Amplificadores de microondas
Iacutendice
1 Introduccioacuten
2 Redes de dos puertas
3 Ganancia
4 Estabilidad
5 Disentildeo de amplificadores
1 Introduccioacuten
Los amplificadores de microondas usualmente se construyen en Circuitos Integrados de Microondas (MIC) tanto hiacutebridos como monoliacuteticos (MMIC) En construccioacuten hiacutebrida las liacuteneas de transmisioacuten y las mallas de adaptacioacuten usualmente se hacen como elementos de circuito microstrip sobre un substrato dieleacutectrico y los componentes discretos (condensadores resistencias transistores etc) se conectan soldando Los dispositivos discretos vienen con terminales conductores para facilitar su insercioacuten en un circuito hiacutebrido
En los MIC monoliacuteticos (MMIC) todos los elementos que conforman el circuito (liacuteneas de transmisioacuten redes de adaptacioacuten elementos activos y pasivos etc) se construyen en un uacutenico cristal semiconductor Esta tecnologiacutea es principalmente utilizada en la produccioacuten a gran escala
En general se pueden distinguir los siguientes objetivos en el disentildeo de amplificadores de microondas
bull Maacutexima ganancia de potencia bull Miacutenima figura de ruido para la primera etapa bull Ganancia estable ie sin oscilaciones bull Razoacuten de onda estacionaria (VSWR) cercana a la unidad tanto en la entrada como
en la salida bull Ganancia uniforme en una cierta banda de frecuencia bull Respuesta en frecuencia de la fase lineal ie sin distorsioacuten bull Insensibilidad a cambios en los paraacutemetros S o cambios en la polarizacioacuten
Es importante notar que existen muchos compromisos o trade offs entre estos objetivos de disentildeo Por ejemplo en el disentildeo de amplificadores de bajo ruido es necesario sacrificar ganancia y VSWR a la entrada a cambio de una figura de ruido aceptable (maacutes adelante definiremos figura de ruido)
Las especificaciones de disentildeo estaacuten todas interrelacionadas lo cual hace el problema casi inmanejable sin el uso de una estrategia de optimizacioacuten computacional dado que cada requerimiento impone restricciones sobre los otros y las ecuaciones que definen estas restricciones no son sencillas Por esta razoacuten la visualizacioacuten de las restricciones en una carta de Smith facilita enormemente la comprensioacuten del conflicto entre los requerimientos
2 Redes de dos puertas
21 Propiedad de conservacioacuten del factor de desadaptacioacuten en redes sin peacuterdidas
Figura 1 Red lineal de dos puertos sin peacuterdidas conectada a una fuente y una carga
En el esquema de la figura 1 se muestra una red lineal de dos puertos sin peacuterdidas
conectada a una fuente de voltaje con una impedancia de fuente y
una carga de impedancia La impedancia mirando a la red desde el
lado de la fuente es La potencia que entra a la red estaacute dada por
Ecuacioacuten 1
donde
A partir de la ecuacioacuten se observa que la potencia que entra a la red alcanza su
valor maacuteximo cuando ie cuando las partes imaginarias se cancelan en el denominador de la expresioacuten
Definimos como la potencia disponible de la fuente a la maacutexima potencia que puede entrar a la red (y que entra totalmente a la red cuando la impedancia de entrada estaacute adaptada conjugada con la impedancia de la fuente) Entonces se tiene
Ecuacioacuten 2
Cuando entonces la potencia que entra a la red es menor que la potencia disponible de la fuente y estaacute dada por
Ecuacioacuten 3
Ecuacioacuten 4
La expresioacuten anterior nos dice que cuando no hay adaptacioacuten de impedancia la potencia que efectivamente entra a la red es una fraccioacuten M de la potencia disponible de la fuente Definimos M como el factor de desadaptacioacuten de impedancia (mismatch factor) a la entrada de la red El factor de desadaptacioacuten tambieacuten se puede ver como un coeficiente de transmisioacuten de potencia
Tambieacuten se puede definir el factor de desadaptacioacuten de impedancia a la salida como
donde es la potencia disponible entregada por la red a la carga y es la
potencia efectivamente entregada a
Como la red es sin peacuterdidas por definicioacuten la potencia que entra a la red se traspasa
completamente a la carga ie Ademaacutes se puede demostrar que la potencia disponible de la fuente es igual a la potencia disponible entregada por la red a la carga ie Luego para una red lineal pasiva sin peacuterdidas se tiene que el factor
de desadaptacioacuten es el mismo a la entrada y a la salida ie se conserva
En general para varias redes lineales pasivas sin peacuterdidas (reciacuteprocas) en cascada como se muestra en la figura 2 se puede demostrar que
Ecuacioacuten 5a
Ecuacioacuten 5b
Ecuacioacuten 5c
Figura 2 Conexioacuten en cascada de varias redes sin peacuterdidas entre la fuente y la carga
En una red lineal activa (ie no reciproca) el factor de desadaptacioacuten no se conserva Por ejemplo en el caso de un amplificador visto como red de dos puertos la potencia entregada a la carga es mayor que la potencia a la entrada
22 Definiciones de Ganancia
Figura 3 Red lineal activa con ganancia de potencia Gp
Para el amplificador baacutesico de la figura 3 se definen las siguientes ganancias
1) Ganancia de potencia
2) Ganancia de transductor
3) Ganancia de potencia disponible
Para el caso de redes lineales pasivas sin peacuterdidas la ganancia de potencia es unitaria
Si las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas a la entrada y a la salida del amplificador entonces la ganancia de potencia es maacutexima y se cumple que y
siempre y cuando el dispositivo sea
absolutamente estable Si las impedancias no estaacuten adaptadas conjugadas entonces la ganancia de potencia no es maacutexima
23 VSWR coeficiente de reflexioacuten y factor de desadaptacioacuten en amplificadores multietapa
Figura 4 Amplificador de dos etapas con mallas de adaptacioacuten
En la figura 4 se muestra un amplificador de dos etapas con mallas de adaptacioacuten entre etapas conectado a liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc tanto a la entrada como a la salida Entre cada etapa existen coeficientes de reflexioacuten definidos por las respectivas impedancias entre etapas En particular el coeficiente de reflexioacuten que enfrenta la onda de voltaje incidente V+ estaacute dado por
donde es la impedancia de entrada a la malla de adaptacioacuten 1 normalizada La potencia incidente proveniente de la liacutenea de transmisioacuten estaacute dada por
y la potencia que entra a la malla 1 donde Ms
es el
factor de desadaptacioacuten de impedancia entre la liacutenea de transmisioacuten y la malla 1
Se puede demostrar que lo que nos entrega la siguiente ecuacioacuten que relaciona el factor de desadaptacioacuten con el coeficiente de reflexioacuten
Ecuacioacuten 6
Con la ecuacioacuten 6 y usando la expresioacuten de VSWR en funcioacuten del coeficiente de reflexioacuten se puede obtener la siguiente ecuacioacuten que relaciona la razoacuten de onda
estacionaria VSWR1 a la entrada de la malla de adaptacioacuten 1 con el factor de
desadaptacioacuten Ms
Ecuacioacuten 7
Notar que el factor de desadaptacioacuten a la entrada y a la salida de las mallas de adaptacioacuten es el mismo esto porque las suponemos sin peacuterdidas Luego la razoacuten de onda estacionaria VSWR1 tambieacuten depende del grado de desadaptacioacuten entre Zs y Zin
Entonces el disentildeo de la malla 1 ademaacutes de definir un Ms que produzca una figura de ruido oacuteptima al mismo tiempo debe mantener las restricciones de VSWR a la entrada y la estabilidad del amplificador con una ganancia aceptable seguacuten los requerimientos Maacutes adelante veremos este problema en detalle Recordando que las mallas de adaptacioacuten (lineales pasivas y sin peacuterdidas) tienen ganancia unitaria es faacutecil ver que la potencia que recibe la carga estaacute dada por
Ecuacioacuten 8
donde definimos Gp como la ganancia de potencia de las dos etapas Tambieacuten se puede reescribir la ecuacioacuten anterior en funcioacuten de la ganancia de transductor G
Ecuacioacuten 9
3 Ganancia en funcioacuten de los paraacutemetros de Scattering
Figura 5 Esquema baacutesico de un amplificador
Queremos encontrar expresiones que relacionen la ganancia de potencia del amplificador con los paraacutemetros de Scattering y las impedancias de fuente y carga (o bien con los coeficientes de reflexioacuten en la fuente y en la carga)
En el circuito baacutesico de la figura 5 el amplificador se conecta a la fuente y a la carga a traveacutes de liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc Suponemos estas liacuteneas de transmisioacuten de largo despreciable
Los coeficientes de reflexioacuten en la carga y en la fuente estaacuten dados por
donde las impedancias se encuentran normalizadas ie
Las ondas incidentes y reflejadas de voltaje se relacionan a traveacutes de la matriz de paraacutemetros de Scattering de la siguiente forma
Ecuacioacuten 10
Ecuacioacuten 11
A partir de la ecuacioacuten 10 y 11 y la definicioacuten de ΓL y Γs se puede demostrar que
Ecuacioacuten 12
Ecuacioacuten 13
donde se define
Los factores de desadaptacioacuten de impedancia Ms y ML estaacuten dados por
Usando las expresiones de los coeficientes de reflexioacuten en funcioacuten de las impedancias se demostrar que
Ecuacioacuten 14
Ecuacioacuten 15
Para obtener la ganancia de potencia GP necesitamos calcular Pin y PL
Usando las expresiones anteriores se llega a
Ecuacioacuten 16
Ecuacioacuten 17
Usando las ecuaciones anteriores finalmente se puede demostrar que
Ecuacioacuten 18
Ecuacioacuten 19
Donde
4 Estabilidad
41 Estabilidad en amplificadores
La estabilidad o la resistencia a la oscilacioacuten de un amplificador de microondas es uno de los maacutes importantes objetivos de disentildeo La estabilidad se puede determinar a partir los paraacutemetros S las mallas de adaptacioacuten a la entrada y a la salida y las terminaciones del circuito
A altas frecuencias un transistor presenta una retroalimentacioacuten intriacutenseca de la salida a
la entrada principalmente debido a las capacitancias finitas presentes en el dispositivo De esta forma el dispositivo puede ser potencialmente inestable y a menos que el circuito sea disentildeado adecuadamente puede oscilar inutilizando su uso como amplificador
Mirando el problema desde el punto de vista de ondas las condiciones de estabilidad establecen que la potencia reflejada en los puertos del amplificador debe ser menor que la potencia incidente ie los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador deben ser en moacutedulo menores que uno Cuando el amplificador cumple las condiciones de estabilidad para todo valor de impedancias de fuente y carga se dice que el amplificador es absolutamente estable Si se cumplen las condiciones solo para ciertos valores restringidos de impedancia el amplificador es potencialmente estable En caso contrario es inestable
Notar que si los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador son de moacutedulo mayor que uno entonces las partes reales de las impedancias de entrada y salida del dispositivo tendraacuten parte real negativa Por ejemplo si en el amplificador de
la figura 5 se tiene que entonces
Luego una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta del dispositivo a una
frecuencia dada es que las resistencias de entrada y salida y
sean positivas El caso liacutemite se da cuando la impedancias son
reactivas puras ie
42 Adaptacioacuten de impedancias y estabilidad
En el circuito de la figura 5 se puede obtener maacutexima transferencia de potencia
adaptando las impedancias ie eligiendo
Utilizando las ecuaciones 12 y 13 se tiene que las condiciones para adaptar las impedancias equivalen al siguiente sistema
Ecuacioacuten 20a
Ecuacioacuten 20b
Resolviendo el sistema anterior para Γs y ΓL se obtienen las siguientes soluciones
Ecuacioacuten 21a
Ecuacioacuten 21b
Donde
Ahora hay que ver cuaacuteles son las soluciones del sistema 20 que producen
Para esto notamos que si
entonces y
y ademaacutes se cumple que
Luego concluimos que una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es
Ecuacioacuten 22
Asumiendo la condicioacuten 22 se puede demostrar a partir de 21 que las soluciones que
permiten se obtienen eligiendo el signo negativo cuando
y eligiendo el signo positivo cuando
La condicioacuten necesaria de estabilidad se puede reescribir en funcioacuten de los paraacutemetros S de la siguiente forma
donde se define el paraacutemetro
Luego concluimos que otra condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es
Se puede demostrar que cuando las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas la ganancia de potencia se puede escribir como
Ecuacioacuten 23
donde el factor se llama figura de meacuterito del dispositivo
Notar que el valor liacutemite maacuteximo de la ganancia estable se obtiene cuando y su valor es
Ecuacioacuten 24
A partir de la ecuacioacuten 23 se deduce que para usar adaptacioacuten de impedancias
conjugadas tiene que cumplirse la condicioacuten necesaria de estabilidad En otras palabras no se puede usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas si el dispositivo (ie el transistor) es inestable
5 Disentildeo de amplificadores
Figura 6 Estrategia de disentildeo Amplificador de una etapa
Especificaciones de disentildeo
1048708 Maacutexima ganancia de potencia por sobre un valor miacutenimo
1048708 Miacutenima figura de ruido por debajo de un valor miacutenimo
1048708 VSWR a la entrada y la salida sin exceder valores maacuteximos
Se asumen conocidos los paraacutemetros Sij Fm Γm y RN o GI
Algoritmo de Disentildeo
Paso 1 Evaluar las condiciones de estabilidad Si se cumplen seguir con paso 2 3 y 4 Caso contrario (Klt1) seguir con 5 y 6
Paso 2 Evaluar si es posible usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas Si la ganancia y figura de ruido son aceptables se termina Caso contrario seguir con 3
Paso 3 Se evaluacutea si es posible usar Γs = Γm (ie miacutenima figura de ruido) Se construye la siguiente funcioacuten objetivo
dado un valor de gp se busca en el correspondiente ciacuterculo de ganancia constante el valor de que maximiza la funcioacuten objetivo Si los valores de VSWR son aceptables terminar Caso contrario seguir con paso 4
Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria
Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6
Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad
Iacutendice
1 Introduccioacuten
2 Redes de dos puertas
3 Ganancia
4 Estabilidad
5 Disentildeo de amplificadores
1 Introduccioacuten
Los amplificadores de microondas usualmente se construyen en Circuitos Integrados de Microondas (MIC) tanto hiacutebridos como monoliacuteticos (MMIC) En construccioacuten hiacutebrida las liacuteneas de transmisioacuten y las mallas de adaptacioacuten usualmente se hacen como elementos de circuito microstrip sobre un substrato dieleacutectrico y los componentes discretos (condensadores resistencias transistores etc) se conectan soldando Los dispositivos discretos vienen con terminales conductores para facilitar su insercioacuten en un circuito hiacutebrido
En los MIC monoliacuteticos (MMIC) todos los elementos que conforman el circuito (liacuteneas de transmisioacuten redes de adaptacioacuten elementos activos y pasivos etc) se construyen en un uacutenico cristal semiconductor Esta tecnologiacutea es principalmente utilizada en la produccioacuten a gran escala
En general se pueden distinguir los siguientes objetivos en el disentildeo de amplificadores de microondas
bull Maacutexima ganancia de potencia bull Miacutenima figura de ruido para la primera etapa bull Ganancia estable ie sin oscilaciones bull Razoacuten de onda estacionaria (VSWR) cercana a la unidad tanto en la entrada como
en la salida bull Ganancia uniforme en una cierta banda de frecuencia bull Respuesta en frecuencia de la fase lineal ie sin distorsioacuten bull Insensibilidad a cambios en los paraacutemetros S o cambios en la polarizacioacuten
Es importante notar que existen muchos compromisos o trade offs entre estos objetivos de disentildeo Por ejemplo en el disentildeo de amplificadores de bajo ruido es necesario sacrificar ganancia y VSWR a la entrada a cambio de una figura de ruido aceptable (maacutes adelante definiremos figura de ruido)
Las especificaciones de disentildeo estaacuten todas interrelacionadas lo cual hace el problema casi inmanejable sin el uso de una estrategia de optimizacioacuten computacional dado que cada requerimiento impone restricciones sobre los otros y las ecuaciones que definen estas restricciones no son sencillas Por esta razoacuten la visualizacioacuten de las restricciones en una carta de Smith facilita enormemente la comprensioacuten del conflicto entre los requerimientos
2 Redes de dos puertas
21 Propiedad de conservacioacuten del factor de desadaptacioacuten en redes sin peacuterdidas
Figura 1 Red lineal de dos puertos sin peacuterdidas conectada a una fuente y una carga
En el esquema de la figura 1 se muestra una red lineal de dos puertos sin peacuterdidas
conectada a una fuente de voltaje con una impedancia de fuente y
una carga de impedancia La impedancia mirando a la red desde el
lado de la fuente es La potencia que entra a la red estaacute dada por
Ecuacioacuten 1
donde
A partir de la ecuacioacuten se observa que la potencia que entra a la red alcanza su
valor maacuteximo cuando ie cuando las partes imaginarias se cancelan en el denominador de la expresioacuten
Definimos como la potencia disponible de la fuente a la maacutexima potencia que puede entrar a la red (y que entra totalmente a la red cuando la impedancia de entrada estaacute adaptada conjugada con la impedancia de la fuente) Entonces se tiene
Ecuacioacuten 2
Cuando entonces la potencia que entra a la red es menor que la potencia disponible de la fuente y estaacute dada por
Ecuacioacuten 3
Ecuacioacuten 4
La expresioacuten anterior nos dice que cuando no hay adaptacioacuten de impedancia la potencia que efectivamente entra a la red es una fraccioacuten M de la potencia disponible de la fuente Definimos M como el factor de desadaptacioacuten de impedancia (mismatch factor) a la entrada de la red El factor de desadaptacioacuten tambieacuten se puede ver como un coeficiente de transmisioacuten de potencia
Tambieacuten se puede definir el factor de desadaptacioacuten de impedancia a la salida como
donde es la potencia disponible entregada por la red a la carga y es la
potencia efectivamente entregada a
Como la red es sin peacuterdidas por definicioacuten la potencia que entra a la red se traspasa
completamente a la carga ie Ademaacutes se puede demostrar que la potencia disponible de la fuente es igual a la potencia disponible entregada por la red a la carga ie Luego para una red lineal pasiva sin peacuterdidas se tiene que el factor
de desadaptacioacuten es el mismo a la entrada y a la salida ie se conserva
En general para varias redes lineales pasivas sin peacuterdidas (reciacuteprocas) en cascada como se muestra en la figura 2 se puede demostrar que
Ecuacioacuten 5a
Ecuacioacuten 5b
Ecuacioacuten 5c
Figura 2 Conexioacuten en cascada de varias redes sin peacuterdidas entre la fuente y la carga
En una red lineal activa (ie no reciproca) el factor de desadaptacioacuten no se conserva Por ejemplo en el caso de un amplificador visto como red de dos puertos la potencia entregada a la carga es mayor que la potencia a la entrada
22 Definiciones de Ganancia
Figura 3 Red lineal activa con ganancia de potencia Gp
Para el amplificador baacutesico de la figura 3 se definen las siguientes ganancias
1) Ganancia de potencia
2) Ganancia de transductor
3) Ganancia de potencia disponible
Para el caso de redes lineales pasivas sin peacuterdidas la ganancia de potencia es unitaria
Si las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas a la entrada y a la salida del amplificador entonces la ganancia de potencia es maacutexima y se cumple que y
siempre y cuando el dispositivo sea
absolutamente estable Si las impedancias no estaacuten adaptadas conjugadas entonces la ganancia de potencia no es maacutexima
23 VSWR coeficiente de reflexioacuten y factor de desadaptacioacuten en amplificadores multietapa
Figura 4 Amplificador de dos etapas con mallas de adaptacioacuten
En la figura 4 se muestra un amplificador de dos etapas con mallas de adaptacioacuten entre etapas conectado a liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc tanto a la entrada como a la salida Entre cada etapa existen coeficientes de reflexioacuten definidos por las respectivas impedancias entre etapas En particular el coeficiente de reflexioacuten que enfrenta la onda de voltaje incidente V+ estaacute dado por
donde es la impedancia de entrada a la malla de adaptacioacuten 1 normalizada La potencia incidente proveniente de la liacutenea de transmisioacuten estaacute dada por
y la potencia que entra a la malla 1 donde Ms
es el
factor de desadaptacioacuten de impedancia entre la liacutenea de transmisioacuten y la malla 1
Se puede demostrar que lo que nos entrega la siguiente ecuacioacuten que relaciona el factor de desadaptacioacuten con el coeficiente de reflexioacuten
Ecuacioacuten 6
Con la ecuacioacuten 6 y usando la expresioacuten de VSWR en funcioacuten del coeficiente de reflexioacuten se puede obtener la siguiente ecuacioacuten que relaciona la razoacuten de onda
estacionaria VSWR1 a la entrada de la malla de adaptacioacuten 1 con el factor de
desadaptacioacuten Ms
Ecuacioacuten 7
Notar que el factor de desadaptacioacuten a la entrada y a la salida de las mallas de adaptacioacuten es el mismo esto porque las suponemos sin peacuterdidas Luego la razoacuten de onda estacionaria VSWR1 tambieacuten depende del grado de desadaptacioacuten entre Zs y Zin
Entonces el disentildeo de la malla 1 ademaacutes de definir un Ms que produzca una figura de ruido oacuteptima al mismo tiempo debe mantener las restricciones de VSWR a la entrada y la estabilidad del amplificador con una ganancia aceptable seguacuten los requerimientos Maacutes adelante veremos este problema en detalle Recordando que las mallas de adaptacioacuten (lineales pasivas y sin peacuterdidas) tienen ganancia unitaria es faacutecil ver que la potencia que recibe la carga estaacute dada por
Ecuacioacuten 8
donde definimos Gp como la ganancia de potencia de las dos etapas Tambieacuten se puede reescribir la ecuacioacuten anterior en funcioacuten de la ganancia de transductor G
Ecuacioacuten 9
3 Ganancia en funcioacuten de los paraacutemetros de Scattering
Figura 5 Esquema baacutesico de un amplificador
Queremos encontrar expresiones que relacionen la ganancia de potencia del amplificador con los paraacutemetros de Scattering y las impedancias de fuente y carga (o bien con los coeficientes de reflexioacuten en la fuente y en la carga)
En el circuito baacutesico de la figura 5 el amplificador se conecta a la fuente y a la carga a traveacutes de liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc Suponemos estas liacuteneas de transmisioacuten de largo despreciable
Los coeficientes de reflexioacuten en la carga y en la fuente estaacuten dados por
donde las impedancias se encuentran normalizadas ie
Las ondas incidentes y reflejadas de voltaje se relacionan a traveacutes de la matriz de paraacutemetros de Scattering de la siguiente forma
Ecuacioacuten 10
Ecuacioacuten 11
A partir de la ecuacioacuten 10 y 11 y la definicioacuten de ΓL y Γs se puede demostrar que
Ecuacioacuten 12
Ecuacioacuten 13
donde se define
Los factores de desadaptacioacuten de impedancia Ms y ML estaacuten dados por
Usando las expresiones de los coeficientes de reflexioacuten en funcioacuten de las impedancias se demostrar que
Ecuacioacuten 14
Ecuacioacuten 15
Para obtener la ganancia de potencia GP necesitamos calcular Pin y PL
Usando las expresiones anteriores se llega a
Ecuacioacuten 16
Ecuacioacuten 17
Usando las ecuaciones anteriores finalmente se puede demostrar que
Ecuacioacuten 18
Ecuacioacuten 19
Donde
4 Estabilidad
41 Estabilidad en amplificadores
La estabilidad o la resistencia a la oscilacioacuten de un amplificador de microondas es uno de los maacutes importantes objetivos de disentildeo La estabilidad se puede determinar a partir los paraacutemetros S las mallas de adaptacioacuten a la entrada y a la salida y las terminaciones del circuito
A altas frecuencias un transistor presenta una retroalimentacioacuten intriacutenseca de la salida a
la entrada principalmente debido a las capacitancias finitas presentes en el dispositivo De esta forma el dispositivo puede ser potencialmente inestable y a menos que el circuito sea disentildeado adecuadamente puede oscilar inutilizando su uso como amplificador
Mirando el problema desde el punto de vista de ondas las condiciones de estabilidad establecen que la potencia reflejada en los puertos del amplificador debe ser menor que la potencia incidente ie los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador deben ser en moacutedulo menores que uno Cuando el amplificador cumple las condiciones de estabilidad para todo valor de impedancias de fuente y carga se dice que el amplificador es absolutamente estable Si se cumplen las condiciones solo para ciertos valores restringidos de impedancia el amplificador es potencialmente estable En caso contrario es inestable
Notar que si los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador son de moacutedulo mayor que uno entonces las partes reales de las impedancias de entrada y salida del dispositivo tendraacuten parte real negativa Por ejemplo si en el amplificador de
la figura 5 se tiene que entonces
Luego una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta del dispositivo a una
frecuencia dada es que las resistencias de entrada y salida y
sean positivas El caso liacutemite se da cuando la impedancias son
reactivas puras ie
42 Adaptacioacuten de impedancias y estabilidad
En el circuito de la figura 5 se puede obtener maacutexima transferencia de potencia
adaptando las impedancias ie eligiendo
Utilizando las ecuaciones 12 y 13 se tiene que las condiciones para adaptar las impedancias equivalen al siguiente sistema
Ecuacioacuten 20a
Ecuacioacuten 20b
Resolviendo el sistema anterior para Γs y ΓL se obtienen las siguientes soluciones
Ecuacioacuten 21a
Ecuacioacuten 21b
Donde
Ahora hay que ver cuaacuteles son las soluciones del sistema 20 que producen
Para esto notamos que si
entonces y
y ademaacutes se cumple que
Luego concluimos que una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es
Ecuacioacuten 22
Asumiendo la condicioacuten 22 se puede demostrar a partir de 21 que las soluciones que
permiten se obtienen eligiendo el signo negativo cuando
y eligiendo el signo positivo cuando
La condicioacuten necesaria de estabilidad se puede reescribir en funcioacuten de los paraacutemetros S de la siguiente forma
donde se define el paraacutemetro
Luego concluimos que otra condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es
Se puede demostrar que cuando las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas la ganancia de potencia se puede escribir como
Ecuacioacuten 23
donde el factor se llama figura de meacuterito del dispositivo
Notar que el valor liacutemite maacuteximo de la ganancia estable se obtiene cuando y su valor es
Ecuacioacuten 24
A partir de la ecuacioacuten 23 se deduce que para usar adaptacioacuten de impedancias
conjugadas tiene que cumplirse la condicioacuten necesaria de estabilidad En otras palabras no se puede usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas si el dispositivo (ie el transistor) es inestable
5 Disentildeo de amplificadores
Figura 6 Estrategia de disentildeo Amplificador de una etapa
Especificaciones de disentildeo
1048708 Maacutexima ganancia de potencia por sobre un valor miacutenimo
1048708 Miacutenima figura de ruido por debajo de un valor miacutenimo
1048708 VSWR a la entrada y la salida sin exceder valores maacuteximos
Se asumen conocidos los paraacutemetros Sij Fm Γm y RN o GI
Algoritmo de Disentildeo
Paso 1 Evaluar las condiciones de estabilidad Si se cumplen seguir con paso 2 3 y 4 Caso contrario (Klt1) seguir con 5 y 6
Paso 2 Evaluar si es posible usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas Si la ganancia y figura de ruido son aceptables se termina Caso contrario seguir con 3
Paso 3 Se evaluacutea si es posible usar Γs = Γm (ie miacutenima figura de ruido) Se construye la siguiente funcioacuten objetivo
dado un valor de gp se busca en el correspondiente ciacuterculo de ganancia constante el valor de que maximiza la funcioacuten objetivo Si los valores de VSWR son aceptables terminar Caso contrario seguir con paso 4
Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria
Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6
Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad
1 Introduccioacuten
Los amplificadores de microondas usualmente se construyen en Circuitos Integrados de Microondas (MIC) tanto hiacutebridos como monoliacuteticos (MMIC) En construccioacuten hiacutebrida las liacuteneas de transmisioacuten y las mallas de adaptacioacuten usualmente se hacen como elementos de circuito microstrip sobre un substrato dieleacutectrico y los componentes discretos (condensadores resistencias transistores etc) se conectan soldando Los dispositivos discretos vienen con terminales conductores para facilitar su insercioacuten en un circuito hiacutebrido
En los MIC monoliacuteticos (MMIC) todos los elementos que conforman el circuito (liacuteneas de transmisioacuten redes de adaptacioacuten elementos activos y pasivos etc) se construyen en un uacutenico cristal semiconductor Esta tecnologiacutea es principalmente utilizada en la produccioacuten a gran escala
En general se pueden distinguir los siguientes objetivos en el disentildeo de amplificadores de microondas
bull Maacutexima ganancia de potencia bull Miacutenima figura de ruido para la primera etapa bull Ganancia estable ie sin oscilaciones bull Razoacuten de onda estacionaria (VSWR) cercana a la unidad tanto en la entrada como
en la salida bull Ganancia uniforme en una cierta banda de frecuencia bull Respuesta en frecuencia de la fase lineal ie sin distorsioacuten bull Insensibilidad a cambios en los paraacutemetros S o cambios en la polarizacioacuten
Es importante notar que existen muchos compromisos o trade offs entre estos objetivos de disentildeo Por ejemplo en el disentildeo de amplificadores de bajo ruido es necesario sacrificar ganancia y VSWR a la entrada a cambio de una figura de ruido aceptable (maacutes adelante definiremos figura de ruido)
Las especificaciones de disentildeo estaacuten todas interrelacionadas lo cual hace el problema casi inmanejable sin el uso de una estrategia de optimizacioacuten computacional dado que cada requerimiento impone restricciones sobre los otros y las ecuaciones que definen estas restricciones no son sencillas Por esta razoacuten la visualizacioacuten de las restricciones en una carta de Smith facilita enormemente la comprensioacuten del conflicto entre los requerimientos
2 Redes de dos puertas
21 Propiedad de conservacioacuten del factor de desadaptacioacuten en redes sin peacuterdidas
Figura 1 Red lineal de dos puertos sin peacuterdidas conectada a una fuente y una carga
En el esquema de la figura 1 se muestra una red lineal de dos puertos sin peacuterdidas
conectada a una fuente de voltaje con una impedancia de fuente y
una carga de impedancia La impedancia mirando a la red desde el
lado de la fuente es La potencia que entra a la red estaacute dada por
Ecuacioacuten 1
donde
A partir de la ecuacioacuten se observa que la potencia que entra a la red alcanza su
valor maacuteximo cuando ie cuando las partes imaginarias se cancelan en el denominador de la expresioacuten
Definimos como la potencia disponible de la fuente a la maacutexima potencia que puede entrar a la red (y que entra totalmente a la red cuando la impedancia de entrada estaacute adaptada conjugada con la impedancia de la fuente) Entonces se tiene
Ecuacioacuten 2
Cuando entonces la potencia que entra a la red es menor que la potencia disponible de la fuente y estaacute dada por
Ecuacioacuten 3
Ecuacioacuten 4
La expresioacuten anterior nos dice que cuando no hay adaptacioacuten de impedancia la potencia que efectivamente entra a la red es una fraccioacuten M de la potencia disponible de la fuente Definimos M como el factor de desadaptacioacuten de impedancia (mismatch factor) a la entrada de la red El factor de desadaptacioacuten tambieacuten se puede ver como un coeficiente de transmisioacuten de potencia
Tambieacuten se puede definir el factor de desadaptacioacuten de impedancia a la salida como
donde es la potencia disponible entregada por la red a la carga y es la
potencia efectivamente entregada a
Como la red es sin peacuterdidas por definicioacuten la potencia que entra a la red se traspasa
completamente a la carga ie Ademaacutes se puede demostrar que la potencia disponible de la fuente es igual a la potencia disponible entregada por la red a la carga ie Luego para una red lineal pasiva sin peacuterdidas se tiene que el factor
de desadaptacioacuten es el mismo a la entrada y a la salida ie se conserva
En general para varias redes lineales pasivas sin peacuterdidas (reciacuteprocas) en cascada como se muestra en la figura 2 se puede demostrar que
Ecuacioacuten 5a
Ecuacioacuten 5b
Ecuacioacuten 5c
Figura 2 Conexioacuten en cascada de varias redes sin peacuterdidas entre la fuente y la carga
En una red lineal activa (ie no reciproca) el factor de desadaptacioacuten no se conserva Por ejemplo en el caso de un amplificador visto como red de dos puertos la potencia entregada a la carga es mayor que la potencia a la entrada
22 Definiciones de Ganancia
Figura 3 Red lineal activa con ganancia de potencia Gp
Para el amplificador baacutesico de la figura 3 se definen las siguientes ganancias
1) Ganancia de potencia
2) Ganancia de transductor
3) Ganancia de potencia disponible
Para el caso de redes lineales pasivas sin peacuterdidas la ganancia de potencia es unitaria
Si las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas a la entrada y a la salida del amplificador entonces la ganancia de potencia es maacutexima y se cumple que y
siempre y cuando el dispositivo sea
absolutamente estable Si las impedancias no estaacuten adaptadas conjugadas entonces la ganancia de potencia no es maacutexima
23 VSWR coeficiente de reflexioacuten y factor de desadaptacioacuten en amplificadores multietapa
Figura 4 Amplificador de dos etapas con mallas de adaptacioacuten
En la figura 4 se muestra un amplificador de dos etapas con mallas de adaptacioacuten entre etapas conectado a liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc tanto a la entrada como a la salida Entre cada etapa existen coeficientes de reflexioacuten definidos por las respectivas impedancias entre etapas En particular el coeficiente de reflexioacuten que enfrenta la onda de voltaje incidente V+ estaacute dado por
donde es la impedancia de entrada a la malla de adaptacioacuten 1 normalizada La potencia incidente proveniente de la liacutenea de transmisioacuten estaacute dada por
y la potencia que entra a la malla 1 donde Ms
es el
factor de desadaptacioacuten de impedancia entre la liacutenea de transmisioacuten y la malla 1
Se puede demostrar que lo que nos entrega la siguiente ecuacioacuten que relaciona el factor de desadaptacioacuten con el coeficiente de reflexioacuten
Ecuacioacuten 6
Con la ecuacioacuten 6 y usando la expresioacuten de VSWR en funcioacuten del coeficiente de reflexioacuten se puede obtener la siguiente ecuacioacuten que relaciona la razoacuten de onda
estacionaria VSWR1 a la entrada de la malla de adaptacioacuten 1 con el factor de
desadaptacioacuten Ms
Ecuacioacuten 7
Notar que el factor de desadaptacioacuten a la entrada y a la salida de las mallas de adaptacioacuten es el mismo esto porque las suponemos sin peacuterdidas Luego la razoacuten de onda estacionaria VSWR1 tambieacuten depende del grado de desadaptacioacuten entre Zs y Zin
Entonces el disentildeo de la malla 1 ademaacutes de definir un Ms que produzca una figura de ruido oacuteptima al mismo tiempo debe mantener las restricciones de VSWR a la entrada y la estabilidad del amplificador con una ganancia aceptable seguacuten los requerimientos Maacutes adelante veremos este problema en detalle Recordando que las mallas de adaptacioacuten (lineales pasivas y sin peacuterdidas) tienen ganancia unitaria es faacutecil ver que la potencia que recibe la carga estaacute dada por
Ecuacioacuten 8
donde definimos Gp como la ganancia de potencia de las dos etapas Tambieacuten se puede reescribir la ecuacioacuten anterior en funcioacuten de la ganancia de transductor G
Ecuacioacuten 9
3 Ganancia en funcioacuten de los paraacutemetros de Scattering
Figura 5 Esquema baacutesico de un amplificador
Queremos encontrar expresiones que relacionen la ganancia de potencia del amplificador con los paraacutemetros de Scattering y las impedancias de fuente y carga (o bien con los coeficientes de reflexioacuten en la fuente y en la carga)
En el circuito baacutesico de la figura 5 el amplificador se conecta a la fuente y a la carga a traveacutes de liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc Suponemos estas liacuteneas de transmisioacuten de largo despreciable
Los coeficientes de reflexioacuten en la carga y en la fuente estaacuten dados por
donde las impedancias se encuentran normalizadas ie
Las ondas incidentes y reflejadas de voltaje se relacionan a traveacutes de la matriz de paraacutemetros de Scattering de la siguiente forma
Ecuacioacuten 10
Ecuacioacuten 11
A partir de la ecuacioacuten 10 y 11 y la definicioacuten de ΓL y Γs se puede demostrar que
Ecuacioacuten 12
Ecuacioacuten 13
donde se define
Los factores de desadaptacioacuten de impedancia Ms y ML estaacuten dados por
Usando las expresiones de los coeficientes de reflexioacuten en funcioacuten de las impedancias se demostrar que
Ecuacioacuten 14
Ecuacioacuten 15
Para obtener la ganancia de potencia GP necesitamos calcular Pin y PL
Usando las expresiones anteriores se llega a
Ecuacioacuten 16
Ecuacioacuten 17
Usando las ecuaciones anteriores finalmente se puede demostrar que
Ecuacioacuten 18
Ecuacioacuten 19
Donde
4 Estabilidad
41 Estabilidad en amplificadores
La estabilidad o la resistencia a la oscilacioacuten de un amplificador de microondas es uno de los maacutes importantes objetivos de disentildeo La estabilidad se puede determinar a partir los paraacutemetros S las mallas de adaptacioacuten a la entrada y a la salida y las terminaciones del circuito
A altas frecuencias un transistor presenta una retroalimentacioacuten intriacutenseca de la salida a
la entrada principalmente debido a las capacitancias finitas presentes en el dispositivo De esta forma el dispositivo puede ser potencialmente inestable y a menos que el circuito sea disentildeado adecuadamente puede oscilar inutilizando su uso como amplificador
Mirando el problema desde el punto de vista de ondas las condiciones de estabilidad establecen que la potencia reflejada en los puertos del amplificador debe ser menor que la potencia incidente ie los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador deben ser en moacutedulo menores que uno Cuando el amplificador cumple las condiciones de estabilidad para todo valor de impedancias de fuente y carga se dice que el amplificador es absolutamente estable Si se cumplen las condiciones solo para ciertos valores restringidos de impedancia el amplificador es potencialmente estable En caso contrario es inestable
Notar que si los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador son de moacutedulo mayor que uno entonces las partes reales de las impedancias de entrada y salida del dispositivo tendraacuten parte real negativa Por ejemplo si en el amplificador de
la figura 5 se tiene que entonces
Luego una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta del dispositivo a una
frecuencia dada es que las resistencias de entrada y salida y
sean positivas El caso liacutemite se da cuando la impedancias son
reactivas puras ie
42 Adaptacioacuten de impedancias y estabilidad
En el circuito de la figura 5 se puede obtener maacutexima transferencia de potencia
adaptando las impedancias ie eligiendo
Utilizando las ecuaciones 12 y 13 se tiene que las condiciones para adaptar las impedancias equivalen al siguiente sistema
Ecuacioacuten 20a
Ecuacioacuten 20b
Resolviendo el sistema anterior para Γs y ΓL se obtienen las siguientes soluciones
Ecuacioacuten 21a
Ecuacioacuten 21b
Donde
Ahora hay que ver cuaacuteles son las soluciones del sistema 20 que producen
Para esto notamos que si
entonces y
y ademaacutes se cumple que
Luego concluimos que una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es
Ecuacioacuten 22
Asumiendo la condicioacuten 22 se puede demostrar a partir de 21 que las soluciones que
permiten se obtienen eligiendo el signo negativo cuando
y eligiendo el signo positivo cuando
La condicioacuten necesaria de estabilidad se puede reescribir en funcioacuten de los paraacutemetros S de la siguiente forma
donde se define el paraacutemetro
Luego concluimos que otra condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es
Se puede demostrar que cuando las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas la ganancia de potencia se puede escribir como
Ecuacioacuten 23
donde el factor se llama figura de meacuterito del dispositivo
Notar que el valor liacutemite maacuteximo de la ganancia estable se obtiene cuando y su valor es
Ecuacioacuten 24
A partir de la ecuacioacuten 23 se deduce que para usar adaptacioacuten de impedancias
conjugadas tiene que cumplirse la condicioacuten necesaria de estabilidad En otras palabras no se puede usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas si el dispositivo (ie el transistor) es inestable
5 Disentildeo de amplificadores
Figura 6 Estrategia de disentildeo Amplificador de una etapa
Especificaciones de disentildeo
1048708 Maacutexima ganancia de potencia por sobre un valor miacutenimo
1048708 Miacutenima figura de ruido por debajo de un valor miacutenimo
1048708 VSWR a la entrada y la salida sin exceder valores maacuteximos
Se asumen conocidos los paraacutemetros Sij Fm Γm y RN o GI
Algoritmo de Disentildeo
Paso 1 Evaluar las condiciones de estabilidad Si se cumplen seguir con paso 2 3 y 4 Caso contrario (Klt1) seguir con 5 y 6
Paso 2 Evaluar si es posible usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas Si la ganancia y figura de ruido son aceptables se termina Caso contrario seguir con 3
Paso 3 Se evaluacutea si es posible usar Γs = Γm (ie miacutenima figura de ruido) Se construye la siguiente funcioacuten objetivo
dado un valor de gp se busca en el correspondiente ciacuterculo de ganancia constante el valor de que maximiza la funcioacuten objetivo Si los valores de VSWR son aceptables terminar Caso contrario seguir con paso 4
Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria
Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6
Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad
2 Redes de dos puertas
21 Propiedad de conservacioacuten del factor de desadaptacioacuten en redes sin peacuterdidas
Figura 1 Red lineal de dos puertos sin peacuterdidas conectada a una fuente y una carga
En el esquema de la figura 1 se muestra una red lineal de dos puertos sin peacuterdidas
conectada a una fuente de voltaje con una impedancia de fuente y
una carga de impedancia La impedancia mirando a la red desde el
lado de la fuente es La potencia que entra a la red estaacute dada por
Ecuacioacuten 1
donde
A partir de la ecuacioacuten se observa que la potencia que entra a la red alcanza su
valor maacuteximo cuando ie cuando las partes imaginarias se cancelan en el denominador de la expresioacuten
Definimos como la potencia disponible de la fuente a la maacutexima potencia que puede entrar a la red (y que entra totalmente a la red cuando la impedancia de entrada estaacute adaptada conjugada con la impedancia de la fuente) Entonces se tiene
Ecuacioacuten 2
Cuando entonces la potencia que entra a la red es menor que la potencia disponible de la fuente y estaacute dada por
Ecuacioacuten 3
Ecuacioacuten 4
La expresioacuten anterior nos dice que cuando no hay adaptacioacuten de impedancia la potencia que efectivamente entra a la red es una fraccioacuten M de la potencia disponible de la fuente Definimos M como el factor de desadaptacioacuten de impedancia (mismatch factor) a la entrada de la red El factor de desadaptacioacuten tambieacuten se puede ver como un coeficiente de transmisioacuten de potencia
Tambieacuten se puede definir el factor de desadaptacioacuten de impedancia a la salida como
donde es la potencia disponible entregada por la red a la carga y es la
potencia efectivamente entregada a
Como la red es sin peacuterdidas por definicioacuten la potencia que entra a la red se traspasa
completamente a la carga ie Ademaacutes se puede demostrar que la potencia disponible de la fuente es igual a la potencia disponible entregada por la red a la carga ie Luego para una red lineal pasiva sin peacuterdidas se tiene que el factor
de desadaptacioacuten es el mismo a la entrada y a la salida ie se conserva
En general para varias redes lineales pasivas sin peacuterdidas (reciacuteprocas) en cascada como se muestra en la figura 2 se puede demostrar que
Ecuacioacuten 5a
Ecuacioacuten 5b
Ecuacioacuten 5c
Figura 2 Conexioacuten en cascada de varias redes sin peacuterdidas entre la fuente y la carga
En una red lineal activa (ie no reciproca) el factor de desadaptacioacuten no se conserva Por ejemplo en el caso de un amplificador visto como red de dos puertos la potencia entregada a la carga es mayor que la potencia a la entrada
22 Definiciones de Ganancia
Figura 3 Red lineal activa con ganancia de potencia Gp
Para el amplificador baacutesico de la figura 3 se definen las siguientes ganancias
1) Ganancia de potencia
2) Ganancia de transductor
3) Ganancia de potencia disponible
Para el caso de redes lineales pasivas sin peacuterdidas la ganancia de potencia es unitaria
Si las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas a la entrada y a la salida del amplificador entonces la ganancia de potencia es maacutexima y se cumple que y
siempre y cuando el dispositivo sea
absolutamente estable Si las impedancias no estaacuten adaptadas conjugadas entonces la ganancia de potencia no es maacutexima
23 VSWR coeficiente de reflexioacuten y factor de desadaptacioacuten en amplificadores multietapa
Figura 4 Amplificador de dos etapas con mallas de adaptacioacuten
En la figura 4 se muestra un amplificador de dos etapas con mallas de adaptacioacuten entre etapas conectado a liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc tanto a la entrada como a la salida Entre cada etapa existen coeficientes de reflexioacuten definidos por las respectivas impedancias entre etapas En particular el coeficiente de reflexioacuten que enfrenta la onda de voltaje incidente V+ estaacute dado por
donde es la impedancia de entrada a la malla de adaptacioacuten 1 normalizada La potencia incidente proveniente de la liacutenea de transmisioacuten estaacute dada por
y la potencia que entra a la malla 1 donde Ms
es el
factor de desadaptacioacuten de impedancia entre la liacutenea de transmisioacuten y la malla 1
Se puede demostrar que lo que nos entrega la siguiente ecuacioacuten que relaciona el factor de desadaptacioacuten con el coeficiente de reflexioacuten
Ecuacioacuten 6
Con la ecuacioacuten 6 y usando la expresioacuten de VSWR en funcioacuten del coeficiente de reflexioacuten se puede obtener la siguiente ecuacioacuten que relaciona la razoacuten de onda
estacionaria VSWR1 a la entrada de la malla de adaptacioacuten 1 con el factor de
desadaptacioacuten Ms
Ecuacioacuten 7
Notar que el factor de desadaptacioacuten a la entrada y a la salida de las mallas de adaptacioacuten es el mismo esto porque las suponemos sin peacuterdidas Luego la razoacuten de onda estacionaria VSWR1 tambieacuten depende del grado de desadaptacioacuten entre Zs y Zin
Entonces el disentildeo de la malla 1 ademaacutes de definir un Ms que produzca una figura de ruido oacuteptima al mismo tiempo debe mantener las restricciones de VSWR a la entrada y la estabilidad del amplificador con una ganancia aceptable seguacuten los requerimientos Maacutes adelante veremos este problema en detalle Recordando que las mallas de adaptacioacuten (lineales pasivas y sin peacuterdidas) tienen ganancia unitaria es faacutecil ver que la potencia que recibe la carga estaacute dada por
Ecuacioacuten 8
donde definimos Gp como la ganancia de potencia de las dos etapas Tambieacuten se puede reescribir la ecuacioacuten anterior en funcioacuten de la ganancia de transductor G
Ecuacioacuten 9
3 Ganancia en funcioacuten de los paraacutemetros de Scattering
Figura 5 Esquema baacutesico de un amplificador
Queremos encontrar expresiones que relacionen la ganancia de potencia del amplificador con los paraacutemetros de Scattering y las impedancias de fuente y carga (o bien con los coeficientes de reflexioacuten en la fuente y en la carga)
En el circuito baacutesico de la figura 5 el amplificador se conecta a la fuente y a la carga a traveacutes de liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc Suponemos estas liacuteneas de transmisioacuten de largo despreciable
Los coeficientes de reflexioacuten en la carga y en la fuente estaacuten dados por
donde las impedancias se encuentran normalizadas ie
Las ondas incidentes y reflejadas de voltaje se relacionan a traveacutes de la matriz de paraacutemetros de Scattering de la siguiente forma
Ecuacioacuten 10
Ecuacioacuten 11
A partir de la ecuacioacuten 10 y 11 y la definicioacuten de ΓL y Γs se puede demostrar que
Ecuacioacuten 12
Ecuacioacuten 13
donde se define
Los factores de desadaptacioacuten de impedancia Ms y ML estaacuten dados por
Usando las expresiones de los coeficientes de reflexioacuten en funcioacuten de las impedancias se demostrar que
Ecuacioacuten 14
Ecuacioacuten 15
Para obtener la ganancia de potencia GP necesitamos calcular Pin y PL
Usando las expresiones anteriores se llega a
Ecuacioacuten 16
Ecuacioacuten 17
Usando las ecuaciones anteriores finalmente se puede demostrar que
Ecuacioacuten 18
Ecuacioacuten 19
Donde
4 Estabilidad
41 Estabilidad en amplificadores
La estabilidad o la resistencia a la oscilacioacuten de un amplificador de microondas es uno de los maacutes importantes objetivos de disentildeo La estabilidad se puede determinar a partir los paraacutemetros S las mallas de adaptacioacuten a la entrada y a la salida y las terminaciones del circuito
A altas frecuencias un transistor presenta una retroalimentacioacuten intriacutenseca de la salida a
la entrada principalmente debido a las capacitancias finitas presentes en el dispositivo De esta forma el dispositivo puede ser potencialmente inestable y a menos que el circuito sea disentildeado adecuadamente puede oscilar inutilizando su uso como amplificador
Mirando el problema desde el punto de vista de ondas las condiciones de estabilidad establecen que la potencia reflejada en los puertos del amplificador debe ser menor que la potencia incidente ie los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador deben ser en moacutedulo menores que uno Cuando el amplificador cumple las condiciones de estabilidad para todo valor de impedancias de fuente y carga se dice que el amplificador es absolutamente estable Si se cumplen las condiciones solo para ciertos valores restringidos de impedancia el amplificador es potencialmente estable En caso contrario es inestable
Notar que si los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador son de moacutedulo mayor que uno entonces las partes reales de las impedancias de entrada y salida del dispositivo tendraacuten parte real negativa Por ejemplo si en el amplificador de
la figura 5 se tiene que entonces
Luego una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta del dispositivo a una
frecuencia dada es que las resistencias de entrada y salida y
sean positivas El caso liacutemite se da cuando la impedancias son
reactivas puras ie
42 Adaptacioacuten de impedancias y estabilidad
En el circuito de la figura 5 se puede obtener maacutexima transferencia de potencia
adaptando las impedancias ie eligiendo
Utilizando las ecuaciones 12 y 13 se tiene que las condiciones para adaptar las impedancias equivalen al siguiente sistema
Ecuacioacuten 20a
Ecuacioacuten 20b
Resolviendo el sistema anterior para Γs y ΓL se obtienen las siguientes soluciones
Ecuacioacuten 21a
Ecuacioacuten 21b
Donde
Ahora hay que ver cuaacuteles son las soluciones del sistema 20 que producen
Para esto notamos que si
entonces y
y ademaacutes se cumple que
Luego concluimos que una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es
Ecuacioacuten 22
Asumiendo la condicioacuten 22 se puede demostrar a partir de 21 que las soluciones que
permiten se obtienen eligiendo el signo negativo cuando
y eligiendo el signo positivo cuando
La condicioacuten necesaria de estabilidad se puede reescribir en funcioacuten de los paraacutemetros S de la siguiente forma
donde se define el paraacutemetro
Luego concluimos que otra condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es
Se puede demostrar que cuando las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas la ganancia de potencia se puede escribir como
Ecuacioacuten 23
donde el factor se llama figura de meacuterito del dispositivo
Notar que el valor liacutemite maacuteximo de la ganancia estable se obtiene cuando y su valor es
Ecuacioacuten 24
A partir de la ecuacioacuten 23 se deduce que para usar adaptacioacuten de impedancias
conjugadas tiene que cumplirse la condicioacuten necesaria de estabilidad En otras palabras no se puede usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas si el dispositivo (ie el transistor) es inestable
5 Disentildeo de amplificadores
Figura 6 Estrategia de disentildeo Amplificador de una etapa
Especificaciones de disentildeo
1048708 Maacutexima ganancia de potencia por sobre un valor miacutenimo
1048708 Miacutenima figura de ruido por debajo de un valor miacutenimo
1048708 VSWR a la entrada y la salida sin exceder valores maacuteximos
Se asumen conocidos los paraacutemetros Sij Fm Γm y RN o GI
Algoritmo de Disentildeo
Paso 1 Evaluar las condiciones de estabilidad Si se cumplen seguir con paso 2 3 y 4 Caso contrario (Klt1) seguir con 5 y 6
Paso 2 Evaluar si es posible usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas Si la ganancia y figura de ruido son aceptables se termina Caso contrario seguir con 3
Paso 3 Se evaluacutea si es posible usar Γs = Γm (ie miacutenima figura de ruido) Se construye la siguiente funcioacuten objetivo
dado un valor de gp se busca en el correspondiente ciacuterculo de ganancia constante el valor de que maximiza la funcioacuten objetivo Si los valores de VSWR son aceptables terminar Caso contrario seguir con paso 4
Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria
Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6
Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad
Ecuacioacuten 2
Cuando entonces la potencia que entra a la red es menor que la potencia disponible de la fuente y estaacute dada por
Ecuacioacuten 3
Ecuacioacuten 4
La expresioacuten anterior nos dice que cuando no hay adaptacioacuten de impedancia la potencia que efectivamente entra a la red es una fraccioacuten M de la potencia disponible de la fuente Definimos M como el factor de desadaptacioacuten de impedancia (mismatch factor) a la entrada de la red El factor de desadaptacioacuten tambieacuten se puede ver como un coeficiente de transmisioacuten de potencia
Tambieacuten se puede definir el factor de desadaptacioacuten de impedancia a la salida como
donde es la potencia disponible entregada por la red a la carga y es la
potencia efectivamente entregada a
Como la red es sin peacuterdidas por definicioacuten la potencia que entra a la red se traspasa
completamente a la carga ie Ademaacutes se puede demostrar que la potencia disponible de la fuente es igual a la potencia disponible entregada por la red a la carga ie Luego para una red lineal pasiva sin peacuterdidas se tiene que el factor
de desadaptacioacuten es el mismo a la entrada y a la salida ie se conserva
En general para varias redes lineales pasivas sin peacuterdidas (reciacuteprocas) en cascada como se muestra en la figura 2 se puede demostrar que
Ecuacioacuten 5a
Ecuacioacuten 5b
Ecuacioacuten 5c
Figura 2 Conexioacuten en cascada de varias redes sin peacuterdidas entre la fuente y la carga
En una red lineal activa (ie no reciproca) el factor de desadaptacioacuten no se conserva Por ejemplo en el caso de un amplificador visto como red de dos puertos la potencia entregada a la carga es mayor que la potencia a la entrada
22 Definiciones de Ganancia
Figura 3 Red lineal activa con ganancia de potencia Gp
Para el amplificador baacutesico de la figura 3 se definen las siguientes ganancias
1) Ganancia de potencia
2) Ganancia de transductor
3) Ganancia de potencia disponible
Para el caso de redes lineales pasivas sin peacuterdidas la ganancia de potencia es unitaria
Si las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas a la entrada y a la salida del amplificador entonces la ganancia de potencia es maacutexima y se cumple que y
siempre y cuando el dispositivo sea
absolutamente estable Si las impedancias no estaacuten adaptadas conjugadas entonces la ganancia de potencia no es maacutexima
23 VSWR coeficiente de reflexioacuten y factor de desadaptacioacuten en amplificadores multietapa
Figura 4 Amplificador de dos etapas con mallas de adaptacioacuten
En la figura 4 se muestra un amplificador de dos etapas con mallas de adaptacioacuten entre etapas conectado a liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc tanto a la entrada como a la salida Entre cada etapa existen coeficientes de reflexioacuten definidos por las respectivas impedancias entre etapas En particular el coeficiente de reflexioacuten que enfrenta la onda de voltaje incidente V+ estaacute dado por
donde es la impedancia de entrada a la malla de adaptacioacuten 1 normalizada La potencia incidente proveniente de la liacutenea de transmisioacuten estaacute dada por
y la potencia que entra a la malla 1 donde Ms
es el
factor de desadaptacioacuten de impedancia entre la liacutenea de transmisioacuten y la malla 1
Se puede demostrar que lo que nos entrega la siguiente ecuacioacuten que relaciona el factor de desadaptacioacuten con el coeficiente de reflexioacuten
Ecuacioacuten 6
Con la ecuacioacuten 6 y usando la expresioacuten de VSWR en funcioacuten del coeficiente de reflexioacuten se puede obtener la siguiente ecuacioacuten que relaciona la razoacuten de onda
estacionaria VSWR1 a la entrada de la malla de adaptacioacuten 1 con el factor de
desadaptacioacuten Ms
Ecuacioacuten 7
Notar que el factor de desadaptacioacuten a la entrada y a la salida de las mallas de adaptacioacuten es el mismo esto porque las suponemos sin peacuterdidas Luego la razoacuten de onda estacionaria VSWR1 tambieacuten depende del grado de desadaptacioacuten entre Zs y Zin
Entonces el disentildeo de la malla 1 ademaacutes de definir un Ms que produzca una figura de ruido oacuteptima al mismo tiempo debe mantener las restricciones de VSWR a la entrada y la estabilidad del amplificador con una ganancia aceptable seguacuten los requerimientos Maacutes adelante veremos este problema en detalle Recordando que las mallas de adaptacioacuten (lineales pasivas y sin peacuterdidas) tienen ganancia unitaria es faacutecil ver que la potencia que recibe la carga estaacute dada por
Ecuacioacuten 8
donde definimos Gp como la ganancia de potencia de las dos etapas Tambieacuten se puede reescribir la ecuacioacuten anterior en funcioacuten de la ganancia de transductor G
Ecuacioacuten 9
3 Ganancia en funcioacuten de los paraacutemetros de Scattering
Figura 5 Esquema baacutesico de un amplificador
Queremos encontrar expresiones que relacionen la ganancia de potencia del amplificador con los paraacutemetros de Scattering y las impedancias de fuente y carga (o bien con los coeficientes de reflexioacuten en la fuente y en la carga)
En el circuito baacutesico de la figura 5 el amplificador se conecta a la fuente y a la carga a traveacutes de liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc Suponemos estas liacuteneas de transmisioacuten de largo despreciable
Los coeficientes de reflexioacuten en la carga y en la fuente estaacuten dados por
donde las impedancias se encuentran normalizadas ie
Las ondas incidentes y reflejadas de voltaje se relacionan a traveacutes de la matriz de paraacutemetros de Scattering de la siguiente forma
Ecuacioacuten 10
Ecuacioacuten 11
A partir de la ecuacioacuten 10 y 11 y la definicioacuten de ΓL y Γs se puede demostrar que
Ecuacioacuten 12
Ecuacioacuten 13
donde se define
Los factores de desadaptacioacuten de impedancia Ms y ML estaacuten dados por
Usando las expresiones de los coeficientes de reflexioacuten en funcioacuten de las impedancias se demostrar que
Ecuacioacuten 14
Ecuacioacuten 15
Para obtener la ganancia de potencia GP necesitamos calcular Pin y PL
Usando las expresiones anteriores se llega a
Ecuacioacuten 16
Ecuacioacuten 17
Usando las ecuaciones anteriores finalmente se puede demostrar que
Ecuacioacuten 18
Ecuacioacuten 19
Donde
4 Estabilidad
41 Estabilidad en amplificadores
La estabilidad o la resistencia a la oscilacioacuten de un amplificador de microondas es uno de los maacutes importantes objetivos de disentildeo La estabilidad se puede determinar a partir los paraacutemetros S las mallas de adaptacioacuten a la entrada y a la salida y las terminaciones del circuito
A altas frecuencias un transistor presenta una retroalimentacioacuten intriacutenseca de la salida a
la entrada principalmente debido a las capacitancias finitas presentes en el dispositivo De esta forma el dispositivo puede ser potencialmente inestable y a menos que el circuito sea disentildeado adecuadamente puede oscilar inutilizando su uso como amplificador
Mirando el problema desde el punto de vista de ondas las condiciones de estabilidad establecen que la potencia reflejada en los puertos del amplificador debe ser menor que la potencia incidente ie los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador deben ser en moacutedulo menores que uno Cuando el amplificador cumple las condiciones de estabilidad para todo valor de impedancias de fuente y carga se dice que el amplificador es absolutamente estable Si se cumplen las condiciones solo para ciertos valores restringidos de impedancia el amplificador es potencialmente estable En caso contrario es inestable
Notar que si los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador son de moacutedulo mayor que uno entonces las partes reales de las impedancias de entrada y salida del dispositivo tendraacuten parte real negativa Por ejemplo si en el amplificador de
la figura 5 se tiene que entonces
Luego una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta del dispositivo a una
frecuencia dada es que las resistencias de entrada y salida y
sean positivas El caso liacutemite se da cuando la impedancias son
reactivas puras ie
42 Adaptacioacuten de impedancias y estabilidad
En el circuito de la figura 5 se puede obtener maacutexima transferencia de potencia
adaptando las impedancias ie eligiendo
Utilizando las ecuaciones 12 y 13 se tiene que las condiciones para adaptar las impedancias equivalen al siguiente sistema
Ecuacioacuten 20a
Ecuacioacuten 20b
Resolviendo el sistema anterior para Γs y ΓL se obtienen las siguientes soluciones
Ecuacioacuten 21a
Ecuacioacuten 21b
Donde
Ahora hay que ver cuaacuteles son las soluciones del sistema 20 que producen
Para esto notamos que si
entonces y
y ademaacutes se cumple que
Luego concluimos que una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es
Ecuacioacuten 22
Asumiendo la condicioacuten 22 se puede demostrar a partir de 21 que las soluciones que
permiten se obtienen eligiendo el signo negativo cuando
y eligiendo el signo positivo cuando
La condicioacuten necesaria de estabilidad se puede reescribir en funcioacuten de los paraacutemetros S de la siguiente forma
donde se define el paraacutemetro
Luego concluimos que otra condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es
Se puede demostrar que cuando las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas la ganancia de potencia se puede escribir como
Ecuacioacuten 23
donde el factor se llama figura de meacuterito del dispositivo
Notar que el valor liacutemite maacuteximo de la ganancia estable se obtiene cuando y su valor es
Ecuacioacuten 24
A partir de la ecuacioacuten 23 se deduce que para usar adaptacioacuten de impedancias
conjugadas tiene que cumplirse la condicioacuten necesaria de estabilidad En otras palabras no se puede usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas si el dispositivo (ie el transistor) es inestable
5 Disentildeo de amplificadores
Figura 6 Estrategia de disentildeo Amplificador de una etapa
Especificaciones de disentildeo
1048708 Maacutexima ganancia de potencia por sobre un valor miacutenimo
1048708 Miacutenima figura de ruido por debajo de un valor miacutenimo
1048708 VSWR a la entrada y la salida sin exceder valores maacuteximos
Se asumen conocidos los paraacutemetros Sij Fm Γm y RN o GI
Algoritmo de Disentildeo
Paso 1 Evaluar las condiciones de estabilidad Si se cumplen seguir con paso 2 3 y 4 Caso contrario (Klt1) seguir con 5 y 6
Paso 2 Evaluar si es posible usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas Si la ganancia y figura de ruido son aceptables se termina Caso contrario seguir con 3
Paso 3 Se evaluacutea si es posible usar Γs = Γm (ie miacutenima figura de ruido) Se construye la siguiente funcioacuten objetivo
dado un valor de gp se busca en el correspondiente ciacuterculo de ganancia constante el valor de que maximiza la funcioacuten objetivo Si los valores de VSWR son aceptables terminar Caso contrario seguir con paso 4
Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria
Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6
Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad
En general para varias redes lineales pasivas sin peacuterdidas (reciacuteprocas) en cascada como se muestra en la figura 2 se puede demostrar que
Ecuacioacuten 5a
Ecuacioacuten 5b
Ecuacioacuten 5c
Figura 2 Conexioacuten en cascada de varias redes sin peacuterdidas entre la fuente y la carga
En una red lineal activa (ie no reciproca) el factor de desadaptacioacuten no se conserva Por ejemplo en el caso de un amplificador visto como red de dos puertos la potencia entregada a la carga es mayor que la potencia a la entrada
22 Definiciones de Ganancia
Figura 3 Red lineal activa con ganancia de potencia Gp
Para el amplificador baacutesico de la figura 3 se definen las siguientes ganancias
1) Ganancia de potencia
2) Ganancia de transductor
3) Ganancia de potencia disponible
Para el caso de redes lineales pasivas sin peacuterdidas la ganancia de potencia es unitaria
Si las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas a la entrada y a la salida del amplificador entonces la ganancia de potencia es maacutexima y se cumple que y
siempre y cuando el dispositivo sea
absolutamente estable Si las impedancias no estaacuten adaptadas conjugadas entonces la ganancia de potencia no es maacutexima
23 VSWR coeficiente de reflexioacuten y factor de desadaptacioacuten en amplificadores multietapa
Figura 4 Amplificador de dos etapas con mallas de adaptacioacuten
En la figura 4 se muestra un amplificador de dos etapas con mallas de adaptacioacuten entre etapas conectado a liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc tanto a la entrada como a la salida Entre cada etapa existen coeficientes de reflexioacuten definidos por las respectivas impedancias entre etapas En particular el coeficiente de reflexioacuten que enfrenta la onda de voltaje incidente V+ estaacute dado por
donde es la impedancia de entrada a la malla de adaptacioacuten 1 normalizada La potencia incidente proveniente de la liacutenea de transmisioacuten estaacute dada por
y la potencia que entra a la malla 1 donde Ms
es el
factor de desadaptacioacuten de impedancia entre la liacutenea de transmisioacuten y la malla 1
Se puede demostrar que lo que nos entrega la siguiente ecuacioacuten que relaciona el factor de desadaptacioacuten con el coeficiente de reflexioacuten
Ecuacioacuten 6
Con la ecuacioacuten 6 y usando la expresioacuten de VSWR en funcioacuten del coeficiente de reflexioacuten se puede obtener la siguiente ecuacioacuten que relaciona la razoacuten de onda
estacionaria VSWR1 a la entrada de la malla de adaptacioacuten 1 con el factor de
desadaptacioacuten Ms
Ecuacioacuten 7
Notar que el factor de desadaptacioacuten a la entrada y a la salida de las mallas de adaptacioacuten es el mismo esto porque las suponemos sin peacuterdidas Luego la razoacuten de onda estacionaria VSWR1 tambieacuten depende del grado de desadaptacioacuten entre Zs y Zin
Entonces el disentildeo de la malla 1 ademaacutes de definir un Ms que produzca una figura de ruido oacuteptima al mismo tiempo debe mantener las restricciones de VSWR a la entrada y la estabilidad del amplificador con una ganancia aceptable seguacuten los requerimientos Maacutes adelante veremos este problema en detalle Recordando que las mallas de adaptacioacuten (lineales pasivas y sin peacuterdidas) tienen ganancia unitaria es faacutecil ver que la potencia que recibe la carga estaacute dada por
Ecuacioacuten 8
donde definimos Gp como la ganancia de potencia de las dos etapas Tambieacuten se puede reescribir la ecuacioacuten anterior en funcioacuten de la ganancia de transductor G
Ecuacioacuten 9
3 Ganancia en funcioacuten de los paraacutemetros de Scattering
Figura 5 Esquema baacutesico de un amplificador
Queremos encontrar expresiones que relacionen la ganancia de potencia del amplificador con los paraacutemetros de Scattering y las impedancias de fuente y carga (o bien con los coeficientes de reflexioacuten en la fuente y en la carga)
En el circuito baacutesico de la figura 5 el amplificador se conecta a la fuente y a la carga a traveacutes de liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc Suponemos estas liacuteneas de transmisioacuten de largo despreciable
Los coeficientes de reflexioacuten en la carga y en la fuente estaacuten dados por
donde las impedancias se encuentran normalizadas ie
Las ondas incidentes y reflejadas de voltaje se relacionan a traveacutes de la matriz de paraacutemetros de Scattering de la siguiente forma
Ecuacioacuten 10
Ecuacioacuten 11
A partir de la ecuacioacuten 10 y 11 y la definicioacuten de ΓL y Γs se puede demostrar que
Ecuacioacuten 12
Ecuacioacuten 13
donde se define
Los factores de desadaptacioacuten de impedancia Ms y ML estaacuten dados por
Usando las expresiones de los coeficientes de reflexioacuten en funcioacuten de las impedancias se demostrar que
Ecuacioacuten 14
Ecuacioacuten 15
Para obtener la ganancia de potencia GP necesitamos calcular Pin y PL
Usando las expresiones anteriores se llega a
Ecuacioacuten 16
Ecuacioacuten 17
Usando las ecuaciones anteriores finalmente se puede demostrar que
Ecuacioacuten 18
Ecuacioacuten 19
Donde
4 Estabilidad
41 Estabilidad en amplificadores
La estabilidad o la resistencia a la oscilacioacuten de un amplificador de microondas es uno de los maacutes importantes objetivos de disentildeo La estabilidad se puede determinar a partir los paraacutemetros S las mallas de adaptacioacuten a la entrada y a la salida y las terminaciones del circuito
A altas frecuencias un transistor presenta una retroalimentacioacuten intriacutenseca de la salida a
la entrada principalmente debido a las capacitancias finitas presentes en el dispositivo De esta forma el dispositivo puede ser potencialmente inestable y a menos que el circuito sea disentildeado adecuadamente puede oscilar inutilizando su uso como amplificador
Mirando el problema desde el punto de vista de ondas las condiciones de estabilidad establecen que la potencia reflejada en los puertos del amplificador debe ser menor que la potencia incidente ie los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador deben ser en moacutedulo menores que uno Cuando el amplificador cumple las condiciones de estabilidad para todo valor de impedancias de fuente y carga se dice que el amplificador es absolutamente estable Si se cumplen las condiciones solo para ciertos valores restringidos de impedancia el amplificador es potencialmente estable En caso contrario es inestable
Notar que si los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador son de moacutedulo mayor que uno entonces las partes reales de las impedancias de entrada y salida del dispositivo tendraacuten parte real negativa Por ejemplo si en el amplificador de
la figura 5 se tiene que entonces
Luego una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta del dispositivo a una
frecuencia dada es que las resistencias de entrada y salida y
sean positivas El caso liacutemite se da cuando la impedancias son
reactivas puras ie
42 Adaptacioacuten de impedancias y estabilidad
En el circuito de la figura 5 se puede obtener maacutexima transferencia de potencia
adaptando las impedancias ie eligiendo
Utilizando las ecuaciones 12 y 13 se tiene que las condiciones para adaptar las impedancias equivalen al siguiente sistema
Ecuacioacuten 20a
Ecuacioacuten 20b
Resolviendo el sistema anterior para Γs y ΓL se obtienen las siguientes soluciones
Ecuacioacuten 21a
Ecuacioacuten 21b
Donde
Ahora hay que ver cuaacuteles son las soluciones del sistema 20 que producen
Para esto notamos que si
entonces y
y ademaacutes se cumple que
Luego concluimos que una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es
Ecuacioacuten 22
Asumiendo la condicioacuten 22 se puede demostrar a partir de 21 que las soluciones que
permiten se obtienen eligiendo el signo negativo cuando
y eligiendo el signo positivo cuando
La condicioacuten necesaria de estabilidad se puede reescribir en funcioacuten de los paraacutemetros S de la siguiente forma
donde se define el paraacutemetro
Luego concluimos que otra condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es
Se puede demostrar que cuando las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas la ganancia de potencia se puede escribir como
Ecuacioacuten 23
donde el factor se llama figura de meacuterito del dispositivo
Notar que el valor liacutemite maacuteximo de la ganancia estable se obtiene cuando y su valor es
Ecuacioacuten 24
A partir de la ecuacioacuten 23 se deduce que para usar adaptacioacuten de impedancias
conjugadas tiene que cumplirse la condicioacuten necesaria de estabilidad En otras palabras no se puede usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas si el dispositivo (ie el transistor) es inestable
5 Disentildeo de amplificadores
Figura 6 Estrategia de disentildeo Amplificador de una etapa
Especificaciones de disentildeo
1048708 Maacutexima ganancia de potencia por sobre un valor miacutenimo
1048708 Miacutenima figura de ruido por debajo de un valor miacutenimo
1048708 VSWR a la entrada y la salida sin exceder valores maacuteximos
Se asumen conocidos los paraacutemetros Sij Fm Γm y RN o GI
Algoritmo de Disentildeo
Paso 1 Evaluar las condiciones de estabilidad Si se cumplen seguir con paso 2 3 y 4 Caso contrario (Klt1) seguir con 5 y 6
Paso 2 Evaluar si es posible usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas Si la ganancia y figura de ruido son aceptables se termina Caso contrario seguir con 3
Paso 3 Se evaluacutea si es posible usar Γs = Γm (ie miacutenima figura de ruido) Se construye la siguiente funcioacuten objetivo
dado un valor de gp se busca en el correspondiente ciacuterculo de ganancia constante el valor de que maximiza la funcioacuten objetivo Si los valores de VSWR son aceptables terminar Caso contrario seguir con paso 4
Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria
Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6
Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad
22 Definiciones de Ganancia
Figura 3 Red lineal activa con ganancia de potencia Gp
Para el amplificador baacutesico de la figura 3 se definen las siguientes ganancias
1) Ganancia de potencia
2) Ganancia de transductor
3) Ganancia de potencia disponible
Para el caso de redes lineales pasivas sin peacuterdidas la ganancia de potencia es unitaria
Si las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas a la entrada y a la salida del amplificador entonces la ganancia de potencia es maacutexima y se cumple que y
siempre y cuando el dispositivo sea
absolutamente estable Si las impedancias no estaacuten adaptadas conjugadas entonces la ganancia de potencia no es maacutexima
23 VSWR coeficiente de reflexioacuten y factor de desadaptacioacuten en amplificadores multietapa
Figura 4 Amplificador de dos etapas con mallas de adaptacioacuten
En la figura 4 se muestra un amplificador de dos etapas con mallas de adaptacioacuten entre etapas conectado a liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc tanto a la entrada como a la salida Entre cada etapa existen coeficientes de reflexioacuten definidos por las respectivas impedancias entre etapas En particular el coeficiente de reflexioacuten que enfrenta la onda de voltaje incidente V+ estaacute dado por
donde es la impedancia de entrada a la malla de adaptacioacuten 1 normalizada La potencia incidente proveniente de la liacutenea de transmisioacuten estaacute dada por
y la potencia que entra a la malla 1 donde Ms
es el
factor de desadaptacioacuten de impedancia entre la liacutenea de transmisioacuten y la malla 1
Se puede demostrar que lo que nos entrega la siguiente ecuacioacuten que relaciona el factor de desadaptacioacuten con el coeficiente de reflexioacuten
Ecuacioacuten 6
Con la ecuacioacuten 6 y usando la expresioacuten de VSWR en funcioacuten del coeficiente de reflexioacuten se puede obtener la siguiente ecuacioacuten que relaciona la razoacuten de onda
estacionaria VSWR1 a la entrada de la malla de adaptacioacuten 1 con el factor de
desadaptacioacuten Ms
Ecuacioacuten 7
Notar que el factor de desadaptacioacuten a la entrada y a la salida de las mallas de adaptacioacuten es el mismo esto porque las suponemos sin peacuterdidas Luego la razoacuten de onda estacionaria VSWR1 tambieacuten depende del grado de desadaptacioacuten entre Zs y Zin
Entonces el disentildeo de la malla 1 ademaacutes de definir un Ms que produzca una figura de ruido oacuteptima al mismo tiempo debe mantener las restricciones de VSWR a la entrada y la estabilidad del amplificador con una ganancia aceptable seguacuten los requerimientos Maacutes adelante veremos este problema en detalle Recordando que las mallas de adaptacioacuten (lineales pasivas y sin peacuterdidas) tienen ganancia unitaria es faacutecil ver que la potencia que recibe la carga estaacute dada por
Ecuacioacuten 8
donde definimos Gp como la ganancia de potencia de las dos etapas Tambieacuten se puede reescribir la ecuacioacuten anterior en funcioacuten de la ganancia de transductor G
Ecuacioacuten 9
3 Ganancia en funcioacuten de los paraacutemetros de Scattering
Figura 5 Esquema baacutesico de un amplificador
Queremos encontrar expresiones que relacionen la ganancia de potencia del amplificador con los paraacutemetros de Scattering y las impedancias de fuente y carga (o bien con los coeficientes de reflexioacuten en la fuente y en la carga)
En el circuito baacutesico de la figura 5 el amplificador se conecta a la fuente y a la carga a traveacutes de liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc Suponemos estas liacuteneas de transmisioacuten de largo despreciable
Los coeficientes de reflexioacuten en la carga y en la fuente estaacuten dados por
donde las impedancias se encuentran normalizadas ie
Las ondas incidentes y reflejadas de voltaje se relacionan a traveacutes de la matriz de paraacutemetros de Scattering de la siguiente forma
Ecuacioacuten 10
Ecuacioacuten 11
A partir de la ecuacioacuten 10 y 11 y la definicioacuten de ΓL y Γs se puede demostrar que
Ecuacioacuten 12
Ecuacioacuten 13
donde se define
Los factores de desadaptacioacuten de impedancia Ms y ML estaacuten dados por
Usando las expresiones de los coeficientes de reflexioacuten en funcioacuten de las impedancias se demostrar que
Ecuacioacuten 14
Ecuacioacuten 15
Para obtener la ganancia de potencia GP necesitamos calcular Pin y PL
Usando las expresiones anteriores se llega a
Ecuacioacuten 16
Ecuacioacuten 17
Usando las ecuaciones anteriores finalmente se puede demostrar que
Ecuacioacuten 18
Ecuacioacuten 19
Donde
4 Estabilidad
41 Estabilidad en amplificadores
La estabilidad o la resistencia a la oscilacioacuten de un amplificador de microondas es uno de los maacutes importantes objetivos de disentildeo La estabilidad se puede determinar a partir los paraacutemetros S las mallas de adaptacioacuten a la entrada y a la salida y las terminaciones del circuito
A altas frecuencias un transistor presenta una retroalimentacioacuten intriacutenseca de la salida a
la entrada principalmente debido a las capacitancias finitas presentes en el dispositivo De esta forma el dispositivo puede ser potencialmente inestable y a menos que el circuito sea disentildeado adecuadamente puede oscilar inutilizando su uso como amplificador
Mirando el problema desde el punto de vista de ondas las condiciones de estabilidad establecen que la potencia reflejada en los puertos del amplificador debe ser menor que la potencia incidente ie los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador deben ser en moacutedulo menores que uno Cuando el amplificador cumple las condiciones de estabilidad para todo valor de impedancias de fuente y carga se dice que el amplificador es absolutamente estable Si se cumplen las condiciones solo para ciertos valores restringidos de impedancia el amplificador es potencialmente estable En caso contrario es inestable
Notar que si los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador son de moacutedulo mayor que uno entonces las partes reales de las impedancias de entrada y salida del dispositivo tendraacuten parte real negativa Por ejemplo si en el amplificador de
la figura 5 se tiene que entonces
Luego una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta del dispositivo a una
frecuencia dada es que las resistencias de entrada y salida y
sean positivas El caso liacutemite se da cuando la impedancias son
reactivas puras ie
42 Adaptacioacuten de impedancias y estabilidad
En el circuito de la figura 5 se puede obtener maacutexima transferencia de potencia
adaptando las impedancias ie eligiendo
Utilizando las ecuaciones 12 y 13 se tiene que las condiciones para adaptar las impedancias equivalen al siguiente sistema
Ecuacioacuten 20a
Ecuacioacuten 20b
Resolviendo el sistema anterior para Γs y ΓL se obtienen las siguientes soluciones
Ecuacioacuten 21a
Ecuacioacuten 21b
Donde
Ahora hay que ver cuaacuteles son las soluciones del sistema 20 que producen
Para esto notamos que si
entonces y
y ademaacutes se cumple que
Luego concluimos que una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es
Ecuacioacuten 22
Asumiendo la condicioacuten 22 se puede demostrar a partir de 21 que las soluciones que
permiten se obtienen eligiendo el signo negativo cuando
y eligiendo el signo positivo cuando
La condicioacuten necesaria de estabilidad se puede reescribir en funcioacuten de los paraacutemetros S de la siguiente forma
donde se define el paraacutemetro
Luego concluimos que otra condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es
Se puede demostrar que cuando las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas la ganancia de potencia se puede escribir como
Ecuacioacuten 23
donde el factor se llama figura de meacuterito del dispositivo
Notar que el valor liacutemite maacuteximo de la ganancia estable se obtiene cuando y su valor es
Ecuacioacuten 24
A partir de la ecuacioacuten 23 se deduce que para usar adaptacioacuten de impedancias
conjugadas tiene que cumplirse la condicioacuten necesaria de estabilidad En otras palabras no se puede usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas si el dispositivo (ie el transistor) es inestable
5 Disentildeo de amplificadores
Figura 6 Estrategia de disentildeo Amplificador de una etapa
Especificaciones de disentildeo
1048708 Maacutexima ganancia de potencia por sobre un valor miacutenimo
1048708 Miacutenima figura de ruido por debajo de un valor miacutenimo
1048708 VSWR a la entrada y la salida sin exceder valores maacuteximos
Se asumen conocidos los paraacutemetros Sij Fm Γm y RN o GI
Algoritmo de Disentildeo
Paso 1 Evaluar las condiciones de estabilidad Si se cumplen seguir con paso 2 3 y 4 Caso contrario (Klt1) seguir con 5 y 6
Paso 2 Evaluar si es posible usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas Si la ganancia y figura de ruido son aceptables se termina Caso contrario seguir con 3
Paso 3 Se evaluacutea si es posible usar Γs = Γm (ie miacutenima figura de ruido) Se construye la siguiente funcioacuten objetivo
dado un valor de gp se busca en el correspondiente ciacuterculo de ganancia constante el valor de que maximiza la funcioacuten objetivo Si los valores de VSWR son aceptables terminar Caso contrario seguir con paso 4
Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria
Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6
Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad
23 VSWR coeficiente de reflexioacuten y factor de desadaptacioacuten en amplificadores multietapa
Figura 4 Amplificador de dos etapas con mallas de adaptacioacuten
En la figura 4 se muestra un amplificador de dos etapas con mallas de adaptacioacuten entre etapas conectado a liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc tanto a la entrada como a la salida Entre cada etapa existen coeficientes de reflexioacuten definidos por las respectivas impedancias entre etapas En particular el coeficiente de reflexioacuten que enfrenta la onda de voltaje incidente V+ estaacute dado por
donde es la impedancia de entrada a la malla de adaptacioacuten 1 normalizada La potencia incidente proveniente de la liacutenea de transmisioacuten estaacute dada por
y la potencia que entra a la malla 1 donde Ms
es el
factor de desadaptacioacuten de impedancia entre la liacutenea de transmisioacuten y la malla 1
Se puede demostrar que lo que nos entrega la siguiente ecuacioacuten que relaciona el factor de desadaptacioacuten con el coeficiente de reflexioacuten
Ecuacioacuten 6
Con la ecuacioacuten 6 y usando la expresioacuten de VSWR en funcioacuten del coeficiente de reflexioacuten se puede obtener la siguiente ecuacioacuten que relaciona la razoacuten de onda
estacionaria VSWR1 a la entrada de la malla de adaptacioacuten 1 con el factor de
desadaptacioacuten Ms
Ecuacioacuten 7
Notar que el factor de desadaptacioacuten a la entrada y a la salida de las mallas de adaptacioacuten es el mismo esto porque las suponemos sin peacuterdidas Luego la razoacuten de onda estacionaria VSWR1 tambieacuten depende del grado de desadaptacioacuten entre Zs y Zin
Entonces el disentildeo de la malla 1 ademaacutes de definir un Ms que produzca una figura de ruido oacuteptima al mismo tiempo debe mantener las restricciones de VSWR a la entrada y la estabilidad del amplificador con una ganancia aceptable seguacuten los requerimientos Maacutes adelante veremos este problema en detalle Recordando que las mallas de adaptacioacuten (lineales pasivas y sin peacuterdidas) tienen ganancia unitaria es faacutecil ver que la potencia que recibe la carga estaacute dada por
Ecuacioacuten 8
donde definimos Gp como la ganancia de potencia de las dos etapas Tambieacuten se puede reescribir la ecuacioacuten anterior en funcioacuten de la ganancia de transductor G
Ecuacioacuten 9
3 Ganancia en funcioacuten de los paraacutemetros de Scattering
Figura 5 Esquema baacutesico de un amplificador
Queremos encontrar expresiones que relacionen la ganancia de potencia del amplificador con los paraacutemetros de Scattering y las impedancias de fuente y carga (o bien con los coeficientes de reflexioacuten en la fuente y en la carga)
En el circuito baacutesico de la figura 5 el amplificador se conecta a la fuente y a la carga a traveacutes de liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc Suponemos estas liacuteneas de transmisioacuten de largo despreciable
Los coeficientes de reflexioacuten en la carga y en la fuente estaacuten dados por
donde las impedancias se encuentran normalizadas ie
Las ondas incidentes y reflejadas de voltaje se relacionan a traveacutes de la matriz de paraacutemetros de Scattering de la siguiente forma
Ecuacioacuten 10
Ecuacioacuten 11
A partir de la ecuacioacuten 10 y 11 y la definicioacuten de ΓL y Γs se puede demostrar que
Ecuacioacuten 12
Ecuacioacuten 13
donde se define
Los factores de desadaptacioacuten de impedancia Ms y ML estaacuten dados por
Usando las expresiones de los coeficientes de reflexioacuten en funcioacuten de las impedancias se demostrar que
Ecuacioacuten 14
Ecuacioacuten 15
Para obtener la ganancia de potencia GP necesitamos calcular Pin y PL
Usando las expresiones anteriores se llega a
Ecuacioacuten 16
Ecuacioacuten 17
Usando las ecuaciones anteriores finalmente se puede demostrar que
Ecuacioacuten 18
Ecuacioacuten 19
Donde
4 Estabilidad
41 Estabilidad en amplificadores
La estabilidad o la resistencia a la oscilacioacuten de un amplificador de microondas es uno de los maacutes importantes objetivos de disentildeo La estabilidad se puede determinar a partir los paraacutemetros S las mallas de adaptacioacuten a la entrada y a la salida y las terminaciones del circuito
A altas frecuencias un transistor presenta una retroalimentacioacuten intriacutenseca de la salida a
la entrada principalmente debido a las capacitancias finitas presentes en el dispositivo De esta forma el dispositivo puede ser potencialmente inestable y a menos que el circuito sea disentildeado adecuadamente puede oscilar inutilizando su uso como amplificador
Mirando el problema desde el punto de vista de ondas las condiciones de estabilidad establecen que la potencia reflejada en los puertos del amplificador debe ser menor que la potencia incidente ie los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador deben ser en moacutedulo menores que uno Cuando el amplificador cumple las condiciones de estabilidad para todo valor de impedancias de fuente y carga se dice que el amplificador es absolutamente estable Si se cumplen las condiciones solo para ciertos valores restringidos de impedancia el amplificador es potencialmente estable En caso contrario es inestable
Notar que si los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador son de moacutedulo mayor que uno entonces las partes reales de las impedancias de entrada y salida del dispositivo tendraacuten parte real negativa Por ejemplo si en el amplificador de
la figura 5 se tiene que entonces
Luego una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta del dispositivo a una
frecuencia dada es que las resistencias de entrada y salida y
sean positivas El caso liacutemite se da cuando la impedancias son
reactivas puras ie
42 Adaptacioacuten de impedancias y estabilidad
En el circuito de la figura 5 se puede obtener maacutexima transferencia de potencia
adaptando las impedancias ie eligiendo
Utilizando las ecuaciones 12 y 13 se tiene que las condiciones para adaptar las impedancias equivalen al siguiente sistema
Ecuacioacuten 20a
Ecuacioacuten 20b
Resolviendo el sistema anterior para Γs y ΓL se obtienen las siguientes soluciones
Ecuacioacuten 21a
Ecuacioacuten 21b
Donde
Ahora hay que ver cuaacuteles son las soluciones del sistema 20 que producen
Para esto notamos que si
entonces y
y ademaacutes se cumple que
Luego concluimos que una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es
Ecuacioacuten 22
Asumiendo la condicioacuten 22 se puede demostrar a partir de 21 que las soluciones que
permiten se obtienen eligiendo el signo negativo cuando
y eligiendo el signo positivo cuando
La condicioacuten necesaria de estabilidad se puede reescribir en funcioacuten de los paraacutemetros S de la siguiente forma
donde se define el paraacutemetro
Luego concluimos que otra condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es
Se puede demostrar que cuando las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas la ganancia de potencia se puede escribir como
Ecuacioacuten 23
donde el factor se llama figura de meacuterito del dispositivo
Notar que el valor liacutemite maacuteximo de la ganancia estable se obtiene cuando y su valor es
Ecuacioacuten 24
A partir de la ecuacioacuten 23 se deduce que para usar adaptacioacuten de impedancias
conjugadas tiene que cumplirse la condicioacuten necesaria de estabilidad En otras palabras no se puede usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas si el dispositivo (ie el transistor) es inestable
5 Disentildeo de amplificadores
Figura 6 Estrategia de disentildeo Amplificador de una etapa
Especificaciones de disentildeo
1048708 Maacutexima ganancia de potencia por sobre un valor miacutenimo
1048708 Miacutenima figura de ruido por debajo de un valor miacutenimo
1048708 VSWR a la entrada y la salida sin exceder valores maacuteximos
Se asumen conocidos los paraacutemetros Sij Fm Γm y RN o GI
Algoritmo de Disentildeo
Paso 1 Evaluar las condiciones de estabilidad Si se cumplen seguir con paso 2 3 y 4 Caso contrario (Klt1) seguir con 5 y 6
Paso 2 Evaluar si es posible usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas Si la ganancia y figura de ruido son aceptables se termina Caso contrario seguir con 3
Paso 3 Se evaluacutea si es posible usar Γs = Γm (ie miacutenima figura de ruido) Se construye la siguiente funcioacuten objetivo
dado un valor de gp se busca en el correspondiente ciacuterculo de ganancia constante el valor de que maximiza la funcioacuten objetivo Si los valores de VSWR son aceptables terminar Caso contrario seguir con paso 4
Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria
Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6
Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad
estacionaria VSWR1 a la entrada de la malla de adaptacioacuten 1 con el factor de
desadaptacioacuten Ms
Ecuacioacuten 7
Notar que el factor de desadaptacioacuten a la entrada y a la salida de las mallas de adaptacioacuten es el mismo esto porque las suponemos sin peacuterdidas Luego la razoacuten de onda estacionaria VSWR1 tambieacuten depende del grado de desadaptacioacuten entre Zs y Zin
Entonces el disentildeo de la malla 1 ademaacutes de definir un Ms que produzca una figura de ruido oacuteptima al mismo tiempo debe mantener las restricciones de VSWR a la entrada y la estabilidad del amplificador con una ganancia aceptable seguacuten los requerimientos Maacutes adelante veremos este problema en detalle Recordando que las mallas de adaptacioacuten (lineales pasivas y sin peacuterdidas) tienen ganancia unitaria es faacutecil ver que la potencia que recibe la carga estaacute dada por
Ecuacioacuten 8
donde definimos Gp como la ganancia de potencia de las dos etapas Tambieacuten se puede reescribir la ecuacioacuten anterior en funcioacuten de la ganancia de transductor G
Ecuacioacuten 9
3 Ganancia en funcioacuten de los paraacutemetros de Scattering
Figura 5 Esquema baacutesico de un amplificador
Queremos encontrar expresiones que relacionen la ganancia de potencia del amplificador con los paraacutemetros de Scattering y las impedancias de fuente y carga (o bien con los coeficientes de reflexioacuten en la fuente y en la carga)
En el circuito baacutesico de la figura 5 el amplificador se conecta a la fuente y a la carga a traveacutes de liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc Suponemos estas liacuteneas de transmisioacuten de largo despreciable
Los coeficientes de reflexioacuten en la carga y en la fuente estaacuten dados por
donde las impedancias se encuentran normalizadas ie
Las ondas incidentes y reflejadas de voltaje se relacionan a traveacutes de la matriz de paraacutemetros de Scattering de la siguiente forma
Ecuacioacuten 10
Ecuacioacuten 11
A partir de la ecuacioacuten 10 y 11 y la definicioacuten de ΓL y Γs se puede demostrar que
Ecuacioacuten 12
Ecuacioacuten 13
donde se define
Los factores de desadaptacioacuten de impedancia Ms y ML estaacuten dados por
Usando las expresiones de los coeficientes de reflexioacuten en funcioacuten de las impedancias se demostrar que
Ecuacioacuten 14
Ecuacioacuten 15
Para obtener la ganancia de potencia GP necesitamos calcular Pin y PL
Usando las expresiones anteriores se llega a
Ecuacioacuten 16
Ecuacioacuten 17
Usando las ecuaciones anteriores finalmente se puede demostrar que
Ecuacioacuten 18
Ecuacioacuten 19
Donde
4 Estabilidad
41 Estabilidad en amplificadores
La estabilidad o la resistencia a la oscilacioacuten de un amplificador de microondas es uno de los maacutes importantes objetivos de disentildeo La estabilidad se puede determinar a partir los paraacutemetros S las mallas de adaptacioacuten a la entrada y a la salida y las terminaciones del circuito
A altas frecuencias un transistor presenta una retroalimentacioacuten intriacutenseca de la salida a
la entrada principalmente debido a las capacitancias finitas presentes en el dispositivo De esta forma el dispositivo puede ser potencialmente inestable y a menos que el circuito sea disentildeado adecuadamente puede oscilar inutilizando su uso como amplificador
Mirando el problema desde el punto de vista de ondas las condiciones de estabilidad establecen que la potencia reflejada en los puertos del amplificador debe ser menor que la potencia incidente ie los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador deben ser en moacutedulo menores que uno Cuando el amplificador cumple las condiciones de estabilidad para todo valor de impedancias de fuente y carga se dice que el amplificador es absolutamente estable Si se cumplen las condiciones solo para ciertos valores restringidos de impedancia el amplificador es potencialmente estable En caso contrario es inestable
Notar que si los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador son de moacutedulo mayor que uno entonces las partes reales de las impedancias de entrada y salida del dispositivo tendraacuten parte real negativa Por ejemplo si en el amplificador de
la figura 5 se tiene que entonces
Luego una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta del dispositivo a una
frecuencia dada es que las resistencias de entrada y salida y
sean positivas El caso liacutemite se da cuando la impedancias son
reactivas puras ie
42 Adaptacioacuten de impedancias y estabilidad
En el circuito de la figura 5 se puede obtener maacutexima transferencia de potencia
adaptando las impedancias ie eligiendo
Utilizando las ecuaciones 12 y 13 se tiene que las condiciones para adaptar las impedancias equivalen al siguiente sistema
Ecuacioacuten 20a
Ecuacioacuten 20b
Resolviendo el sistema anterior para Γs y ΓL se obtienen las siguientes soluciones
Ecuacioacuten 21a
Ecuacioacuten 21b
Donde
Ahora hay que ver cuaacuteles son las soluciones del sistema 20 que producen
Para esto notamos que si
entonces y
y ademaacutes se cumple que
Luego concluimos que una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es
Ecuacioacuten 22
Asumiendo la condicioacuten 22 se puede demostrar a partir de 21 que las soluciones que
permiten se obtienen eligiendo el signo negativo cuando
y eligiendo el signo positivo cuando
La condicioacuten necesaria de estabilidad se puede reescribir en funcioacuten de los paraacutemetros S de la siguiente forma
donde se define el paraacutemetro
Luego concluimos que otra condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es
Se puede demostrar que cuando las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas la ganancia de potencia se puede escribir como
Ecuacioacuten 23
donde el factor se llama figura de meacuterito del dispositivo
Notar que el valor liacutemite maacuteximo de la ganancia estable se obtiene cuando y su valor es
Ecuacioacuten 24
A partir de la ecuacioacuten 23 se deduce que para usar adaptacioacuten de impedancias
conjugadas tiene que cumplirse la condicioacuten necesaria de estabilidad En otras palabras no se puede usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas si el dispositivo (ie el transistor) es inestable
5 Disentildeo de amplificadores
Figura 6 Estrategia de disentildeo Amplificador de una etapa
Especificaciones de disentildeo
1048708 Maacutexima ganancia de potencia por sobre un valor miacutenimo
1048708 Miacutenima figura de ruido por debajo de un valor miacutenimo
1048708 VSWR a la entrada y la salida sin exceder valores maacuteximos
Se asumen conocidos los paraacutemetros Sij Fm Γm y RN o GI
Algoritmo de Disentildeo
Paso 1 Evaluar las condiciones de estabilidad Si se cumplen seguir con paso 2 3 y 4 Caso contrario (Klt1) seguir con 5 y 6
Paso 2 Evaluar si es posible usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas Si la ganancia y figura de ruido son aceptables se termina Caso contrario seguir con 3
Paso 3 Se evaluacutea si es posible usar Γs = Γm (ie miacutenima figura de ruido) Se construye la siguiente funcioacuten objetivo
dado un valor de gp se busca en el correspondiente ciacuterculo de ganancia constante el valor de que maximiza la funcioacuten objetivo Si los valores de VSWR son aceptables terminar Caso contrario seguir con paso 4
Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria
Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6
Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad
3 Ganancia en funcioacuten de los paraacutemetros de Scattering
Figura 5 Esquema baacutesico de un amplificador
Queremos encontrar expresiones que relacionen la ganancia de potencia del amplificador con los paraacutemetros de Scattering y las impedancias de fuente y carga (o bien con los coeficientes de reflexioacuten en la fuente y en la carga)
En el circuito baacutesico de la figura 5 el amplificador se conecta a la fuente y a la carga a traveacutes de liacuteneas de transmisioacuten de impedancia caracteriacutestica Zc Suponemos estas liacuteneas de transmisioacuten de largo despreciable
Los coeficientes de reflexioacuten en la carga y en la fuente estaacuten dados por
donde las impedancias se encuentran normalizadas ie
Las ondas incidentes y reflejadas de voltaje se relacionan a traveacutes de la matriz de paraacutemetros de Scattering de la siguiente forma
Ecuacioacuten 10
Ecuacioacuten 11
A partir de la ecuacioacuten 10 y 11 y la definicioacuten de ΓL y Γs se puede demostrar que
Ecuacioacuten 12
Ecuacioacuten 13
donde se define
Los factores de desadaptacioacuten de impedancia Ms y ML estaacuten dados por
Usando las expresiones de los coeficientes de reflexioacuten en funcioacuten de las impedancias se demostrar que
Ecuacioacuten 14
Ecuacioacuten 15
Para obtener la ganancia de potencia GP necesitamos calcular Pin y PL
Usando las expresiones anteriores se llega a
Ecuacioacuten 16
Ecuacioacuten 17
Usando las ecuaciones anteriores finalmente se puede demostrar que
Ecuacioacuten 18
Ecuacioacuten 19
Donde
4 Estabilidad
41 Estabilidad en amplificadores
La estabilidad o la resistencia a la oscilacioacuten de un amplificador de microondas es uno de los maacutes importantes objetivos de disentildeo La estabilidad se puede determinar a partir los paraacutemetros S las mallas de adaptacioacuten a la entrada y a la salida y las terminaciones del circuito
A altas frecuencias un transistor presenta una retroalimentacioacuten intriacutenseca de la salida a
la entrada principalmente debido a las capacitancias finitas presentes en el dispositivo De esta forma el dispositivo puede ser potencialmente inestable y a menos que el circuito sea disentildeado adecuadamente puede oscilar inutilizando su uso como amplificador
Mirando el problema desde el punto de vista de ondas las condiciones de estabilidad establecen que la potencia reflejada en los puertos del amplificador debe ser menor que la potencia incidente ie los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador deben ser en moacutedulo menores que uno Cuando el amplificador cumple las condiciones de estabilidad para todo valor de impedancias de fuente y carga se dice que el amplificador es absolutamente estable Si se cumplen las condiciones solo para ciertos valores restringidos de impedancia el amplificador es potencialmente estable En caso contrario es inestable
Notar que si los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador son de moacutedulo mayor que uno entonces las partes reales de las impedancias de entrada y salida del dispositivo tendraacuten parte real negativa Por ejemplo si en el amplificador de
la figura 5 se tiene que entonces
Luego una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta del dispositivo a una
frecuencia dada es que las resistencias de entrada y salida y
sean positivas El caso liacutemite se da cuando la impedancias son
reactivas puras ie
42 Adaptacioacuten de impedancias y estabilidad
En el circuito de la figura 5 se puede obtener maacutexima transferencia de potencia
adaptando las impedancias ie eligiendo
Utilizando las ecuaciones 12 y 13 se tiene que las condiciones para adaptar las impedancias equivalen al siguiente sistema
Ecuacioacuten 20a
Ecuacioacuten 20b
Resolviendo el sistema anterior para Γs y ΓL se obtienen las siguientes soluciones
Ecuacioacuten 21a
Ecuacioacuten 21b
Donde
Ahora hay que ver cuaacuteles son las soluciones del sistema 20 que producen
Para esto notamos que si
entonces y
y ademaacutes se cumple que
Luego concluimos que una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es
Ecuacioacuten 22
Asumiendo la condicioacuten 22 se puede demostrar a partir de 21 que las soluciones que
permiten se obtienen eligiendo el signo negativo cuando
y eligiendo el signo positivo cuando
La condicioacuten necesaria de estabilidad se puede reescribir en funcioacuten de los paraacutemetros S de la siguiente forma
donde se define el paraacutemetro
Luego concluimos que otra condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es
Se puede demostrar que cuando las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas la ganancia de potencia se puede escribir como
Ecuacioacuten 23
donde el factor se llama figura de meacuterito del dispositivo
Notar que el valor liacutemite maacuteximo de la ganancia estable se obtiene cuando y su valor es
Ecuacioacuten 24
A partir de la ecuacioacuten 23 se deduce que para usar adaptacioacuten de impedancias
conjugadas tiene que cumplirse la condicioacuten necesaria de estabilidad En otras palabras no se puede usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas si el dispositivo (ie el transistor) es inestable
5 Disentildeo de amplificadores
Figura 6 Estrategia de disentildeo Amplificador de una etapa
Especificaciones de disentildeo
1048708 Maacutexima ganancia de potencia por sobre un valor miacutenimo
1048708 Miacutenima figura de ruido por debajo de un valor miacutenimo
1048708 VSWR a la entrada y la salida sin exceder valores maacuteximos
Se asumen conocidos los paraacutemetros Sij Fm Γm y RN o GI
Algoritmo de Disentildeo
Paso 1 Evaluar las condiciones de estabilidad Si se cumplen seguir con paso 2 3 y 4 Caso contrario (Klt1) seguir con 5 y 6
Paso 2 Evaluar si es posible usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas Si la ganancia y figura de ruido son aceptables se termina Caso contrario seguir con 3
Paso 3 Se evaluacutea si es posible usar Γs = Γm (ie miacutenima figura de ruido) Se construye la siguiente funcioacuten objetivo
dado un valor de gp se busca en el correspondiente ciacuterculo de ganancia constante el valor de que maximiza la funcioacuten objetivo Si los valores de VSWR son aceptables terminar Caso contrario seguir con paso 4
Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria
Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6
Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad
A partir de la ecuacioacuten 10 y 11 y la definicioacuten de ΓL y Γs se puede demostrar que
Ecuacioacuten 12
Ecuacioacuten 13
donde se define
Los factores de desadaptacioacuten de impedancia Ms y ML estaacuten dados por
Usando las expresiones de los coeficientes de reflexioacuten en funcioacuten de las impedancias se demostrar que
Ecuacioacuten 14
Ecuacioacuten 15
Para obtener la ganancia de potencia GP necesitamos calcular Pin y PL
Usando las expresiones anteriores se llega a
Ecuacioacuten 16
Ecuacioacuten 17
Usando las ecuaciones anteriores finalmente se puede demostrar que
Ecuacioacuten 18
Ecuacioacuten 19
Donde
4 Estabilidad
41 Estabilidad en amplificadores
La estabilidad o la resistencia a la oscilacioacuten de un amplificador de microondas es uno de los maacutes importantes objetivos de disentildeo La estabilidad se puede determinar a partir los paraacutemetros S las mallas de adaptacioacuten a la entrada y a la salida y las terminaciones del circuito
A altas frecuencias un transistor presenta una retroalimentacioacuten intriacutenseca de la salida a
la entrada principalmente debido a las capacitancias finitas presentes en el dispositivo De esta forma el dispositivo puede ser potencialmente inestable y a menos que el circuito sea disentildeado adecuadamente puede oscilar inutilizando su uso como amplificador
Mirando el problema desde el punto de vista de ondas las condiciones de estabilidad establecen que la potencia reflejada en los puertos del amplificador debe ser menor que la potencia incidente ie los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador deben ser en moacutedulo menores que uno Cuando el amplificador cumple las condiciones de estabilidad para todo valor de impedancias de fuente y carga se dice que el amplificador es absolutamente estable Si se cumplen las condiciones solo para ciertos valores restringidos de impedancia el amplificador es potencialmente estable En caso contrario es inestable
Notar que si los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador son de moacutedulo mayor que uno entonces las partes reales de las impedancias de entrada y salida del dispositivo tendraacuten parte real negativa Por ejemplo si en el amplificador de
la figura 5 se tiene que entonces
Luego una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta del dispositivo a una
frecuencia dada es que las resistencias de entrada y salida y
sean positivas El caso liacutemite se da cuando la impedancias son
reactivas puras ie
42 Adaptacioacuten de impedancias y estabilidad
En el circuito de la figura 5 se puede obtener maacutexima transferencia de potencia
adaptando las impedancias ie eligiendo
Utilizando las ecuaciones 12 y 13 se tiene que las condiciones para adaptar las impedancias equivalen al siguiente sistema
Ecuacioacuten 20a
Ecuacioacuten 20b
Resolviendo el sistema anterior para Γs y ΓL se obtienen las siguientes soluciones
Ecuacioacuten 21a
Ecuacioacuten 21b
Donde
Ahora hay que ver cuaacuteles son las soluciones del sistema 20 que producen
Para esto notamos que si
entonces y
y ademaacutes se cumple que
Luego concluimos que una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es
Ecuacioacuten 22
Asumiendo la condicioacuten 22 se puede demostrar a partir de 21 que las soluciones que
permiten se obtienen eligiendo el signo negativo cuando
y eligiendo el signo positivo cuando
La condicioacuten necesaria de estabilidad se puede reescribir en funcioacuten de los paraacutemetros S de la siguiente forma
donde se define el paraacutemetro
Luego concluimos que otra condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es
Se puede demostrar que cuando las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas la ganancia de potencia se puede escribir como
Ecuacioacuten 23
donde el factor se llama figura de meacuterito del dispositivo
Notar que el valor liacutemite maacuteximo de la ganancia estable se obtiene cuando y su valor es
Ecuacioacuten 24
A partir de la ecuacioacuten 23 se deduce que para usar adaptacioacuten de impedancias
conjugadas tiene que cumplirse la condicioacuten necesaria de estabilidad En otras palabras no se puede usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas si el dispositivo (ie el transistor) es inestable
5 Disentildeo de amplificadores
Figura 6 Estrategia de disentildeo Amplificador de una etapa
Especificaciones de disentildeo
1048708 Maacutexima ganancia de potencia por sobre un valor miacutenimo
1048708 Miacutenima figura de ruido por debajo de un valor miacutenimo
1048708 VSWR a la entrada y la salida sin exceder valores maacuteximos
Se asumen conocidos los paraacutemetros Sij Fm Γm y RN o GI
Algoritmo de Disentildeo
Paso 1 Evaluar las condiciones de estabilidad Si se cumplen seguir con paso 2 3 y 4 Caso contrario (Klt1) seguir con 5 y 6
Paso 2 Evaluar si es posible usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas Si la ganancia y figura de ruido son aceptables se termina Caso contrario seguir con 3
Paso 3 Se evaluacutea si es posible usar Γs = Γm (ie miacutenima figura de ruido) Se construye la siguiente funcioacuten objetivo
dado un valor de gp se busca en el correspondiente ciacuterculo de ganancia constante el valor de que maximiza la funcioacuten objetivo Si los valores de VSWR son aceptables terminar Caso contrario seguir con paso 4
Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria
Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6
Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad
Usando las expresiones anteriores se llega a
Ecuacioacuten 16
Ecuacioacuten 17
Usando las ecuaciones anteriores finalmente se puede demostrar que
Ecuacioacuten 18
Ecuacioacuten 19
Donde
4 Estabilidad
41 Estabilidad en amplificadores
La estabilidad o la resistencia a la oscilacioacuten de un amplificador de microondas es uno de los maacutes importantes objetivos de disentildeo La estabilidad se puede determinar a partir los paraacutemetros S las mallas de adaptacioacuten a la entrada y a la salida y las terminaciones del circuito
A altas frecuencias un transistor presenta una retroalimentacioacuten intriacutenseca de la salida a
la entrada principalmente debido a las capacitancias finitas presentes en el dispositivo De esta forma el dispositivo puede ser potencialmente inestable y a menos que el circuito sea disentildeado adecuadamente puede oscilar inutilizando su uso como amplificador
Mirando el problema desde el punto de vista de ondas las condiciones de estabilidad establecen que la potencia reflejada en los puertos del amplificador debe ser menor que la potencia incidente ie los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador deben ser en moacutedulo menores que uno Cuando el amplificador cumple las condiciones de estabilidad para todo valor de impedancias de fuente y carga se dice que el amplificador es absolutamente estable Si se cumplen las condiciones solo para ciertos valores restringidos de impedancia el amplificador es potencialmente estable En caso contrario es inestable
Notar que si los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador son de moacutedulo mayor que uno entonces las partes reales de las impedancias de entrada y salida del dispositivo tendraacuten parte real negativa Por ejemplo si en el amplificador de
la figura 5 se tiene que entonces
Luego una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta del dispositivo a una
frecuencia dada es que las resistencias de entrada y salida y
sean positivas El caso liacutemite se da cuando la impedancias son
reactivas puras ie
42 Adaptacioacuten de impedancias y estabilidad
En el circuito de la figura 5 se puede obtener maacutexima transferencia de potencia
adaptando las impedancias ie eligiendo
Utilizando las ecuaciones 12 y 13 se tiene que las condiciones para adaptar las impedancias equivalen al siguiente sistema
Ecuacioacuten 20a
Ecuacioacuten 20b
Resolviendo el sistema anterior para Γs y ΓL se obtienen las siguientes soluciones
Ecuacioacuten 21a
Ecuacioacuten 21b
Donde
Ahora hay que ver cuaacuteles son las soluciones del sistema 20 que producen
Para esto notamos que si
entonces y
y ademaacutes se cumple que
Luego concluimos que una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es
Ecuacioacuten 22
Asumiendo la condicioacuten 22 se puede demostrar a partir de 21 que las soluciones que
permiten se obtienen eligiendo el signo negativo cuando
y eligiendo el signo positivo cuando
La condicioacuten necesaria de estabilidad se puede reescribir en funcioacuten de los paraacutemetros S de la siguiente forma
donde se define el paraacutemetro
Luego concluimos que otra condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es
Se puede demostrar que cuando las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas la ganancia de potencia se puede escribir como
Ecuacioacuten 23
donde el factor se llama figura de meacuterito del dispositivo
Notar que el valor liacutemite maacuteximo de la ganancia estable se obtiene cuando y su valor es
Ecuacioacuten 24
A partir de la ecuacioacuten 23 se deduce que para usar adaptacioacuten de impedancias
conjugadas tiene que cumplirse la condicioacuten necesaria de estabilidad En otras palabras no se puede usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas si el dispositivo (ie el transistor) es inestable
5 Disentildeo de amplificadores
Figura 6 Estrategia de disentildeo Amplificador de una etapa
Especificaciones de disentildeo
1048708 Maacutexima ganancia de potencia por sobre un valor miacutenimo
1048708 Miacutenima figura de ruido por debajo de un valor miacutenimo
1048708 VSWR a la entrada y la salida sin exceder valores maacuteximos
Se asumen conocidos los paraacutemetros Sij Fm Γm y RN o GI
Algoritmo de Disentildeo
Paso 1 Evaluar las condiciones de estabilidad Si se cumplen seguir con paso 2 3 y 4 Caso contrario (Klt1) seguir con 5 y 6
Paso 2 Evaluar si es posible usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas Si la ganancia y figura de ruido son aceptables se termina Caso contrario seguir con 3
Paso 3 Se evaluacutea si es posible usar Γs = Γm (ie miacutenima figura de ruido) Se construye la siguiente funcioacuten objetivo
dado un valor de gp se busca en el correspondiente ciacuterculo de ganancia constante el valor de que maximiza la funcioacuten objetivo Si los valores de VSWR son aceptables terminar Caso contrario seguir con paso 4
Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria
Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6
Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad
4 Estabilidad
41 Estabilidad en amplificadores
La estabilidad o la resistencia a la oscilacioacuten de un amplificador de microondas es uno de los maacutes importantes objetivos de disentildeo La estabilidad se puede determinar a partir los paraacutemetros S las mallas de adaptacioacuten a la entrada y a la salida y las terminaciones del circuito
A altas frecuencias un transistor presenta una retroalimentacioacuten intriacutenseca de la salida a
la entrada principalmente debido a las capacitancias finitas presentes en el dispositivo De esta forma el dispositivo puede ser potencialmente inestable y a menos que el circuito sea disentildeado adecuadamente puede oscilar inutilizando su uso como amplificador
Mirando el problema desde el punto de vista de ondas las condiciones de estabilidad establecen que la potencia reflejada en los puertos del amplificador debe ser menor que la potencia incidente ie los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador deben ser en moacutedulo menores que uno Cuando el amplificador cumple las condiciones de estabilidad para todo valor de impedancias de fuente y carga se dice que el amplificador es absolutamente estable Si se cumplen las condiciones solo para ciertos valores restringidos de impedancia el amplificador es potencialmente estable En caso contrario es inestable
Notar que si los coeficientes de reflexioacuten mirando hacia los puertos del amplificador son de moacutedulo mayor que uno entonces las partes reales de las impedancias de entrada y salida del dispositivo tendraacuten parte real negativa Por ejemplo si en el amplificador de
la figura 5 se tiene que entonces
Luego una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta del dispositivo a una
frecuencia dada es que las resistencias de entrada y salida y
sean positivas El caso liacutemite se da cuando la impedancias son
reactivas puras ie
42 Adaptacioacuten de impedancias y estabilidad
En el circuito de la figura 5 se puede obtener maacutexima transferencia de potencia
adaptando las impedancias ie eligiendo
Utilizando las ecuaciones 12 y 13 se tiene que las condiciones para adaptar las impedancias equivalen al siguiente sistema
Ecuacioacuten 20a
Ecuacioacuten 20b
Resolviendo el sistema anterior para Γs y ΓL se obtienen las siguientes soluciones
Ecuacioacuten 21a
Ecuacioacuten 21b
Donde
Ahora hay que ver cuaacuteles son las soluciones del sistema 20 que producen
Para esto notamos que si
entonces y
y ademaacutes se cumple que
Luego concluimos que una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es
Ecuacioacuten 22
Asumiendo la condicioacuten 22 se puede demostrar a partir de 21 que las soluciones que
permiten se obtienen eligiendo el signo negativo cuando
y eligiendo el signo positivo cuando
La condicioacuten necesaria de estabilidad se puede reescribir en funcioacuten de los paraacutemetros S de la siguiente forma
donde se define el paraacutemetro
Luego concluimos que otra condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es
Se puede demostrar que cuando las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas la ganancia de potencia se puede escribir como
Ecuacioacuten 23
donde el factor se llama figura de meacuterito del dispositivo
Notar que el valor liacutemite maacuteximo de la ganancia estable se obtiene cuando y su valor es
Ecuacioacuten 24
A partir de la ecuacioacuten 23 se deduce que para usar adaptacioacuten de impedancias
conjugadas tiene que cumplirse la condicioacuten necesaria de estabilidad En otras palabras no se puede usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas si el dispositivo (ie el transistor) es inestable
5 Disentildeo de amplificadores
Figura 6 Estrategia de disentildeo Amplificador de una etapa
Especificaciones de disentildeo
1048708 Maacutexima ganancia de potencia por sobre un valor miacutenimo
1048708 Miacutenima figura de ruido por debajo de un valor miacutenimo
1048708 VSWR a la entrada y la salida sin exceder valores maacuteximos
Se asumen conocidos los paraacutemetros Sij Fm Γm y RN o GI
Algoritmo de Disentildeo
Paso 1 Evaluar las condiciones de estabilidad Si se cumplen seguir con paso 2 3 y 4 Caso contrario (Klt1) seguir con 5 y 6
Paso 2 Evaluar si es posible usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas Si la ganancia y figura de ruido son aceptables se termina Caso contrario seguir con 3
Paso 3 Se evaluacutea si es posible usar Γs = Γm (ie miacutenima figura de ruido) Se construye la siguiente funcioacuten objetivo
dado un valor de gp se busca en el correspondiente ciacuterculo de ganancia constante el valor de que maximiza la funcioacuten objetivo Si los valores de VSWR son aceptables terminar Caso contrario seguir con paso 4
Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria
Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6
Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad
42 Adaptacioacuten de impedancias y estabilidad
En el circuito de la figura 5 se puede obtener maacutexima transferencia de potencia
adaptando las impedancias ie eligiendo
Utilizando las ecuaciones 12 y 13 se tiene que las condiciones para adaptar las impedancias equivalen al siguiente sistema
Ecuacioacuten 20a
Ecuacioacuten 20b
Resolviendo el sistema anterior para Γs y ΓL se obtienen las siguientes soluciones
Ecuacioacuten 21a
Ecuacioacuten 21b
Donde
Ahora hay que ver cuaacuteles son las soluciones del sistema 20 que producen
Para esto notamos que si
entonces y
y ademaacutes se cumple que
Luego concluimos que una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es
Ecuacioacuten 22
Asumiendo la condicioacuten 22 se puede demostrar a partir de 21 que las soluciones que
permiten se obtienen eligiendo el signo negativo cuando
y eligiendo el signo positivo cuando
La condicioacuten necesaria de estabilidad se puede reescribir en funcioacuten de los paraacutemetros S de la siguiente forma
donde se define el paraacutemetro
Luego concluimos que otra condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es
Se puede demostrar que cuando las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas la ganancia de potencia se puede escribir como
Ecuacioacuten 23
donde el factor se llama figura de meacuterito del dispositivo
Notar que el valor liacutemite maacuteximo de la ganancia estable se obtiene cuando y su valor es
Ecuacioacuten 24
A partir de la ecuacioacuten 23 se deduce que para usar adaptacioacuten de impedancias
conjugadas tiene que cumplirse la condicioacuten necesaria de estabilidad En otras palabras no se puede usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas si el dispositivo (ie el transistor) es inestable
5 Disentildeo de amplificadores
Figura 6 Estrategia de disentildeo Amplificador de una etapa
Especificaciones de disentildeo
1048708 Maacutexima ganancia de potencia por sobre un valor miacutenimo
1048708 Miacutenima figura de ruido por debajo de un valor miacutenimo
1048708 VSWR a la entrada y la salida sin exceder valores maacuteximos
Se asumen conocidos los paraacutemetros Sij Fm Γm y RN o GI
Algoritmo de Disentildeo
Paso 1 Evaluar las condiciones de estabilidad Si se cumplen seguir con paso 2 3 y 4 Caso contrario (Klt1) seguir con 5 y 6
Paso 2 Evaluar si es posible usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas Si la ganancia y figura de ruido son aceptables se termina Caso contrario seguir con 3
Paso 3 Se evaluacutea si es posible usar Γs = Γm (ie miacutenima figura de ruido) Se construye la siguiente funcioacuten objetivo
dado un valor de gp se busca en el correspondiente ciacuterculo de ganancia constante el valor de que maximiza la funcioacuten objetivo Si los valores de VSWR son aceptables terminar Caso contrario seguir con paso 4
Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria
Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6
Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad
Ahora hay que ver cuaacuteles son las soluciones del sistema 20 que producen
Para esto notamos que si
entonces y
y ademaacutes se cumple que
Luego concluimos que una condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es
Ecuacioacuten 22
Asumiendo la condicioacuten 22 se puede demostrar a partir de 21 que las soluciones que
permiten se obtienen eligiendo el signo negativo cuando
y eligiendo el signo positivo cuando
La condicioacuten necesaria de estabilidad se puede reescribir en funcioacuten de los paraacutemetros S de la siguiente forma
donde se define el paraacutemetro
Luego concluimos que otra condicioacuten necesaria para la estabilidad absoluta es
Se puede demostrar que cuando las impedancias estaacuten adaptadas conjugadas la ganancia de potencia se puede escribir como
Ecuacioacuten 23
donde el factor se llama figura de meacuterito del dispositivo
Notar que el valor liacutemite maacuteximo de la ganancia estable se obtiene cuando y su valor es
Ecuacioacuten 24
A partir de la ecuacioacuten 23 se deduce que para usar adaptacioacuten de impedancias
conjugadas tiene que cumplirse la condicioacuten necesaria de estabilidad En otras palabras no se puede usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas si el dispositivo (ie el transistor) es inestable
5 Disentildeo de amplificadores
Figura 6 Estrategia de disentildeo Amplificador de una etapa
Especificaciones de disentildeo
1048708 Maacutexima ganancia de potencia por sobre un valor miacutenimo
1048708 Miacutenima figura de ruido por debajo de un valor miacutenimo
1048708 VSWR a la entrada y la salida sin exceder valores maacuteximos
Se asumen conocidos los paraacutemetros Sij Fm Γm y RN o GI
Algoritmo de Disentildeo
Paso 1 Evaluar las condiciones de estabilidad Si se cumplen seguir con paso 2 3 y 4 Caso contrario (Klt1) seguir con 5 y 6
Paso 2 Evaluar si es posible usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas Si la ganancia y figura de ruido son aceptables se termina Caso contrario seguir con 3
Paso 3 Se evaluacutea si es posible usar Γs = Γm (ie miacutenima figura de ruido) Se construye la siguiente funcioacuten objetivo
dado un valor de gp se busca en el correspondiente ciacuterculo de ganancia constante el valor de que maximiza la funcioacuten objetivo Si los valores de VSWR son aceptables terminar Caso contrario seguir con paso 4
Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria
Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6
Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad
Ecuacioacuten 23
donde el factor se llama figura de meacuterito del dispositivo
Notar que el valor liacutemite maacuteximo de la ganancia estable se obtiene cuando y su valor es
Ecuacioacuten 24
A partir de la ecuacioacuten 23 se deduce que para usar adaptacioacuten de impedancias
conjugadas tiene que cumplirse la condicioacuten necesaria de estabilidad En otras palabras no se puede usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas si el dispositivo (ie el transistor) es inestable
5 Disentildeo de amplificadores
Figura 6 Estrategia de disentildeo Amplificador de una etapa
Especificaciones de disentildeo
1048708 Maacutexima ganancia de potencia por sobre un valor miacutenimo
1048708 Miacutenima figura de ruido por debajo de un valor miacutenimo
1048708 VSWR a la entrada y la salida sin exceder valores maacuteximos
Se asumen conocidos los paraacutemetros Sij Fm Γm y RN o GI
Algoritmo de Disentildeo
Paso 1 Evaluar las condiciones de estabilidad Si se cumplen seguir con paso 2 3 y 4 Caso contrario (Klt1) seguir con 5 y 6
Paso 2 Evaluar si es posible usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas Si la ganancia y figura de ruido son aceptables se termina Caso contrario seguir con 3
Paso 3 Se evaluacutea si es posible usar Γs = Γm (ie miacutenima figura de ruido) Se construye la siguiente funcioacuten objetivo
dado un valor de gp se busca en el correspondiente ciacuterculo de ganancia constante el valor de que maximiza la funcioacuten objetivo Si los valores de VSWR son aceptables terminar Caso contrario seguir con paso 4
Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria
Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6
Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad
5 Disentildeo de amplificadores
Figura 6 Estrategia de disentildeo Amplificador de una etapa
Especificaciones de disentildeo
1048708 Maacutexima ganancia de potencia por sobre un valor miacutenimo
1048708 Miacutenima figura de ruido por debajo de un valor miacutenimo
1048708 VSWR a la entrada y la salida sin exceder valores maacuteximos
Se asumen conocidos los paraacutemetros Sij Fm Γm y RN o GI
Algoritmo de Disentildeo
Paso 1 Evaluar las condiciones de estabilidad Si se cumplen seguir con paso 2 3 y 4 Caso contrario (Klt1) seguir con 5 y 6
Paso 2 Evaluar si es posible usar adaptacioacuten de impedancias conjugadas Si la ganancia y figura de ruido son aceptables se termina Caso contrario seguir con 3
Paso 3 Se evaluacutea si es posible usar Γs = Γm (ie miacutenima figura de ruido) Se construye la siguiente funcioacuten objetivo
dado un valor de gp se busca en el correspondiente ciacuterculo de ganancia constante el valor de que maximiza la funcioacuten objetivo Si los valores de VSWR son aceptables terminar Caso contrario seguir con paso 4
Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria
Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6
Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad
Paso 4 Se relaja la exigencia de figura de ruido (ie FgtF ) y se repite la buacutesqueda de oacuteptimo Se repite el procedimiento de buacutesqueda para varios valores de gp y F hasta encontrar la solucioacuten maacutes satisfactoria
Paso 5 Si el transistor es solo potencialmente estable se parte el anaacutelisis explorando Γs = Γm Con la ayuda de los ciacuterculos de estabilidad se determina si es estable Si Γm es estable entonces se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 3 en caso contrario es aconsejable cambiar de transistor Si se encuentran VSWR aceptables se termina Caso contrario seguir con el paso 6
Paso 6 Se sigue el mismo procedimiento descrito en el paso 4 pero teniendo cuidado con la estabilidad
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