Análisis y Diseño de Controladores de...

Análisis y Diseño de Controladores de ConvertidoresContinua-Continua mediante µ-Análisis

AUTOR: José Luis Alonso Bartolomé.DIRECTOR: Enric Vidal Idiarte.

FECHA: Abril 2003.

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Índice

1 INTRODUCCIÓN ........................................................................................................1

2 BASE TEÓRICA.........................................................................................................2

3 APLICACIÓN A UN CONVERTIDOR BOOST .....................................................6

3.1 Modelo del Sistema ...........................................................................................................................................6

3.2 Especificaciones del Sistema...........................................................................................................................7

3.3 Análisis del Comportamiento Nominal .......................................................................................................83.3.1 Cálculo de las Funciones de Ponderación............................................................................................ 8

3.4 Utilización de las Incertidumbres No Estructuradas ..............................................................................93.4.1 Cálculo de las Funciones de Ponderación de las Incertidumbres No Estructuradas ................. 103.4.2 Diseño del Controlador Robusto ......................................................................................................... 143.4.3 Resultados Obtenidos............................................................................................................................ 18

3.5 Utilización de las Incertidumbres Estructuradas...................................................................................273.5.1 Conversión del Sistema ......................................................................................................................... 313.5.2 Diseño del Controlador.......................................................................................................................... 363.5.3 Resultados Obtenidos............................................................................................................................ 39

4 COMPARACIÓN DEL CONTROL H∞ RESPECTO AL CONTROL µ PARAUN CONVERTIDOR BOOST .........................................................................................52

4.1 Antecedentes .....................................................................................................................................................52

4.2 Utilización de las Incertidumbres No Estructuradas ............................................................................544.2.1 Resultados Obtenidos............................................................................................................................ 57

4.3 Utilización de las Incertidumbres Estructuradas...................................................................................664.3.1 Resultados Obtenidos............................................................................................................................ 68

5 ANÁLISIS µ DE LA IMPEDANCIA DE SALIDA DE UN CONVERTIDORBUCK CON FILTRO DE ENTRADA.............................................................................82

5.1 Modelo del Sistema .........................................................................................................................................82

5.2 Especificaciones del sistema.........................................................................................................................83

5.3 Planteamiento del Análisis µ .......................................................................................................................845.3.1 Cálculo de las Funciones de Ponderación.......................................................................................... 855.3.2 Conversión del Sistema ......................................................................................................................... 86

5.4 Análisis µ del sistema con un control PID................................................................................................945.4.1 Análisis de la Estabilidad Robusta del Sistema...............................................................................101

5.5 Análisis µ Cambiando el Objetivo de Comportamiento.................................................................... 108

5.6 Diseño de un Nuevo Controlador Utilizando la Síntesis µ ............................................................... 116

iii

5.6.1 Resultados Obtenidos..........................................................................................................................119

5.7 Análisis del Comportamiento de IL1........................................................................................................ 1215.7.1 Planteamiento del Análisis ..................................................................................................................1235.7.2 Cálculo de las Funciones de Ponderación........................................................................................1235.7.3 Conversión del Sistema .......................................................................................................................1245.7.4 Análisis µ...............................................................................................................................................132

6 CONCLUSIONES.................................................................................................. 135

A 1 JUSTIFICACIÓN DE LA UTILIZACIÓN DE BLOQUES COMPLEJOS .. 136

A 2 CÓDIGO DE ARCHIVO MATLAB UTILIZADOS......................................... 138

A 3 REFERENCIAS.................................................................................................. 197

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Índice de Figuras

Fig. 1. Planta nominal............................................................................................................ 2

Fig. 2. Planta nominal con incertidumbres ............................................................................ 3

Fig. 3. Representación ∆-M................................................................................................... 4

Fig. 4. Nueva representación ∆-M......................................................................................... 5

Fig. 5. Convertidor boost ....................................................................................................... 6

Fig. 6. Planta aumentada con Wdv, Wdz, Wp y Wcs................................................................ 8

Fig. 7. Incertidumbre aditiva.................................................................................................. 9

Fig. 8. Incertidumbre multiplicativa. ..................................................................................... 9

Fig. 9. Planta aumentada con Wdv, Wdz, Wp, Wcs, Wa y Wm................................................ 10

Fig. 10. Función de transferencia ( ) ( )( )sd

svsH o= para diferentes valores de los componentes

..................................................................................................................................... 12

Fig. 11. Sistema con incertidumbres.................................................................................... 12

Fig. 12. Respuesta de ( )( )sdsvo

''

............................................................................................... 13

Fig. 13. Comparación de ( )( )sdsvo

''

con la respuesta de H(s) variándolos parámetros ............ 14

Fig. 14. Estructura del bloque ∆ .......................................................................................... 14

Fig. 15. Módulo de funciones de transferencia sistema, Wd(s) y Wcs-1(s)........................... 16

Fig. 16. Valor de µ para incertidumbre no estructurada ...................................................... 17

Fig. 17. Ganancia de lazo del sistema para incertidumbres no estructuradas...................... 17

Fig. 18. Respuesta del sistema a una perturbación de +3 V en la entrada ........................... 19

Fig. 19. Respuesta del sistema a una perturbación de -3 V en la entrada............................ 19

Fig. 20. Respuesta del sistema a una perturbación de +0,55 A en la carga ......................... 20

Fig. 21. Respuesta del sistema a una perturbación de -0,35 A en la carga .......................... 20









v





Fig. 34. Sistema reformulado para incertidumbres estructuradas........................................ 27

Fig. 35. Diagrama de bloques del sistema con incertidumbres estructuradas ..................... 29

Fig. 36. Estructura del bloque ∆ .......................................................................................... 30


Fig. 38. Valor de µ para incertidumbres estructuradas ........................................................ 38

Fig. 39. Ganancia de lazo del sistema para incertidumbres estructuradas........................... 38

















Fig. 56. Valor de µ para incertidumbre estructuradas.......................................................... 53

Fig. 57. Valor de µ para incertidumbre no estructuradas..................................................... 53








vi
































Fig. 96. Convertidor buck con filtro de entrada................................................................... 82

Fig. 97. Sistema ponderado y realimentado......................................................................... 84

Fig. 98. Máscara de impedancias......................................................................................... 85

Fig. 99. Máscara de impedancias......................................................................................... 86

vii

Fig. 100. Impedancia de salida en lazo cerrado. .................................................................. 95

Fig. 101. Comparación de la impedancia de salida en lazo cerrado con la máscara deimpedancia. .................................................................................................................. 96

Fig. 102. Valor de µ para el convertidor buck con filtro de entrada estudiado. .................. 97

Fig. 103. Valor de µ sin variación de los parámetros. ......................................................... 97

Fig. 104. Valor de µ sólo con el efecto de la tolerancia de L1............................................. 98

Fig. 105. Valor de µ sólo con el efecto de la tolerancia de C.............................................. 98

Fig. 106. Valor de µ sólo con el efecto de la tolerancia de R. ............................................. 99

Fig. 107. Valor de µ sólo con el efecto de la tolerancia de Rd........................................... 100

Fig. 108. Valor de µ sólo con el efecto de la tolerancia de Rc........................................... 100

Fig. 109. Valor de µ sólo con el efecto de la tolerancia de Vg........................................... 101

Fig. 110. Respuesta frecuencial del sistema con Rd=0,33 Ω. ............................................ 102

Fig. 111. Respuesta frecuencial del sistema con Rd=0,08 Ω. ............................................ 102

Fig. 112. Respuesta temporal del sistema con Rd=0,33 Ω................................................. 103

Fig. 113. Respuesta temporal del sistema con Rd=0,08 Ω................................................. 103

Fig. 114. Valor de µ para el sistema con Rd=0,33±0,25 Ω.............................................. 104

Fig. 115. Valor de µ para estabilidad robusta del sistema con Rd=0,33±0,25 Ω............. 104







Fig. 122. Respuesta temporal de iL1 con Rd=0,08 Ω.......................................................... 108

Fig. 123. Máscara de impedancias..................................................................................... 109

Fig. 124. Máscara de impedancias..................................................................................... 109

Fig. 125. Comparación de la impedancia de salida en lazo cerrado con la nueva máscara deimpedancia. ................................................................................................................ 110

Fig. 126. Valor de µ para el convertidor buck con filtro de entrada estudiado. ................ 111

Fig. 127. Valor de µ sin variación de los parámetros. ....................................................... 111

Fig. 128. Valor de µ sólo con el efecto de la tolerancia de L1........................................... 112

Fig. 129. Valor de µ sólo con el efecto de la tolerancia de C............................................ 112

Fig. 130. Valor de µ sólo con el efecto de la tolerancia de R. ........................................... 113

Fig. 131. Valor de µ sólo con el efecto de la tolerancia de Rd........................................... 113

viii

Fig. 132. Valor de µ sólo con el efecto de la tolerancia de Rc........................................... 114

Fig. 133. Valor de µ sólo con el efecto de la tolerancia de Vg........................................... 114

Fig. 134. Valor de µ sólo con el valor límite de la tolerancia de Rc para el sistema sin otrastolerancias. ................................................................................................................. 115

Fig. 135. Valor de µ sólo con el valor límite de la tolerancia de Rc para el sistema con elresto de tolerancias..................................................................................................... 116

Fig. 136. Comparación entre máscara de impedancia e impedancia deseada.................... 117

Fig. 137. Valor de µ para controlador obtenido................................................................. 118

Fig. 138. Valor de µ para reducido controlador respecto a la máscara de impedanciamáxima....................................................................................................................... 119

Fig. 139. Tensión de salida para PID. ................................................................................ 120

Fig. 140. Tensión de salida para controlador obtenido mediante iteración D-K............... 120

Fig. 141. Tensión media de salida para ambos controladores. .......................................... 121

Fig. 142. Sistema ponderado y realimentado..................................................................... 123

Fig. 143. Inversa de la función objetivo Wi....................................................................... 124

Fig. 144. Valor de µ para el convertidor buck con filtro de entrada estudiado incluyendoiL1. .............................................................................................................................. 133

Fig. 145. Valor de µ para estabilidad robusta del convertidor buck con filtro de entradaestudiado incluyendo iL1. ........................................................................................... 133

Fig. 146. Valor de µ para incertidumbres tomadas de tipo real. ........................................ 136

Fig. 147. Valor de µ para incertidumbres tomadas de tipo complejo................................ 137

ix

Índice de Tablas

Tabla 1. Error máximo para ∆vin = + 3 V ............................................................................ 48

Tabla 2. Error máximo para ∆vin = - 3 V............................................................................. 48

Tabla 3. Error máximo para ∆io = + 0,55 A......................................................................... 48

Tabla 4. Error máximo para ∆io = - 0,35 A.......................................................................... 49

Tabla 5. Tiempo de establecimiento para ∆vin = + 3 V........................................................ 49

Tabla 6. Tiempo de establecimiento para ∆vin = - 3 V ........................................................ 49

Tabla 7. Tiempo de establecimiento para ∆ io = + 0,55 A.................................................... 49

Tabla 8. Tiempo de establecimiento para ∆ io = - 0,35 A..................................................... 50

Tabla 9. Tiempo de establecimiento para ∆vin = + 3 V........................................................ 50

Tabla 10. Tiempo de establecimiento para ∆vin = - 3 V ...................................................... 50

Tabla 11. Tiempo de respuesta para ∆ io = + 0,55 A ............................................................ 50

Tabla 12. Tiempo de respuesta para ∆ io = - 0,35 A............................................................. 51

Tabla 13. Error máximo para ∆vin = + 3 V .......................................................................... 78

Tabla 14. Error máximo para ∆vin = - 3 V........................................................................... 78

Tabla 15. Error máximo para ∆io = + 0,10 A....................................................................... 78

Tabla 16. Error máximo para ∆io = - 0,10 A........................................................................ 79

Tabla 17. Tiempo de establecimiento para ∆vin = + 3 V...................................................... 79


Tabla 19. Tiempo de establecimiento para ∆ io = + 0,10 A.................................................. 79

Tabla 20. Tiempo de establecimiento para ∆ io = - 0,10 A................................................... 80

Tabla 21. Tiempo de establecimiento para ∆vin = + 3 V...................................................... 80


Tabla 23. Tiempo de respuesta para ∆ io = + 0,10 A ............................................................ 80

Tabla 24. Tiempo de respuesta para ∆ io = - 0,10 A............................................................. 81

1

1 Introducción

La creciente exigencia en las especificaciones de diseño de los sistemas automáticos,ha llevado al desarrollo de nuevas técnicas de control muy diferentes a la teoría clásica. Asíuna de estas técnicas de control moderno sería la tratada en este proyecto: el controlrobusto.

La teoría del control robusto tiene en cuenta toda una serie de incertidumbres quepueden sufrir los sistemas. Así existirán diferentes causas que pueden generarincertidumbres:

• Modificaciones en el punto de trabajo de la planta o en el modelo nominal delsistema.

• Dinámica no lineal no considerada.

• Dinámica de alta frecuencia no modelada.

• Retardos de tiempo no contemplados.

• Imprecisiones en los parámetros, debidas al método de identificación y/omodelado empleado.

De estos factores podemos distinguir dos tipos de incertidumbre. Unas en las que seconoce que existen diferencias entre el sistema real y el modelo obtenido, y posiblementese tiene el tamaño de este error para determinadas entradas y salidas (p.e: no linealidadesno modeladas). Por otra parte tendremos las incertidumbres provocadas por las toleranciasen los componentes del sistema.

El objetivo final de la teoría de control sería encontrar un controlador fijo, lineal einvariante en el tiempo que cumpla con las especificaciones de diseño teniendo siempre encuenta las incertidumbres que existen en el sistema. De modo que este controladorimplantado en el proceso real sea capaz de asegurar un comportamiento estable y acorde alos requerimientos para todas las plantas posibles.

Así durante la década de los ochenta se desarrollaron diferentes métodos paraestudiar este tipo de controles:

• métodos H∞

• métodos LTR

• método de diseño IMC (Internal Model Control)

• métodos de Kharatinov

• método de Síntesis-µ

• método GPC (Generalized Predictive Control)

• método QFT (Quantitative Feedback Theory)

En el proyecto que nos ocupa se utilizará el método de síntesis µ juntamente con elmétodo H∞. Ambos métodos se describirán más adelante.

2

2 Base Teórica

En este proyecto se van a utilizar dos teorías complementarias de control robusto.Por una parte la teoría de control H∞ y por otra parte la teoría de la síntesis µ (o iteraciónD-K). A continuación se describirán los fundamentos de ambas técnicas.

De cara a lograr los requerimientos frecuenciales, se empleará la teoría de controlH∞. El comportamiento nominal conllevará trabajar sin incertidumbres. Supongamos unsistema como el de la figura:

G0

Ko

w e

yu

Fig. 1. Planta nominal

El sistema de la figura se puede describir en espacio de estado como:

wEuExCy

wEuExCe

wBuBxAx

⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅+⋅=

22212

12111

21&

(1)

Donde x representa las variables de estado del sistema, u las entradas de control, wlas entradas de perturbaciones, y las señales medidas para entradas del control y erepresenta las señales de error a minimizar.

El objetivo del control H∞ es minimizar la norma infinita de la matriz de funcionesde transferencia Tew, que relaciona el vector de perturbaciones w con el vector de errores e,de modo que

γ<∞ewT (2)

Donde ∞

⋅ representa la norma infinita matricial y γ es un número escalar positivo.Esta minimización se cumplirá encontrando un controlador estable K0 tal que

3

yKu ⋅= 0 (3)

En la figura anterior el bloque llamado G0 representa el modelo en espacio de estadode la planta (planta nominal) aumentada con funciones de ponderación. Estas funciones deponderación (pesos) están dispuestas en serie a las perturbaciones de entrada y a las señalesde error. Estos pesos estarán definidos en el dominio frecuencial y dictaminarán losobjetivos de comportamiento. De este modo, el valor máximo de las perturbaciones y loslímites de los errores vendrán dados por estas funciones de ponderación.

Si γ es menor que 1, los objetivos con respecto al comportamiento se cumplirán demodo que

∞∞∞=⋅ ewTew (4)

El siguiente paso será incluir las incertidumbres. Éstas se incluirán añadiendo unnuevo conjunto de entradas y salidas al sistema. Llamaremos v a las entradas referentes alas incertidumbres y z a las salidas. Las incertidumbres se pueden expresar mediantefunciones de ponderación aumentando así el orden de la planta. Son las llamadasincertidumbres no estructuradas. También se pueden expresar las incertidumbres en losparámetros, reformulando las matrices de estado de la planta, son las llamadasincertidumbres estructuradas. De este modo el sistema se transformará en:

G1

K1

w

z

yu

v

ewc ec

Fig. 2. Planta nominal con incertidumbres

El controlador K1 deberá cumplir:

γ<∞ccweT (5)

Donde

=

ez

ec (6)

4

y

=

wv

wc (7)

cc weT representa la matriz de funciones de transferencia entre las entradas wc y lassalidas ec. De este modo K1 asegurará un comportamiento robusto.

No obstante, K1 es un controlador subóptimo ya que γ no se reduce a su valormínimo. En este punto es en el que entra en escena el uso de la teoría de la síntesis µ. Eluso de µ permite al análisis y la síntesis de controladores para sistemas conincertidumbres. Todas las incertidumbres pueden extraerse del sistema y situarlas en unbloque ∆ de modo que el sistema pase a ser el de la siguiente figura:

MPlanta Nominal

u

zv

y

∆

Fig. 3. Representación ∆-M

El bloque M representa la planta nominal, opcionalmente aumentada por funcionesde ponderación. El bloque ∆ vendrá dado por una matriz diagonal. El valor del índice µviene dado por:

( ) ( ) ( ) 0det1

=∆−∆∆≡

MIminM

σµ (8)

A menos que ∆ haga singular a I-M∆, en cuyo caso µ(M)=0. ( )∆σ es el máximovalor propio y “det” se refiere al determinante.

Así µ nos da una medida del mínimo valor de ∆ que desestabiliza el lazo ∆-M. Éstese puede utilizar para calcular la estabilidad robusta y el comportamiento robusto. Paracada una de estas pruebas, el bloque ∆ debe estar definido de forma diferente. Para laestabilidad robusta, el bloque ∆ corresponde a las incertidumbre extraídas del sistemacomentadas anteriormente y denominadas ∆unc. Para el comportamiento robusto, el bloque∆ será una combinación de dos bloques: ∆unc como el bloque de las incertidumbres y ∆perf

como el bloque del comportamiento. El bloque M contendrá pues la planta nominalaumentada por las funciones de ponderación referentes a la incertidumbres y alcomportamiento. El nuevo sistema obtenido se puede ver en la siguiente figura:

5

PlantaAumentada

u

zv

y

perf

unc

∆∆

w e

Controlador

∆

M

Fig. 4. Nueva representación ∆-M

Los efectos de las especificaciones de comportamiento e incertidumbres secuantifican calculando µ de la anterior representación ∆-M.

Los bloque ∆ estarán escalados de tal modo que 1<∆∞

, los factores de escaladoestarán incluidos en M. Si el valor obtenido de µ es menor que la unidad, entonces laplanta será estable con el controlador obtenido para todas las incertidumbres especificadasrespetando en todo momento los objetivos de comportamiento indicados.

6

3 Aplicación a un Convertidor Boost

3.1 Modelo del Sistema

La planta a controlar mediante las técnicas de control robusto anteriormentecomentadas, será un convertidor elevador tipo boost. Como el de la figura:

+-

Vin

rl L

DC

rc

R Io

Fig. 5. Convertidor boost

Utilizaremos un modelo promediado y linealizado del convertidor. En el cualusaremos como variables de estado la intensidad en la bobina (i) y la tensión en elcondensador (v). Como entradas del sistema se tomarán las variaciones en la tensión dealimentación (vin), la variación en la carga (io) y el ciclo de trabajo (d). Como salida delsistema tendremos las variaciones de la tensión de salida (vo). El modelo a utilizar es elsiguiente:

⋅+

⋅=

di

v

Bvi

Avi

o

in

&

&

(9)

⋅+

⋅=

di

v

Evi

Cv o

in

o

Donde:

( )

( ) ( )

+⋅−

+⋅⋅

+⋅⋅

−

+⋅⋅

+−=

rcRCrcRCDR

rcRLDR

rcRDrcR

rlLA

1'

''1

(10)

7

( )( )

( )

( ) ( )

⋅+⋅−

+⋅−

⋅+⋅⋅+⋅

+⋅⋅⋅

=

2

2

'0

'''1

DrcRCV

rcRCR

DrcRLVrcDR

rcRLDrcR

LB

in

in

(11)

++⋅⋅

=rcR

RrcR

DrcRC

'(12)

( )

⋅+

⋅−

+⋅

−= 2'0

DrcRVrc

rcRrcR

E in (13)

Donde D’=1-D, siendo D el ciclo de trabajo.

3.2 Especificaciones del Sistema

Las especificaciones del convertidor serán de dos tipos:

• funcionales.

• estructurales.

Las especificaciones funcionales harán referencia al comportamiento del sistema. Asíse definirán la máxima perturbación a la entrada (∆vin), a la salida (∆io) y el máximo errorde la tensión de salida (∆vo). Y también el valor medio de la tensión de salida (Vo).

Las especificaciones estructurales serán aquellas que determinen la constitución delsistema. Así se definirán los valores nominales de los componentes y sus tolerancias, asícomo el valor nominal de la tensión de entrada (Vin).

En el caso que nos ocupa tendremos las siguientes especificaciones:

• ∆vin = ± 3 V.

• ∆io = + 0,55 A. ; - 0,35 A.

• ∆vo = 0 V.

• Vo = 24 V.

• L = 220 µH ± 20 %.

• C = 220 µF ± 10 %.

• R = 44 ± 4 Ω.

• rc = 0,04 ± 0,04 Ω.

• rl = 0,33 Ω.

• Vin = 12 V.

8

3.3 Análisis del Comportamiento Nominal

De cara a aplicar las técnicas de control robusto anteriormente mencionadas (H∞ yµ), necesitaremos utilizar un modelo aumentado de la planta. Este modelo aumentadodeberá incluir como mínimo los objetivos de control (especificaciones funcionales). Con locual sea cual sea la manera de modelar las incertidumbres del sistema las funciones deponderación (Wi) referidas a los objetivos del control serán las mismas. Así existiráncuatro funciones de ponderación que siempre estarán. Por una parte, una función quereflejará la especificación de variación máxima de la tensión de entrada. Esta función sellamará Wdv. Por otra parte, tendremos una función que representará la máxima variaciónde la corriente de salida. Esta función se llamará Wdz. Las entradas de estos dos bloqueserán entradas de la planta aumentada.

Las dos funciones restantes darán una idea de las variaciones de la tensión de salida ydel ciclo de trabajo. Las funciones asociadas serán respectivamente, Wp y Wcs. Las salidasde estos dos bloques serán salidas del sistema. La siguiente figura muestra la disposiciónde estos bloques (funciones de ponderación) en el sistema.

Modelo nominal delconvertidor

WP

Wdv

Wdz

Wcs

Ko

vi

io

voe2

e1

y2

y1

u1

d

w1

w2

Go

Fig. 6. Planta aumentada con Wdv, Wdz, Wp y Wcs.

3.3.1 Cálculo de las Funciones de Ponderación

Para el cálculo de los pesos anteriormente mencionado tendremos en cuenta quetanto las salidas como las entradas de la planta aumentada tienen norma infinita inferior ala unidad, con lo cual su valor estará entre 1 y –1. Así los pesos Wdv y Wdz seránfácilmente identificables. Simplemente tendrán los valores de las especificaciones delconvertidor a estudiar. Con lo que:

3=dvW (14)

55.0=dzW (15)

9

Los valores de Wp y Wcs serán más difíciles de calcular a priori, y se obtendránmediante el método de prueba y error. De todos modos, sabemos que Wp intentará que enestado estacionario la variación de la tensión de salida sea cero.

3.4 Utilización de las Incertidumbres No Estructuradas

Las incertidumbres no estructuradas se utilizan para introducir el efecto de errores demodelado y variaciones en los componentes del sistema. Así mediante funciones deponderación dependientes de la frecuencia se intentarán reproducir estos efectos. Cuantamayor información se disponga de estas incertidumbres, más efectivos serán estos pesos yel controlador robusto que resulte tendrá mejores prestaciones. De todos modos, estainformación no siempre es fácil de obtener, con lo cual los resultados obtenidos no serán lomás optimizados posible. Distinguiremos dos clases de incertidumbres no estructuradas:

• Aditivas: son aquellas en las que a la función de transferencia nominal delsistema se sumará el efecto de la incertidumbre aditiva. La figura siguienterepresenta este tipo de incertidumbre, donde gnom es la función de transferencianominal del sistema y ∆ga es la incertidumbre aditiva.

gnom

∆ga

Fig. 7. Incertidumbre aditiva.

• Multiplicativas: son aquellas en las que a la función de transferencia nominal delsistema se suma el producto de la misma función de transferencia multiplicadapor la función de la incertidumbre. La figura siguiente representa este tipo deincertidumbre, donde gnom es la función de transferencia nominal del sistema y∆gm es la incertidumbre multiplicativa.

gnom

∆gm

Fig. 8. Incertidumbre multiplicativa.

Ambos tipos de incertidumbre son perfectamente compatibles.

10

3.4.1 Cálculo de las Funciones de Ponderación de las Incertidumbres No Estructuradas

Una vez vistos los diferentes métodos de modelar las incertidumbres y justificada lapresencia de los pesos que hacen referencia a las especificaciones del sistema,intentaremos reflejar el efecto de las incertidumbres de cara a completar el modeloaumentado de la planta.

De cara a flexibilizar el método se utilizarán ambas incertidumbres (aditiva ymultiplicativa) simultáneamente. La disposición dentro del diagrama de bloques de laplanta aumentada será la siguiente:


WP

Wdv

Wdz

Wm

K1

vi

io

voe2

e1

y2

y1

u1

d

w1

w2

G1

Wa

Wcs

v1

v2

z1

z2

Fig. 9. Planta aumentada con Wdv, Wdz, Wp, Wcs, Wa y Wm.

Donde Wa es la función que representa una incertidumbre no estructurada aditiva yWm representa una incertidumbre no estructurada multiplicativa. Estos pesos definen elcanal de incertidumbres cuyas entradas/salidas son z1,2 y v1,2.

El método para encontrar estos pesos es el siguiente:

• Encontrar la función de transferencia tensión de salida (vo) - ciclo de trabajo (d)para diferentes valores de los componentes del sistema.

• Generar la respuesta frecuencial de las funciones de transferencia anteriormentecitadas.

• Generar una función de transferencia incluyendo los pesos Wa y Wm.

• Modificando las funciones de pesos Wa y Wm intentar imitar el límite superior deganancia de la respuesta frecuencial de las funciones de transferencia del sistema.

11

La realización los dos primeros pasos se hará mediante la función implementada enMatlab rango_ft_sistema.m. En esta función se generan toda una serie de valores de loscomponentes que tienen tolerancia, se construye la función de transferencia y se representasu respuesta frecuencial en un diagrama de Bode. A modo de ejemplo podemos ver tres delas posibles funciones de transferencia y sus correspondientes respuesta frecuenciales.

Para L = 264 µH , C = 198 µF, R = 48 Ω y rc = 0, la función de transferencia es:

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )33

43

109288,167761,0109288,167761,0107223,3

109670,5⋅⋅−+⋅⋅++

⋅−⋅⋅−==

jsjss

sdsv

sH o

(15)

Para L = 176 µH , C = 198 µF, R = 40 Ω y rc = 0,08, la función de transferencia es:

( ) ( )( )

( )( )( )( ) ( )( )33

441

102560,21048,1102560,21048,1103131,6106120,4

101320,1⋅⋅−+⋅⋅++

⋅+⋅−⋅⋅−== −

jsjsss

sdsv

sH o

(16)

Para L = 264 µH , C = 242 µF, R = 48 Ω y rc = 0,08, la función de transferencia es:

( ) ( )( )

( )( )( )( ) ( )( )33

442

106960,173755,0106960,173755,0101653,5107159,3

104361,9⋅⋅−+⋅⋅++

⋅+⋅−⋅⋅−== −

jsjsss

sdsv

sH o

(17)

Nótese la ausencia de un cero para un valor nulo de la resistencia serie delcondensador (rc) y la presencia de un cero en el semiplano positivo típico en esta topologíade convertidor, provocando que éste sea un sistema de fase no mínima.

El resultado obtenido al ejecutar el archivo de Matlab mencionado anteriormente esel siguiente diagrama de Bode:

12

Fig. 10. Función de transferencia ( ) ( )( )sd

svsH o= para diferentes valores de los componentes

Una vez hecho esto el siguiente paso es encontrar una función de transferencia queincluya los pesos de Wa y Wm. Esta función de transferencia deberá reproducir elcomportamiento frecuencial del límite superior de la figura anterior. Para construirlautilizaremos la función de transferencia Hn(s), que será la función H(s) para los valoresnominales de los componentes (L = 220 µH , C = 220 µF, R = 44 Ω y rc = 0,04), y lasfunciones de ponderación Wa y Wm. De este modo emularemos las divergencias entreHn(s) y el límite superior de ganancia anteriormente comentado. Así suponiendo undiagrama de esta forma:

Hn(s)

Wa(s)

Wm(s)

d' d vo vo'

Fig. 11. Sistema con incertidumbres.

13

Analizando el esquema anterior podemos encontrar la función de transferencia entrevo’ y d’. De modo que:

( )( )

( )( )sWsHsWsdsv

mnao +⋅+= 1)()(''

(18)

Esta función está implementada en el archivo de Matlab encontrar_wa_y_wm.m. Asícambiando la situación de los polos, ceros y ganancia de estas funciones de ponderaciónvamos aproximando la función al límite superior de ganancia (comportamiento deseado).Después de un procedimiento de prueba y error encontramos:

( )( )54

4

10106103

95,0)(+⋅+

⋅+⋅=

sss

sWa (19)

3105110

5,1)(⋅+

+⋅=

ss

sWm (20)

La respuesta de la función de transferencia ( )( )sdsvo

''

es en este caso:

Fig. 12. Respuesta de ( )( )sdsvo

''

14

Si la superponemos a la figura de la respuesta con las variaciones de los parámetros:

Fig. 13. Comparación de ( )( )sdsvo

''

con la respuesta de H(s) variándolos parámetros

Podemos ver como ( )( )sdsvo

''

(línea a puntos) es una buena aproximación del límite

superior de ganancia.

Una vez decididas estas dos funciones, ya tenemos todos los elementos para calcularel control robusto de esta planta. Como se ha dicho anteriormente, las funciones Wp y Wcs

se ajustarán en el proceso de diseño del controlador de cara a obtener los resultadosdeseados.

3.4.2 Diseño del Controlador Robusto

De cara a diseñar el controlador cerraremos el lazo con el bloque ∆ apropiado. Eneste caso se utilizará un bloque de la forma:

∆

∆

∆

perf

unc

0

0z1, z2

e1, e2

v1, v2

w 1, w2

Fig. 14. Estructura del bloque ∆

15

El significado del bloque es el siguiente:

• ∆unc : Bloque debido a los dos canales de incertidumbres no estructuradas. Asícorresponderá a dos bloque complejos de primer orden (1x1).

• ∆perf : Bloque debido a los canales de comportamiento del sistema. Asícorresponderá a un bloque complejo de segundo orden (2x2).

Una vez definido este bloque estaremos en disposición de comenzar la iteración D-K.Éste método es un algoritmo iterativo utilizado para conseguir un controlador robustoóptimo. Las tres fases de éste son:

• Cálculo de un controlador H∞ subóptimo (K1).

• Cálculo del índice µ a partir de la respuesta frecuencial del sistema en lazocerrado (con el nuevo controlador K1).

• Cálculo de la matriz de escalado D que aumentará el sistema para la iteraciónsiguiente de modo que 1

1−

+ ⋅⋅= DMDM nn .

Estas tres fases se repiten hasta encontrar un controlador óptimo de tal modo que elíndice µ sea menor que uno. De esta manera se asegura estabilidad y comportamientorobusto para las incertidumbres especificadas en el sistema. Normalmente, este métodogenera un controlador de un orden grande, así que será necesario utilizar algún algoritmopara reducir su orden.

Este método está implementado en la rutina de Matlab dkit.

Llegados a este punto ya tenemos todos los elementos necesarios para calcular elcontrolador robusto. Así todo este sistema se implementará en Matlab utilizando losarchivos no_estructuradas.m y dk_defin_boost3.m. El primer archivo a partir de larepresentación en espacio de estado del sistema y de las funciones de ponderación seconstruirá un sistema aumentado y posteriormente se ejecutará el método de iteración D-K.Los parámetros de esta iteración estarán contenidos en el segundo archivo. En éste sefijarán aspectos como el número de medidas, de controles, la forma de la matriz ∆, el rangode frecuencias del sistema, el número de iteraciones, etc.

Ajustando los valores de Wp y Wcs a:

5

64

1010

105)(−

−

++

⋅⋅=ss

sW p (21)

8

43

1010

102)(++

⋅⋅=ss

sWcs (22)

De cara a ver la forma de estas funciones comparadas con las funciones detransferencia del sistema se dibujará en el mismo gráfico el módulo de éstas junto con elmódulo de Wp(s) y Wcs

-1(s). De este modo en línea continua se representará el módulo delas funciones de transferencia, en línea discontinua Wp(s) y en línea y puntos Wcs

-1(s):

16

Fig. 15. Módulo de funciones de transferencia sistema, Wd(s) y Wcs-1(s)

Obtenemos un controlador de orden 15. Utilizando el archivo de Matlab sys2tf2.m yoperando, reducimos el orden hasta conseguir el siguiente controlador de orden 5 para larealimentación de la tensión de salida. La función de transferencia de la realimentación detensión será:

( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )5544

22311

1097377,06683,11097377,06683,1107722,9103917,1103244,67893,4103244,67893,4108414,5

105332,1)(⋅⋅−+⋅⋅++⋅+⋅+⋅

⋅⋅−+⋅⋅++⋅+⋅⋅−=

jsjssssjsjss

sKov

(23)

La función de transferencia del control feedforward es:

041296,0)( −=sKiv (24)

El valor del índice µ para este controlador es:

17

Fig. 16. Valor de µ para incertidumbre no estructurada

El valor máximo de µ para este caso es 0,816 con lo cual se cumple µ<1. De modoque el sistema tendrá estabilidad y comportamiento robusto.

Si dibujamos la ganancia de lazo del sistema para la planta nominal, obtenemos eldiagrama de Bode siguiente:

Fig. 17. Ganancia de lazo del sistema para incertidumbres no estructuradas

18

Podemos observar como el sistema tiene 108,86º de margen de fase y 11,902 dB demargen de ganancia con el controlador obtenido utilizando incertidumbres noestructuradas.

Modificando los pesos Wp y Wcs se podía haber encontrado controles con menormargen de fase y pero las respuestas eran excesivamente oscilatorias.

3.4.3 Resultados Obtenidos

De cara a simular la respuesta del sistema para el controlador anteriormentemencionado utilizaremos el programa Simulink. De modo que se realizará la simulación decuatro casos:

• la planta con los valores nominales (L = 220 µH , C = 220 µF, R = 44 Ω y rc =0,04). (Caso A)

• la planta con el valor máximo de los elementos reactivos, mínima resistencia decarga y resistencia serie del condensador máxima (L = 264 µH , C = 242 µF, R =40 Ω y rc = 0,08). (Caso B)

• la planta con el valor mínimo de los elementos reactivos, máxima resistencia decarga y resistencia serie del condensador nula (L = 176 µH , C = 198 µF, R = 48Ω y rc = 0). (Caso C)

• la planta con el valor máximo de los elementos reactivos, mínima resistencia decarga y resistencia serie del condensador nula (L = 264 µH , C = 242 µF, R = 40Ω y rc = 0). (Caso D)

Para cada caso haremos cuatro simulaciones con los valores máximos deperturbación en la entrada y en la carga (∆vin = + 3 V; ∆vin = - 3 V ;∆io = + 0,55 A ; ∆io = -0,35 A). Estas perturbaciones se generarán a los 30 ms de simulación.

19

PLANTA NOMINAL (Caso A)

• ∆vin = + 3 V

Fig. 18. Respuesta del sistema a una perturbación de +3 V en la entrada

• ∆vin = - 3 V

Fig. 19. Respuesta del sistema a una perturbación de -3 V en la entrada

20

• ∆io = + 0,55 A

Fig. 20. Respuesta del sistema a una perturbación de +0,55 A en la carga

• ∆io = - 0,35 A

Fig. 21. Respuesta del sistema a una perturbación de -0,35 A en la carga

21

PLANTA CON L Y C MÁXIMA, R MÍNIMA Y rc=0,08 (Caso B)

• ∆vin = + 3 V


• ∆vin = - 3 V


22

• ∆io = + 0,55 A


• ∆io = - 0,35 A


23

PLANTA CON L Y C MÍNIMA, R MÁXIMA Y rc=0 (Caso C)

• ∆vin = + 3 V


• ∆vin = - 3 V


24

• ∆io = + 0,55 A


• ∆io = - 0,35 A


25

PLANTA CON L Y C MÁXIMA, R MÍNIMA Y rc=0 (Caso D)

• ∆vin = + 3 V


• ∆vin = - 3 V


26

• ∆io = + 0,55 A


• ∆io = - 0,35 A


27

3.5 Utilización de las Incertidumbres Estructuradas

Como se ha visto en el capítulo anterior, el método por el cual se modelan lasincertidumbres de un modo no estructurado, no tiene en cuenta las incertidumbresindividuales de cada elemento del sistema. Así únicamente se tiene modelado el conjuntode todas las incertidumbres a través del límite superior de la ganancia de la respuestafrecuencial del sistema. En el capítulo que nos ocupa se utilizará un método alternativopara modelar incertidumbres, basándose en las incertidumbres individuales de cadaelemento del sistema: las incertidumbres estructuradas. De este modo podemos conseguirun modelado menos conservativo que con las incertidumbres no estructuradas. Ambosmétodos son compatibles así podemos utilizar las incertidumbres estructuradas para lasincertidumbres en los parámetros del sistema y las incertidumbres no estructuradas para loserrores de modelado del sistema.

La implementación de este método se hará reformulando las ecuaciones de espaciode estado de modo que se incluyan toda una serie de entradas y salidas adicionales (v3...vr,z3...zr).


WP

Wdv

Wdz

Wcs

K2

v i

io

voe2

e1

y2

y1

u1

d

w1

w2

G2

z3...zr v3...vr

Fig. 34. Sistema reformulado para incertidumbres estructuradas

De este modo, el sistema estará de la forma ∆-M que se requiere para el método desíntesis µ.

Así, primeramente se especificará el sistema en espacio de estado de la forma:

uExCyuBxAxF

⋅+⋅=⋅+⋅=⋅ &

(26)

La matriz F será una matriz diagonal que contiene los valores de todos lasinductancias y capacidades del sistema. Las incertidumbres de estos elementos semodelarán mediante un término multiplicativo de la forma:

28

( )fn IFF 1∆+= (27)

Donde Fn representa el valor nominal de los componentes, ∆1f representa el términode error multiplicativo de todos los componentes reactivos e I es la matriz identidad de ladimensión adecuada.

Si todos los elementos no tienen incertidumbre, entonces se hará la siguientedescomposición:

( )Tn QQIFF ⋅∆⋅+= 1 (28)

Donde:

Tf QQ ⋅∆⋅=∆ 11 (29)

De este modo ∆1 solamente describe los elementos que tienen incertidumbre mientrasse mantiene la compatibilidad dimensional. Además se escalarán las señales asociadas a ∆1

de cara a que sean comparables con los niveles de la síntesis µ. De manera que seintroducirá la matriz de escalado Fns y su inversa, donde:

QFQF nT

ns ⋅⋅= (30)

Sin este escalado, los valores iniciales de γ devuelto por el método H∞ son demasiadograndes.

Después de estudiar las perturbaciones en los elementos reactivos añadiremos lasperturbaciones en los elementos resistivos. Éstas se introducirán como incertidumbresaditivas de modo que:

( ) ( ) ( )( ) ( ) uEExCCy

uBBxAAxQQIF Tn

⋅∆++⋅∆+=

⋅∆++⋅∆+=⋅⋅∆⋅−⋅ &1 (31)

De cara a descomponer las incertidumbres resistivas en un bloque diagonal ∆2 seutilizará la siguiente descomposición:

∆∆

∆∆

∆∆

∆∆

⋅∆⋅=∆

⋅∆⋅=∆⋅∆⋅=∆⋅∆⋅=∆

EBE

CBCEABCAA

2

2

2

2

(32)

29

La descomposición anterior se puede calcular definiendo las siguientes matrices:

[ ]∆∆∆

∆

∆∆

∆

=

=

∆∆∆∆

=

ECH

BA

G

ECBA

J

(33)

De modo que

∆∆∆ ⋅∆⋅= HGJ 2 (34)

La matriz J∆ se determina introduciendo las perturbaciones de los elementosresistivos en las ecuaciones de espacio de estado. Después se elegirá la matriz diagonal ∆2.Ésta tendrá orden k, donde k será el número de términos distintos de cero de la matriz J∆.Con lo cual la matriz G∆ tendrá unas dimensiones p x k, y la matriz H∆ será k x q, donde pes igual al número de estados más el número de salidas del sistema y q será igual alnúmero de estados más el número de entradas del sistema.

De este modo el sistema tendrá el siguiente diagrama de bloques:

Fns-1

QT

Fns

Q

∆1

CFn-1B

∆2

A

B∆

A∆

E∆ C∆

I-QQT

E

∫+

-u y

vLC zLC

v R zR

Fig. 35. Diagrama de bloques del sistema con incertidumbres estructuradas

Y se puede reformular de modo que:

⋅+⋅=

⋅+⋅=

uvv

ExCy

zz

uvv

BxAx

R

LC

R

LC

R

LC

11

11&

(35)

30

Donde :

[ ]

⋅⋅⋅⋅⋅⋅−=

⋅⋅⋅=

⋅⋅⋅−=

⋅=

∆

∆

−∆

−

∆

−

−∆

−−

−

EBE

BFQFAFQFIE

CC

AFQFC

BFAFFQB

AFA

nT

nsnT

ns

nT

ns

nnns

n

000

11

1

1

1

1111

11

(36)

Como último paso para diseñar el controlador cerraremos el lazo con el bloque ∆apropiado. En este caso se utilizará un bloque de la forma:

∆

e1, e2w1, w2

dLC

∆∆

∆

perf000000

2

1

d R

zLC

zR

vLC

vRv3-vr z3-zr

Fig. 36. Estructura del bloque ∆

El significado del bloque es el siguiente:

• ∆1 : Bloque debido a los canales de incertidumbres estructuradas relativos a loselementos reactivos. Así corresponderá a n bloques reales de primer orden (1x1).Donde n es el número de elementos reactivos que tienen incertidumbre. Lasentradas a este bloque vendrán escaladas por la matriz diagonal dLC quecontendrá las tolerancias multiplicativas de los elementos.

• ∆2 : Bloque debido a los canales de incertidumbres estructuradas relativos a loselementos resistivos. Así corresponderá a r bloques reales de primer o mayororden (elementos repetidos). Donde r es el número de elementos resistivos quetienen incertidumbre.

• ∆perf : Bloque debido a los canales de comportamiento del sistema. Asícorresponderá a un bloque complejo (en nuestro caso, de segundo orden (2x2)).

Una vez definido este bloque ya estaremos en disposición para comenzar la iteraciónD-K.

31

3.5.1 Conversión del Sistema

Después de ver el modo de incluir las incertidumbres estructuradas en el sistemapasaremos a ver cómo se ha implementado el método en nuestro convertidor boost.

En primer lugar definiremos el sistema según (26). Así:

=

CL

F0

0(37)

( )

( ) ( )

+−

+⋅

+⋅

−

+⋅⋅

+−=

rcRrcRDR

rcRDR

rcRDrcR

rlA

1'

''

(38)

( )( )( )

( ) ( )

⋅+−

+−

⋅+⋅+⋅

+⋅⋅

=

2

2

'0

'''

1

DrcRV

rcRR

DrcRVrcDR

rcRDrcR

Bin

in

(39)

++⋅⋅

=rcR

RrcR

DrcRC

'(40)

( )

⋅+

⋅−

+⋅

−= 2'0

DrcRVrc

rcRrcR

E in (41)

Donde D’=1-D, siendo D el ciclo de trabajo.

Sustituyendo los valores de F por sus valores con incertidumbre aditiva:

( )( )

∆⋅+⋅

∆⋅+⋅=

Cn

Ln

CL

F1,010

02,01(42)

Descomponiendo

∆⋅+

∆⋅+⋅

=

C

L

n

n

CL

F1,01002,01

00

(43)

32

Identificando términos obtenemos las siguientes matrices:

=

n

nn C

LF

00

(44)

=

1001

Q (45)

∆

∆=∆

C

L

00

1 (46)

=

1,0002,0

LCd (47)

De este modo ya tenemos todas las matrices que intervienen en las incertidumbres delos elementos reactivos.

Par las incertidumbres de los elementos resistivos haremos la consideración R >> rc.

De este modo las matrices del sistema serán:

−

−⋅−−=

RD

DDrcrlA 1

'

''(48)

⋅−−

⋅⋅

+⋅=

2

2

'10

'''1

DRV

DRVrc

DV

DrcB

in

inin

(49)

[ ]1'DrcC ⋅= (50)

⋅⋅

−−=2'

0DRVrc

rcE in (51)

Si

RRRrcrcrc

n

n

∆+=∆+=

(52)

33

Sustituyendo

( )

( )

∆+−

−⋅∆+−−=∆+

RRD

DDrcrcrlAA

n

n

1'

''(53)

( ) ( )( )

( )

⋅∆+−−

⋅∆+⋅∆+

+⋅∆+=∆+

2

2

'10

'''1

DRRV

DRRVrcrc

DV

DrcrcBB

n

in

n

inninn

(54)

( )[ ]1'DrcrcCC n ⋅∆+=∆+ (55)

( ) ( )( )

⋅∆+⋅∆+

−∆+−=∆+2'

0DRRVrcrc

rcrcEEn

innn (56)

Haciendo la sustitución:

RRRR

∆+−=∆

11' (57)

Considerando que 0' =∆⋅∆ Rrc , obtenemos:

∆

⋅∆−=∆

'00'R

DrcA (58)

( )

∆⋅−

∆+∆⋅⋅−⋅

⋅∆=∆

''

00

''

'1

2

2

RDV

rcRRrcDR

VDrc

Bin

in

(59)

[ ]0'DrcC ⋅∆=∆ (60)

( )

∆+∆⋅⋅−

⋅−∆−=∆ rcRRrc

DRV

rcE in ''

02

(61)

34

De modo que

( )

( )

∆+∆⋅⋅−⋅

−∆−⋅∆

∆⋅−∆

∆+∆⋅⋅−⋅

⋅∆⋅∆−

=∆

rcRRrcDR

VrcDrc

RDV

R

rcRRrcDR

VDrcDrc

J

in

in

in

''

00'

''

00'0

''

'00'

2

2

2

(62)

Podemos ver que J∆ tiene 8 términos diferentes de cero de modo que una posibledescomposición en matrices podría ser:

( )',',',,,,,2 RRRrcrcrcrcrcdiag ∆∆∆∆∆∆∆∆=∆ (63)

⋅⋅

−−

⋅−

⋅−

=∆

0'

0''

010

'0100000

0'

000'

''

22

2

22

DrcV

DDR

VDV

DrcV

DRV

DD

G

inin

in

inin

(64)

=∆

1000010000000100000110000100000100000001

H (65)

De modo que:

⋅−

⋅−

=∆

2

22

'0100000

0'

000'

''

DV

DrcV

DRV

DDA

in

inin

(66)

35

⋅⋅

−−=∆ 0'

0''

01022 DrcV

DDR

VB inin (67)

=∆

0000100100000001

C (68)

=∆

100100000000100100010000

E (69)

De cara a definir la matriz dR debemos encontrar los márgenes de ∆R’:

• Encontraremos los límites de R’

481

4441

' =+

=minR

(70)

401

4441

'máx =−

=R

• El valor nominal será

48011

2401

481

2''

' máx =+

=+

=RR

R minn (71)

36

• Con lo que

4801

''''' máx =−=−=∆ RRRRR nnmin (72)

Así

=

4801

;480

1;

4801

;04,0;04,0;04,0;04,0;04,0diagd R (73)

Con todas las matrices obtenidas construiremos las nuevas matrices de estado A1, B1,C1 y E1, de acuerdo a la ecuación (36).

3.5.2 Diseño del Controlador

Llegados a este punto ya tenemos todos los elementos necesarios para calcular elcontrolador robusto. Así todo este sistema se implementará en Matlab utilizando losarchivos parametricas2.m y dk_defin_boost4.m. El primer archivo a partir de la nuevarepresentación en espacio del sistema y de las funciones de ponderación se construirá unsistema aumentado y posteriormente se ejecutará la iteración D-K. Los parámetros de estaiteración estarán contenidos en el segundo archivo. En éste se fijarán aspectos como elnúmero de medidas, de controles, la forma de la matriz ∆, el rango de frecuencias delsistema, el número de iteraciones, etc.


5

64

1010

108)(−

−

++

⋅⋅=ss

sW p (74)

8

43

1010

102)(++

⋅⋅=ss

sWcs (75)



-1(s):

37


Y manteniendo:

3=dvW (76)

55.0=dzW (77)


( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )553

2210

104698,373748,0104698,373748,0100583,9103961,49143,9103961,49143,9

108439,1)(⋅⋅−+⋅⋅++⋅+⋅

⋅⋅−+⋅⋅++⋅⋅−=

jsjsssjsjs

sKov

(78)


04238,0)( −=sKiv (79)

38


Fig. 38. Valor de µ para incertidumbres estructuradas

El valor máximo de µ para este caso es 0,737 con lo cual se cumple µ<1. De modoque el sistema tendrá estabilidad y comportamiento robusto.


Fig. 39. Ganancia de lazo del sistema para incertidumbres estructuradas

39

Podemos observar como el sistema tiene 61,66º de margen de fase y 23,265 dB demargen de ganancia con el controlador obtenido utilizando incertidumbres estructuradas.

Podemos ver como el margen de fase del sistema utilizando el controlador halladomediante el método de las incertidumbres estructuradas es menor que el de lasincertidumbres no estructuradas. Lo cual ratifica que el método de incertidumbres noestructuradas es más conservativo que el método de las incertidumbres estructuradas.








40


• ∆vin = + 3 V


• ∆vin = - 3 V


41

• ∆io = + 0,55 A


• ∆io = - 0,35 A


42


• ∆vin = + 3 V


• ∆vin = - 3 V


43

• ∆io = + 0,55 A


• ∆io = - 0,35 A


44


• ∆vin = + 3 V


• ∆vin = - 3 V


45

• ∆io = + 0,55 A


• ∆io = - 0,35 A


46


• ∆vin = + 3 V


• ∆vin = - 3 V


47

• ∆io = + 0,55 A


• ∆io = - 0,35 A


48

De cara a comparar los resultados de las simulaciones por los dos métodospresentados (no estructuradas y estructuradas) podemos construir las siguientes tablas, enlas cuales se recogen los valores de error máximo (sobreimpulso), el tiempo deestablecimiento (considerado como el tiempo necesario para que el error de la tensión desalida sea 1,25 veces el error máximo en régimen estacionario) y por último el tiemponecesario para que el error del valor medio de la tensión de salida sea 50 mV (tiempo derespuesta):

ERROR MÁXIMO (SOBREIMPULSO)

• ∆vin = + 3 V

ESTRUCTURADAS NO ESTRUCTURADASCaso A 105 mV 78 mVCaso B 138 mV 131 mVCaso C 85 mV 92 mVCaso D 136 mV 128 mV

Tabla 1. Error máximo para ∆vin = + 3 V

• ∆vin = - 3 V


Tabla 2. Error máximo para ∆vin = - 3 V

• ∆io = + 0,55 A


Tabla 3. Error máximo para ∆io = + 0,55 A

49

• ∆io = - 0,35 A


Tabla 4. Error máximo para ∆io = - 0,35 A

TIEMPO DE ESTABLECIMIENTO

• ∆vin = + 3 V

ESTRUCTURADAS NO ESTRUCTURADASCaso A 0,8 ms 2,2 msCaso B 0,8 ms 6,7 msCaso C 6,2 ms 14,0 msCaso D 4,2 ms 14,4 ms

Tabla 5. Tiempo de establecimiento para ∆vin = + 3 V

• ∆vin = - 3 V


Tabla 6. Tiempo de establecimiento para ∆vin = - 3 V

• ∆io = + 0,55 A


Tabla 7. Tiempo de establecimiento para ∆io = + 0,55 A

50

• ∆io = - 0,35 A


Tabla 8. Tiempo de establecimiento para ∆io = - 0,35 A

TIEMPO DE RESPUESTA

• ∆vin = + 3 V



• ∆vin = - 3 V



• ∆io = + 0,55 A


Tabla 11. Tiempo de respuesta para ∆io = + 0,55 A

51

• ∆io = - 0,35 A


Tabla 12. Tiempo de respuesta para ∆io = - 0,35 A

Las conclusiones que podemos sacar de estas tablas son las siguientes:

• El sistema modelado mediante incertidumbres estructuradas tiene unos erroresmáximos mayores que con el sistema modelado mediante incertidumbres noestructuradas.

• El sistema modelado mediante incertidumbres estructuradas tiene menorestiempos de establecimiento que con el sistema modelado medianteincertidumbres no estructuradas.

• El sistema modelado mediante incertidumbres estructuradas tiene menor tiempode respuesta que con el sistema modelado mediante incertidumbres noestructuradas.

• En el sistema modelado mediante incertidumbres estructuradas, el tiempo derespuesta se mantiene prácticamente constante a pesar de que el valor de loscomponentes varíe. Por el contrario los resultados obtenidos del sistemamodelado con incertidumbres no estructuradas tienen diferencias considerablescuando el valor de los componentes varía.

52

4 Comparación del Control H∞ respecto al Control µ para unConvertidor Boost

4.1 Antecedentes

Una vez analizado el convertidor boost anterior, ahora se intentará aplicar estatécnica de diseño a la misma topología de convertidor pero con otras especificaciones. Éstase trató en [1] pero en este caso, aplicando únicamente la técnica H∞. Mediante estemétodo, se intentaba encontrar un controlador que fuera capaz de comportarse de un modopredeterminado, consiguiendo de esta manera el llamado comportamiento nominal. Sinembargo, en esta técnica de diseño no se tienen en cuenta las variaciones de losparámetros. Así si aplicamos las técnicas de análisis µ con las especificaciones propuestasen [1] los pesos a utilizar serán:

1,0=dzW (80)

3=dvW (81)

54

101

10)(−+

⋅=s

sW p (82)

8

44

1010

104)(⋅+⋅+

⋅⋅=ππ

ss

sWcs (83)

Y el controlador del sistema:

( )( ) ( )( )( )( )

−

⋅+⋅+⋅−+⋅++

⋅−=∞ 039,01013636,110167,5

10476,0746,210476,0746,21087568,1 54

335

sssjsjs

K

(84)

Mediante los archivos de Matlab prueba_mu.m y prueba_mu2.m, se calculará elvalor de µ utilizando los pesos y el controlador anteriormente citados para incertidumbresestructuradas y no estructuradas respectivamente. El valor de µ calculado para lasincertidumbres estructuradas es:

53

Fig. 56. Valor de µ para incertidumbre estructuradas

El valor de µ con las incertidumbres no estructuradas es:

Fig. 57. Valor de µ para incertidumbre no estructuradas

54

Se puede observar como claramente, el sistema no tiene un comportamiento robusto, conlo cual el comportamiento deseado no se cumplirá para las tolerancias propuestas de loscomponentes del sistema.

A continuación se intentará encontrar un controlador robusto para este sistemautilizando los mismos métodos de diseño que en los capítulos anteriores.

4.2 Utilización de las Incertidumbres No Estructuradas

En este caso, el método utilizado para hallar el controlador robusto ha sido el mismoque en el punto 3.4. La única diferencia ha sido la variación de algunos pesos debido alcambio de especificación de perturbación de carga. Así los pesos que modelan lasincertidumbres (Wa y Wm) no variarán ya que dependen de los componentes y sustolerancias, que no se han modificado. Tampoco cambiará Wdv porque la especificación deperturbación a la entrada tampoco ha cambiado. De modo que los pesos que han variadoson Wdz, Wp y Wcs . A priori sabemos que :

1,0=dzW (85)

Hecha esta modificación, el sistema se implementará en Matlab utilizando losarchivos no_estruct_quique.m y dk_defin_boost3.m.


5

63

1010

10)(−

−

++

⋅=ss

sW p (86)

8

43

1010

102)(++

⋅⋅=ss

sWcs (87)



-1(s):

55



( )( ) ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( ) ( )( )5544

22355

103824,11025,1103824,11025,1103337,4105501,2102530,10780,5102530,10780,5106493,9101291,6

103361,1)(⋅⋅−+⋅⋅++⋅+⋅+⋅

⋅⋅−+⋅⋅++⋅+⋅+⋅⋅−=

jsjssssjsjsss

sKov

(88)


041635,0)( −=sKiv (89)


56


El valor máximo de µ para este caso es 0.967 con lo cual se cumple µ<1. De modoque el sistema tendrá estabilidad y comportamiento robusto.



57









58


• ∆vin = + 3 V


• ∆vin = - 3 V


59

• ∆io = + 0,10 A


• ∆io = - 0,10 A


60


• ∆vin = + 3 V


• ∆vin = - 3 V


61

• ∆io = + 0,10 A


• ∆io = - 0,10 A


62


• ∆vin = + 3 V


• ∆vin = - 3 V


63

• ∆io = + 0,10 A


• ∆io = - 0,10 A


64


• ∆vin = + 3 V


• ∆vin = - 3 V


65

• ∆io = + 0,10 A


• ∆io = - 0,10 A


66

4.3 Utilización de las Incertidumbres Estructuradas

En este caso, el método utilizado para hallar el controlador robusto ha sido el mismoque en el punto 3.5. La única diferencia ha sido la variación de algunos pesos debido alcambio de especificación de perturbación de carga. Así el peso que modela laespecificación de perturbación a la entrada (Wdv ) no se ha modificado. De modo que lospesos que han variado son Wdz, Wp y Wcs . A priori sabemos que :

1,0=dzW (90)

Hecha esta modificación, el sistema se implementará en Matlab utilizando losarchivos estruct_quique.m y dk_defin_boost4.m.


5

63

1010

103)(−

−

++

⋅⋅=ss

sW p (91)

8

43

1010

102)(++

⋅⋅=ss

sWcs (92)



-1(s):


67

Obtenemos un controlador de orden 52. Utilizando el archivo de Matlab sys2tf.m yoperando, reducimos el orden hasta conseguir el siguiente controlador de orden 4 para larealimentación de la tensión de salida. La función de transferencia de la realimentación detensión será:

( )( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )( )444

229

109964,34514,3109964,34514,3102443,7100050,90679,6100050,90679,6

104978,4)(⋅⋅−+⋅⋅++⋅+⋅

⋅⋅−+⋅⋅++⋅⋅−=

jsjsssjsjs

sKov

(93)


0421,0)( −=sKiv (94)



El valor máximo de µ para este caso es 0.546 con lo cual se cumple µ<1. De modoque el sistema tendrá estabilidad y comportamiento robusto.


68









69


70


• ∆vin = + 3 V


• ∆vin = - 3 V


71

• ∆io = + 0,10 A


• ∆io = - 0,10 A


72


• ∆vin = + 3 V


• ∆vin = - 3 V


73

• ∆io = + 0,10 A


• ∆io = - 0,10 A


74


• ∆vin = + 3 V


• ∆vin = - 3 V


75

• ∆io = + 0,10 A


• ∆io = - 0,10 A


76


• ∆vin = + 3 V


• ∆vin = - 3 V


77

• ∆io = + 0,10 A


• ∆io = - 0,10 A


78

De cara a comparar los resultados de las simulaciones por los dos métodospresentados (no estructuradas y estructuradas) podemos construir las siguientes tablas, enlas cuales se recogen los valores de error máximo (sobreimpulso), el tiempo deestablecimiento (considerado como el tiempo necesario para que el error de la tensión desalida sea 1,25 veces el error máximo en régimen estacionario) y por último el tiemponecesario para que el error del valor medio de la tensión de salida sea 20 mV (tiempo derespuesta):

ERROR MÁXIMO (SOBREIMPULSO)

• ∆vin = + 3 V


Tabla 13. Error máximo para ∆vin = + 3 V

• ∆vin = - 3 V


Tabla 14. Error máximo para ∆vin = - 3 V

• ∆io = + 0,10 A


Tabla 15. Error máximo para ∆io = + 0,10 A

79

• ∆io = - 0,10 A


Tabla 16. Error máximo para ∆io = - 0,10 A

TIEMPO DE ESTABLECIMIENTO

• ∆vin = + 3 V



• ∆vin = - 3 V



• ∆io = + 0,10 A


Tabla 19. Tiempo de establecimiento para ∆io = + 0,10 A

80

• ∆io = - 0,10 A


Tabla 20. Tiempo de establecimiento para ∆io = - 0,10 A

TIEMPO DE RESPUESTA

• ∆vin = + 3 V



• ∆vin = - 3 V



• ∆io = + 0,10 A


Tabla 23. Tiempo de respuesta para ∆io = + 0,10 A

81

• ∆io = - 0,10 A


Tabla 24. Tiempo de respuesta para ∆io = - 0,10 A

En este caso las conclusiones que podemos sacar de estas tablas son similares a lashalladas en el punto 3.5.3 :

• El sistema modelado mediante incertidumbres estructuradas tiene unos erroresmáximos algo mayores que con el sistema modelado mediante incertidumbres noestructuradas.

• El sistema modelado mediante incertidumbres estructuradas tiene menorestiempos de establecimiento que con el sistema modelado medianteincertidumbres no estructuradas.

• El sistema modelado mediante incertidumbres estructuradas tiene menor tiempode respuesta que con el sistema modelado mediante incertidumbres noestructuradas.

• En el sistema modelado mediante incertidumbres estructuradas, el tiempo derespuesta se mantiene prácticamente constante a pesar de que el valor de loscomponentes varíe. Por el contrario los resultados obtenidos del sistemamodelado con incertidumbres no estructuradas tienen diferencias considerablescuando el valor de los componentes varía.

82

5 Análisis µ de la Impedancia de Salida de un Convertidor Buck conFiltro de Entrada

5.1 Modelo del Sistema

La planta a analizar mediante las técnicas de control robusto será un convertidor buck confiltro de entrada. El esquema del convertidor será:

VgR Ip

+-

C

L1

Cd

Rd

L2 RL

Co

Rc

Fig. 96. Convertidor buck con filtro de entrada

Utilizaremos un modelo promediado y linealizado del convertidor. En el cualusaremos como variables de estado la intensidad en las bobinas (iL1, iL2) y la tensión en loscondensadores (vC, vCd, vCo). Como entradas del sistema se tomarán las variaciones en elciclo de trabajo (d) y la variación en la carga (ip). Como salida del sistema tendremos lasvariaciones de la tensión de salida (vo). El modelo a utilizar es el siguiente:

⋅+

⋅=

p

Co

Cd

C

L

L

Co

Cd

C

L

L

id

B

vvvi

i

A

vvvii

2

1

2

1

&&&

&&

(95)

⋅+

⋅=p

Co

Cd

C

L

L

o id

E

vvvi

i

Cv2

1

Donde:

83

( )( )

( )( )

( ) ( )

+⋅−

+⋅

⋅−

⋅

⋅⋅−

⋅⋅

+⋅−

+⋅−

⋅⋅

+⋅

+⋅⋅+⋅+⋅

−

−

=

coco

dddd

ddg

Lref

cg

Lref

c

ccLL

RRCRRCR

RCRC

RCRCCRV

RRV

C

RRLR

LRV

RRV

RRLRRRRRR

L

A

1000

011

00

0111

00

001

00

222

1

(96)

( )

( )

+

⋅−

+⋅

−

=

co

ref

c

cg

RRCR

CR

VRRL

RRL

V

B

0

00

0

00

22

(97)

++

⋅=

cc

c

RRR

RRRR

C 000 (98)

+⋅

=c

c

RRRR

E 0 (99)

Donde Vg es el valor medio de la tensión de entrada y Vref la tensión deseada a lasalida del convertidor (Vo) .

5.2 Especificaciones del sistema

Los valores los componentes del sistema serán

• Vg = 40± 8 V.

• Vref = 14 V.

• L1 = 8 µH ± 25 %.

• L2 = 62 µH.

• C = 33 µF ± 20 %.

• Cd = 100 µF.

84

• Co = 1600 µF.

• R = 11 ± 9 Ω.

• Rd = 0,33 ± 0,05 Ω.

• RL = 100 mΩ.

• Rc = 3 ± 3 mΩ.

5.3 Planteamiento del Análisis µ

De cara a aplicar la técnica de análisis de la robustez (µ), necesitaremos utilizar unmodelo aumentado de la planta. Este modelo aumentado deberá incluir como mínimo losobjetivos de control (especificaciones funcionales). Con lo cual, se utilizarán toda una seriede funciones de ponderación (Wi) referidas a los objetivos del control. En este caso seutilizará únicamente una función de ponderación ya que como se justificaráposteriormente, la función de ponderación de la salida llevará implícita la informaciónnecesaria sobre las entradas. De este modo, únicamente se utilizará la función Wp. Lassalidas de este bloque será una salida del sistema.

Además, la representación de estado del sistema se deberá adecuar de cara a que lasvariaciones de los componentes se transformen en nuevas entradas y salidas del sistema.

La siguiente figura muestra un diagrama de bloques del sistema aumentado yrealimentado:


WP

K

ip

vo

e1

yu1

d

w1

G

z1...zr v1...vr

Fig. 97. Sistema ponderado y realimentado.

85


La función de ponderación Wp-1 deberá emular el comportamiento de la función de

transferencia de la impedancia de salida del convertidor. Así el convertidor deberá cumplirla siguiente máscara de impedancias:

0,001

0,01

0,1

0,01 0,1 10 1001

Zout

U2/P

Frec (kHz)

Fig. 98. Máscara de impedancias.

Donde:

U = tensión de salida (Voltios)

P = Potencia (Wattios)

La anterior máscara de impedancias asegura una variación del 1% en la tensión desalida para una perturbación de carga (ip) del 50% de la carga nominal. De este modopodemos decir que la información acerca de la entrada ip ya está incluida en esta funciónque, será la representada por Wp

-1.

Para nuestro caso, podemos encontrar el límite de la función de transferencia de laimpedancia de salida para el peor de los casos, cuando la resistencia de carga es menor (R= 2 Ω). Así:

PUZ out

202,0 = (100)

Teniendo en cuenta que

RU

P2

= (101)

86

Sustituyendo valores:

298

14

21414

21414

02,02

2

2

2

2outoutoutout ZZZZ

==== (102)

Con lo que

dBZZ outout 2804,002,02 −≈⇒=⋅= (103)

Con lo cual Wp-1 sería de la forma:

-28

0,01 0,1 10 1001

Zout (dB)

Frec (kHz)

-48


De este modo la expresión de Wp sería:

( )510

20025

−+⋅+

⋅=s

ssW p

π(104)


Como ya se vio en el análisis de las incertidumbres estructuradas del convertidorboost.

En primer lugar definiremos según (26). Así:

87

=

o

d

CC

CL

L

F

0000000000000000

0000

2

1

(105)

( )

( )

+−

+

−

−⋅

+⋅−

+−

⋅

+⋅

+⋅+⋅+⋅

−

−

=

cc

dd

ddg

Lref

cg

Lref

c

ccLL

RRRRR

RR

RRRV

RRVRR

RRV

RRV

RRRRRRRR

A

1000

011

00

011

1

00

00100

(106)

+

−

+⋅

−

=

c

ref

c

cg

RRR

R

VRRRR

V

B

0

00

0

00

(107)

++

⋅=

cc

c

RRR

RRRR

C 000 (108)

+⋅

=c

c

RRRR

E 0 (109)


( )

( )

∆⋅+⋅

∆⋅+⋅

=

on

dn

Cn

n

Ln

CC

CL

L

F

00000000002,01000000

000025,01

2

1 1

(110)

88

Descomponiendo

⋅

∆⋅

∆⋅⋅

+

⋅

=0010000001

2,00025,0

0000100001

1000001000001000001000001

000000000000

00000000

1

2

1

C

L

on

dn

n

n

n

CC

C

LL

F

(111)


=

on

dn

n

n

n

n

CC

CL

L

F

0000000000000000

0000

2

1

(112)

=

0000100001

Q (113)

∆

∆=∆

C

L

00

11 (114)

=

2,00025,0

LCd (115)


Par las incertidumbres de los elementos resistivos consideraremos que R >> RL y queR >> Rc.


89

−

−

−−

−−−

−

=

R

RR

RRV

VV

VRR

A

dd

ddg

ref

g

refcL

10010

011

00

011

1

100

00100

(116)

−

−

=

1000

0

00

R

VRV

B ref

cg

(117)

[ ]1000 cRC = (118)

[ ]cRE 0= (119)

En este caso, además de las incertidumbres en los elementos resistivos, incluiremoslas variaciones de la tensión media a la entrada:

ggng

n

ddnd

ccnc

VVVRRR

RRRRRR

∆+=∆+=

∆+=∆+=

(120)

Sustituyendo

90

∆+−

∆+−

∆+

∆+∆+−

∆+−

−∆+

∆−−−

−

=∆+

RR

RRRR

RRRRVV

VVV

VRRR

AA

n

ddnddn

ddnddnggn

ref

ggn

refccnL

10010

011

00

011

1

100

00100

(121)

∆+−

∆−−∆+

=∆+

1000

0

00

RR

VRRVV

BBn

ref

ccnggn

(122)

[ ]1000 ccn RRCC ∆+=∆+ (123)

[ ]ccn RREE ∆+=∆+ 0 (124)

Haciendo las sustituciones:

RRRR

nn ∆+−=∆

11' (125)

ddndnd RRR

R∆+

−=∆11

' (126)

ggngng VVV

V∆+

−=∆11

' (127)

91

Con lo cual:

∆∆∆−∆−∆∆⋅

∆⋅−∆−=∆

'00000''000'''000'000000

RRRRRVV

VVRA

dd

ddgref

grefc

(128)

∆⋅∆−∆

=∆

00000'

00

RVRV

B ref

cg

(129)

[ ]0000 cRC ∆=∆ (130)

[ ]cRE ∆=∆ 0 (131)

De modo que

∆∆∆

∆∆−∆⋅−∆−∆∆⋅

∆−∆∆⋅−∆−

=∆

cc

dd

refddgref

cggrefc

RRR

RRRVRRVV

RVVVR

J

0000000'0000000''0000'''0

00'0

0000000

(132)


( )gggddddcccc VVVRRRRRRRRRRdiag ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆=∆ ,',',',',',',',',,,,2

(133)

92

=∆

000000000110000000001000000001100000000010001101000010100000000110000000000000

G (134)

−

−−

−−

=∆

010000000000000000000010000000100000100000001000010000000000100000000000101000000

0000010

ref

ref

ref

VV

V

H (135)

De modo que:

=∆

00000001000000001100000000010001101000010100000000110000000000000

A (136)

[ ]0000000001100=∆B (137)

93

−

−−

−

=∆

000000000000001000001000100000100100000000000000000100000000010

ref

ref

VV

C (138)

−

=∆

01000000000000000100010

00

refV

E (139)

De cara a definir la matriz dR debemos encontrar los márgenes de ∆R’, ∆Rd’ y ∆Vg’.El método será el mismo para todos. A modo de ejemplo se mostrará el de ∆R’:


201

9111

' =+

=minR (140)

21

9111

'máx =−

=R (141)

94


4011

221

201

2''

' máx =+

=+

=RR

R minn (142)

• Con lo que

409

''''' máx =−=−=∆ RRRRR nnmin (143)

De esta manera se encontraría que :

47,0059584,0

028,0' ≈=∆ dR (144)

1921

' =∆ gV (145)

Así

⋅⋅⋅⋅= −−−− 8;

1921

;192

1;47,0;47,0;47,0;47,0;

409

;409

;103;103;103;103 3333diagd R

(146)

Con todas las matrices obtenidas construiremos las nuevas matrices de estado A1, B1,C1 y E1, de acuerdo a la ecuación (36).

5.4 Análisis µ del sistema con un control PID

Una vez adecuado el sistema, se pasará a estudiar la robustez de éste respecto a lavariación de sus parámetros.

Así, se analizará la respuesta de la planta para un controlador dado, mediante latécnica de análisis µ. El controlador que se discutirá tiene como función de transferencia:

( )( )314200

3175439,23)(

2

+⋅+

=sss

sK (147)

Este controlador PID ha siso diseñado para los siguientes valores de los parámetros:

95

• Vg = 42 V.

• Vref = 14 V.

• L1 = 6 µH .

• L2 = 62 µH.

• C = 33 µF.

• Cd = 100 µF.

• Co = 1600 µF.

• R = 2 Ω.

• Rd = 0,28 Ω.

• RL = 100 mΩ.

• Rc = 3 mΩ.

Para este controlador y estos valores de los parámetros, la función de la impedanciade salida en lazo cerrado es:

Fig. 100. Impedancia de salida en lazo cerrado.

En la siguiente figura se puede ver claramente como esta función de transferenciacumple perfectamente con el límite marcado por la máscara de impedancia requerida (líneadiscontinua).

96

Fig. 101. Comparación de la impedancia de salida en lazo cerrado con la máscara deimpedancia.

Llegados a este punto ya tenemos todos los elementos necesarios para calcular elvalor del índice µ. Así todo este sistema se implementará en Matlab utilizando el archivoanalisis_mu.m. Este archivo se define el sistema realimentado, se definen lasincertidumbres y se calcula el valor del índice µ. Una anotación importante que se ha dehacer en este punto es que en todos los análisis del índice µ que se harán de esteconvertidor, en lugar de considerar el bloque ∆unc como incertidumbres de tipo real seconsiderarán de tipo complejo. La justificación de este cambio se muestra en el anexo 1(A1).

De este modo el valor del índice µ encontrado es:

97

Fig. 102. Valor de µ para el convertidor buck con filtro de entrada estudiado.

Una vez se ha comprobado que el sistema es robusto para las tolerancias definidas,podemos estudiar hasta qué punto afecta cada una de las tolerancias a la robustez delsistema. Para realizar este estudio utilizaremos el archivo de Matlab analisis_mu2.m. Estearchivo es el mismo que el utilizado anteriormente con la variación de que se han incluidounas variables que representan las tolerancias de los elementos y se ha implementado laobtención de los valores que forman la matriz dR. Así si consideramos todos loscomponentes con tolerancia igual a cero, o lo que es lo mismo, no existen variaciones enlos parámetros, obtenemos un índice µ:

Fig. 103. Valor de µ sin variación de los parámetros.

98

Ahora pasaremos a estudiar uno por uno los parámetros con tolerancia del sistema.Empezaremos con el efecto de la inductancia L1. Así que utilizaremos la tolerancia de esteelemento dejando el resto de tolerancias a cero. El resultado obtenido es:

Fig. 104. Valor de µ sólo con el efecto de la tolerancia de L1.

Podemos observar como la influencia de la tolerancia de la bobina L1 en la robustezdel sistema se hace patente a partir de 3⋅104 rad/s de una manera notable.

Ahora, se analizará el efecto del condensador C. Así que utilizaremos la tolerancia deeste elemento dejando el resto de tolerancias a cero. El resultado obtenido es:

Fig. 105. Valor de µ sólo con el efecto de la tolerancia de C.

99

Podemos observar como la influencia de la tolerancia del condensador C en larobustez es pequeña, únicamente tiene influencia a partir de 105 rad/s .

El siguiente elemento a analizar será el efecto de la resistencia R. Así queutilizaremos la tolerancia de este elemento dejando el resto de tolerancias a cero. Elresultado obtenido es:

Fig. 106. Valor de µ sólo con el efecto de la tolerancia de R.

Podemos observar como la influencia de la tolerancia de la resistencia R en larobustez del sistema es muy pequeña, prácticamente nula.

A continuación se analizará el efecto de la resistencia Rd. Así que utilizaremos latolerancia de este elemento dejando el resto de tolerancias a cero. El resultado obtenido es:

100

Fig. 107. Valor de µ sólo con el efecto de la tolerancia de Rd.

Podemos observar como la influencia de la tolerancia de la resistencia Rd en larobustez del sistema es, importante para frecuencias inferiores a 2⋅103 rad/s de .

En quinto lugar, se analizará el efecto de la resistencia Rc. Así que utilizaremos latolerancia de este elemento dejando el resto de tolerancias a cero. El resultado obtenido es:

Fig. 108. Valor de µ sólo con el efecto de la tolerancia de Rc.

Podemos observar como la influencia de la tolerancia de la resistencia Rc en larobustez del sistema es importante. El efecto de la variación de este elemento se hace muypresente a frecuencias por encima de 104, siendo prácticamente nula a frecuenciasinferiores.

Por último, se analizará el efecto de la tensión de alimentación Vg. Así queutilizaremos la tolerancia de ésta dejando el resto de tolerancias a cero. El resultadoobtenido es:

101

Fig. 109. Valor de µ sólo con el efecto de la tolerancia de Vg.

Podemos observar como la influencia de la tolerancia de la tensión de alimentaciónVg en la robustez del sistema también es importante. Así, el efecto de la variación de esteelemento se da para todas las frecuencias, con especial influencia en las frecuencias pordebajo de 105.

Así pues, podemos decir que tomando cada uno de los elementos por separado, laresistencia R no tendría influencia sobre la robustez del sistema. Por el contrario, el restode los elementos en mayor o menor medida alteran el grado de robustez del sistema,destacando la influencia de Rc , Vg y L1.

5.4.1 Análisis de la Estabilidad Robusta del Sistema.

Un aspecto muy importante del análisis µ es la medición de la estabilidad interna quese da en el sistema. En el convertidor que nos ocupa tenemos un claro ejemplo de lautilidad de esta técnica analítica para el cálculo de la estabilidad.

Hemos visto como el valor de µ se mantiene por debajo de 1 para valores de Rd entre0,28 y 0,38 Ω (Rd=0,33±0,05 Ω), con lo que se aseguraba para estos valores de Rd juntocon el resto de tolerancias del sistema un comportamiento y una estabilidad robusta. Siahora consideramos valores de Rd entre 0,08 y 0,58 Ω (Rd=0,33±0,25 Ω), ¿seguirá elsistema comportándose de una manera robusta?

Veamos dos respuestas frecuenciales de nuestro convertidor para los valoresnominales de los componentes, con la única diferencia de la variación del valor de Rd (enun caso igual a 0,33 Ω y en otro igual a 0,08 Ω):

102

Fig. 110. Respuesta frecuencial del sistema con Rd=0,33 Ω.

Fig. 111. Respuesta frecuencial del sistema con Rd=0,08 Ω.

Podemos ver como ambas respuestas son prácticamente idénticas. Por otra parte, sivemos las respuestas temporales de Vo para estos dos sistemas propuestos:

103

Fig. 112. Respuesta temporal del sistema con Rd=0,33 Ω.

Fig. 113. Respuesta temporal del sistema con Rd=0,08 Ω.

Ambas respuestas son claramente idénticas. Se podría imaginar que el análisis µ eneste nuevo caso también indicará que el sistema para este segundo valor de la tolerancia deRd será robusto. Para comprobarlo, realizaremos el análisis µ del nuevo sistema, elresultado obtenido es:

104

Fig. 114. Valor de µ para el sistema con Rd=0,33±0,25 Ω.

A la vista de la figura anterior, el sistema no es robusto. El valor de µ es claramentemayor que la unidad. Entonces, ¿cómo se explicarían los resultados obtenidosanteriormente? La solución a esta pregunta se obtiene gracias al archivo de Matlabanalisis_mu21.m. Este archivo nos generará el valor de µ que representa la estabilidadrobusta, o lo que es lo mismo la µ del sistema sin tener en cuenta los requerimientos decomportamiento del sistema. De este modo obtenemos:

Fig. 115. Valor de µ para estabilidad robusta del sistema con Rd=0,33±0,25 Ω.

105

De la figura anterior podemos ver como la estabilidad interna del sistema no esrobusta. En este caso el valor de µ para la estabilidad robusta y el valor de µ para laestabilidad y el comportamiento robusto se puede observar que son casi iguales.

Veamos ahora como el valor de µ va aumentando a medida que la resistencia Rd

aumenta su tolerancia. De este modo, para Rd=0,33±0,10 Ω el índice µ es:


Y el valor de µ concerniente a la estabilidad robusta es:


106

Para Rd=0,33±0,15 Ω el índice µ es:




Y finalmente, para Rd=0,33±0,20 Ω el índice µ es:

107




En la figuras anteriores, podemos observar como conforme aumentamos la toleranciade Rd, el valor de µ es cada vez mayor hasta el punto de superar el umbral de la robustez.Asimismo también se puede ver como la causa de esta degradación de la robustez es elincremento de la inestabilidad interna del sistema, hasta el punto en que prácticamente latotalidad del valor de µ viene dado por la componente debida a la estabilidad. De este

108

modo podemos ver como para una tolerancia de 0,20 Ω el índice µ total y el índice µreferente a la estabilidad robusta son casi iguales.

Como ejemplo de esta inestabilidad interna, podemos ver en la siguiente figura comola variable de estado iL1 tiende a la inestabilidad para Rd=0,08 Ω y el resto de loscomponentes con sus valores nominales.

Fig. 122. Respuesta temporal de iL1 con Rd=0,08 Ω.

5.5 Análisis µ Cambiando el Objetivo de Comportamiento

Como se ha visto anteriormente, la robustez del sistema se asegura con el controladorPID, utilizando la función de ponderación (que representa la función de transferenciaobjetivo en lazo cerrado de la impedancia de salida):

( )510

20025

−+⋅+

⋅=s

ssW p

π(148)

Ahora comprobaremos si para otra función de ponderación Wp-1 también se asegura

la robustez del sistema. En este caso, el convertidor deberá cumplir la siguiente máscara deimpedancias:

109

0,001

0,01

0,1

0,01 0,1 10 1001

Zout

U2/P

Frec (kHz)


Donde:

U = tensión de salida (Voltios)

P = Potencia (Wattios)

La anterior máscara de impedancias también asegura una variación del 1% en latensión de salida para una perturbación de carga (ip) del 50% de la carga nominal. De estemodo podemos decir que la información acerca de la entrada ip ya está incluida en estafunción que, será la representada por Wp

-1.

La transformación de esta máscara de impedancias genérica a una acorde a nuestrosistema será análoga al caso anterior.

Con lo cual Wp-1 será de la forma:

-28

0,01 0,1 10 1001

Zout (dB)

Frec (kHz)

-48


110

De este modo la expresión de Wp sería:

( ) ( )( )( )( )85

4

101020000200

104++

⋅+⋅+⋅⋅=

− ssss

sW pππ

(149)

En la siguiente figura se puede ver como la función de transferencia del sistema conlos valores de diseño, para el rango de frecuencias estudiadas, cumple perfectamente con ellímite marcado por la nueva máscara de impedancia requerida (línea discontinua).

Fig. 125. Comparación de la impedancia de salida en lazo cerrado con la nueva máscara deimpedancia.

Ahora sólo nos queda realizar el cálculo del valor del índice µ. Todo este sistema seimplementará en Matlab utilizando el archivo nuevo_analisis_mu.m. Este archivo seráigual que el archivo analisis_mu.m, con la diferencia de la función de ponderación Wp.


111

Fig. 126. Valor de µ para el convertidor buck con filtro de entrada estudiado.

Podemos observar como el sistema para el rango de frecuencias estudiado (entre 102

y 105,8 rad/s), no tiene un comportamiento robusto. Podemos ver como para las toleranciasy el controlador estudiados, la función de transferencia de la impedancia de salida está porencima de la máscara objetivo.

Una vez se ha comprobado que el sistema no es robusto para las toleranciasdefinidas, podemos estudiar hasta qué punto afecta cada una de las tolerancias a la robustezdel sistema. Para realizar este estudio utilizaremos el archivo de Matlabnuevo_analisis_mu2.m. El índice µ obtenido para el caso de que todos los componentestengan una tolerancia igual a cero, de modo que no existan variaciones en los parámetros:

Fig. 127. Valor de µ sin variación de los parámetros.

112

Podemos ver como el sistema es robusto, como era de esperar, sin variación de losparámetros. Ahora pasaremos a estudiar uno por uno los parámetros con tolerancia delsistema. Empezaremos con el efecto de la inductancia L1. Así que utilizaremos latolerancia de este elemento dejando el resto de tolerancias a cero. El resultado obtenido es:

Fig. 128. Valor de µ sólo con el efecto de la tolerancia de L1.

Podemos observar como la influencia de la tolerancia de la bobina L1 en la robustezdel sistema, es pequeña ya que el valor de µ se incrementa mínimamente.

Ahora, se analizará el efecto del condensador C. Así que utilizaremos la tolerancia deeste elemento dejando el resto de tolerancias a cero. El resultado obtenido es:

Fig. 129. Valor de µ sólo con el efecto de la tolerancia de C.

En este caso, también podemos observar como la influencia de la tolerancia delcondensador C en la robustez del sistema prácticamente nula.

113

El siguiente elemento a analizar será el efecto de la resistencia R. Así queutilizaremos la tolerancia de este elemento dejando el resto de tolerancias a cero. Elresultado obtenido es:

Fig. 130. Valor de µ sólo con el efecto de la tolerancia de R.

Podemos observar como también la influencia de la tolerancia de la resistencia R enla robustez del sistema es muy pequeña.

A continuación se analizará el efecto de la resistencia Rd. Así que utilizaremos latolerancia de este elemento dejando el resto de tolerancias a cero. El resultado obtenido es:

Fig. 131. Valor de µ sólo con el efecto de la tolerancia de Rd.

Como se vio anteriormente, se puede observar como la influencia de la tolerancia dela resistencia Rd en la robustez del sistema es palpable a frecuencia inferiores a 2⋅103.

114

En quinto lugar, se analizará el efecto de la resistencia Rc. Así que utilizaremos latolerancia de este elemento dejando el resto de tolerancias a cero. El resultado obtenido es:

Fig. 132. Valor de µ sólo con el efecto de la tolerancia de Rc.

Podemos observar como la influencia de la tolerancia de la resistencia Rc en larobustez del sistema, en este caso, es muy importante. El efecto de la variación de esteelemento hace que a altas frecuencias el sistema no se comporte de una manera robusta.

Por último, se analizará el efecto de la tensión de alimentación Vg. Así queutilizaremos la tolerancia de ésta dejando el resto de tolerancias a cero. El resultadoobtenido es:

Fig. 133. Valor de µ sólo con el efecto de la tolerancia de Vg.

115

Podemos observar como la influencia de la tolerancia de la tensión de alimentaciónVg en la robustez del sistema también es importante. Sin embargo este parámetro no haceque el sistema deje de comportarse de una manera robusta.

Como se ha visto, la criticidad de la tolerancia de la resistencia Rc es muy grande yaque hace que el comportamiento robusto del convertidor se vea afectado. Así que acontinuación se hará un análisis más exhaustivo de la resistencia Rc de cara a obtener unastolerancias que permitan asegurar un comportamiento robusto.

De este modo, variando la tolerancia de la resistencia Rc y manteniendo del resto deelementos con tolerancia igual a cero, encontraremos el valor límite de ésta . Con lo quepara:

Rc = 3 ± 0,74 mΩ. (150)

El valor de µ obtenido es:

Fig. 134. Valor de µ sólo con el valor límite de la tolerancia de Rc para el sistema sin otrastolerancias.

Si consideráramos todos los elementos con sus tolerancias y variamos la toleranciade la resistencia Rc , encontraremos el valor límite de ésta. De modo que para:

Rc = 3 ± 0,67 mΩ. (151)

El valor de µ obtenido es:

116

Fig. 135. Valor de µ sólo con el valor límite de la tolerancia de Rc para el sistema con elresto de tolerancias.

5.6 Diseño de un Nuevo Controlador Utilizando la Síntesis µ

Mediante el mismo método de cálculo que se utilizó con el convertidor boost, sepodría encontrar un controlador robusto para los valores de tolerancia del sistema. Asíintentaremos que el sistema en lazo cerrado tenga una impedancia de salida:

( )π⋅+

+⋅=

−

200010

02,05

ss

sZo (152)

Esta función es similar a la función de impedancia de salida en lazo cerrado que seda con el controlador PID estudiado anteriormente.

Como se puede ver a continuación, esta función (en línea continua) cumpleperfectamente con la máscara de impedancias que se debía cumplir (en línea discontinua):

117

Fig. 136. Comparación entre máscara de impedancia e impedancia deseada

Sabiendo que Wp-1 emula la respuesta frecuencial de la impedancia de salida

podemos decir que

( )510

200050

−+⋅+

⋅=s

ssW p

π(153)

Llegados a este punto ya tenemos todos los elementos necesarios para calcular elcontrolador robusto. Así todo este sistema se implementará en Matlab utilizando losarchivos parametricas_calculo_k.m y dk_defin_buck.m. El primer archivo a partir de larepresentación en espacio de estado del sistema y de las funciones de ponderación secontruirá un sistema aumentado y posteriormente se ejecutará el método de iteración D-K.Los parámetros de esta iteración estarán contenidos en el segundo archivo. En éste sefijarán aspectos como el número de medidas, de controles, la forma de la matriz ∆, el rangode frecuencias del sistema, el número de iteraciones, etc.

De este modo se encuentra un controlador cuyo índice µ con respecto a este Wp es:

118

Fig. 137. Valor de µ para controlador obtenido

Se puede observar como el valor de este índice se mantiene por debajo de 1, con loque el comportamiento robusto se asegura para las tolerancias y la función Wp estudiados.

El controlador obtenido es de orden 54. Utilizando el archivo de Matlab sys2tf.m,reducimos el orden hasta conseguir el siguiente controlador de orden 3. La función detransferencia de éste será:

( ) ( )( ) ( )55

7

105859,4108173,10,13151,4308

104849,1)(⋅+⋅⋅+⋅

+⋅+⋅⋅−=

sssss

sK (154)

Una vez se ha reducido el orden de este controlador se realizará la comprobación desi el sistema mantiene el comportamiento robusto con respecto a la máscara deimpedancias límite. Con lo cual se realizará un análisis µ del sistema con la funciónobjetivo Wp :

( )510

20025

−+⋅+

⋅=s

ssW p

π(155)

En este caso, el índice µ obtenido es el siguiente:

119

Fig. 138. Valor de µ para reducido controlador respecto a la máscara de impedanciamáxima.

En la figura podemos ver como a pesar de la variación en los parámetros, la plantamantendrá un comportamiento robusto (µ<1).


A modo de ejemplo, se pueden comparar las respuestas temporales del sistema con elcontrolador obtenido mediante la técnica de robusta presentada en este proyecto y elcontrolador PID. Así, para las condiciones nominales del sistema:

• Vg = 40 V.

• Vref = 14 V.

• L1 = 8 µH .

• L2 = 62 µH.

• C = 33 µF .

• Cd = 100 µF.

• Co = 1600 µF.

• R = 11 Ω.

• Rd = 0,33 Ω.

• RL = 100 mΩ.

• Rc = 3 mΩ.

Si se produce una variación en la corriente de salida de 3,5 A , la tensión de salidasería:

120

• Controlador PID.

Fig. 139. Tensión de salida para PID.

• Controlador obtenido mediante iteración D-K.

Fig. 140. Tensión de salida para controlador obtenido mediante iteración D-K.

121

De cara a comparar el valor medio de la tensión de ambos caso, en la siguiente figurase representan ambas respuestas (en línea continua, la del PID y en línea discontinua, la delcontrolador aquí diseñado):

Fig. 141. Tensión media de salida para ambos controladores.

La conclusión a la que se llega mediante estas figuras es que el controlador obtenidoofrece mejores prestaciones por lo que respecta al sobreimpulso y al tiempo deestablecimiento, aumentando únicamente en un grado el orden del controlador.

5.7 Análisis del Comportamiento de IL1

Como vimos anteriormente, la corriente de que pasa por la inductancia L1 puedellegar a ser una fuente de inestabilidad en el sistema. Así que una manera más directa dever y poder calcular su comportamiento sería hacer que esta variable de estado seconvirtiera en una salida del sistema y ponderarla al igual que se hace con Vo. Para llegar ahace este cálculo lo primero que se debería hacer es modificar las matrices de estado demodo que usaremos como variables de estado la intensidad en las bobinas (iL1, iL2) y latensión en los condensadores (vC, vCd, vCo). Como entradas del sistema se tomarán lasvariaciones en el ciclo de trabajo (d) y la variación en la carga (ip). Como salida del sistematendremos las variaciones de la tensión de salida (vo) y la intensidad en las bobina L1 (iL1) .El modelo a utilizar es el siguiente:

⋅+

⋅=

p

Co

Cd

C

L

L

Co

Cd

C

L

L

id

B

vvvi

i

A

vvvii

2

1

2

1

&&&

&&

(156)

122

⋅+

⋅=

p

Co

Cd

C

L

L

L

o

id

E

vvvi

i

Civ 2

1

1

(157)

Donde:

( )( )

( )( )

( ) ( )

+⋅−

+⋅

⋅−

⋅

⋅⋅−

⋅⋅

+⋅−

+⋅−

⋅⋅

+⋅

+⋅⋅+⋅+⋅

−

−

=

coco

dddd

ddg

Lref

cg

Lref

c

ccLL

RRCRRCR

RCRC

RCRCCRV

RRV

C

RRLR

LRV

RRV

RRLRRRRRR

L

A

1000

011

00

0111

00

001

00

222

1

(158)

( )

( )

+

⋅−

+⋅

−

=

co

ref

c

cg

RRCR

CR

VRRL

RRL

V

B

0

00

0

00

22

(159)

++

⋅=

00001

000cc

c

RRR

RRRR

C (160)

+⋅

=00

0c

c

RRRR

E (161)

123

Donde Vg es el valor medio de la tensión de entrada y Vref la tensión deseada a lasalida del convertidor (Vo) .

5.7.1 Planteamiento del Análisis

En el caso que nos ocupa, además de la ponderación sobre Vo (Wp) se incluirá unaponderación sobre iL1 (Wi ).

La siguiente figura muestra un diagrama de bloques del sistema aumentado yrealimentado:


WP

K

ip

vo e1

yu1

d

w1

G

z1...zr v1...vr

Wi

e2iL1

Fig. 142. Sistema ponderado y realimentado.


Para este nuevo cálculo, mantendremos la expresión de Wp en:

( )510

20025

−+⋅+

⋅=s

ssW p

π(162)

Para el cálculo de Wi se seguirá el mismo método que para el cálculo de Wp, en estecaso, el objetivo de Wi

-1 será que el sistema se comporte como un filtro pasa-bajos con unaganancia a bajas frecuencias de 0 dB. La ganancia de Wi

-1 será:

124

Fig. 143. Inversa de la función objetivo Wi.

La expresión de esta función objetivo será pues:

( ) ( )( )27

254

10

1010

+

+⋅=

s

ssWi (163)


Como ya se vio anteriormente. En primer lugar definiremos el sistema según (26).Así:

=

o

d

CC

CL

L

F

0000000000000000

0000

2

1

(164)

125

( )

( )

+−

+

−

−⋅

+⋅−

+−

⋅

+⋅

+⋅+⋅+⋅

−

−

=

cc

dd

ddg

Lref

cg

Lref

c

ccLL

RRRRR

RR

RRRV

RRVRR

RRV

RRV

RRRRRRRR

A

1000

011

00

011

1

00

00100

+

−

+⋅

−

=

c

ref

c

cg

RRR

R

VRRRR

V

B

0

00

0

00

++

⋅=

00001

000cc

c

RRR

RRRR

C

+⋅

=00

0c

c

RRRR

E


( )

( )

∆⋅+⋅

∆⋅+⋅

=

on

dn

Cn

n

Ln

CC

CL

L

F

00000000002,01000000

000025,01

2

1 1

Descomponiendo

126

⋅

∆⋅

∆⋅⋅

+

⋅

=00100

000012,00

025,0

00

0010

0001

10000

0100000100

0001000001

0000

00000000

00000000

1

2

1

C

L

on

dn

n

n

n

C

CC

LL

F

(165)


=

on

dn

n

n

n

n

CC

CL

L

F

0000000000000000

0000

2

1

(166)

=

0000100001

Q (167)

∆

∆=∆

C

L

00

11 (168)

=

2,00025,0

LCd (169)


Par las incertidumbres de los elementos resistivos consideraremos que R >> RL y queR >> Rc.


127

−

−

−−

−−−

−

=

R

RR

RRV

VV

VRR

A

dd

ddg

ref

g

refcL

10010

011

00

011

1

100

00100

(170)

−

−

=

1000

0

00

R

VRV

B ref

cg

(171)

=

000011000 cR

C (172)

=

000 cR

E (173)

En este caso, además de las incertidumbres en los elementos resistivos, incluiremoslas variaciones de la tensión media a la entrada:

ggng

n

ddnd

ccnc

VVVRRR

RRRRRR

∆+=∆+=

∆+=∆+=

(174)

Sustituyendo

128

∆+−

∆+−

∆+

∆+∆+−

∆+−

−∆+

∆−−−

−

=∆+

RR

RRRR

RRRRVV

VVV

VRRR

AA

n

ddnddn

ddnddnggn

ref

ggn

refccnL

10010

011

00

011

1

100

00100

(175)

∆+−

∆−−∆+

=∆+

1000

0

00

RR

VRRVV

BBn

ref

ccnggn

(176)

∆+=∆+

000011000 ccn RR

CC (177)

∆+=∆+

000 ccn RR

EE (178)

Haciendo las sustituciones:

RRRR

nn ∆+−=∆

11' (179)

ddndnd RRR

R∆+

−=∆11

' (180)

ggngng VVV

V∆+

−=∆11

' (181)

Con lo cual:

129

∆∆∆−∆−∆∆⋅

∆⋅−∆−=∆

'00000''000'''000'000000

RRRRRVV

VVRA

dd

ddgref

grefc

(182)

∆⋅∆−∆

=∆

00000'

00

RVRV

B ref

cg

(183)

∆=∆

000000000 cR

C (184)

∆=∆

000 cR

E (185)

De modo que

∆∆∆

∆∆−∆⋅−∆−∆∆⋅

∆−∆∆⋅−∆−

=∆

000000000000

00'0000000''0000'''0

00'00000000

cc

dd

refddgref

cggrefc

RRR

RRRVRRVV

RVVVR

J (186)


( )gggddddcccc VVVRRRRRRRRRRdiag ∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆∆=∆ ,',',',',',',',',,,,2

(187)

130

=∆

0000000000000000000000110000000001000000001100000000010001101000010100000000110000000000000

G (188)

−

−−

−−

=∆

010000000000000000000010000000100000100000001000010000000000100000000000101000000

0000010

ref

ref

ref

VV

V

H (189)

De modo que:

=∆

00000001000000001100000000010001101000010100000000110000000000000

A (190)

=∆ 0000000000000

0000000001100B (191)

131

−

−−

−

=∆

000000000000001000001000100000100100000000000000000100000000010

ref

ref

VV

C (192)

−

=∆

01000000000000000100010

00

refV

E (193)

De cara a definir la matriz dR debemos encontrar los márgenes de ∆R’, ∆Rd’ y ∆Vg’.El método será el mismo para todos. A modo de ejemplo se mostrará el de ∆R’:


201

9111

' =+

=minR (194)

21

9111

'máx =−

=R (195)

132


4011

221

201

2''

' máx =+

=+

=RR

R minn (196)

• Con lo que

409

''''' máx =−=−=∆ RRRRR nnmin (197)

De esta manera se encontraría que :

47,0059584,0

028,0' ≈=∆ dR (198)

1921

' =∆ gV (199)

Así

⋅⋅⋅⋅= −−−− 8;

1921

;192

1;47,0;47,0;47,0;47,0;

409

;409

;103;103;103;103 3333diagd R

(200)

Con todas las matrices obtenidas construiremos las nuevas matrices de estado A1, B1,C1 y E1, según se indica en (36).

5.7.4 Análisis µ

Una vez adecuado el sistema, se pasará a estudiar la robustez del sistema respecto ala variación de los parámetros de éste.

Así, se analizará la respuesta de la planta para el controlador PID estudiadoanteriormente , cuya función de transferencia es:

( )( )314200

3175439,23)(

2

+⋅+

=sss

sK (201)

133

Llegados a este punto ya tenemos todos los elementos necesarios para calcular elvalor del índice µ. Así todo este sistema se implementará en Matlab utilizando el archivoanalisis_con_iL.m.


Fig. 144. Valor de µ para el convertidor buck con filtro de entrada estudiado incluyendoiL1.

Y el valor de µ para la estabilidad robusta será:

Fig. 145. Valor de µ para estabilidad robusta del convertidor buck con filtro de entradaestudiado incluyendo iL1.

134

De las dos figuras anteriores se puede sacar una clara conclusión al respecto: elsistema que nos ocupa, a pesar de tener asegurada la estabilidad robusta no tiene uncomportamiento robusto debido a que no cumple el comportamiento deseado de iL1, ya quecomo se vio con anterioridad, el comportamiento de Vo sí cumplía con lo preestablecido.

135

6 Conclusiones

Después de todo lo expuesto en este proyecto, se pueden llegar a toda una serie deconclusiones acerca del análisis y el diseño de controladores utilizando la teoría µ :

• El análisis µ es una herramienta muy útil de cara a cuantificar tanto elcomportamiento como la estabilidad robusta de un sistema. De este modo sesabrá si aunque existan incertidumbres, el sistema sigue manteniendo estabilidadinterna y un comportamiento dentro de los límites permisibles. Además elanálisis µ nos da cuantitativamente la diferencia entre el sistema deseado y elsistema real.

• Mediante esta técnica, aplicándola sobretodo con incertidumbres estructuradas,se puede discutir qué valores de tolerancias pueden tener los componentes delsistema para que éste se mantenga en niveles aceptables de comportamiento yestabilidad.

• Con la síntesis µ se pueden diseñar controladores tales que el sistema en lazocerrado asegure tanto estabilidad como comportamiento robusto. Así mediante laiteración D-K se optimizará al máximo el sistema sin salirse de lasespecificaciones.

• La utilización de incertidumbres estructuradas permiten que se defina el sistemade un modo menos conservativo que representando las incertidumbres como noestructuradas. Así el control que se obtendrá con incertidumbres estructuradasestará mucho más optimizado y presentará mejores prestaciones que utilizandoincertidumbres no estructuradas.

• Debido al proceso de obtención de los controladores (iteración D-K), éstos enciertos casos, pueden llegar a tener grado elevado, complicando así suimplementación física.

• Un aspecto favorable de esta técnica puede ser que las rutinas de generación deestos controladores, se encuentran ya implementadas (como por ejemplo dkit deMatlab).

• Esta técnica puede llegar a ser especialmente recomendable cuando la planta acontrolar tiene una especial sensibilidad respecto a alguno de sus elemento dondepequeñas variaciones de éste causen grandes cambios en el comportamiento. Deeste modo, con un controlador generado con la síntesis µ estas variaciones en elcomportamiento se pueden ver absolutamente minimizadas.

• La aplicación de la teoría µ en sistemas reales, vendrá siempre marcada por uncompromiso entre los beneficios que aporta la adaptabilidad del controlador,pudiendo trabajar con elementos de peor tolerancia, sin gran variación en elcomportamiento y la complejidad que puede llegar a tener en ciertos casos laimplementación física de controladores con órdenes elevados. A nivel de costeeconómico del sistema se deberá discutir la reducción de coste de loscomponentes al tener mayores tolerancias con el aumento de precio que se puedellegar a producir si el controlador que se obtiene es de un grado elevado.

136

A 1 Justificación de la Utilización de Bloques Complejos

Para realizar todos los cálculos de µ de este proyecto se ha utilizado la función deMatlab mu. Esta función utiliza como uno de sus parámetros de entrada el número y lanaturaleza de los elementos del bloque ∆. Así estos elementos pueden ser de tipo real ocomplejo.

Todas las incertidumbres paramétricas que tenemos en el convertidor buck queestudiamos son obviamente de tipo real ya que no dependen de la frecuencia. Sin embargo,en este estudio los hemos considerado de tipo complejo. Esto es debido a que el algoritmoutilizado en la función mu tiene problemas de convergencia cuando todas lasincertidumbres son reales. En nuestro caso, tenemos 15 incertidumbres reales por solo unacompleja. A efectos prácticos podemos decir que nos encontramos en un caso que puedetener problemas de convergencia.

En estos casos, el manual de Matlab recomienda la sustitución de los bloques realespor bloques complejos. Teniendo en cuenta que este cambio hace que el análisis sea másconservativo.

Para ilustrar estos errores de convergencia a continuación se presentan un ejemploque justifica como lo anteriormente expuesto se da en nuestro caso:

Fig. 146. Valor de µ para incertidumbres tomadas de tipo real.

137

Fig. 147. Valor de µ para incertidumbres tomadas de tipo complejo.

Podemos ver claramente como el valor de µ tomando las incertidumbres como realesofrece grandes variaciones de su valor para pequeños cambios en la frecuencia . Por elcontrario, se puede constatar como utilizando incertidumbres complejas el valor de µpresenta un perfil totalmente continuo.

138

A 2 Código de Archivo Matlab Utilizados

% ARCHIVO rango_ft_sistema.m% VARIANDO LOS PARAMETROS DEL SISTEMA SE GENERA UN CONJUNTO DE% FUNCIONES DE TRANSFERENCIA Vo-d

% Valores de los componentes que no varianrc=0.04;R=44;C=220e-6;L=220e-6;

figure;hold on;

% Variacion de los valores de los componentes

for L1 = .8*L:88e-6:1.2*L, for C1 = .9*C:44e-6:1.1*C, for R1 = (R-4):8:(R+4), for rc1 = (rc-.04):.08:(rc+.04), % Generacion de la funcion de transferencia [num,den]=ft(L1,C1,R1,rc1);

% representacion de la funcion de transferencia [z,p,g]=tf2zp(num,den) sys=tf(num,den) bode(sys,'k',logspace(-1,7,1000)); end end endend

139

% ARCHIVO encontrar_wa_y_wm.m% VARIANDO LOS POLOS, CEROS Y GANANCIA DE Wa Y Wm AJUSTAREMOS LA

FUNCION% AL LIMITE SUPERIOR DE GANANCIA DE LA FUNCION DE TRANSFERENCIA DEL

SISTEMA% VARIANDO LOS PARAMETROS (VER ARCHIVO rango_ft_sistema.m)

hold on

% Funcion de transferencia vo-d para los valores nominales (Hn)

num_Hn =[ -5.1508e-002 -3.7526e+003 2.3870e+008];den_Hn =[ 1.0000e+000 1.6868e+003 4.5274e+006];

% Incertidumbre multiplicativa[n_wm,d_wm]=zp2tf([-110],[-5000],1.5);

% Incertidumbre aditiva[n_wa,d_wa]=zp2tf([-30000],[-60000;-1e5],.95);

% generacion de la nueva funcion de transferencia ( Wa+Hn(1+Wm) )a=n_wm+d_wm;

b=conv(num_Hn,a);c=conv(den_Hn,d_wm);

numerador=conv(b,d_wa)+conv(c,n_wa);denominador=conv(c,d_wa);

% diagrama de Bode de la nueva funcion de transferenciasys=tf(numerador,denominador);bode(sys,'k:',logspace(-1,7,1000));

140

% FUNCION ft.m% DADOS UNOS VALORES DE LOS COMPONENTES SE GENERA% UNA FUNCION DE TRANSFERENCIA Vo-d% ENTRADAS: VALORES DE L, C, R Y rc% SALIDAS: NUMERADOR Y DENOMINADOR DE LA FUNCION DE TRANSFERENCIA

function [num,den]=ft (L,C,R,rc),

%Valores constantes

rl=0.33;Vg=12;D=.54;D_prima=1-D;

% sistema en espacio de estado% entradas vi, io, d% salidas vo

A=[ -(R*rl+rl*rc+R*rc*D_prima)/(L*(R+rc)) -R*D_prima/(L*(R+rc));...

R*D_prima/(C*(R+rc)) -1/(C*(R+rc))];

B=[ 1/L D_prima*R*rc/(L*(R+rc))(R*D_prima+rc)*Vg/(L*(R+rc)*D_prima*D_prima) ;...

0 -R/(C*(R+rc)) -Vg/(C*(R+rc)*D_prima*D_prima)];

matriz_C=[ R*rc*D_prima/(R+rc) R/(R+rc) ];

E=[0 -R*rc/(R+rc) -rc*Vg/((R+rc)*D_prima*D_prima)] ;

% Espacio de estado a funcion de transferencia

[num,den]=ss2tf(A,B,matriz_C,E,3);

end

141

% ARCHIVO no_estructuradas.m% ESTE ARCHIVO GENERA UN CONTROLADOR PARA EL CONVERTIDOR BOOST% BASADO EN INCERTIDUMBRES NO ESTRUCTURADAS

clear all;close all;

% Valor de los componentes del sistemarl=0.33;rc=0.04;R=44;C=220e-6;L=220e-6;Vg=12;D=.54;D_prima=1-D;

% Sistema en espacio de estado% entradas vi, io, d% salida vo


R*D_prima/(C*(R+rc)) -1/(C*(R+rc))]


0 -R/(C*(R+rc)) -Vg/(C*(R+rc)*D_prima*D_prima)]

matriz_C=[ R*rc*D_prima/(R+rc) R/(R+rc) ]

E=[0 -R*rc/(R+rc) -rc*Vg/((R+rc)*D_prima*D_prima)]

% Empaquetado de las matrices para crear un sistemamodelo=pck(A,B,matriz_C,E);

% pesos del comportamiento y de las incertidumbresw_dv = nd2sys(1,1,3);w_dz = nd2sys(1,1,.55);w_p = nd2sys([1 1e6],[1 1e-5],.0005);w_cs = nd2sys([1 1e4],[1 1e8],2e3);[n_wm,d_wm]=zp2tf([-110],[-5000],1.5);w_m = nd2sys(n_wm,d_wm,1);[n_wa,d_wa]=zp2tf([-30000],[-60000;-1e5],.95);w_a = nd2sys(n_wa,d_wa,1);

142

% Generacion de la planta ampliada con las funciones de ponderacion

systemnames = 'modelo w_dv w_dz w_p w_cs w_m w_a';

% Entradas del sistema. En este orden: incertidumbres,perturbaciones, entradas de control

inputvar = '[ v1; v2 ; w1; w2; u1]';

% Salidas del sistema. En este orden: incertidumbres,perturbaciones, salidas de control

outputvar = '[ w_m; u1; w_cs; w_p; modelo+w_a; w_dv]';

% entradas de cada uno de los bloquesinput_to_modelo = '[w_dv ; w_dz ; u1 + v1]';input_to_w_dv = '[ w1 ]';input_to_w_dz = '[ w2 ]';input_to_w_m = '[ u1 ]';input_to_w_cs = '[ u1 ]';input_to_w_a = '[ v2 ]';input_to_w_p = '[ modelo + w_a ]';cleanupsysic = 'yes';sysoutname = 'sysabcd_ic';sysic

% Archivo de datos para la iteracion d-kDK_DEF_NAME='dk_defin_boost3'

% Hacer la iteracion d-kdkit

143

% ARCHIVO dk_defin_boost3.m% ARCHIVO CON LOS DATOS NECESARIOS PARA HACER UNA ITERACION D-K

%---------------------------------------------%% VARIABLES OBLIGATORIAS %%---------------------------------------------%

% Sistema aumentado en lazo abiertoNOMINAL_DK = sysabcd_ic;

% Numero de entradas del controladorNMEAS_DK = 2;

% Numero de salidas del controladorNCONT_DK = 1;

% Estructura del bloque delta (incluyendo el de incertidumbres y elde comportamiento)

% En nuestro caso se corresponde a dos bloques complejos simples% correspondientes a las dos perturbaciones no estructuradas y% un bloque complejo de dimensiones 2x2 correspondiente a las dos% especificaciones del comportamiento

BLK_DK = [1 1;1 1;2 2];

% Rango de frecuenciasOMEGA_DK = logspace(-1,6,200);

%---------------------------------------------%% VARIABLES OPCIONALES %%---------------------------------------------%

% Sistema continuo

DISCRETE_DK = 0;

% Datos de las iteraciones:% - iteracion inicial: 1% - iteracion final: 10% - visualizar por pantalla los resultados en cada iteracion :0% - utilizar como maximo polinomios de 4º orden para escalar el% sistema para todos los elementos del bloque delta

AUTOINFO_DK = [ 1 10 1 4*ones(1,size(BLK_DK,1))];

144

% Sufijo para añadir a las variables exportadas al workspaceNAME_DK = 'suffix';

145

% FUNCION sys2tf2.m% ESTA FUNCION APROXIMA UNA FUNCION DE TRANSFERENCIA% A OTRA DE UN ORDEN MENOR% ENTRADAS: CONTROLADOR A REDUCIR, TOLERANCIA, ORDEN AL QUE SE

QUIERE REDUCIR Y% SELECCION DE LA FUNCION A REDUCIR (feedback o

feedforward)% SALIDAS: CEROS, POLOS Y GANANCIA DE LA FUNCION RESULTANTE

function [z,p,k]=sys2tf (k_dk,tol,orden,tf),

% Reduccion por el metodo del balanceo[k2,sig]=sysbal(k_dk,tol);

% Reduccion por el metodo de optimizacion de Hankel[sh,su,hsvu]=hankmr(k2,sig,orden);

% Descompresion del sistema a matrices de estado[ak,bk,ck,dk]=unpck(sh);

% Pasar de matrices de estado a funcion de transferencia[num,den]=ss2tf(ak,bk,ck,dk,tf);

% Representacion grafica de la funcion resultantefigurebode(num,den,logspace(-1,6,150))

% Transformacion de numerador y denominador% en ceros, polos y ganancia[z,p,k] = tf2zp(num,den);

end;

146

% ARCHIVO parametricas2.m% ESTE ARCHIVO GENERA UN CONTROLADOR PARA EL CONVERTIDOR BOOST% BASADO EN INCERTIDUMBRES ESTRUCTURADAS


% Valor de los componentes del sistema

rl=0.33;rc=0.04;R=44;C=220e-6;L=220e-6;Vg=12;D=.54;D_prima=1-D;

% sistema en espacio de estado% entradas vi, io, d% salida vo

A=[ -(R*rl+rl*rc+R*rc*D_prima)/(R+rc) -R*D_prima/(R+rc) ;... R*D_prima/(R+rc) -1/(R+rc)];

B=[ 1 D_prima*R*rc/(R+rc)(R*D_prima+rc)*Vg/((R+rc)*D_prima*D_prima) ;...

0 -R/(R+rc) -Vg/((R+rc)*D_prima*D_prima)] ;



Fn=[L 0;0 C];Q=eye(2);Fns=Q'*Fn*Q;

A_delta=[-D_prima D_prima Vg/(R*D_prima*D_prima) 0 0 0 -(Vg*rc)/(D_prima*D_prima) 0;...

0 0 0 0 0 1 0Vg/(D_prima*D_prima) ];

B_delta=[0 -1 0 -Vg/(R*D_prima*D_prima) D_prima 0rc*Vg/(D_prima*D_prima) 0 ];

C_delta=[1 0; 0 0; 0 0; 0 0; 1 0; 0 1; 0 0 ;0 0 ];E_delta=[0 0 0; 0 1 0; 0 0 1; 0 0 1; 0 0 0; 0 0 0; 0 0 1; 0 0 1];

147

A_1=inv(Fn)*A;B_1=[-Q*inv(Fns) inv(Fn)*A_delta inv(Fn)*B];C_1=[Fns*Q'*inv(Fn)*A; C_delta; matriz_C];E_1=[ -eye(2) Fns*Q'*inv(Fn)*A_delta Fns*Q'*inv(Fn)*B;... zeros(8,2) zeros(8,8) E_delta;... zeros(1,2) B_delta E];

% Empaquetado de las matrices para crear un sistemamodelo=pck(A_1,B_1,C_1,E_1);

% pesos del comportamiento y de las incertidumbres

w_dv = nd2sys(1,1,3);w_dz = nd2sys(1,1,.55);w_p = nd2sys([1 1e6],[1 1e-5],8e-4);w_cs = nd2sys([1 1e4],[1 1e8],2e3);

sc = nd2sys(1,1,.2);sc2 = nd2sys(1,1,0.1);dLC=daug(sc,sc2);

sc = nd2sys(1,1,0.04);sc2 = nd2sys(1,1,1/480);dR=daug(sc,sc,sc,sc,sc,sc2,sc2,sc2);


systemnames = 'modelo w_dv w_dz w_p w_cs dLC dR';


inputvar = '[ v3 ;v4 ;v5 ;v6 ; v7 ;v8 ;v9 ; v10; v11; v12; w1;w2; u1]';


outputvar = '[ dLC; dR; w_cs; w_p; modelo(11); w_dv]' ;

% entradas de cada uno de los bloquesinput_to_modelo = '[v3 ;v4 ;v5 ;v6 ; v7 ;v8 ;v9 ;v10; v11; v12;

w_dv ; w_dz ; u1]';input_to_w_dv = '[ w1 ]';input_to_w_dz = '[ w2 ]';input_to_w_cs = '[ u1 ]';input_to_w_p = '[ modelo(11) ]';input_to_dLC = '[ modelo(1); modelo(2)]';input_to_dR = '[ modelo(3); modelo(4); modelo(5); modelo(6);

modelo(7); modelo(8); modelo(9); modelo(10)]';

148

cleanupsysic = 'yes';sysoutname = 'sysabcd_ic';sysic



149

% ARCHIVO dk_defin_boost4.m% ARCHIVO CON LOS DATOS NECESARIOS PARA HACER UNA ITERACION D-K


% Sistema aumentado en lazo abiertoNOMINAL_DK = sysabcd_ic;




% En nuestro caso se corresponde a cuatro bloques reales: dossimples correspondientes a

% L y C respectivamente, uno con 5 elementos repetidoscorrespondientes a rc y

% por ultimo uno de 3 elementos reales repetidos correspiondientes aR'.

% Ademas hay un bloque complejo de dimensiones 2x2 correspondiente alas dos

% especificaciones del comportamiento

BLK_DK = [-1 1; -1 1;-5 0;-3 0;2 2];

% Rango de frecuenciasOMEGA_DK = logspace(-1,6,100);


% Sistema continuo

DISCRETE_DK = 0;

% Datos de las iteraciones:% - iteracion inicial: 1% - iteracion final: 10% - visualizar por pantalla los resultados en cada iteracion :0% - utilizar como maximo polinomios de 1er orden para escalar el

150

% sistema para todos los elementos del bloque delta


% Sufijo para añadir a las variables exportadas al workspaceNAME_DK = 'suffix';

151

% ARCHIVO prueba_mu.m% ESTE ARCHIVO GENERA UN CONTROLADOR PARA EL CONVERTIDOR BOOST% BASADO EN INCERTIDUMBRES ESTRUCTURADAS











0 0 0 0 0 1 0Vg/(D_prima*D_prima) ];


C_delta=[1 0; 0 0; 0 0; 0 0; 1 0; 0 1; 0 0 ;0 0 ];E_delta=[0 0 0; 0 1 0; 0 0 1; 0 0 1; 0 0 0; 0 0 0; 0 0 1; 0 0 1];

A_1=inv(Fn)*A;

152

B_1=[-Q*inv(Fns) inv(Fn)*A_delta inv(Fn)*B];C_1=[Fns*Q'*inv(Fn)*A; C_delta; matriz_C];E_1=[ -eye(2) Fns*Q'*inv(Fn)*A_delta Fns*Q'*inv(Fn)*B;... zeros(8,2) zeros(8,8) E_delta;... zeros(1,2) B_delta E];

modelo=pck(A_1,B_1,C_1,E_1);


w_dv = nd2sys(1,1,3);w_dz = nd2sys(1,1,.1);

w_p = nd2sys([1],[1 1e-5],1e4);w_cs = nd2sys([1 3.1416e4],[1 3.1416e8],4e4);

sc = nd2sys(1,1,.2);sc2 = nd2sys(1,1,0.1);dLC=daug(sc,sc2);sc = nd2sys(1,1,0.04);sc2 = nd2sys(1,1,1/480);dR=daug(sc,sc,sc,sc,sc,sc2,sc2,sc2);









modelo(7); modelo(8); modelo(9); modelo(10)]';cleanupsysic = 'yes';sysoutname = 'sysabcd_ic';sysic

153

% Funcion de transferencia del controlador

[a,b,c,d] = zp2ss([(-2.7-0.48j)*1e3 ;(-2.7+0.48j)*1e3],[0 ;-5.167e4; -1.14e5],[-1.876e5]);

b_prima=[b zeros(3,1)];d_prima=[d -0.039];

controlador=pck(a,b_prima,c,d_prima);

% Generacion del sistenma en lazo cerradosistema=starp(sysabcd_ic,controlador);

% Rango de frecuencias a estudiarfrecuencias=logspace(-1,6,100);

% Respuesta frecuencial del sistemarespuesta_frecuencial=frsp(sistema,frecuencias);


bloque_delta = [-1 1; -1 1;-5 0;-3 0;2 2];

% calculo de los valores del indice muvalores_mu = mu(respuesta_frecuencial,bloque_delta);figure

% representacion del valor de muvplot('liv,m',sel(valores_mu,1,1),'m')xlabel('Frecuencia (rad/s)');ylabel('mu');

154

% ARCHIVO prueba_mu2.m% ESTE ARCHIVO GENERA UN CONTROLADOR PARA EL CONVERTIDOR BOOST% BASADO EN INCERTIDUMBRES NO ESTRUCTURADAS

%clear all;%close all;% Valor de los componentes del sistema










% pesos del comportamiento y de las incertidumbresw_dv = nd2sys(1,1,3);w_dz = nd2sys(1,1,.1);w_p = nd2sys([1],[1 1e-5],1e4);w_cs = nd2sys([1 3.1416e4],[1 3.1416e8],4e4);

[n_wm,d_wm]=zp2tf([-110],[-5000],1.5);w_m = nd2sys(n_wm,d_wm,1);

[n_wa,d_wa]=zp2tf([-30000],[-60000;-1e5],.95);

155

w_a = nd2sys(n_wa,d_wa,1);




inputvar = '[ v1; v2 ; w1; w2; u1]';




% Funcion de transferencia del controlador

[a,b,c,d] = zp2ss([(-2.7-0.48j)*1e3 ;(-2.7+0.48j)*1e3],[0 ;-5.167e4; -1.14e5],[-1.876e5]);

b_prima=[b zeros(3,1)];d_prima=[d -0.039];

controlador=pck(a,b_prima,c,d_prima);

% Generacion del sistenma en lazo cerradosistema=starp(sysabcd_ic,controlador);

% Rango de frecuencias a estudiarfrecuencias=logspace(-1,6,100);



bloque_delta = [1 1;1 1;2 2];

156



157

% ARCHIVO no_estruct_quique.m% ESTE ARCHIVO GENERA UN CONTROLADOR PARA EL CONVERTIDOR BOOST% BASADO EN INCERTIDUMBRES NO ESTRUCTURADAS

clear all;close all;% Valor de los componentes del sistema










% pesos del comportamiento y de las incertidumbresw_dv = nd2sys(1,1,3);w_dz = nd2sys(1,1,.1);w_p = nd2sys([1 1e6],[1 1e-5],10e-4);w_cs = nd2sys([1 1e4],[1 1e8],2e3);

[n_wm,d_wm]=zp2tf([-110],[-5000],1.5);w_m = nd2sys(n_wm,d_wm,1);

[n_wa,d_wa]=zp2tf([-30000],[-60000;-1e5],.95);

158

w_a = nd2sys(n_wa,d_wa,1);




inputvar = '[ v1; v2 ; w1; w2; u1]';






159

% ARCHIVO estruct_quique.m% ESTE ARCHIVO GENERA UN CONTROLADOR PARA EL CONVERTIDOR BOOST% BASADO EN INCERTIDUMBRES ESTRUCTURADAS











0 0 0 0 0 1 0Vg/(D_prima*D_prima) ];


C_delta=[1 0; 0 0; 0 0; 0 0; 1 0; 0 1; 0 0 ;0 0 ];E_delta=[0 0 0; 0 1 0; 0 0 1; 0 0 1; 0 0 0; 0 0 0; 0 0 1; 0 0 1];

A_1=inv(Fn)*A;

160

B_1=[-Q*inv(Fns) inv(Fn)*A_delta inv(Fn)*B];C_1=[Fns*Q'*inv(Fn)*A; C_delta; matriz_C];E_1=[ -eye(2) Fns*Q'*inv(Fn)*A_delta Fns*Q'*inv(Fn)*B;... zeros(8,2) zeros(8,8) E_delta;... zeros(1,2) B_delta E];



w_dv = nd2sys(1,1,3);w_dz = nd2sys(1,1,.1);w_p = nd2sys([1 1e6],[1 1e-5],.006);w_cs = nd2sys([1 1e4],[1 1e8],2e3);sc = nd2sys(1,1,.2);sc2 = nd2sys(1,1,0.1);dLC=daug(sc,sc2);sc = nd2sys(1,1,0.04);sc2 = nd2sys(1,1,1/480);dR=daug(sc,sc,sc,sc,sc,sc2,sc2,sc2);









modelo(7); modelo(8); modelo(9); modelo(10)]';cleanupsysic = 'yes';sysoutname = 'sysabcd_ic';sysic


161


162

% FUNCION sys2tf.m% ESTA FUNCION APROXIMA UNA FUNCION DE TRANSFERENCIA% A OTRA DE UN ORDEN MENOR% ENTRADAS: CONTROLADOR A REDUCIR, TOLERANCIA,% SELECCION DE LA FUNCION A REDUCIR (feedback o

feedforward)% SALIDAS: CEROS, POLOS Y GANANCIA DE LA FUNCION RESULTANTE

function [z,p,k]=sys2tf (k_dk,tol,tf),

% Reduccion por el metodo del balanceo[k,sig]=sysbal(k_dk,tol);

% Descompresion del sistema a matrices de estado[ak,bk,ck,dk]=unpck(k);

% Pasar de matrices de estado a funcion de transferencia[num,den]=ss2tf(ak,bk,ck,dk,tf);

% Representacion grafica de la funcion resultantefigurebode(num,den,logspace(-1,6,150))

% Transformacion de numerador y denominador% en ceros, polos y ganancia[z,p,k] = tf2zp(num,den);

end;

163

% ARCHIVO analisis_mu.m% ESTE ARCHIVO HACE EL ANALISIS MU% DE UN CONVERTIDOR BUCK CON FILTRO DE ENTRADA% BASADO EN SUS INCERTIDUMBRES ESTRUCTURADAS


% Valor de los componentes del sistemaVg=40;L1=8e-6;Rd=0.33;Cd=100e-6;C=33e-6;L2=62e-6;RL=100e-3;Rc=3e-3;Co=1600e-6;R=11;Vref=14;

% Variaciones de los parametros

delta_L1=0.25;delta_C=0.2;

delta_Rc=3e-3;delta_R_prima=9/40;delta_Rd_prima=0.028/0.059584;delta_Vg_prima=1/192;delta_Vg=8;

% sistema en espacio de estado% entradas d, ip% salida vo

A=[ 0 0 -1 0 0 ; 0 -(RL*(R+Rc)+Rc*R)/(R+Rc) Vref*(R+RL)/(Vg*R) 0 -

R/(R+Rc); 1 -Vref*(R+RL)/(Vg*R) -1/Rd 1/Rd

0; 0 0 1/Rd -1/Rd 0; 0 R/(R+Rc) 0 0 -

1/(R+Rc)];

B=[ 0 0; Vg -Rc*R/(R+Rc); -Vref/R 0 ; 0 0;

164

0 R/(R+Rc)];

matriz_C=[ 0 R*Rc/(R+Rc) 0 0 R/(R+Rc)];

E=[ 0 R*Rc/(R+Rc)];

Fn=diag([L1 L2 C Cd Co]);

Q=[1 0; 0 0 ;0 1; 0 0 ; 0 0];

Fns=Q'*Fn*Q;

A_delta=[ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1; 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0; 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0];

B_delta=[ 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0];

C_delta=[ 0 -1 0 0 0; 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0; 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 1; 0 0 1 0 0; 0 0 0 -1 0; 0 0 -1 0 0; 0 0 0 1 0; 0 0 -Vref 0 0; 0 Vref 0 0 0; 0 0 0 0 0];

E_delta=[ 0 0; 0 -1; 0 0; 0 1; Vref 0; 0 0; 0 0; 0 0; 0 0; 0 0; 0 0; 0 0;

165

1 0];



% pesos del comportamiento y de las incertidumbresw_dz = nd2sys(1,1,1);w_p = zp2sys([-2*pi*.1e3],[-1e-5],[25]);dLC=diag([delta_L1 delta_C]);dR=diag([delta_Rc*ones(1,4) delta_R_prima*ones(1,2) ... delta_Rd_prima*ones(1,4) delta_Vg_prima*ones(1,2)

delta_Vg]);

% Generacion de la planta ampliada con las funciones de ponderacionsystemnames = 'modelo w_dz w_p dLC dR';


inputvar = '[ v15; w1; u1]';


outputvar = '[ dLC; dR; w_p; modelo(16)]' ;

% entradas de cada uno de los bloquesinput_to_modelo = '[v; u1; w_dz]';input_to_w_dz = '[ w1 ]';input_to_w_p = '[ modelo(16) ]';input_to_dLC = '[ modelo(1); modelo(2)]';input_to_dR = '[modelo(3); modelo(4); modelo(5); modelo(6);

modelo(7);modelo(8); modelo(9); modelo(10); modelo(11); modelo(12);modelo(13); modelo(14); modelo(15)]';

cleanupsysic = 'yes';sysoutname = 'planta';sysic

% Funcion de transferencia del controlador PIDcontrolador = zp2sys([-3175; -3175],[0; -3.142e5],23.439);

% Generacion del sistenma en lazo cerradosistema=starp(planta,controlador);

166

% Rango de frecuencias a estudiarfrecuencias=logspace(2,5.8,100);



% En nuestro caso se corresponde a siete bloques complejos: dossimples correspondientes a

% L1 y C respectivamente, uno con 4 elementos repetidoscorrespondientes a Rc,

% uno con 2 elementos repetidos correspondientes a R',% uno con 4 elementos repetidos correspondientes a Rd',% uno con 4 elementos repetidos correspondientes a Vg',% por ultimo uno simple correspondiente a Vg.% Ademas hay un bloque complejo de dimensiones 1x1 correspondiente a

la% especificacion del comportamiento de la impedancia de salida

bloque_delta = [1 1; 1 1;4 0;2 0;4 0;2 0;1 0;1 1];



167

% ARCHIVO analisis_mu2.m% ESTE ARCHIVO HACE EL ANALISIS MU% DE UN CONVERTIDOR BUCK CON FILTRO DE ENTRADA% BASADO EN SUS INCERTIDUMBRES ESTRUCTURADAS


% Valor de los componentes del sistema% con sus correspondientes tolerancias

Vg=40;tol_Vg=8;

L1=8e-6;tol_L1=25; % tolerancia en tanto por ciento

C=33e-6;tol_C=20; % tolerancia en tanto por ciento

Rc=3e-3;tol_Rc=3e-3;

R=11;tol_R=9;

Rd=0.33;tol_Rd=0.05;

Cd=100e-6;L2=62e-6;RL=100e-3;Co=1600e-6;Vref=14;

% calculo de las variaciones medias

Vg_medio=((1/(Vg+tol_Vg))+(1/(Vg-tol_Vg)))/2;R_medio=((1/(R+tol_R))+(1/(R-tol_R)))/2;Rd_medio=((1/(Rd+tol_Rd))+(1/(Rd-tol_Rd)))/2;

% variaciones de los parametros

delta_L1=tol_L1/100;delta_C=tol_C/100;

delta_Rc=tol_Rc;delta_R_prima=abs((1/(R-tol_R))-R_medio);

168

delta_Rd_prima=abs((1/(Rd-tol_Rd))-Rd_medio);delta_Vg_prima=abs((1/(Vg-tol_Vg))-Vg_medio);delta_Vg=tol_Vg;




0; 0 0 1/Rd -1/Rd 0; 0 R/(R+Rc) 0 0 -

1/(R+Rc)];

B=[ 0 0; Vg -Rc*R/(R+Rc); -Vref/R 0 ; 0 0; 0 R/(R+Rc)];


E=[ 0 R*Rc/(R+Rc)];


Q=[1 0; 0 0 ;0 1; 0 0 ; 0 0];

Fns=Q'*Fn*Q;

A_delta=[ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1; 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0; 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0];

B_delta=[ 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0];

C_delta=[ 0 -1 0 0 0; 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0;

169

0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 1; 0 0 1 0 0; 0 0 0 -1 0; 0 0 -1 0 0; 0 0 0 1 0; 0 0 -Vref 0 0; 0 Vref 0 0 0; 0 0 0 0 0];

E_delta=[ 0 0; 0 -1; 0 0; 0 1; Vref 0; 0 0; 0 0; 0 0; 0 0; 0 0; 0 0; 0 0; 1 0];




delta_Vg]);


systemnames = 'modelo w_dz w_p dLC dR';

170


inputvar = '[ v15; w1; u1]';















bloque_delta = [1 1; 1 1;4 0;2 0;4 0;2 0;1 0;1 1];

171



172

% ARCHIVO analisis_mu21.m% ESTE ARCHIVO HACE EL ANALISIS MU% DE UN CONVERTIDOR BUCK CON FILTRO DE ENTRADA% BASADO EN SUS INCERTIDUMBRES ESTRUCTURADAS



Vg=40;tol_Vg=8;




R=11;tol_R=9;

Rd=0.33;tol_Rd=0.05;







173





0; 0 0 1/Rd -1/Rd 0; 0 R/(R+Rc) 0 0 -

1/(R+Rc)];



E=[ 0 R*Rc/(R+Rc)];


Q=[1 0; 0 0 ;0 1; 0 0 ; 0 0];

Fns=Q'*Fn*Q;

A_delta=[ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1; 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0; 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0];

B_delta=[ 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0];

C_delta=[ 0 -1 0 0 0; 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0;

174

0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 1; 0 0 1 0 0; 0 0 0 -1 0; 0 0 -1 0 0; 0 0 0 1 0; 0 0 -Vref 0 0; 0 Vref 0 0 0; 0 0 0 0 0];

E_delta=[ 0 0; 0 -1; 0 0; 0 1; Vref 0; 0 0; 0 0; 0 0; 0 0; 0 0; 0 0; 0 0; 1 0];




delta_Vg]);



175


inputvar = '[ v15; w1; u1]';










% Respuesta frecuencial del sistema sin tener en cuenta elcomportamiento

respuesta_frecuencial2=sel(respuesta_frecuencial,1:15,1:15);

% Estructura del bloque delta (solo con el de incertidumbres)



% uno con 2 elementos repetidos correspondientes a R',% uno con 4 elementos repetidos correspondientes a Rd',% uno con 4 elementos repetidos correspondientes a Vg',% por ultimo uno simple correspondiente a Vg.

bloque_delta = [1 1; 1 1;4 0;2 0;4 0;2 0;1 0];

% calculo de los valores del indice mu

176

valores_mu = mu(respuesta_frecuencial2,bloque_delta);

figure

% representacion del valor de muvplot('liv,m',sel(valores_mu,1,1),'m')xlabel('Frecuencia (rad/s)');ylabel('mu');title('mu para estabilidad robusta')

177

% ARCHIVO nuevo_analisis_mu.m% ESTE ARCHIVO HACE EL ANALISIS MU% DE UN CONVERTIDOR BUCK CON FILTRO DE ENTRADA% BASADO EN SUS INCERTIDUMBRES ESTRUCTURADAS


% Valor de los componentes del sistemaVg=40;L1=8e-6;Rd=0.33;Cd=100e-6;C=33e-6;L2=62e-6;RL=100e-3;Rc=3e-3;Co=1600e-6;R=11;Vref=14;

% Variaciones de los parametros






0; 0 0 1/Rd -1/Rd 0; 0 R/(R+Rc) 0 0 -

1/(R+Rc)];

B=[ 0 0; Vg -Rc*R/(R+Rc); -Vref/R 0 ;

178

0 0; 0 R/(R+Rc)];


E=[ 0 R*Rc/(R+Rc)];


Q=[1 0; 0 0 ;0 1; 0 0 ; 0 0];

Fns=Q'*Fn*Q;

A_delta=[ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1; 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0; 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0];

B_delta=[ 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0];

C_delta=[ 0 -1 0 0 0; 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0; 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 1; 0 0 1 0 0; 0 0 0 -1 0; 0 0 -1 0 0; 0 0 0 1 0; 0 0 -Vref 0 0; 0 Vref 0 0 0; 0 0 0 0 0];

E_delta=[ 0 0; 0 -1; 0 0; 0 1; Vref 0; 0 0; 0 0; 0 0; 0 0; 0 0; 0 0;

179

0 0; 1 0];



% pesos del comportamiento y de las incertidumbresw_dz = nd2sys(1,1,1);w_p = zp2sys([-2*pi*.1e3; -2*pi*10e3],[-1e-5 ;1e8],[40000]);dLC=diag([delta_L1 delta_C]);dR=diag([delta_Rc*ones(1,4) delta_R_prima*ones(1,2) ... delta_Rd_prima*ones(1,4) delta_Vg_prima*ones(1,2)

delta_Vg]);



inputvar = '[ v15; w1; u1]';







% Generacion del sistenma en lazo cerrado

180

sistema=starp(planta,controlador);








bloque_delta = [1 1; 1 1;4 0;2 0;4 0;2 0;1 0;1 1];



181

% ARCHIVO nuevo_analisis_mu2.m% ESTE ARCHIVO HACE EL ANALISIS MU% DE UN CONVERTIDOR BUCK CON FILTRO DE ENTRADA% BASADO EN SUS INCERTIDUMBRES ESTRUCTURADAS



Vg=40;tol_Vg=8;




R=11;tol_R=9;

Rd=0.33;tol_Rd=0.05;







182





0; 0 0 1/Rd -1/Rd 0; 0 R/(R+Rc) 0 0 -

1/(R+Rc)];



E=[ 0 R*Rc/(R+Rc)];


Q=[1 0; 0 0 ;0 1; 0 0 ; 0 0];

Fns=Q'*Fn*Q;

A_delta=[ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1; 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0; 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0];

B_delta=[ 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0];

C_delta=[ 0 -1 0 0 0; 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0;

183

0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 1; 0 0 1 0 0; 0 0 0 -1 0; 0 0 -1 0 0; 0 0 0 1 0; 0 0 -Vref 0 0; 0 Vref 0 0 0; 0 0 0 0 0];

E_delta=[ 0 0; 0 -1; 0 0; 0 1; Vref 0; 0 0; 0 0; 0 0; 0 0; 0 0; 0 0; 0 0; 1 0];



% pesos del comportamiento y de las incertidumbresw_dz = nd2sys(1,1,1);w_p = zp2sys([-2*pi*.1e3; -2*pi*10e3],[-1e-5 ;1e8],[40000]);dLC=diag([delta_L1 delta_C]);dR=diag([delta_Rc*ones(1,4) delta_R_prima*ones(1,2) ... delta_Rd_prima*ones(1,4) delta_Vg_prima*ones(1,2)

delta_Vg]);



184


inputvar = '[ v15; w1; u1]';















bloque_delta = [1 1; 1 1;4 0;2 0;4 0;2 0;1 0;1 1];

185



186

% ARCHIVO parametricas_calculo_k.m% ESTE ARCHIVO ENCUENTRA UN CONTROLADOR ROBUSTO% PARA UN CONVERTIDOR BUCK CON FILTRO DE ENTRADA% BASADO EN SUS INCERTIDUMBRES ESTRUCTURADAS


% Valor de los componentes del sistema

Vg=40;L1=8e-6;Rd=0.33;Cd=100e-6;C=33e-6;L2=62e-6;RL=100e-3;Rc=3e-3;Co=1600e-6;R=11;Vref=14;

% variaciones parametros






0; 0 0 1/Rd -1/Rd 0; 0 R/(R+Rc) 0 0 -

1/(R+Rc)];

187



E=[ 0 R*Rc/(R+Rc)];


Q=[1 0; 0 0 ;0 1; 0 0 ; 0 0];

Fns=1e-2*Q'*Fn*Q;

A_delta=[ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1; 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0; 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0];

B_delta=[ 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0];

C_delta=[ 0 -1 0 0 0; 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0; 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 1; 0 0 1 0 0; 0 0 0 -1 0; 0 0 -1 0 0; 0 0 0 1 0; 0 0 -Vref 0 0; 0 Vref 0 0 0; 0 0 0 0 0];

E_delta=[ 0 0; 0 -1; 0 0; 0 1; Vref 0; 0 0; 0 0;

188

0 0; 0 0; 0 0; 0 0; 0 0; 1 0];



% pesos del performance e incertidumbresw_dz = nd2sys(1,1,1);w_p = zp2sys([-2*pi*1e3],[-1e-5],[50]);

dLC=diag([delta_L1 delta_C]);dR=diag([delta_Rc*ones(1,4) delta_R_prima*ones(1,2) ... delta_Rd_prima*ones(1,4) delta_Vg_prima*ones(1,2)

delta_Vg]);



inputvar = '[ v15; w1; u1]';






189

% Parametros para hacer la iteracion d-kDK_DEF_NAME='dk_defin_buck'

% Ejecucion de la iteracion d-kdkit

190

% ARCHIVO dk_defin_buck.m% ARCHIVO CON LOS DATOS NECESARIOS PARA HACER UNA ITERACION D-K


% Sistema aumentado en lazo abiertoNOMINAL_DK = planta;




% En nuestro caso se corresponde a siete bloques reales: dos simplescorrespondientes a




BLK_DK = [-1 1; -1 1;-4 0;-2 0;-4 0;-2 0;-1 0;1 1];

% Rango de frecuenciasOMEGA_DK = logspace(2,6,100);


% Sistema continuo

DISCRETE_DK = 0;

% Datos de las iteraciones:

191

% - iteracion inicial: 1% - iteracion final: 5% - visualizar por pantalla los resultados en cada iteracion :0% - utilizar como maximo polinomios de 1er orden para escalar el% sistema para todos los elementos del bloque delta


% Sufijo para añadir a las variables exportadas al workspaceNAME_DK = '';

% Valor maximo de gammaGMAX_DK=5e5;

192

% ARCHIVO analisis_con_iL.m% ESTE ARCHIVO HACE EL ANALISIS MU% DE UN CONVERTIDOR BUCK CON FILTRO DE ENTRADA% BASADO EN SUS INCERTIDUMBRES ESTRUCTURADAS% INCLUYENDO iL1 COMO SALIDA


Vg=40;tol_Vg=8;




R=11;tol_R=9;

Rd=0.33;tol_Rd=0.05;






delta_Rc=tol_Rc;delta_R_prima=abs((1/(R-tol_R))-R_medio);delta_Rd_prima=abs((1/(Rd-tol_Rd))-Rd_medio);

193

delta_Vg_prima=abs((1/(Vg-tol_Vg))-Vg_medio);delta_Vg=tol_Vg;

% sistema en espacio de estado% entradas d, ip% salidas vo, iL1



0; 0 0 1/Rd -1/Rd 0; 0 R/(R+Rc) 0 0 -

1/(R+Rc)];


matriz_C=[ 0 R*Rc/(R+Rc) 0 0 R/(R+Rc); 1 0 0 0 0 ];

E=[ 0 R*Rc/(R+Rc); 0 0];


Q=[1 0; 0 0 ;0 1; 0 0 ; 0 0];

Fns=Q'*Fn*Q;

A_delta=[ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1; 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0; 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0];

B_delta=[ 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0];

194

C_delta=[ 0 -1 0 0 0; 0 0 0 0 0; 0 1 0 0 0; 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 0; 0 0 0 0 1; 0 0 1 0 0; 0 0 0 -1 0; 0 0 -1 0 0; 0 0 0 1 0; 0 0 -Vref 0 0; 0 Vref 0 0 0; 0 0 0 0 0];

E_delta=[ 0 0; 0 -1; 0 0; 0 1; Vref 0; 0 0; 0 0; 0 0; 0 0; 0 0; 0 0; 0 0; 1 0];



% pesos del comportamiento y de las incertidumbresw_dz = nd2sys(1,1,1);w_p = zp2sys([-2*pi*.1e3],[-1e-5],[25]);

w_i = zp2sys([-2e5;-2e5],[-2e7;-2e7],[1e4]);

dLC=diag([delta_L1 delta_C]);dR=diag([delta_Rc*ones(1,4) delta_R_prima*ones(1,2) ... delta_Rd_prima*ones(1,4) delta_Vg_prima*ones(1,2)

delta_Vg]);

195


systemnames = 'modelo w_dz w_p dLC dR w_i';

% Entradas del sistema. En este orden: incertidumbres,perturbaciones,

inputvar = '[ v15; w1; u1]';

% Salidas del sistema. En este orden: incertidumbres,perturbaciones,

outputvar = '[ dLC; dR; w_p; w_i; modelo(16)]' ;

% entradas de cada uno de los bloquesinput_to_modelo = '[v; u1; w_dz]';input_to_w_dz = '[ w1 ]';input_to_w_p = '[ modelo(16) ]';input_to_w_i = '[ modelo(17) ]';input_to_dLC = '[ modelo(1); modelo(2)]';input_to_dR = '[modelo(3); modelo(4); modelo(5); modelo(6);












196

bloque_delta = [1 1; 1 1;4 0;2 0;4 0;2 0;1 0; 1 2 ];



% Respuesta frecuencial del sistema sin tener en cuenta elcomportamiento

respuesta_frecuencial2=sel(respuesta_frecuencial,1:15,1:15);

% Estructura del bloque delta (solo con el de incertidumbres)



% uno con 2 elementos repetidos correspondientes a R',% uno con 4 elementos repetidos correspondientes a Rd',% uno con 4 elementos repetidos correspondientes a Vg',% por ultimo uno simple correspondiente a Vg.

bloque_delta = [1 1; 1 1;4 0;2 0;4 0;2 0;1 0];

% calculo de los valores del indice muvalores_mu = mu(respuesta_frecuencial2,bloque_delta);

figure

% representacion del valor de muvplot('liv,m',sel(valores_mu,1,1),'m')xlabel('Frecuencia (rad/s)');ylabel('mu');title('mu para estabilidad robusta')

197

A 3 Referencias

[1] E. Vidal-Idiarte, L. Martínez-Salamero, Hugo Valderrama, Francisco Guinjoan y Javier Maixé,“Analysis and design of H∞ Control of Non-Minimum Phase Switching Converters”

[2] G. F. Wallis y R. Tymerski, "Generalized Approach for µ-Synthesis of Robust Switching Regulators"IEEE Transac. Aerospace and Electronic Systems, vol. 36, n° 2,April 2000, pp 422-431.

[3] R. Tymerski, “Worst-Case Stability of Switching Regulatros Using the Structured Singular Value”,IEEE Trans. on Power Electronics, vol. 11, nº 5, Sept. 1996, pp 723-730.

[4] S. Buso, "µ-Synthesis of a Robust Voltage Controller for a Buck-boost Converter" Proceedings ofIEEE Power Electronics Specialists Conference, PESC'96, pp 766-772.

[5] R. Naim, G. Weiss, y S. Ben-Yaakov, “H∞ Control Applied to Boost Converters” IEEE Trans. OnPower Electronics, vol. 12, nº4, july 1997, pp. 677–683.

[6] J. Bu, M. Sznaier, Z. Wang y I. Batarsech, “Robust Controller Design for a Parallel resonant converterUsing µ-Synthesis”, IEEE Transac. On Power Electronics, vol. 12, nº5, sept. 1997, pp 837-853.

[7] R. Y. Chiang y M. G. Safonov, "Robust Control Toolbox User's Guide", The MathWorks, Inc., 1996.[8] F. Rodríguez Rubio y M.J. López Sánchez, “Control Adaptativo y Robusto” , Secretariado de

Publicaciones de la Universidad de Sevilla, 1996.

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