 v e a m o s q u e

l o e s p a r a m

f ( f

m ; 1

v ) = f (

m ; 1

v ) =

m ; 1

f ( v ) =

m ; 1

v =

m

v

P o r l o t a n t o t e n e m o s q u e

m

e s v a l o r p r o p i o n o n u l o d e l a m a t r i z A

m

= 0 l o c u a l

e s a b s u r d o .

5 S e d e n e f : R

3

; ! R

3

p o r f ( x

1

x

2

x

3

) = ( x

1

x

2

0 ) 8 ( x

1

x

2

x

3

) 2 R

3

C o m p r o b a r q u e f e s l i n e a l y h a l l a r s u m a t r i z e n l a b a s e n a t u r a l . H a l l a r e l p o l i n o m i o

c a r a c t e r s t i c o y l o s v a l o r e s p r o p i o s . > E s f d i a g o n a l i z a b l e ?




8 8


S o l u c i o n :

V e a m o s l a l i n e a l i d a d :

8 v = ( x

1

x

2

x

3

) w = ( y

1

y

2

y

3

) 2 R

3

y 8 2 R s e t i e n e :

f ( v + w ) = ( x

1

+ y

1

x

2

+ y

2

0 ) = ( x

1

x

2

0 ) + ( y

1

y

2

0 ) = f ( v ) + f ( w )

f ( v ) = f ( x

1

x

2

x

3

) = ( x

1

x

2

0 ) = ( x

1

x

2

0 ) = f ( v )

D e t e r m i n e m o s l a m a t r i z d e l a a p l i c a c i o n f

f ( e

1

) = e

1

f ( e

2

) = e

2

f ( e

3

) = 0

9

>

=

>

( 1 )

l u e g o l a m a t r i z d e f e n l a b a s e n a t u r a l e s :

A =

0

@

1 0 0

0 1 0

0 0 0

1

A

( 2 )

E l p o l i n o m i o c a r a c t e r s t i c o e s :

d e t ( f ; t I ) = ( 1 ; t )

2

( ; t ) = ; t

3

+ 2 t

2

; t

( o b v i o y a q u e l a m a t r i z e s d i a g o n a l )

L o s v a l o r e s p r o p i o s s o n l o s v a l o r e s 2 R t a l e s q u e 9 v 2 R

3

v 6= 0 c o n f ( v ) = v y

e s t o s v a l o r e s s o n l a s r a c e s d e l p o l i n o m i o c a r a c t e r s t i c o :

( 1 ; t )

2

( ; t ) = 0 t = 1 d o b l e t = 0

f d i a g o n a l i z a p u e s t o q u e d i m K e r ( f ; I ) = 2 .

E n ( 1 ) o b s e r v a m o s y a q u e l a b a s e n a t u r a l e s l a b a s e d e v e c t o r e s p r o p i o s , ( f e s l a

\ p r o y e c c i o n o r t o g o n a l " s o b r e e l p l a n o h o r i z o n t a l X Y ) , y e n ( 2 ) v e m o s q u e l a m a t r i z e s

d i a g o n a l .





6 D i a g o n a l i z a r l a m a t r i z

A =

0

@

; 2 1 2 8

2 0 ; 3 ; 8

; 6 0 6 2 3

1

A

h a l l a n d o u n a b a s e d e v e c t o r e s p r o p i o s d e f ( e n d o m o r s m o d e R

3

c u y a

m a t r i z e n l a b a s e n a t u r a l e s A )

S o l u c i o n :

B u s q u e m o s e l p o l i n o m i o c a r a c t e r s t i c o d e A :

d e t ( A ; t I ) = ; t

3

; t

2

+ t + 1 = ; ( t + 1 )

2

( t ; 1 )

p o r l o t a n t o

R

3

= K e r ( f + I )

2

K e r ( f ; I )

d i m K e r ( f + I ) = 3 ; r a n g o

0

@

; 2 0 2 8

2 0 ; 2 ; 8

; 6 0 6 2 4

1

A

= 3 ; 1 = 2

l u e g o A d i a g o n a l i z a y

D =

0

@

; 1 0 0

0 ; 1 0

0 0 1

1

A

l a n u e v a b a s e s e r a f v

1

v

2

v

3

g c o n v

1

v

2

2 K e r ( f + I ) y v

3

2 K e r ( f ; I )

K e r ( f + I ) = f ( x y z ) =

0

@

; 2 0 2 8

2 0 ; 2 ; 8

; 6 0 6 2 4

1

A

0

@

x

y

z

1

A

=

0

@

0

0

0

1

A

g =

= f ( x y z ) = ; 1 0 x + y + 4 z = 0 g




9 0


s u b e s p a c i o d e d i m e n s i o n d o s , d e l q u e s e l e c c i o n a m o s u n a b a s e

v

1

= ( 2 0 5 ) v

2

= ( 1 2 2 )

k e r ( f ; I ) = f ( x y z ) =

0

@

; 2 2 2 8

2 0 ; 4 ; 8

; 6 0 6 2 2

1

A

0

@

x

y

z

1

A

=

0

@

0

0

0

1

A

g =

= f ( x y z ) = ; 1 1 x + y + 4 z = 0 1 0 x ; 2 y ; 4 z = 0 g

s u b e s p a c i o d e d i m e n s i o n u n o d e l q u e s e l e c c i o n a m o s u n a b a s e

v

3

= ( ; 1 1 ; 3 )

7 E s t u d i a r l a d i a g o n a l i z a c i o n , s e g u n l o s d i s t i n t o s v a l o r e s d e 2 R , d e l a m a t r i z

A =

0

@

1 ; ; ;

+ 1 ; 1

0 0 2

1

A

d a n d o e n e l c a s o e n q u e e l l o s e a p o s i b l e u n a m a t r i z S t a l q u e S

; 1

A S s e a

d i a g o n a l .

S o l u c i o n :

B u s q u e m o s e l p o l i n o m i o c a r a c t e r s t i c o :

d e t ( A ; t I ) = ; ( t ; 1 )

2

( t ; 2 )

l u e g o l o s v a l o r e s p r o p i o s d e A s o n t

1

= 1 d o b l e y t

2

= 2

P a r a q u e A d i a g o n a l i c e , h a d e v e r i c a r s e :

1 d i m k e r ( A ; t

i

I ) = m u l t i p l i c i d a d d e l a r a z t

i





E s t u d i e m o s p u e s e l c a s o t

1

= 1

d i m K e r ( A ; I ) = 3 ; r a n g o

0

@

; ; ;

; 1

0 0 1

1

A

=

3 ; 1 = 2 p a r a = 0

3 ; 2 = 1 p a r a 6= 0

l u e g o , s o l o d i a g o n a l i z a p a r a = 0 . S e a p u e s = 0 y b u s q u e m o s l a m a t r i z S ( m a t r i z

d e l o s v e c t o r e s p r o p i o s ) .

S e a n f v

1

v

2

g b a s e d e K e r ( A ; I )

0

@

0 0 0

0 0 ; 1

0 0 1

1

A

0

@

x

y

z

1

A

=

0

@

0

0

0

1

A

)

; z = 0

z = 0

s e a n p u e s v

1

= ( 1 0 0 ) v

2

= ( 0 1 0 )

y f v

3

g b a s e d e K e r ( A + I )

0

@

; 1 0 0

0 ; 1 ; 1

0 0 0

1

A

0

@

x

y

z

1

A

=

0

@

0

0

0

1

A

)

; x = 0

; y ; z = 0

S e a p u e s v

3

= ( 0 1 ; 1 )

l u e g o S =

0

@

1 0 0

0 1 1

0 0 ; 1

1

A

y e n e f e c t o , s e t i e n e q u e D = S

; 1

A S

D =

0

@

1 0 0

0 1 0

0 0 2

1

A

=

0

@

1 0 0

0 1 1

0 0 ; 1

1

A

0

@

1 0 0

0 1 ; 1

0 0 2

1

A

0

@

1 0 0

0 1 1

0 0 ; 1

1

A

N o t a : E n e s t e c a s o S = S

; 1

8 S e a f : R

3

; ! R

3

u n e n d o m o r s m o d i a g o n a l i z a b l e q u e a d m i t e p o r v e c t o r e s

p r o p i o s a l o s v

1

= ( ; 1 2 2 ) v

2

= ( 2 2 ; 1 ) v

3

= ( 2 ; 1 2 ) y s a b e m o s q u e

f ( 5 2 5 ) = ( 0 0 7 ) . H a l l a r l o s v a l o r e s p r o p i o s d e f




9 2


S o l u c i o n :

P u e s t o q u e f ( v

i

) =

i

v

i

e x p r e s a r e m o s l o s v e c t o r e s ( 5 2 5 ) y ( 0 0 7 ) e n l a b a s e

f o r m a d a p o r l o s v e c t o r e s p r o p i o s d e f y a p l i c a m o s f , a l p r i m e r o

S =

0

@

; 1 2 2

2 2 ; 1

2 ; 1 2

1

A

S

; 1

=

1

9

0

@

; 1 2 2

2 2 ; 1

2 ; 1 2

1

A

p o r l o t a n t o

1

9

0

@

; 1 2 2

2 2 ; 1

2 ; 1 2

1

A

0

@

5

2

5

1

A

=

0

@

1

1

2

1

A

1

9

0

@

; 1 2 2

2 2 ; 1

2 ; 1 2

1

A

0

@

0

0

7

1

A

=

1

9

0

@

1 4

; 7

1 4

1

A

l u e g o

f ( 1 1 2 ) = f ( v

1

+ v

2

+ 2 v

3

) = f ( v

1

) + f ( v

2

) + 2 f ( v

3

) =

=

1

v

1

+

2

v

2

+ 2

3

v

3

=

1 4

9

v

1

;

7

9

v

2

+

1 4

9

v

3

Y

1

=

1 4

9

2

= ;

7

9

3

=

7

9

y a q u e f v

i

g e s u n a b a s e d e l e s p a c i o y l a e x p r e s i o n

d e u n v e c t o r e n u n a d e t e r m i n a d a b a s e e s u n i c a .

9 S e a f u n e n d o m o r s m o d e R

n

. P r o b a r q u e s i 2 R e s u n v a l o r p r o p i o d e

f e n t o n c e s

p

e s u n v a l o r p r o p i o d e f

p

8 p 2 N y l o s s u b e s p a c i o s p r o p i o s r e s p e c t i v o s

E E

p

s o n t a l e s q u e E E

p

. D a r u n e j e m p l o e n e l q u e E 6= E

p

S o l u c i o n :

S e a u n v a l o r p r o p i o , e x i s t e p u e s u n v e c t o r x 2 R

n

x 6= 0 t a l q u e f ( x ) = x

l u e g o

f

2

( x ) = f ( f ( x ) ) = f ( x ) = f ( x ) =

2

x





e s d e c i r

2

e s v a l o r p r o p i o d e f

2

d e v e c t o r p r o p i o x

S u p o n g a m o s q u e h e m o s p r o b a d o q u e t a m b i e n

p ; 1


p ; 1

d e v e c t o r

p r o p i o x , e n t o n c e s

f

p

( x ) = f ( f

p ; 1

( x ) ) = f (

p ; 1

x ) =

p ; 1

f ( x ) =

p ; 1

x =

p

x

l u e g o

p


p

d e v e c t o r p r o p i o x , y o b v i a m e n t e , p a r a t o d o v e c t o r

x p r o p i o d e v a l o r p r o p i o d e f , p o d e m o s a p l i c a r l e e l r a z o n a m i e n t o a n t e r i o r , y s e

t i e n e

E E

p

V e a m o s q u e l a i g u a l d a d e n g e n e r a l e s f a l s a s e a f 2 E n d ( R

3

) t a l q u e s u m a t r i z e n l a

b a s e n a t u r a l e s

0

@

0 0 0

1 0 0

0 1 0

1

A

t e n e m o s q u e f e

3

g e s e l s u b e s p a c i o d e v e c t o r e s p r o p i o s d e v a l o r p r o p i o c e r o . S i n e m -

b a r g o f

2

e s t a l q u e s u m a t r i z e n l a b a s e n a t u r a l e s

0

@

0 0 0

0 0 0

1 0 0

1

A

y f e

2

e

3

g e s e l s u b e s p a c i o d e v e c t o r e s p r o p i o s d e v a l o r p r o p i o c e r o y c l a r a m e n t e

E 6 E

2

1 0 S e a A l a m a t r i z

0

@

1 2 2

2 1 2

2 2 1

1

A




9 4


D e t e r m i n a r A

n

, p a r a t o d o n 2 N

S o l u c i o n :

S i D e s u n a m a t r i z d i a g o n a l D = (

i i

) s e t i e n e c l a r a m e n t e D

n

= (

n

i i

)

S i A e s d i a g o n a l i z a b l e , e x i s t e S t a l q u e D = S

; 1

A S y

D

n

= ( S

; 1

A S )

n

= S

; 1

A

n

S l u e g o A

n

= S D

n

S

; 1

V e a m o s s i A e s d i a g o n a l i z a b l e :

d e t ( A ; t I ) = ; ( t + 1 )

2

( t + 5 )

l o s v a l o r e s p r o p i o s s o n t = ; 1 d o b l e y t = 5

d i m K e r ( A + I ) = 3 ; r a n g o

0

@

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1

A

= 3 ; 1 = 2

l u e g o A d i a g o n a l i z a .

B u s q u e m o s l a m a t r i z S :

v

1

v

2

2 K e r ( A + I )

0

@

2 2 2

2 2 2

2 2 2

1

A

0

@

x

y

z

1

A

=

0

@

0

0

0

1

A

) x + y + z = 0 )

v

1

= (

p

2

2

;

p

2

2

0 )

v

2

= (

p

6

6

p

6

6

;

p

6

3

)

9

>

>

=

>

>

v

3

2 K e r ( A ; 5 I )

0

@

; 4 2 2

2 ; 4 2

2 2 ; 4

1

A

0

@

x

y

z

1

A

)

; 2 x + y + z = 0

x ; 2 y + z = 0

) v

3

= (

p

3

3

p

3

3

p

3

3

)

l u e g o





D =

0

B

B

B

B

@

p

2

2

;

p

2

2

0

p

6

6

p

6

6

;

p

6

3

p

3

3

p

3

3

p

3

3

1

C

C

C

C

A

0

B

B

B

@

1 2 2

2 1 2

2 2 1

1

C

C

C

A

0

B

B

B

B

@

p

2

2

p

6

6

p

3

3

;

p

2

2

p

6

6

p

3

3

0 ;

p

6

3

p

3

3

1

C

C

C

C

A

=

=

0

@

; 1 0 0

0 ; 1 0

0 0 5

1

A

Y

D

n

=

0

@

( ; 1 )

n

( ; 1 )

n

5

n

1

A

F i n a l m e n t e

A

n

= S D

n

S

; 1

=

=

0

B

B

B

@

2

3

( ; 1 )

n

+

1

3

5

n

;

1

3

( ; 1 )

n

+

1

3

5

n

1

3

( ; 1 )

n + 1

+

1

3

5

n

;

1

3

( ; 1 )

n

+

1

3

5

n

2

3

( ; 1 )

n

+

1

3

5

n

( ; 1 )

n

1

3

+

1

3

5

n

1

3

( ; 1 )

n + 1

+

1

3

5

n

1

3

( ; 1 )

n

+

1

3

5

n

( ; 1 )

n

2

3

+

1

3

5

n

1

C

C

C

A

1 1 a ) S e a A 2 M

n n

( C ) . P r o b a r q u e A y A

t

t i e n e n e l m i s m o p o l i n o m i o c a r a c -

t e r s t i c o .

b ) S e a n A 2 M

n n

( C ) , B 2 M

m m

( C ) , C 2 M

n m

( C ) , t a l e s q u e A C ; C B = C

P r o b a r q u e

8 p 2 N A

p

C = C ( I

m

+ B )

p

c ) S e a E = M

n m

( C ) y f u n e n d o m o r s m o d e E d e n i d o d e l a f o r m a f ( X ) =

A X ; X B c o n A 2 M

n n

( C ) y B 2 M

m m

( C ) j a s . P r o b a r q u e 2 C e s u n v a l o r

p r o p i o d e f s i y s o l o s i =

i

;

j

c o n

i

y

j

v a l o r e s p r o p i o s d e l o s e n d o m o r s m o s

d e C

n

y C

m

a s o c i a d o s a l a s m a t r i c e s A y B r e s p e c t i v a m e n t e .




9 6


S o l u c i o n :

a ) E n e f e c t o : d e t ( A ; I ) = d e t ( A ; I )

t

= d e t ( A

t

; I )

b ) V e a m o s l o p o r i n d u c c i o n r e s p e c t o a p . S e v e r i c a c l a r a m e n t e p a r a p = 1 : d e

A C ; C B = C t e n e m o s

A C = C + C B = C ( I

m

) + C B = C ( I

m

+ B )

s u p o n g a m o s a h o r a q u e e s c i e r t o p a r a p y v e a m o s q u e l o e s p a r a p + 1

A

p + 1

C = A A

p

C = A ( C ( I

m

+ B )

p

) = ( A C ) ( I

m

+ B )

p

=

= ( C ( I

m

+ B ) ) ( I

m

+ B )

p

= C ( I

m

+ B )

p + 1

c ) S e a f

1

: : :

n

g e l c o n j u n t o d e v a l o r e s p r o p i o s d e A y f

1

: : :

j

g e l c o n j u n t o d e

v a l o r e s p r o p i o s d e B

S e a

i

u n v a l o r p r o p i o d e A , e x i s t e v v e c t o r c o l u m n a d e C

n

; f 0 g t a l q u e A v =

i

v

S e a

j

u n v a l o r p r o p i o d e B e n t o n c e s , p o r a , e s t a m b i e n v a l o r p r o p i o d e B

t

, p o r l o q u e

e x i s t e w v e c t o r c o l u m n a d e C

m

; f 0 g t a l q u e B

t

w =

j

w y p o r t a n t o w

t

B =

j

w

t

S e a a h o r a X = v w

t

2 M

n m

( C )

f ( X ) = A X ; X B = A v w

t

; v w

t

B =

=

i

v w

t

;

j

v w

t

= (

i

;

j

) v w

t

= (

i

;

j

) X

p o r l o q u e

i

;

j

e s u n v a l o r p r o p i o d e f

R e c p r o c a m e n t e

S e a X 6= 0 u n v e c t o r p r o p i o d e f d e v a l o r p r o p i o ( f ( X ) = X )

S e a P ( t ) = ( ; 1 )

n

( t ;

1

) ( t ;

n

) ( l o s

i

n o n e c e s a r i a m e n t e d i s t i n t o s ) e l p o l i n o m i o

c a r a c t e r s t i c o d e A ( r e c u e r d e s e q u e C e s a l g e b r a i c a m e n t e c e r r a d o p o r l o q u e t o d o s l o s

f a c t o r e s p r i m o s d e P ( t ) s o n d e g r a d o 1 ) .

P o r e l t e o r e m a d e C a y l e y - H a m i l t o n P ( A ) = 0 p o r l o q u e P ( A ) X = 0 . A h o r a b i e n ,

p o r b , P ( A ) X = X P ( I

m

+ B )

T e n e m o s p u e s

0 = X P ( I

m

+ B ) = X ( I

m

;

1

I

m

) ( I

m

;

n

I

m

) =

= X ( ( ;

1

) I

m

+ B ) ( ( ;

n

) I

m

+ B ) = X C C 2 M

m m

( C )





X e s u n a m a t r i z n o n u l a p o r l o q u e C n o p u e d e s e r d e r a n g o m a x i m o :

d e t C =

n

Y

i = 1

( d e t ( ( ;

i

) I

m

+ B ) ) = 0

e x i s t e , p u e s , a l g u n i p a r a e l c u a l d e t ( ( ;

i

) I

m

+ B ) = 0 e s d e c i r ; ( ;

i

) e s u n

v a l o r p r o p i o d e B p o r l o q u e e x i s t e a l g u n j p a r a e l c u a l

j

= ; ( ;

i

) , e s d e c i r

=

i

;

j




9 8





F o r m a r e d u c i d a d e J o r d a n 9 9

C a p t u l o 7 F o r m a r e d u c i d a d e J o r d a n

1 H a l l a r e l p o l i n o m i o a n u l a d o r d e l a m a t r i z :

A =

0

@

2 0 0

0 2 0

1 2 2

1

A

s i n u t i l i z a r e l p o l i n o m i o c a r a c t e r s t i c o .

H a y q u e b u s c a r u n p o l i n o m i o P ( t ) = a

0

+ a

1

t + + a

r

t

r

t a l q u e P ( A ) =

a

0

I + a

1

A + + a

r

A

r

s e a l a m a t r i z n u l a .

E m p e c e m o s s u p o n i e n d o q u e P ( t ) e s u n p o l i n o m i o d e p r i m e r g r a d o : a

0

+ a

1

t y p l a n t e e m o s

P ( A ) = a

0

I + a

1

A = 0 e s d e c i r

0

@

a

0

0 0

0 a

0

0

0 0 a

0

1

A

+

0

@

2 a

1

0 0

0 2 a

1

0

a

1

2 a

1

2 a

1

1

A

=

0

@

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1

A

l o c u a l i m p l i c a :

a

0

+ 2 a

1

= 0

a

1

= 0

o s e a a

0

= a

1

= 0

E s t o n o s d i c e q u e n o p u e d e f o r m a r s e l a m a t r i z n u l a p o r c o m b i n a c i o n l i n e a l n o n u l a d e

I y A p o r l o q u e P ( t ) n o p u e d e s e r d e p r i m e r g r a d o .

I n t e n t e m o s a h o r a c o n u n p o l i n o m i o d e s e g u n d o g r a d o P ( t ) = a

0

+ a

1

t + a

2

t

2

y

c a l c u l e m o s A

2




1 0 0


A

2

=

0

@

4 0 0

0 4 0

4 8 4

1

A

a

0

0

@

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1

A

+ a

1

0

@

2 0 0

0 2 0

1 2 2

1

A

+ a

2

0

@

4 0 0

0 4 0

4 8 4

1

A

=

0

@

0 0 0

0 0 0

0 0 0

1

A

l o c u a l i m p l i c a

a

0

+ 2 a

1

+ 4 a

2

= 0

a

1

+ 4 a

2

= 0

) a

0

= ; a

1

= 4 a

2

P u e d e t o m a r s e a

0

= 4 a

1

= ; 4 a

2

= 1 , p a r a t e n e r P ( t ) n o r m a l i z a d o , p o r l o q u e

P ( t ) = t

2

; 4 t + 4 = ( t ; 2 )

2

2 S a b i e n d o q u e u n e n d o m o r s m o f d e R

1 1

t i e n e ( t + 1 )

2

( t ; 4 )

3

( t + 2 )

6

c o m o p o l i -

n o m i o c a r a c t e r s t i c o y ( t + 1 )

2

( t ; 4 ) ( t + 2 )

3

c o m o p o l i n o m i o a n u l a d o r . > C u a l e s s o n

s u s p o s i b l e s f o r m a s d e J o r d a n ?

S o l u c i o n :

D e :

Q ( t ) = ( t + 1 )

2

( t ; 4 )

3

( t + 2 )

6

P ( t ) = ( t + 1 )

2

( t ; 4 ) ( t + 2 )

3

S e t i e n e l a 1

a

d e s c o m p o s i c i o n :

R

1 1

= K e r ( f + I )

2

K e r ( f ; 4 I ) K e r ( f + 2 I )

3

= E

1

E

2

E

3




F o r m a r e d u c i d a d e J o r d a n 1 0 1

P a s e m o s a l a d e s c o m p o s i c i o n d e l o s E

i

e n m o n o g e n o s e l p o l i n o m i o a n u l a d o r d e E

1

e s

( t + 1 )

2

, l u e g o l a d i m e n s i o n d e l m o n o g e n o m a y o r e s 2 y c o i n c i d e c o n e l p o l i n o m i o

c a r a c t e r s t i c o ( t + 1 )

2

, q u e n o s d i c e q u e d i m E

1

= 2 , l u e g o e n E

1

h a y u n s o l o

m o n o g e n o E

1

= E

1 1

, y l a m a t r i z d e f r e s t r i n g i d a a E

1

e s :

; 1 0

1 ; 1

E l p o l i n o m i o a n u l a d o r d e E

2

e s ( t ; 4 ) , l u e g o f r e s t r i n g i d o a E

2

d i a g o n a l i z a , y a

q u e l a d i m e n s i o n d e l m o n o g e n o m a y o r e s 1 , y p u e s t o q u e e l p o l i n o m i o c a r a c t e r s t i c o

r e s t r i n g i d o a E

2

e s ( t ; 4 )

3

, s e t i e n e q u e l a d i m e n s i o n d e E

2

e s 3 , p o r l o q u e h a y

t r e s m o n o g e n o s e n E

2

d e d i m e n s i o n 1 y e s E

2

= E

2 1

E

2 2

E

2 3

y l a m a t r i z d e

f r e s t r i n g i d a a E

2

e s :

0

@

4 0 0

0 4 0

0 0 4

1

A

E l p o l i n o m i o a n u l a d o r d e E

3

e s ( t + 2 )

3

, l u e g o l a d i m e n s i o n d e l m o n o g e n o m a y o r e s

3 y p u e s t o q u e e l p o l i n o m i o c a r a c t e r s t i c o d e E

3

e s ( t + 1 )

6

, l a d i m e n s i o n d e E

3

e s

6 , l u e g o n o t e n e m o s u n v o c a m e n t e d e t e r m i n a d a l a d e s c o m p o s i c i o n d e E

3

L a s p o s i b i l i d a d e s s o n :

a ) E

3 1

E

3 2

c o n d i m E

3 1

= d i m E

3 2

= 3

b ) E

3 1

E

3 2

E

3 3

c o n d i m E

3 1

= 3 , d i m E

3 2

= 2 y d i m E

3 3

= 1

c ) E

3 1

E

3 2

E

3 3

E

3 4

c o n d i m E

3 1

= 3 , d i m E

3 2

= d i m E

3 3

= d i m E

3 4

= 1

Y l a m a t r i z f r e s t r i n g i d a a E

3

e s

a )

0

B

B

B

B

B

@

; 2 0 0

1 ; 2 0

0 1 ; 2

; 2 0 0

1 ; 2 0

0 1 ; 2

1

C

C

C

C

C

A

b )

0

B

B

B

B

B

@

; 2 0 0

1 ; 2 0

0 1 ; 2

; 2 0

1 ; 2

; 2

1

C

C

C

C

C

A




1 0 2


c )

0

B

B

B

B

B

@

; 2 0 0

1 ; 2 0

0 1 ; 2

; 2

; 2

; 2

1

C

C

C

C

C

A

l u e g o , l a s p o s i b l e s f o r m a s d e J o r d a n , s o n

a )

0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

@

; 1 0

1 ; 1

4

4

4

; 2

1 ; 2

1 ; 2

; 2

1 ; 2

1 ; 2

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A

b )

0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

@

; 1

1 ; 1

4

4

4

; 2

1 ; 2

1 ; 2

; 2

1 ; 2

; 2

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A





c )

0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

@

; 1 0

1 ; 1

4

4

4

; 2

1 ; 2

1 ; 2

; 2

; 2

; 2

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A

3 > E s l a m a t r i z

0

B

B

B

B

B

B

B

@

0 2

1 3

0 2

1 3

2 0

1 2

2

1

C

C

C

C

C

C

C

A

r e d u c i d a d e J o r d a n d e a l g u n e n d o m o r s m o ?

S o l u c i o n :

S i l o f u e s e e l p o l i n o m i o a n u l a d o r s e r a

P ( t ) = ( ; 2 ; 3 t + t

2

) ( t ; 2 )

2

( ; 2 ; 3 t + t

2

) e s e l p o l i n o m i o a n u l a d o r d e

0 2

1 3

p e r o ; 2 ; 3 t + t

2

n o e s p r i m o :

( ; 2 ; 3 t + t

2

) = ( t ;

3 +

p

1 7

2

) ( t ;

3 ;

p

1 7

2

)

l u e g o l a m a t r i z a n t e r i o r n o p u e d e s e r r e d u c i d a d e J o r d a n .




1 0 4


4 H a l l a r l a f o r m a r e d u c i d a d e J o r d a n d e l e n d o m o r s m o d e R

4

c u y a m a t r i z e n l a

b a s e n a t u r a l e s

A =

0

B

@

0 1 0 0

0 0 2 0

0 0 0 3

0 0 0 0

1

C

A

S o l u c i o n :

H a l l e m o s e l p o l i n o m i o c a r a c t e r s t i c o :

d e t ( A ; t I ) = t

4

( O b v i o y a q u e l a m a t r i z e s t r i a n g u l a r ) .

d i m K e r ( A ; 0 I ) = 4 ; r a n g o A = 4 ; 3 = 1 ( n o d i a g o n a l i z a , p u e s 1 6= 4 )

d i m K e r ( A ; 0 I )

2

= 4 ; r a n g o A

2

= 4 ; r a n g o

0

B

@

0 0 2 0

0 0 0 6

0 0 0 0

0 0 0 0

1

C

A

= 4 ; 2 = 2

d i m K e r ( A ; 0 I )

3

= 4 ; r a n g o A

3

= 4 ; r a n g o

0

B

@

0 0 0 6

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

1

C

A

= 4 ; 1 = 3

d i m K e r ( A ; 0 I )

4

= 4 ; r a n g o A

4

= 4 ; r a n g o 0 = 4

L u e g o , t e n e m o s

f n

o

d e s u b e s p a c i o s d e d i m 1 g = d i m K e r f = 1

f n

o

d e s u b e s p a c i o s d e d i m 2 g = d i m K e r f

2

; d i m K e r f = 1

f n

o


3

; d i m K e r f

2

= 1

f n

o


4

; d i m K e r f

3

= 1

l u e g o h a y u n s o l o s u b e s p a c i o i r r e d u c i b l e d e d i m 4 y l a m a t r i z r e d u c i d a e s





0

B

@

0 0 0 0

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

1

C

A

N o t a : e s t o y a s e p o d a p r e v e e r , p u e s t o q u e a l s e r

d i m K e r ( A ; 0 I ) = d i m K e r f = 1

e l s u b e s p a c i o d e v e c t o r e s p r o p i o s c o r r e s p o n d i e n t e a l v a l o r p r o p i o c e r o e s d e d i m 1 y e n

c a d a s u b e s p a c i o m o n o g e n o h a y u n s u b e s p a c i o d e d i m 1 i n v a r i a n t e , l u e g o s o l o p u e d e

h a b e r u n m o n o g e n o .

5 D a d o e l e n d o m o r s m o d e R

5

c u y a m a t r i z e n l a b a s e n a t u r a l v i e n e d a d a p o r

0

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

B

@

3

2

1

2

;

1

2

1

2

1

2

1

2

5

2

;

1

2

1

2

;

1

2

1

2

1

2

3

2

1

2

;

1

2

1

2

;

1

2

1

2

5

2

;

1

2

0 0 0 1 2

1

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

C

A

H a l l a r :

a ) p o l i n o m i o s c a r a c t e r s t i c o y a n u l a d o r

b ) l o s s u b e s p a c i o s m o n o g e n o s c o r r e s p o n d i e n t e s

c ) u n a b a s e d e e s t o s s u b e s p a c i o s m o n o g e n o s , d i c i e n d o q u e v e c t o r e s s o n

p r o p i o s y e s c r i b i r e n e s t a b a s e l a m a t r i z d e l e n d o m o r s m o .

S o l u c i o n :

a ) P o l i n o m i o c a r a c t e r s t i c o




1 0 6


Q ( t ) = d e t ( A ; t I ) = ; ( t ; 2 )

5

v e a m o s e l a n u l a d o r :

d i m K e r ( A ; 2 I ) = 5 ; r a n g o ( A ; 2 I ) = 5 ; 3 = 2

( p o r s e r d e d i m e n s i o n d o s h a b r a d o s v e c t o r e s p r o p i o s l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s , c o n

v a l o r p r o p i o d o s . P o r t a n t o , c o m o e n c a d a s u b e s p a c i o m o n o g e n o h a y u n v e c t o r p r o p i o ,

h a b r a d o s s u b e s p a c i o s m o n o g e n o s )

d i m K e r ( A ; 2 I )

2

= 5 ; r a n g o ( A ; 2 I )

2

) = 5 ; 1 = 4

d i m K e r ( A ; 2 I )

3

= 5 ; r a n g o ( A ; 2 I )

3

= 5

l u e g o ( t ; 2 )

3

a n u l a a t o d o e l e s p a c i o , l u e g o a l p o l i n o m i o a n u l a d o r e s :

P ( t ) = ( t ; 2 )

3

b ) P o r s e r d i m K e r ( A ; 2 I ) = 2 , h a y d o s m o n o g e n o s d e d i m 1

d i m K e r ( A ; 2 I )

2

; d i m K e r ( A ; 2 I ) = 4 ; 2 = 2 , h a y d o s m o n o g e n o s d e d i m 2

d i m K e r ( A ; 2 I )

3

; d i m K e r ( A ; 2 I )

2

= 5 ; 4 = 1 , h a y u n m o n o g e n o d e d i m 3

l u e g o , h a y u n m o n o g e n o d e d i m 3 , y u n m o n o g e n o d e d i m 2

c ) H a l l e m o s u n a b a s e d e l p r i m e r m o n o g e n o f u

1

u

2

u

3

g

u

1

2 K e r ( A ; 2 I )

3

= R

5

, l u e g o u

1

p u e d e s e r c u a l q u i e r v e c t o r t a l q u e ( A ; 2 I )

2

u

1

6=

0 y p u e s t o q u e

K e r ( A ; 2 I )

2

= f ( x y z t k ) =

1

2

x ;

1

2

y +

1

2

z +

1

2

t ;

1

2

k = 0 g

P o d e m o s t o m a r p o r e j e m p l o u

1

= ( 0 0 1 1 0 ) , e n t o n c e s

u

2

= ( A ; 2 I ) u

1

= ( 0 0 0 1 1 )

u

3

= ( A ; 2 I )

2

u

1

= ( A ; 2 I ) u

2

= ( 1 0 0 0 1 )





y u

3

e s v e c t o r p r o p i o ( ( A ; 2 I ) u

3

= ( A ; 2 I )

3

u

1

= 0 u

1

= 0 ) .

H a l l e m o s a h o r a u n a b a s e d e l s e g u n d o m o n o g e n o u

4

u

5

:

u

4

2 K e r ( A ; 2 I )

2

y u

4

= 2 K e r ( A ; 2 I )

K e r ( A ; 2 I )

2

= f ( x y z t k ) =

1

2

x ;

1

2

z +

1

2

t ;

1

2

k = 0 g

K e r ( A ; 2 I ) = f ( x y z t k ) = ; x + y ; z + t + k = 0 x + y ; z + t ; k = 0

x ; y + z + t ; k = 0 y = 0 g

O b s e r v a m o s q u e u

2

2 K e r ( A ; 2 I )

2

u

2

= 2 K e r ( A ; 2 I ) , l u e g o t e n e m o s q u e t o m a r l a

p r e c a u c i o n d e e l e g i r u

4

d e f o r m a q u e u

4

( A ; 2 I ) u

4

= u

5

s e a n l i n e a l m e n t e i n d e p e n -

d i e n t e s d e u

2

u

3

S e a p u e s

u

4

= ( 1 1 0 0 0 )


u

5

= ( A ; 2 I ) u

4

= ( 0 1 1 0 0 )

y u

5

e s v e c t o r p r o p i o .

V a y a m o s a d e t e r m i n a r l a m a t r i z d e f e n l a b a s e f u

1

u

2

u

3

u

4

u

5

g :

( A ; 2 I ) u

1

= u

2

) A u

1

; 2 u

1

= u

2

) A u

1

= 2 u

1

+ u

2

( A ; 2 I ) u

2

= u

3

) A u

1

; 2 u

2

= u

3

) A u

2

= 2 u

2

+ u

3

( A ; 2 I ) u

3

= 0 ) A u

3

; 2 u

3

= 0 ) A u

3

= 2 u

3

( A ; 2 I ) u

4

= u

5

) A u

4

; 2 u

4

= u

5

) A u

4

= 2 u

4

+ u

5

( A ; 2 I ) u

5

= 0 ) A u

5

; 2 u

5

= 0 ) A u

5

= 2 u

5

l u e g o , l a m a t r i z e s




1 0 8


J =

0

B

B

B

@

2

1 2

1 2

2

1 2

1

C

C

C

A

y c l a r a m e n t e J = S

; 1

A S , d o n d e

S =

0

B

B

B

@

0 0 1 1 0

0 0 0 1 1

1 0 0 0 1

1 1 0 0 0

0 1 1 0 0

1

C

C

C

A

6 S e a f 2 E n d ( R

3

) c u y a m a t r i z e n l a b a s e n a t u r a l e s

A

1

=

0

B

B

B

@

1

1

2

1

0 1 0

0 1 1

1

C

C

C

A

y s e a g 2 E n d ( R

3

) c u y a m a t r i z e n u n a c i e r t a b a s e : B = f v

1

v

2

v

3

g e s

A

2

=

0

@

; 1 ; 7 ; 2

2 6 1

; 2 ; 9 ; 2

1

A

> P u e d e n s e r f y g e l m i s m o e n d o m o r s m o ?

S o l u c i o n :

P a r a q u e A

1

y A

2

p u e d a n r e p r e s e n t a r e l m i s m o e n d o m o r s m o h a d e e x i s t i r u n a m a t r i z

S t a l q u e S

; 1

A

1

S = A

2

V e a m o s c o m o p o d e m o s d e t e r m i n a r d i c h a m a t r i z : b u s q u e m o s ( s i e x i s t e n ) l a s f o r m a s

r e d u c i d a s d e J o r d a n d e f y g . S i s o n e l m i s m o e n d o m o r s m o , c o i n c i d i r a n y t e n d r e m o s





A

1

= S

; 1

1

J S

1

A

2

= S

; 1

2

J S

2

c o n l o c u a l t e n d r e m o s

S

1

A

1

S

; 1

1

= J

S

2

A

2

S

; 1

2

= J

)

) S

1

A

1

S

; 1

1

= S

2

A

2

S

; 1

2

) ( S

; 1

1

S

2

)

; 1

A

1

( S

; 1

1

S

2

) = A

2

y S = S

; 1

1

S

2

e s l a m a t r i z b u s c a d a y a q u e s e v e r i c a : S

; 1

A

1

S = A

2

E s t u d i e m o s p u e s A

1

d e t ( A

1

; t I ) = ; ( t ; 1 )

3

d i m K e r ( A

1

; I ) = 1

l u e g o h a y u n s o l o m o n o g e n o y J s e r a

J =

0

@

1 0 0

1 1 0

0 1 1

1

A

y l a b a s e d e J o r d a n e s

w

1

2 K e r ( A

1

; I )

3

= R

3

w

1

= 2 K e r ( A

1

; I )

2

p o r e j e m p l o w

1

= ( 0 1 0 )

w

2

= ( A

1

; I ) w

1

= (

1

2

0 1 )

w

3

= ( A

1

; I )

2

w

1

= ( A ; I ) w

2

= ( 1 0 0 )

y S

1

=

0

B

B

B

@

0 1 0

0 0 1

1 0 ;

1

2

1

C

C

C

A

S

; 1

1

=

0

B

B

B

@

0

1

2

1

1 0 0

0 1 0

1

C

C

C

A




1 1 0


P a s e m o s a e s t u d i a r , a h o r a , A

2

d e t ( A

2

; t I ) = ; ( t ; 1 )

3

d i m K e r ( A

2

; I ) = 1

l u e g o h a y u n s o l o m o n o g e n o y

J =

0

@

1 0 0

1 1 0

0 1 1

1

A

y l a b a s e d e J o r d a n e s

u

1

2 K e r ( A

2

; I )

3

= R

3

u

1

= 2 K e r ( A

2

; I )

2

p o r e j e m p l o u

1

= ( 8 ; 5 1 0 )

u

2

= ( A

2

; I ) u

1

= ( 1 ; 1 1 )

u

3

= ( A

2

; I )

2

u

1

= ( A

2

; I ) u

2

= ( ; 3 2 ; 4 )

y S

2

=

0

@

2 1 ; 1

0 2 1

5 2 ; 3

1

A

S

; 1

2

=

0

@

8 ; 1 ; 3

; 5 1 2

1 0 ; 1 ; 4

1

A

y p o r l o t a n t o :

S = S

; 1

1

S

2

=

0

B

B

B

@

5 3 ;

5

2

2 1 ; 1

0 2 1

1

C

C

C

A

7 S e a f = ( D + I ) : P

2

( R ) ; ! P

2

( R ) d o n d e P

2

( R ) e s e l e s p a c i o d e p o l i n o m i o s d e

g r a d o m e n o r o i g u a l q u e d o s a c o e c i e n t e s r e a l e s y D e s l a a p l i c a c i o n d e r i v a d a

a ) d e t e r m i n a r l a f o r m a r e d u c i d a d e J o r d a n a s c o m o l a b a s e p a r a l a c u a l l a m a t r i z

a d o p t a d i c h a f o r m a





b ) p r o b a r q u e f

; 1

e s u n p o l i n o m i o e n f y u t i l i z a r d i c h o r e s u l t a d o p a r a d e t e r m i n a r

l a m a t r i z d e f

; 1

e n l a b a s e n a t u r a l f x

2

x 1 g

S o l u c i o n :

a ) E n l a b a s e f x

2

x 1 g , l a m a t r i z d e f a d o p t a l a f o r m a

A =

0

@

1 0 0

2 1 0

0 1 1

1

A

d e t ( A ; t I ) = ; ( t ; 1 )

3

d i m K e r ( A ; I ) = 3 ; r a n g o ( A ; I ) = 3 ; 2 = 1

l u e g o h a y u n s o l o m o n o g e n o y l a m a t r i z r e d u c i d a d e J o r d a n e s

J =

0

@

1 0 0

1 1 0

0 1 1

1

A

B u s q u e m o s l a b a s e d e J o r d a n :

v

1

2 K e r ( A ; I )

3

= R

3

v

1

= 2 K e r ( A ; I )

2

= f ( x y z ) = x = 0 g

v

1

= ( 1 0 0 )

v

2

= ( A ; I ) v

1

= ( 0 2 0 )

v

3

= ( A ; I )

2

v

1

= ( A ; I ) v

2

= ( 0 0 2 )

l u e g o l a b a s e e s f ( 1 0 0 ) ( 0 2 0 ) ( 0 0 2 ) g

b ) E l p o l i n o m i o a n u l a d o r d e f e s ( t ; 1 )

3

, l u e g o

( f ; I )

3

= 0 , f

3

; 3 f

2

+ 3 f ; I = 0

l u e g o




1 1 2


I = f

3

; 3 f

2

+ 3 f = f ( f

2

; 3 f + 3 I ) = ( f

2

; 3 f + 3 I ) f

p o r l o q u e

f

; 1

= f

2

; 3 f + 3 I

Y l a m a t r i z A

; 1

e s :

A

; 1

=

0

@

1 0 0

2 1 0

0 1 1

1

A

2

; 3

0

@

1 0 0

2 1 0

0 1 1

1

A

+ 3

0

@

1

1

1

1

A

=

=

0

@

1 0 0

; 2 1 0

2 ; 1 1

1

A

8 H a l l a r l a f o r m a n o r m a l d e J o r d a n d e l e n d o m o r s m o d e R

4

c u y a m a t r i z e s

A =

0

B

@

3 1 0 0

; 4 ; 1 0 0

7 1 2 1

; 1 7 ; 6 ; 1 0

1

C

A

H a l l a n d o l a b a s e d e R

4

e n l a c u a l l a m a t r i z d e l e n d o m o r s m o a d o p t a d i c h a

f o r m a n o r m a l .

S o l u c i o n :

C a l c u l e m o s l o s p o l i n o m i o s c a r a c t e r s t i c o y a n u l a d o r d e A

d e t ( A ; t I ) = d e t ( (

3 1

; 4 ; 1

) ; t I

2

) d e t ( (

2 1

; 1 0

) ; t I

2

) =

= ( t ; 1 )

4

d i m K e r ( A ; t I ) = 4 ; r a n g o ( A ; I ) = 4 ; 2 = 2





l u e g o h a y d o s m o n o g e n o s

d i m K e r ( A ; I )

2

= 4 ; r a n g o ( A ; I )

2

= 4 ; 0 = 4 = d i m R

4

l u e g o s o n d o s m o n o g e n o s d e d i m 2 y l a f o r m a d e J o r d a n e s

J =

0

B

@

1 0 0 0

1 1 0 0

0 0 1 0

0 0 1 1

1

C

A

Y R

4

= E

1

E

2

c o n d i m E

i

= 2 p a r a i = 1 2

B u s q u e m o s l a b a s e d e J o r d a n :

b a s e d e E

1

:

v

1

2 K e r ( A ; I )

2

v

1

= 2 K e r ( A ; I )

v

1

= ( 1 0 0 0 )

v

2

= ( A ; I ) v

1

= ( 2 ; 4 7 ; 1 7 )

b a s e d e E

2

:

v

3

2 K e r ( A ; I )

2

v

3

= 2 K e r ( A ; I )

v

3

= ( 0 1 0 0 )

v

4

= ( A ; I ) v

3

= ( 1 ; 2 1 ; 6 )

h a y q u e t o m a r l a p r e c a u c i o n d e q u e v

3

v

4

s e a n l i n e a l m e n t e i n d e p e n d i e n t e s d e v

1

v

2

9 D e t e r m i n a r l a f o r m a r e d u c i d a d e J o r d a n d e l e n d o m o r s m o d e R

3

c u y a m a t r i z e n

l a b a s e n a t u r a l e s

A =

0

@

1 a a

; 1 1 ; 1

1 0 2

1

A

c o n a 2 R




1 1 4


S o l u c i o n :

B u s q u e m o s e l p o l i n o m i o c a r a c t e r s t i c o :

d e t ( A ; t I ) = ; ( t ; 1 )

2

( t ; 2 )

d i m K e r ( A ; I ) =

(

2 a = 0

1 a 6= 0

P a r a a = 0 f d i a g o n a l i z a , y D e s

D =

0

@

1 0 0

0 1 0

0 0 2

1

A

p a r a a 6= 0 e l v a l o r p r o p i o 1 n o s d a u n u n i c o s u b e s p a c i o m o n o g e n o , y J e s

J =

0

@

1 0 0

1 1 0

0 0 2

1

A

B u s q u e m o s l a b a s e d e J o r d a n : d i s t i n g u i r e m o s d o s c a s o s

1 ) a = 0

v

1

v

2

2 K e r ( A ; I ) = f ( x y z ) = x + z = 0 g

e l e g i m o s v

1

= ( 1 0 ; 1 ) v

2

= ( 0 1 0 )

v

3

2 K e r ( A ; 2 I ) = f ( x y z ) = x = 0 y + z = 0 g

e l e g i m o s v

3

= ( 0 1 ; 1 )

2 ) a 6= 0

v

1

2 K e r ( A ; I )

2

= f ( x y z ) = x + a y + ( a + 1 ) z = 0 g

v

1

= 2 K e r ( A ; I ) = f ( x y z ) = a y + a z = 0 x + z = 0 g





e l e g i m o s v

1

= ( a ; 1 0 )

v

2

= ( A ; I ) v

1

= ( ; a ; a a )

v

3

2 K e r ( A ; 2 I )

v

3

= ( 0 1 ; 1 )

1 0 S e a A 2 M

n

( R ) y s e a H e l R - e s p a c i o v e c t o r i a l g e n e r a d o p o r l a s m a t r i c e s

f I A A

2

A

n ; 1

g

a ) D e m o s t r a r q u e s i B 2 H y B e s i n v e r s i b l e , e n t o n c e s B

; 1

2 H

b ) S i d e t A = 0 , p r o b a r q u e e x i s t e B 2 H B 6= 0 t a l q u e A B = B A = 0

S o l u c i o n :

a ) P o r e l t e o r e m a d e C a y l e y - H a m i l t o n , s a b e m o s q u e e l p o l i n o m i o c a r a c t e r s t i c o

n

+

1

n ; 1

+ +

n

a n u l a a l a m a t r i z :

A

n

+

1

A

n ; 1

+ +

n

I = 0

p o r l o q u e A

n

=

P

n

i = 1

;

i

A

n ; i

2 H , c o n l o c u a l A

m

2 H 8 m n , y t i e n e s e n t i d o

l a a p l i c a c i o n :

f : H ; ! H

C ; ! B C

f e s l i n e a l , p u e s

f ( C

1

+ C

2

) = B ( C

1

+ C

2

) = B C

1

+ B C

2

= f ( C

1

) + f ( C

2

)

f ( C ) = B ( C ) = B C = f ( C )

f e s i n y e c t i v a , p u e s s i B C

1

= B C

2

, a l s e r B i n v e r s i b l e , t e n e m o s B

; 1

( B C

1

) =

B

; 1

( B C

2

) y p o r t a n t o , C

1

= C

2

, y p u e s t o q u e H e s d e d i m e n s i o n n i t a f e s




1 1 6


b i y e c t i v a , l u e g o I 2 H t i e n e a n t i i m a g e n p o r l a a p l i c a c i o n f e s d e c i r , e x i s t e C 2 H

t a l q u e f ( C ) = B C = I , l u e g o C = B

; 1

2 H

N o t a : p u e s t o q u e l a s m a t r i c e s s o n d e o r d e n n i t o d e B C = I , d e d u c i m o s C = B

; 1

S i f u e r a n d e o r d e n i n n i t o , p o d r a s e r q u e B C = I , p e r o C B 6= I

b ) S u p o n g a m o s A 6= 0 s e a p ( ) e l p o l i n o m i o a n u l a d o r d e A t e n e m o s q u e p ( A ) =

P

r

i = 0

i

A

i

= 0 y p u e s t o q u e d e t A = 0 e s

0

= 0 ( y a q u e e l p o l i n o m i o a n u l a d o r

d i v i d e a l c a r a c t e r s t i c o y t i e n e s u s m i s m a s r a c e s ) , l u e g o

1

A + +

r

A

r

= 0

y s e a p u e s B =

1

I + +

r

A

r ; 1

B e s d i s t i n t a d e c e r o , y a q u e s i B = 0 e l p o l i n o m i o a n u l a d o r d e A s e r a

1

+ +

r

x

r ; 1

S i A = 0 , e n t o n c e s 8 B 2 H , t e n e m o s A B = B A = 0




A n a l i s i s m a t r i c i a l 1 1 7

C a p t u l o 8 A n a l i s i s m a t r i c i a l


A =

0

@

3 2 4

2 0 2

4 2 3

1

A

a ) C a l c u l a r e

A

e

t A

b ) U t i l i z a r d i c h o r e s u l t a d o p a r a r e s o l v e r e l s i g u i e n t e s i s t e m a d e e c u a c i o n e s d i f e r e n -

c i a l e s :

8

>

<

>

:

x

0

= 3 x + 2 y + 4 z

y

0

= 2 x + 2 z

z

0

= 4 x + 2 y + 3 z

s a b i e n d o q u e p a r a t = 0 x = 1 y = 2 z = 3

S o l u c i o n :

a ) L a e x p o n e n c i a l d e u n a m a t r i z v i e n e d e n i d a p o r :

e

A

= l i m

p ! 1

( I + A +

1

2 !

A

2

+

1

p !

A

p

)

P u e s t o q u e e x i s t e S t a l q u e A = S D S

; 1

, c o n D m a t r i z d i a g o n a l , t e n e m o s q u e :




1 1 8


e

A

= l i m

p ! 1

( S S

; 1

+ S D S

; 1

+

1

2 !

S D

2

S

; 1

+ +

1

p !

S D

p

S

; 1

) =

= S l i m

p ! 1

( I + D +

1

2 !

D

2

+

1

p !

D

p

) S

; 1

= S e

D

S

; 1

v e a m o s q u e e n e f e c t o e x i s t e n l a s m a t r i c e s S y D

d e t ( A ; I ) = ; ( + 1 )

2

( ; 8 )

d i m k e r ( A + I ) = 2

l u e g o

D =

0

@

; 1 0 0

0 ; 1 0

0 0 8

1

A

d e t e r m i n e m o s S

f v

1

v

2

g b a s e d e k e r ( A + I )

0

@

4 2 4

2 1 2

4 2 4

1

A

0

@

x

y

z

1

A

=

0

@

0

0

0

1

A

) 2 x + y + 2 z = 0 )

v

1

= ( 1 0 ; 1 )

v

2

= ( 0 2 ; 1 )

9

=

v

3

2 k e r ( A ; 8 I )

0

@

; 5 2 4

2 ; 8 2

4 2 ; 5

1

A

0

@

x

y

z

1

A

=

0

@

0

0

0

1

A

)

; 5 x + 2 y + 4 z = 0

2 x ; 8 y + 2 z = 0

9

=

) v

3

= ( 2 1 2 )

d e d o n d e





S =

0

@

1 0 2

0 2 1

; 1 ; 1 2

1

A

y S

; 1

=

1

9

0

@

5 ; 2 ; 4

; 1 4 ; 1

2 1 2

1

A

p o r l o t a n t o

e

D

= l i m

p ! 1

0

@

0

@

1

1

1

1

A

+

0

@

; 1

; 1

8

1

A

+

1

2 !

0

@

( ; 1 )

2

( ; 1 )

2

( 8 )

2

1

A

+

1

p !

0

@

( ; 1 )

p

( ; 1 )

p

( 8 )

p

1

A

1

A

=

0

@

e

; 1

e

; 1

e

8

1

A

y

e

A

= S e

D

S

; 1

=

1

9

0

@

5 e

; 1

+ 4 e

8

; 2 e

; 1

+ 2 e

8

; 4 e

; 1

+ 4 e

8

; 2 e

; 1

+ 2 e

8

8 e

; 1

+ e

8

; 2 e

; 1

+ 2 e

8

; 4 e

; 1

+ 4 e

8

; 2 e

; 1

+ 2 e

8

5 e

; 1

+ 4 e

8

1

A

e

t A

= l i m

p ! 1

( I + t A +

1

2 !

t

2

A

2

+ +

1

p !

t

p

A

p

) = S e

t D

S

; 1

y

e

t D

=

0

@

e

; t

0 0

0 e

; t

0

0 0 e

8 t

1

A

p o r l o q u e

e

t A

=

1

9

0

@

5 e

; t

+ 4 e

8 t

; 2 e

; t

+ 2 e

8 t

; 4 e

; t

+ 4 e

8 t

; 2 e

; t

+ 2 e

8 t

8 e

; t

+ e

8 t

; 2 e

; t

+ 2 e

8 t

; 4 e

; t

+ 4 e

8 t

; 2 e

t

+ 2 e

8 t

5 e

; t

+ 4 e

8 t

1

A

b ) P a s e m o s a l a r e s o l u c i o n d e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s




1 2 0


X ( t ) = e

t A

X ( 0 ) c o n X ( 0 ) =

0

@

1

2

3

1

A

X ( t ) =

0

@

x ( t )

y ( t )

z ( t )

1

A

p o r l o q u e

X ( t ) =

1

9

0

@

; 1 1 e

; t

+ 2 0 e

8 t

8 e

; t

+ 1 0 e

8 t

7 e

; t

+ 2 0 e

8 t

1

A

2 R e s o l v e r e l s i s t e m a d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s

d x

d t

= x + 2 y ; 4 z

d y

d t

= ; y + 6 z

d z

d t

= ; y + 4 z

9

>

>

>

>

>

=

>

>

>

>

>

S o l u c i o n :

E l s i s t e m a p u e d e e x p r e s a r s e m a t r i c i a l m e n t e

0

@

d x

d t

d y

d t

d z

d t

1

A

=

0

@

1 2 ; 4

0 ; 1 6

0 ; 1 4

1

A

0

@

x

y

z

1

A

e s d e c i r ,

d X

d t

= A X

I n t e n t a r e m o s e f e c t u a r u n c a m b i o d e b a s e d e m o d o q u e l a n u e v a m a t r i z J = S

; 1

A S s e a

l o m a s s e n c i l l a p o s i b l e . A s , s i X = S Z , t e n e m o s

d X

d t

= S

d Z

d t

y l a e c u a c i o n q u e d a

S

d Z

d t

= S J S

; 1

S Z , e s d e c i r

d Z

d t

= J Z

B u s q u e m o s l a f o r m a r e d u c i d a d e J o r d a n d e A





d e t ( A ; I ) = ; ( ; 1 )

2

( ; 2 )

d i m k e r ( A ; I ) = 1

l u e g o n o d i a g o n a l i z a y

J =

0

@

1 0 0

1 1 0

0 0 2

1

A

L a b a s e d e J o r d a n e s

v

1

2 k e r ( A ; I )

2

v

1

= 2 k e r ( A ; I ) s e a p u e s v

1

= ( 1 3 1 )

v

2

= ( A ; I ) ( v

1

) = ( 2 0 0 )

v

3

2 k e r ( A ; 2 I ) s e a p u e s v

3

= ( 0 2 1 )

y l a m a t r i z S e s

S =

0

@

1 2 0

3 0 2

1 0 1

1

A

E l s i s t e m a q u e d a

0

@

d z

1

d t

d z

2

d t

d z

3

d t

1

A

=

0

@

1 0 0

1 1 0

0 0 2

1

A

0

@

z

1

z

2

z

3

1

A

c u y a s o l u c i o n e s :

z

1

= C

1

e

t

z

2

= ( C

1

t + C

2

) e

t

z

3

= C

3

e

2 t

9

>

=

>




1 2 2


q u e v o l v i e n d o a l a b a s e n a t u r a l

0

@

x

y

z

1

A

=

0

@

1 2 0

3 0 2

1 0 1

1

A

0

@

C

1

e

t

( C

1

t + C

2

) e

t

C

3

e

2 t

1

A

d e d o n d e

x = ( 2 C

1

t + C

1

+ 2 C

2

) e

t

y = 3 C

1

e

t

+ 2 C

3

e

2 t

z = C

1

e

t

+ C

3

e

2 t

9

>

=

>

3 S e a f u n e n d o m o r s m o d e l R - e s p a c i o v e c t o r i a l R

4

t a l q u e s u m a t r i z e n l a b a s e

n a t u r a l e s :

A =

0

B

@

; 1 0 0 0

1 2 9 ; 4 ; 4

3 0 2 5 ; 1 1 ; 1 3

0 0 0 1

1

C

A

a ) O b t e n e r l a f o r m a r e d u c i d a d e J o r d a n d e f y l a b a s e d e J o r d a n c o r r e s p o n d i e n t e .

b ) C a l c u l a r e

3 A

S o l u c i o n :

a ) D e t e r m i n e m o s l a f o r m a r e d u c i d a d e A

d e t ( A ; I ) = ( + 1 ) 3 ( ; 1 )

d i m k e r ( A + I ) = 2

l u e g o n o d i a g o n a l i z a , y e l v a l o r p r o p i o ; 1 n o s p r o p o r c i o n a d o s m o n o g e n o s y l a m a t r i z

d e J o r d a n e s

J =

0

B

@

; 1 0 0 0

1 ; 1 0 0

0 0 ; 1 0

0 0 0 1

1

C

A





B u s q u e m o s l a b a s e d e J o r d a n

v

1

2 k e r ( A + I )

2

v

1

= 2 k e r ( A + I ) v

1

= ( 1 0 0 0 )

v

2

= ( A + I ) v

1

= ( 0 1 2 3 0 0 )

v

3

2 k e r ( A + I ) i n d e p e n d i e n t e c o n v

2

s e a v

3

= ( 1 0 3 0 )

v

4

2 k e r ( A + I ) v

4

= ( 0 1 1 1 )

y l a m a t r i z c a m b i o d e b a s e e s

S =

0

B

@

1 0 1 0

0 1 2 0 1

0 3 0 3 1

0 0 0 1

1

C

A

y S

; 1

=

1

1 2

0

B

@

1 2 1 0 ; 4 ; 6

0 1 0 ; 1

0 ; 1 0 4 6

0 0 0 1 2

1

C

A

b ) e

3 A

= e

3 S J S

1

= S e

3 J

S

; 1

e

3 J

=

0

B

@

e

; 3

0 0 0

3 e

; 3

e

; 3

0 0

0 0 e

; 3

0

0 0 0 e

3

1

C

A

l u e g o

e

3 A

=

0

B

@

e

; 3

0 0 0

3 6 e

; 3

3 1 e

; 3

; 1 2 e

; 3

; 1 9 e

; 3

+ e

3

9 0 e

; 3

7 5 e

; 3

; 2 9 e

; 3

; 4 6 e

; 3

+ e

3

0 0 0 e

3

1

C

A

4 D e t e r m i n a r l a s f u n c i o n e s r e a l e s d e u n a v a r i a b l e x ( t ) , y ( t ) , z ( t ) , u ( t ) t a l e s q u e

v e r i c a n e l s i g u i e n t e s i s t e m a d e e c u a c i o n e s d i f e r e n c i a l e s l i n e a l e s

x

0

= x ; z + u

y

0

= y + z

z

0

= z

u

0

= u

9

>

>

>

=

>

>

>




1 2 4


y l a s c o n d i c i o n e s i n i c i a l e s x ( 0 ) = 1 y ( 0 ) = 0 z ( 0 ) = 1 u ( 0 ) = 2 .

S o l u c i o n :

E s c r i b i e n d o e l s i s t e m a d a d o e n f o r m a m a t r i c i a l A X = X

0

0

B

@

1 0 ; 1 1

0 1 1 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1

C

A

0

B

@

x

y

z

u

1

C

A

=

0

B

@

x

0

y

0

z

0

u

0

1

C

A

B u s q u e m o s l a f o r m a r e d u c i d a d e J o r d a n d e l a m a t r i z A p a r a s i m p l i c a r e l p r o b l e m a

d e t ( A ; I ) = ( ; 1 )

4

d i m k e r ( A ; I ) = 2

l u e g o h a y d o s m o n o g e n o s

d i m k e r ( A ; I )

2

= 4

l u e g o a m b o s m o n o g e n o s s o n d e d i m e n s i o n d o s , p o r l o q u e l a m a t r i z d e J o r d a n a d o p t a

l a f o r m a

J =

0

B

@

1 0 0 0

1 1 0 0

0 0 1 0

0 0 1 1

1

C

A

B u s q u e m o s l a b a s e d e J o r d a n

e

1

e

3

2 k e r ( A ; I )

2

e

1

e

3

= 2 k e r ( A ; I )

e

2

= ( A ; I ) e

1

e

4

= ( A ; I ) e

3

d e m a n e r a q u e e

1

e

2

e

3

e

4

s e a n i n d e p e n d i e n t e s .





S e a p u e s

e

1

= ( 0 0 1 0 ) ) e

2

= ( ; 1 1 0 0 )

e

3

= ( 0 0 0 1 ) ) e

4

= ( 1 0 0 0 )

l u e g o

S =

0

B

@

0 ; 1 0 1

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 1 0

1

C

A

y S

; 1

=

0

B

@

0 0 1 0

0 1 0 0

0 0 0 1

1 1 0 0

1

C

A

e

t A

= e

t S J S

1

= S e

t J

S

; 1

e

t J

= e

t

0

B

@

1 0 0 0

t 1 0 0

0 0 1 0

0 0 t 1

1

C

A

=

0

B

@

e

t

0 0 0

t e

t

e

t

0 0

0 0 e

t

0

0 0 t e

t

e

t

1

C

A

p o r l o t a n t o

e

t A

=

0

B

@

e

t

0 ; t e

t

t e

t

0 e

t

t e

t

0

0 0 e

t

0

0 0 0 e

t

1

C

A

y l a s o l u c i o n d e l s i s t e m a e s :

0

B

@

x

y

z

u

1

C

A

= e

t A

0

B

@

x ( 0 )

y ( 0 )

z ( 0 )

u ( 0 )

1

C

A

=

0

B

@

e

t

t e

t

e

t

e

t

1

C

A


A =

0

1

6

1

1

6




1 2 6


H a l l a r :

I + A + A

2

+ + A

n

+ =

1

X

i = 0

A

i

S o l u c i o n :

B u s q u e m o s , p a r a o b t e n e r d e f o r m a s e n c i l l a A

n

, l a f o r m a r e d u c i d a d e J o r d a n d e l a

m a t r i z A

d e t ( A ; I ) = ( ;

1

2

) ( +

1

3

)

l u e g o A d i a g o n a l i z a

D =

1

2

0

0 ;

1

3

y l a m a t r i z c a m b i o d e b a s e e s :

v

1

2 k e r ( A ;

1

2

I ) v

1

= ( 1 3 )

v

2

2 k e r ( A +

1

3

I ) v

2

= ( ; 1 2 )

S =

1 ; 1

3 2

y S

; 1

=

1

5

2 1

; 3 1

A

n

= S D

n

S

; 1

= S

(

1

2

)

n

( ;

1

3

)

n

S

; 1

=

=

0

@

2

5

(

1

2

)

n

+

3

5

(

1

3

)

n

1

5

(

1

2

)

n

;

1

5

(

1

3

)

n

6

5

(

1

2

)

n

;

6

5

( ;

1

3

)

n

3

5

(

1

2

)

n

+

2

5

( ;

1

3

)

n

1

A

1

X

n = 0

A

n

=

0

@

2

5

P

1

n = 0

(

1

2

)

n

+

3

5

P

1

n = 0

(

1

3

)

n

1

5

P

1

n = 0

(

1

2

)

n

;

1

5

P

1

n = 0

(

1

3

)

n

6

5

P

1

n = 0

( ;

1

2

)

n

;

6

5

P

1

n = 0

( ;

1

3

)

n

3

5

P

1

n = 0

(

1

2

)

n

+

2

5

P

1

n = 0

( ;

1

3

)

n

1

A





P

1

n = 0

(

1

2

)

n

= 2 ( e s l a s u m a d e l o s t e r m i n o s d e u n a p r o g r e s i o n g e o m e t r i c a d e p r i m e r

t e r m i n o 1 y r a z o n

1

2

< 1 )

P

1

n = 0

( ;

1

3

)

n

=

3

4

( e s l a s u m a d e l o s t e r m i n o s d e u n a p r o g r e s i o n g e o m e t r i c a d e

p r i m e r t e r m i n o 1 y r a z o n ;

1

3

;

1

3

< 1 )

P o r l o q u e :

2

5

1

X

n = 0

(

1

2

)

n

+

3

5

1

X

n = 0

( ;

1

3

)

n

=

5

4

1

5

1

X

n = 0

(

1

2

)

n

;

1

5

1

X

n = 0

( ;

1

3

)

n

=

1

4

6

5

1

X

n = 0

(

1

2

)

n

;

6

5

1

X

n = 0

( ;

1

3

)

n

=

3

2

3

5

1

X

n = 0

(

1

2

)

n

+

2

5

1

X

n = 0

( ;

1

3

)

n

=

3

2

y

1

X

n = 0

A

n

=

1

4

5 4

6 6

6 S e a

A =

0

@

0 1 1

1 0 1

1 1 0

1

A

C a l c u l a r s e n A

S o l u c i o n :

P o r d e n i c i o n :




1 2 8


s e n A =

1

X

n = 0

( ; 1 )

n

A

2 n + 1

( 2 n + 1 ) !

D e t e r m i n e m o s l a f o r m a r e d u c i d a d e J o r d a n d e A

d e t ( A ; I ) = ; ( + I )

2

+ ( ; 2 )

d i m k e r ( A + I ) = 2

l u e g o A d i a g o n a l i z a .

L a m a t r i z c a m b i o d e b a s e e s

v

1

v

2

2 k e r ( A + I ) i n d e p e n d i e n t e s v

3

2 k e r ( A ; I ) s e a n p u e s

v

1

= (

p

2

2

;

p

2

2

0 )

v

2

= (

p

6

6

p

6

6

;

2

p

6

2

)

v

3

= (

p

3

3

p

3

3

p

3

3

)

l u e g o

S =

0

B

B

B

B

@

p

2

2

p

6

6

p

3

3

;

p

2

2

p

6

6

p

3

3

0 ;

2

p

6

6

p

3

3

1

C

C

C

C

A

y S

; 1

=

0

B

B

B

B

@

p

2

2

;

p

2

2

0

p

6

6

p

6

6

;

2

p

6

6

p

3

3

p

3

3

p

3

3

1

C

C

C

C

A


s e n A =

1

X

n = 0

( ; 1 )

n

S D

2 n + 1

S

; 1

( 2 n + 1 ) !

= S (

1

X

n = 0

( ; 1 )

n

D

2 n + 1

( 2 n + 1 ) !

) S

; 1

=

= S

0

B

B

B

B

@

P

1

n = 0

( ; 1 )

n

( 2 n + 1 ) !

( ; 1 )

2 n + 1

0 0

0

P

1

n = 0

( ; 1 )

n

( 2 n + 1 ) !

( ; 1 )

2 n + 1

0

0 0

P

1

n = 0

( ; 1 )

n

( 2 n + 1 ) !

( 2 )

2 n + 1

1

C

C

C

C

A

S

; 1

=





= S

0

B

B

B

@

s e n ( ; 1 ) 0 0

0 s e n ( ; 1 ) 0

0 0 s e n ( 2 )

1

C

C

C

A

S

; 1

=

=

0

B

B

B

@

2

3

s e n ( ; 1 ) ;

1

3

s e n ( ; 1 ) +

1

3

s e n ( 2 ) ;

1

3

s e n ( ; 1 ) +

1

3

s e n ( 2 )

;

1

3

s e n ( ; 1 ) +

1

3

s e n ( 2 )

2

3

s e n ( ; 1 ) +

1

3

s e n ( 2 ) ;

1

3

s e n ( ; 1 ) +

1

3

s e n ( 2 )

;

1

3

s e n ( ; 1 ) +

1

3

s e n ( 2 ) ;

1

3

s e n ( ; 1 ) +

1

3

s e n ( 2 )

2

3

s e n ( ; 1 ) +

1

3

s e n ( 2 )

1

C

C

C

A




G r u p o s 1 3 1

A p e n d i c e I G r u p o s

1 C o n s i d e r e m o s e l s u b c o n j u n t o G L

2

( R ) d e M

2

( R ) d e n i d o p o r

G L

2

( R ) =

a b

c d

a d ; b c 6= 0

a ) P r o b a r q u e ( G L

2

( R ) ) e s u n g r u p o n o c o n m u t a t i v o , ( e s e l p r o d u c t o h a b i t u a l

e n t r e m a t r i c e s ) .

b ) C o n s i d e r e m o s e l s u b c o n j u n t o S L

2

( R ) d e M

2

( R ) d e n i d o p o r

S L

2

( R ) =

a b

c d

a d ; b c = 1

P r o b a r q u e ( S L

2

( R ) ) e s u n s u b g r u p o d e l g r u p o ( G L

2

( R ) )

S o l u c i o n :

a ) P r i m e r o v e a m o s q u e l a o p e r a c i o n e s t a b i e n d e n i d a , e s d e c i r d a d a s

a b

c d

a

1

b

1

c

1

d

1

2

G l

2

( R ) e n t o n c e s

a b

c d

a

1

b

1

c

1

d

1

=

a a

1

+ b c

1

a b

1

+ b d

1

c a

1

+ d c

1

c b

1

+ d d

1

=

a

2

b

2

c

2

d

2

2 G l

2

( R )

p a r a e l l o b a s t a c a l c u l a r a

2

d

2

; b

2

c

2

a

2

d

2

; b

2

c

2

= ( a a

1

+ b c

1

) ( c b

1

+ d d

1

) ; ( c a

1

+ b c

1

) ( a b

1

+ b d

1

) =

= ( a d ; b c ) ( a

1

d

1

; b

1

c

1

) 6= 0

V e a m o s q u e s e v e r i c a n l a s p r o p i e d a d e s d e g r u p o y q u e f a l l a l a c o n m u t a t i v i d a d




1 3 2



a b

c d

a

1

b

1

c

1

d

1

a

1

b

2

c

2

d

2

=

a a

1

+ b c

1

a b

1

+ b d

1

c a

1

+ d c

1

c b

1

+ d d

1

a

2

b

2

c

2

d

2

=

( a a

1

+ b c

1

) a

2

+ ( a b

1

+ b d

1

) c

2

( a a

1

+ b c

1

) b

2

+ ( a b

1

+ b d

1

) d

2

( c a

1

+ d c

1

) a

2

+ ( c b

1

+ d d

1

) c

2

( c a

1

+ d c

1

) b

2

+ ( c b

1

+ d d

1

) d

2

=

a ( a

1

a

2

+ b

1

c

2

) + b ( c

1

a

2

+ d

1

c

2

) a ( a

1

b

2

+ b

1

d

2

) + d ( c

1

b

2

+ d

1

d

2

)

c ( a

1

a

2

+ b

1

c

2

) + d ( c

1

a

2

+ d

1

c

2

) c ( a

1

b

2

+ b

1

d

2

) + d ( c

1

b

2

+ d

1

d

2

)

=

a b

c d

a

1

a

2

+ b

1

c

2

a

1

b

2

+ b

1

d

2

c

1

a

2

+ d

1

c

2

c

1

b

2

+ d

1

d

2

=

a b

c d

a

1

b

1

c

1

d

1

a

2

b

2

c

2

d

2


8

a b

c d

2 G L

2

( R ) 9

1 0

0 1

t a l q u e

a b

c d

1 0

0 1

=

1 0

0 1

a b

c d

=

a b

c d

y e l e l e m e n t o n e u t r o e s u n i c o : s u p o n g a m o s q u e e x i s t e u n e l e m e n t o

x y

z t

t a l q u e

8

a b

c d

2 G L ( R ) s e t i e n e

a b

c d

x y

z t

=

x y

z t

a b

c d

=

a b

c d

e n t o n c e s

p o r s e r

x y

z t

n e u t r o )

x y

z t

1 0

0 1

=

1 0

0 1

p o r s e r

1 0

0 1

n e u t r o )

x y

z t

1 0

0 1

=

x y

z t

9

>

>

=

>

>

)

x y

z t

=

1 0

0 1





G r u p o s 1 3 3

8

a b

c d

2 G L

2

( R ) a d ; c b 6= 0 l u e g o 1 = a d ; b c 2 R

S e a

d = a d ; b c ; b = a d ; b c

; c = a d ; b c a = a d ; b c

2 G L

2

( R ) y e s t a l q u e :

d = a d ; b c ; b = a d ; b c

; c = a d ; b c a = a d ; b c

a b

c d

=

a b

c d

d = a d ; b c ; b = a d ; b c

; c = a d ; b c a = a d ; b c

=

1 0

0 1

C l a r a m e n t e p a r a c a d a

a b

c d

2 G L

2

( R ) , e l e l e m e n t o s i m e t r i c o e s u n i c o . ( < C o m p r o -

b a r l o ! )

L u e g o G L

2

( R ) t i e n e e s t r u c t u r a d e g r u p o , v e a m o s q u e n o e s a b e l i a n o .

S e a n

1 1

0 1

1 0

1 1

2 G L

2

( R )

1 1

0 1

1 0

1 1

=

2 1

1 1

1 0

1 1

1 1

0 1

=

1 1

1 2

b ) S e a n A B 2 S l

2

( R ) G L

2

( R ) c o n s i d e r e m o s B

; 1

A 2 G L

2

( R ) y v e a m o s s i

p e r t e n e c e a S L

2

( R )

d e t ( B

; 1

A ) = d e t B

; 1

d e t A = 1 = d e t b d e t A = 1 = 1 1 = 1

2 S e a G u n g r u p o t a l q u e p a r a c a d a x 2 G x

2

= e , s i e n d o e e l e l e m e n t o n e u t r o d e l

g r u p o G

P r o b a r q u e G e s u n g r u p o c o n m u t a t i v o .

S o l u c i o n :

D e x

2

= e s e t i e n e x = x

; 1




1 3 4


P a r a t o d o p a r d e e l e m e n t o s x y 2 G s e t i e n e x y 2 G l u e g o

( x y )

2

= x y x y = e

p r e m u l t i p l i c a n d o d i c h a i g u a l d a d p o r x y p o s t m u l t i p l i c a n d o p o r y t e n e m o s

x y x y = e

x x y x y y = x e y

e y x e = x y

y x = x y

l u e g o e l g r u p o e s c o n m u t a t i v o .

3 E n c o n t r a r t o d o s l o s s u b g r u p o s n o r m a l e s d e S

3

S o l u c i o n :

S

3

= f i g

1

g

2

s

1

s

2

s

3

g c o n

i =

1 2 3

1 2 3

g

1

=

1 2 3

3 1 2

g

2

=

1 2 3

2 3 1

s

1

=

1 2 3

1 3 2

s

2

=

1 2 3

3 2 1

s

3

=

1 2 3

2 1 3

C o m p o n i e n d o d e t o d a s l a s f o r m a s p o s i b l e s e s t o s e l e m e n t o s , d e d o s e n d o s , o b t e n e m o s

l a s i g u i e n t e t a b l a

i g

1

g

2

s

1

s

2

s

3

i i g

1

g

2

s

1

s

2

s

3

g

1

g

1

g

2

i s

3

s

1

s

2

g

2

g

2

i g

1

s

2

s

3

s

1

s

1

s

1

s

2

s

3

i g

1

g

2

s

2

s

2

s

3

s

1

g

2

i g

1

s

3

s

3

s

1

s

2

g

1

g

2

i

( N o t a : e n l a t a b l a x y e s x c o l u m n a , y l a )

T e n i e n d o e n c u e n t a q u e




G r u p o s 1 3 5

a ) e l g r u p o e s d e o r d e n s e i s ,

b ) e l o r d e n d e s u s s u b g r u p o s h a d e s e r d i v i s o r d e s e i s ,

c ) u n s u b c o n j u n t o d e u n g r u p o n i t o e s s u b g r u p o s i e s t e e s c e r r a d o c o n r e s p e c t o l a

o p e r a c i o n ,

s i m p l e m e n t e o b s e r v a n d o l a t a b l a a n t e r i o r , v e m o s c u a l e s s o n l o s s u b g r u p o s d e S

3

,

S u b g r u p o s d e o r d e n 1 : f i g

S u b g r u p o s d e o r d e n 2 : f i s

1

g f i s

2

g f i s

3

g

S u b g r u p o s d e o r d e n 3 : f i g

1

g

2

g

S u b g r u p o s d e o r d e n 6 : S

3

S o n s u b g r u p o s n o r m a l e s l o s s u b g r u p o s f i g S

3

( l o s i m p r o p i o s ) , a s c o m o e l d e n d i c e

d o s , q u e p u e s t o q u e e l o r d e n d e S

3

e s s e i s , e s t e e s f i g

1

g

2

g . A n a l i c e m o s s i a l g u n

s u b g r u p o d e o r d e n d o s e s n o r m a l , e s t u d i e m o s p o r e j e m p l o f i s

1

g ( l o s o t r o s d o s s e

e s t u d i a n d e l a m i s m a f o r m a ) .

S e t r a t a d e c o m p a r a r a f i s

1

g , c o n f i s

1

g a c o n a 2 S

3

u n e l e m e n t o c u a l q u i e r a :

s e a a = s

2

s

2

f i s

1

g = f s

2

g

1

g

f i s

1

g s

2

= f s

2

g

2

g

c o n j u n t o s d i s t i n t o s p o r l o q u e e l s u b g r u p o n o e s n o r m a l , ( n i n g u n o d e l o s t r e s s u b g r u p o s

d e o r d e n d o s e s n o r m a l ) .

4 S e a S u n s u b g r u p o d e u n g r u p o G y s e a x 2 G . P r o b a r q u e

x

; 1

S x = f x

; 1

y x 8 y 2 S g

e s u n s u b g r u p o d e G

S o l u c i o n :

S e a n y

1

y

2

2 S e n t o n c e s x

; 1

y

1

x y x

; 1

y

2

x s o n d o s e l e m e n t o s d e x

; 1

S x , v e a m o s s i

s e v e r i c a l a c o n d i c i o n d e s u b g r u p o :

( x

; 1

y

1

x ) ( x

; 1

y

2

x ) = ( x

; 1

y

1

x ) ( x

; 1

y

; 1

2

x ) = x

; 1

y

1

( x x

; 1

) y

; 1

2

x = x

; 1

y

1

y

; 1

2

x




1 3 6


l a s i g u a l d a d e s a n t e r i o r e s s o n t o d a s e l l a s c i e r t a s p u e s t o q u e x y

1

y

2

s o n e l e m e n t o s d e

G q u e t i e n e e s t r u c t u r a d e g r u p o .

A h o r a b i e n , p o r s e r S s u b g r u p o y

1

y

; 1

2

= y

3

2 S , l u e g o

( x

; 1

y

1

x ) ( x

; 1

y

2

x )

; 1

= x

; 1

y

3

x 2 x

; 1

S x

y p o r l o t a n t o x

; 1

S x e s u n s u b g r u p o d e G

5 S e a A 2 M

2

( C ) y s e a S = f X 2 G L

2

( C ) X A = A X g

a ) > E s S u n s u b g r u p o d e G L

2

( C ) ?

b ) D e t e r m i n a r S p a r a e l c a s o e n q u e A =

0 1

0 0

S o l u c i o n :

a ) S e a n X

1

X

2

2 S l u e g o v e r i c a n X

1

A = A X

1

y X

2

A = A X

2

P a r a v e r s i s e v e r i c a X

1

X

; 1

2

A = A X

1

X

; 1

2

( c o n d i c i o n d e s u b g r u p o ) , v e a m o s p r i m e r o

q u e , s i X

2

2 S e n t o n c e s X

; 1

2

2 S

E n e f e c t o : p r e m u l t i p l i c a n d o y p o s t m u l t i p l i c a n d o l a i g u a l d a d X

2

A = A X

2

p o r X

; 1

2

t e n e m o s

X

; 1

2

X

2

A X

; 1

2

= X

; 1

2

A X

2

X

; 1

2

A X

; 1

2

= X

; 1

2

A

X

; 1

2

A = A X

; 1

2

y n a l m e n t e

X

1

X

; 1

2

A =

( a )

X

1

A X

; 1

2

=

( b )

X

1

A X

; 1

2

( a ) X

; 1

2

2 S

( b ) X

1

2 S

L u e g o e n e f e c t o S e s s u b g r u p o .

b ) S e a X =

x

1

x

2

x

3

x

4

2 S e n t o n c e s

x

1

x

2

x

3

x

4

0 1

0 0

=

0 1

0 0

x

1

x

2

x

3

x

4




G r u p o s 1 3 7

)

0 x

1

0 x

3

=

x

3

x

4

0 0

)

; x

3

x

1

; x

4

0 x

3

=

0 0

0 0

) x

1

= x

4

x

3

= 0

) X =

x

1

x

2

0 x

1

a h o r a b i e n X 2 G L

2

( C ) l u e g o x

1

6= 0

S =

x

1

x

2

0 x

1

x

1

6= 0

6 P r o b a r q u e ( R ) c o n a b =

3

p

a

3

+ b

3

e s u n g r u p o i s o m o r f o a ( R + )

S o l u c i o n :

V e a m o s q u e ( R ) e s u n g r u p o a b e l i a n o .

1 ) L a o p e r a c i o n e s t a b i e n d e n i d a ( a b e x i s t e p a r a t o d o a b 2 R y e s u n i c o )


( a b ) c = (

3

p

a

3

+ b

3

) c =

3

q

(

3

p

a

3

+ b

3

)

3

+ c

3

=

=

3

p

( a

3

+ b

3

) + c

3

=

3

p

a

3

+ ( b

3

+ c

3

) =

3

q

a

3

+ (

3

p

b

3

+ c

3

)

3

=

= a (

3

p

b

3

+ c

3

) = a ( b c )


S i e 2 R e s t a l q u e 8 a 2 R

a e = e a = a

e n t o n c e s

3

p

a

3

+ e

3

= a ) a

3

+ e

3

= a

3

) e

3

= 0

p o r l o t a n t o e = 0 y e v i d e n t e m e n t e e s u n i c o





1 3 8


S i p a r a c a d a a 2 R e x i s t e a

1

2 R t a l q u e

a a

; 1

= a

1

a = 0

e n t o n c e s

0 =

3

q

a

3

+ a

3

1

) a

3

= ; a

3

1

) a = a

1

l u e g o e l e l e m e n t o s i m e t r i c o e x i s t e y e s u n i c o


a b =

3

p

a

3

+ b

3

=

3

p

b

3

+ a

3

= b a

L u e g o e n e f e c t o e s g r u p o a b e l i a n o , e s t a b l e z c a m o s a h o r a e l i s o m o r s m o c o n ( R + )

' : ( R ) ; ! ( R + )

a ; ! ' ( a ) = a

3

D i c h a a p l i c a c i o n e s t a b i e n d e n i d a y a q u e ' ( a ) e s u n n u m e r o r e a l u n i c o , p a r a c a d a

a 2 R

E s i n y e c t i v a p u e s ' ( a ) = ' ( b ) ) a

3

= b

3

l o q u e i m p l i c a a = b

E s a d e m a s e x h a u s t i v a p u e s 8 a 2 R e x i s t e

3

p

a t a l q u e ' (

3

p

a ) = a

E s t a a p l i c a c i o n e s m o r s m o d e g r u p o s , y a q u e

' ( a b ) = ' (

3

p

a

3

+ b

3

) = (

3

p

a

3

+ b

3

)

3

= a

3

+ b

3

= ' ( a ) + ' ( b )

p o r l o q u e ' e s u n i s o m o r s m o .

7 S e a G u n g r u p o . P r o b a r q u e s i e x i s t e u n n u m e r o e n t e r o n t a l q u e ( a b )

n

= a

n

b

n

p a r a t o d o a b 2 G e n t o n c e s

G

n

= f x

n

x 2 G g y G

n

= f x 2 G x

n

= e g

s o n s u b g r u p o s n o r m a l e s d e G , y s i G e s u n g r u p o n i t o e n t o n c e s e l o r d e n d e G

n

c o i n c i d e c o n e l n d i c e d e G

n

S o l u c i o n :




G r u p o s 1 3 9

C o n s i d e r e m o s l a a p l i c a c i o n

' : G ; ! G

x ; ! x

n

y c o m p r o b e m o s q u e e s m o r s m o d e g r u p o s

' ( a b ) = ( a b )

n

=

( a )

a

n

b

n

= ' ( a ) ' ( b )

( a ) p o r h i p o t e s i s

K e r ' = f x 2 G ' ( x ) = e g = G

n

l u e g o G

n

e s s u b g r u p o n o r m a l d e G

I m ' = f y 2 G 9 x 2 G t a l q u e ' ( x ) = y g = f x

n

x 2 G g = G

n

l u e g o G

n

e s u n

s u b g r u p o d e G , v e a m o s q u e t a m b i e n e s n o r m a l

8 y 2 G y x

n

y

; 1

= ( y x y

; 1

)

n

2 G

n

Y p o r u l t i m o ' ( G ) = G

n

' G = G

n

, p o r l o q u e

o r d G

n

= i n d G

n

8 P r o b a r q u e u n g r u p o ( G ) e s a b e l i a n o s i y s o l o s i l a a p l i c a c i o n ' : G ; ! G

d e n i d a p o r ' ( x ) = x

; 1

e s u n a u t o m o r s m o d e G

S o l u c i o n :

L a a p l i c a c i o n ' e s t a b i e n d e n i d a p u e s t o q u e c a d a e l e m e n t o d e G a d m i t e u n i n v e r s o

y e s t e e s u n i c o .

S u p o n g a m o s a h o r a q u e ' e s u n a u t o m o r s m o

' ( a b ) = ' ( a ) ' ( b ) 8 a b 2 G

P o r d e n i c i o n d e ' t e n e m o s

( a b )

; 1

= a

; 1

b

; 1

( 1 )

P o r d e n i c i o n d e e l e m e n t o s i m e t r i c o t e n e m o s

( a b )

; 1

= b

; 1

a

; 1

( 2 )




1 4 0


q u e p o r ( 1 ) y ( 2 )

' ( a b ) = b

; 1

a

; 1

= ' ( b ) ' ( a ) = ' ( b a )

y p o r s e r ' a u t o m o r s m o e s

a b = b a

L u e g o G e s c o n m u t a t i v o .

R e c p r o c a m e n t e

L a a p l i c a c i o n ' e s b i y e c t i v a p o r s e r G g r u p o ( p a r a c a d a e l e m e n t o a 2 G e x i s t e

s i m e t r i c o y e s u n i c o ) , v e a m o s q u e e l h e c h o d e s e r e l g r u p o a b e l i a n o n o s a s e g u r a q u e '

e s m o r s m o

' ( a b ) = ( a b )

; 1

= b

; 1

a

; 1

=

( a )

a

; 1

b

; 1

= ' ( a ) ' ( b )

( a ) h i p o t e s i s d e c o n m u t a t i v i d a d

9 S e a G u n g r u p o . P r o b a r q u e e l o r d e n d e u n e l e m e n t o a 2 G e s e l m i s m o q u e e l

o r d e n d e s u i n v e r s o a

; 1

S o l u c i o n :

S e a n = o r d a e l o r d e n d e a 2 G e s d e c i r a

n

= e . P u e s t o q u e t o d o e l e m e n t o a 2 G

c o n m u t a c o n s u i n v e r s o a

; 1

y e s t e e s t a l q u e a a

; 1

= e , s e t i e n e

( a a

; 1

)

n

= e

n

= e

( a a

; 1

)

n

= a a

; 1

: : : a a

; 1

= a

n

( a

; 1

)

n


a

n

( a

; 1

)

n

= e

A h o r a b i e n a

n

= e l u e g o ( a

; 1

)

n

= e ( a

; 1

)

n

= e . P o r l o t a n t o s i m e s e l o r d e n d e a

; 1

s e t i e n e q u e m e s d i v i s o r d e n

A n a l o g a m e n t e t e n e m o s ( a

; 1

a )

m

= e

m

= e d e d o n d e

a

m

= e a

m

= ( a

; 1

)

m

a

m

= e

p o r l o q u e n e s u n d i v i s o r d e n

F i n a l m e n t e s i n e s d i v i s o r d e m y m e s d i v i s o r d e n e s q u e n = m




1 4 2


a ) ( a ) \ ( b ) = I

S e a n x y 2 I v e a m o s s i x ; y 2 I D e x y 2 I s e t i e n e

x y 2 ( a ) d e d o n d e x ; y 2 ( a )

x y 2 ( b ) d e d o n d e x ; y 2 ( b )

D e x ; y 2 ( a ) , y x ; y 2 ( b ) s e t i e n e x ; y 2 ( a ) \ ( b ) = I

S e a n x 2 I , m 2 Z v e a m o s s i m x 2 I

D e x 2 I s e t i e n e

x 2 ( a ) l u e g o m x 2 ( a )

x 2 ( b ) l u e g o m x 2 ( b )

D e m x 2 ( a ) , y m x 2 ( b ) s e t i e n e m x 2 I

( b ) C o n s i d e r e m o s l o s i d e a l e s I

1

= ( 3 ) , I

2

= ( 2 ) y s e a ( 3 ) ( 2 ) .

T e n e m o s q u e 9 2 ( 3 ) , 4 2 ( 2 ) y 9 ; 4 = 5 = 2 ( 3 ) ( 2 ) p u e s t o q u e 5 = 2 ( 3 ) y 5 = 2 ( 2 ) ,

l u e g o ( 3 ) ( 2 ) n o e s i d e a l .

3 P r o b a r q u e m c d ( a b ) = d , s i e n d o d e l g e n e r a d o r d e l i d e a l s u m a d e l o s i d e a l e s d e

Z g e n e r a d o s p o r a b r e s p e c t i v a m e n t e .

S o l u c i o n :

R e c o r d e m o s q u e

I + J = f a + b a 2 I b 2 J g

e s s i e m p r e u n i d e a l .

E n Z s a b e m o s q u e l o s i d e a l e s s o n p r i n c i p a l e s , l u e g o

( a ) + ( b ) = ( d )

V e a m o s q u e d e s e n e f e c t o m c d ( a b )

( a ) ( d ) p u e s 8 m 2 ( a ) m + 0 = m 2 ( a ) + ( b ) = ( d )

P o r e l m i s m o r a z o n a m i e n t o ( b ) ( d )

D e ( a ) ( d ) t e n e m o s q u e a 2 ( d ) , l u e g o a = d k

1




A n i l l o s d e c l a s e s d e r e s t o s 1 4 3

D e ( b ) ( d ) t e n e m o s q u e b 2 ( d ) , l u e g o b = d k

2

d e d o n d e d e s d i v i s o r c o m u n d e a , y b f a l t a v e r q u e e s e l m a x i m o .

D e ( d ) = ( a ) + ( b ) t e n e m o s q u e d 2 ( a ) + ( b ) l u e g o e x i s t e n m n 2 Z t a l e s q u e

a m + b n = d

p o r l o q u e s i d

1

e s d i v i s o r d e a y b l o e s d e a m + b n , e s d e c i r , l o e s d e d , p o r l o

q u e m c d ( a b ) = d

4 P r o b a r q u e m c m ( a b ) = c , s i e n d o c 2 Z e l g e n e r a d o r d e l i d e a l i n t e r s e c c i o n d e l o s

i d e a l e s g e n e r a d o s p o r a b 2 Z

S o l u c i o n :

T e n e m o s , p o r h i p o t e s i s , q u e ( a ) \ ( b ) = ( c ) v e a m o s q u e c = m c m ( a , b ) .

D e ( a ) \ ( b ) = ( c ) t e n e m o s

( c ) ( a ) l u e g o c 2 ( a )

( c ) ( b ) l u e g o c 2 ( b )

d e d o n d e

c = a k

1

c o n k

1

2 Z

c = b k

2

c o n k

2

2 Z

l u e g o c e s m u l t i p l o d e a y b . V e a m o s q u e e s e l m n i m o . S e a h u n m u l t i p l o d e a y b

c u a l q u i e r a

h = a h

1

d e d o n d e h 2 ( a )

h = b h

2

d e d o n d e h 2 ( b )

y p o r t a n t o , h 2 ( a ) \ ( b ) , e s d e c i r h = c h

3

, e s t a m b i e n m u l t i p l o d e c

5 P r o b a r q u e p a r a q u e Z = ( n ) s e a c u e r p o , e s c o n d i c i o n n e c e s a r i a y s u c i e n t e q u e n

s e a p r i m o .

S o l u c i o n :

S u p o n g a m o s q u e Z = ( n ) e s c u e r p o , e s d e c i r 8 a 2 Z = ( n ) , a 6= 0 , e x i s t e b 2 Z = ( n ) t a l

q u e a b = 1




1 4 4


S i n n o f u e r a p r i m o , e x i s t i r a n n

1

n

2

2 N a m b o s d i s t i n t o s d e n , t a l e s q u e n

1

n

2

= n

p o r l o t a n t o n

1

n

2

= n = 0

P u e s t o q u e n

1

6= 0 y Z = ( n ) p o r h i p o t e s i s e s c u e r p o , e x i s t e m t a l q u e n

1

m = 1 , l u e g o

0 = 0 m = n

1

n

2

m = n

1

m n

2

= 1 n

2

= n

2

, l u e g o n

2

= n y p u e s t o q u e n

2

n ,

s e t i e n e n

2

= n c o n t r a d i c c i o n l u e g o n h a d e s e r p r i m o , y l a c o n d i c i o n e s n e c e s a r i a .

V e a m o s q u e e s t a m b i e n s u c i e n t e :

S e a 0 6= a = f m n + a 8 m 2 Z c o n 0 < a < n g . P u e s t o q u e n e s p r i m o , m c d ( a n ) = 1

p o r l o q u e e x i s t e n r s 2 Z , t a l e s q u e a r + n s = 1 ( r e c o r d a r q u e ( a ) + ( n ) = ( 1 ) )

l u e g o a r + n s = 1 , o s e a , a r + n s = 1 P e r o n = 0 , p o r l o t a n t o a r = 1 y

Z = ( n ) e s c u e r p o .

6 D e t e r m i n a r t o d o s l o s d i v i s o r e s d e c e r o d e

a ) Z = ( 1 2 ) b ) Z = ( 1 8 ) c ) Z = ( 2 4 ) .

S o l u c i o n :

U n e l e m e n t o a 2 Z = ( n ) c o n a 6= 0 e s u n d i v i s o r d e c e r o s i y s o l a m e n t e s i e x i s t e

b 2 Z = ( n ) , b 6= 0 t a l q u e

a b = 0

O b s e r v a m o s q u e s i a e s d i v i s o r d e c e r o , t a m b i e n l o e s b , y a b = n

a ) 1 2 = 2

2

3 , l u e g o l o s d i v i s o r e s d e c e r o s o n 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 9 , 1 0 e s d e c i r , l a s

c l a s e s d e r e s t o d e l o s d i v i s o r e s p r o p i o s d e 1 2 y d e l o s e l e m e n t o s q u e t i e n e n u n f a c t o r

q u e l o e s d e 1 2 .

O b s e r v a m o s q u e 2 6 = 0 , 3 4 = 0 , 3 8 = 0 , e t c .

b ) 1 8 = 2 3

2

, l u e g o l o s d i v i s o r e s d e c e r o s o n 2 , 3 , 4 , 6 , 8 , 9 , 1 0 , 1 2 , 1 4 ,

1 5 , 1 6 , e s d e c i r , l a s c l a s e s d e r e s t o d e l o s d i v i s o r e s p r o p i o s d e 1 8 y d e l o s e l e m e n t o s

q u e t i e n e n u n f a c t o r q u e l o e s d e 1 8 .

O b s e r v a m o s q u e 2 9 = 0 , 4 6 = 0 , 8 3 = 0 , 4 9 = 0 , e t c .

c ) 2 4 = 2

3

3 , l u e g o l o s d i v i s o r e s d e c e r o s o n 2 , 4 , 8 , 3 , 6 , 1 0 , 1 2 , 1 4 , 1 6 ,

1 8 , 2 0 , 2 2 , 9 , 1 5 , 2 1 , e s d e c i r , l a s c l a s e s d e r e s t o d e l o s d i v i s o r e s p r o p i o s d e 2 4 y

d e l o s e l e m e n t o s q u e t i e n e n u n f a c t o r q u e l o e s d e 2 4 .




A n i l l o s d e c l a s e s d e r e s t o s 1 4 5

O b s e r v a m o s q u e 2 1 2 = 0 , 4 6 = 0 , 8 3 = 0 , 2 1 8 = 0 , e t c .

7 E s c r i b i r l a s t a b l a s d e s u m a r y m u l t i p l i c a r d e Z = ( 4 ) y r e s o l v e r e l s i s t e m a d e e c u a -

c i o n e s

2 x + 3 y = 1

2 x + 2 y = 1

S o l u c i o n :

+ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 0 2

3 0 3 2 1

2 x + 3 y = 1

2 x + 2 y = 1

( a )

) 0 x + y = 2 ) y = 2

( b )

) 2 x + 3 2 = 1 ) 2 x + 2 = 1 ) 2 x = 3

n o t i e n e s o l u c i o n p u e s n o e x i s t e n i n g u n e l e m e n t o x e n Z = ( 4 ) t a l q u e 2 x = 3 . O b s e r v e s e

q u e 2 n o e s i n v e r s i b l e e n Z = ( 4 ) ( e s u n d i v i s o r d e c e r o )

( a ) s u m a n d o a m b a s e c u a c i o n e s .

( b ) s u s t i t u y e n d o e l v a l o r d e x e n l a p r i m e r a e c u a c i o n

8 E s c r i b i r l a t a b l a d e s u m a r y m u l t i p l i c a r d e l c u e r p o Z / ( 5 ) y r e s o l v e r e l s i s t e m a

x + 2 y = 1

2 x + y = 0

S o l u c i o n :




1 4 6


+ 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4

1 1 2 3 4 0

2 2 3 4 0 1

3 3 4 0 1 2

4 4 0 1 2 3

0 1 2 3 4

0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4

2 0 2 4 1 3

3 0 3 1 4 2

4 0 4 3 2 1

x + 2 y = 1

2 x + y = 0

( a )

)

2 x + 4 y = 2

2 x + y = 0

( b )

) 4 x + 0 y = 2

) 4 x = 2 ) x = 3

( c )

) 2 3 + y = 0 ) 1 + y = 0 ) y = 4

( a ) m u l t i p l i c a n d o l a p r i m e r a e c u a c i o n p o r 2 .

( b ) s u m a n d o a m b a s e c u a c i o n e s .

( c ) s u s t i t u y e n d o e l v a l o r d e x e n l a s e g u n d a e c u a c i o n

9 D e s c o m p o n e r e n f r a c c i o n e s s i m p l e s , s o b r e Z / ( 5 ) l a f r a c c i o n r a c i o n a l s i g u i e n t e

4

x

2

+ 4 x + 3

Algebra Lineal Problemas Resueltos - María Isabel García Planas

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