Mxico, D.F., octubre 2010 UTILIZACIN Y ADAPTACIN DE TCNICAS DE LA FSICA ESTADSTICA PARA EL ANLISIS DE LAS FLUCTUACIONES CARDIACAS Tesis que presentaEduardo Rodrguez Flores Para obtener el grado de Doctor en Ciencias (Ingeniera Biomdica) Asesores: Dr. Jos de Jess lvarez Ramrez Dr. Juan Carlos Echeverra ArjonillaJurado: Dr. Ramn Gonzlez Camarena Dr. Juan Carlos Echeverra Arjonilla Dr. Leonardo Dagdug Lima Dra. Claudia Lerma Gonzlez Dr. Martn Oswaldo Mndez Garca UNIVERSIDAD AUTNOMA METROPOLITANA IZTAPALAPA DIVISIN DE CIENCIAS BSICAS E INGENIERA E. Rodrguez. Doctorado en Ciencias (Ingeniera Biomdica), octubre 2010iii Contenido Resumen .......................................................................................................... 1 Captulo 1 ......................................................................................................... 5 1.1 Objetivos .............................................................................................................................. 10 General ...................................................................................................................................... 10 Particulares ................................................................................................................................ 10 1.2 Descripcin del trabajo ........................................................................................................ 10 Captulo 2 ....................................................................................................... 15 Mtodos en el dominio de la frecuencia .................................................................................... 16 Anlisis fractal de series de tiempo ........................................................................................... 17 Mtodos en el dominio del tiempo ............................................................................................ 17 Mtodos en el dominio de la frecuencia .................................................................................... 19 Anlisis en el dominio tiempo-frecuencia (tiempo-escala) ....................................................... 20 Anlisis de fluctuacin con remocin de la tendencia (Detrended Fluctuation Analysis DFA) . 20 Pasos del anlisis con DFA ....................................................................................................... 21 2.1 Generacin de ruido fractal 1 f oa partir de la frmula de Grnwald-Letnikov .............. 23 Algoritmo .................................................................................................................................. 24 Derivada fraccional de Grnwald-Letnikov .............................................................................. 24 Calidad de las seales generadas ............................................................................................... 29 Resultados ................................................................................................................................. 30 Conclusiones ............................................................................................................................. 32 2.2 DFA basado en filtros pasa altos ........................................................................................ 32 DFA con filtraje pasa-altas ........................................................................................................ 34 Filtros IIR clsicos..................................................................................................................... 36 Resultados ................................................................................................................................. 37 Conclusiones ............................................................................................................................. 42 2.3 Utilizacin del DFA para anlisis de correlaciones retardadas de series de tiempo no estacionarias ....................................................................................................................... 42 Mtodo ...................................................................................................................................... 43 Anlisis de series de tiempo con el DFA retardado ................................................................... 45 Influencia de estacionaridades peridicas en la estimacin del retardo ..................................... 49 Conclusiones ............................................................................................................................. 49 Captulo 3 ....................................................................................................... 51 Clulas cardiacas excitables ..................................................................................................... 53 Propagacin del impulso en el tejido cardiaco .......................................................................... 55 El electrocardiograma ............................................................................................................... 59 3.1 Anlisis de fluctuaciones con remocin de la tendencia de las dinmicas intralatido....... 62 ivE. Rodrguez. Doctorado en Ciencias (Ingeniera Biomdica), octubre 2010 Datos de ECG ............................................................................................................................ 64 Resultados ................................................................................................................................. 64 Discusin ................................................................................................................................... 67 Conclusiones ............................................................................................................................. 71 3.2 Fractalidad en pacientes que presentan fibrilacin ventricular.......................................... 72 Datos del ECG ........................................................................................................................... 73 Resultados ................................................................................................................................. 74 Discusin ................................................................................................................................... 76 Conclusiones ............................................................................................................................. 78 3.3 Propiedades de escalamiento del ECG de arritmias cardiacas utilizando anlisis de fluctuaciones con remocin de la tendencia...................................................................... 79 Mtodos ..................................................................................................................................... 79 Datos ......................................................................................................................................... 80 Resultados ................................................................................................................................. 81 Discusin ................................................................................................................................... 87 Conclusiones ............................................................................................................................. 88 3.4 Anlisis del ECG normalizado y su relacin con la frecuencia cardiaca ............................ 89 Datos ......................................................................................................................................... 91 Mtodo ...................................................................................................................................... 91 Resultados ................................................................................................................................. 93 Discusin ................................................................................................................................... 95 Conclusiones ............................................................................................................................. 97 Captulo 4 ....................................................................................................... 99 Factores que influyen en el funcionamiento del corazn....................................................... 101 Control de la funcin cardiaca ................................................................................................. 102 El sistema nervioso autnomo y el rendimiento cardiaco (Brown, 1995) ............................... 104 Barorreflejo del ritmo cardiaco ................................................................................................ 105 Anlisis de la variabilidad de la frecuencia cardiaca (Heart Rate Variability HRV) ............... 108 4.1 Anlisis de las dinmicas de la HRV durante el sueo y la vigilia desde el punto de vista de sistemas de control retroalimentados . ............................................................................. 110 Datos ....................................................................................................................................... 111 Fluctuaciones de la HRV como una respuesta del control retroalimentado ............................ 111 Funcin de fluctuacin de la HRV .......................................................................................... 112 Interpretacin desde el punto de vista de sistemas de la HRV ................................................ 114 Resultados y discusin ............................................................................................................ 120 Respuesta de la HRV de sujetos NSR y CHF ......................................................................... 121 Respuesta de la HRV durante las fases de vigilia y sueo ...................................................... 124 Discusin ................................................................................................................................. 129 Conclusiones ........................................................................................................................... 130 4.2 Efectos de los retardos en las dinmicas del latido cardiaco humano............................ 130 Datos ....................................................................................................................................... 132 Resultados ............................................................................................................................... 132 Discusin ................................................................................................................................. 136 Sntesis y discusin general ......................................................................... 139 Conclusiones ................................................................................................ 145 Trabajo futuro ............................................................................................... 147 Referencias .................................................................................................. 150 E. Rodrguez. Doctorado en Ciencias (Ingeniera Biomdica), octubre 20101 Resumen Losresultadosdelapresenteinvestigacinsedividenentresreasdeexploracin,enla primeraseproponenunconjuntodemodificacionesyadaptacionesaherramientasdela fsicaestadsticaparaelanlisisdefluctuacionesensealesfisiolgicas,enespecial aquellasqueproducencomoresultadoexponentesdeescalamiento;enlasegundase utilizanlasherramientasestudiadasenlaprimeraseccinparaelanlisisdelas fluctuacionesmorfolgicasdelasealdelECGaescalasdetiempomenoresaunlatido cardiaco;yporltimo,seanalizaalsistemacardiovascularcomounsistemadecontrol retroalimentadoapartirdelestudiodelasfluctuacionesdelafrecuenciacardiacalatidoa latido. Comoprimerresultadodelasmodificacionesyadaptacionesdeherramientasdelafsica estadstica para el anlisis de fluctuaciones en seales fisiolgicas, se propuso un algoritmo recursivoparalageneracindesecuenciasdelargoplazoderuidofractalapartirde secuenciasderuidoblancobasadoenladerivadafraccionaldeGrnwald-Letnikov.La calidaddelruidocorrelacionadoyanti-correlacionadoqueseobtienepormediodeesta tcnicaseevalaaplicandoelanlisisdefluctuacionesconremocindelatendencia (DFA). El DFA utiliza un polinomio de ajuste para remover la tendencia en cada una de las ventanasanalizadas.Bsicamente,esteprocedimientoactacomounfiltropasa-altosque remuevedelaseriedetiempolascomponentespordebajodeciertaescaladetiempo. Comosegundaaportacinsepropusounaalternativaalautilizacindelpolinomiode ajuste,queconsisteenlautilizacindefiltrospasa-altasdigitalesconvencionales(e.g., Butterworth,elptico,etc.)conloscualesseobtienenresultadossimilaresalosquese consiguenalutilizarelDFAtradicional.Estoconlaventajadequeexisten implementacioneseficientesycaracterizadasanalticamentedelosfiltrosdigtales propuestos. Unapresuncinderivadadelosmtodosestadsticosclsicosdeescalamientoesquela correlacinenlasseriesdefluctuacionessepresentasiempresinretardo.Peroestono ocurre en seales que se generan recursivamente. En stas se puede encontrar que presentan unacorrelacinmximaaunretardodiferentedecero.Conelobjetivoderecuperareste retardo mximo en las fluctuaciones en seales de tiempo con alta no estacionaridad (que es el caso de las biolgicas), se present una modificacin al DFA para explorar la existencia de correlaciones mximas a retardos diferentes de cero. A manera de ejemplo, el mtodo se aplica en el anlisis de seales tanto sintticas como naturales y se demuestra que el mtodo 2E. Rodrguez. Doctorado en Ciencias (Ingeniera Biomdica), octubre 2010 escapazderecuperarcorrelacionesmximasenlasfluctuacionesaretardosdiferentesde cero. ComosegundareadeexploracinsepropusolautilizacindelDFAenelanlisisdela seal cruda del ECG para obtener informacin sobre las dinmicas de la seal a escalas de tiempomenoresaladuracindellatidocardiaco(intralatido),mismasquepuedenser asociadas a los mecanismos electrofisiolgicos subyacentes de la generacin y propagacin del impulso cardiaco. Al aplicar el anlisis intralatido a individuos con ritmo sinusal normal yasujetosconinsuficienciacardiacacongestiva(CHF)engradosavanzadosseencontr queelexponentedeescalamientodelosindividuosconritmosinusalnormales significativamente menor, sugiriendo mayor irregularidad con respecto a los que presentan insuficienciacardiacacongestiva.Seproponeentoncesque,adiferenciadelanlisisRR, losvaloresdelexponentedeescalaobtenidosenestaaproximacinrespondenaprocesos fisiolgicos a nivel del tejido cardiaco ms que a diferencias en la regulacin cronotrpica autonmica.Estemismoenfoqueseutilizparaobtenerunacomprensingeneraldel comportamientodelasdinmicasintralatidodepacientesqueexperimentaronmuerte cardiacasbita.Seencontrquealigualquelospacientesconinsuficienciacardiaca congestiva,elexpontedeescalamientointralatidoestincrementadoconrespectoalos individuossanos,peroalmomentodepresentarselafibrilacinventricular,elvalordel exponentesedisparaloquesugierequelosmecanismossubyacentesdelafibrilacin ventricularpresentanunamayorregularidad.Tambinseaplicelanlisisintralatidoa registrosquepresentandiferentestiposdearritmias,encontrndosequelasealdeECG ademsdepresentarexponentesdeescalamientomayores(i.e.,msregulares)quelos individuos con ritmo sinusal normal, presentan dinmicas que se vuelven an ms regulares durantelosepisodiosdebigeminismo,taquicardiaventricular,fibrilacinauriculary fibrilacinventricular.Deloanteriorseproponequelosmecanismosquegeneranlas arritmiasmencionadasdisminuyenlariquezaenloscaminosdeconduccindelimpulso cardiaco,talvezproductodelosfenmenosderemodelamientoquesufreeltejido cardiaco,tantoanivelcelularcomodeestructuras,acausadelasdiversaspatologas presentes en los individuos que presentan estas arritmias. Lasrelacionesentrelafrecuenciacardiacayalgunosfenmenosinotrpicoshansido estudiadas ampliamente.Entre ellas, tal vez una de las ms explorada es la relacin entre la fuerzacontrctilylafrecuenciacardiaca(FFR),lacualsehaencontradoquees directamenteproporcionalparaelcasodelosindividuossanos,mientrasqueparalos individuosquepresentaninsuficienciacardiacocongestivaestarelacinesinversao inexistente.Siguiendoesterazonamiento,seanalizlarelacinentreelexponentede escalamientointralatidoylafrecuenciacardiaca.Paraloanteriorsecalcularonlos exponentes de escalamiento de la seal a travs del tiempo utilizando ventanas mviles y se relacionconlafrecuenciacardiacapromedioobtenidaencadaunadelasventanas.El anlisisanteriorseaplicnuevamenteaindividuosconritmosinusalnormalyaaquellos quepresentaninsuficienciacardiacacongestiva,encontrndosequeenlosindividuoscon ritmosinusalnormalelexponentedeescalamientoseincrementaconelaumentodela frecuenciacardiaca,mientrasqueenlosdeinsuficienciacardiacacongestivaese comportamientonosepresenta.Seproponequeelaumentoenelexponentede escalamiento al aumentar la frecuencia cardiaca en los individuos sanos podra reflejar una menor dispersin en el disparo de las fibras musculares, con lo cual se obtiene una mayor E. Rodrguez. Doctorado en Ciencias (Ingeniera Biomdica), octubre 20103 regularidadenlapropagacindelimpulsocardiaco,mientrasqueelcomportamiento ausente o inverso que muestran los individuos con insuficiencia cardiaca congestiva podra ser un indicativo de que la sincronizacin en el disparo y fuerza de las fibras no cambia o disminuyeproducto,quizs,delasfluctuacionesdiastlicasespontneasenlalongitudde los sarcmeras que terminan por disminuir la fuerza contrctil en el corazn. Enlatercerareadeexploracinseretomaelanlisisclsicodelasfluctuacionesdela frecuencia cardiaca latido a latido considerando al sistema cardiovascular como un sistema decontrolretroalimentado.Enunprimeracercamientosepropusolautilizacindela funcin deestructura paracuantificarlasfluctuaciones del ritmocardiaco,lo cual permite interpretaraestavariabilidadbajolosconceptosdeteoradecontrolretroalimentado. Comoseacostumbraenlateoradecontrolclsica,seutilizunametodologaenel dominiodelafrecuenciaparaobteneralgunasideassobrelosmecanismosquecontrolan lasdinmicasdelsistemacardiovascular.Elenfoqueanteriorseaplicaalestudiodelas fluctuaciones de la frecuencia cardiaca de individuos con ritmo sinusal normal durante las fases de sueo y vigilia y se compar con individuos con insuficiencia cardiaca congestiva avanzada. Bajo este enfoque se espera que el sistema cardiovascular se comporte como un sistemaretroalimentadorobustoyestable,porloquelaformadelafuncinde transferencia estimada debe reflejar una alta sensibilidad a las bajas frecuencias y una baja sensibilidad alasaltasfrecuencias.Seencontr quelarespuestaenfrecuencia dela HRV parasujetosjvenessaludablesmuestrauncomportamientoadecuadotantoenlas condiciones presentes durante lafase de sueo o nocturna como en la de vigilia. Mientras queparalossujetosconinsuficienciacardiacacongestiva,elrendimientosufreuna degradacin severa durante la fase de vigilia, principalmente en el rango de baja frecuencia donde se espera que acten las acciones regulatorias de control. Ademsdelarespuestaenfrecuencia,otrofactorimportanteparalaestabilidaddelos sistemas retroalimentados es el retardo, el cual limita el tiempo de respuesta y bajo algunas condicionespuedeprovocarcomportamientosinestables.Motivadoporloanterior,se propusoutilizaralDFA-retardadoquesedescribianteriormenteparaexplorarla existenciaderetardosenlaseriedefluctuacionesdelafrecuenciacardiacahumana relacionadasconlarespuestabarorrefleja.Elmtodoseaplicadenuevoaindividuoscon ritmosinusalnormalyapacientesquepresentanCHFavanzado,encontrndosequelos pacientesconCHFpresentanunmayorretardoquelosindividuosconritmosinusal normal.Seanalizanposiblesimplicacionesenelcomportamientodelsistema cardiovascularcausadasporunretardoinestableyprolongadoenlarespuestadel barorreflejobajounpuntodevistadeunsistemadecontrolretroalimentadorobustoy estable. E. Rodrguez. Doctorado en Ciencias (Ingeniera Biomdica), octubre 20105 Captulo 1 Introduccin general y objetivos Desdelosiniciosdelamedicina,lamedicin/evaluacindevariablesfisiolgicas (temperatura, pulso, sonidos respiratorios, etc.) ha sido una herramienta de utilidad para el diagnsticodeenfermedades.Graciasalosdesarrollosenlossensoresascomoenlos sistemasderegistro(primeroelectromecnicosyactualmentecomputarizados digitalmente),quepermitieronelaumentoenlaprecisinycapacidaddealmacenarel comportamientodeestasvariableseneltiempo,sepasdelamedicinestticaasu registro en el tiempo, obtenindose con esto seales fisiolgicas. Con el enfoque sistmico en la medicina, las seales fisiolgicas, adems de ser un medio de diagnstico,seconvirtieronenunafuente deinformacin paraelentendimientodelos procesosquelasgeneran.Ensusetapastempranas,losanlisisdelassealesfisiolgicas consistan en la evaluacin de la morfologa y sus desviaciones con respecto a la esperada comonormal,ascomoalamedicindealgunosdesusparmetros(amplitud,periodo, longitudes,etc.).Esteenfoque,aunadoalasmejorastecnolgicasymetodolgicas,sigue siendoextensamenteutilizado,porejemplo,enlosregistroselectrocardiogrficosy electroencefalogrficos. Actualmente han surgido una gran cantidad de propuestas basadas en los anlisis de largo plazo de las seales, donde en lugar de considerarse periodos cortos opocosciclosdelaseal,seconsiderantiemposmayores.Todoestoconlaayudade herramientasautomatizadas,comoporejemplolosmorfogramas(Bartschetal.,2005),o los anlisis en frecuencia con el mtodo de mxima entropa para la estimacin del espectro de potencia, utilizados en el anlisis de la variabilidad de la frecuencia cardiaca (TaskForce, 1996). Por la confluencia de otros campos del conocimiento (matemticas, fsica, ingeniera elctrica y teora de control) en la investigacin mdica, y el aumento de las capacidades de cmputo, las herramientas de anlisis de seales han pasado a tomar un lugar primordial en la medicina y ramas afines. 6E. Rodrguez. Doctorado en Ciencias (Ingeniera Biomdica), octubre 2010 Lasprimerasherramientasutilizadasparaelprocesamientodesealesfisiolgicasfueron tomadas del conjunto de mtodos utilizados en el anlisis clsico de seales, como son los conteos estadsticos clsicos y los anlisis espectrales. Estas herramientas poseen en comn la interpretacin de sus resultados, ya que se considera que los valores que puede tomar la sealsonindependientesonocorrelacionadoseneltiempo.Porelcontrario,existen herramientastomadasdelafsicaestadsticaqueasumenquelacorrelacin(dependencia de los valores en el tiempo) es precisamente la informacin que debe ser recuperada (e.g., anlisis fractales, reconstrucciones de atractores, etc.). Delprimergrupo(elmsantiguo)sehandesarrolladounagrancantidaddemtodos, muchos deloscuales tienenuna probadacapacidad diagnstica,comolosutilizadosenel anlisisdesealeselectroencefalogrficas(Nitishetal.,2004),electrocardiogrficas (Clifford et al., 2006) y electrogstricas (Chen et al., 1999). Elsegundo conjunto de herramientasha sido tomadodelasutilizadas paratratarsistemas complejos con interacciones no lineales utilizados en la fsica estadstica1. As, se parte del principiodequelosorganismosvivosestncompuestosdeestructurasyfunciones complejas,yquesusparmetrosnosonestablesyfluctaneneltiempo(e.g.,lapresin sangunea(Blaberetal.,1996)).Seconsideraqueelpatrndelasfluctuacioneses generadoporunsistemacomplejoymulticomponentequereaccionaaperturbaciones externasy/ointernas,ascomotambinalasaccionesdecontrolquemantienenenun estado particularalsistema,endondelaconstanciadelosparmetrosdelsistemareflejan unpuntodeoperacinadecuado(homeostasis).Noobstante,Goodwinensutrabajo 1 La fsica estadstica representa el esfuerzo de separarse de la abstraccin de la mecnica clsicaque trata con elementos muy simples y trata de acercarse a los fenmenos reales mucho ms complejos del mundo que nos rodea. Los objetos con los que trata la fsica estadstica son elementos concretos llamados sistemas, los cuales selesconsideracomplejosporqueposeenunagrancantidaddegradosdelibertad(estadosyvariables).La descripcincompletadeestossistemasapartirdelcomportamientoeinteraccindecadaunodesus elementosconstituyentes,oesextremadamentecomplicada(imposibleenlamayoradeloscasos)o simplementeinnecesaria.Porloanterior,serequieredeuntratamientoestadsticoopromediadopara derivar comportamientos y propiedades a partir del hecho de que no se conocen a detalle todos los elementos constituyentes.Muchosdeestossistemasademspresentancomportamientosemergentes,estoes, comportamientos que no se exhiben en lo individual y que por lo tanto son producto de la interaccin de un grannmerodeelementos.Pensadaoriginalmenteparatratarproblemasqueinvolucrabanunsinnmerode partculas(tomos,molculas,etc.)lafsicaestadsticapermitiderivarpropiedadesmacroscpicasapartir de un tratamiento estadstico del comportamiento microscpico, como fue el caso de la termodinmica. Pero an estos sistemas formados por un sinnmero de partculas, como lo son por ejemplolos gases confinados, siguen siendo simples si los comparamos con sistemas mucho ms complejos como lo son los climticos, los biolgicosolosquecontemplanprocesosdeturbulencia.Paraestosltimos,enlamayoradeloscasosel tratamientoestadsticoexplicadopreviamentenoesaplicableoesextremadamenteelaboradoparapoder entenderlos.Porloanterior,paraestudiarestossistemassehandesarrolladomodelosyherramientas,quea diferenciadeltratamientoestadsticoquepartedelaspropiedadesindividualeshacialasgenerales,estas herramientas toman propiedades globales y a partir de all tratan de inferir las caractersticas generales de las relaciones dinmicas entre los elementos constituyentes, como su interaccin lineal o no lineal, estocstica o catica a travs de la estimacin de ndices o indicadores globales.Este ltimo conjunto de herramientas se hautilizadoparatratardeganarconocimientosobrelossistemasbiolgicos,yaqueguardancierto paralelismoconlossistemasfsicoscomplejos,comosonladeestarformadosporunagrancantidadde componentesqueinteractandemanerasnoconocidasyladequeapesardelenormeconocimientoquese tiene a niveles micro, no siempre es posible derivar a partir de all el comportamiento del sistema completo a nivel macro (Wannier, 1966). E. Rodrguez. Doctorado en Ciencias (Ingeniera Biomdica), octubre 20107 Temporalorganizationanddisorganizationinorganisms(Goodwin,1997)proponeuna interpretacin ms acorde a los descubrimientos de los ltimos 25 aos: la homeodinmica. En lugar de hablar de un punto de operacin esttico propone que los parmetros presentan patrones robustos pero elaborados de ritmos jerrquicamente anidados, donde estos cubren varios rdenes de magnitud en el dominio de la frecuencia;y que sta irregularidad (mayor alaesperadadesdeelpuntodevistadelahomeostasisclsica)sugierelaexistenciade generadorescaticos,opatronescomplejosdesistemasqueinteractanadiferentes frecuencias o con diferentes tiempos de respuesta (i.e. retardos), o inclusive ambos. Esto es consistenteconlavisindelcomportamientodelosorganismosvivoscomosistemas complejos adaptivos. La diferencia entre los dos enfoques es bsicamente la interpretacin queseledaalruidoquepresentaelparmetroalrededordelpuntodeoperacin.Enla homeostasisclsica,seasumequeelparmetrodebeserfijadoporelorganismoenun puntodeoperacin(i.e.,media)ylasfluctuacionesdeesevalorsonvistascomoruido que puede ser descartado, mientras que bajo el segundo enfoque el ruido es producto de la interaccin de los sistemas y por lo tanto es una fuente de informacin importante sobre sus estructuras y esquemas de cooperacin (Buchman, 2002). As,laformadeabordarlacomprensindeestosfenmenospuederealizarsededos maneras:i)Unaaproximacinreduccionista(i.e.,quefragmentaalgoensuspartes constituyentes)en la cual se plantea la descomposicin del sistema en elementos con una o variasfuncionesespecficas,seplanteanlasinteraccionesentreloscomponentes,ypor ltimosetratadereproducirloscomportamientosregistrados.(ii)Unenfoqueintegrador, dondeapartirdelabsquedadepatronesenlasfluctuacionesdelosparmetrosbajo control trata de inferir el o los esquemas de control subyacentes. Los dos enfoques no son mutuamente excluyentes y en muchos casos son complementarios (Goodwin, 1997). Elanlisisdelacomplejidaddelasfluctuacionespuedetenerdosaproximacionesno excluyentes:lafractalylacatica(Bassinghwaighteetal.,1994).Lafractalplantea encontrarenlosregistrosdelasfluctuacionesdelassealesfisiolgicaslapresenciadecaractersticasdeinvarianciaalaescalayauto-similaridad,ascomosuinterpretacin comofenmenosdecorrelacinymemoriaproductodeungrannmerodeinfluencias dbiles. Por su parte,el enfoque catico propone que las fluctuaciones son producto de la interaccinfuertedeterminsticanolinealdepocoselementosyproponeencontrarel conjuntomnimodeecuacionesdiferencialessimplescapacesdereproducirlasdinmicas errticasyaparentementealeatoriasdelasseriesdetiempo.Seconsideraalosdos enfoquescomocomplementarios,elcaticopuedeexplicarlarobustezyestabilidadde corto plazo y el estocstico los fenmenos de correlacin a grandes escalas. Enlosltimos20aosmsdemilestudiossehanpublicadoutilizandolosmtodos fractalesparaanalizarlasfluctuacionesenlassealesfisiolgicas(Ekeetal.,2002), teniendocomoobjetivolaextraccindeinformacindelasfluctuacionesirregulares, aparentementealeatorias,alrededordeunpuntodeoperacindelparmetroobservadode un sistema controlado. Laaplicacindemtodosfractalesenlainvestigacinbiomdicaparecehaberpermitido unanuevacomprensindelassealesconpatronescomplejosgeneradasporlossistemas fisiolgicos. Estos estudios han demostrado que (Eke et al., 2002):8E. Rodrguez. Doctorado en Ciencias (Ingeniera Biomdica), octubre 2010 -sepuedeencontrarunaestructuratemporalfractaldetrsdefluctuaciones aparentementealeatorias en un diverso nmero de parmetros fisiolgicos;-unasolamedidadeestaestructuracomplejapuededescribirlacomplejidado irregularidad de las fluctuaciones;-que este parmetro es sensible a perturbaciones del sistema tales como la actividad, el envejecimiento y las enfermedades. El objetivo del anlisis fractal de series en el tiempo es identificar la presencia de una o ms delassiguientescaractersticasfundamentales:auto-similaridad(oauto-afinidadpara seales fisiolgicas), relaciones con forma de ley potencia, e invariancia en escala (Eke et al.,2002).Elanlisisfractalnopuederealizarsesinunanocinaprioridelmodeloque incorporelascaractersticasesencialesdelolosprocesossubyacentes.Laherramienta analticadeberdeescogerseentoncesdeacuerdoalmodelopropuesto.Losmtodos fractales son diversos, pero tienen en comn que utilizan la ecuacin cs p =para ajustar el modelopropuestoapartirdelarelacinlog-caracterstica ( ) pversuslog-escala( ) S , encontrndose el exponente de escala a partir de la pendiente de la regresin. La hiptesis detrabajoesquedetrsdelasfluctuacionesdeunasealcomplejayaparentemente aleatoria se pueden encontrar mecanismos invariantes en el tiempo que pueden ser descritos a travs de un nmero pequeo de parmetros, como . En la literatura, el trmino series de tiempo fractales generalmente se refiere a una seal temporalfractal simple o monofractal. Porel contrario, las series de tiempomultifractales son heterogneas, solo son auto-similares en intervalos locales de la estructura; por lo que deben ser caracterizadas por un conjunto de mediciones fractales locales (Bassinghwaighte andRaymond,1995;Ivanovetal.,1999b).Esteltimomodelotambinhasido ampliamente utilizado para estudiar seales fisiolgicas. De las herramientas de anlisis no lineal que nos provee la fsica estadstica para el estudio delacomplejidadenlasfluctuaciones,enelpresentetrabajodecidimosenfocarnosalas fractales,enespeciallasquesonutilizadaseneldominiodeltiempo,debidoaquese consideraqueestemodeloestocsticoexplicadeunamaneraadecuadalasfluctuaciones quesepresentanenlassealeselectrocardiogrficas(KantzandSchreiber,1998).stas presentancaractersticas de noestacionaridad2,aperiodicidad ydependenciaeneltiempo (memoria y correlacin). Otra ventaja de estas herramientas es que son poco sensibles a la amplituddelaseal,loquenospermitecomparardossealescondiferentesamplitudes considerandosolamenteelcomportamientoestadsticodesucorrelacin(Kantzand Schreiber,1998).RecientementeSassietal.(2009)proponenqueunacercamiento multifractalesadecuadoparamodelarlavariabilidadcardiacayquepuederetenerlas principales caractersticas de las fluctuaciones en la frecuencia del ritmo cardiaco. 2 Aunque el trmino estacionaridad no existe oficialmente en el idioma espaol (consulta al diccionario de la Real Academia de la Lengua Espaola va Internet el 30 de agosto del 2010), ste se utiliza frecuentemente en la jerga tcnica (traduccin del ingls stationarity) por lo que para evitar confusiones se eligi su uso en este texto en lugar de estacionalidad, el cual se vincula comnmente a las estaciones del ao.E. Rodrguez. Doctorado en Ciencias (Ingeniera Biomdica), octubre 20109 Enlapresenteinvestigacinseexplorantresgrandeslneastemticas.Enlaprimerase expone el trabajo realizado en la extensin y especializacin de herramientas de anlisis de fluctuaciones. Estos trabajos fueron de gran utilidad para la exploracin y comprensinde las tcnicas de anlisis de fluctuaciones, principalmente en el anlisis de fluctuaciones con remocindelatendencia(DFA),elcualseaplicaampliamentealolargodeltrabajo.La segundalneatemticatratasobreelanlisisdelafluctuacionesaescalasdetiempo menoresaladuracindellatidocardiaco,teniendocomopropuestaprincipalqueeste anlisis es el reflejo de fenmenos distintos a los que se relacionan con la variabilidad de la frecuencia cardiaca clsica (i.e., a escalas mayores a la duracin del latido cardiaco), y por lo tanto puede constituirse como una fuente de informacin importante e independiente de laqueproveeestaltima.Comoterceralneatemticaseretomaelanlisisdela variabilidad de la frecuencia cardiaca, dndole un fuerte enfoque de teora de control, por lo que se estudia al sistema cardiovascular como un sistema retroalimentado. A la informacin queseobtienedelanlisisdelosfluctuacionesseledaunainterpretacinentrminosde posiblesindicadoresdelestadodelsistemaenreferenciadeloqueseesperaraenun sistema de control estable y robusto, como son la respuesta en frecuencia y el retardo. 10E. Rodrguez. Doctorado en Ciencias (Ingeniera Biomdica), octubre 2010 1.1 Objetivos General Estudiar, extender y mejorar algunas herramientas de la fsica estadstica para el estudio de lacomplejidadensealesfisiolgicasyutilizarestasherramientasenelestudiodela fluctuaciones cardiacas, tanto a nivel interlatido (esquema clsico), como a nivel intralatido con el fin de mejorar el entendimiento sobre las dinmicas de los fenmenos involucrados enlavariabilidadcardiovascular,ascomosuposibleusocomodiscriminanteentre diferentes dinmicas o condiciones cardiovasculares. Particulares -Estudiarycaracterizarelmtododeanlisisdefluctuacionesconremocindela tendencia (DFA) para su uso en el estudio de seales fisiolgicas.-Especializar el DFA para el estudio de la variabilidad cardiaca a escalas temporales menores a la duracin de un latido (intralatido). -Utilizar el DFA para la caracterizacin de las seales entre individuos considerados sanos, e individuos con insuficiencia cardiaca congestiva desde el punto de vista de control retroalimentado. -Utilizarlosenfoquesintralatidoeinterlatidoparalacaracterizacindelasseales entreindividuosconsideradossanoseindividuosconinsuficienciacardiaca congestiva desde el punto de vista de cambios en la complejidad de los patrones de propagacin del los potenciales en el tejido cardiaco. 1.2 Descripcin del trabajo El presente trabajo se divide en tres grandes reas temticas: i) anlisis y adaptacin de las herramientasparaelestudiodelaspropiedadesdeescalamiento,ii)elanlisisdelas fluctuacioneselectromorfolgicascardiacasaescalasdetiempomenoresaunlatido cardiaco y por ltimo iii) el anlisis del sistema cardiovascular como un sistema de control retroalimentado a partir del estudio de las fluctuaciones del ritmo cardiaco. A cada una de estostemasselesasignauncaptuloporseparado.Porltimosepresentaunaseccinde conclusiones generales y propuestas de trabajo futuros. A su vez, cada uno de los captulos se subdividen en una introduccin general y secciones, stasltimascorrespondencadaunaensumayoraaunartculopublicado,porloquesu estructura guarda en gran medida la del artculo original, con algunas modificaciones para darlefluidezaldocumentoyevitarredundancias,principalmenteenlasseccionesde introduccindecadaseccin.Enlaintroduccingeneraldecadacaptuloseexponenlos conceptos necesarios que le permitan al lector un acercamiento sucinto a los temas tratados, pero su lectura puede evitarse en caso de que no se requiera. A continuacin se da una descripcin detallada del contenido de cada uno de los captulos y secciones que lo conforman. E. Rodrguez. Doctorado en Ciencias (Ingeniera Biomdica), octubre 201011 Captulo 2: Anlisis y adaptacin de las herramientas para el estudio de las propiedades de escalamiento. Enestecaptuloseproponenmodificacionesalmtododeanlisisdefluctuacionescon remocin de la tendencia (DFA) y un mtodo para generar ruido fraccional a partir de ruido blanco.Enlaintroduccinserevisanlosconceptosprincipalessobrelastcnicasparala estimacindelascorrelacionesdelargoalcanceysepresentademaneradetalladael mtododeanlisisdefluctuacionesconremocindelatendencia(DFA),elcules utilizadoampliamenteenlaobtencindelosresultadosquesereportanalolargodeeste documento. Seccin 2.1 Generacin de ruido fractal1 f oa partir de la frmula de Grnwald-Letnikov (Rodrguez et al., 2009a). Elruido1 f o(i.e.,impulsivoofractal)sepresentaenlasdinmicasdemuchos sistemas fsicos, desde electrnicos y geofsicos hasta en finanzas y flujo del trfico automotriz. Su importancia radica en sus propiedades de invariancia a la escala, las cuales parecen reflejar un comportamiento ubicuo en la naturaleza. En esta seccin se presenta un algoritmo recursivo para la generacin desecuencias de largo plazo deruidofractal1 f pormediodelaintegracin/diferenciacinfraccionaldeuna seal de ruido blanco. La calidad que se obtiene por medio de esta tcnica del ruido correlacionado y anticorrelacionado es evaluada aplicando el DFA. Seccin 2.2 DFA basado en filtros pasa altos (Rodriguez et al., 2007b). En esta seccin se presenta una modificacin al mtodo del anlisis de fluctuaciones conremocindelatendencia(DFA).ElDFAutilizaunpolinomiodeajustepara removerlatendenciadecadaunadelasventanas,loquepermitecuantificarlas fluctuaciones a diferentes escalas de tiempo. Bsicamente, este procedimiento acta comounfiltropasa-altos(nodinmico)queremuevedelaseriedetiempolos componentes por debajo de cierta escala de tiempo. En esta seccin se presenta una alternativa a la utilizacin del polinomio de ajuste, que consiste en la utilizacin de filtrospasa-altasdigtalesconvencionales(e.g.,Butterworth,elptico,etc.).stos generanresultadossimilaresalDFAtradicionalconlaventajadequeexisten implementacioneseficientesdelosfiltrosdigtalespropuestos,quesobretodo pueden ser caracterizados. Seccin 2.3 Utilizando DFA para el anlisis de correlaciones retardadas de seales no estacionarias (Alvarez-Ramirez et al., 2009b). Unapresuncinderivadadelosmtodosestadsticosclsicosdeescalamientoes que la correlacin en las series de fluctuaciones se presenta siempre sin retardo. Esto es, se asume que las correlaciones se debernencontrar con retardos cero debido a quelafuncindecorrelacinesmontonanodecrecienteypositivadefinidacon respecto al retardo. Pero esto no ocurre en funciones que se generan recursivamente. Enstassepuedeencontrarquepresentanunacorrelacinmximaaunretardo diferentedecero.AqusepresentaunamodificacinalDFAparaexplorarla 12E. Rodrguez. Doctorado en Ciencias (Ingeniera Biomdica), octubre 2010 existenciadecorrelacionesmximasaretardosdiferentesdecero.Bsicamente consisteenelmismomtodoqueelDFA,perosteseaplicasobrela autocorrelacinretardada.Seobtieneelexponentedeescalamientoadiferentes retardos y se elige el retardo al que la correlacin es mayor. A manera de ejemplo el mtodo se aplica tanto a seales sintticas como naturales. Captulo3:Anlisisdelasfluctuacionesmorfolgicascardiacasaescalasdetiempo menores a un latido cardiaco. Enestecaptuloseexploraelusodeherramientasdeanlisisdesistemasnolinealesal estudio de la seal del electrocardiograma a escalas menores a las de un latido cardiaco. Se propone la utilizacin del DFA en la seal cruda del ECG para obtener informacin sobre las dinmicas de la seal, y porendealosmecanismoselectrofisiolgicossubyacentesen su generacin, a escalas de tiempo menores a la duracin del latido cardiaco. Seccin3.1Anlisisdefluctuacionesconremocindelatendenciadelas dinmicas intralatido (Rodriguez et al., 2007a). Tomandocomobaselasealdelelectrocardiogramaoriginal(adiferenciadel anlisisclsicosobrelosintervalosRR),seproponelautilizacindelDFApara estudiar la dinmica de la seal a escalas de tiempo menores a la duracin promedio dellatidocardiaco.Alaplicarelanlisisintralatidoseencuentrandiferencias significativasentreindividuosconritmosinusalnormalylosquepresentande insuficienciacardiacacongestiva(CHFporsussiglaseningls,congestiveheart failure)engradosavanzados(NIHAIIIyIV).Seproponeque,adiferenciadel anlisisRRconvencional,losvaloresdelexponentedeescalaobtenidosenesta aproximacin responden a procesos fisiolgicos a nivel del tejido cardiaco ms que a diferencias en la regulacin cronotrpica autonmica. Seccin3.2Fractalidadenpacientesquepresentanfibrilacinventricular (Rodriguez et al., 2009b). Elenfoquedelaseccin2.1seutilizaparaobtenerunacomprensingeneraldel comportamientodeladinmicadepacientesqueexperimentaronmuertecardiaca sbita.Seencontrquealigualquelospacientesconinsuficienciacardiaca congestiva,elexpontedeescalaintralatidoestincrementadoconrespectoalos individuos sanos, pero al momento de presentarse la fibrilacin ventricular, el valor delexponentesedispara,loquesugierequelosmecanismossubyacentesdela fibrilacin ventricular presentan una mayor regularidad. Seccin3.3PropiedadesdeescalamientodelECGdearritmiascardiacas utilizando anlisis de fluctuaciones con remocin de la tendencia (Rodriguez et al., 2008). Seaplicelmismoprocedimientodelassecciones2.1y2.2aregistrosque presentan diferentes tipos de arritmias, encontrndose que la seal de ECG adems depresentardinmicasmenosaleatoriasquelosindividuosconritmosinusal E. Rodrguez. Doctorado en Ciencias (Ingeniera Biomdica), octubre 201013 normal (similares a los individuos que presentan CHF), presentan dinmicas que se vuelvenanmsregularesdurantelosepisodiosdebigeminismo,taquicardia ventricular, fibrilacin auricular y fibrilacin ventricular. De lo anterior se propone quelosmecanismosquegeneranlasarritmiasmencionadasdisminuyenlariqueza enloscaminosdeconduccindelimpulsocardiaco,talvezproductodelos fenmenosderemodelamientoquesufreeltejidocardiaco,tantoanivelcelular como de estructuras, a causa de diversas patologas presentes en los individuos que presentan las arritmias. Seccin 3.4 Anlisis del ECG normalizado y su relacin con la frecuencia cardiaca.Con el fin de reducir las posibles influencias de los cambios en el ritmo cardiaco y enfocarsealoscambiosmorfolgicosalanalizarelECGcompleto,seproponeun pre-proceso de la seal delECG que remuestrea la seal y junto con su tacograma sesintetizaunasealdeECGdondeladuracindecadaciclopresentalamisma longitud. Se obtuvieron resultados similares a los de la seccin 2.1 sobre los mismos casos,porloqueserefuerzalapropuestadequeelexponentedeescalamiento intralatidoproveeinformacindiferentealanlisissobrelavariabilidadRR. Posteriormente se obtienen los exponentes de escala de la seal a travs del tiempo utilizandoventanasmvilesyserelacionaconlafrecuenciacardiacapromedio obtenidaencadaunadelasventanas.Elanlisisanteriorseaplicnuevamentea individuosconritmosinusalnormalyaaquellosquepresentaninsuficiencia cardiacacongestiva, encontrndose queen losindividuos con ritmo sinusal normal elexponentedeescalamientoseincrementaconelaumentodelafrecuencia cardiaca, mientras que en los insuficiencia cardiaca congestiva ese comportamiento puede ser inverso o no presentarse. Se propone que las diferencias encontradas entre losindividuossanosdeaquellosquepresentanCHFpuedenestarrelacionadacon losmismosmecanismosinvolucradosenlamuyconocidarelacinfuerza-frecuencia (FFR), que para el caso de los individuos sanos, cuando se incrementa la frecuenciacardiacatambinseincrementalafuerzacontrctilgeneralmenteen trminos lineales; mientras que para los CHF esta relacin es inversa o inexistente. Captulo4:Anlisisdelsistemacardiovascularcomounsistemadecontrol retroalimentadoapartirdelestudiodelasfluctuacionesdelafrecuenciacardiacalatidoa latido. Seccin 4.1 Anlisis de las dinmicas de la variabilidad de la frecuencia cardiaca duranteelsueoylavigiliadesdeelpuntodevistadesistemasdecontrol retroalimentados (Alvarez-Ramirez et al., 2005b). Enestaseccinseestudiaalgunascaractersticasdelasfluctuacionesdela frecuenciacardiacadeindividuosconritmosinusalnormaldurantelasfasesde sueo y vigilia. Se utiliza la funcin de estructura para cuantificar las fluctuaciones del ritmo cardiaco, lo cual permite interpretar a esta variabilidad bajo los conceptos deteoradecontrolretroalimentado.Comoseacostumbraenlateoradecontrol clsica,seutilizaunametodologaeneldominiodelafrecuenciaparaobtener algunasideassobrelosmecanismosquecontrolanlasdinmicasdelsistema 14E. Rodrguez. Doctorado en Ciencias (Ingeniera Biomdica), octubre 2010 cardiorrespiratorio.SeencontrquelarespuestadelaRRparasujetosjvenes saludablesmuestraunrendimientoadecuadotantoenlascondicionespresentes durantelafasedesueoonocturnacomoladevigilia(actividadfsica).Paralos sujetosenfermosconinsuficienciacardiacacongestiva,elrendimientosufreuna degradacinseveraprincipalmenteenlascondicionesdebajafrecuenciadondese espera que acten las acciones regulatorias de control. Con respecto a los efectos del envejecimientoparalossujetossanos,seencontrqueelprincipalefectoesun deteriorodelacapacidadderespuestaparaelrangodelasbajasfrecuenciasyun incrementoenlarespuestaenelrangomediodefrecuenciasdurantelavigilia. Desdeelpuntodevistadecontrolretroalimentadosepodraimplicarqueel envejecimientoreducelacapacidadregulatoriadelsistemacardiovascularfrentea lasperturbacionesexternas(e.g.,actividadfsica).Esteresultadosugierequepara una evaluacin adecuada del funcionamiento cardiovascular se deber de comparar la respuesta de la RR durante ambas fases de sueo y vigilia. Seccin4.2Efectosdelosretardosenlasdinmicasdellatidocardiacohumano (Alvarez-Ramirez et al., 2009a). Comosehamencionado,elritmocardiaconormalenhumanospresenta fluctuacionescondinmicasirregularesynoestacionarias.Dadoquediversos factoresintrnsecosyextrnsecosafectanestasfluctuaciones,esdifcilmediro determinar la influencia autonmica en el ritmo sino auricular (SA) en forma nica. Lo anterior es una limitacin en el uso de los ndices derivados de las fluctuaciones del ritmo cardiaco como fuente de informacin clnica relevante. En este captulo se proponeutilizarDFA-retardadopropuestoenlaseccin1.3paraexplorarla existencia de retardos en la serie de fluctuaciones de la frecuencia cardiaca humana relacionadasconlarespuestabarorrefleja.Elmtodoseaplicadenuevoa individuosconritmosinusalnormalyapacientesquepresentaninsuficiencia cardiacacongestivaavanzada,encontrndose quelos pacientescon CHFpresentan un mayor retardo que los individuos con ritmo sinusal normal. Se analizan posibles implicacionesenelcomportamientodelsistemacardiovascularcausadasporun retardo inestable y prolongado en la respuesta del barorreflejo bajo un punto de vista de un sistema de control retroalimentado robusto y estable. E. Rodrguez. Doctorado en Ciencias (Ingeniera Biomdica), octubre 201015 Captulo 2 Anlisis y adaptacin de las herramientas para el estudio de las propiedades de escalamiento De las herramientas de anlisis no lineal que nos provee la fsica estadstica para el estudio delacomplejidadenlasfluctuaciones,decidimosenfocarnosenlasfractales,enespecial lasquesoneneldominiodeltiempo,debidoaqueseconsideraqueestemodelo estocstico para explicar de una manera adecuada las fluctuaciones que se presentan en las sealeselectrocardiogrficasyapropiadoparatratarconlascaractersticasdeno estacionaridad,aperiodicidadydependenciaeneltiempo(memoriaycorrelacin) comunes en estas seales. Enestecaptuloseproponenmodificacionesalmtododeanlisisdefluctuacionescon remocin de la tendencia (DFA) y un mtodo para generar ruido fraccional a partir de ruido blanco.Enlaintroduccinserevisanlosconceptosprincipalessobrelastcnicasparala estimacindelascorrelacionesdelargoalcanceysepresentademaneradetalladael mtodo del DFA, el cul es utilizado ampliamente en los resultados que se reportan en otros captulos de este documento. Enlaseccin2.2sepresentaunalgoritmorecursivoparalageneracindesecuenciasde largaduracinderuidofractal1 fopormediodelaintegracin/diferenciacinfraccional de una seal de ruido blanco. La calidad que se obtiene por medio de esta tcnica del ruido correlacionado y anticorrelacionado es evaluada aplicando el DFA. 16E. Rodrguez. Doctorado en Ciencias (Ingeniera Biomdica), octubre 2010 Como se mencion, el DFA es un mtodo de escalamiento de uso comn para detectar las correlaciones de gran alcance en series de tiempo no estacionarias. El mtodo del DFA para extraer y cuantificar las fluctuaciones a diferentes escalas de tiempo elimina una tendencia queseobtieneapartirdeunajustepolinomialenlaventanadeanlisis.Bsicamente,el procedimiento acta como un filtro pasa-altas, el cual remueve las componentes de la serie detiempopordebajodeunaescaladetiempodada.Enlaseccin2.3seproponeun mtodobasadoenfiltrospasa-altas(e.g.,Butterworth,elptico,etc.),claramente caracterizados y de uso amplio, como una alternativa a la utilizacin del ajuste polinomial. Los resultados numricos muestran el mtodo de DFA basado en filtros pasa-altas produce resultadossimilareslosdelDFAtradicional.Posiblemente,lasprincipalesventajasdel mtododelDFApropuestoenestaseccinesqueseencuentrandisponiblese implementaciones muy eficientes de los filtros pasa-altas y la caracterizacin analtica de su comportamiento es completa. Una presuncin heredada de los mtodos estadsticos clsicos es que en las series de tiempo lascorrelacionesdeescalamientosepresentansiempresinretardo.Estoes,seasumeque lascorrelacionesdebendeencontrarsearetardocerodebidoaquelacorrelacinesuna funcinmontona,noincrementalypositiva-definidadelretardo.Peroloanteriornose cumpleparaseriesdetiempoquesegeneranrecursivamenteporunprocesoestocstico auto-afndelaforma ( , ,...), 1i i ix x xu u1=u u> .Enestecaso,laseriedetiempo{ }ix deber presentarunacorrelacinmximaalretardou.Enlaseccin2.4seproponeunmtodo basadoenelDFAparaestudiarlascorrelacionesretardadasparaseriesdetiempono estacionarias. El propsito es mostrar la correlacin de mayor valor que puede encontrarse a retardos positivos. A travs de ejemplos reales se muestra el comportamiento del mtodo del DFA retardado. Acontinuacinsedescribenalgunosdelosmtodosdeanlisisparaestudiode correlacionesdegranalcanceenseriesdetiempodecomportamientoaparentemente aleatorio por medio de la obtencin delexponente de escalamiento. Se revisa los mtodos eneldominiodelafrecuenciaconelfindeindicarsusprincipalescaractersticasy limitacionesparaelestudiodesealesfisiolgicas.Despusserevisanlosdiferentes conjuntosdemtodosfractales,yentreestosltimossedaunadescripcindetalladadel mtodopropuestoporPengetal.(1994)anlisisdefluctuacinconremocindela tendencia (DFA por sus siglas en ingls) de la que se propone ampliamente su adecuacin y uso en este documento. Mtodos en el dominio de la frecuencia Losmtodoseneldominiodelafrecuenciasonaquellosquesebasanenlaestimacino clculodelafuncindedensidadespectral.Elanlisisespectralesunatcnicaque descompone una serie de tiempo (asume que es peridica) en componentes sinusoidales de diferentesfrecuenciasyfases.Laamplitudovarianzaasociadaconcadacomponenteen frecuencia es conocida como densidad espectral estimada. La transformada de Fourier es un mtodo analtico que permite obtener de cualquier serie de tiempo peridica un conjunto de seales sinusoidales puras a diferentes frecuencias. La suma algebraica de las componentes E. Rodrguez. Doctorado en Ciencias (Ingeniera Biomdica), octubre 201017 sinusoidales(considerandosufase)obtenidasatravsdelatransformadadeFourier reproduce en forma exacta la serie de tiempo peridica original. Noobstantequeelteoremadedescomposicinespectralesmuysimple,suaplicacina seales fisiolgicas puede ser limitada. La funcin de descomposicin espectral separa las seriesdetiempoencomponentesdeondassinusoidales,cadaunaconunaamplitud proporcionalalavarianzaqueseestimaenlaserieoriginal.Cuandolassealessonuna sinusoide pura o lasuma de sinusoidales puras (si bien no son distinguibles al observar la grfica de la seal) la descomposicin espectral trabaja adecuadamente, la transformada de Fourier es capaz de identificar perfectamente la frecuencia y amplitud de las componentes peridicas(bajoloslmitesdelatcnica).Considerandoquelaactividadfisiolgicaes desarrollada por sistemas complejos auto regulados,que son capaces de procesar entradas con rango amplio de caractersticas (Shlesinger, 1987;Malik and Camm, 1995) que tiene comoresultadoquevariasseriesdetiemposeanextremadamentenohomogneasyno estacionarias3(susvariablesestadsticasnosonconstanteseneltiempo),fluctuandode maneracomplejaeirregular.Alaplicarladescomposicinespectralalasseales fisiolgicas como las caractersticas de las descritas, se presentarn entonces componentes en bajas frecuencias que corresponden a las tendencias y a la actividad no peridica lenta, componentes en altas frecuencias para los harmnicos de los procesos peridicos, as como los componentes de alta frecuencia de los procesos no peridicos. Por el efecto anterior, al analizarsealesfisiolgicas,lospicosenfrecuenciadetectadoslastcnicasespectrales puedennocorresponderaprocesosfisiolgicosrealmenteperidicos.Enconclusin,para que los mtodos espectrales lleven a resultados con algn sentido, es necesario que la seal sea estacionaria y los datos no presenten superposicin espectral (Porges, 1998). Anlisis fractal de series de tiempo Comosemencionanteriormente,conlasherramientasfractalessepuedeobtener informacinimportanteenlaformadeexponentesdeescalaparadiferentesventanasde tiempo. Para la obtencin del exponente de escala existen tres conjuntos de mtodos: en el dominio del tiempo, en el dominio de la frecuencia y tiempo-frecuencia (tiempo-escala) (Eke et al., 2002). Mtodos en el dominio del tiempo Sedicequeseutilizaunmtodoeneldominiodeltiemposielanlisisdeunaseriede tiempo se realiza sin que se le aplique ninguna transformacin previa (Eke et al., 2002). El objetivo principal es la identificacin de las dependencias estadsticas de los elementos de laseriedetiempo,adiferenciadelaestadsticadescriptivaendondeseconsideraalos 3Unprocesoestacionarioesunprocesoestocsticocuyadistribucindeprobabilidadenuninstantede tiempo o una posicin determinada es la misma para cualquier instante o posicin. Por lo que parmetros tales comolamediaylavarianzauotrosmomentosestadsticosnovaranalolargodeltiempoolaposicin (Shiryaev, 1996). 18E. Rodrguez. Doctorado en Ciencias (Ingeniera Biomdica), octubre 2010 valores de la serie de tiempo como muestras independientes (i.e., que no existe dependencia temporal entre ellos) y provee medidas como la media, la desviacin estndar, etc. Una propiedad fundamental que se debe de considerar al analizar seales fisiolgicas es la estacionaridad, debido a que sta, ya sea que se presente o no, dar lugar a la necesidad de utilizar tratamientos diferentes. Existen varias formas de caracterizar las series de tiempo de fenmenos naturales desde el puntodevistafractal.EntreellastenemosladimensinfractalD,lacualesunvalor estadstico que nos indica que tanto parece que un fractal llenael espacio a medida que se consideranescalascadavezmspequeas,estamedidaesasociadafrecuentementeala rugosidad de la seal, y el exponente de Hurst, una medida de la dependencia o memoria de largo plazo. Cualquiera de los dos fenmenos (rugosidad o memoria) pueden ser modelados y explicados por funciones aleatorias autoafines, tales como elruido fraccional Gaussiano (fGn)o el ruido fraccional Browniano (fBm). La presuncin de auto-afinidad4 implica que hay una relacin lineal entre la dimensin fractal y el exponente de Hurst (Eke et al., 2002). Paraprocesosauto-afines,laspropiedadeslocalessevenreflejadasenlasglobales, resultando la relacin1 D H n + = + , dondeD es la dimensin fractal,Hes el exponente deHurstyn esladimensindelasuperficie.UnasealfBmesnoestacionariacon incrementosestacionarios.Lassealesfisiolgicassepuedenconsiderargeneralmente comonoestacionarias.UnasealfBmx,esauto-afnsielsegmentodemuestreo n ix,de longitudn esigualendistribucinaunsegmentodelongitudmayor sn ix,cuandoes reescalado (multiplicado por Hs).Esto significa que cada medida estadstica nmde una serie de tiempo fBm de longitudnes proporcional a Hn5. sn iHd n ix s x, ,= Hn dm pn =se obtienelog log logn dm p H n = + 4 Se dice que un fractal es exactamente auto-similar cuando se toma un segmento, se escala y este es idntico a uno de mayor tamao o al objeto completo. Si sta auto-similitud (del ingls self-similarity) slo se presenta en parte de un muestreo estadstico de alguna caracterstica de un objeto a diferentes escalas se dice que es un fractalestadstico.Adicionalmentelosobjetosauto-similaressonisotrpicos;estoes,elescalamientoes idnticoencualquierdireccin.Sisedeseaprobarlapropiedaddeauto-similaridadesnecesarioquelos segmentosdelobjetoseagrandenuniformementeentodaslasdirecciones.Losobjetosautoafinestambin sonfractalesperosuescalamientoesanisotrpico,estoes,lasproporcionesentrelossegmentosagradados sondiferentesadireccionesdistintas.Formalmenteentonceslassealesfisiolgicassonestructuras temporales auto-afines porque las unidades de amplitud generalmente no es el tiempo (Eke et al., 2002). A los procesosestocsticosquegeneransealesconpropiedadesdeauto-afinidad(delinglsself-affinity)seles llama procesos estocsticos auto afines. Se definen como:Un proceso estocstico( ) { }, X t t T eque comienza en el origen es un proceso auto-afn si:0 0 a b > - >tal que( ) { } ( ) { }: , X at bX t t t at T ~ ey tiene un exponente de auto-afinidadH ( ) { } ( ) { }0 : ,Ha X at a X t t t at T > ~ e5Enlas seriesdetiempo estudiadasaqu se considerala auto-afinidaddelvalor razcuadrticomedio delas fluctuaciones de la seal cuando sta se escala en el tiempo o nmero de muestras. E. Rodrguez. Doctorado en Ciencias (Ingeniera Biomdica), octubre 201019 DondeHes el coeficiente de Hurst ypes una constante de proporcionalidad yd denota unafuncindedistribucin.ElrangodeH esentre0y1.CuandoH escercanoa1 describeunasealdeaparienciasuave,mientrasqueunvalordeHcercanoa0describe una seal de apariencia rugosa e irregular. Los incrementos de 1 =i i ix x yde una seal no estacionaria fBm se ajustan a una seal estacionaria fGm y viceversa, la suma acumulativa de una seal fGm resulta en una seal fBm. Por definicin, la conversin de una seal en la otra llevar a una mismaHcomo medida fractal. Entre los mtodos que corresponden a esta categora encontramos: -Anlisis de rango reescalado de Hurst (conocido como R/S) -Anlisis de autocorrelacin -Anlisis de fluctuacin con remocin de la tendencia (DFA) Mtodos en el dominio de la frecuencia El espectro de potencia de un proceso fractal se ajusta a una relacin de ley potencia, donde la potencia2nA para lan -componente en frecuencia cumple con: 2n d nA p|e=se obtiene 2log log logn d nA p f | = Donde a | se le conoce como el ndice espectral. A las seales que exhiben esta forma en su espectro se les denomina ruido |f / 1 . La relacin de ley de potencia expresa la idea de que cuandosemultiplicapor2lafrecuencia,lapotenciacambiaporlamismafraccin(| 2 ) sinimportarlafrecuenciaqueseelija,estoes,larelacinesindependientededondese coloqueenlaescaladefrecuencia.Lasealdeberdepre-procesarseantesdeaplicarla transformadadiscretadeFourier(TDF).Despusdecalcularelespectroenpotencia utilizandolaTDF,lascomponentesdealtafrecuenciaseeliminaantesdeajustarcon una regresin para obtener| . Ruidos |f / 1con1 1 < < |corresponden a seales fGn y con 3 1 < < | corresponden a seales fBm (Beran, 1994). EsposiblerelacionarelexponentedeHurstconelndicedepotenciaespectral| conla expresin2 1 H | = + . Los mtodos en el dominio de la frecuencia ms comunes son: -Anlisis de densidad del espectro en potencia (mtodo del periodograma, anlisis de Fourier) -Anlisis espectral de grano grueso 20E. Rodrguez. Doctorado en Ciencias (Ingeniera Biomdica), octubre 2010 Anlisis en el dominio tiempo-frecuencia (tiempo-escala) Gabor (1946) adapt la transformada de Fourier para analizar segmentos pequeos de una seal obtenindose la transformada de Fourier de corto plazo (STFT). La STFT mapea una sealauna funcin de dos dimensiones: tiempo yfrecuencia.Lo anteriorpermite obtener informacinsimultneasobreeltiempoylafrecuenciaparauneventoespecficoenla seal de entrada. Sin embargo, esta informacin est limitada en precisin por el tamao de laventana,lacualeslamismaparatodaslasfrecuencias.Sinembargo,muchasseales para su anlisis pueden requerir una aproximacin msflexible.Loswavelets utilizan una tcnicadeventanasdetamaovariablequepermitencaracterizarconigualprecisinlas dinmicasabajasyaaltasfrecuencias.Unwaveletesunaformadeondadeduracin acotada con valor promedio de cero. El anlisis wavelet descompone la seal en el dominio tiempo-escala y de all se obtiene el coeficiente de Hurst. Anlisis de fluctuacin con remocin de la tendencia (DFA) ApartirdeltrabajodePengetal.(1994)lautilizacindelanlisisdefluctuacincon remocin de la tendencia (DFA) tom especial importancia dado que permiti el anlisis de fluctuacionesconfuertesnoestacionaridades(Xuetal.,2005).Unacondicincomnen lasseriesdedatostomadasdealgunasvariablesfisiolgicas,comoelritmocardiacoola presinarterial,esquesusfluctuacionespresentanestructurascomplejasconunaalta estacionaridad.Loanteriorllevaalanecesidaddepreguntarseculeselorigendeesta estructuracompleja:oesunasimpleconsecuenciatrivialdeajustesrealizadosporel organismoaloscambiosmedioambientales,oeslaexpresindeunsistemacomplejono linealymulticomponente.ElDFAsefundamentaenlaposibilidaddepodersepararlas fluctuacionesdelasdinmicasdelassealesgeneradasporestossistemasproductode estmulos no correlacionados en dos partes con propiedades de correlacin muy diferentes: unapococorrelacionada(comoloessuestmulo)alaqueselellamatendenciacon caractersticas en frecuencia relacionadas con el estmulo y otra ms sutil donde se pueden revelar las propiedades intrnsecas del sistema, las cuales presentan correlaciones a escalas grandes (Peng et al., 1995). El DFA se valid a travs del anlisis de distintas seales que presentancorrelacionesdelargaescalasuperpuestascontendenciasconunaaltano estacionaridad. LaventajadelDFAsobreotrosmtodoscomnmenteutilizados(comosonelanlisis espectralyanlisisreescaladodeHurst)esquepermiteladeteccindecorrelacionesde largoalcanceenseriesdetiempoquepresentannoestacionaridadesdebidoaqueevitala deteccin de correlaciones espurias de largo alcance que son artefactos causados por las no estacionaridades(Pengetal.,1994).Adicionalmentealasventajasexpuestasalestudiar sealesconunaaltanoestacionaridad,elDFApresentaotraventajaqueseconsidera importanteparaelestudiodelasdinmicasdeseales,comoladelavariabilidaddela frecuencia cardiaca, que es la de poseer una mayor precisin que otras tcnicas para estimar exponentesdecorrelacinmayores0.7(justamenteenelordendelascorrelacionesque presentan la variabilidad de la frecuencia cardiaca) para series de tiempo de longitud corta (210 nmero de muestras < )eintermedia(2 410 10 nmero de muestras < < )(Xuetal. (2005)) E. Rodrguez. Doctorado en Ciencias (Ingeniera Biomdica), octubre 201021 La aplicacin de sta herramienta ha sido muy amplia, desde el estudio de la variabilidad de lafrecuenciacardiaca(Bundeetal.,2000),registrosmeteorolgicosdelargoplazo (Koscielny-Bundeeal.,1998,IvanovaandAusloos,1999),estructurasdelasnubes (Ivanovaetal.,2000),seriesdetiempoeconmicas(MantegnaandStanley,2000)o inclusiveenelanlisisdelasecuenciadelADN(Buldyrevetal.,1998),entodosestos casos han proporcionando informacin importante sobre los posibles procesos involucrados en la generacin de fluctuaciones en estas seales. Pasos del anlisis con DFA Paraunaseriedetiempo( ), 1,..., y i i N = conunperiododemuestreot A ,elDFAest compuesto de los siguientes pasos (Peng et al., 1994): Seobtienelamediadelaseal ==Njj yNy1) (1ysecalculalaserieintegrada ( ), 1,..., x i i N = de la siguiente forma: 1( ) [ ( ) ], 1,..,ijx i y j y i N== = Sedividelaserieintegrada) (i x encajasosegmentosdetamaoiguala n loscuales corresponden a la escala de tiempot nA = t . Se utiliza un polinomio de gradomdenotado por ,( ; )pol mx i n pararealizarunaregresinenlasecuenciadelacaja.Lacurva ,( ; )pol mx i nrepresenta la tendencia de la caja (ver Fig. 2-1). Se calcula la secuencia de fluctuacin como: ,( ; ) ( ) ( ; ), 1,...,m pol mz i n x i x i n i N = = Seutilizanormalmenteunajustelineal( 1 = m )ysecalculalafuncindefluctuacin ( )mF n como el valor raz cuadrtico medio de ) ; ( n i zm:

211( ) ( ; )Nm mjF n z j nN== Se repite el procedimiento anterior para un rango amplio de segmentos de longitudn . De acuerdoalasrecomendacionesdePengetal.(1994),elintervaloden deberserentre5min ~ ny 4 /maxN n ~ . La idea detrs de esta recomendacin es que para5 n < la funcin defluctuacin( )mF n estimacomponentesdeterminsticasinducidasporlosefectosdel muestreo(i.e.,sobrestimaelvalordelexponentedeescalamiento).Porotraparte,para / 4 n N > la funcin de fluctuacin( )mF n es inestable para escalas grandes ya que al ser un procedimientoestadsticosetienenmuypocasmuestras(e.g.,4ventanas),porloque presenta una gran varianza a distintas realizaciones del ruido. Para ver un estudio detallado del comportamiento de la estimacin del exponente de escalamiento en funcin de la escala nconsultar Xu et al. (2005).22E. Rodrguez. Doctorado en Ciencias (Ingeniera Biomdica), octubre 2010 Cuandolasealsigueunaleydeescalamiento,seobservauncomportamientodeleyde potencia en la funcin de fluctuacin( ) F n ( )mmF n no~ Donde mo eselexponentedeescala6,unparmetrodeauto-afinidaddelacorrelacinde ley de potencia de largo alcance de la seal. mo se calcula como la pendiente de: log( ) log( ( ))mn vs F n UtilizandoelDFA,enelcasodequenohayacorrelaciones,osilashaysondecorto alcance, se obtiene un exponente de escalamiento de5 . 0 = oque es similar al de un camino aleatorioestndar(ruidoblanco),si5 . 0 < o lacorrelacinenlasealesantipersistente (i.e., un incremento es muy probable que est seguido de un decremento y viceversa). Los valores5 . 1 > o correspondenacorrelacionesdelargoalcancenonecesariamente relacionadosconunprocesoestocsticoypuedenestarmostrandocorrelaciones deterministas.Valoresde0 o sonindicativosdeuncomportamientocontendenciaa dinmicasharmnicas.Losvaloresde0 . 1 = o y5 . 1 = o correspondenaruidof / 1 y movimiento Browniano respectivamente. 0 50 100 150 200 250 300 350 4000.00.20.40.60.81.0 x(i) xpol,1(i,50) x(i)iA0 50 100 150 200 250 300 350 4000.00.20.40.60.81.0 x(i) xpol,2(i,50)y(i)iBFig. 2-1. Ejemplos de ajuste de ventanas por un polinomio utilizados en el DFA a) ventana detamao50yunpolinomiodeajustedeordenunob)ventanadetamao50yun polinomio de ajuste de orden dos. 6 Si( ) x i es un fGn entoncesH = o , si( ) x ies un fBm1 + = H oE. Rodrguez. Doctorado en Ciencias (Ingeniera Biomdica), octubre 201023 2.1Generacinderuidofractal1 f oapartirdelafrmulade Grnwald-Letnikov (Rodriguez et al., 2009a) Elcomportamientodevariasvariablesproductodelasdinmicasdesistemasfsicos, financierosobiolgicossepuedecaracterizarcomo.ruido1 f o(i.e.,impulsivoofractal) (UpPoN4,2005).Laimportanciadelruidoimpulsivoradicaensuspropiedadesde invarianciaalaescala,lascualesparecenreflejaruncomportamientoubicuoenla naturaleza(Feder, 1998). Porloanterior, en muchasocasiones es necesario utilizar ruidos fraccionalescomodatosdeentradaparalasimulacincomputacionaldesistemasfsicos que muestran caractersticas fractales, o como datos de prueba para evaluar la calidad de las herramientas de anlisis. Para simular datos de entrada en aplicaciones prcticasse han propuesto algunos mtodos indirectosbasadosentransformadarpidadeFourier(FFT).Noobstante,estosmtodos sologeneransecuenciasaproximadasauto-similaresconocidascomoprocesosderuido fraccional (Barnsley et al., 1998; Paxon, 1995).Brevemente, los mtodos se basan en: (a) ladefinicindelespectrodepotenciacuyamagnitudsiguealafuncin1 f o,(b)la construccin de una serie de nmeros complejos que cumplan con una distribucin normal conelfindeobtenerunafasealeatoria,(c)laejecucindelatransformadainversade Fourier. La dificultad principal en el uso de las tcnicas basadas en la FFT est en el clculo delasumatoriainfinita,lacualseresuelvenormalmenteaplicandounaaproximacin especial (Paxon, 1995). Una desventaja de los mtodos basados en la FFT es la complejidad relativamentealtadelalgoritmoparalaobtencindelaFFTinversa,lacuallimitala velocidaddegeneracinylaprecisinparasecuenciasdedatosmuygrandes.Adicionalmente, se tiene el hecho de que los mtodos basados en la FFT pueden introducir periodicidades no deseadas propias de la FFT inversa (Barnsley et al., 1998). A diferencia de algoritmos basados en la FFT, el algoritmo de desplazamiento aleatorio del punto medio (random mid-poit displacement o RMD) se utiliza ampliamente para la generacin de ruido1 f o en aplicaciones prcticas (e.g., generacin de paisajes sintticos). La idea bsica del mtodoRMDestomarunpuntoymoverloconunciertodesplazamientoaleatorioy despussetomaotropuntoyserepiteelprocedimiento(Voss,1988).Lasevaluaciones numricas han mostrado que los mtodos RMD son ms rpidos y simples que los mtodos basadosenlaFFT(Jeongetal.,1998).UnavariantedelmtodoRMD,queademsde utilizarpuntosmedios,agregaundesplazamientodeunavarianzaadecuadaatodoslos puntosconelfindeincrementarlaestabilidaddelasecuenciagenerada(Crillyetal., 1991).EnelcontextodelasimulacindelexperimentodePlanckenastrofsica, Plasczynski (2005) present un algoritmo para la generacin de una secuencia infinita de ruidolimitadoenbanda1 f queconsisteenelfiltradonumricodeunasealderuido blanco.Elprocedimientodefiltradoesrecursivoyestbasadoenlatransformadaz del integrador fraccional de Riemman-Liouville. BasadoenlamismaideadelalgoritmodePlasczynski,enestaseccinsepresentaun algoritmoparalageneracindirectadesecuenciasderuidoconunespectroenpotencia 1 f o de longitud arbitraria a partir de la integracin/derivacin fraccional de una seal de ruido blanco. El procedimiento utiliza la definicin de la derivada fraccional de Grnwald-24E. Rodrguez. Doctorado en Ciencias (Ingeniera Biomdica), octubre 2010 Letnikov (Miller and Ross, 1993), a partir de la cual se disea un algoritmo recursivo para lageneracinderuidoimpulsivo.Elruidocorrelacionadoseobtieneintegrandouna secuencia de ruido blanco, a la cual se le aplica una diferenciacin fraccional para obtener lassecuenciasderuidoconlaspropiedadesdeescalamientodeseadas.Elruido anticorrelacionadoseobtienedirectamenteaplicadoladiferenciacinfraccionalauna secuencia de ruido blanco.El ruido impulsivo generado se evala utilizando el DFA y se muestraquesucalidaddependedelgradodeaproximacin(nmerodevaloresprevios considerados en la integracin) utilizado en la diferenciacin fraccional. Algoritmo Acontinuacinsedescribeelprocedimientoparaobtenerruidoimpulsivoapartirdeuna seal de ruido blanco( ) x t : Partiendo de que el espectro de potencia de un ruido blanco es ( ) 1xS e paratodaslasfrecuenciase ,setieneque( ) H s describeaunoperadorlineal estable, dondeses el operador de Laplace. Si( ) : ( ) ( ) H s x t y t , el espectro de potencia correspondientees( ) ( )2yS H i e e (yaque ( ) x t esunruidoblanco)donde1 i = (Papoulis, 1965). Adems, recordando que2 f t e = , si se requiere que ( ) y t sea una seal de ruido con un espectro en potenciaf|, se deber proponer una funcin de transferencia ( ) ; H s| talque( )2; H i|e | e .Estoselograeligiendo ( )2; H s s|| = paralacual ( )22i||e e = .Para2 | = ,setieneque ( ) , 2 H s s = esundiferenciadordeordenuno7. Parauna0 | > , ( )2; H s s|| = esundiferenciadordeorden ( )2|.Para2 | = , ( )1; 2 H s s = es un integrador de orden uno8 y ( ) y t corresponde a movimiento Browniano continuo en el tiempo (la integracin de orden uno de la secuencia de ruido blanco genera ruido Browniano)9. En general, para una0 | < , el operador ( )2; H s s|| =es un integrador de orden ( )2|. Derivada fraccional de Grnwald-Letnikov Por simplicidad, se propone| o = , de modo que1 | = corresponde a un ruido 1f. En principio,sepuedeobtenerunasealderuidof|apartirdeunasealderuidoblanco ( ) x t aplicando la operacin ( ) ( ) ( ) ; : H s x t y t|| . En la prctica, en lugar de utilizar una sealderuidoblancocontinuoeneltiempo ( ) x t ,separtedeunasecuenciadiscretade 7 La transformada de Laplace de la derivada ( )( ){ }( ) { }( )( )110nn i n n iif t s f t s f == 8 La transformada de Laplace de la integral( ){ }( ) { }1tof d fst t t =} 9 El ruido Browniano se define como( ) ( ) Bn t W t dt+=} E. Rodrguez. Doctorado en Ciencias (Ingeniera Biomdica), octubre 201025 ruidoblanco (), 1..., x i i N = .Comosemencion,debidoalacargacomputacional, limitaciones en la precisin y periodicidades intrnsecas a la FFT inversa, la utilizacin de mtodosbasadosenlaFFTestlimitadaalageneracindesecuenciasrelativamente pequeas.Unaalternativaesrealizarlosclculosenel dominiodeltiempo,por lo queen estaseccinseproponeutilizarunaaproximacineneltiempodiscretodela diferenciacin/integracin fraccional 2s|. Si ( ) x t es una seal continua en el tiempo, su derivada fraccional simtrica10 de orden 2|se puede obtener por medio de la expresin de Grnwald-Letnikov (GL) (Miller and Ross, 1993): ( ) ( ) ( )22001lim 2thkhks x t w x t khh||| ( == Dondet h ( eslaparteenteradet h .Elvalordelasponderaciones ( ) 2 , 0,...,kw k | = se obtiene a partir de la aplicacin de la frmula binomial: ( ) ( )22 1kkwk||| |= |\ . o su equivalente como expresin recursiva ( )02 1 w | =( ) ( )122 1 2 , 1, 2,...2k kw w kk|| |+ | |= = |\ . LadefinicindeGLesunageneralizacinsimpledelasfrmulascomunesde discretizacinparalasderivadasdeordenentero.EliminandoellmiteytomandoNtrminos de la suma, se obtiene la aproximacin discreta para la derivacin fraccional: ( ) ( ) ( )22012Nkks x t w x t khh|||=~

Paraestecaso1 h = .Si 1zeseloperadorderetardounitario,setienequeladerivada fraccional 2s|seaproximaporeloperadorGLdeordenN, ( )1; , G z N |elcualest dado por: ( ) ( )2 10; ; 2N defkkks G z N w z|| | =~ = Porlotanto,laaproximacindeordenN paraelruidof|apartirdeunasecuenciade ruido blanco () x i es 10 Se dice que la derivada es simtrica si para todax , la derivada por la izquierda y la derivada por la derecha tienen el mismo valor: ( ) ( )' 'f x f x +=26E. Rodrguez. Doctorado en Ciencias (Ingeniera Biomdica), octubre 2010 () ( ) ()( ) ( )1,0; ,2NNkky i G z N x iw x i k|||=== Ntese que esta expresin nos lleva a un algoritmo recursivo en el dominio del tiempo. De hecho,elclculode (), Ny i|dependedelosN valoresanterioresdelasecuenciaderuido blanco ( ) ( ) ( ) 1 , 2 ,..., x i x i x i N .ContrarioalosclculosbasadosenlaFFT,la longituddelasecuenciaquesepuedeobtenernotienelmite.Lacalidaddela aproximacin del ruido impulsivo (), Ny i| depende de dos factores: -Ladisponibilidaddeungeneradorderuidoblancodealtaprecisin.Enla actualidad,estonoesunalimitacinimportantedadaladisponibilidadde generadoresdesecuenciasderuidoblancomuyconfiablesoinclusivela utilizacin de datos generados a partir de fenmenos fsicos.-El orden de la aproximacin. Este punto est relacionado con la precisin de laaproximacin ( )2 1; ; s G z N||~ .Sepuedeutilizarlarespuestaen frecuencia de ( )1; ; G z N | para aclarar el papel que tieneel ordenN .La respuesta en frecuencia se obtiene con la sustitucin ( ) expkz i k e . ( ) ( ) ( ) ( )0exp ; ; 2 expNkkG i N w i k e | | e= = La Fig. 2.1-1 muestran tanto la respuesta en frecuencia para tres valores diferentes deNde( ) ( )exp ; , G i N e | ,ladeldiferenciadorfraccional 1 2s (Fig.2.1-1a),ascomoparael integradorfraccional 1 2s(Fig.2.1-1b).Seobtuvieronresultadossimilaresparaotros valoresde| .Sepuedeobservarlosiguiente:(a)laaproximacinaloperadorideal 1 2s mejoraamedidaqueseincrementaN loqueasuvezincrementalacalidaddela aproximacin en el rango de las bajas frecuencias, (b) la aproximacin de ordenNde GL secomportamejorparaladiferenciacinqueparalaintegracin.Estepuntosedescribe con mayor detalle al analizar la calidad del ruido generado. De hecho, se observan algunas oscilaciones en la regin de baja frecuencia para0 | produceruido impulsivo (), Ny i|de buena calidad, lo cual correspondea lageneracinde desecuenciasderuidoanticorrelacionadoapartirderuidoblanco.Paralageneracinde ruidocorrelacionadoapartirderuidoblanco( 0 | < ),debidoaqueladiferenciacin fraccionalposeemejorespropiedadesdeestabilidad,seproponeunamodificacinal procedimiento() ( ) ( ),02NN kky i w x i k||== paragenerarsecuenciasderuido correlacionado: Paso1:Apartirdelasecuenciaderuidoblanco (), 1,..., x i i M = seobtienela secuencia integrada () ()0, 1,...,ikr i x i i M=== 28E. Rodrguez. Doctorado en Ciencias (Ingeniera Biomdica), octubre 2010 La secuencia () r i corresponde a una secuencia de movimiento Browniano, para una M lo suficientemente grande, su espectro en potencia es ( )2rS e e11. Paso2:Paraobtenerlaspropiedadesdeescalamientodeseadas,sereducela pendientedelespectroenpotenciadelmovimientoBrownianoutilizandola derivacinfraccional.Si ( ) () () ; : H s r i y i | yrecordandoque ( ) ( ) ( ) ( )2 22y rS H i S H i e e e e e= = (Papoulis,1965).Sepuedeelegirun operador ( ) ; H s|que cumpla con( )22; H i|e| e+ . Lo anterior corresponde a un diferenciadordeorden ( )21|+ .Porejemplo,sepuedeobtenerruido1 f con 1 | = ( 1) o = ,porloqueserequiereundiferenciadordeorden1 2.Elruido blanco se recobra utilizando un diferenciador de orden 1. Resumiendo, la generacin de secuencias de ruido anticorrelacionado ( 0 | > ) se obtienen a partirdeladerivacinfraccionaldeunasecuenciaderuidoblanco.Dadalarespuesta inestabledelintegradorfraccional(verFig.2.1-1),lageneracindesecuenciasderuido blancocorrelacionado( 0 | < )serealizapormediodeladerivacinfraccionaldeuna secuencia de ruido Browniano, el cual se obtiene a partir de la integracin de orden uno de una secuencia de ruido blanco. Fig.2.1-2.ResultadosdelDFApara(a)Ruidoblanco( 0.5DFA = ),(b)Movimiento Browniano ( 1.5DFA = ). 11 Si para el ruido blanco se tiene( )0s s e = , la integral es 0 0s ss ie= , por lo que su potencia es 202se E. Rodrguez. Doctorado en Ciencias (Ingeniera Biomdica), octubre 201029 Calidad de las seales generadas Con el fin de evaluar la calidad de las secuencias de ruido impulsivo generado se utiliz el DFA.Comosemencion,elresultadodelDFAeselexponentedeescalamiento,de acuerdoasuvalorpodemostenerlasiguienteclasificacin.Dado DFA elvalordel exponentedeescalamiento,si0.5DFA = ,lasecuencia () y i esnocorrelacionada(i.e., secuencia de ruido blanco), si1.0DFA = , la correlacin es la misma que de un ruido1 f , si1.5DFA = ,() y i secomportacomounruidodemovimientoBrowniano.Elmovimiento fraccional Browniano se localiza para valores de(0,1.5)DFA e . Se tiene que( ) 2 1DFA 12eslapendientedelespectrodepotencia ( )yS e delasecuencia () y i .Porlotanto,la pendientedelespectrodepotenciayelexponentedeescalamientoproductodelDFAse relacionan por ( ) 2 1DFA| = , tal que 12DFA| += . Recordando que o | = , por lo que se obtiene que 12DFAo+= . Fig. 2.1-3. Resultados del DFA para diferentes valores del orden de aproximacinN en la generacinderuidocorrelacionadoa)0.5 | = ( ) 0.75DFA = b)1.0 | = ( ) 1.0DFA =(ruido 1 f ) y c)1.5 | = ( 1.25)DFA = . 12 Ver seccin Mtodos en el dominio de la frecuencia. 30E. Rodrguez. Doctorado en Ciencias (Ingeniera Biomdica), octubre 2010 Resultados Se utiliz el generador de nmeros aleatorios de MATLAB para obtener una secuencia de ruido blanco. En todos los casos, la longitud de la secuencia de ruido blanco que se emple fuede 510 M = .LosresultadosdelDFAparalasecuenciaderuidoblancoyparala correspondientesecuenciaderuidoBrownianosemuestranenlaFig.2.1-2.Parala secuenciaderuidoblancoseobtuvouna.505 .002DFA = .Paraelruidodemovimiento Brownianoseobtuvouna1.498 .003DFA = .Ntesequeelcomportamientodelruido Brownianoydelblancoseextiendepormsdecuatrodcadas,locualdemuestraqueel ruido es de buena calidad. Fig. 2.1-4. Resultados del DFA para diferentes valores del orden de aproximacinN en la generacin de ruido anticorrelacionado para (a)0.2 | = y (b)0.4 | = . Para tres secuencias de ruido correlacionado0.5 | = , 1 | = (ruido 1 f ) y1.5 | = (i.e.,0.75DFA = ,1.0DFA = y 1.25DFA = ), la Fig. 2.1-3 muestra los resultados para tres valores diferentesdelordendeaproximacinN .AmedidaqueNseincrementa,lacalidaddel ruido impulsivo generado mejora para escalas grandes (i.e., bajas frecuencias). Como era de esperarse,estoreflejaelhechodequecuandoelordendelaaproximacinN se incrementa,laaproximacinde ( ) ; H s| poreloperadordetiempodiscreto ( )1; , G z N |mejoraenelrangodelasbajasfrecuencias(verFig.2.1-2).Conbaseenloanterior,se puedeafirmarqueelincrementodeN llevaamejorarlacalidaddelruidoimpulsivo (), Ny i|paraescalasgrandes.LaFig.2.1-4presentalosresultadosdelDFAparados secuenciasderuidoanticorrelacionadoconvalores0.2 | = y 0.4 | = (i.e., 0.4DFA = y0.3DFA = ). De forma similar a lo que ocurre con las secuencias correlacionadas de la Fig. 2.1-3,unincrementodeNmejoralacalidaddelruidoaescalasgrandes(i.e.,bajas frecuencias). E. Rodrguez. Doctorado en Ciencias (Ingeniera Biomdica), octubre 201031 EnlaFig.2.1-3sepuedeobservarquelafuncindefluctuacindelruidogeneradotiene dos regiones, la regin a escalas cortas se comporta de acuerdo a lo deseado, mientras que a partir de de cierta escala se presenta una inflexin y la pendiente se incrementa para escalas mayoresaestepunto.LaFig.2.1-5muestraelcomportamientodelapendientedela funcindefluctuacinaescalascortas,aescalargrandesyapartirdequeescalase presentalainflexinparaunasecuenciade 510 M = deruido1 f generadoapartirdela derivadafraccionaldelruidoBrowniano.Comosepuedeobservar,aescalascortasel exponenteconvergerpidamentealvaloresperadode1.0(alrededordeunordende aproximacin de 1500alcanza un valor de0.995DFA = ) mantenindose alrededor del valor deunoparardenesdeaproximacinmayores.Porotroladoelvalordelexponentepara escalas mayores al punto de inflexin converge de manera ms lenta, alcanzando un valor 1.06DFA = conunordendeaproximacin4000 N = .Porltimo,elpuntodeinflexin tambinmuestrauncorrimientoaescalasmayoresamedidaqueNseincrementa reflexandoelcomportamientoenfrecuenciadelaaproximacindiscretaaloperadorideal de diferenciacin1 2s+. 100 10000.950.960.970.980.991.001.011.02 DFAAapproximation order, log10(N)A100 10001.01.11.21.31.41.51.61.7 DFAApproximation Order, log10(N)B0 1000 2000 3000 40000100002000030000400005000060000 Scale (n)Approximation order, (N)CFig.2.1-5.ComportamientodelexponentedeescalamientoDFAparaunasecuencia 510 M = deruido1 f( ) 1.0DFA = a) escalasmenoresalpuntodeinflexinb)escalas mayoresalpunto deinflexinyc)delpuntodeinflexinenrelacinconelordende aproximacin N . Paramuchasaplicacionesesimportantequeelruidofraccionalposeaunadistribucin Gaussiana(UPoN4,2005).LaFig.2.1-6muestralafrecuenciadeconteoparaunruido fraccional generado con una0.3 | = . Se puede observar que los datos presentan una buena distribucin Gaussiana ( 0.005 p < ). Por lo anterior, se puede afirmar que el procedimiento basadoenladefinicindeladerivadafraccionaldeGrnwald-Letnikovesadecuadopara preservarladistribucinGaussianadelasecuenciaderuidoblancooriginal.Resultados similares se obtuvieron para otros valores de orden fraccional| . 32E. Rodrguez. Doctorado en Ciencias (Ingeniera Biomdica), octubre 2010 Fig.2.1-6.Curvadedistribucindelosvaloresdelruidocon0.3 | = .Obsrvesequela distribucin se ajusta a una Gaussiana. Conclusiones Enestaseccinsepresentunalgoritmorecursivoparagenerarunacadenainfinitade ruidofractalconunespectroenpotenciadelaforma1 f o,tantopara0 o < (ruido anticorrelacionado)comopara0 o > (ruidocorrelacionado).Laideabsicaesdaruna nueva forma al espectro en potencia de una secuencia de ruido blanco, lo cual se logra por medio de un procedimiento recursivo aplicado sobre la serie en el dominio del tiempo que utilizalaaproximacindeladiferenciacinfraccionaldeGrnwald-Letnikov.Los resultadosdelDFAmuestranqueelruidoqueseobtieneconestatcnicaesdebuena calidadlacualmejoraenlamedidaenqueelordendeladerivadafraccionales incrementado. 2.2 DFA basado en filtros pasa altos (Rodriguez et al., 2007b) El anlisis de fluctuaciones con remocin de la tendencias (DFA) fue desarrollado por Peng etal.(1994)comounmtododeescalamientosimpleyeficienteparadetectar correlacionesdelargoalcance.AqusereproduceunresumendelmtododelDFA(para ver una descripcin detallada ir a la introduccin general en este mismo captulo). Dada una seriedetiempoestocstica (), 1,..., y i i N = elalgoritmobsicodelDFAconsistedelos siguientes pasos (Peng et al., 1994):(1)Seobtienelamedia( ) ( )11/Njy N y j==,seobtienelaserieintegrada () , 1,..., x i i N =como() ( )1, 1,..,ijx i y j y i N== =( .E. Rodrguez. Doctorado en Ciencias (Ingeniera Biomdica), octubre 201033 (2)Sedividelaseriedetiempointegrada () x i encajasdelmismotamaon .Se utilizaunafuncinpolinomialdegradomdenotadacomo ( ),;pol mx i n para interpolar la secuencia en cada caja. La curva de interpolacin ( ),;pol mx i nrepresenta latendencialocalencadacaja.(3)Seobtienelasecuenciadefluctuacincomo ( ) () ( ),; ; , 1,...,m pol mz i n x i x i n i N = = .(4)Seobtienelafuncindefluctuacin ( )mF n comoelvalordelarazcuadrtica de la secuencia( ) ( ) ( ) ( )21; : 1/ ( ;Nm m mjz i n F n N z j n==.(5)Serepiteelprocedimientoanteriorparaunnmerodesegmentosampliode longitudn . Cuando la seal sigue una ley de potencia, se observa que ( )mmF n no , donde mo eselexponentedeescalamientodeordenmyseobtienecomola pendiente de la grfica de( ) ( ) ( ) { }log logdefmn versus F n = . Engeneralessuficienteconelajustelineal( 1 m = )paraeliminarlastendencias.Para eliminar tendencias ms estructuradas (e.g., peridicas, triangulares, etc.) se han propuesto rdenes mayores para el polinomio de ajuste ( 1 m > ) (Bunde et al., 2000). Se han propuesto algunasmodificacionesalmtodobsicodelDFAorientadasadisminuirlosefectos adversos delajuste polinomialdiscontinuo.Alessio et al.,(2002)(vertambinreferencias CarboneandCastelli,2003;Carboneetal.,2004a,2004b;CarboneandStanley2004; Alvarez-Ramirez et al., 2005a) propusieron un mtodo de DFA basado en la remocin de la tendenciaconpromediosmviles(DMA).DadoqueelDMAnointroducesaltosenel esquemaderemocindelatendencia,sereducenlosefectospotencialesadversosenla localizacin de puntos de inflexin y la estimacin del exponente de escalamiento.En las referencias(CarboneandCastlelli,2003;Carboneetal.,2004b)seestudiaronlas propiedades de la funcin de distribucin de probabilidad asociadas al DMA.Tambin se hanestudiadoalgunaspropiedadesdeestabilidadyfiltrado(Alvarez-Ramirezetal., 2005a).SepropusorecientementeunamodificacinalDFAparaelanlisisdeseriesde tiempoquedeformasimultneatienenasociadastendenciasdebajafrecuenciayruido sobreelcualsedeseaobtenerinformacindesucorrelacin(Chiancaetal.,2005; NagarajanandKavasseri,2005).Laideaes transformarla seriedetiempoal dominiode Fourier, identificar los componentes que corresponden a las tendencias de baja frecuencia, removerlascomponentesespectralescorrespondientes,aplicarlatransformadainversade Fourier y obtener la serie de tiempo con las tendencias de baja frecuencia eliminadas. ElpasodelDFAdondeseremuevenlastendenciasparaunacajadadadetamaon (i.e., escaladetiempo)esesencialmenteunfiltrajepasaaltos.Dehecho,laremocindelas tendenciasparaextraerlasfluctuacioneshastaunaescalan actacomounfiltrajepasa altosdondeseeliminanlasfluctuacionesdebajafrecuencia.Sepuedeobservarquelos esquemas de ajuste polinomial y los promedios mviles son mtodos ad hoc para el DFA. Sinembargo,dadoqueexisteunateorabienestablecidaconalgoritmoseficientemente implementadosparacasicualquierconfiguracindefiltros(digitalesyanalgicos)(Parks andBurrus,1987);parecenaturalincorporarelfiltrajepasa-altasenelmtododelDFA paraestudiarlascorrelacionesdelargoalcance.Elpropsitodeestaseccines:(a) 34E. Rodrguez. Doctorado en Ciencias (Ingeniera Biomdica), octubre 2010 describirunmtodoqueutilizaelfiltrajepasa-altasclsicopararemoverlastendenciasy (b) mostrar que el DFA propuesto da resultados similares a los que se obtienen utilizando el mtodo estndar del DFA. DFA con filtraje pasa-altas LospasosdelDFAquedancomoresultadolafuncindefluctuacin ( ) ;mz i n (i.e., () ( ) ;mx i z i n )puedenabreviarsecomoeloperador nD queactasobrelasecuencia () x i :( ) () ( );m nz i n D x i =Ntesequeeloperador nD tienelaestructuradeunfiltropasa-altas.Parademostrarlo anterior,lasecuencia ( ) ;mz i n seproduceremoviendodelasecuencia () x i latendencia local ( ),;pol mx i n .Lasecuencia ( ) ;mz i n conservalasfluctuacionesdealtafrecuenciadela secuencia () x i hasta las cajas de tamaon . Por lo tanto, el operador nD puede verse como filtro pasa-altas no lineal. Esto es, las fluctuaciones con frecuencias menores a la de cortece se remueven de manera no lineal por el filtro nD .Debido a que nDes un filtro no ideal (i.e., no posee una pendiente de corte infinita), no se remueven totalmente los componentes debajafrecuenciapordebajode ce .Sinembargo,dadalanaturalezanolinealdeeste filtro, su frecuencia de corte y la forma de la funcin de transferencia no se pueden obtener deformaanalticafcilmente.Sehaobservadoquelafrecuenciadecortedependedel ordenmdelpolinomioqueseutilizapararemoverlatendencia,comportndose aproximadamentecomo 2c mte< .Porejemplo,sisegeneraunasealsintticaconuna inflexin en su espectro de potencia en la frecuencia ce la cual corresponda a la escala de tiempo100cn= ,enlagrficaestndardelDFAsepresentarunainflexinparaelDFA con m = 1 aproximadamente a la escala150cn= , de250cn=para el DFA con2 m = , etc. (Kantelhardt et al., 2001; Nagarajan and Kavasseri, 2005). El comportamiento del filtro pasa-altas no linealnD13 es el corazn del mtodo del D