Análisis de Sensibilidad
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Investigación de Operaciones 3. Análisis de Sensibilidad
TEMA 3
ANÁLISIS DE SENSIBILIDAD
Consiste en determinar que tan sensible son la solución óptima y el valor
óptimo, con respecto a los cambios en los datos del problema, es decir, los coeficientes
en la Función Objetivo y en las Restricciones.
Se basa en la proposición de que todos los datos del problema, con excepción
de una parte, se conservan fijos y se pide información sobre el efecto del cambio en
esta parte de los datos a los que se permite variar.
La información solicitada incluye: El efecto sobre el valor óptimo, el efecto sobre
la solución óptima y el efecto sobre la región factible.
1.- GENERALIDADES
El análisis de sensibilidad indica que coeficientes afectan más
significativamente la solución óptima.
Se justifican debido a que: Los datos que sustentan el problema pueden ser
inexactos y por variación “natural” de la situación.
Se efectúa para no tener que resolver nuevamente el problema ante pequeños
cambios “controlados”.
2.- CAMBIOS EN LOS COEFICIENTES DE LA FUNCIÓN OBJETIVO
• El valor de la función objetivo cambia.
• Cambia la “pendiente” de la recta de la función objetivo.
• Puede cambiar la solución óptima.
Realizado por: ING. CARLOS ROJAS
Investigación de Operaciones 3. Análisis de Sensibilidad
• No afecta la región factible.
• Mientras un coeficiente de la función objetivo cae dentro de un intervalo
alrededor de su valor original (y los demás coeficientes no cambian), la
solución óptima actual sigue siendo óptima. Sin embargo, el Valor Óptimo de
la función objetivo cambia.
• Si el coeficiente de interés se modifica a un valor fuera del intervalo, se
debe encontrar una nueva solución óptima y un nuevo valor óptimo.
3.- CAMBIOS EN LOS VALORES DEL LADO DERECHO DE LAS RESTRICCIONES
El menor cambio en el lado derecho de una restricción, tiene como resultado
un cambio en la solución óptima.
PRECIO DUAL o PRECIO SOMBRA: Proporción de cambio en el valor de la
función objetivo por unidad de incremento en el valor del lado derecho de
una restricción dentro del intervalo de sensibilidad. Existe para cada valor
factible.
Aún el cambio mas pequeño en el valor del lado derecho de una restricción
puede ocasionar que la solución óptima cambie.
Mientras el valor caiga dentro de algún intervalo alrededor de su valor
original, el valor óptimo de la función objetivo cambia en forma lineal en
proporción con el cambio en el valor del lado derecho, de acuerdo con el
Precio Dual.
Realizado por: ING. CARLOS ROJAS
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PROBLEMA MODELO
Una fábrica de ladrillos produce cuatro tipos de ladrillo de cemento. El proceso
de fabricación está compuesto de tres etapas: mezclado, vibrado e inspección. Dentro
del próximo mes se dispone de 800 horas de máquina para mezclado, 1000 horas de
máquina para vibrado y 340 horas-hombre para inspección. La fábrica desea
maximizar las utilidades dentro de este período, y para ello ha formulado el modelo de
programación lineal siguiente:
Maximizar Z = 8X1 + 14X2 + 30X3 + 50X4
Sujeto a: X1 + 2X2 + 10X3 + 16X4 800
1.5X1 + 2X2 + 4X3 + 5X4 1000
0.5X1 + 0.6X2 + X3 + 2X4 340
X1 0
Donde Xi representa la cantidad de ladrillo del tipo i. El resto de los parámetros se
explican por sí solo.
¿Cuál es la Solución Óptima?
Para conocer cual es la Solución Óptima para este problema, se resuelve el
modelo planteado por medio del Método Simplex
Maximizar Z = 8X1 + 14X2 + 30X3 + 50X4
Sujeto a: X1 + 2X2 + 10X3 + 16X4 800
1.5X1 + 2X2 + 4X3 + 5X4 1000
0.5X1 + 0.6X2 + X3 + 2X4 340
X1 0
X1 + 2X2 + 10X3 + 16X4 + S1 = 800
1.5X1 + 2X2 + 4X3 + 5X4 + S2 = 1000
0.5X1 + 0.6X2 + X3 + 2X4 + S3 = 340
x1, x2, x3, x4, s1, s2, s3 0
N = 7 (Variables)
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M = 3 (Ecuaciones)
N – M = 7 – 3 = 4 4 Variables no Básicas
Variables no Básicas Variables Básicas
X1 = 0 S1 = 800
X2 = 0 S2 = 1000
X3 = 0 S3 = 340
X4 = 0
Z = 8X1 + 14X2 + 30X3 + 50X4
Z - 8X1 - 14X2 - 30X3 - 50X4 = 0
TABLA # 1
Variables
Básicas
Z X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 Valor Razón
Z 1 -8 -14 -30 -50 0 0 0 0 -S1 0 1 2 10 16 1 0 0 800 50S2 0 1.5 2 4 5 0 1 0 1000 200S3 0 0.5 0.6 1 2 0 0 1 340 170
TABLA # 2
Variables
Básicas
Z X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 Valor Razón
Z 1 -4.875 -7.75 1.25 0 3.1 0 0 2500 -
X4 0 0.062 0.125 0.625 1 0.062 0 0 50 400
S2 0 1.187 1.375 0.875 0 -0.312 1 0 750 545.45
S3 0 0.375 0.35 -0.25 0 -0.125 0 1 240 685.71
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TABLA # 3
Variables
Básicas
Z X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 Valor Razón
Z 1 -1 0 40 62 6.975 0 0 5600 -
X2 0 0.5 1 5 8 0.5 0 0 400 800
S2 0 0.499 0 -6 -11 0.999 1 0 200 400.8
S3 0 0.2 0 -2 -2.8 -0.3 0 1 100 500
TABLA # 4
Variables
Básicas
Z X1 X2 X3 X4 S1 S2 S3 Valor Razón
Z 1 0 0 28 40 5 2 0 6000
X2 0 0 1 11 19 1.5 -1 0 200
X1 0 1 0 -12 -22 -2 2 0 400
S3 0 0 0 0.4 1.6 0.1 -0.4 1 20
Como todos los coeficientes de las variables en la ecuación Z (Función Objetivo)
son positivos y como el modelo es de maximización, entonces la Solución Óptima es
cuando:
Variable Valor Costo Reducido
X1 400 0
X2 200 0
X3 0 -28
X4 0 -40
El valor óptimo:
Z= 6.000
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Para las restricciones:
Variable Valor Precio Dual
S1 0 5
S2 0 2
S3 20 0
La aplicación del análisis de sensibilidad nos brinda la siguiente información:
Para los coeficientes de las variables en la función objetivo:
Variable Límite InferiorLímite Superior
X1 7 9.818
X2 11.895 16
X3 sin límite 58
X4 sin límite 90
Para los lados derechos de las restricciones:
Restricción Límite InferiorLímite Superior
1 666.67 1000
2 800 1050
3 320 Ilimitado
a) ¿Es única la Solución Óptima?
b) ¿Cuánto debería aumentar como mínimo la utilidad del producto 3 para
que fuera conveniente producirlo?. Demuéstrelo.
c) ¿Hasta cuánto podría disminuir la utilidad del producto 2 sin que
cambiara la base óptima?. Demuéstrelo.
d) ¿Dentro de que rango podría variar la cantidad de horas de máquina
para mezclado sin que cambie la base óptima?
e) ¿Cuánto puede disminuir el tiempo de inspección sin que cambie la
solución óptima?. Demuéstrelo.
f) ¿Cuál es la nueva solución y el nuevo valor de la función objetivo si las
horas de vibrado aumentan a 1020?
g) ¿Aceptaría la producción de un ladrillo del tipo 5, si requiere 2 horas de
cada actividad y su utilidad es de 30?