Algoritmo Factorización LU

Para factorizar la matriz A en el producto de la mariz triangular inferior L y en la matriz triangular superior U , donde la diagonal principal de L o de U consta de unos

ENTRADA La dimensión n , los elementos a ij , 1≤i , j ,≤n , la diagonal lii=1 o la diagonal uii=1

SALIDA los elementos lij , 1≤ j≤i , 1≤i≤n y los elementos lij , i≤ j≤n , 1≤i≤n

Paso 1 Seleccione l11 y u11 satisfaciendo l11u11=a11

Si l11u11=0 entonces SALIDA (factorización imposible)PARAR

Paso 2 Para j=2 ,. .. , n tome u1 j=

a1 j

l11 (primer renglón de U )

l j1=a j 1u11 (primera columna de L )

Paso 3 Para i=2 , .. . , n−1 Haga los pasos 4 y 5

Paso 4 Seleccione lii y uii satisfaciendo liiuii=aii−∑

k=1

i−1

lik uki

Si liiuii=0 entonces SALIDA (Factorización imposible)PARAR

Paso 5 Para j=i+1, . .. , n

Tome uij=

1lii [aij−∑

k=1

i−1

likukj](i_ésimo reglón de U )

l ji=1uii [a ji−∑

k=1

i−1

l jkuki](i_ésima columna de L )

Paso 6 Seleccione lnn y unn tales que lnnunn=ann−∑

k=1

n−1

lnkukn

(nota: si lnnunn=0 , entonces A=LU pero A es singular)

Paso 7 SALIDA (lij , j=1, . .. , i ; i=1 , .. . , n )

SALIDA (uij , j=i , . .. , n ; i=1 ,. . ., nPARAR

Algoritmo de la factorización

Para factorizar la matriz definida positiva en la forma , donde es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal y es una matriz diagonal con elementos positivos en la diagonal

ENTRADA La dimensión ; los elementos

SALIDA los elementos y

Paso 1 Para haga los pasos 2-4

Paso 2 Para , tome

Paso 3 Tome

Paso 4 Para tome

Paso 5 SALIDA ( )

SALIDA ( )PARAR

Algoritmo de Choleski

Para factorizar la matriz definida positiva en la forma

ENTRADA la dimensión y los elementos

SALIDA los elementos

Paso 1 tome

Paso 2 Para tome

Paso 3 Para haga los pasos 4-5

Paso 4 Tome

Paso 5 Para

Tome

Paso 6 Tome

Paso 7 SALIDA ( )PARAR

Algoritmo de Crout de sistemas tridiagonales

Para resolver el sistema lineal de nxn

E1 : a11 x1+a12 x2 =a1, n+1E2 : a21 x1+a22 x2+a23 x3 =a2, n+1⋮ ⋮En−1: an−1, n−2 xn−2+an−1 ,n−1 xn−1+an−1 , n xn=an−1, n+1

En : an,n−1xn−1+an,n x x =an ,n+1

Que se supone tiene una solución única:

ENTRADA la dimensión n ; los elementos de A

SALIDA la solución x1 , x2 , , . .. , xn

Use los pasos 1-3 y resuelva Lz=b

Paso 1 Tome l11=a11

u12=a12

l11

z1=a1, n+1

l11

Paso 2 Para i=2 , .. . , n−1 tome li , i−1=ai , i−1 (i_ésimo renglón de L )

lii=aii− li , i−1ui−1 ,i

ui ,i+1=ai , i+1

lii ((i+1)_ésima columna de U )

zi=a i , n+1−li ,i−1zi−1

lii

Paso 3 Tome ln ,n−1=an ,n−1 (n_ésimo renglón de L )

lnn=ann−ln , n−1un−1, n

zn=an ,n+1−ln ,n−1 zn−1

lnn

(Pasos 4 y 5 resuelven Ux=z )

Paso 4 Tome xn=zn

Paso 5 Para i=n−1 ,. . .,1 tome xi=zi−ui , i+1 xi+1

Paso 6 SALIDA (x1 , x2 ,. .. , xn )

PARAR