Análisis Vectorial Para Electromagnetismo

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  • lgebra vectorial para Electromagnetismo pgina 1

    L G E B R A V E C T O R I A L P A R A E L E C T R O M A G N E T I S M O O p e r a c i o n e s c o n v e c t o r e s

    Suma de vectores: ! ! ! !

    A B B A+ = +

    ( ) ( )! ! ! ! ! !A B C A B C+ + = + +

    ! ! ! !A B A B = + ( )

    Producto de un vector por un escalar:

    a A B aA aB( )! ! ! !+ = +

    Producto escalar de dos vectores: ! !

    A B AB = cos ! ! ! !

    A B B A = ! ! ! ! ! ! !

    A B C A B A C + = + ( ) ! !

    A A A = 2

    Si ! ! ! !A B A B = 0

    Producto vectorial de dos vectores: ! ! !

    A B AB n = sen ! ! ! ! ! ! !

    A B C A B A C + = + ( ) ( ) ( )

    ( ) ( )! ! ! !B A A B =

    ! !A B = rea del paralelogramo determinado por

    !A y

    !B

    ! !A A = 0

    Si

    ! ! ! !A B A B|| = 0

    C o m p o n e n t e s v e c t o r i a l e s

    Coordenadas cartesianas: ! ! ! !

    A A i A j A kx y z= + + Suma de vectores: ! ! ! ! !

    A B A B i A B j A B kx x y y z z+ = + + + + +( ) ( ) ( )

  • lgebra vectorial para Electromagnetismo pgina 2

    Producto de un vector por un escalar:

    aA aA i aA j aA kx y z! ! ! != + +( ) ( ) ( )

    Producto escalar de dos vectores: ! !

    A B A B A B A Bx x y y z z = + + Producto vectorial de dos vectores:

    ! !

    ! ! !

    A B

    i j k

    A A A

    B B Bx y z

    x y z

    =

    P r o d u c t o s t r i p l e s

    Producto escalar triple:

    ! ! !A B C ( )

    ! ! ! ! ! ! ! ! !A B C B C A C A B = = ( ) ( ) ( ) (orden alfabtico)

    ! ! !A B C

    A A A

    B B B

    C C C

    x y z

    x y z

    x y z

    =( )

    ! ! ! ! ! !A B C A B C = ( ) ( )

    ! ! !A B C =( ) volumen paraleleppedo determinado por

    !A ,

    !B y

    !C .

    Producto vectorial triple:

    ! ! !A B C ( )

    ! ! ! ! ! ! ! ! !A B C B A C C A B = ( ) ( ) ( )

    T r a n s f o r m a c i o n e s v e c t o r i a l e s

    Las transformaciones se pueden expresar en forma matricial como:

    A

    A

    A

    R R R

    R R R

    R R R

    A

    A

    A

    x

    y

    z

    xx xy xz

    yx yy yz

    zx zy zz

    x

    y

    z

    '

    '

    '

    =

  • lgebra vectorial para Electromagnetismo pgina 3

    C l c u l o d i f e r e n c i a l

    GRADIENTE Diferencial de un campo escalar:

    dTT

    xdx

    T

    ydy

    T

    zdz=

    +

    +

    ( )dT Txi

    T

    yj

    T

    zk dxi dyj dzk T dl= + +

    + + =

    ! ! ! ! ! ! !( ) ( )

    Gradiente de T:

    gradT TT

    x

    T

    y

    T

    z= =

    , ,

    El gradiente apunta a la direccin de mximo crecimiento de la funcin T. Adems, su mdulo es el ritmo de crecimiento sobre dicha direccin.

    El operador

    = + +! ! !i

    xj

    yk

    z

    Gradiente: =T Tgrad Divergencia: =! !v vdiv Rotacional: =! !v vrot DIVERGENCIA

    = + +!vv

    x

    v

    y

    v

    zx y z

    La divergencia es una medida de cmo el campo vectorial se extiende desde el punto aplicado. ROTACIONAL

    =!

    ! ! !

    v

    i j k

    x y zv v vx y z

    El rotacional es una medida de cunto gira el campo vectorial alrededor de un punto dado.

  • lgebra vectorial para Electromagnetismo pgina 4

    R e g l a s d e m u l t i p l i c a c i n

    + = + ( )f g f g + = + ( )! ! ! !A B A B

    + = + ( ) ( ) ( )

    ! ! ! !A B A B

    = ( )kf k f = ( ) ( )kA k A

    ! ! = ( ) ( )kA k A

    ! !

    Reglas para gradientes:

    = + ( )fg f g g f

    = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! ! ! ! ! ! ! ! ! !A B A B B A A B B A

    Reglas para divergencias:

    = + ( ) ( ) ( )fA f A A f! ! !

    = ( ) ( ) ( )! ! ! ! ! !A B B A A B

    Reglas para rotacionales:

    = ( ) ( ) ( )fA f A A f! ! !

    = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! ! ! ! ! ! ! ! ! !A B B A A B A B B A

    Reglas de cocientes:

    =

    fg

    g f f g

    g2

    =

    ! ! !A

    g

    g A A g

    g

    ( ) ( )2

    =

    + ! ! !A

    g

    g A A g

    g

    ( ) ( )2

    S e g u n d a s d e r i v a d a s

    1. Divergencia de un gradiente: ( )T

    = + +( )TT

    x

    T

    y

    T

    z

    2

    2

    2

    2

    2

    2 (Laplaciano de T)

    Laplaciano de un vector:

    = + + 2 2 2 2!! ! !

    v v i v j v kx y z( ) ( ) ( )

  • lgebra vectorial para Electromagnetismo pgina 5

    2. Rotacional de un gradiente: ( )T

    =( )T 0 3. Gradiente de una divergencia: ( )!v 4. Divergencia de un rotacional: ( )!v

    =( )!v 0 5. Rotacional de un rotacional: ( )!v

    = ( ) ( )! ! !v v v2 T e o r e m a d e l g r a d i e n t e

    ( ) ( ) ( ) = T dl T b T aa

    b !

    ( ) T dla

    b ! es independiente del camino

    ( ) = T dl! 0

    T e o r e m a d e l a d i v e r g e n c i a d e G a u s s

    ( ) = ! ! !v dV v dSV S

    T e o r e m a d e S t o k e s

    ( ) = ! ! ! !v dS v dllS

  • lgebra vectorial para Electromagnetismo pgina 6

    E c u a c i o n e s d e M a x w e l l

    Caso general:

    =

    =

    =

    = +

    !

    !!

    !

    ! !!

    E

    EB

    t

    B

    B JE

    t

    1

    0

    0

    0 0 0

    Caso particular:

    =

    =

    =

    = +

    !

    !!

    !

    ! !!

    D

    EB

    t

    B

    H JD

    t

    f

    f

    0

    C a m p o s a u x i l i a r e s

    Definiciones:

    ! ! !

    ! ! !

    D E P

    H B M

    = +

    =

    0

    0

    1

    En medios lineales:

    ! !

    ! !

    ! !

    ! !

    P E

    M H

    D E

    H B

    e

    m

    =

    =

    =

    =

    0

    1

    P o t e n c i a l e s

    !

    !

    ! !

    E VA

    t

    B A

    =

    =

  • lgebra vectorial para Electromagnetismo pgina 7

    L e y d e f u e r z a d e L o r e n t z

    ! ! ! !F q E v B= + ( ) E n e r g a , m o m e n t o y p o t e n c i a

    Energa:

    W E B d= +

    12 10 2 0 2

    Momento:

    ! ! !P E B d= 0 ( )

    Vector de direccin:

    ! ! !S E B=

    1

    0( )

    Frmula de Larmor:

    Pq a

    c=

    1

    4

    2

    30

    2 2

    3

    C o n s t a n t e s f u n d a m e n t a l e s

    0

    12 2 28 85 10= , c N m permitividad del vaco 0

    7 24 10= N A permeabilidad del vaco c m sg= 3 108 velocidad de la luz e c= 1 6 10 19, carga del electrn m kg= 9 11 10 31, masa del electrn C o n v e r s i n d e e s f r i c a s a c a r t e s i a n a s

    ( )

    x r

    y r

    z r

    i r

    j r

    k r

    r x y z

    x y

    z

    y x

    r i j k

    i j

    =

    =

    =

    = +

    = + +

    =

    = + +

    =

    +

    =

    = + +

    = +

    sen cos

    sen sen

    cos

    sen cos cos cos sen

    sen sen cos sen cos

    cos sen

    arctg

    arctg

    sen cos sen sen cos

    cos cos cos sen

    ! ! ! !

    ! ! ! !

    ! ! !

    ! ! ! !

    ! ! !

    2 2 2

    2 2

    2

    = +

    sen

    sen cos

    !

    ! ! !k

    i j