Amplificadores de microondas

Iacutendice

1 Introduccioacuten

2 Redes de dos puertas

3 Ganancia

4 Estabilidad

5 Disentildeo de amplificadores

1 Introduccioacuten

Los amplificadores de microondas usualmente se construyen en Circuitos Integrados de Microondas (MIC) tanto hiacutebridos como monoliacuteticos (MMIC) En construccioacuten hiacutebrida las liacuteneas de transmisioacuten y las mallas de adaptacioacuten usualmente se hacen como elementos de circuito microstrip sobre un substrato dieleacutectrico y los componentes discretos (condensadores resistencias transistores etc) se conectan soldando Los dispositivos discretos vienen con terminales conductores para facilitar su insercioacuten en un circuito hiacutebrido

En los MIC monoliacuteticos (MMIC) todos los elementos que conforman el circuito (liacuteneas de transmisioacuten redes de adaptacioacuten elementos activos y pasivos etc) se construyen en un uacutenico cristal semiconductor Esta tecnologiacutea es principalmente utilizada en la produccioacuten a gran escala

En general se pueden distinguir los siguientes objetivos en el disentildeo de amplificadores de microondas

bull Maacutexima ganancia de potencia bull Miacutenima figura de ruido para la primera etapa bull Ganancia estable ie sin oscilaciones bull Razoacuten de onda estacionaria (VSWR) cercana a la unidad tanto en la entrada como

en la salida bull Ganancia uniforme en una cierta banda de frecuencia bull Respuesta en frecuencia de la fase lineal ie sin distorsioacuten bull Insensibilidad a cambios en los paraacutemetros S o cambios en la polarizacioacuten

Es importante notar que existen muchos compromisos o trade offs entre estos objetivos de disentildeo Por ejemplo en el disentildeo de amplificadores de bajo ruido es necesario sacrificar ganancia y VSWR a la entrada a cambio de una figura de ruido aceptable (maacutes adelante definiremos figura de ruido)

Las especificaciones de disentildeo estaacuten todas interrelacionadas lo cual hace el problema casi inmanejable sin el uso de una estrategia de optimizacioacuten computacional dado que cada requerimiento impone restricciones sobre los otros y las ecuaciones que definen estas restricciones no son sencillas Por esta razoacuten la visualizacioacuten de las restricciones en una carta de Smith facilita enormemente la comprensioacuten del conflicto entre los requerimientos

2 Redes de dos puertas

21 Propiedad de conservacioacuten del factor de desadaptacioacuten en redes sin peacuterdidas

Figura 1 Red lineal de dos puertos sin peacuterdidas conectada a una fuente y una carga

En el esquema de la figura 1 se muestra una red lineal de dos puertos sin peacuterdidas

conectada a una fuente de voltaje con una impedancia de fuente y

una carga de impedancia La impedancia mirando a la red desde el

lado de la fuente es La potencia que entra a la red estaacute dada por

Ecuacioacuten 1

donde

A partir de la ecuacioacuten se observa que la potencia que entra a la red alcanza su

valor maacuteximo cuando ie cuando las partes imaginarias se cancelan en el denominador de la expresioacuten

Definimos como la potencia disponible de la fuente a la maacutexima potencia que puede entrar a la red (y que entra totalmente a la red cuando la impedancia de entrada estaacute adaptada conjugada con la impedancia de la fuente) Entonces se tiene

Ecuacioacuten 2

Cuando entonces la potencia que entra a la red es menor que la potencia disponible de la fuente y estaacute dada por

Ecuacioacuten 3

Ecuacioacuten 4

La expresioacuten anterior nos dice que cuando no hay adaptacioacuten de impedancia la potencia que efectivamente entra a la red es una fraccioacuten M de la potencia disponible de la fuente Definimos M como el factor de desadaptacioacuten de impedancia (mismatch factor) a la entrada de la red El factor de desadaptacioacuten tambieacuten se puede ver como un coeficiente de transmisioacuten de potencia

Tambieacuten se puede definir el factor de desadaptacioacuten de impedancia a la salida como

donde es la potencia disponible entregada por la red a la carga y es la

potencia efectivamente entregada a

Como la red es sin peacuterdidas por definicioacuten la potencia que entra a la red se traspasa

completamente a la carga ie Ademaacutes se puede demostrar que la potencia disponible de la fuente es igual a la potencia disponible entregada por la red a la carga ie Luego para una red lineal pasiva sin peacuterdidas se tiene que el factor

de desadaptacioacuten es el mismo a la entrada y a la salida ie se conserva

En general para varias redes lineales pasivas sin peacuterdidas (reciacuteprocas) en cascada como se muestra en la figura 2 se puede demostrar que

Ecuacioacuten 5a

Ecuacioacuten 5b

Ecuacioacuten 5c

Figura 2 Conexioacuten en cascada de varias redes sin peacuterdidas entre la fuente y la carga

En una red lineal activa (ie no reciproca) el factor de desadaptacioacuten no se conserva Por ejemplo en el caso de un amplificador visto como red de dos puertos la potencia entregada a la carga es mayor que la potencia a la entrada

22 Definiciones de Ganancia

Figura 3 Red lineal activa con ganancia de potencia Gp

Para el amplificador baacutesico de la figura 3 se definen las siguientes ganancias

1) Ganancia de potencia

2) Ganancia de transductor

3) Ganancia de potencia disponible

Para el caso de redes lineales pasivas sin peacuterdidas la ganancia de potencia es unitaria

Si las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas a la entrada y a la salida del amplificador entonces la ganancia de potencia es maacutexima y se cumple que y

siempre y cuando el dispositivo sea

absolutamente estable Si las impedancias no estaacuten adaptadas conjugadas entonces la ganancia de potencia no es maacutexima

23 VSWR coeficiente de reflexioacuten y factor de desadaptacioacuten en amplificadores multietapa

Figura 4 Amplificador de dos etapas con mallas de adaptacioacuten

En la figura 4 se muestra un amplificador de dos etapas con mallas de adaptacioacuten entre etapas conectado a liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc tanto a la entrada como a la salida Entre cada etapa existen coeficientes de reflexioacuten definidos por las respectivas impedancias entre etapas En particular el coeficiente de reflexioacuten que enfrenta la onda de voltaje incidente V+ estaacute dado por

donde es la impedancia de entrada a la malla de adaptacioacuten 1 normalizada La potencia incidente proveniente de la liacutenea de transmisioacuten estaacute dada por

y la potencia que entra a la malla 1 donde Ms

es el

factor de desadaptacioacuten de impedancia entre la liacutenea de transmisioacuten y la malla 1

Se puede demostrar que lo que nos entrega la siguiente ecuacioacuten que relaciona el factor de desadaptacioacuten con el coeficiente de reflexioacuten

Ecuacioacuten 6

Con la ecuacioacuten 6 y usando la expresioacuten de VSWR en funcioacuten del coeficiente de reflexioacuten se puede obtener la siguiente ecuacioacuten que relaciona la razoacuten de onda

estacionaria VSWR1 a la entrada de la malla de adaptacioacuten 1 con el factor de

desadaptacioacuten Ms

Ecuacioacuten 7

Notar que el factor de desadaptacioacuten a la entrada y a la salida de las mallas de adaptacioacuten es el mismo esto porque las suponemos sin peacuterdidas Luego la razoacuten de onda estacionaria VSWR1 tambieacuten depende del grado de desadaptacioacuten entre Zs y Zin

Entonces el disentildeo de la malla 1 ademaacutes de definir un Ms que produzca una figura de ruido oacuteptima al mismo tiempo debe mantener las restricciones de VSWR a la entrada y la estabilidad del amplificador con una ganancia aceptable seguacuten los requerimientos Maacutes adelante veremos este problema en detalle Recordando que las mallas de adaptacioacuten (lineales pasivas y sin peacuterdidas) tienen ganancia unitaria es faacutecil ver que la potencia que recibe la carga estaacute dada por

Ecuacioacuten 8

donde definimos Gp como la ganancia de potencia de las dos etapas Tambieacuten se puede reescribir la ecuacioacuten anterior en funcioacuten de la ganancia de transductor G

Ecuacioacuten 9

3 Ganancia en funcioacuten de los paraacutemetros de Scattering

Figura 5 Esquema baacutesico de un amplificador

Queremos encontrar expresiones que relacionen la ganancia de potencia del amplificador con los paraacutemetros de Scattering y las impedancias de fuente y carga (o bien con los coeficientes de reflexioacuten en la fuente y en la carga)

En el circuito baacutesico de la figura 5 el amplificador se conecta a la fuente y a la carga a traveacutes de liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc Suponemos estas liacuteneas de transmisioacuten de largo despreciable

Los coeficientes de reflexioacuten en la carga y en la fuente estaacuten dados por

donde las impedancias se encuentran normalizadas ie

Las ondas incidentes y reflejadas de voltaje se relacionan a traveacutes de la matriz de paraacutemetros de Scattering de la siguiente forma

Ecuacioacuten 10

Ecuacioacuten 11

A partir de la ecuacioacuten 10 y 11 y la definicioacuten de ΓL y Γs se puede demostrar que

Ecuacioacuten 12

Ecuacioacuten 13

donde se define

Los factores de desadaptacioacuten de impedancia Ms y ML estaacuten dados por

Usando las expresiones de los coeficientes de reflexioacuten en funcioacuten de las impedancias se demostrar que

Ecuacioacuten 14

Ecuacioacuten 15

Para obtener la ganancia de potencia GP necesitamos calcular Pin y PL

Usando las expresiones anteriores se llega a

Ecuacioacuten 16

Ecuacioacuten 17

Usando las ecuaciones anteriores finalmente se puede demostrar que

Ecuacioacuten 18

Ecuacioacuten 19

Donde

4 Estabilidad

41 Estabilidad en amplificadores

La estabilidad o la resistencia a la oscilacioacuten de un amplificador de microondas es uno de los maacutes importantes objetivos de disentildeo La estabilidad se puede determinar a partir los paraacutemetros S las mallas de adaptacioacuten a la entrada y a la salida y las terminaciones del circuito

A altas frecuencias un transistor presenta una retroalimentacioacuten intriacutenseca de la salida a

la entrada principalmente debido a las capacitancias finitas presentes en el dispositivo De esta forma el dispositivo puede ser potencialmente inestable y a menos que el circuito sea disentildeado adecuadamente puede oscilar inutilizando su uso como amplificador

Mirando el problema desde el punto de vista de ondas las condiciones de estabilidad establecen que la potencia reflejada en los puertos del amplificador debe ser menor que la potencia incidente ie los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador deben ser en moacutedulo menores que uno Cuando el amplificador cumple las condiciones de estabilidad para todo valor de impedancias de fuente y carga se dice que el amplificador es absolutamente estable Si se cumplen las condiciones solo para ciertos valores restringidos de impedancia el amplificador es potencialmente estable En caso contrario es inestable

Notar que si los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador son de moacutedulo mayor que uno entonces las partes reales de las impedancias de entrada y salida del dispositivo tendraacuten parte real negativa Por ejemplo si en el amplificador de

la figura 5 se tiene que entonces

Luego una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta del dispositivo a una

frecuencia dada es que las resistencias de entrada y salida y

sean positivas El caso liacutemite se da cuando la impedancias son

reactivas puras ie

42 Adaptacioacuten de impedancias y estabilidad

En el circuito de la figura 5 se puede obtener maacutexima transferencia de potencia

adaptando las impedancias ie eligiendo

Utilizando las ecuaciones 12 y 13 se tiene que las condiciones para adaptar las impedancias equivalen al siguiente sistema

Ecuacioacuten 20a

Ecuacioacuten 20b

Resolviendo el sistema anterior para Γs y ΓL se obtienen las siguientes soluciones

Ecuacioacuten 21a

Ecuacioacuten 21b

Donde

Ahora hay que ver cuaacuteles son las soluciones del sistema 20 que producen

Para esto notamos que si

entonces y

y ademaacutes se cumple que

Luego concluimos que una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es

Ecuacioacuten 22

Asumiendo la condicioacuten 22 se puede demostrar a partir de 21 que las soluciones que

permiten se obtienen eligiendo el signo negativo cuando

y eligiendo el signo positivo cuando

La condicioacuten necesaria de estabilidad se puede reescribir en funcioacuten de los paraacutemetros S de la siguiente forma

donde se define el paraacutemetro

Luego concluimos que otra condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es

Se puede demostrar que cuando las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas la ganancia de potencia se puede escribir como

Ecuacioacuten 23

donde el factor se llama figura de meacuterito del dispositivo

Notar que el valor liacutemite maacuteximo de la ganancia estable se obtiene cuando y su valor es

Ecuacioacuten 24

A partir de la ecuacioacuten 23 se deduce que para usar adaptacioacuten de impedancias

conjugadas tiene que cumplirse la condicioacuten necesaria de estabilidad En otras palabras no se puede usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas si el dispositivo (ie el transistor) es inestable

5 Disentildeo de amplificadores

Figura 6 Estrategia de disentildeo Amplificador de una etapa

Especificaciones de disentildeo

1048708 Maacutexima ganancia de potencia por sobre un valor miacutenimo

1048708 Miacutenima figura de ruido por debajo de un valor miacutenimo

1048708 VSWR a la entrada y la salida sin exceder valores maacuteximos

Se asumen conocidos los paraacutemetros Sij Fm Γm y RN o GI

Algoritmo de Disentildeo

Paso 1 Evaluar las condiciones de estabilidad Si se cumplen seguir con paso 2 3 y 4 Caso contrario (Klt1) seguir con 5 y 6

Paso 2 Evaluar si es posible usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas Si la ganancia y figura de ruido son aceptables se termina Caso contrario seguir con 3

Paso 3 Se evaluacutea si es posible usar Γs = Γm (ie miacutenima figura de ruido) Se construye la siguiente funcioacuten objetivo

dado un valor de gp se busca en el correspondiente ciacuterculo de ganancia constante el valor de que maximiza la funcioacuten objetivo Si los valores de VSWR son aceptables terminar Caso contrario seguir con paso 4

Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria

Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6

Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad

Iacutendice

1 Introduccioacuten

2 Redes de dos puertas

3 Ganancia

4 Estabilidad

5 Disentildeo de amplificadores

1 Introduccioacuten

Los amplificadores de microondas usualmente se construyen en Circuitos Integrados de Microondas (MIC) tanto hiacutebridos como monoliacuteticos (MMIC) En construccioacuten hiacutebrida las liacuteneas de transmisioacuten y las mallas de adaptacioacuten usualmente se hacen como elementos de circuito microstrip sobre un substrato dieleacutectrico y los componentes discretos (condensadores resistencias transistores etc) se conectan soldando Los dispositivos discretos vienen con terminales conductores para facilitar su insercioacuten en un circuito hiacutebrido

En los MIC monoliacuteticos (MMIC) todos los elementos que conforman el circuito (liacuteneas de transmisioacuten redes de adaptacioacuten elementos activos y pasivos etc) se construyen en un uacutenico cristal semiconductor Esta tecnologiacutea es principalmente utilizada en la produccioacuten a gran escala

En general se pueden distinguir los siguientes objetivos en el disentildeo de amplificadores de microondas

bull Maacutexima ganancia de potencia bull Miacutenima figura de ruido para la primera etapa bull Ganancia estable ie sin oscilaciones bull Razoacuten de onda estacionaria (VSWR) cercana a la unidad tanto en la entrada como

en la salida bull Ganancia uniforme en una cierta banda de frecuencia bull Respuesta en frecuencia de la fase lineal ie sin distorsioacuten bull Insensibilidad a cambios en los paraacutemetros S o cambios en la polarizacioacuten

Es importante notar que existen muchos compromisos o trade offs entre estos objetivos de disentildeo Por ejemplo en el disentildeo de amplificadores de bajo ruido es necesario sacrificar ganancia y VSWR a la entrada a cambio de una figura de ruido aceptable (maacutes adelante definiremos figura de ruido)

Las especificaciones de disentildeo estaacuten todas interrelacionadas lo cual hace el problema casi inmanejable sin el uso de una estrategia de optimizacioacuten computacional dado que cada requerimiento impone restricciones sobre los otros y las ecuaciones que definen estas restricciones no son sencillas Por esta razoacuten la visualizacioacuten de las restricciones en una carta de Smith facilita enormemente la comprensioacuten del conflicto entre los requerimientos

2 Redes de dos puertas

21 Propiedad de conservacioacuten del factor de desadaptacioacuten en redes sin peacuterdidas

Figura 1 Red lineal de dos puertos sin peacuterdidas conectada a una fuente y una carga

En el esquema de la figura 1 se muestra una red lineal de dos puertos sin peacuterdidas

conectada a una fuente de voltaje con una impedancia de fuente y

una carga de impedancia La impedancia mirando a la red desde el

lado de la fuente es La potencia que entra a la red estaacute dada por

Ecuacioacuten 1

donde

A partir de la ecuacioacuten se observa que la potencia que entra a la red alcanza su

valor maacuteximo cuando ie cuando las partes imaginarias se cancelan en el denominador de la expresioacuten

Definimos como la potencia disponible de la fuente a la maacutexima potencia que puede entrar a la red (y que entra totalmente a la red cuando la impedancia de entrada estaacute adaptada conjugada con la impedancia de la fuente) Entonces se tiene

Ecuacioacuten 2

Cuando entonces la potencia que entra a la red es menor que la potencia disponible de la fuente y estaacute dada por

Ecuacioacuten 3

Ecuacioacuten 4

La expresioacuten anterior nos dice que cuando no hay adaptacioacuten de impedancia la potencia que efectivamente entra a la red es una fraccioacuten M de la potencia disponible de la fuente Definimos M como el factor de desadaptacioacuten de impedancia (mismatch factor) a la entrada de la red El factor de desadaptacioacuten tambieacuten se puede ver como un coeficiente de transmisioacuten de potencia

Tambieacuten se puede definir el factor de desadaptacioacuten de impedancia a la salida como

donde es la potencia disponible entregada por la red a la carga y es la

potencia efectivamente entregada a

Como la red es sin peacuterdidas por definicioacuten la potencia que entra a la red se traspasa

completamente a la carga ie Ademaacutes se puede demostrar que la potencia disponible de la fuente es igual a la potencia disponible entregada por la red a la carga ie Luego para una red lineal pasiva sin peacuterdidas se tiene que el factor

de desadaptacioacuten es el mismo a la entrada y a la salida ie se conserva

En general para varias redes lineales pasivas sin peacuterdidas (reciacuteprocas) en cascada como se muestra en la figura 2 se puede demostrar que

Ecuacioacuten 5a

Ecuacioacuten 5b

Ecuacioacuten 5c

Figura 2 Conexioacuten en cascada de varias redes sin peacuterdidas entre la fuente y la carga

En una red lineal activa (ie no reciproca) el factor de desadaptacioacuten no se conserva Por ejemplo en el caso de un amplificador visto como red de dos puertos la potencia entregada a la carga es mayor que la potencia a la entrada

22 Definiciones de Ganancia

Figura 3 Red lineal activa con ganancia de potencia Gp

Para el amplificador baacutesico de la figura 3 se definen las siguientes ganancias

1) Ganancia de potencia

2) Ganancia de transductor

3) Ganancia de potencia disponible

Para el caso de redes lineales pasivas sin peacuterdidas la ganancia de potencia es unitaria

Si las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas a la entrada y a la salida del amplificador entonces la ganancia de potencia es maacutexima y se cumple que y

siempre y cuando el dispositivo sea

absolutamente estable Si las impedancias no estaacuten adaptadas conjugadas entonces la ganancia de potencia no es maacutexima

23 VSWR coeficiente de reflexioacuten y factor de desadaptacioacuten en amplificadores multietapa

Figura 4 Amplificador de dos etapas con mallas de adaptacioacuten

En la figura 4 se muestra un amplificador de dos etapas con mallas de adaptacioacuten entre etapas conectado a liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc tanto a la entrada como a la salida Entre cada etapa existen coeficientes de reflexioacuten definidos por las respectivas impedancias entre etapas En particular el coeficiente de reflexioacuten que enfrenta la onda de voltaje incidente V+ estaacute dado por

donde es la impedancia de entrada a la malla de adaptacioacuten 1 normalizada La potencia incidente proveniente de la liacutenea de transmisioacuten estaacute dada por

y la potencia que entra a la malla 1 donde Ms

es el

factor de desadaptacioacuten de impedancia entre la liacutenea de transmisioacuten y la malla 1

Se puede demostrar que lo que nos entrega la siguiente ecuacioacuten que relaciona el factor de desadaptacioacuten con el coeficiente de reflexioacuten

Ecuacioacuten 6

Con la ecuacioacuten 6 y usando la expresioacuten de VSWR en funcioacuten del coeficiente de reflexioacuten se puede obtener la siguiente ecuacioacuten que relaciona la razoacuten de onda

estacionaria VSWR1 a la entrada de la malla de adaptacioacuten 1 con el factor de

desadaptacioacuten Ms

Ecuacioacuten 7

Notar que el factor de desadaptacioacuten a la entrada y a la salida de las mallas de adaptacioacuten es el mismo esto porque las suponemos sin peacuterdidas Luego la razoacuten de onda estacionaria VSWR1 tambieacuten depende del grado de desadaptacioacuten entre Zs y Zin

Entonces el disentildeo de la malla 1 ademaacutes de definir un Ms que produzca una figura de ruido oacuteptima al mismo tiempo debe mantener las restricciones de VSWR a la entrada y la estabilidad del amplificador con una ganancia aceptable seguacuten los requerimientos Maacutes adelante veremos este problema en detalle Recordando que las mallas de adaptacioacuten (lineales pasivas y sin peacuterdidas) tienen ganancia unitaria es faacutecil ver que la potencia que recibe la carga estaacute dada por

Ecuacioacuten 8

donde definimos Gp como la ganancia de potencia de las dos etapas Tambieacuten se puede reescribir la ecuacioacuten anterior en funcioacuten de la ganancia de transductor G

Ecuacioacuten 9

3 Ganancia en funcioacuten de los paraacutemetros de Scattering

Figura 5 Esquema baacutesico de un amplificador

Queremos encontrar expresiones que relacionen la ganancia de potencia del amplificador con los paraacutemetros de Scattering y las impedancias de fuente y carga (o bien con los coeficientes de reflexioacuten en la fuente y en la carga)

En el circuito baacutesico de la figura 5 el amplificador se conecta a la fuente y a la carga a traveacutes de liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc Suponemos estas liacuteneas de transmisioacuten de largo despreciable

Los coeficientes de reflexioacuten en la carga y en la fuente estaacuten dados por

donde las impedancias se encuentran normalizadas ie

Las ondas incidentes y reflejadas de voltaje se relacionan a traveacutes de la matriz de paraacutemetros de Scattering de la siguiente forma

Ecuacioacuten 10

Ecuacioacuten 11

A partir de la ecuacioacuten 10 y 11 y la definicioacuten de ΓL y Γs se puede demostrar que

Ecuacioacuten 12

Ecuacioacuten 13

donde se define

Los factores de desadaptacioacuten de impedancia Ms y ML estaacuten dados por

Usando las expresiones de los coeficientes de reflexioacuten en funcioacuten de las impedancias se demostrar que

Ecuacioacuten 14

Ecuacioacuten 15

Para obtener la ganancia de potencia GP necesitamos calcular Pin y PL

Usando las expresiones anteriores se llega a

Ecuacioacuten 16

Ecuacioacuten 17

Usando las ecuaciones anteriores finalmente se puede demostrar que

Ecuacioacuten 18

Ecuacioacuten 19

Donde

4 Estabilidad

41 Estabilidad en amplificadores

La estabilidad o la resistencia a la oscilacioacuten de un amplificador de microondas es uno de los maacutes importantes objetivos de disentildeo La estabilidad se puede determinar a partir los paraacutemetros S las mallas de adaptacioacuten a la entrada y a la salida y las terminaciones del circuito

A altas frecuencias un transistor presenta una retroalimentacioacuten intriacutenseca de la salida a

la entrada principalmente debido a las capacitancias finitas presentes en el dispositivo De esta forma el dispositivo puede ser potencialmente inestable y a menos que el circuito sea disentildeado adecuadamente puede oscilar inutilizando su uso como amplificador

Mirando el problema desde el punto de vista de ondas las condiciones de estabilidad establecen que la potencia reflejada en los puertos del amplificador debe ser menor que la potencia incidente ie los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador deben ser en moacutedulo menores que uno Cuando el amplificador cumple las condiciones de estabilidad para todo valor de impedancias de fuente y carga se dice que el amplificador es absolutamente estable Si se cumplen las condiciones solo para ciertos valores restringidos de impedancia el amplificador es potencialmente estable En caso contrario es inestable

Notar que si los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador son de moacutedulo mayor que uno entonces las partes reales de las impedancias de entrada y salida del dispositivo tendraacuten parte real negativa Por ejemplo si en el amplificador de

la figura 5 se tiene que entonces

Luego una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta del dispositivo a una

frecuencia dada es que las resistencias de entrada y salida y

sean positivas El caso liacutemite se da cuando la impedancias son

reactivas puras ie

42 Adaptacioacuten de impedancias y estabilidad

En el circuito de la figura 5 se puede obtener maacutexima transferencia de potencia

adaptando las impedancias ie eligiendo

Utilizando las ecuaciones 12 y 13 se tiene que las condiciones para adaptar las impedancias equivalen al siguiente sistema

Ecuacioacuten 20a

Ecuacioacuten 20b

Resolviendo el sistema anterior para Γs y ΓL se obtienen las siguientes soluciones

Ecuacioacuten 21a

Ecuacioacuten 21b

Donde

Ahora hay que ver cuaacuteles son las soluciones del sistema 20 que producen

Para esto notamos que si

entonces y

y ademaacutes se cumple que

Luego concluimos que una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es

Ecuacioacuten 22

Asumiendo la condicioacuten 22 se puede demostrar a partir de 21 que las soluciones que

permiten se obtienen eligiendo el signo negativo cuando

y eligiendo el signo positivo cuando

La condicioacuten necesaria de estabilidad se puede reescribir en funcioacuten de los paraacutemetros S de la siguiente forma

donde se define el paraacutemetro

Luego concluimos que otra condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es

Se puede demostrar que cuando las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas la ganancia de potencia se puede escribir como

Ecuacioacuten 23

donde el factor se llama figura de meacuterito del dispositivo

Notar que el valor liacutemite maacuteximo de la ganancia estable se obtiene cuando y su valor es

Ecuacioacuten 24

A partir de la ecuacioacuten 23 se deduce que para usar adaptacioacuten de impedancias

conjugadas tiene que cumplirse la condicioacuten necesaria de estabilidad En otras palabras no se puede usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas si el dispositivo (ie el transistor) es inestable

5 Disentildeo de amplificadores

Figura 6 Estrategia de disentildeo Amplificador de una etapa

Especificaciones de disentildeo

1048708 Maacutexima ganancia de potencia por sobre un valor miacutenimo

1048708 Miacutenima figura de ruido por debajo de un valor miacutenimo

1048708 VSWR a la entrada y la salida sin exceder valores maacuteximos

Se asumen conocidos los paraacutemetros Sij Fm Γm y RN o GI

Algoritmo de Disentildeo

Paso 1 Evaluar las condiciones de estabilidad Si se cumplen seguir con paso 2 3 y 4 Caso contrario (Klt1) seguir con 5 y 6

Paso 2 Evaluar si es posible usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas Si la ganancia y figura de ruido son aceptables se termina Caso contrario seguir con 3

Paso 3 Se evaluacutea si es posible usar Γs = Γm (ie miacutenima figura de ruido) Se construye la siguiente funcioacuten objetivo

dado un valor de gp se busca en el correspondiente ciacuterculo de ganancia constante el valor de que maximiza la funcioacuten objetivo Si los valores de VSWR son aceptables terminar Caso contrario seguir con paso 4

Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria

Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6

Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad

1 Introduccioacuten

Los amplificadores de microondas usualmente se construyen en Circuitos Integrados de Microondas (MIC) tanto hiacutebridos como monoliacuteticos (MMIC) En construccioacuten hiacutebrida las liacuteneas de transmisioacuten y las mallas de adaptacioacuten usualmente se hacen como elementos de circuito microstrip sobre un substrato dieleacutectrico y los componentes discretos (condensadores resistencias transistores etc) se conectan soldando Los dispositivos discretos vienen con terminales conductores para facilitar su insercioacuten en un circuito hiacutebrido

En los MIC monoliacuteticos (MMIC) todos los elementos que conforman el circuito (liacuteneas de transmisioacuten redes de adaptacioacuten elementos activos y pasivos etc) se construyen en un uacutenico cristal semiconductor Esta tecnologiacutea es principalmente utilizada en la produccioacuten a gran escala

En general se pueden distinguir los siguientes objetivos en el disentildeo de amplificadores de microondas

bull Maacutexima ganancia de potencia bull Miacutenima figura de ruido para la primera etapa bull Ganancia estable ie sin oscilaciones bull Razoacuten de onda estacionaria (VSWR) cercana a la unidad tanto en la entrada como

en la salida bull Ganancia uniforme en una cierta banda de frecuencia bull Respuesta en frecuencia de la fase lineal ie sin distorsioacuten bull Insensibilidad a cambios en los paraacutemetros S o cambios en la polarizacioacuten

Es importante notar que existen muchos compromisos o trade offs entre estos objetivos de disentildeo Por ejemplo en el disentildeo de amplificadores de bajo ruido es necesario sacrificar ganancia y VSWR a la entrada a cambio de una figura de ruido aceptable (maacutes adelante definiremos figura de ruido)

Las especificaciones de disentildeo estaacuten todas interrelacionadas lo cual hace el problema casi inmanejable sin el uso de una estrategia de optimizacioacuten computacional dado que cada requerimiento impone restricciones sobre los otros y las ecuaciones que definen estas restricciones no son sencillas Por esta razoacuten la visualizacioacuten de las restricciones en una carta de Smith facilita enormemente la comprensioacuten del conflicto entre los requerimientos

2 Redes de dos puertas

21 Propiedad de conservacioacuten del factor de desadaptacioacuten en redes sin peacuterdidas

Figura 1 Red lineal de dos puertos sin peacuterdidas conectada a una fuente y una carga

En el esquema de la figura 1 se muestra una red lineal de dos puertos sin peacuterdidas

conectada a una fuente de voltaje con una impedancia de fuente y

una carga de impedancia La impedancia mirando a la red desde el

lado de la fuente es La potencia que entra a la red estaacute dada por

Ecuacioacuten 1

donde

A partir de la ecuacioacuten se observa que la potencia que entra a la red alcanza su

valor maacuteximo cuando ie cuando las partes imaginarias se cancelan en el denominador de la expresioacuten

Definimos como la potencia disponible de la fuente a la maacutexima potencia que puede entrar a la red (y que entra totalmente a la red cuando la impedancia de entrada estaacute adaptada conjugada con la impedancia de la fuente) Entonces se tiene

Ecuacioacuten 2

Cuando entonces la potencia que entra a la red es menor que la potencia disponible de la fuente y estaacute dada por

Ecuacioacuten 3

Ecuacioacuten 4

La expresioacuten anterior nos dice que cuando no hay adaptacioacuten de impedancia la potencia que efectivamente entra a la red es una fraccioacuten M de la potencia disponible de la fuente Definimos M como el factor de desadaptacioacuten de impedancia (mismatch factor) a la entrada de la red El factor de desadaptacioacuten tambieacuten se puede ver como un coeficiente de transmisioacuten de potencia

Tambieacuten se puede definir el factor de desadaptacioacuten de impedancia a la salida como

donde es la potencia disponible entregada por la red a la carga y es la

potencia efectivamente entregada a

Como la red es sin peacuterdidas por definicioacuten la potencia que entra a la red se traspasa

completamente a la carga ie Ademaacutes se puede demostrar que la potencia disponible de la fuente es igual a la potencia disponible entregada por la red a la carga ie Luego para una red lineal pasiva sin peacuterdidas se tiene que el factor

de desadaptacioacuten es el mismo a la entrada y a la salida ie se conserva

En general para varias redes lineales pasivas sin peacuterdidas (reciacuteprocas) en cascada como se muestra en la figura 2 se puede demostrar que

Ecuacioacuten 5a

Ecuacioacuten 5b

Ecuacioacuten 5c

Figura 2 Conexioacuten en cascada de varias redes sin peacuterdidas entre la fuente y la carga

En una red lineal activa (ie no reciproca) el factor de desadaptacioacuten no se conserva Por ejemplo en el caso de un amplificador visto como red de dos puertos la potencia entregada a la carga es mayor que la potencia a la entrada

22 Definiciones de Ganancia

Figura 3 Red lineal activa con ganancia de potencia Gp

Para el amplificador baacutesico de la figura 3 se definen las siguientes ganancias

1) Ganancia de potencia

2) Ganancia de transductor

3) Ganancia de potencia disponible

Para el caso de redes lineales pasivas sin peacuterdidas la ganancia de potencia es unitaria

Si las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas a la entrada y a la salida del amplificador entonces la ganancia de potencia es maacutexima y se cumple que y

siempre y cuando el dispositivo sea

absolutamente estable Si las impedancias no estaacuten adaptadas conjugadas entonces la ganancia de potencia no es maacutexima

23 VSWR coeficiente de reflexioacuten y factor de desadaptacioacuten en amplificadores multietapa

Figura 4 Amplificador de dos etapas con mallas de adaptacioacuten

En la figura 4 se muestra un amplificador de dos etapas con mallas de adaptacioacuten entre etapas conectado a liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc tanto a la entrada como a la salida Entre cada etapa existen coeficientes de reflexioacuten definidos por las respectivas impedancias entre etapas En particular el coeficiente de reflexioacuten que enfrenta la onda de voltaje incidente V+ estaacute dado por

donde es la impedancia de entrada a la malla de adaptacioacuten 1 normalizada La potencia incidente proveniente de la liacutenea de transmisioacuten estaacute dada por

y la potencia que entra a la malla 1 donde Ms

es el

factor de desadaptacioacuten de impedancia entre la liacutenea de transmisioacuten y la malla 1

Se puede demostrar que lo que nos entrega la siguiente ecuacioacuten que relaciona el factor de desadaptacioacuten con el coeficiente de reflexioacuten

Ecuacioacuten 6

Con la ecuacioacuten 6 y usando la expresioacuten de VSWR en funcioacuten del coeficiente de reflexioacuten se puede obtener la siguiente ecuacioacuten que relaciona la razoacuten de onda

estacionaria VSWR1 a la entrada de la malla de adaptacioacuten 1 con el factor de

desadaptacioacuten Ms

Ecuacioacuten 7

Notar que el factor de desadaptacioacuten a la entrada y a la salida de las mallas de adaptacioacuten es el mismo esto porque las suponemos sin peacuterdidas Luego la razoacuten de onda estacionaria VSWR1 tambieacuten depende del grado de desadaptacioacuten entre Zs y Zin

Entonces el disentildeo de la malla 1 ademaacutes de definir un Ms que produzca una figura de ruido oacuteptima al mismo tiempo debe mantener las restricciones de VSWR a la entrada y la estabilidad del amplificador con una ganancia aceptable seguacuten los requerimientos Maacutes adelante veremos este problema en detalle Recordando que las mallas de adaptacioacuten (lineales pasivas y sin peacuterdidas) tienen ganancia unitaria es faacutecil ver que la potencia que recibe la carga estaacute dada por

Ecuacioacuten 8

donde definimos Gp como la ganancia de potencia de las dos etapas Tambieacuten se puede reescribir la ecuacioacuten anterior en funcioacuten de la ganancia de transductor G

Ecuacioacuten 9

3 Ganancia en funcioacuten de los paraacutemetros de Scattering

Figura 5 Esquema baacutesico de un amplificador

Queremos encontrar expresiones que relacionen la ganancia de potencia del amplificador con los paraacutemetros de Scattering y las impedancias de fuente y carga (o bien con los coeficientes de reflexioacuten en la fuente y en la carga)

En el circuito baacutesico de la figura 5 el amplificador se conecta a la fuente y a la carga a traveacutes de liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc Suponemos estas liacuteneas de transmisioacuten de largo despreciable

Los coeficientes de reflexioacuten en la carga y en la fuente estaacuten dados por

donde las impedancias se encuentran normalizadas ie

Las ondas incidentes y reflejadas de voltaje se relacionan a traveacutes de la matriz de paraacutemetros de Scattering de la siguiente forma

Ecuacioacuten 10

Ecuacioacuten 11

A partir de la ecuacioacuten 10 y 11 y la definicioacuten de ΓL y Γs se puede demostrar que

Ecuacioacuten 12

Ecuacioacuten 13

donde se define

Los factores de desadaptacioacuten de impedancia Ms y ML estaacuten dados por

Usando las expresiones de los coeficientes de reflexioacuten en funcioacuten de las impedancias se demostrar que

Ecuacioacuten 14

Ecuacioacuten 15

Para obtener la ganancia de potencia GP necesitamos calcular Pin y PL

Usando las expresiones anteriores se llega a

Ecuacioacuten 16

Ecuacioacuten 17

Usando las ecuaciones anteriores finalmente se puede demostrar que

Ecuacioacuten 18

Ecuacioacuten 19

Donde

4 Estabilidad

41 Estabilidad en amplificadores

La estabilidad o la resistencia a la oscilacioacuten de un amplificador de microondas es uno de los maacutes importantes objetivos de disentildeo La estabilidad se puede determinar a partir los paraacutemetros S las mallas de adaptacioacuten a la entrada y a la salida y las terminaciones del circuito

A altas frecuencias un transistor presenta una retroalimentacioacuten intriacutenseca de la salida a

la entrada principalmente debido a las capacitancias finitas presentes en el dispositivo De esta forma el dispositivo puede ser potencialmente inestable y a menos que el circuito sea disentildeado adecuadamente puede oscilar inutilizando su uso como amplificador

Mirando el problema desde el punto de vista de ondas las condiciones de estabilidad establecen que la potencia reflejada en los puertos del amplificador debe ser menor que la potencia incidente ie los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador deben ser en moacutedulo menores que uno Cuando el amplificador cumple las condiciones de estabilidad para todo valor de impedancias de fuente y carga se dice que el amplificador es absolutamente estable Si se cumplen las condiciones solo para ciertos valores restringidos de impedancia el amplificador es potencialmente estable En caso contrario es inestable

Notar que si los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador son de moacutedulo mayor que uno entonces las partes reales de las impedancias de entrada y salida del dispositivo tendraacuten parte real negativa Por ejemplo si en el amplificador de

la figura 5 se tiene que entonces

Luego una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta del dispositivo a una

frecuencia dada es que las resistencias de entrada y salida y

sean positivas El caso liacutemite se da cuando la impedancias son

reactivas puras ie

42 Adaptacioacuten de impedancias y estabilidad

En el circuito de la figura 5 se puede obtener maacutexima transferencia de potencia

adaptando las impedancias ie eligiendo

Utilizando las ecuaciones 12 y 13 se tiene que las condiciones para adaptar las impedancias equivalen al siguiente sistema

Ecuacioacuten 20a

Ecuacioacuten 20b

Resolviendo el sistema anterior para Γs y ΓL se obtienen las siguientes soluciones

Ecuacioacuten 21a

Ecuacioacuten 21b

Donde

Ahora hay que ver cuaacuteles son las soluciones del sistema 20 que producen

Para esto notamos que si

entonces y

y ademaacutes se cumple que

Luego concluimos que una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es

Ecuacioacuten 22

Asumiendo la condicioacuten 22 se puede demostrar a partir de 21 que las soluciones que

permiten se obtienen eligiendo el signo negativo cuando

y eligiendo el signo positivo cuando

La condicioacuten necesaria de estabilidad se puede reescribir en funcioacuten de los paraacutemetros S de la siguiente forma

donde se define el paraacutemetro

Luego concluimos que otra condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es

Se puede demostrar que cuando las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas la ganancia de potencia se puede escribir como

Ecuacioacuten 23

donde el factor se llama figura de meacuterito del dispositivo

Notar que el valor liacutemite maacuteximo de la ganancia estable se obtiene cuando y su valor es

Ecuacioacuten 24

A partir de la ecuacioacuten 23 se deduce que para usar adaptacioacuten de impedancias

conjugadas tiene que cumplirse la condicioacuten necesaria de estabilidad En otras palabras no se puede usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas si el dispositivo (ie el transistor) es inestable

5 Disentildeo de amplificadores

Figura 6 Estrategia de disentildeo Amplificador de una etapa

Especificaciones de disentildeo

1048708 Maacutexima ganancia de potencia por sobre un valor miacutenimo

1048708 Miacutenima figura de ruido por debajo de un valor miacutenimo

1048708 VSWR a la entrada y la salida sin exceder valores maacuteximos

Se asumen conocidos los paraacutemetros Sij Fm Γm y RN o GI

Algoritmo de Disentildeo

Paso 1 Evaluar las condiciones de estabilidad Si se cumplen seguir con paso 2 3 y 4 Caso contrario (Klt1) seguir con 5 y 6

Paso 2 Evaluar si es posible usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas Si la ganancia y figura de ruido son aceptables se termina Caso contrario seguir con 3

Paso 3 Se evaluacutea si es posible usar Γs = Γm (ie miacutenima figura de ruido) Se construye la siguiente funcioacuten objetivo

dado un valor de gp se busca en el correspondiente ciacuterculo de ganancia constante el valor de que maximiza la funcioacuten objetivo Si los valores de VSWR son aceptables terminar Caso contrario seguir con paso 4

Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria

Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6

Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad

2 Redes de dos puertas

21 Propiedad de conservacioacuten del factor de desadaptacioacuten en redes sin peacuterdidas

Figura 1 Red lineal de dos puertos sin peacuterdidas conectada a una fuente y una carga

En el esquema de la figura 1 se muestra una red lineal de dos puertos sin peacuterdidas

conectada a una fuente de voltaje con una impedancia de fuente y

una carga de impedancia La impedancia mirando a la red desde el

lado de la fuente es La potencia que entra a la red estaacute dada por

Ecuacioacuten 1

donde

A partir de la ecuacioacuten se observa que la potencia que entra a la red alcanza su

valor maacuteximo cuando ie cuando las partes imaginarias se cancelan en el denominador de la expresioacuten

Definimos como la potencia disponible de la fuente a la maacutexima potencia que puede entrar a la red (y que entra totalmente a la red cuando la impedancia de entrada estaacute adaptada conjugada con la impedancia de la fuente) Entonces se tiene

Ecuacioacuten 2

Cuando entonces la potencia que entra a la red es menor que la potencia disponible de la fuente y estaacute dada por

Ecuacioacuten 3

Ecuacioacuten 4

La expresioacuten anterior nos dice que cuando no hay adaptacioacuten de impedancia la potencia que efectivamente entra a la red es una fraccioacuten M de la potencia disponible de la fuente Definimos M como el factor de desadaptacioacuten de impedancia (mismatch factor) a la entrada de la red El factor de desadaptacioacuten tambieacuten se puede ver como un coeficiente de transmisioacuten de potencia

Tambieacuten se puede definir el factor de desadaptacioacuten de impedancia a la salida como

donde es la potencia disponible entregada por la red a la carga y es la

potencia efectivamente entregada a

Como la red es sin peacuterdidas por definicioacuten la potencia que entra a la red se traspasa

completamente a la carga ie Ademaacutes se puede demostrar que la potencia disponible de la fuente es igual a la potencia disponible entregada por la red a la carga ie Luego para una red lineal pasiva sin peacuterdidas se tiene que el factor

de desadaptacioacuten es el mismo a la entrada y a la salida ie se conserva

En general para varias redes lineales pasivas sin peacuterdidas (reciacuteprocas) en cascada como se muestra en la figura 2 se puede demostrar que

Ecuacioacuten 5a

Ecuacioacuten 5b

Ecuacioacuten 5c

Figura 2 Conexioacuten en cascada de varias redes sin peacuterdidas entre la fuente y la carga

En una red lineal activa (ie no reciproca) el factor de desadaptacioacuten no se conserva Por ejemplo en el caso de un amplificador visto como red de dos puertos la potencia entregada a la carga es mayor que la potencia a la entrada

22 Definiciones de Ganancia

Figura 3 Red lineal activa con ganancia de potencia Gp

Para el amplificador baacutesico de la figura 3 se definen las siguientes ganancias

1) Ganancia de potencia

2) Ganancia de transductor

3) Ganancia de potencia disponible

Para el caso de redes lineales pasivas sin peacuterdidas la ganancia de potencia es unitaria

Si las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas a la entrada y a la salida del amplificador entonces la ganancia de potencia es maacutexima y se cumple que y

siempre y cuando el dispositivo sea

absolutamente estable Si las impedancias no estaacuten adaptadas conjugadas entonces la ganancia de potencia no es maacutexima

23 VSWR coeficiente de reflexioacuten y factor de desadaptacioacuten en amplificadores multietapa

Figura 4 Amplificador de dos etapas con mallas de adaptacioacuten

En la figura 4 se muestra un amplificador de dos etapas con mallas de adaptacioacuten entre etapas conectado a liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc tanto a la entrada como a la salida Entre cada etapa existen coeficientes de reflexioacuten definidos por las respectivas impedancias entre etapas En particular el coeficiente de reflexioacuten que enfrenta la onda de voltaje incidente V+ estaacute dado por

donde es la impedancia de entrada a la malla de adaptacioacuten 1 normalizada La potencia incidente proveniente de la liacutenea de transmisioacuten estaacute dada por

y la potencia que entra a la malla 1 donde Ms

es el

factor de desadaptacioacuten de impedancia entre la liacutenea de transmisioacuten y la malla 1

Se puede demostrar que lo que nos entrega la siguiente ecuacioacuten que relaciona el factor de desadaptacioacuten con el coeficiente de reflexioacuten

Ecuacioacuten 6

Con la ecuacioacuten 6 y usando la expresioacuten de VSWR en funcioacuten del coeficiente de reflexioacuten se puede obtener la siguiente ecuacioacuten que relaciona la razoacuten de onda

estacionaria VSWR1 a la entrada de la malla de adaptacioacuten 1 con el factor de

desadaptacioacuten Ms

Ecuacioacuten 7

Notar que el factor de desadaptacioacuten a la entrada y a la salida de las mallas de adaptacioacuten es el mismo esto porque las suponemos sin peacuterdidas Luego la razoacuten de onda estacionaria VSWR1 tambieacuten depende del grado de desadaptacioacuten entre Zs y Zin

Entonces el disentildeo de la malla 1 ademaacutes de definir un Ms que produzca una figura de ruido oacuteptima al mismo tiempo debe mantener las restricciones de VSWR a la entrada y la estabilidad del amplificador con una ganancia aceptable seguacuten los requerimientos Maacutes adelante veremos este problema en detalle Recordando que las mallas de adaptacioacuten (lineales pasivas y sin peacuterdidas) tienen ganancia unitaria es faacutecil ver que la potencia que recibe la carga estaacute dada por

Ecuacioacuten 8

donde definimos Gp como la ganancia de potencia de las dos etapas Tambieacuten se puede reescribir la ecuacioacuten anterior en funcioacuten de la ganancia de transductor G

Ecuacioacuten 9

3 Ganancia en funcioacuten de los paraacutemetros de Scattering

Figura 5 Esquema baacutesico de un amplificador

Queremos encontrar expresiones que relacionen la ganancia de potencia del amplificador con los paraacutemetros de Scattering y las impedancias de fuente y carga (o bien con los coeficientes de reflexioacuten en la fuente y en la carga)

En el circuito baacutesico de la figura 5 el amplificador se conecta a la fuente y a la carga a traveacutes de liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc Suponemos estas liacuteneas de transmisioacuten de largo despreciable

Los coeficientes de reflexioacuten en la carga y en la fuente estaacuten dados por

donde las impedancias se encuentran normalizadas ie

Las ondas incidentes y reflejadas de voltaje se relacionan a traveacutes de la matriz de paraacutemetros de Scattering de la siguiente forma

Ecuacioacuten 10

Ecuacioacuten 11

A partir de la ecuacioacuten 10 y 11 y la definicioacuten de ΓL y Γs se puede demostrar que

Ecuacioacuten 12

Ecuacioacuten 13

donde se define

Los factores de desadaptacioacuten de impedancia Ms y ML estaacuten dados por

Usando las expresiones de los coeficientes de reflexioacuten en funcioacuten de las impedancias se demostrar que

Ecuacioacuten 14

Ecuacioacuten 15

Para obtener la ganancia de potencia GP necesitamos calcular Pin y PL

Usando las expresiones anteriores se llega a

Ecuacioacuten 16

Ecuacioacuten 17

Usando las ecuaciones anteriores finalmente se puede demostrar que

Ecuacioacuten 18

Ecuacioacuten 19

Donde

4 Estabilidad

41 Estabilidad en amplificadores

La estabilidad o la resistencia a la oscilacioacuten de un amplificador de microondas es uno de los maacutes importantes objetivos de disentildeo La estabilidad se puede determinar a partir los paraacutemetros S las mallas de adaptacioacuten a la entrada y a la salida y las terminaciones del circuito

A altas frecuencias un transistor presenta una retroalimentacioacuten intriacutenseca de la salida a

la entrada principalmente debido a las capacitancias finitas presentes en el dispositivo De esta forma el dispositivo puede ser potencialmente inestable y a menos que el circuito sea disentildeado adecuadamente puede oscilar inutilizando su uso como amplificador

Mirando el problema desde el punto de vista de ondas las condiciones de estabilidad establecen que la potencia reflejada en los puertos del amplificador debe ser menor que la potencia incidente ie los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador deben ser en moacutedulo menores que uno Cuando el amplificador cumple las condiciones de estabilidad para todo valor de impedancias de fuente y carga se dice que el amplificador es absolutamente estable Si se cumplen las condiciones solo para ciertos valores restringidos de impedancia el amplificador es potencialmente estable En caso contrario es inestable

Notar que si los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador son de moacutedulo mayor que uno entonces las partes reales de las impedancias de entrada y salida del dispositivo tendraacuten parte real negativa Por ejemplo si en el amplificador de

la figura 5 se tiene que entonces

Luego una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta del dispositivo a una

frecuencia dada es que las resistencias de entrada y salida y

sean positivas El caso liacutemite se da cuando la impedancias son

reactivas puras ie

42 Adaptacioacuten de impedancias y estabilidad

En el circuito de la figura 5 se puede obtener maacutexima transferencia de potencia

adaptando las impedancias ie eligiendo

Utilizando las ecuaciones 12 y 13 se tiene que las condiciones para adaptar las impedancias equivalen al siguiente sistema

Ecuacioacuten 20a

Ecuacioacuten 20b

Resolviendo el sistema anterior para Γs y ΓL se obtienen las siguientes soluciones

Ecuacioacuten 21a

Ecuacioacuten 21b

Donde

Ahora hay que ver cuaacuteles son las soluciones del sistema 20 que producen

Para esto notamos que si

entonces y

y ademaacutes se cumple que

Luego concluimos que una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es

Ecuacioacuten 22

Asumiendo la condicioacuten 22 se puede demostrar a partir de 21 que las soluciones que

permiten se obtienen eligiendo el signo negativo cuando

y eligiendo el signo positivo cuando

La condicioacuten necesaria de estabilidad se puede reescribir en funcioacuten de los paraacutemetros S de la siguiente forma

donde se define el paraacutemetro

Luego concluimos que otra condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es

Se puede demostrar que cuando las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas la ganancia de potencia se puede escribir como

Ecuacioacuten 23

donde el factor se llama figura de meacuterito del dispositivo

Notar que el valor liacutemite maacuteximo de la ganancia estable se obtiene cuando y su valor es

Ecuacioacuten 24

A partir de la ecuacioacuten 23 se deduce que para usar adaptacioacuten de impedancias

conjugadas tiene que cumplirse la condicioacuten necesaria de estabilidad En otras palabras no se puede usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas si el dispositivo (ie el transistor) es inestable

5 Disentildeo de amplificadores

Figura 6 Estrategia de disentildeo Amplificador de una etapa

Especificaciones de disentildeo

1048708 Maacutexima ganancia de potencia por sobre un valor miacutenimo

1048708 Miacutenima figura de ruido por debajo de un valor miacutenimo

1048708 VSWR a la entrada y la salida sin exceder valores maacuteximos

Se asumen conocidos los paraacutemetros Sij Fm Γm y RN o GI

Algoritmo de Disentildeo

Paso 1 Evaluar las condiciones de estabilidad Si se cumplen seguir con paso 2 3 y 4 Caso contrario (Klt1) seguir con 5 y 6

Paso 2 Evaluar si es posible usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas Si la ganancia y figura de ruido son aceptables se termina Caso contrario seguir con 3

Paso 3 Se evaluacutea si es posible usar Γs = Γm (ie miacutenima figura de ruido) Se construye la siguiente funcioacuten objetivo

dado un valor de gp se busca en el correspondiente ciacuterculo de ganancia constante el valor de que maximiza la funcioacuten objetivo Si los valores de VSWR son aceptables terminar Caso contrario seguir con paso 4

Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria

Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6

Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad

Ecuacioacuten 2

Cuando entonces la potencia que entra a la red es menor que la potencia disponible de la fuente y estaacute dada por

Ecuacioacuten 3

Ecuacioacuten 4

La expresioacuten anterior nos dice que cuando no hay adaptacioacuten de impedancia la potencia que efectivamente entra a la red es una fraccioacuten M de la potencia disponible de la fuente Definimos M como el factor de desadaptacioacuten de impedancia (mismatch factor) a la entrada de la red El factor de desadaptacioacuten tambieacuten se puede ver como un coeficiente de transmisioacuten de potencia

Tambieacuten se puede definir el factor de desadaptacioacuten de impedancia a la salida como

donde es la potencia disponible entregada por la red a la carga y es la

potencia efectivamente entregada a

Como la red es sin peacuterdidas por definicioacuten la potencia que entra a la red se traspasa

completamente a la carga ie Ademaacutes se puede demostrar que la potencia disponible de la fuente es igual a la potencia disponible entregada por la red a la carga ie Luego para una red lineal pasiva sin peacuterdidas se tiene que el factor

de desadaptacioacuten es el mismo a la entrada y a la salida ie se conserva

En general para varias redes lineales pasivas sin peacuterdidas (reciacuteprocas) en cascada como se muestra en la figura 2 se puede demostrar que

Ecuacioacuten 5a

Ecuacioacuten 5b

Ecuacioacuten 5c

Figura 2 Conexioacuten en cascada de varias redes sin peacuterdidas entre la fuente y la carga

En una red lineal activa (ie no reciproca) el factor de desadaptacioacuten no se conserva Por ejemplo en el caso de un amplificador visto como red de dos puertos la potencia entregada a la carga es mayor que la potencia a la entrada

22 Definiciones de Ganancia

Figura 3 Red lineal activa con ganancia de potencia Gp

Para el amplificador baacutesico de la figura 3 se definen las siguientes ganancias

1) Ganancia de potencia

2) Ganancia de transductor

3) Ganancia de potencia disponible

Para el caso de redes lineales pasivas sin peacuterdidas la ganancia de potencia es unitaria

Si las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas a la entrada y a la salida del amplificador entonces la ganancia de potencia es maacutexima y se cumple que y

siempre y cuando el dispositivo sea

absolutamente estable Si las impedancias no estaacuten adaptadas conjugadas entonces la ganancia de potencia no es maacutexima

23 VSWR coeficiente de reflexioacuten y factor de desadaptacioacuten en amplificadores multietapa

Figura 4 Amplificador de dos etapas con mallas de adaptacioacuten

En la figura 4 se muestra un amplificador de dos etapas con mallas de adaptacioacuten entre etapas conectado a liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc tanto a la entrada como a la salida Entre cada etapa existen coeficientes de reflexioacuten definidos por las respectivas impedancias entre etapas En particular el coeficiente de reflexioacuten que enfrenta la onda de voltaje incidente V+ estaacute dado por

donde es la impedancia de entrada a la malla de adaptacioacuten 1 normalizada La potencia incidente proveniente de la liacutenea de transmisioacuten estaacute dada por

y la potencia que entra a la malla 1 donde Ms

es el

factor de desadaptacioacuten de impedancia entre la liacutenea de transmisioacuten y la malla 1

Se puede demostrar que lo que nos entrega la siguiente ecuacioacuten que relaciona el factor de desadaptacioacuten con el coeficiente de reflexioacuten

Ecuacioacuten 6

Con la ecuacioacuten 6 y usando la expresioacuten de VSWR en funcioacuten del coeficiente de reflexioacuten se puede obtener la siguiente ecuacioacuten que relaciona la razoacuten de onda

estacionaria VSWR1 a la entrada de la malla de adaptacioacuten 1 con el factor de

desadaptacioacuten Ms

Ecuacioacuten 7

Notar que el factor de desadaptacioacuten a la entrada y a la salida de las mallas de adaptacioacuten es el mismo esto porque las suponemos sin peacuterdidas Luego la razoacuten de onda estacionaria VSWR1 tambieacuten depende del grado de desadaptacioacuten entre Zs y Zin

Entonces el disentildeo de la malla 1 ademaacutes de definir un Ms que produzca una figura de ruido oacuteptima al mismo tiempo debe mantener las restricciones de VSWR a la entrada y la estabilidad del amplificador con una ganancia aceptable seguacuten los requerimientos Maacutes adelante veremos este problema en detalle Recordando que las mallas de adaptacioacuten (lineales pasivas y sin peacuterdidas) tienen ganancia unitaria es faacutecil ver que la potencia que recibe la carga estaacute dada por

Ecuacioacuten 8

donde definimos Gp como la ganancia de potencia de las dos etapas Tambieacuten se puede reescribir la ecuacioacuten anterior en funcioacuten de la ganancia de transductor G

Ecuacioacuten 9

3 Ganancia en funcioacuten de los paraacutemetros de Scattering

Figura 5 Esquema baacutesico de un amplificador

Queremos encontrar expresiones que relacionen la ganancia de potencia del amplificador con los paraacutemetros de Scattering y las impedancias de fuente y carga (o bien con los coeficientes de reflexioacuten en la fuente y en la carga)

En el circuito baacutesico de la figura 5 el amplificador se conecta a la fuente y a la carga a traveacutes de liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc Suponemos estas liacuteneas de transmisioacuten de largo despreciable

Los coeficientes de reflexioacuten en la carga y en la fuente estaacuten dados por

donde las impedancias se encuentran normalizadas ie

Las ondas incidentes y reflejadas de voltaje se relacionan a traveacutes de la matriz de paraacutemetros de Scattering de la siguiente forma

Ecuacioacuten 10

Ecuacioacuten 11

A partir de la ecuacioacuten 10 y 11 y la definicioacuten de ΓL y Γs se puede demostrar que

Ecuacioacuten 12

Ecuacioacuten 13

donde se define

Los factores de desadaptacioacuten de impedancia Ms y ML estaacuten dados por

Usando las expresiones de los coeficientes de reflexioacuten en funcioacuten de las impedancias se demostrar que

Ecuacioacuten 14

Ecuacioacuten 15

Para obtener la ganancia de potencia GP necesitamos calcular Pin y PL

Usando las expresiones anteriores se llega a

Ecuacioacuten 16

Ecuacioacuten 17

Usando las ecuaciones anteriores finalmente se puede demostrar que

Ecuacioacuten 18

Ecuacioacuten 19

Donde

4 Estabilidad

41 Estabilidad en amplificadores

La estabilidad o la resistencia a la oscilacioacuten de un amplificador de microondas es uno de los maacutes importantes objetivos de disentildeo La estabilidad se puede determinar a partir los paraacutemetros S las mallas de adaptacioacuten a la entrada y a la salida y las terminaciones del circuito

A altas frecuencias un transistor presenta una retroalimentacioacuten intriacutenseca de la salida a

la entrada principalmente debido a las capacitancias finitas presentes en el dispositivo De esta forma el dispositivo puede ser potencialmente inestable y a menos que el circuito sea disentildeado adecuadamente puede oscilar inutilizando su uso como amplificador

Mirando el problema desde el punto de vista de ondas las condiciones de estabilidad establecen que la potencia reflejada en los puertos del amplificador debe ser menor que la potencia incidente ie los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador deben ser en moacutedulo menores que uno Cuando el amplificador cumple las condiciones de estabilidad para todo valor de impedancias de fuente y carga se dice que el amplificador es absolutamente estable Si se cumplen las condiciones solo para ciertos valores restringidos de impedancia el amplificador es potencialmente estable En caso contrario es inestable

Notar que si los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador son de moacutedulo mayor que uno entonces las partes reales de las impedancias de entrada y salida del dispositivo tendraacuten parte real negativa Por ejemplo si en el amplificador de

la figura 5 se tiene que entonces

Luego una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta del dispositivo a una

frecuencia dada es que las resistencias de entrada y salida y

sean positivas El caso liacutemite se da cuando la impedancias son

reactivas puras ie

42 Adaptacioacuten de impedancias y estabilidad

En el circuito de la figura 5 se puede obtener maacutexima transferencia de potencia

adaptando las impedancias ie eligiendo

Utilizando las ecuaciones 12 y 13 se tiene que las condiciones para adaptar las impedancias equivalen al siguiente sistema

Ecuacioacuten 20a

Ecuacioacuten 20b

Resolviendo el sistema anterior para Γs y ΓL se obtienen las siguientes soluciones

Ecuacioacuten 21a

Ecuacioacuten 21b

Donde

Ahora hay que ver cuaacuteles son las soluciones del sistema 20 que producen

Para esto notamos que si

entonces y

y ademaacutes se cumple que

Luego concluimos que una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es

Ecuacioacuten 22

Asumiendo la condicioacuten 22 se puede demostrar a partir de 21 que las soluciones que

permiten se obtienen eligiendo el signo negativo cuando

y eligiendo el signo positivo cuando

La condicioacuten necesaria de estabilidad se puede reescribir en funcioacuten de los paraacutemetros S de la siguiente forma

donde se define el paraacutemetro

Luego concluimos que otra condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es

Se puede demostrar que cuando las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas la ganancia de potencia se puede escribir como

Ecuacioacuten 23

donde el factor se llama figura de meacuterito del dispositivo

Notar que el valor liacutemite maacuteximo de la ganancia estable se obtiene cuando y su valor es

Ecuacioacuten 24

A partir de la ecuacioacuten 23 se deduce que para usar adaptacioacuten de impedancias

conjugadas tiene que cumplirse la condicioacuten necesaria de estabilidad En otras palabras no se puede usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas si el dispositivo (ie el transistor) es inestable

5 Disentildeo de amplificadores

Figura 6 Estrategia de disentildeo Amplificador de una etapa

Especificaciones de disentildeo

1048708 Maacutexima ganancia de potencia por sobre un valor miacutenimo

1048708 Miacutenima figura de ruido por debajo de un valor miacutenimo

1048708 VSWR a la entrada y la salida sin exceder valores maacuteximos

Se asumen conocidos los paraacutemetros Sij Fm Γm y RN o GI

Algoritmo de Disentildeo

Paso 1 Evaluar las condiciones de estabilidad Si se cumplen seguir con paso 2 3 y 4 Caso contrario (Klt1) seguir con 5 y 6

Paso 2 Evaluar si es posible usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas Si la ganancia y figura de ruido son aceptables se termina Caso contrario seguir con 3

Paso 3 Se evaluacutea si es posible usar Γs = Γm (ie miacutenima figura de ruido) Se construye la siguiente funcioacuten objetivo

dado un valor de gp se busca en el correspondiente ciacuterculo de ganancia constante el valor de que maximiza la funcioacuten objetivo Si los valores de VSWR son aceptables terminar Caso contrario seguir con paso 4

Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria

Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6

Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad

En general para varias redes lineales pasivas sin peacuterdidas (reciacuteprocas) en cascada como se muestra en la figura 2 se puede demostrar que

Ecuacioacuten 5a

Ecuacioacuten 5b

Ecuacioacuten 5c

Figura 2 Conexioacuten en cascada de varias redes sin peacuterdidas entre la fuente y la carga

En una red lineal activa (ie no reciproca) el factor de desadaptacioacuten no se conserva Por ejemplo en el caso de un amplificador visto como red de dos puertos la potencia entregada a la carga es mayor que la potencia a la entrada

22 Definiciones de Ganancia

Figura 3 Red lineal activa con ganancia de potencia Gp

Para el amplificador baacutesico de la figura 3 se definen las siguientes ganancias

1) Ganancia de potencia

2) Ganancia de transductor

3) Ganancia de potencia disponible

Para el caso de redes lineales pasivas sin peacuterdidas la ganancia de potencia es unitaria

Si las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas a la entrada y a la salida del amplificador entonces la ganancia de potencia es maacutexima y se cumple que y

siempre y cuando el dispositivo sea

absolutamente estable Si las impedancias no estaacuten adaptadas conjugadas entonces la ganancia de potencia no es maacutexima

23 VSWR coeficiente de reflexioacuten y factor de desadaptacioacuten en amplificadores multietapa

Figura 4 Amplificador de dos etapas con mallas de adaptacioacuten

En la figura 4 se muestra un amplificador de dos etapas con mallas de adaptacioacuten entre etapas conectado a liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc tanto a la entrada como a la salida Entre cada etapa existen coeficientes de reflexioacuten definidos por las respectivas impedancias entre etapas En particular el coeficiente de reflexioacuten que enfrenta la onda de voltaje incidente V+ estaacute dado por

donde es la impedancia de entrada a la malla de adaptacioacuten 1 normalizada La potencia incidente proveniente de la liacutenea de transmisioacuten estaacute dada por

y la potencia que entra a la malla 1 donde Ms

es el

factor de desadaptacioacuten de impedancia entre la liacutenea de transmisioacuten y la malla 1

Se puede demostrar que lo que nos entrega la siguiente ecuacioacuten que relaciona el factor de desadaptacioacuten con el coeficiente de reflexioacuten

Ecuacioacuten 6

Con la ecuacioacuten 6 y usando la expresioacuten de VSWR en funcioacuten del coeficiente de reflexioacuten se puede obtener la siguiente ecuacioacuten que relaciona la razoacuten de onda

estacionaria VSWR1 a la entrada de la malla de adaptacioacuten 1 con el factor de

desadaptacioacuten Ms

Ecuacioacuten 7

Notar que el factor de desadaptacioacuten a la entrada y a la salida de las mallas de adaptacioacuten es el mismo esto porque las suponemos sin peacuterdidas Luego la razoacuten de onda estacionaria VSWR1 tambieacuten depende del grado de desadaptacioacuten entre Zs y Zin

Entonces el disentildeo de la malla 1 ademaacutes de definir un Ms que produzca una figura de ruido oacuteptima al mismo tiempo debe mantener las restricciones de VSWR a la entrada y la estabilidad del amplificador con una ganancia aceptable seguacuten los requerimientos Maacutes adelante veremos este problema en detalle Recordando que las mallas de adaptacioacuten (lineales pasivas y sin peacuterdidas) tienen ganancia unitaria es faacutecil ver que la potencia que recibe la carga estaacute dada por

Ecuacioacuten 8

donde definimos Gp como la ganancia de potencia de las dos etapas Tambieacuten se puede reescribir la ecuacioacuten anterior en funcioacuten de la ganancia de transductor G

Ecuacioacuten 9

3 Ganancia en funcioacuten de los paraacutemetros de Scattering

Figura 5 Esquema baacutesico de un amplificador

Queremos encontrar expresiones que relacionen la ganancia de potencia del amplificador con los paraacutemetros de Scattering y las impedancias de fuente y carga (o bien con los coeficientes de reflexioacuten en la fuente y en la carga)

En el circuito baacutesico de la figura 5 el amplificador se conecta a la fuente y a la carga a traveacutes de liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc Suponemos estas liacuteneas de transmisioacuten de largo despreciable

Los coeficientes de reflexioacuten en la carga y en la fuente estaacuten dados por

donde las impedancias se encuentran normalizadas ie

Las ondas incidentes y reflejadas de voltaje se relacionan a traveacutes de la matriz de paraacutemetros de Scattering de la siguiente forma

Ecuacioacuten 10

Ecuacioacuten 11

A partir de la ecuacioacuten 10 y 11 y la definicioacuten de ΓL y Γs se puede demostrar que

Ecuacioacuten 12

Ecuacioacuten 13

donde se define

Los factores de desadaptacioacuten de impedancia Ms y ML estaacuten dados por

Usando las expresiones de los coeficientes de reflexioacuten en funcioacuten de las impedancias se demostrar que

Ecuacioacuten 14

Ecuacioacuten 15

Para obtener la ganancia de potencia GP necesitamos calcular Pin y PL

Usando las expresiones anteriores se llega a

Ecuacioacuten 16

Ecuacioacuten 17

Usando las ecuaciones anteriores finalmente se puede demostrar que

Ecuacioacuten 18

Ecuacioacuten 19

Donde

4 Estabilidad

41 Estabilidad en amplificadores

La estabilidad o la resistencia a la oscilacioacuten de un amplificador de microondas es uno de los maacutes importantes objetivos de disentildeo La estabilidad se puede determinar a partir los paraacutemetros S las mallas de adaptacioacuten a la entrada y a la salida y las terminaciones del circuito

A altas frecuencias un transistor presenta una retroalimentacioacuten intriacutenseca de la salida a

la entrada principalmente debido a las capacitancias finitas presentes en el dispositivo De esta forma el dispositivo puede ser potencialmente inestable y a menos que el circuito sea disentildeado adecuadamente puede oscilar inutilizando su uso como amplificador

Mirando el problema desde el punto de vista de ondas las condiciones de estabilidad establecen que la potencia reflejada en los puertos del amplificador debe ser menor que la potencia incidente ie los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador deben ser en moacutedulo menores que uno Cuando el amplificador cumple las condiciones de estabilidad para todo valor de impedancias de fuente y carga se dice que el amplificador es absolutamente estable Si se cumplen las condiciones solo para ciertos valores restringidos de impedancia el amplificador es potencialmente estable En caso contrario es inestable

Notar que si los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador son de moacutedulo mayor que uno entonces las partes reales de las impedancias de entrada y salida del dispositivo tendraacuten parte real negativa Por ejemplo si en el amplificador de

la figura 5 se tiene que entonces

Luego una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta del dispositivo a una

frecuencia dada es que las resistencias de entrada y salida y

sean positivas El caso liacutemite se da cuando la impedancias son

reactivas puras ie

42 Adaptacioacuten de impedancias y estabilidad

En el circuito de la figura 5 se puede obtener maacutexima transferencia de potencia

adaptando las impedancias ie eligiendo

Utilizando las ecuaciones 12 y 13 se tiene que las condiciones para adaptar las impedancias equivalen al siguiente sistema

Ecuacioacuten 20a

Ecuacioacuten 20b

Resolviendo el sistema anterior para Γs y ΓL se obtienen las siguientes soluciones

Ecuacioacuten 21a

Ecuacioacuten 21b

Donde

Ahora hay que ver cuaacuteles son las soluciones del sistema 20 que producen

Para esto notamos que si

entonces y

y ademaacutes se cumple que

Luego concluimos que una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es

Ecuacioacuten 22

Asumiendo la condicioacuten 22 se puede demostrar a partir de 21 que las soluciones que

permiten se obtienen eligiendo el signo negativo cuando

y eligiendo el signo positivo cuando

La condicioacuten necesaria de estabilidad se puede reescribir en funcioacuten de los paraacutemetros S de la siguiente forma

donde se define el paraacutemetro

Luego concluimos que otra condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es

Se puede demostrar que cuando las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas la ganancia de potencia se puede escribir como

Ecuacioacuten 23

donde el factor se llama figura de meacuterito del dispositivo

Notar que el valor liacutemite maacuteximo de la ganancia estable se obtiene cuando y su valor es

Ecuacioacuten 24

A partir de la ecuacioacuten 23 se deduce que para usar adaptacioacuten de impedancias

conjugadas tiene que cumplirse la condicioacuten necesaria de estabilidad En otras palabras no se puede usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas si el dispositivo (ie el transistor) es inestable

5 Disentildeo de amplificadores

Figura 6 Estrategia de disentildeo Amplificador de una etapa

Especificaciones de disentildeo

1048708 Maacutexima ganancia de potencia por sobre un valor miacutenimo

1048708 Miacutenima figura de ruido por debajo de un valor miacutenimo

1048708 VSWR a la entrada y la salida sin exceder valores maacuteximos

Se asumen conocidos los paraacutemetros Sij Fm Γm y RN o GI

Algoritmo de Disentildeo

Paso 1 Evaluar las condiciones de estabilidad Si se cumplen seguir con paso 2 3 y 4 Caso contrario (Klt1) seguir con 5 y 6

Paso 2 Evaluar si es posible usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas Si la ganancia y figura de ruido son aceptables se termina Caso contrario seguir con 3

Paso 3 Se evaluacutea si es posible usar Γs = Γm (ie miacutenima figura de ruido) Se construye la siguiente funcioacuten objetivo

dado un valor de gp se busca en el correspondiente ciacuterculo de ganancia constante el valor de que maximiza la funcioacuten objetivo Si los valores de VSWR son aceptables terminar Caso contrario seguir con paso 4

Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria

Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6

Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad

22 Definiciones de Ganancia

Figura 3 Red lineal activa con ganancia de potencia Gp

Para el amplificador baacutesico de la figura 3 se definen las siguientes ganancias

1) Ganancia de potencia

2) Ganancia de transductor

3) Ganancia de potencia disponible

Para el caso de redes lineales pasivas sin peacuterdidas la ganancia de potencia es unitaria

Si las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas a la entrada y a la salida del amplificador entonces la ganancia de potencia es maacutexima y se cumple que y

siempre y cuando el dispositivo sea

absolutamente estable Si las impedancias no estaacuten adaptadas conjugadas entonces la ganancia de potencia no es maacutexima

23 VSWR coeficiente de reflexioacuten y factor de desadaptacioacuten en amplificadores multietapa

Figura 4 Amplificador de dos etapas con mallas de adaptacioacuten

En la figura 4 se muestra un amplificador de dos etapas con mallas de adaptacioacuten entre etapas conectado a liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc tanto a la entrada como a la salida Entre cada etapa existen coeficientes de reflexioacuten definidos por las respectivas impedancias entre etapas En particular el coeficiente de reflexioacuten que enfrenta la onda de voltaje incidente V+ estaacute dado por

donde es la impedancia de entrada a la malla de adaptacioacuten 1 normalizada La potencia incidente proveniente de la liacutenea de transmisioacuten estaacute dada por

y la potencia que entra a la malla 1 donde Ms

es el

factor de desadaptacioacuten de impedancia entre la liacutenea de transmisioacuten y la malla 1

Se puede demostrar que lo que nos entrega la siguiente ecuacioacuten que relaciona el factor de desadaptacioacuten con el coeficiente de reflexioacuten

Ecuacioacuten 6

Con la ecuacioacuten 6 y usando la expresioacuten de VSWR en funcioacuten del coeficiente de reflexioacuten se puede obtener la siguiente ecuacioacuten que relaciona la razoacuten de onda

estacionaria VSWR1 a la entrada de la malla de adaptacioacuten 1 con el factor de

desadaptacioacuten Ms

Ecuacioacuten 7

Notar que el factor de desadaptacioacuten a la entrada y a la salida de las mallas de adaptacioacuten es el mismo esto porque las suponemos sin peacuterdidas Luego la razoacuten de onda estacionaria VSWR1 tambieacuten depende del grado de desadaptacioacuten entre Zs y Zin

Entonces el disentildeo de la malla 1 ademaacutes de definir un Ms que produzca una figura de ruido oacuteptima al mismo tiempo debe mantener las restricciones de VSWR a la entrada y la estabilidad del amplificador con una ganancia aceptable seguacuten los requerimientos Maacutes adelante veremos este problema en detalle Recordando que las mallas de adaptacioacuten (lineales pasivas y sin peacuterdidas) tienen ganancia unitaria es faacutecil ver que la potencia que recibe la carga estaacute dada por

Ecuacioacuten 8

donde definimos Gp como la ganancia de potencia de las dos etapas Tambieacuten se puede reescribir la ecuacioacuten anterior en funcioacuten de la ganancia de transductor G

Ecuacioacuten 9

3 Ganancia en funcioacuten de los paraacutemetros de Scattering

Figura 5 Esquema baacutesico de un amplificador

Queremos encontrar expresiones que relacionen la ganancia de potencia del amplificador con los paraacutemetros de Scattering y las impedancias de fuente y carga (o bien con los coeficientes de reflexioacuten en la fuente y en la carga)

En el circuito baacutesico de la figura 5 el amplificador se conecta a la fuente y a la carga a traveacutes de liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc Suponemos estas liacuteneas de transmisioacuten de largo despreciable

Los coeficientes de reflexioacuten en la carga y en la fuente estaacuten dados por

donde las impedancias se encuentran normalizadas ie

Las ondas incidentes y reflejadas de voltaje se relacionan a traveacutes de la matriz de paraacutemetros de Scattering de la siguiente forma

Ecuacioacuten 10

Ecuacioacuten 11

A partir de la ecuacioacuten 10 y 11 y la definicioacuten de ΓL y Γs se puede demostrar que

Ecuacioacuten 12

Ecuacioacuten 13

donde se define

Los factores de desadaptacioacuten de impedancia Ms y ML estaacuten dados por

Usando las expresiones de los coeficientes de reflexioacuten en funcioacuten de las impedancias se demostrar que

Ecuacioacuten 14

Ecuacioacuten 15

Para obtener la ganancia de potencia GP necesitamos calcular Pin y PL

Usando las expresiones anteriores se llega a

Ecuacioacuten 16

Ecuacioacuten 17

Usando las ecuaciones anteriores finalmente se puede demostrar que

Ecuacioacuten 18

Ecuacioacuten 19

Donde

4 Estabilidad

41 Estabilidad en amplificadores

La estabilidad o la resistencia a la oscilacioacuten de un amplificador de microondas es uno de los maacutes importantes objetivos de disentildeo La estabilidad se puede determinar a partir los paraacutemetros S las mallas de adaptacioacuten a la entrada y a la salida y las terminaciones del circuito

A altas frecuencias un transistor presenta una retroalimentacioacuten intriacutenseca de la salida a

la entrada principalmente debido a las capacitancias finitas presentes en el dispositivo De esta forma el dispositivo puede ser potencialmente inestable y a menos que el circuito sea disentildeado adecuadamente puede oscilar inutilizando su uso como amplificador

Mirando el problema desde el punto de vista de ondas las condiciones de estabilidad establecen que la potencia reflejada en los puertos del amplificador debe ser menor que la potencia incidente ie los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador deben ser en moacutedulo menores que uno Cuando el amplificador cumple las condiciones de estabilidad para todo valor de impedancias de fuente y carga se dice que el amplificador es absolutamente estable Si se cumplen las condiciones solo para ciertos valores restringidos de impedancia el amplificador es potencialmente estable En caso contrario es inestable

Notar que si los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador son de moacutedulo mayor que uno entonces las partes reales de las impedancias de entrada y salida del dispositivo tendraacuten parte real negativa Por ejemplo si en el amplificador de

la figura 5 se tiene que entonces

Luego una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta del dispositivo a una

frecuencia dada es que las resistencias de entrada y salida y

sean positivas El caso liacutemite se da cuando la impedancias son

reactivas puras ie

42 Adaptacioacuten de impedancias y estabilidad

En el circuito de la figura 5 se puede obtener maacutexima transferencia de potencia

adaptando las impedancias ie eligiendo

Utilizando las ecuaciones 12 y 13 se tiene que las condiciones para adaptar las impedancias equivalen al siguiente sistema

Ecuacioacuten 20a

Ecuacioacuten 20b

Resolviendo el sistema anterior para Γs y ΓL se obtienen las siguientes soluciones

Ecuacioacuten 21a

Ecuacioacuten 21b

Donde

Ahora hay que ver cuaacuteles son las soluciones del sistema 20 que producen

Para esto notamos que si

entonces y

y ademaacutes se cumple que

Luego concluimos que una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es

Ecuacioacuten 22

Asumiendo la condicioacuten 22 se puede demostrar a partir de 21 que las soluciones que

permiten se obtienen eligiendo el signo negativo cuando

y eligiendo el signo positivo cuando

La condicioacuten necesaria de estabilidad se puede reescribir en funcioacuten de los paraacutemetros S de la siguiente forma

donde se define el paraacutemetro

Luego concluimos que otra condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es

Se puede demostrar que cuando las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas la ganancia de potencia se puede escribir como

Ecuacioacuten 23

donde el factor se llama figura de meacuterito del dispositivo

Notar que el valor liacutemite maacuteximo de la ganancia estable se obtiene cuando y su valor es

Ecuacioacuten 24

A partir de la ecuacioacuten 23 se deduce que para usar adaptacioacuten de impedancias

conjugadas tiene que cumplirse la condicioacuten necesaria de estabilidad En otras palabras no se puede usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas si el dispositivo (ie el transistor) es inestable

5 Disentildeo de amplificadores

Figura 6 Estrategia de disentildeo Amplificador de una etapa

Especificaciones de disentildeo

1048708 Maacutexima ganancia de potencia por sobre un valor miacutenimo

1048708 Miacutenima figura de ruido por debajo de un valor miacutenimo

1048708 VSWR a la entrada y la salida sin exceder valores maacuteximos

Se asumen conocidos los paraacutemetros Sij Fm Γm y RN o GI

Algoritmo de Disentildeo

Paso 1 Evaluar las condiciones de estabilidad Si se cumplen seguir con paso 2 3 y 4 Caso contrario (Klt1) seguir con 5 y 6

Paso 2 Evaluar si es posible usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas Si la ganancia y figura de ruido son aceptables se termina Caso contrario seguir con 3

Paso 3 Se evaluacutea si es posible usar Γs = Γm (ie miacutenima figura de ruido) Se construye la siguiente funcioacuten objetivo

dado un valor de gp se busca en el correspondiente ciacuterculo de ganancia constante el valor de que maximiza la funcioacuten objetivo Si los valores de VSWR son aceptables terminar Caso contrario seguir con paso 4

Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria

Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6

Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad

23 VSWR coeficiente de reflexioacuten y factor de desadaptacioacuten en amplificadores multietapa

Figura 4 Amplificador de dos etapas con mallas de adaptacioacuten

En la figura 4 se muestra un amplificador de dos etapas con mallas de adaptacioacuten entre etapas conectado a liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc tanto a la entrada como a la salida Entre cada etapa existen coeficientes de reflexioacuten definidos por las respectivas impedancias entre etapas En particular el coeficiente de reflexioacuten que enfrenta la onda de voltaje incidente V+ estaacute dado por

donde es la impedancia de entrada a la malla de adaptacioacuten 1 normalizada La potencia incidente proveniente de la liacutenea de transmisioacuten estaacute dada por

y la potencia que entra a la malla 1 donde Ms

es el

factor de desadaptacioacuten de impedancia entre la liacutenea de transmisioacuten y la malla 1

Se puede demostrar que lo que nos entrega la siguiente ecuacioacuten que relaciona el factor de desadaptacioacuten con el coeficiente de reflexioacuten

Ecuacioacuten 6

Con la ecuacioacuten 6 y usando la expresioacuten de VSWR en funcioacuten del coeficiente de reflexioacuten se puede obtener la siguiente ecuacioacuten que relaciona la razoacuten de onda

estacionaria VSWR1 a la entrada de la malla de adaptacioacuten 1 con el factor de

desadaptacioacuten Ms

Ecuacioacuten 7

Notar que el factor de desadaptacioacuten a la entrada y a la salida de las mallas de adaptacioacuten es el mismo esto porque las suponemos sin peacuterdidas Luego la razoacuten de onda estacionaria VSWR1 tambieacuten depende del grado de desadaptacioacuten entre Zs y Zin

Entonces el disentildeo de la malla 1 ademaacutes de definir un Ms que produzca una figura de ruido oacuteptima al mismo tiempo debe mantener las restricciones de VSWR a la entrada y la estabilidad del amplificador con una ganancia aceptable seguacuten los requerimientos Maacutes adelante veremos este problema en detalle Recordando que las mallas de adaptacioacuten (lineales pasivas y sin peacuterdidas) tienen ganancia unitaria es faacutecil ver que la potencia que recibe la carga estaacute dada por

Ecuacioacuten 8

donde definimos Gp como la ganancia de potencia de las dos etapas Tambieacuten se puede reescribir la ecuacioacuten anterior en funcioacuten de la ganancia de transductor G

Ecuacioacuten 9

3 Ganancia en funcioacuten de los paraacutemetros de Scattering

Figura 5 Esquema baacutesico de un amplificador

Queremos encontrar expresiones que relacionen la ganancia de potencia del amplificador con los paraacutemetros de Scattering y las impedancias de fuente y carga (o bien con los coeficientes de reflexioacuten en la fuente y en la carga)

En el circuito baacutesico de la figura 5 el amplificador se conecta a la fuente y a la carga a traveacutes de liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc Suponemos estas liacuteneas de transmisioacuten de largo despreciable

Los coeficientes de reflexioacuten en la carga y en la fuente estaacuten dados por

donde las impedancias se encuentran normalizadas ie

Las ondas incidentes y reflejadas de voltaje se relacionan a traveacutes de la matriz de paraacutemetros de Scattering de la siguiente forma

Ecuacioacuten 10

Ecuacioacuten 11

A partir de la ecuacioacuten 10 y 11 y la definicioacuten de ΓL y Γs se puede demostrar que

Ecuacioacuten 12

Ecuacioacuten 13

donde se define

Los factores de desadaptacioacuten de impedancia Ms y ML estaacuten dados por

Usando las expresiones de los coeficientes de reflexioacuten en funcioacuten de las impedancias se demostrar que

Ecuacioacuten 14

Ecuacioacuten 15

Para obtener la ganancia de potencia GP necesitamos calcular Pin y PL

Usando las expresiones anteriores se llega a

Ecuacioacuten 16

Ecuacioacuten 17

Usando las ecuaciones anteriores finalmente se puede demostrar que

Ecuacioacuten 18

Ecuacioacuten 19

Donde

4 Estabilidad

41 Estabilidad en amplificadores

La estabilidad o la resistencia a la oscilacioacuten de un amplificador de microondas es uno de los maacutes importantes objetivos de disentildeo La estabilidad se puede determinar a partir los paraacutemetros S las mallas de adaptacioacuten a la entrada y a la salida y las terminaciones del circuito

A altas frecuencias un transistor presenta una retroalimentacioacuten intriacutenseca de la salida a

la entrada principalmente debido a las capacitancias finitas presentes en el dispositivo De esta forma el dispositivo puede ser potencialmente inestable y a menos que el circuito sea disentildeado adecuadamente puede oscilar inutilizando su uso como amplificador

Mirando el problema desde el punto de vista de ondas las condiciones de estabilidad establecen que la potencia reflejada en los puertos del amplificador debe ser menor que la potencia incidente ie los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador deben ser en moacutedulo menores que uno Cuando el amplificador cumple las condiciones de estabilidad para todo valor de impedancias de fuente y carga se dice que el amplificador es absolutamente estable Si se cumplen las condiciones solo para ciertos valores restringidos de impedancia el amplificador es potencialmente estable En caso contrario es inestable

Notar que si los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador son de moacutedulo mayor que uno entonces las partes reales de las impedancias de entrada y salida del dispositivo tendraacuten parte real negativa Por ejemplo si en el amplificador de

la figura 5 se tiene que entonces

Luego una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta del dispositivo a una

frecuencia dada es que las resistencias de entrada y salida y

sean positivas El caso liacutemite se da cuando la impedancias son

reactivas puras ie

42 Adaptacioacuten de impedancias y estabilidad

En el circuito de la figura 5 se puede obtener maacutexima transferencia de potencia

adaptando las impedancias ie eligiendo

Utilizando las ecuaciones 12 y 13 se tiene que las condiciones para adaptar las impedancias equivalen al siguiente sistema

Ecuacioacuten 20a

Ecuacioacuten 20b

Resolviendo el sistema anterior para Γs y ΓL se obtienen las siguientes soluciones

Ecuacioacuten 21a

Ecuacioacuten 21b

Donde

Ahora hay que ver cuaacuteles son las soluciones del sistema 20 que producen

Para esto notamos que si

entonces y

y ademaacutes se cumple que

Luego concluimos que una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es

Ecuacioacuten 22

Asumiendo la condicioacuten 22 se puede demostrar a partir de 21 que las soluciones que

permiten se obtienen eligiendo el signo negativo cuando

y eligiendo el signo positivo cuando

La condicioacuten necesaria de estabilidad se puede reescribir en funcioacuten de los paraacutemetros S de la siguiente forma

donde se define el paraacutemetro

Luego concluimos que otra condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es

Se puede demostrar que cuando las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas la ganancia de potencia se puede escribir como

Ecuacioacuten 23

donde el factor se llama figura de meacuterito del dispositivo

Notar que el valor liacutemite maacuteximo de la ganancia estable se obtiene cuando y su valor es

Ecuacioacuten 24

A partir de la ecuacioacuten 23 se deduce que para usar adaptacioacuten de impedancias

conjugadas tiene que cumplirse la condicioacuten necesaria de estabilidad En otras palabras no se puede usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas si el dispositivo (ie el transistor) es inestable

5 Disentildeo de amplificadores

Figura 6 Estrategia de disentildeo Amplificador de una etapa

Especificaciones de disentildeo

1048708 Maacutexima ganancia de potencia por sobre un valor miacutenimo

1048708 Miacutenima figura de ruido por debajo de un valor miacutenimo

1048708 VSWR a la entrada y la salida sin exceder valores maacuteximos

Se asumen conocidos los paraacutemetros Sij Fm Γm y RN o GI

Algoritmo de Disentildeo

Paso 1 Evaluar las condiciones de estabilidad Si se cumplen seguir con paso 2 3 y 4 Caso contrario (Klt1) seguir con 5 y 6

Paso 2 Evaluar si es posible usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas Si la ganancia y figura de ruido son aceptables se termina Caso contrario seguir con 3

Paso 3 Se evaluacutea si es posible usar Γs = Γm (ie miacutenima figura de ruido) Se construye la siguiente funcioacuten objetivo

dado un valor de gp se busca en el correspondiente ciacuterculo de ganancia constante el valor de que maximiza la funcioacuten objetivo Si los valores de VSWR son aceptables terminar Caso contrario seguir con paso 4

Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria

Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6

Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad

estacionaria VSWR1 a la entrada de la malla de adaptacioacuten 1 con el factor de

desadaptacioacuten Ms

Ecuacioacuten 7

Notar que el factor de desadaptacioacuten a la entrada y a la salida de las mallas de adaptacioacuten es el mismo esto porque las suponemos sin peacuterdidas Luego la razoacuten de onda estacionaria VSWR1 tambieacuten depende del grado de desadaptacioacuten entre Zs y Zin

Entonces el disentildeo de la malla 1 ademaacutes de definir un Ms que produzca una figura de ruido oacuteptima al mismo tiempo debe mantener las restricciones de VSWR a la entrada y la estabilidad del amplificador con una ganancia aceptable seguacuten los requerimientos Maacutes adelante veremos este problema en detalle Recordando que las mallas de adaptacioacuten (lineales pasivas y sin peacuterdidas) tienen ganancia unitaria es faacutecil ver que la potencia que recibe la carga estaacute dada por

Ecuacioacuten 8

donde definimos Gp como la ganancia de potencia de las dos etapas Tambieacuten se puede reescribir la ecuacioacuten anterior en funcioacuten de la ganancia de transductor G

Ecuacioacuten 9

3 Ganancia en funcioacuten de los paraacutemetros de Scattering

Figura 5 Esquema baacutesico de un amplificador

Queremos encontrar expresiones que relacionen la ganancia de potencia del amplificador con los paraacutemetros de Scattering y las impedancias de fuente y carga (o bien con los coeficientes de reflexioacuten en la fuente y en la carga)

En el circuito baacutesico de la figura 5 el amplificador se conecta a la fuente y a la carga a traveacutes de liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc Suponemos estas liacuteneas de transmisioacuten de largo despreciable

Los coeficientes de reflexioacuten en la carga y en la fuente estaacuten dados por

donde las impedancias se encuentran normalizadas ie

Las ondas incidentes y reflejadas de voltaje se relacionan a traveacutes de la matriz de paraacutemetros de Scattering de la siguiente forma

Ecuacioacuten 10

Ecuacioacuten 11

A partir de la ecuacioacuten 10 y 11 y la definicioacuten de ΓL y Γs se puede demostrar que

Ecuacioacuten 12

Ecuacioacuten 13

donde se define

Los factores de desadaptacioacuten de impedancia Ms y ML estaacuten dados por

Usando las expresiones de los coeficientes de reflexioacuten en funcioacuten de las impedancias se demostrar que

Ecuacioacuten 14

Ecuacioacuten 15

Para obtener la ganancia de potencia GP necesitamos calcular Pin y PL

Usando las expresiones anteriores se llega a

Ecuacioacuten 16

Ecuacioacuten 17

Usando las ecuaciones anteriores finalmente se puede demostrar que

Ecuacioacuten 18

Ecuacioacuten 19

Donde

4 Estabilidad

41 Estabilidad en amplificadores

La estabilidad o la resistencia a la oscilacioacuten de un amplificador de microondas es uno de los maacutes importantes objetivos de disentildeo La estabilidad se puede determinar a partir los paraacutemetros S las mallas de adaptacioacuten a la entrada y a la salida y las terminaciones del circuito

A altas frecuencias un transistor presenta una retroalimentacioacuten intriacutenseca de la salida a

la entrada principalmente debido a las capacitancias finitas presentes en el dispositivo De esta forma el dispositivo puede ser potencialmente inestable y a menos que el circuito sea disentildeado adecuadamente puede oscilar inutilizando su uso como amplificador

Mirando el problema desde el punto de vista de ondas las condiciones de estabilidad establecen que la potencia reflejada en los puertos del amplificador debe ser menor que la potencia incidente ie los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador deben ser en moacutedulo menores que uno Cuando el amplificador cumple las condiciones de estabilidad para todo valor de impedancias de fuente y carga se dice que el amplificador es absolutamente estable Si se cumplen las condiciones solo para ciertos valores restringidos de impedancia el amplificador es potencialmente estable En caso contrario es inestable

Notar que si los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador son de moacutedulo mayor que uno entonces las partes reales de las impedancias de entrada y salida del dispositivo tendraacuten parte real negativa Por ejemplo si en el amplificador de

la figura 5 se tiene que entonces

Luego una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta del dispositivo a una

frecuencia dada es que las resistencias de entrada y salida y

sean positivas El caso liacutemite se da cuando la impedancias son

reactivas puras ie

42 Adaptacioacuten de impedancias y estabilidad

En el circuito de la figura 5 se puede obtener maacutexima transferencia de potencia

adaptando las impedancias ie eligiendo

Utilizando las ecuaciones 12 y 13 se tiene que las condiciones para adaptar las impedancias equivalen al siguiente sistema

Ecuacioacuten 20a

Ecuacioacuten 20b

Resolviendo el sistema anterior para Γs y ΓL se obtienen las siguientes soluciones

Ecuacioacuten 21a

Ecuacioacuten 21b

Donde

Ahora hay que ver cuaacuteles son las soluciones del sistema 20 que producen

Para esto notamos que si

entonces y

y ademaacutes se cumple que

Luego concluimos que una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es

Ecuacioacuten 22

Asumiendo la condicioacuten 22 se puede demostrar a partir de 21 que las soluciones que

permiten se obtienen eligiendo el signo negativo cuando

y eligiendo el signo positivo cuando

La condicioacuten necesaria de estabilidad se puede reescribir en funcioacuten de los paraacutemetros S de la siguiente forma

donde se define el paraacutemetro

Luego concluimos que otra condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es

Se puede demostrar que cuando las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas la ganancia de potencia se puede escribir como

Ecuacioacuten 23

donde el factor se llama figura de meacuterito del dispositivo

Notar que el valor liacutemite maacuteximo de la ganancia estable se obtiene cuando y su valor es

Ecuacioacuten 24

A partir de la ecuacioacuten 23 se deduce que para usar adaptacioacuten de impedancias

conjugadas tiene que cumplirse la condicioacuten necesaria de estabilidad En otras palabras no se puede usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas si el dispositivo (ie el transistor) es inestable

5 Disentildeo de amplificadores

Figura 6 Estrategia de disentildeo Amplificador de una etapa

Especificaciones de disentildeo

1048708 Maacutexima ganancia de potencia por sobre un valor miacutenimo

1048708 Miacutenima figura de ruido por debajo de un valor miacutenimo

1048708 VSWR a la entrada y la salida sin exceder valores maacuteximos

Se asumen conocidos los paraacutemetros Sij Fm Γm y RN o GI

Algoritmo de Disentildeo

Paso 1 Evaluar las condiciones de estabilidad Si se cumplen seguir con paso 2 3 y 4 Caso contrario (Klt1) seguir con 5 y 6

Paso 2 Evaluar si es posible usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas Si la ganancia y figura de ruido son aceptables se termina Caso contrario seguir con 3

Paso 3 Se evaluacutea si es posible usar Γs = Γm (ie miacutenima figura de ruido) Se construye la siguiente funcioacuten objetivo

dado un valor de gp se busca en el correspondiente ciacuterculo de ganancia constante el valor de que maximiza la funcioacuten objetivo Si los valores de VSWR son aceptables terminar Caso contrario seguir con paso 4

Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria

Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6

Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad

3 Ganancia en funcioacuten de los paraacutemetros de Scattering

Figura 5 Esquema baacutesico de un amplificador

Queremos encontrar expresiones que relacionen la ganancia de potencia del amplificador con los paraacutemetros de Scattering y las impedancias de fuente y carga (o bien con los coeficientes de reflexioacuten en la fuente y en la carga)

En el circuito baacutesico de la figura 5 el amplificador se conecta a la fuente y a la carga a traveacutes de liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc Suponemos estas liacuteneas de transmisioacuten de largo despreciable

Los coeficientes de reflexioacuten en la carga y en la fuente estaacuten dados por

donde las impedancias se encuentran normalizadas ie

Las ondas incidentes y reflejadas de voltaje se relacionan a traveacutes de la matriz de paraacutemetros de Scattering de la siguiente forma

Ecuacioacuten 10

Ecuacioacuten 11

A partir de la ecuacioacuten 10 y 11 y la definicioacuten de ΓL y Γs se puede demostrar que

Ecuacioacuten 12

Ecuacioacuten 13

donde se define

Los factores de desadaptacioacuten de impedancia Ms y ML estaacuten dados por

Usando las expresiones de los coeficientes de reflexioacuten en funcioacuten de las impedancias se demostrar que

Ecuacioacuten 14

Ecuacioacuten 15

Para obtener la ganancia de potencia GP necesitamos calcular Pin y PL

Usando las expresiones anteriores se llega a

Ecuacioacuten 16

Ecuacioacuten 17

Usando las ecuaciones anteriores finalmente se puede demostrar que

Ecuacioacuten 18

Ecuacioacuten 19

Donde

4 Estabilidad

41 Estabilidad en amplificadores

La estabilidad o la resistencia a la oscilacioacuten de un amplificador de microondas es uno de los maacutes importantes objetivos de disentildeo La estabilidad se puede determinar a partir los paraacutemetros S las mallas de adaptacioacuten a la entrada y a la salida y las terminaciones del circuito

A altas frecuencias un transistor presenta una retroalimentacioacuten intriacutenseca de la salida a

la entrada principalmente debido a las capacitancias finitas presentes en el dispositivo De esta forma el dispositivo puede ser potencialmente inestable y a menos que el circuito sea disentildeado adecuadamente puede oscilar inutilizando su uso como amplificador

Mirando el problema desde el punto de vista de ondas las condiciones de estabilidad establecen que la potencia reflejada en los puertos del amplificador debe ser menor que la potencia incidente ie los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador deben ser en moacutedulo menores que uno Cuando el amplificador cumple las condiciones de estabilidad para todo valor de impedancias de fuente y carga se dice que el amplificador es absolutamente estable Si se cumplen las condiciones solo para ciertos valores restringidos de impedancia el amplificador es potencialmente estable En caso contrario es inestable

Notar que si los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador son de moacutedulo mayor que uno entonces las partes reales de las impedancias de entrada y salida del dispositivo tendraacuten parte real negativa Por ejemplo si en el amplificador de

la figura 5 se tiene que entonces

Luego una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta del dispositivo a una

frecuencia dada es que las resistencias de entrada y salida y

sean positivas El caso liacutemite se da cuando la impedancias son

reactivas puras ie

42 Adaptacioacuten de impedancias y estabilidad

En el circuito de la figura 5 se puede obtener maacutexima transferencia de potencia

adaptando las impedancias ie eligiendo

Utilizando las ecuaciones 12 y 13 se tiene que las condiciones para adaptar las impedancias equivalen al siguiente sistema

Ecuacioacuten 20a

Ecuacioacuten 20b

Resolviendo el sistema anterior para Γs y ΓL se obtienen las siguientes soluciones

Ecuacioacuten 21a

Ecuacioacuten 21b

Donde

Ahora hay que ver cuaacuteles son las soluciones del sistema 20 que producen

Para esto notamos que si

entonces y

y ademaacutes se cumple que

Luego concluimos que una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es

Ecuacioacuten 22

Asumiendo la condicioacuten 22 se puede demostrar a partir de 21 que las soluciones que

permiten se obtienen eligiendo el signo negativo cuando

y eligiendo el signo positivo cuando

La condicioacuten necesaria de estabilidad se puede reescribir en funcioacuten de los paraacutemetros S de la siguiente forma

donde se define el paraacutemetro

Luego concluimos que otra condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es

Se puede demostrar que cuando las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas la ganancia de potencia se puede escribir como

Ecuacioacuten 23

donde el factor se llama figura de meacuterito del dispositivo

Notar que el valor liacutemite maacuteximo de la ganancia estable se obtiene cuando y su valor es

Ecuacioacuten 24

A partir de la ecuacioacuten 23 se deduce que para usar adaptacioacuten de impedancias

conjugadas tiene que cumplirse la condicioacuten necesaria de estabilidad En otras palabras no se puede usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas si el dispositivo (ie el transistor) es inestable

5 Disentildeo de amplificadores

Figura 6 Estrategia de disentildeo Amplificador de una etapa

Especificaciones de disentildeo

1048708 Maacutexima ganancia de potencia por sobre un valor miacutenimo

1048708 Miacutenima figura de ruido por debajo de un valor miacutenimo

1048708 VSWR a la entrada y la salida sin exceder valores maacuteximos

Se asumen conocidos los paraacutemetros Sij Fm Γm y RN o GI

Algoritmo de Disentildeo

Paso 1 Evaluar las condiciones de estabilidad Si se cumplen seguir con paso 2 3 y 4 Caso contrario (Klt1) seguir con 5 y 6

Paso 2 Evaluar si es posible usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas Si la ganancia y figura de ruido son aceptables se termina Caso contrario seguir con 3

Paso 3 Se evaluacutea si es posible usar Γs = Γm (ie miacutenima figura de ruido) Se construye la siguiente funcioacuten objetivo

dado un valor de gp se busca en el correspondiente ciacuterculo de ganancia constante el valor de que maximiza la funcioacuten objetivo Si los valores de VSWR son aceptables terminar Caso contrario seguir con paso 4

Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria

Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6

Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad

A partir de la ecuacioacuten 10 y 11 y la definicioacuten de ΓL y Γs se puede demostrar que

Ecuacioacuten 12

Ecuacioacuten 13

donde se define

Los factores de desadaptacioacuten de impedancia Ms y ML estaacuten dados por

Usando las expresiones de los coeficientes de reflexioacuten en funcioacuten de las impedancias se demostrar que

Ecuacioacuten 14

Ecuacioacuten 15

Para obtener la ganancia de potencia GP necesitamos calcular Pin y PL

Usando las expresiones anteriores se llega a

Ecuacioacuten 16

Ecuacioacuten 17

Usando las ecuaciones anteriores finalmente se puede demostrar que

Ecuacioacuten 18

Ecuacioacuten 19

Donde

4 Estabilidad

41 Estabilidad en amplificadores

La estabilidad o la resistencia a la oscilacioacuten de un amplificador de microondas es uno de los maacutes importantes objetivos de disentildeo La estabilidad se puede determinar a partir los paraacutemetros S las mallas de adaptacioacuten a la entrada y a la salida y las terminaciones del circuito

A altas frecuencias un transistor presenta una retroalimentacioacuten intriacutenseca de la salida a

la entrada principalmente debido a las capacitancias finitas presentes en el dispositivo De esta forma el dispositivo puede ser potencialmente inestable y a menos que el circuito sea disentildeado adecuadamente puede oscilar inutilizando su uso como amplificador

Mirando el problema desde el punto de vista de ondas las condiciones de estabilidad establecen que la potencia reflejada en los puertos del amplificador debe ser menor que la potencia incidente ie los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador deben ser en moacutedulo menores que uno Cuando el amplificador cumple las condiciones de estabilidad para todo valor de impedancias de fuente y carga se dice que el amplificador es absolutamente estable Si se cumplen las condiciones solo para ciertos valores restringidos de impedancia el amplificador es potencialmente estable En caso contrario es inestable

Notar que si los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador son de moacutedulo mayor que uno entonces las partes reales de las impedancias de entrada y salida del dispositivo tendraacuten parte real negativa Por ejemplo si en el amplificador de

la figura 5 se tiene que entonces

Luego una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta del dispositivo a una

frecuencia dada es que las resistencias de entrada y salida y

sean positivas El caso liacutemite se da cuando la impedancias son

reactivas puras ie

42 Adaptacioacuten de impedancias y estabilidad

En el circuito de la figura 5 se puede obtener maacutexima transferencia de potencia

adaptando las impedancias ie eligiendo

Utilizando las ecuaciones 12 y 13 se tiene que las condiciones para adaptar las impedancias equivalen al siguiente sistema

Ecuacioacuten 20a

Ecuacioacuten 20b

Resolviendo el sistema anterior para Γs y ΓL se obtienen las siguientes soluciones

Ecuacioacuten 21a

Ecuacioacuten 21b

Donde

Ahora hay que ver cuaacuteles son las soluciones del sistema 20 que producen

Para esto notamos que si

entonces y

y ademaacutes se cumple que

Luego concluimos que una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es

Ecuacioacuten 22

Asumiendo la condicioacuten 22 se puede demostrar a partir de 21 que las soluciones que

permiten se obtienen eligiendo el signo negativo cuando

y eligiendo el signo positivo cuando

La condicioacuten necesaria de estabilidad se puede reescribir en funcioacuten de los paraacutemetros S de la siguiente forma

donde se define el paraacutemetro

Luego concluimos que otra condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es

Se puede demostrar que cuando las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas la ganancia de potencia se puede escribir como

Ecuacioacuten 23

donde el factor se llama figura de meacuterito del dispositivo

Notar que el valor liacutemite maacuteximo de la ganancia estable se obtiene cuando y su valor es

Ecuacioacuten 24

A partir de la ecuacioacuten 23 se deduce que para usar adaptacioacuten de impedancias

conjugadas tiene que cumplirse la condicioacuten necesaria de estabilidad En otras palabras no se puede usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas si el dispositivo (ie el transistor) es inestable

5 Disentildeo de amplificadores

Figura 6 Estrategia de disentildeo Amplificador de una etapa

Especificaciones de disentildeo

1048708 Maacutexima ganancia de potencia por sobre un valor miacutenimo

1048708 Miacutenima figura de ruido por debajo de un valor miacutenimo

1048708 VSWR a la entrada y la salida sin exceder valores maacuteximos

Se asumen conocidos los paraacutemetros Sij Fm Γm y RN o GI

Algoritmo de Disentildeo

Paso 1 Evaluar las condiciones de estabilidad Si se cumplen seguir con paso 2 3 y 4 Caso contrario (Klt1) seguir con 5 y 6

Paso 2 Evaluar si es posible usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas Si la ganancia y figura de ruido son aceptables se termina Caso contrario seguir con 3

Paso 3 Se evaluacutea si es posible usar Γs = Γm (ie miacutenima figura de ruido) Se construye la siguiente funcioacuten objetivo

dado un valor de gp se busca en el correspondiente ciacuterculo de ganancia constante el valor de que maximiza la funcioacuten objetivo Si los valores de VSWR son aceptables terminar Caso contrario seguir con paso 4

Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria

Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6

Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad

Usando las expresiones anteriores se llega a

Ecuacioacuten 16

Ecuacioacuten 17

Usando las ecuaciones anteriores finalmente se puede demostrar que

Ecuacioacuten 18

Ecuacioacuten 19

Donde

4 Estabilidad

41 Estabilidad en amplificadores

La estabilidad o la resistencia a la oscilacioacuten de un amplificador de microondas es uno de los maacutes importantes objetivos de disentildeo La estabilidad se puede determinar a partir los paraacutemetros S las mallas de adaptacioacuten a la entrada y a la salida y las terminaciones del circuito

A altas frecuencias un transistor presenta una retroalimentacioacuten intriacutenseca de la salida a

la entrada principalmente debido a las capacitancias finitas presentes en el dispositivo De esta forma el dispositivo puede ser potencialmente inestable y a menos que el circuito sea disentildeado adecuadamente puede oscilar inutilizando su uso como amplificador

Mirando el problema desde el punto de vista de ondas las condiciones de estabilidad establecen que la potencia reflejada en los puertos del amplificador debe ser menor que la potencia incidente ie los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador deben ser en moacutedulo menores que uno Cuando el amplificador cumple las condiciones de estabilidad para todo valor de impedancias de fuente y carga se dice que el amplificador es absolutamente estable Si se cumplen las condiciones solo para ciertos valores restringidos de impedancia el amplificador es potencialmente estable En caso contrario es inestable

Notar que si los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador son de moacutedulo mayor que uno entonces las partes reales de las impedancias de entrada y salida del dispositivo tendraacuten parte real negativa Por ejemplo si en el amplificador de

la figura 5 se tiene que entonces

Luego una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta del dispositivo a una

frecuencia dada es que las resistencias de entrada y salida y

sean positivas El caso liacutemite se da cuando la impedancias son

reactivas puras ie

42 Adaptacioacuten de impedancias y estabilidad

En el circuito de la figura 5 se puede obtener maacutexima transferencia de potencia

adaptando las impedancias ie eligiendo

Utilizando las ecuaciones 12 y 13 se tiene que las condiciones para adaptar las impedancias equivalen al siguiente sistema

Ecuacioacuten 20a

Ecuacioacuten 20b

Resolviendo el sistema anterior para Γs y ΓL se obtienen las siguientes soluciones

Ecuacioacuten 21a

Ecuacioacuten 21b

Donde

Ahora hay que ver cuaacuteles son las soluciones del sistema 20 que producen

Para esto notamos que si

entonces y

y ademaacutes se cumple que

Luego concluimos que una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es

Ecuacioacuten 22

Asumiendo la condicioacuten 22 se puede demostrar a partir de 21 que las soluciones que

permiten se obtienen eligiendo el signo negativo cuando

y eligiendo el signo positivo cuando

La condicioacuten necesaria de estabilidad se puede reescribir en funcioacuten de los paraacutemetros S de la siguiente forma

donde se define el paraacutemetro

Luego concluimos que otra condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es

Se puede demostrar que cuando las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas la ganancia de potencia se puede escribir como

Ecuacioacuten 23

donde el factor se llama figura de meacuterito del dispositivo

Notar que el valor liacutemite maacuteximo de la ganancia estable se obtiene cuando y su valor es

Ecuacioacuten 24

A partir de la ecuacioacuten 23 se deduce que para usar adaptacioacuten de impedancias

conjugadas tiene que cumplirse la condicioacuten necesaria de estabilidad En otras palabras no se puede usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas si el dispositivo (ie el transistor) es inestable

5 Disentildeo de amplificadores

Figura 6 Estrategia de disentildeo Amplificador de una etapa

Especificaciones de disentildeo

1048708 Maacutexima ganancia de potencia por sobre un valor miacutenimo

1048708 Miacutenima figura de ruido por debajo de un valor miacutenimo

1048708 VSWR a la entrada y la salida sin exceder valores maacuteximos

Se asumen conocidos los paraacutemetros Sij Fm Γm y RN o GI

Algoritmo de Disentildeo

Paso 1 Evaluar las condiciones de estabilidad Si se cumplen seguir con paso 2 3 y 4 Caso contrario (Klt1) seguir con 5 y 6

Paso 2 Evaluar si es posible usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas Si la ganancia y figura de ruido son aceptables se termina Caso contrario seguir con 3

Paso 3 Se evaluacutea si es posible usar Γs = Γm (ie miacutenima figura de ruido) Se construye la siguiente funcioacuten objetivo

dado un valor de gp se busca en el correspondiente ciacuterculo de ganancia constante el valor de que maximiza la funcioacuten objetivo Si los valores de VSWR son aceptables terminar Caso contrario seguir con paso 4

Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria

Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6

Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad

4 Estabilidad

41 Estabilidad en amplificadores

La estabilidad o la resistencia a la oscilacioacuten de un amplificador de microondas es uno de los maacutes importantes objetivos de disentildeo La estabilidad se puede determinar a partir los paraacutemetros S las mallas de adaptacioacuten a la entrada y a la salida y las terminaciones del circuito

A altas frecuencias un transistor presenta una retroalimentacioacuten intriacutenseca de la salida a

la entrada principalmente debido a las capacitancias finitas presentes en el dispositivo De esta forma el dispositivo puede ser potencialmente inestable y a menos que el circuito sea disentildeado adecuadamente puede oscilar inutilizando su uso como amplificador

Mirando el problema desde el punto de vista de ondas las condiciones de estabilidad establecen que la potencia reflejada en los puertos del amplificador debe ser menor que la potencia incidente ie los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador deben ser en moacutedulo menores que uno Cuando el amplificador cumple las condiciones de estabilidad para todo valor de impedancias de fuente y carga se dice que el amplificador es absolutamente estable Si se cumplen las condiciones solo para ciertos valores restringidos de impedancia el amplificador es potencialmente estable En caso contrario es inestable

Notar que si los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador son de moacutedulo mayor que uno entonces las partes reales de las impedancias de entrada y salida del dispositivo tendraacuten parte real negativa Por ejemplo si en el amplificador de

la figura 5 se tiene que entonces

Luego una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta del dispositivo a una

frecuencia dada es que las resistencias de entrada y salida y

sean positivas El caso liacutemite se da cuando la impedancias son

reactivas puras ie

42 Adaptacioacuten de impedancias y estabilidad

En el circuito de la figura 5 se puede obtener maacutexima transferencia de potencia

adaptando las impedancias ie eligiendo

Utilizando las ecuaciones 12 y 13 se tiene que las condiciones para adaptar las impedancias equivalen al siguiente sistema

Ecuacioacuten 20a

Ecuacioacuten 20b

Resolviendo el sistema anterior para Γs y ΓL se obtienen las siguientes soluciones

Ecuacioacuten 21a

Ecuacioacuten 21b

Donde

Ahora hay que ver cuaacuteles son las soluciones del sistema 20 que producen

Para esto notamos que si

entonces y

y ademaacutes se cumple que

Luego concluimos que una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es

Ecuacioacuten 22

Asumiendo la condicioacuten 22 se puede demostrar a partir de 21 que las soluciones que

permiten se obtienen eligiendo el signo negativo cuando

y eligiendo el signo positivo cuando

La condicioacuten necesaria de estabilidad se puede reescribir en funcioacuten de los paraacutemetros S de la siguiente forma

donde se define el paraacutemetro

Luego concluimos que otra condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es

Se puede demostrar que cuando las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas la ganancia de potencia se puede escribir como

Ecuacioacuten 23

donde el factor se llama figura de meacuterito del dispositivo

Notar que el valor liacutemite maacuteximo de la ganancia estable se obtiene cuando y su valor es

Ecuacioacuten 24

A partir de la ecuacioacuten 23 se deduce que para usar adaptacioacuten de impedancias

conjugadas tiene que cumplirse la condicioacuten necesaria de estabilidad En otras palabras no se puede usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas si el dispositivo (ie el transistor) es inestable

5 Disentildeo de amplificadores

Figura 6 Estrategia de disentildeo Amplificador de una etapa

Especificaciones de disentildeo

1048708 Maacutexima ganancia de potencia por sobre un valor miacutenimo

1048708 Miacutenima figura de ruido por debajo de un valor miacutenimo

1048708 VSWR a la entrada y la salida sin exceder valores maacuteximos

Se asumen conocidos los paraacutemetros Sij Fm Γm y RN o GI

Algoritmo de Disentildeo

Paso 1 Evaluar las condiciones de estabilidad Si se cumplen seguir con paso 2 3 y 4 Caso contrario (Klt1) seguir con 5 y 6

Paso 2 Evaluar si es posible usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas Si la ganancia y figura de ruido son aceptables se termina Caso contrario seguir con 3

Paso 3 Se evaluacutea si es posible usar Γs = Γm (ie miacutenima figura de ruido) Se construye la siguiente funcioacuten objetivo

dado un valor de gp se busca en el correspondiente ciacuterculo de ganancia constante el valor de que maximiza la funcioacuten objetivo Si los valores de VSWR son aceptables terminar Caso contrario seguir con paso 4

Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria

Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6

Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad

42 Adaptacioacuten de impedancias y estabilidad

En el circuito de la figura 5 se puede obtener maacutexima transferencia de potencia

adaptando las impedancias ie eligiendo

Utilizando las ecuaciones 12 y 13 se tiene que las condiciones para adaptar las impedancias equivalen al siguiente sistema

Ecuacioacuten 20a

Ecuacioacuten 20b

Resolviendo el sistema anterior para Γs y ΓL se obtienen las siguientes soluciones

Ecuacioacuten 21a

Ecuacioacuten 21b

Donde

Ahora hay que ver cuaacuteles son las soluciones del sistema 20 que producen

Para esto notamos que si

entonces y

y ademaacutes se cumple que

Luego concluimos que una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es

Ecuacioacuten 22

Asumiendo la condicioacuten 22 se puede demostrar a partir de 21 que las soluciones que

permiten se obtienen eligiendo el signo negativo cuando

y eligiendo el signo positivo cuando

La condicioacuten necesaria de estabilidad se puede reescribir en funcioacuten de los paraacutemetros S de la siguiente forma

donde se define el paraacutemetro

Luego concluimos que otra condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es

Se puede demostrar que cuando las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas la ganancia de potencia se puede escribir como

Ecuacioacuten 23

donde el factor se llama figura de meacuterito del dispositivo

Notar que el valor liacutemite maacuteximo de la ganancia estable se obtiene cuando y su valor es

Ecuacioacuten 24

A partir de la ecuacioacuten 23 se deduce que para usar adaptacioacuten de impedancias

conjugadas tiene que cumplirse la condicioacuten necesaria de estabilidad En otras palabras no se puede usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas si el dispositivo (ie el transistor) es inestable

5 Disentildeo de amplificadores

Figura 6 Estrategia de disentildeo Amplificador de una etapa

Especificaciones de disentildeo

1048708 Maacutexima ganancia de potencia por sobre un valor miacutenimo

1048708 Miacutenima figura de ruido por debajo de un valor miacutenimo

1048708 VSWR a la entrada y la salida sin exceder valores maacuteximos

Se asumen conocidos los paraacutemetros Sij Fm Γm y RN o GI

Algoritmo de Disentildeo

Paso 1 Evaluar las condiciones de estabilidad Si se cumplen seguir con paso 2 3 y 4 Caso contrario (Klt1) seguir con 5 y 6

Paso 2 Evaluar si es posible usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas Si la ganancia y figura de ruido son aceptables se termina Caso contrario seguir con 3

Paso 3 Se evaluacutea si es posible usar Γs = Γm (ie miacutenima figura de ruido) Se construye la siguiente funcioacuten objetivo

dado un valor de gp se busca en el correspondiente ciacuterculo de ganancia constante el valor de que maximiza la funcioacuten objetivo Si los valores de VSWR son aceptables terminar Caso contrario seguir con paso 4

Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria

Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6

Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad

Ahora hay que ver cuaacuteles son las soluciones del sistema 20 que producen

Para esto notamos que si

entonces y

y ademaacutes se cumple que

Luego concluimos que una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es

Ecuacioacuten 22

Asumiendo la condicioacuten 22 se puede demostrar a partir de 21 que las soluciones que

permiten se obtienen eligiendo el signo negativo cuando

y eligiendo el signo positivo cuando

La condicioacuten necesaria de estabilidad se puede reescribir en funcioacuten de los paraacutemetros S de la siguiente forma

donde se define el paraacutemetro

Luego concluimos que otra condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es

Se puede demostrar que cuando las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas la ganancia de potencia se puede escribir como

Ecuacioacuten 23

donde el factor se llama figura de meacuterito del dispositivo

Notar que el valor liacutemite maacuteximo de la ganancia estable se obtiene cuando y su valor es

Ecuacioacuten 24

A partir de la ecuacioacuten 23 se deduce que para usar adaptacioacuten de impedancias

conjugadas tiene que cumplirse la condicioacuten necesaria de estabilidad En otras palabras no se puede usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas si el dispositivo (ie el transistor) es inestable

5 Disentildeo de amplificadores

Figura 6 Estrategia de disentildeo Amplificador de una etapa

Especificaciones de disentildeo

1048708 Maacutexima ganancia de potencia por sobre un valor miacutenimo

1048708 Miacutenima figura de ruido por debajo de un valor miacutenimo

1048708 VSWR a la entrada y la salida sin exceder valores maacuteximos

Se asumen conocidos los paraacutemetros Sij Fm Γm y RN o GI

Algoritmo de Disentildeo

Paso 1 Evaluar las condiciones de estabilidad Si se cumplen seguir con paso 2 3 y 4 Caso contrario (Klt1) seguir con 5 y 6

Paso 2 Evaluar si es posible usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas Si la ganancia y figura de ruido son aceptables se termina Caso contrario seguir con 3

Paso 3 Se evaluacutea si es posible usar Γs = Γm (ie miacutenima figura de ruido) Se construye la siguiente funcioacuten objetivo

dado un valor de gp se busca en el correspondiente ciacuterculo de ganancia constante el valor de que maximiza la funcioacuten objetivo Si los valores de VSWR son aceptables terminar Caso contrario seguir con paso 4

Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria

Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6

Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad

Ecuacioacuten 23

donde el factor se llama figura de meacuterito del dispositivo

Notar que el valor liacutemite maacuteximo de la ganancia estable se obtiene cuando y su valor es

Ecuacioacuten 24

A partir de la ecuacioacuten 23 se deduce que para usar adaptacioacuten de impedancias

conjugadas tiene que cumplirse la condicioacuten necesaria de estabilidad En otras palabras no se puede usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas si el dispositivo (ie el transistor) es inestable

5 Disentildeo de amplificadores

Figura 6 Estrategia de disentildeo Amplificador de una etapa

Especificaciones de disentildeo

1048708 Maacutexima ganancia de potencia por sobre un valor miacutenimo

1048708 Miacutenima figura de ruido por debajo de un valor miacutenimo

1048708 VSWR a la entrada y la salida sin exceder valores maacuteximos

Se asumen conocidos los paraacutemetros Sij Fm Γm y RN o GI

Algoritmo de Disentildeo

Paso 1 Evaluar las condiciones de estabilidad Si se cumplen seguir con paso 2 3 y 4 Caso contrario (Klt1) seguir con 5 y 6

Paso 2 Evaluar si es posible usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas Si la ganancia y figura de ruido son aceptables se termina Caso contrario seguir con 3

Paso 3 Se evaluacutea si es posible usar Γs = Γm (ie miacutenima figura de ruido) Se construye la siguiente funcioacuten objetivo

dado un valor de gp se busca en el correspondiente ciacuterculo de ganancia constante el valor de que maximiza la funcioacuten objetivo Si los valores de VSWR son aceptables terminar Caso contrario seguir con paso 4

Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria

Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6

Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad

5 Disentildeo de amplificadores

Figura 6 Estrategia de disentildeo Amplificador de una etapa

Especificaciones de disentildeo

1048708 Maacutexima ganancia de potencia por sobre un valor miacutenimo

1048708 Miacutenima figura de ruido por debajo de un valor miacutenimo

1048708 VSWR a la entrada y la salida sin exceder valores maacuteximos

Se asumen conocidos los paraacutemetros Sij Fm Γm y RN o GI

Algoritmo de Disentildeo

Paso 1 Evaluar las condiciones de estabilidad Si se cumplen seguir con paso 2 3 y 4 Caso contrario (Klt1) seguir con 5 y 6

Paso 2 Evaluar si es posible usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas Si la ganancia y figura de ruido son aceptables se termina Caso contrario seguir con 3

Paso 3 Se evaluacutea si es posible usar Γs = Γm (ie miacutenima figura de ruido) Se construye la siguiente funcioacuten objetivo

dado un valor de gp se busca en el correspondiente ciacuterculo de ganancia constante el valor de que maximiza la funcioacuten objetivo Si los valores de VSWR son aceptables terminar Caso contrario seguir con paso 4

Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria

Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6

Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad

Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria

Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6

Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad