ANÁLISIS CINEMÁTICO DE MECANISMOS.

2.1. Introducción

Una vez que el diseño (síntesis) de un mecanismo ha sido realizado, este debe ser analizado. El objetivo del análisis cinemático es determinar las posiciones, velocidades y aceleraciones de todas las partes en movimiento en un mecanismo.

El diseñador debe asegurar que el mecanismo propuesto o máquina no falle bajo condiciones de operación. De esta manera los esfuerzos en los elementos deben ser mantenidos debajo de los límites permisibles.

Para calcular los esfuerzos, se necesitan conocer las fuerzas y momentos estáticos o dinámicos según sea el caso, que se presentan en dichos elementos.

Para calcular las fuerzas y momentos dinámicos:

Ga mF→→

= MG = IG α

Se necesitan conocer las aceleraciones lineales y angulares. Para calcular dichas aceleraciones, debemos hallar antes las velocidades lineales y angulares. Y antes de calcular velocidades se calculan primero las posiciones lineales y angulares.

1

Todo el proceso anterior se realiza para pequeños incrementos de valor de las variables de entradas (es decir de los grados de libertad). Si la entrada es un ángulo θ, el incremento puede ser de 1° cada vez. Si la entrada es una distancia x, el incremento puede ser de 1 mm (esto es a juicio del ingeniero) cada vez.

Todos los cálculos deben ser hechos con el apoyo de un programa de computadora, debido a la necesidad de resolver una gran cantidad de ecuaciones, un número considerable de veces (por ejemplo, cuando θ es dada, se pueden hacer 360 veces el cálculo).

2.2. Análisis de Posición

2.2.1 Representación de un VectorLa notación →

R será usada para definir un vector de posición. Existen muchas formas de representar un vector, entre ellas tenemos las dos formas siguientes.

• Números Complejos (capítulo 4 libro de Norton)

)θsinθr (cosr j j e R ±== ±→

θ

• Vectores Unitarios

2

∧∧→

+= j i R yx∧∧

+= j i )sinr()cosr( θθ

)sin(cosr∧∧

+= j i θθ

∧→= u R r

Donde:

∧∧∧+= j i u θθ sincos

( ) ( ) 1sincos =+=

∧22 u θθ

∧u es un vector unitario

Nota: El ángulo medido desde la horizontal ( x positiva ) y las funciones cosθ en i∧

ysinθ en j

∧, dan automáticamente el signo de las componentes.

Ejemplo:

Medido con la vertical ( el signo en x se da a partir del dibujo ):

x = – 1 sin 30° = – 0.5 my = 1 cos 30° = 0.866 m

Medido con la horizontal ( el signo en x lo da la función cos 120° ):

x = 1 cos 120° = – 0.5 my = 1 sin 120° = 0.866 m

3

2.3. Análisis de Velocidad y Aceleración

Caso 1.- Vector de Magnitud Variable y Orientación Fija

Posición∧→

= u R r∧→

= i R x

Velocidad

dt

)x(d

dt

d∧→

→== i R

V

dt

dx

dt

dx∧

∧+= i

i

donde dt

dxvx = y

→∧

= 0i

dt

d

∧→= i V xv

Posición∧→

= j R y

Velocidad

∧→= j V yv

Posición∧→

= u R r∧→

= u R d

Velocidad

dt

)d(d

dt

d∧→

→== u R

V

( )dt

dd

dt

dd∧

∧+= u

u

donde ( )dt

ddvd =

∧→= u V dv

4

Aceleración

dt

)v(d

dt

d x

∧→→

== i VA

dt

dv

dt

dvx

x

∧∧

+= i i

donde dt

dva x

x =

∧→= i A xa

Aceleración

∧→= j A ya

Aceleración

dt

)v(d

dt

d d

∧→→

== u VA

dt

dv

dt

dvd

d

∧∧

+= u u

donde dt

dva d

d =

∧→= u A da

Caso 2.- Vector de Magnitud Fija y Orientación Variable

Posición

)sin(cosrr∧∧∧→

+== j i u R θθ (1)

Velocidad ( r es constante y θ es variable. En el dibujo se supone la ω en el sentido negativo, solo para poder separar en el dibujo las velocidades y aceleraciones lineales que se irán mostrando ).

dt

)r(d

dt

d∧→

→== u R

V

dt

dr

dt

dr∧

∧+= u

u

Donde 0dt

dr = :

dt

dr

∧→

= u V (2)

5

Calculando:

)sc(dt

d

dt

d ∧∧∧

+= j i u θθ

∧∧

+−= j

i

)dt

dc()

dt

ds(

θθθθ

∧∧

+−= j i )c()s( ωθωθ (3)

Otra forma de escribir (3) usando el producto cruz:∧→

∧

×= u u ω

dt

d )sc()(∧∧∧

+×= j i k θθω

∧∧

+−= j i )c()s( ωθωθ (4)

Finalmente sustituyendo (4) en (2):

)r (∧→→

×= u V ω )r (

∧→×= u ω

→→→×= R V ω (5)

Donde ∧→

= k ωω .

Aceleración

dt

d→

→= V

A )(dt

d R

→→×= ω

dt

d

dt

d→

→→→

×+×= R R ωω

)(→→→→→

××+×= R R ωωα

→→→→−×= R R A 2ωα

(6)

Donde ∧→

= k αα . Las aceleraciones se muestran en el siguiente dibujo.

6

Caso 3.- Vector de Magnitud Variable y Orientación Variable

Posición

+==

∧∧∧→j i u R θsinθcosrr

Velocidad ( r es variable y θ es variable )

dt

rd

dt

d

==

∧→

→u

RV

dt

dr

dt

dr∧

∧+= u

u

×+=

∧→∧u u ωrv

7

→→∧→×+= Rv u V ω

(7)

Aceleración

dt

d→

→= V

A

( )dt

d

dt

d

dt

dv

dt

vd→

→→→

∧

∧×+×+

+= R R

u u ωω

×+×+×+

×+=

→→∧→→→∧→∧R u R u u ωωαω vva

××+×+

×+=

→→→→→∧→∧R R u u ωωαω v2a

→→→∧→∧→−×+

×+= R R u u A 2ωv2a αω (8)

Nota: La aceleración de Coriolis ) u × ∧ →

( v 2 ω , aparece cuando existe un movimiento de

rotación y traslación en el cuerpo. Si no existe alguno de ellos la aceleración de Coriolis es cero.

8

9

2.4. Ecuaciones Cinemáticas de Mecanismos de 4 Barras

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Ejemplo 2.- Mecanismo de 4 Barras

Ejemplo dado en clase

Ejemplo 3.- Mecanismo de 4 Barras – Expresiones de Forma Cerrada

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2.5. Ecuaciones Cinemáticas de Mecanismos con más de 6 Barras

Ejemplos dados en clase

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