lgebra vectorial para Electromagnetismo pgina 1

L G E B R A V E C T O R I A L P A R A E L E C T R O M A G N E T I S M O O p e r a c i o n e s c o n v e c t o r e s

Suma de vectores: ! ! ! !

A B B A+ = +

( ) ( )! ! ! ! ! !A B C A B C+ + = + +

! ! ! !A B A B = + ( )

Producto de un vector por un escalar:

a A B aA aB( )! ! ! !+ = +

Producto escalar de dos vectores: ! !

A B AB = cos ! ! ! !

A B B A = ! ! ! ! ! ! !

A B C A B A C + = + ( ) ! !

A A A = 2

Si ! ! ! !A B A B = 0

Producto vectorial de dos vectores: ! ! !

A B AB n = sen ! ! ! ! ! ! !

A B C A B A C + = + ( ) ( ) ( )

( ) ( )! ! ! !B A A B =

! !A B = rea del paralelogramo determinado por

!A y

!B

! !A A = 0

Si

! ! ! !A B A B|| = 0

C o m p o n e n t e s v e c t o r i a l e s

Coordenadas cartesianas: ! ! ! !

A A i A j A kx y z= + + Suma de vectores: ! ! ! ! !

A B A B i A B j A B kx x y y z z+ = + + + + +( ) ( ) ( )

lgebra vectorial para Electromagnetismo pgina 2

Producto de un vector por un escalar:

aA aA i aA j aA kx y z! ! ! != + +( ) ( ) ( )

Producto escalar de dos vectores: ! !

A B A B A B A Bx x y y z z = + + Producto vectorial de dos vectores:

! !

! ! !

A B

i j k

A A A

B B Bx y z

x y z

=

P r o d u c t o s t r i p l e s

Producto escalar triple:

! ! !A B C ( )

! ! ! ! ! ! ! ! !A B C B C A C A B = = ( ) ( ) ( ) (orden alfabtico)

! ! !A B C

A A A

B B B

C C C

x y z

x y z

x y z

=( )

! ! ! ! ! !A B C A B C = ( ) ( )

! ! !A B C =( ) volumen paraleleppedo determinado por

!A ,

!B y

!C .

Producto vectorial triple:

! ! !A B C ( )

! ! ! ! ! ! ! ! !A B C B A C C A B = ( ) ( ) ( )

T r a n s f o r m a c i o n e s v e c t o r i a l e s

Las transformaciones se pueden expresar en forma matricial como:

A

A

A

R R R

R R R

R R R

A

A

A

x

y

z

xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

x

y

z

'

'

'

=

lgebra vectorial para Electromagnetismo pgina 3

C l c u l o d i f e r e n c i a l

GRADIENTE Diferencial de un campo escalar:

dTT

xdx

T

ydy

T

zdz=

+

+

( )dT Txi

T

yj

T

zk dxi dyj dzk T dl= + +

+ + =

! ! ! ! ! ! !( ) ( )

Gradiente de T:

gradT TT

x

T

y

T

z= =

, ,

El gradiente apunta a la direccin de mximo crecimiento de la funcin T. Adems, su mdulo es el ritmo de crecimiento sobre dicha direccin.

El operador

= + +! ! !i

xj

yk

z

Gradiente: =T Tgrad Divergencia: =! !v vdiv Rotacional: =! !v vrot DIVERGENCIA

= + +!vv

x

v

y

v

zx y z

La divergencia es una medida de cmo el campo vectorial se extiende desde el punto aplicado. ROTACIONAL

=!

! ! !

v

i j k

x y zv v vx y z

El rotacional es una medida de cunto gira el campo vectorial alrededor de un punto dado.

lgebra vectorial para Electromagnetismo pgina 4

R e g l a s d e m u l t i p l i c a c i n

+ = + ( )f g f g + = + ( )! ! ! !A B A B

+ = + ( ) ( ) ( )

! ! ! !A B A B

= ( )kf k f = ( ) ( )kA k A

! ! = ( ) ( )kA k A

! !

Reglas para gradientes:

= + ( )fg f g g f

= + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! ! ! ! ! ! ! ! ! !A B A B B A A B B A

Reglas para divergencias:

= + ( ) ( ) ( )fA f A A f! ! !

= ( ) ( ) ( )! ! ! ! ! !A B B A A B

Reglas para rotacionales:

= ( ) ( ) ( )fA f A A f! ! !

= + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! ! ! ! ! ! ! ! ! !A B B A A B A B B A

Reglas de cocientes:

=

fg

g f f g

g2

=

! ! !A

g

g A A g

g

( ) ( )2

=

+ ! ! !A

g

g A A g

g

( ) ( )2

S e g u n d a s d e r i v a d a s

1. Divergencia de un gradiente: ( )T

= + +( )TT

x

T

y

T

z

2

2

2

2

2

2 (Laplaciano de T)

Laplaciano de un vector:

= + + 2 2 2 2!! ! !

v v i v j v kx y z( ) ( ) ( )

lgebra vectorial para Electromagnetismo pgina 5

2. Rotacional de un gradiente: ( )T

=( )T 0 3. Gradiente de una divergencia: ( )!v 4. Divergencia de un rotacional: ( )!v

=( )!v 0 5. Rotacional de un rotacional: ( )!v

= ( ) ( )! ! !v v v2 T e o r e m a d e l g r a d i e n t e

( ) ( ) ( ) = T dl T b T aa

b !

( ) T dla

b ! es independiente del camino

( ) = T dl! 0

T e o r e m a d e l a d i v e r g e n c i a d e G a u s s

( ) = ! ! !v dV v dSV S

T e o r e m a d e S t o k e s

( ) = ! ! ! !v dS v dllS

lgebra vectorial para Electromagnetismo pgina 6

E c u a c i o n e s d e M a x w e l l

Caso general:

=

=

=

= +

!

!!

!

! !!

E

EB

t

B

B JE

t

1

0

0

0 0 0

Caso particular:

=

=

=

= +

!

!!

!

! !!

D

EB

t

B

H JD

t

f

f

0

C a m p o s a u x i l i a r e s

Definiciones:

! ! !

! ! !

D E P

H B M

= +

=

0

0

1

En medios lineales:

! !

! !

! !

! !

P E

M H

D E

H B

e

m

=

=

=

=

0

1

P o t e n c i a l e s

!

!

! !

E VA

t

B A

=

=

lgebra vectorial para Electromagnetismo pgina 7

L e y d e f u e r z a d e L o r e n t z

! ! ! !F q E v B= + ( ) E n e r g a , m o m e n t o y p o t e n c i a

Energa:

W E B d= +

12 10 2 0 2

Momento:

! ! !P E B d= 0 ( )

Vector de direccin:

! ! !S E B=

1

0( )

Frmula de Larmor:

Pq a

c=

1

4

2

30

2 2

3

C o n s t a n t e s f u n d a m e n t a l e s

0

12 2 28 85 10= , c N m permitividad del vaco 0

7 24 10= N A permeabilidad del vaco c m sg= 3 108 velocidad de la luz e c= 1 6 10 19, carga del electrn m kg= 9 11 10 31, masa del electrn C o n v e r s i n d e e s f r i c a s a c a r t e s i a n a s

( )

x r

y r

z r

i r

j r

k r

r x y z

x y

z

y x

r i j k

i j

=

=

=

= +

= + +

=

= + +

=

+

=

= + +

= +

sen cos

sen sen

cos

sen cos cos cos sen

sen sen cos sen cos

cos sen

arctg

arctg

sen cos sen sen cos

cos cos cos sen

! ! ! !

! ! ! !

! ! !

! ! ! !

! ! !

2 2 2

2 2

2

= +

sen

sen cos

!

! ! !k

i j