Anlisis de funciones de onda y representacin grfica de orbitales

hidrogenoides. Jorge Arturo Campos Gonzlez Angulo.

Carlos Mauricio Maldonado Domnguez

Material de apoyo para Estructura de la Materia y Qumica Cuntica 1

Justificacin

De acuerdo con la manera actual del estudio de la Qumica desde el punto de vista molecular, la

visualizacin de orbitales se ha vuelto fundamental para la comprensin de los fenmenos sin

importar que el inters sea para anlisis tericos o con fines sintticos.

Siguiendo este argumento consideramos un ejercicio til el que el estudiante sea capaz de

reproducir mediante clculos las representaciones pictricas que en general deben ser dadas por

sentado al encontrarse descritas en los diferentes textos.

La descripcin cuantitativa, seguida del aterrizaje en una visualizacin grfica puede

permitir una mayor comprensin del concepto de densidad electrnica adems de ejercitar la

abstraccin de distribuciones espaciales.

En el presente se muestran procedimientos sencillos para representar grficamente las

densidades electrnicas distribuidas alrededor de un tomo hidrogenoide. De manera que el lector

pueda, valindose de una hoja de papel polar o de herramientas computacionales comunes como

Microsoft Excel, construir un dibujo que contenga la informacin relevante de las funciones de

onda de estos sistemas en cuanto a probabilidad se refiere.

Introduccin

La densidad electrnica es una propiedad que depende de la regin del espacio con la que se est

tratando. Por lo tanto como funcin que depende de las tres coordenadas cartesianas. Dado lo

anterior la representacin de orbitales necesitara de un espacio en 4D cosa que en el plano

establecido por una hoja de papel puede ser imposible de conseguir. Sin embargo, siempre es

posible recurrir a algn artificio para lograr los fines de representacin buscados. Por ejemplo

cuando se quiere representar espacios tridimensionales se apela a la perspectiva para crear ilusin

de profundidad.

A continuacin mostraremos a modo de ejemplo la representacin de la esfera unidad

sujeta a restricciones bidimensionales:

La esfera de radio 1 se representa en coordenadas cartesianas por la expresin:

2 2 2 1x y z

Suponiendo que debemos representar dicho cuerpo geomtrico en el plano de la hoja de papel,

tomado como el plano xy, y no podemos valernos de la perspectiva; una forma de lograrlo es la

siguiente:

Puesto que lo nico que podemos representar son los puntos (x,y) en el plano, necesitamos

saber cules son los pares coordenados permitidos dada la expresin que se desea representar.

Elevando al cuadrado se tiene:

2 2 2 1x y z

de donde puede notarse inmediatamente una restriccin sobre los valores de las coordenadas: la

suma de sus cuadrados debe ser igual a uno. Ya que los cuadrados son siempre positivos la

restriccin anterior implica forzosamente que el valor de cada coordenada debe estar entre -1 y 1,

o dicho de otra forma su valor absoluto debe estar entre 0 y 1.

Ahora veamos las coordenadas que nos interesan. Claramente,

2 2 21x y z

De esta expresin podemos explotar los casos extremos, (1) cuando |z| = 0 y (2) cuando |z| = 1.

En el primer caso se obtiene inmediatamente

2 2 1x y

Que es la expresin para la circunferencia de radio 1.

Mientras que en el segundo caso

2 2 0x y

Lo cual define por completo al punto (0,0) en nuestro plano de representacin.

En general se tiene entonces que:

2 21 0x y

Expresin que define al disco de radio 1:

Hasta aqu todo lo que hemos hecho es definir el dominio de la funcin (entendido como

el conjunto de los valores que las variables independientes pueden adoptar):

2 2, 1z x y x y

Pero esto no nos da ninguna informacin sobre la funcin completa. Entonces

necesitamos de una herramienta adicional que permita dar una idea del comportamiento de z.

Ya que no podemos valernos de la perspectiva, una opcin posible es utilizar colores:

-1 -0.5 0 0.5 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

y

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Aqu hemos utilizado un gradiente de color para representar a la coordenada z.

De igual forma, para los orbitales atmicos hidrogenoides procederemos a definir el

dominio de las funciones de densidad de probabilidad y, valindonos de una herramienta extra,

representar las densidades de probabilidad en cada regin alrededor del ncleo.

Funciones de onda hidrogenoides

Las funciones de onda que resultan de resolver la ecuacin de Schrdinger para el tomo de

hidrgeno en coordenadas esfricas estn compuestas de una parte radial y una parte angular.

La parte radial est dada por los polinomios asociados de Laguerre, los cuales estn dados por:

0

10

2 300

1 ! ! 1 22

1 ! 2 1 ! !

k kn

r na

n

k

n n r naR r e

n a n k k k

Donde n y son los nmeros cunticos principal y acimutal respectivamente. Recordemos que

los valores posibles para este ltimo son n 1 0, y a0 es el radio de Bohr (0.5291772083 ).

Explcitamente, hasta n = 5, las soluciones a la parte radial tienen la forma:

0

0

0

0

0

0

0

0

13

0

20

2 05

0

21

25

0

30 2 2

3 0 07

0

31 2

3 07

0

32 2

3 7

0

40 3 2

4 09

0

21; 0

22; 0 2

14 2

23; 0 2 18 27

81 3

2 21 6

81 3

2 22

81 15

4; 0 24 144768

r a

r a

r a

r a

r a

r a

r a

en R r

a

n R r r a ea

e rR r

a

en R r r ra a

a

R r e r raa

R r e ra

en R r r r a

a

0

0

0

2 3

0 0

41 3 2 2

4 0 09

0

42 3 2

4 09

0

43 3

49

0

192

1 20 80256 15

2 12768 5

3768 35

r a

r a

r a

ra a

eR r r r a a

a

eR r r r a

a

eR r r

a

0

0

0

50 4 3 2 2 3 4

5 0 0 0 011

0

51 4 3 2 2 3

5 0 0 011

0

52 4 3 2 2

5 0 011

0

3 4 3

5 011

0

5; 0 2 100 1500 7500 937546875 5

2 21 2 90 1125 3750

46875 15

2 22 2 70 525

46875 35

2 23 20

46875 35

r a

r a

r a

en R r r r a r a ra a

a

R r e r r a r a raa

R r e r r a r aa

R r r r aa

4 45 110

2 24

140625 35R r r

a

Mientras que las soluciones angulares corresponden a los armnicos esfricos:

21 2 1 !, sen sen

2 ! 4 ! cos

m mmm im

m de

m d

Y

Donde m es el nmero cuntico magntico cuyos valores corresponden con la desigualdad

|| m.

Explcitamente, los primeros de esta serie tienen la forma:

0

0

0

1

1

1

0 2

2

1

2

2 2 2

2

1

2

1 3, cos

2

1 3, sin

2 2

1 5, 3cos 1

4

1 15, sin cos

2 2

1 15, sin

4 2

i

i

i

e

e

e

Y

Y

Y

Y

Y

Y

Como puede notarse, estas funciones son complejas en , y en qumica es usual manejar

funciones nicamente reales, para lo cual se definen a los armnicos cartesianos:

cos 0

cos

sen

, , , 0

1, , 1 , ,

20

1, , 1 , ,

2

mm m m

mm m m

Y x y z m

Y x y z

m

Y x y zi

Y

Y Y

Y Y

Para = 1 y 2, se tiene explcitamente:

2 2

2

cos

1

sin

1

cos

1

cos

2 2

sin

2 2

sin 2

2 2

2 2cos2

2 2

2 2 2cos

2 2

1 3, ,

2

1 3, ,

2

1 3, ,

2

1 15 , ,

2

1 15 , ,

2

1 15, ,

2

1 15, ,

4

1 5 2 , ,

4

x

y

z

xz

yz

xy

x y

z

xY x y z p

r

yY x y z p

r

zY x y z p

r

xzY x y z d

r

yzY x y z d

r

xyY x y z d

r

x yY x y z d

r

z x yY x y z d

r

En la lista anterior se incluye la identificacin con las etiquetas usuales en qumica para los

orbitales respectivos.

Para los fines de este trabajo es necesario llevar a cabo un anlisis por separado de ambas

componentes de las funciones de onda. Mientras que la parte radial nos dar informacin sobre la

proporcin de densidad de probabilidad a una distancia dada del ncleo, la parte angular

establecer la geometra a la que la distribucin de densidad de probabilidad se ve restringida.

Analicemos primero esta ltima situacin.

Parte angular

Aunque la forma en la que la densidad electrnica se distribuye est gobernada por la funcin

radial, como se ver ms adelante, sta siempre estar multiplicada por una funcin angular, y

son stas las que definen la geometra que la distribucin adoptar mientras se reparte en el

espacio.

Es bien sabido que la funcin de onda por s misma no tiene significado fsico pero su

cuadrado es una funcin de densidad de probabilidad. Esto aplica tanto a la parte radial como a la

angular, es decir, que es el cuadrado de las funciones angulares la que da el sentido de

probabilidad a la geometra que representan. Por lo tanto no s centraremos en la representacin

grfica de las funciones elevadas al cuadrado.

Las funciones angulares fijan la geometra modulando las funciones radiales, de ah que

para explotarlas las manipulemos como funciones polares, es decir:

2

, ,r Y

Orbitales s

Para las funciones ns el nmero cuntico azimutal es = 0, lo que quiere decir que la parte

angular est dada por:

0

0

1

2Y

Tomando en cuenta lo anterior, para representar este orbital hay que graficar la funcin:

1

,4

sr

Claramente esto significa que la superficie que se intenta representar es equidistante en

todos sus puntos al origen, independientemente de la direccin con la que se observe. Es decir la

superficie es una esfera perfecta de radio 1/4.

Puede ser til, y lo aprovecharemos a manera de ejemplo para futuros casos, el construir

la representacin grfica de esta situacin.

En el ejercicio que sigue vamos a empezar por construir la grfica de la funcin z()

donde 2 = x2 + y2. Por lo que la representacin estar limitada al plano z.

Lo siguiente ser construir grficas de y(x) definidas por el valor de .

Todo el mtodo consiste en llenar la siguiente tabla tomando en cuenta las restricciones

impuestas por la funcin radial correspondiente al orbital en cuestin:

r z 2 ||

1 -1.2 -0.44 ---

1 -1.0 0.00 0.00

1 -0.8 0.36 0.60

1 -0.6 0.64 0.80

1 -0.4 0.84 0.92

1 -0.2 0.96 0.98

1 0.0 1.00 1.00

1 0.2 0.96 0.98

1 0.4 0.84 0.92

1 0.6 0.64 0.80

1 0.8 0.36 0.60

1 1.0 0.00 0.00

1 1.2 -0.44 ---

Cmo se llen la tabla anterior?

1. Sabemos que para este orbital la funcin a representar es:

1

,4

sr

Sin embargo, para fines prcticos, podemos quedarnos con la idea de que el radio

es constante y facilitarnos las cosas dejndolo como:

, 1r

2. El radio est perfectamente definido en coordenadas cartesianas por:

2 2 2 2 2 2r x y z z

Si sustituimos la condicin anterior en la definicin del radio podemos escribir:

2 21 z

3. Tenemos a z como grado de libertad. Entonces, siempre podremos encontrar el

valor de 2 una vez que nosotros hayamos escogido un valor de z para evaluar.

4. Grficamente es el radio de la circunferencia en el plano xy, por lo tanto no

puede admitir valores negativos. Sin embargo, para lo que intentamos ilustrar, es

necesario recurrir a stos para tener dos valores que asignar a cada z. Entonces

simplemente definimos || = 2, asegurndonos de que se admitan los valores con

ambos signos.

Lo que se est haciendo es fijar una altura a la cual se van a observar los bordes de

la esfera. Tales bordes estn a ambos lados del eje de referencia, de ah que

necesitemos dos valores para cada altura.

Ejemplo:

2

1

1 1 0

0

z

De entre lo que se puede observar en la tabla, resalta que para z > 1, no tiene valor

definido en los nmeros reales, es decir, nuestra esfera no puede existir en esta regin. Cuando

|z| = 1, la componente vertical coincide con el radio de la esfera, por lo tanto las otras

componentes no contribuyen y = 0, stos son los polos, norte y sur, de nuestra esfera. Para z =

0, no hay componente vertical en el radio y todo lo conforman las combinaciones de x e y que le

dan al radio, es decir = 1, puede observarse que ste es su valor mximo, por lo que nos

encontramos en el ecuador. Por ltimo, para 0 < |z| < 1, tenemos que es una funcin par con

respecto a z, lo cual coincide con el hecho de que los hemisferios son simtricos.

Una grfica a partir de los datos anteriores construida en Excel, quedara as:

Orbital s

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-1 -0.5 0 0.5 1

z +

-

Despus podemos dibujar lo que se ve en los planos perpendiculares al anterior si

observamos desde diferentes valores de z. Es decir vamos a dibujar las curvas de nivel.

Utilizando un razonamiento como el anterior se deja fijo el valor de dependiendo del de

z, se proponen valores de x y se calculan los valores de y correspondientes. Se deja este

procedimiento al lector. A continuacin se muestran algunas de las curvas de nivel para

diferentes valores de z.

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

x

y

Curvas de nivelOrbitales s

|z| = 0.0

|z| = 0.2

|z| = 0.4

|z| = 0.6

|z| = 0.8

|z| = 1.0

Con esta informacin se puede pasar a dibujar la superficie del orbital, en este caso, la

esfera:

Orbitales p

Para las funciones np el nmero cuntico azimutal es = 1, lo que da lugar a tres posibles

armnicos cartesianos para la parte angular:

cos sin cos

1 1 1

1 3 1 3 1 3sin cos sin sin cos

2 2 2

x y z

Y Y Y

p p p

Para representar estos orbitales hay que graficar las funciones:

2 2 2 2 23 3 3

, sin cos , sin sin , cos4 4 4x y z

p p pr r r

Por simplicidad empezaremos por dibujar el orbital pz ya que ste no depende

explcitamente de y hace ms cmodo el trabajar en dos dimensiones.

Es necesario construir una tabla como en la seccin anterior, mostremos los pasos de

clculo:

1. Teniendo la funcin a representar vamos a considerar las constantes como iguales

a uno. Entonces trataremos con:

22

2cos

zp

zr

r

Lo que tiene como consecuencia que:

3 2

2 3

r z

r z

2. Sustituyendo la condicin en la definicin del radio tenemos:

2 4 3 2 2

2 4 3 2

r z z

z z

3. Nuevamente el asunto es encontrar el valor de 2 para valores escogidos de z.

4. Como en el caso anterior hay que tomar ambos signos de la raz para la

representacin completa.

La tabla que recopila los datos necesarios quedara as:

r z 2 ||

1.13 -1.2 -0.16 ---

1.00 -1.0 0.00 0.00

0.86 -0.8 0.10 0.32

0.71 -0.6 0.15 0.38

0.54 -0.4 0.13 0.37

0.34 -0.2 0.08 0.28

0.00 0.0 0.00 0.00

0.34 0.2 0.08 0.28

0.54 0.4 0.13 0.37

0.71 0.6 0.15 0.38

0.86 0.8 0.10 0.32

1.00 1.0 0.00 0.00

1.13 1.2 -0.16 ---

De entre lo que se puede observar en la tabla, tenemos nuevamente que para z > 1, no

tiene valor definido en los nmeros reales, es decir, nuestra grfica no abarca esta regin. Otra

vez, cuando |z| = 1, la componente vertical coincide con el radio y = 0. La diferencia sustancial

se da en z = 0, en la que el radio vale cero! es decir tanto z como no pueden contribuir y son

nulas. La progresin de los valores de conforme aumenta |z| es mucho menos pronunciada que

en el caso de la esfera, pero obedece a una funcin par. Lo anterior da origen a los conocidos

lbulos, o bien al famossimo cacahuate.

La grfica en Excel, quedara:

Orbitales p z

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6

z +

-

Con las curvas de nivel:

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

y

Curvas de nivelOrbitales p

z

|z| = 0.0

|z| = 0.2

|z| = 0.4

|z| = 0.6

|z| = 0.8

|z| = 1.0

Al observar esta grfica es ms notoria la diferencia de la progresin de con |z|, adems

del hecho de que el dimetro del crculo en el plano xy alcanza su valor mximo en algn punto

de |z| entre 0 y 1 (aprox. 0.54).

Para dibujar los orbitales correspondientes a px y py slo es necesario notar que el

tratamiento anterior centrado en z puede ser realizado sin ninguna dificultad para cualquiera de

las otras coordenadas cartesianas, ya que la dependencia del radio con respecto a stas es idntica

para las tres.

Por ejemplo si deseamos dibujar el orbital px, basta con definir 2 = y

2 + z

2 y repetir el

tratamiento de los pasos 2 y 3 de nuestro algoritmo de graficacin:

22 2

2

3 2

2 3

2 4 3 2 2

2 4 3 2

sin cosxp

xr

r

r x

r x

r x x

x x

Como puede verse, slo es cosa de repetir los pasos pero ahora con x como la coordenada

a la que se le da prioridad. No hay que olvidar acostar los ejes para las representaciones.

La misma situacin aplica para el orbital py, tomando las funciones pertinentes.

Finalmente los orbitales p quedan representados as:

Parte radial

El cuadrado de la funcin radial expresa el comportamiento de la densidad electrnica conforme

sta se aleja del ncleo. Una vez que sabemos cmo la parte angular restringe la geometra

podemos pasar a analizar la densidad de probabilidad para entender lo que ocurre conforme nos

alejamos del sistema.

Como en el caso de las funciones angulares es necesario trabajar con el cuadrado de las

funciones, pero adems hay que tomar en cuenta que es necesario que consideremos a los

polinomios en coordenadas esfricas, por lo tanto hay que multiplicar por el elemento de

volumen radial, r2, despus de haber elevado al cuadrado. Definamos entonces la funcin de

densidad de probabilidad radial que incorpora todo lo anterior:

2 2

, ,n nF r R r r

Orbital 1s

Para la funcin 1s el nmero cuntico principal es n = 1 y el azimutal es = 0, lo que quiere decir

que la parte radial est dada por:

0

13

0

2r a

s

eR r

a

Y la funcin de densidad de probabilidad radial correspondiente es:

022

1 3

0

4r a

s

r eF r

a

Para fines prcticos, podemos olvidarnos de las constantes que multiplican a las funciones

y considerarlas igual a uno. Entonces vamos a tratar con:

0r aR r e y 022 r aF r r e

Veamos cmo construir la grfica de la funcin de densidad de probabilidad radial paso a

paso:

1. Lo primero es conocer la parte radial de la funcin de onda. En este caso slo se trata

de una exponencial decreciente. Recordemos que esta parte es comn a todas las

funciones de onda ya que deben anularse en el infinito.

2. El siguiente paso es elevarla al cuadrado. Para esta situacin el cambio es trivial y no

hay mucho que discutir al respecto. As se ve una comparacin de la funcin antes y

despus de elevarla al cuadrado:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

e-r/

a0

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

r []

e-2r/

a0

Hay que estar consientes de que r es una distancia, por lo que no tiene sentido tomar sus

valores negativos.

3. Ahora vamos sobre la funcin de densidad de probabilidad radial. Dicha funcin

consta del producto de una potencia de r con una exponencial. Por separado stas se

ven as:

0 1 20

1

2

3

4

r []

r2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 20

0.2

0.4

0.6

0.8

1

e2r/

a0

Antes de graficar el producto hagamos un anlisis de los puntos importantes en la

funcin resultante:

a. Para empezar la funcin r2 es una parbola que vale cero en el origen, de modo

que, sin importar las otras partes de la funcin, la funcin de densidad de

probabilidad radial siempre ser cero en el origen. Esto aplica para todas las

funciones de todos los orbitales ya que siempre estarn multiplicados por r2. lo

anterior es consistente con el hecho de que el electrn no puede existir en la

misma posicin que el ncleo.

b. Cuando r tiende a infinito es la exponencial decreciente la funcin que

predomina en el producto matando a la parbola. De este modo la funcin de

densidad de probabilidad tiende a cero conforme r aumenta. Esto tiene sentido

ya que es de esperarse que el electrn se concentre a una distancia finita del

ncleo. Esta caracterstica es comn a todas las funciones de todos los niveles.

c. Sabiendo lo anterior es lgico preguntarse qu pasa en el medio?, en qu

intervalo predomina cada funcin? Para resolverlo hagamos un anlisis

diferencial de la funcin para encontrar los puntos crticos.

Primero hay que obtener la derivada de la funcin de densidad de probabilidad

radial:

0

0 0

0 0

0

22

2 22 2

2 22

0

22

0

22

2

r a

r a r a

r a r a

r a

dF dr e

dr dr

d dr e e r

dr dr

d rr e e r

dr a

re r

a

Luego igualarla a cero y resolver la ecuacin en r que resulte:

0

22

0

2 0r a r

e ra

Claramente 2 no puede ser cero y sabemos que la exponencial nicamente

tiende a cero en el infinito, de modo que slo el binomio entre parntesis es el que

vale la pena tomar en cuenta para continuar el clculo. Entonces:

2

0

2

0

0

0

rr

a

r a r

La anterior es una ecuacin cuadrtica y por lo tanto hay dos soluciones para r.

puesto que no hay trmino independiente se sigue de inmediato que una de las

races es cero. Por supuesto esto era de esperarse ya que las dos funciones son

positivas y cero es el mnimo valor que puede adoptar el producto, y como ya

sabamos la funcin es cero en el origen que es justo lo que esta raz nos quiere

decir. Por supuesto esta caracterstica es comn a todas las funciones sin importar

los nmeros cunticos que la etiqueten.

Encontremos la otra raz:

0

0

0r a

r a

Y sorprendentemente, el valor de la distancia electrn-ncleo alrededor del

cual existe la mayor probabilidad de encontrar al electrn es justamente el radio

de Bohr! Claro tena que ser ya que es prcticamente el nico resultado que el

modelo de Bohr arroja acertadamente, y no podamos esperar que el modelo

cuntico entrara en contradiccin al respecto. Este es el mejor ejemplo que

justifica el que esta cantidad le sobreviva a un modelo que cay en desuso.

Muy bien, ahora sabemos que hay un punto crtico en r = a0. Pero, ser

mnimo o mximo? Esta pregunta se puede responder razonando el hecho de que

la funcin es el producto de dos positivas, y por lo tanto siempre es positiva, y que

adems estamos analizando una regin cuyos extremos valen cero; esto quiere

decir que nuestra funcin, siempre positiva, debe crecer conforme se aleja del

primer cero (el origen) y decrecer conforme se acerca al segundo (en el infinito).

Habiendo reflexionado lo anterior la nica conclusin posible es que se trate de un

mximo. Pero hagamos el ejercicio de corroborarlo matemticamente. Esto se

hace al conocer el signo de la segunda derivada evaluada en el punto crtico:

0

0 0

0 0

0

0 0

0

2 22

2

0

2 22 2

0 0

22 2

0 0 0

2

2

2 22 1

r a

a a

r a r a

a

r a r a

a

d F d re r

dr dr a

d r r de r r e

dr a a dr

r r d re r e

a a dr a

0

0

0

0

0

0

0 0

22

0 0 0

22

2

0 0 0

22

2

0 0

22 0 0

2

0 0

2

2 2

2 22 1

2 2 22 1

4 22 1

4 22 1

2 1 4 2

2 1 2 0

r a

a

r a

a

r a

a

a a

r re r

a a a

r r re

a a a

r re

a a

a ae

a a

e

e e

El que el argumento de la exponencial sea negativo slo implica que el valor

de ese trmino es menor a 1, pero sigue siendo una funcin positiva; al estar

multiplicado por -2 la funcin total es negativa, y esto nos garantiza que el punto

que escogimos es mximo.

Slo para confirmar, veamos el resultado con el otro punto crtico (r = 0)

00

22 02

2 2

0 0 0 00

4 0 2 04 22 1 2 1

2 1 2 0

ar a r re e

a a a a

Y, como ya sabamos nos encontramos en presencia de un mnimo.

4. Ahora s, la grfica que representa todo lo que hemos estado haciendo queda as:

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

r []

F(r

)

Orbital 2s

Para la funcin 2s el nmero cuntico principal es n = 2 y el azimutal es = 0, lo que quiere decir

que la parte radial est dada por:

022 050

22

r a

sR r r a ea

Y la funcin de densidad de probabilidad radial correspondiente es:

0

22

0

2 5

0

4 2r a

s

r r a eF r

a

Dejando de lado las constantes nos quedamos con:

0202r a

R r r a e y 0

22

02r a

F r r r a e

Procedamos a graficar.

1. Esta vez la parte radial de la funcin de onda es el producto de la ya familiar

exponencial decreciente con un polinomio en r. Para la funcin que nos ocupa el

polinomio representa a una recta de pendiente 1 y de ordenada -2a0. Esto quiere decir

que en r = 0 es negativa y se vuelve positiva hasta r = 2a0.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

r []

f(r)

r - 2a0

e-r/2a

0

Al multiplicarla por la exponencial decreciente, que es siempre una funcin positiva,

nos encontramos con que la funcin total es negativa para valores de r entre 0 y 2a0!:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

r []

R(r

)

Por primera vez nos encontramos con una funcin que no es positiva en todo el

intervalo considerado. El punto en el que esta funcin cambia de signo se conoce como

nodo y su relevancia se ver cuando analicemos la funcin de densidad de probabilidad.

2. Al elevar la funcin al cuadrado la volvemos toda positiva, como debe ser si vamos a

hablar de probabilidades.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.2

0.4

0.6

0.8

1

r []

|R(r

)|2

Vemos que el nodo se ha convertido en un mnimo ya que en este punto la funcin

vale cero, y como se discuti anteriormente ste es el menor valor que puede tener una

funcin positiva.

3. La funcin de densidad de probabilidad radial es el resultado de multiplicar la ltima

funcin con la parbola r2. El que la funcin que multiplica sea diferente de una

simple y llana exponencial producir cambios importantes? Antes de verificarlo

grficamente veamos qu podemos deducir de la forma de la funcin a partir de lo

anterior.

a. Como antes la parbola debe matar a la funcin en cero.

b. Podemos observar que la tendencia de la funcin a anularse conforme r crece

se conserva a pesar del polinomio que multiplica.

c. Encontremos los puntos crticos.

Esta vez la funcin de densidad de probabilidad radial consta del producto de una

potencia de r con un polinomio en r y una exponencial. Por separado stas se ven as:

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

r []

F(r

)