ANALISIS Y DISEÑO DE LOSAS

8/2/2019 ANALISIS Y DISEO DE LOSAS

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ANALISIS Y DISEO DE

LOSASIng. Roberto Morales


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LOSAS EN UNA DIRECCION

Las losas armadas en una direccin son paneles de piso de concreto para los cuales la relacinde luz mayor a la luz menor es igual o mayor que 2.0. Cuando esta relacin es menor que 2

el panel de piso llega a ser una losa en dos direcciones.

Una losa en una direccin es diseada como un pao de viga de ancho de 1m usando el mismoprocedimiento de anlisis y diseo que el de vigas con refuerzo simple.

En el diseo de losas, normalmente se asume un espesor.

Las losas normalmente para cargas tpicas no requieren de refuerzo por corte.


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REFUERZO TRANSVERSAL

Astemp = 0.0020 bt para fy = 2800, 3500 kg/cm2

= 0.0018 bt para fy = 4200

s < 5t, 45 cm con y = 0.35%

Aplicacin:Disear la losa simplemente apoyada reforzada en una direccin, que se muestra en la figura.

Considere:f'c = 280 kg/cm

2

fy = 4200 kg/cm2

wD = 0.56 t/m2

wL = 0.50 t/m2

Dimensionar la losa para una cuanta de 0.004

Ast bt fy

bt

00018

420000014. .

3.60


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Solucin:

Considerando un ancho de 1m.

Wu = 1.2 wD + 1.6 wL = 1.2 * 0.56 + 1.6 * 0.5 = 1.47 t/m2

Mu = f f'c bd2 w(1-0.59 w)

2.38 * 105 = 0.9 * 280 * 100 d2 * 0.060 (1-0.59 * 0.060) =

Usar: h = 16 cm d = 16 - (2 + 0.635) = 13.36 cmrmax = 0.75 rb = 0.0213 > 0.004 Conformermin = rtemp = 0.0018 < 0.004 Conforme

Mu Wu t m -l

2

81.47

3602

8238*

..

w

f

yf c

r0004 4200

2800060. * .

d cm h d cm + + + + 12772

1277 2127

2154. .

..r

f


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( )da cm As

Mn

fy da

- -

2

1236

2

238 105

09 4200 1236. .

*

. * .f

As cm aAsfy

fcbcm

509 2

085

509 42

085 028 100.

.

. * .

. * . *0.90

d a cm As cm a cm- \21291 488 2 086. . . CONFORME

r As bd/.

* ..

4.88

100 1336000365

Usar:

As nA s bn nA

As mm f fI

/..

.127488

026

Diseo:

a = 2 cm d = 13.36 cm

f 1/2" @ 0.26 Respuesta


6/101

f1/2 @ 0.26f

3/8@

0.2

5

0.16

f 3/8 @ 0.25

f 1/2 @ 0.26

REFUERZO TRANSVERSAL

Ast = 0.0018 bt = 0.0018 * 100 * 16 = 2.88 cm2 / m

Usar: f 3 8071

288025/ "@

.

..s m


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1/24 1/9 1/24

1/141/14

3.40 3.70

Diseo de una losa maciza

Disear la losa maciza por flexin reforzada en una direccin. Considere: espesor = 14 cm, s/c = 600kg/m2, f'c = 210 kg/cm

2, fy = 4200 kg/cm2.

Solucin:

P.P. = 0.14 * 1 * 2.4 * 1.2 ........ 0.40 t/m2

acab = 0.10 * 1.2 ...................... 0.12

s/c = 0.60 * 1.6 ...................... 0.96

Wu = 1.48 t/m

s/c = 600 kg/m2

f'c = 210 kg/cm2

fy = 4200 kg/cm2


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1

24079 040 168 2 3 8 042 - \. . . / "@ .t m a cm As cm f

1

9207 -. t m

1

24084 047 20 2 3 8 036 - \. . . / "@ .t m a cm As cm mf

1

14122 069 293 2 3 8 024 - \. . . / "@ .t m a cm As cm mf

1

14145 083 351 2 3 8 020 - \. . . / "@ .t m a cm As cm mf

Diseo:

-Mu = 2.07 t-m a = 2 cm

d cm - +

14 2127

21137

..

As acm a

Asfy

fc

cm-

207 105

09 4200 11372

528 2

085 100124

. *

. * .

..

.

As = 5.10 cm2 a = 1.20 cm CONFORME


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Usar f1 2127

5650252/ "@

.

.. m

2.07 t-m ............... 1.20 cm

Mu ........................ x

As min = 0.0018 bd = 0.0018 * 100 * 11.37 = 2.05 cm2

f 3/8" @ 0.35

s < 3t, 45 cm = 42, 45 cm CONFORME

f3/8 @ 0.24

f3/8 @ 0.42f1/2 @ 0.25 f3/8 @ 0.36

f3/8 @ 0.20


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LINEAS DE FLUENCIA

Los trminos "Lneas de Fluencia Positiva" y "Lneas de Fluencia Negativa" son usados para

distinguir los asociados a traccin en la parte inferior de la losa y traccin en la parte superior de lalosa respectivamente.

P

Lnea de Fluencia Positiva

Lnea de Fluencia Negativa

PLANTA


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Las orientaciones para establecer los ejes de rotacin y lneas de fluencia son:

1. Las lneas de fluencia son generalmente rectas.

2. Los ejes de rotacin generalmente se encuentran a lo largo de las lneas de apoyo, lascuales pueden ser rtulas reales o lneas de fluencia que actan como rtulas plsticas.

3. Los ejes de rotacin pasan por los puntos de apoyo (como las columnas).

4. La lnea de fluencia comn a dos porciones de losa pasa por el punto de interseccinde los ejes de rotacin de dichas porciones.

5. Las deformaciones en la estructura plastificada se producen alrededor de un eje derotacin y se hallan concentradas en las lneas de fluencia. Las porciones limitadas porellas permanecen planas.

Apoyo

Apoyos simples en todos los lados

Apoyo


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Formas tpicas de lnea de fluencia:

Apoyos no paralelosApoyos simples

en todos los lados

4 Apoyossimples

2 apoyosempotrados

Bordelibre

3 apoyossimples

1

1

1

1

1

2

4

2

31

1

2

1

3

2

Borde libre


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Columna

2 apoyos empotrados

Eje derotacin

Libre

Apoyo simple

Bordelibre

3 apoyosempotrados

1

3

2


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METODOS DE ANALISIS

a) Anlisis por el mtodo de equilibrio

A partir de una configuracin aproximada de las lneas de fluencia puede encontrarse la verdadera,considerando el equilibrio de las porciones de la losa.

Cada porcin considerada como cuerpo libre, debe estar en equilibrio bajo la accin de las cargasaplicadas, momentos flectores a lo largo de las lneas de fluencia y reacciones o fuerzas cortantes alo largo de las lneas de apoyo.

Debe notarse que los momentos de fluencia son momentos principales, por lo tanto los momentos de

torsin son nulos a lo largo de las lneas de fluencia y generalmente las fuerzas cortantes sontambin nulas.

b) Anlisis por el mtodo de los trabajos virtuales

En base a una configuracin de lneas de fluencia se le da al sistema un conjunto dedesplazamientos virtuales compatibles con la configuracin supuesta, siendo posible calcular las

rotaciones correspondientes. Igualando el trabajo exterior con el trabajo interior, se encuentra larelacin entre las cargas aplicadas y los momentos ltimos de la losa.


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LOSAS ISOTROPICAS Y ORTOTROPICAS

Si una losa es reforzada idnticamente en direcciones ortogonales, los momentos resistentes ltimosson los mismos en esas dos direcciones y a lo largo de cualquier otra direccin. Estas losas sonllamadas Isotrpicamente reforzadas.

Si una losa es reforzada diferentemente en dos direcciones ortogonales, la losa es llamadaanisotrpica u ortotrpica.

MOMENTOS ULTIMOS EN EJES NO PERPENDICULARES A LAS ARMADURAS

El problema es calcular el momento ltimo en una direccin cualesquiera si se conocen losmomentos ltimos resistentes en dos direcciones perpendiculares.

m

1

sen

cos

mx

my


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m, mx ,my : momentos ltimos por unidad de longitud.

Tenemos:

m mx my sen sen +( cos )cos ( )

m mx my sen +cos2 2

En caso de losas isotrpicas

mx my

\ +m m m senx x cos2 2

m mx my

(Los momentos ltimos son iguales en cualquier direccin)


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Ejemplos de Aplicacin

a) Mtodos de Equilibrio

Aplicacin:

Se tiene una losa continua uniformemente cargada como se muestra en la figura adjunta. La losatiene una luz de 3 m y est reforzada para proveer una resistencia a flexin positiva de 0.70t-m/m. A flexin negativa tiene una resistencia de 0.70 t-m/m en la seccin A y de 1.05 t-m/men C. Hallar la capacidad de carga ltima de la losa.

Solucin:

Considerando un metro de ancho tendremos:

W t/m2

A

B

C

3-xx

PLANTA

1.0 m


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Analizando cada parte de la losa como cuerpo rgido:

MAwx

- - 2

2070 070 0. .

MCw x

-

- - ( )

. .3 2

2070 105 0

.. (1)

.. (2)

De (1)

wx

28

2

.

x 3-x

W t/m2W t/m2

0.70 t-m/m

0.70 t-m/m

1.05 t-m/m

(3)


19/101

(3) en (2)

28 3 2

2175

. ( )

(2).

-

x

x

De aqu: 0.7x2 + 16.8x - 25.2 = 0 x = 1.42 m

w t m 28

142 2139 2

.

( . ). /

Aplicacin:

Se tiene una losa cuadrada simplemente apoyada en sus cuatro lados e isotrpicamentereforzada. Determinar el momento resistente lmite por metro lineal requerido parasostener una carga uniformente distribuida de W t/m2.

Solucin:

Tenemos la configuracin de falla

L

L

En (3)


20/101

Considerando una de las cuatro partes iguales y su equilibrio alrededor de su eje de rotacin.

L/2

AB

C

L

1/3 /2P

e

mL2

/2

Eje de rotacin

mL2/2

La carga distribuida concentrada en el centro de gravedad ser:

PewL

2

4

La proyeccin de los momentos sobre el eje de rotacin ser:

Mp MBC mLmL

cosa

2

2

2

2 2

Luego:

MEJEwL

2

4

1

3

L mL mL- -

2 2 20

mwL2

24t-m/m


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Aplicacin:

Para la losa que se muestra simplemente apoyada,determinar el momento resistente ltimopara una carga lmite uniformemente distribuida w t/m2. La losa es isotrpicamente reforzada.

12

12

6.0

x

1.5

3.0


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Considerando el equilibrio en el eje tendremos:

MEJEwx x

m

- 3

2 33 0

De aqu:

mwx

2

6.......................... (1)

Solucin:

Zona 1:

La carga concentrada ser: Pe wx 3

2

m

3.0

m

Pe

x/3Eje de rotacin

x


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Zona 2:

Las cargas concentradas considerando las secciones mostradas sern:

m

x 6-2x x

1.50

0.5

0.75

Pe2

Pe1 Pe1

Pe wx115

2

.

Pe w x2 6 2 15 -( ) .

Tomando momentos respecto al eje de rotacin

MEJE

0

( )6 215

205 6 2 15 075) 0m wx w x-

- -

.. ( ) . ( .

6m + 1.5wx - 6.75w = 0 ..... (2)

Eje de rotacin

6.00


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(1) en (2)

62

615 675 0 195

wxwx w x m

+ -

. . .

mwx

m w t-m/m 2

60634.

b) Mtodo de Trabajos Virtuales

0.70 0.70 1.05

A B C

Aplicacin:

Se tiene una losa continua uniformemente cargada. La losa tiene una luz de 3 m y estreforzada para proveer una resistencia a flexin positiva de 0.70 t-m/m y a flexin negativa de0.70 t-m/m en A y 1.05 t-m/m en C. Determinar la capacidad de carga ltima de la losa en t/m2.


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Solucin:

Tenemos las rotaciones:

A

x

1

B

C x-1

3

1/21/2

W

w(3-xp)wx

A

X 3-X

B

C

CA

B1 B2

B B1 B2 A C + +x

1 +

x-1

3


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Cuando tenemos una deflexin unitaria en B, se desarrolla un trabajo externo de:

WE wx w x

+ -

1

23

1

2( )

Y un trabajo interno de:

x x x x070

1070

1 1

3105

1

3

+ +

-

+

-

W M 1

a . . .

Igualando,Si: WI = WE

\ + - + -

wx w wx

x x2

3

2 2

14 175

3

. .

Wx x

+-

0933 1167

3

. .............. (1)

Para determinar el valor mnimo de w diferenciamos (1) con respecto a x e igualamos a cero:

( )

dw

dx x x

- +

-

00933

2

1167

3 2

0. .

Resolviendo: 2.04 x = 2.898

x m 142.

En (1)

w = 1.39 t/m2

= 3w/2

a

( )x x

-

0 966 108

3

. .

= 3w/2

+-x x

1 4 175

3

. .


27/101

Aplicacin:

Para la losa que se muestra en la figura adjunta determinar el momento ltimo resistente para unacarga ltima uniforme W t/m2. La losa es isotrpicamente reforzada.

1.5

3.0

x

6.0


28/101

2A

11

=1

2A2B

X

0.51.0

P

P

2x/3

e

e

2

2

B

A

/3

D/3

1eP

x/3

D=1.0

D/2

Zona 1:

Zona 2B:

Tendremos:

Solucin:

Considerando un desplazamiento virtual de D=1 de la lnea de fluencia paralela a los ladosmayores.

Zona 2A:


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We Pe wx wx

1 13

3

2

1

3 2

D

We A Pe A xw wx

2 2 3

15

2

1

3 4

D .

We B Pe B x w w wx2 2 26 2 15 1

245 15 -

-D ( ) . . .

Wi M

Wi mL

xm

L

+

3 615.

Igualamos el trabajo exterior al trabajo interior para el total de la losa:

( )22

44

2 45 15 23 6

15

wx wxw wx

m

x

m

+

+ - +

. ..

- + +

wx w mx

96

8

mw x

x

-

+

( )96

8

................... (1)


30/101

( )dm

dxx

xx

x - - +

- -

+ - +

-( )( )9 1

68

26 2 1

68

10

simplificando:

x2 + 1.5x - 6.75 = 0

Que viene a ser la misma ecuacin que se obtuvo usando el mtodo de equilibrio.

En (1)

x m m w195 0634. .

Aplicacin:

Para la losa hexagonal inscrita en un crculo de dimetro 8.80 m determine el valor de la cargauniforme ltima. La losa tiene 20 cm de espesor y est reforzada con f1/2" @ 0.15 en cada sentido(inferior). Esta simplemente apoyada en sus bordes. Considere f'c = 210 kg/cm2 y fy = 4200 kg/cm2.

Para hallar el momento ltimo tenemos que diferenciar con respecto a x e igualar a cero.


31/101

Por metro de Losa:

1015

127 8 45 2.

* . . / cm mAs =

a = 1.99 cm

Solucin:

Por simetra la hiptesis de falla corresponde a las lneas de fluencia que pasan por las bisectrices.Las zonas delimitadas son iguales.

3

23 81 l .

1.27

8.80

M

A B

G

4.40Eje de Rotacin

3

23 81 l .

m m


32/101

m = 8.45 * 4.2 (0.167 - 0.001) = 5.58 t-m

m = 5.58 t-m/m

a) Mtodo de Equilibrio

MAB 0

5.58 * 4.40 - 0.5 * 4.40 * 3.81W * 1.27 = 0

W = 2.31 t/m2

b) Mtodo de Trabajo Virtual

DM = 1.0

6 440 381 051

31676* . * . * . .W W

6 558 440

1

381 3866* . * . * . .

WE Wi W t m 2312. /

WE :

Wi :


33/101

Aplicacin:

La losa de la figura adjunta tiene sus cuatro bordes simplemente apoyados. Ignorando los efectos deesquina, complete la configuracin de las lneas de fluencia y determine el valor de la cargauniformemente repartida que corresponde a esta hiptesis de falla. El espesor de la losa es 15 cm ytiene refuerzo de f 3/8" @ 0.20 en cada sentido (malla inferior) considere.

f'c = 210 kg/cm2

fy = 4200 kg/cm2

45

45 30

30

5.0

5.0

45

45


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Solucin:

Por metro de losa:

A B

C

1.83

6.83

5.00

1.85

1.85

5.00

1.00

1.10 1.10

0.950.50

1.20

4.504.10

1.301B

1A3A

3B

4

F

E

D

2

1.85

As = 5 * 0.71 = 3.55 cm2/m

a cm

355 4200

085 210 100 084

. *

. * * .

( )m Asfy da

t m m -

- -2

355 42 01205 00042 173. * . . . . /

d = 15 - (2 + 0.95) = 12.05 cm


35/101

Si damos al punto F un desplazamiento virtual encontramos los desplazamientos de los otros puntospor relaciones geomtricas.

DF 1

DE 110

180061

.

..

DIB 100

185054

.

..

D 3095

180 053A .

. .

D DD

IAE 4 3

0203.

D D D2 31

3

1

3 B F


36/101

Luego:

WE:

1

2 5 120 0203 061* * . * * . .W W(1) (IA):

1

245 130 054 158* . * . * * . .W W(IB):

1

25 185

1

3154* * . * . W(2)

1

2410 050 053 054* . * . * * . .W W(3) (3A):

1

2683 180

1

3205* . * . * * .W W(3B):

1

2 183 110 0203 020* . * . * * . .W W(4)

= 6.52 W


37/101

5 173 1185

468* . *.

. -t m

683 1731

180656. * . *

.. -t m

183 173 061110

176. * . * ..

. -t m

(2)

(3)

(4)

= 17.68 t-m

WE = WL

6.52 W = 17.68 W = 2.71 t/m2

WI:

5 1731

185468* . *

.. -t m(1)


38/101

a

b

c

Si el ngulo de la losa est anclado ocurre que el eje de rotacin es eje a-b y la lnea ab seconvierte en una lnea de fluencia.

Las distribuciones de las lneas de fluencia con lneas bifurcadas en los ngulos conducen a unamenor capacidad de la losa, que aquellas que no presentan estas caractersticas. Sin embargofrecuentemente se ignora en el anlisis correspondiente, debido a que el error que se cometeignorando el efecto de esquina usualmente es pequeo y el incluirlo conduce a un anlisiscomplicado.

EFECTOS DE ESQUINA EN LINEAS DE FLUENCIA

En el estudio anterior se ha considerado que las lneas de fluencia llegan hasta los ngulos entredos lados que se cortan. Otra posibilidad es que las lneas de fluencia se bifurquen antes de llegaral ngulo, como se muestra en la figura adjunta.

1


39/101

c

a

a

b h

m1

1

m1

Anlisis del ejemplo de losa cuadrada con carga uniforme repartida.

m

a

a

mc

b

m

h

lejex


40/101

Por equilibrio:

Mab 0

( )m m a ahw h+ -

'

1

2

1

3 0

( )h

m m

w

+6 ' (1)

Se tiene:

Si: h < 1/2 diagonal Hay efecto de esquina

Si: h > 1/2 diagonal No hay efecto de esquina

Si la esquina no est anclada el elemento triangular abc girara alrededor del eje ab levantndose de losapoyos.

m' = 0 En (1): h mw

6


41/101

f'c = 210 kg/cm2

fy = 4200 kg/cm2

t=0.15

4.0

4.0

m: As =(1/0.25)* 0.71 = 2.84 cm2/m

a cm 284 4200

085 210 100067

. *

. * *.

( )dprom

cm - +

- + 15 2

2

215 2 095 1205

f. .

m t m/m -

-284 42 0120500067

21397. * . .

..

m = 1.40 t-m/m

m': As = (1/0.20)* 0.71 = 3.55 cm2

a = 0.84 cm

m' = 1.734 m = 1.73 t-m/m

Aplicacin:

Calcular la carga uniformemente repartida que produce la falla de una losa cuadrada de 4 m de lado,continua en sus cuatro bordes y reforzada en dos sentidos con f 3/8" @ 0.25 m en cada sentido inferior yf 3/8" @ 0.20 m en cada sentido superior.


42/101

a) Sin considerar efectos de esquina

( ) ( )414 173 12

4 21

3(2) 0. .+ - w

m

1

2/3

A B

2.0

b) Considerando efectos de esquina:

Tomando un valor de: we = 0.9w = 0.9 * 4.70 = 4.23 t/m2

En (1): ( ) ( )h

m m

We

mdiag

+

+

6 6 1 40 1 73

4 232 11

2

' . . '

..

diagL

2

2

2

Luego es posible que se bifurquen las lneas de fluencia.

D o 1

DP 176

20010 088

.

.* . .

Eje de giro

supuesto

2.36 d/2


43/101

El tringulo abc trabaja como un apoyo ms, ya que no se deforma, por eso no se considera paraefectos de energa.

WE :

(A)

(B)

( )12 071 21113

088 0220* . * . * * . .w w

( )12

4 21

3100 1333* * * * . .w w

A( ) (achurada *2 -w ) ( ) w-05 176 13

088 0258. * . * . .

WE w4

1295 .

WI :

( )140 173 071088

2110927. . * . *

.

..+ -t m

( )140 173 301

20

4695. . * . *

.

.+ -t m

WI t m4

5622 -.

WE = WI we = 4.34 t/m2

2


44/101

Con respecto al valor sin considerar efectos de esquina da:

we = 0.92 w t/m2

Verificando:

wA = 4.21 t/m2

wB = 4.37 t/m2 (Conforme)

Para fines prcticos se podr disear sin considerar efectos de esquina tomando una seguridaddisminuyendo el valor de w en un 10% a 15%.


45/101

CONSIDERACIONES SOBRE LOS PROCEDIMIENTOS DE DISEO

El captulo 13 del Cdigo ACI-318R-02 trata de manera especial lossistemas de losas en dos direcciones.

Sus disposiciones son aplicables a:Losas apoyadas sobre vigas, losas

planas, placas planas y losas con viguetas en dos direcciones (losas

reticulares).Se hace referencia especfica a dos mtodos:

Uno semiemprico, el Mtodo de Diseo Directo y un anlisis elstico

aproximado, conocido como el Mtodo del Prtico Equivalente.

Las disposiciones especficas de ambos mtodos estn limitadas en suaplicacin a prticos ortogonales sometidos a cargas debidas slo a la

gravedad. En el caso de fuerzas sismicas lo recomendado es combinar los

resultados del analisis sismico con el analisis bajo cargas de gravedad.


46/101

LOSAS APOYADAS SOBRE VIGAS LOSAS PLANAS

PLACAS PLANAS LOSAS CON VIGUETAS EN DOS DIRECCIONES

TIPOS DE LOSAS ARMADAS EN DOS SENTIDOS


47/101

TIPOS DE LOSAS ARMADAS EN DOS SENTIDOS

VISTA PLANTA VISTA FRONTAL


48/101

CRITERIOS PARA EL DIMENSIONAMIENTO DE LOSAS ARMADAS ENDOS SENTIDOS

1. Espesor mnimo de losa

El cdigo ACI propone espesores mnimos de losa que garantizan que susdeflexiones no sean excesivas. Si los esfuerzos de corte son elevados, dicho

espesor debe ser incrementado. Esta situacin suele presentarse en sistemas de

losas con vigas.

El espesor mnimo de losas con vigas entre apoyos, es funcion de am el cual es igualal promedio de los valores de a correspondientes a las vigas que limitan el pao. El

parmetro a se determina a travs de la expresin (ACI-13.0):

scs

bcb

IE

IEa

Donde:

Ecb: Mdulo de elasticidad del concreto d las vigas.

Ecs: Mdulo de elasticidad del concreto d la losa.

Ib: Momento de inercia de la seccin bruta de la viga respecto a su eje centroidal.

Is: Momento de inercia de la seccin bruta de la losa respecto a su eje centroidal.


49/101

Si vigas y losa constituyen un sistema monoltico, se considerar que las vigasincluyen una porcin de losa a cada lado, la cul sera igual a la proyeccin de la vigasobre o por debajo de la losa, la que sea mayor y no deber superar cuatro veces elespesor de la losa (figura 1). En la figura 2 se muestra las secciones de vigas y

losas a ser consideradas en la expresin 1.

1

2


50/101

Si am < 0.2, la rigidez de las vigas es practicamente nula y por lo tanto supresencia no se considera.en este caso, los espesores de losa se determinanhaciendo uso de la tabla .

Para losas con abacos h> 10cm.

Para losas sin abacos h> 12.5cm.

Esfuerzo

de fluencia

del acero

fy(kg/cm2)

Sin abacos Con abacos

Pao exterior Pao

interior

Pao exterior Pao

interior

Sin

vigas de

borde

Con vigas

de borde

Sin vigas

de borde

Con vigas

de borde

2800 Ln /33 Ln /36 Ln /36 Ln /36 Ln /40 Ln/40

4200 Ln /30 Ln /33 Ln /33 Ln /33 Ln /36 Ln/36

5250 Ln /28 Ln /31 Ln /31 Ln /31 Ln /34 Ln/34


51/101

Si : 2.0 > am > 0.2 , el espesor de losa estar dado por la expresin:

h

Ln

f

y

+

+

0 8 14000

36 5

.

(am-0.2)

h

Ln

fy

+

+

0814000

36 9

.

> 12.5 cm.

Si : am > 2.0 , el espesor minimo estar dado por la expresin:

> 9.0 cm.

El parametro es igual a la relacion entre la mayor y menor luz libre de la losa.

En los extremos discontinuos, la losa debera proveerse una viga de borde con un valor dea no menor que 0.8 o si no la hay, el peralte sera igual al espesor determinado con las dosexpresiones anteriores incrementado en un 10%.


52/101

DEFINICION DE tEl parmetro t, es igual a la relacin entre la rigidez a la torsin de la viga de borde, si es queexiste y la rigidez a la flexin de la losa. El valor de t, se determina a travs de las

siguientes expresiones:

tEcbC

Ecs s

2 I

C ( 1 0.63 x ) x3 y Iy 3

El trmino C esta relacionado al momento de inercia polar de la seccin indicada en la figura 1.Para calcularlo se divide la seccin en rectangulos simples cuya menor y mayor dimensin son

x e y, respectivamente. Puesto que existen varias posibilidades para la divisin de la seccinse debe considerar aquella que maximice el parmetro C.


53/101

2. bacos o paneles

Los dimensiones de los bacos debern satisfacer las condiciones presentadas en lafigura 3. (ACI-13.3.7)

Fig. 3 Provisiones para el dimensionamiento de bacos

Para el clculo del refuerzo negativo sobre la columna, el espesor del baco pordebajo de la losa no se considerar mayor que un cuarto de la distancia entre lacara de la columna o capitel y el borde del baco. Si el espesor del baco esmayor, no se tomar en cuenta.


54/101

3. CapitelesLos capiteles reducen la luz libre de los paos de la losa, sin embargo, para el diseo, estareduccin es limitada a un mnimo de 65% de la luz entre ejes de apoyos. Para el clculo de losmomentos de la losa, las dimensiones de las columnas no se considerarn mayores que las

definidas por la interseccin del mayor cono circular o pirmide recta que se pueda inscribirentre el capitel y la superficie inferior de la losa del baco si es que existe y cuyos lados estninclinados 45 respecto al eje de la columna. La figura 4 muestra esta consideracin msclaramente.

Figura 4. Ancho efectivo de una columna provista de capitel

Los capiteles tambin incrementan la resistencia al punzonammiento de la unin losa-columna pues aumentan el permetro de la columna


55/101

DISEO DE LOSAS ARMADAS EN DOS DIRECCIONES SEGUN EL JOINT COMITEEASCE-ACI 1940

Este metodo solo es aplicable a losas armadas en dos sentidos apoyadas en vigas o muros. Se definenlos siguientes parametros:

LS: luz menor del pao analizado medida centro a centro de los apoyos o luz libre mas dos veces elespesor de la losa, el que sea menor.

LI: luz mayor del pao analizado medida centro a centro de los apoyos o luz libre mas dos veces elespesor de la losa, el que sea menor.

Wu: carag amplificada uniforme por unidad de area.

M: cociente de la luz menor del pao entre la luz mayor, m= lS/lI.

La losa se considera dividida en franjas medias y franjas de columna como se muestra en la fig. Laseccion critica para el maximo momento negativo se ubica en la cara de las vigas y para el maximopositivo, en el centro de los paos. Los momentos, en la direccion mayor y menor, se calculan a travesde la siguiente expresion:

M = CwulS2

El parametro C depende de las condiciones de apoyo de la losa y se indica en la tabla 2.

El momento por unidad de ancho obtenido a traves de la expresion anterior corresponde a la franjamedia. El momento de la franja de la columna sera 2/3 del calculado para la franja media. Si elmomento negativo a un lado de la viga es menor que el 80% del momentoen su otro lado, los 2/3 de ladiferencia se reparten a ambos lados, proporcionalmente a las rigideces de las losas.

El calculo de los momentos en las vigas se efectua haciendo uso de las siguientes cargas uniformes,equivalentes a las cargas triangulares o trapezoidales:


56/101

El clculo de los momentos en las vigas se efecta haciendo uso de las siguientes cargasuniformes, equivalentes a las cargas triangulares o trapezoidales:

Viga paralela a la luz ls : wequiv= wls/3

Viga paralela a la luz lI : wequiv= wls/3*(3-m2)/2

El clculo de las fuerzas cortantes se efectua empleando la distribucion real de la carga sobrela viga.

Por su simplicidad, este metodo resulta muy util para el diseo de losas apoyadas en muros yvigas.


57/101

2


58/101

A) METODO DE DISEO DIRECTO (ACI-13.6)

Es un procedimiento simplificado que permite determinar los momentos de

diseo de losas armadas en dos direcciones. Los elementos diseados

haciendo uso de este procedimiento satisfacen los requerimientos de

resistencia de la estructura y tambin la mayor parte de las condiciones

necesarias para un adecuado comportamiento bajo cargas de servicio.

El Mtodo de Diseo Directo consta de tres pasos fundamentales como se

muestra a continuacin:

1. Determinacin del momento esttico factorizado total (ACI-13.6.2)

igual a la suma del momento positivo al centro de la luz entre

apoyos y la semisuma de los momentos negativos en ellos.


59/101

Donde:

wu: carga ltima factorizada total por unidad de realn: luz libre en la direccin de anlisis de los momentosl2: luz perpendicular a la direccin de anlisis

8

22 nu

o

llWM

8

22 nu

o

llWM

8

2

2n

uollW

M

2 Distribucin del momento esttico total M a las


60/101

2. Distribucin del momento esttico total Mo a lassecciones crticas para flexin positiva y negativa(ACI-13.6.3).

Luz interior

-

Luz extrema

Mu pos.

++

- - --

Mu neg. ext.

Mu neg. int. Mu neg. Mu neg.

Mu pos

DISTRIBUCION DEL MOMENTO ESTATICO TOTAL PARA UN


61/101

DISTRIBUCION DEL MOMENTO ESTATICO TOTAL PARA UNTRAMO EXTREMO

Bordeexterior

sinrestriccin

Losa convigas entretodos losapoyos

Losas sin vigas entre los

apoyos interioresBorde

exteriortotalmenterestringidoSin viga de

bordeCon vigade borde

Momento

negativo interior 0.75 0.70 0.70 0.70 0.65

Momentopositivo

0.63 0.57 0.52 0.50 0.35

Momentonegativo

exterior

0 0.16 0.26 0.30 0.65

3. Distribucin de los momentos factorizados negativos y positivos en las

franjas de columna e intermedias y en las vigas, si las hay (ACI, seccin

13.6.4 a la 13.6.6).


62/101

PORCENTAJE DE MOMENTO POSITIVO Y NEGATIVO QUECORRESPONDEN A LA FRANJA DE COLUMNA

l2/l1 0.5 1.0 2.0

Momento negativo interior

a1l2/l1 = 0 75 75 75

a1l2/l1 1.0 90 75 45

Momento negativo exterior

a1l2/l1 = 0t = 0 100 100 100

t 2.5 75 75 75

a1l2/l1 1.0 t = 0 100 100 100

t 2.5 90 75 45

Momento positivo

a1l2/l1 = 0 60 60 60

a1l2/l1 1.0 90 75 45


63/101

1. Debe haber un mnimo de tres luces continuas en cadadireccin.

2. Los paneles deben ser rectangulares con una relacinde las luces largas a las cortas dentro de un panel no

mayor que 2.3. Las longitudes de las luces sucesivas en cada direccin

no deben diferir en ms de un tercio de la luz ms larga.

4. Las columnas pueden correrse con respecto a cualquiereje de columnas sucesivas un mximo del 10% de la luzrespectiva en la direccin del desplazamiento.

5. Las cargas las genera nicamente la gravedad, y lacarga viva no debe exceder 2 veces la carga muerta.

6. Si se utilizan vigas en los ejes de columnas, la rigidezrelativa de las vigas en las dos direccionesperpendiculares, determinada por la relacin a1l12/a2l22,debe estar entre 0.2 y 5.0.

Requisitos para la aplicacin del mtodo:


64/101

Franjacentral

Franjadecolumna

Franjadecolumna

1/2Franjacentral

exteriorinterior

interior

exterior

1l

2ll2

2l

l/22

l/4/4 2

2l/2/4l2

l/22

Franja de columna para l2 l1:


65/101

V-B (0.35x0.70)

V-I (0.35x0.50)

V-I (0.35x0.50)

V-B (0.35x0.70)

6.725

5.225

V-I (0.35x0.50)

V-I (0.35x0.50)

V-B (0.35x0.70)

6.725

5.00

5.225

V-B

(0

.35x0.70)

A

1

B

C

V-B

(0.35x

0.70)

V-B

(0.35x0.70)

V-I (0.35x0.50)

V-B (0.35x0.70)

6.50

V-I

(0.35x0.50)

2

V-I

(0.35x0.50)

3

V-I (0.35x0.50)

V-I

(0.35x

0.50)

V-I

(0.35x0.50

)

V-I

(0.35x

0.50)

V-I

(0.35x0.50

)

V-B (0.35x0.70)D

V-B (0.35x0.70)

V-B

(0

.35x0.70)

4

V-B

(0.35x

0.70)

V-B

(0.35x0.70

)

APLICACION: usando el Metodo de Diseo Directo, se determinara los momentos de diseo enlas dos direcciones ademas disear los paneles de losa, para un piso intermedio de un edificiode concreto armado.

Viga de Borde (Exterior)Al d i


66/101

g ( )

Ib cm4

.

50

35

55 cm (hw 4hf

15 cm.

Ib cm1482624.44

4

.Viga Interior

Ib cm4

105 cm (b+2hwb+8hf)

hf= 15 cm

35

Ib cm 585247.404

hw= 55 cm

Altura de piso : 3.7 m

Dimensiones de las vigas de borde: 35x70 cm2

Dimensiones de las vigas interiores: 35x50 cm2

Dimensiones de las columnas: 45x45 cm2

Espesor de la losa: 15 cm

Carga viva de servicio: 500 kg/cm2

fc = 280 kg/cm2 para todos los element0s

fy = 4200 kg/cm2

Franja de Columna


67/101

Franja de Columna

El cdigo del ACI divide los paos en franjas para facilitar la distribucin de los momentos enellos. La franja de columna es una franja con un ancho a cada lado del eje de las columnas igualal menor valor entre L1/4 y L2/4, donde L1 y L2 son las longitudes centro a centro del pao de lalosa.

Lm1

4

5.0

4 1.25

Lm1

4

6.5

41.63 .

\ Ancho de franja = 1.25 m

Para las Franjas de LosaEn este caso es el ancho entre las lneas centrales de los paneles a cada lado de la viga.

- Para un ancho de 6.5/23.475 m (Viga de borde exterior NS):

Is cm

347.5 x 153

124* .97734.38

- Para un ancho de 6.5 m (viga interior NS)

Is cm 650x15

3

124.182812.50

Para un ancho de 2.725 m (viga de borde exteriorEW):

I

s

cm 272.5x153

12

76640.63 4.

Para un ancho de 2.725 m (viga de borde exteriorEW):

Is cm 500.0 x153

12140625 4.

Rigidez relativa de la Viga y de la Losa ( )


68/101

Rigidez relativa de la Viga y de la Losa (a)

a EcbLb

EcsLs

- Para vigas de borde(NS):

a 1482624.4497734.38

15.17.

.

- Para vigas de borde (EW):

a= 1482624.4476640.619.35

- Para vigas interiores (NS):

a 585247.4182812.5

3.20

Puesto que a> 2.0 para todas las vigas utilizamos la expresion para este caso:

a= 585247.4140625

4.16

- Para vigas interiores (EW):

h

Ln

fy

+

+

0814000

36 9

.

Donde : h= 13.87

Ln = longitud de la luz libre en la direccion larga medida caraa cara de las columnas.

Ln = 6.5-0.45= 6.05m


69/101

Momento factorizado de losa

Direccion NS ejes 1 y 4 considerando la franja de diseo en el borde del edificio.

Carga muerta factorizada:

WD = 1.2 (360+132.95)= 591.54 kg/cm2

132.95 es el peso del alma de la viga por metro dividido por I2

Carga viva factorizada:

WL = 1.6 (500)= 800.00 kg/cm2

Luego Wu = 1.39 t/m2

a) Momento factorizado total por tramo

Mo = 12 50 t-m

Se verificara las limitaciones de la seccion 13.1.6 para la rigidez relativa de las vigas en dos

direcciones perpendiculares.Para el panel interior:

a1I22 /a2I12 = 1.760.2 < 1.76< 5.0 OK

Para el panel exterior:

a1I22 /a2I12 = 0.380.2 < 0.38< 5.0 OK

Mo

WuL Ln

22

8

Luz interior

Momento negativo = 0.65 M0= 8.13 t-m

Momento positivo = 0.35 M0= 4.38 t-m


70/101

Interpolando linealmente tenemosMomento Negativo

Que la franja de columna toma el 66% del momento negativo, o sea 5.37 t-m, de los cualeslas vigas toman el 85%, o sea 4.56 t-m y la losa toma el resto o sea 0.81 t-m. Los 2.76 t-mrestantes se asignan a la franja central de la losa.

Momento Positivo

Que la franja de columna toma el 66% del momento positivo, o sea 2.89 t-m, de los cuales lasvigas toman el 85%, o sea 2.46 t-m y la losa toma el resto o sea 0.43 t-m. Los 1.49 t-mrestantes se asignan a la franja central de la losa.

La constante torsional para la viga de borde se encuentra a partir de la ecuacion (I), para unaforma rectangular de 35x70cm2 con un ala sobresaliente de 15x55 cm2.C= ( 1 0.63 x ) x3 y

y 3

Donde x: dimension menor, y: dimension mayor

Distribucion de momentos factorizados en las franjas de columnas y centrales:

a1I2/I1 = 15.17 x 6.5/5 = 19.72

X1=35cm X2=15cm X1=35cm X2=15cm

Y1=55cm Y2=90cm Y1=70cm Y2=55cm

C1=470910.42cm4 C2=90618.75cm4 C1=685285.42cm4 C2=51243.75cm4

C = 561529.17cm4 C = 736529.17cm4

La restriccin relativa proporcionada por la resistencia torsional de la viga de borde transversal


71/101

La restriccin relativa proporcionada por la resistencia torsional de la viga de borde transversalefectiva se refleja mediante el parmetro t.

tEcbC

Ecs s

2 I

En el problema:

t = 2.01

Momento Negativo ExteriorQue la franja de columna toma el 73% del momento negativo exterior, o sea (2.00 * 0.73) = 1.46 t-m,de los cuales las vigas toman el 85%, o sea 1.24 t-m y la losa toma el resto o sea 0.22 t-m. Los (2.00*0.27= 0.54 t-m restantes se asignan a la franja central de la losa.

Momento PositivoQue la franja de columna toma el 66% del momento positivo, o sea (7.13) * 0.66 = 4.71t-m, delos cuales las vigas toman el 85%, o sea 4.00 t-m y la losa toma el resto o sea 0.71 t-m. Los(7.11) * 0.34 = 2.42 t-m restantes se asignan a la franja central de la losa.

Momento Negativo Interior


72/101


Que la franja de columna toma el 66% del momento negativo interior, o sea (8.75) * 0.66 = 5.78 t-m,de los cuales las vigas toman el 85%, o sea 4.91 t-m y la losa toma el resto o sea 0.87 t-m. Los(8.75) * 0.34 = 2.98.30 t-m restantes se asignan a la franja central de la losa.

DIRECCION N-S, EJES 2 Y 3, CONSIDERANDO LA FRANJA DE DISEO EN EL EJEINTERIOR DE LAS COLUMNAS.


WD = 1.2 (360+45.23)= 486.28 kg/cm2



WL = 1.6 (500)= 800.00 kg/cm2



b) Mo = 21.70 t-m

Se verificara las limitaciones de la seccion 13.1.6 para la rigidez relativa de las vigas en dos

direcciones perpendiculares.

Para el panel interior:

a1I22 /a2I12 = 1.300.2 < 1.30< 5.0 OK

Para el panel exterior:

a1I22

/a2I12

= 0.280.2 < 0.28< 5.0 OK

Los momentos factorizados en las franjas de columna y franjas centrales se


73/101

Momento

factorizado (t-

m)

FRANJA DE COLUMNA MOMENTO

EN LAS DOS

MEDIAS

FRANJAS

CENTRALES

(t-m)2

% MOMENTO

(t-m)

MOMENTO

en la viga

(t-m)

MOMENTO

en la losa

(t-m)

Luz extrema:

Negativo

exterior

0.16Mo=2.00 73 1.46 1.24 0.22 0.54

Positivo 0.57Mo=7.13 66 4.71 4.00 0.74 2.42

Negativo

interior

0.70Mo=8.75 66 5.78 4.91 0.87 2.98

Luz interior:

Negativo 0.65Mo=8.13 66 5.37 4.56 0.81 2.76

Positivo 0.35Mo=4.38 66 2.89 2.46 0.43 1.49

j y jresumen como sigue:

DIRECCION E-W, EJES A Y D, CONSIDERANDO LA FRANJA DE DISEO EN EL BORDE DEL


74/101

DIRECCION E W, EJES A Y D, CONSIDERANDO LA FRANJA DE DISEO EN EL BORDE DELEDIFICIO


WD = 1.2 (360+169.54)= 635.45 kg/cm2



WL = 1.6 (500)= 800.00 kg/cm2



Mo = 17.95 t-m

Distribucion de momentos factorizados en las franjas de columnas y centrales:

Momento Negativo

Que la franja de columna toma el 82% del momento negativo, o sea 9.57 t-m, de los cuales las vigastoman el 85%, o sea 8.13 t-m y la losa toma el resto o sea 1.44 t-m. Los 2.1 t-m restantes se asignan ala franja central de la losa.

Momento Positivo

Que la franja de columna toma el 82% del momento positivo, o sea 5.15 t-m, de los cuales las vigastoman el 85%, o sea 4.38 t-m y la losa toma el resto o sea 0.77 t-m. Los 1.13 t-m restantes se asignana la franja central de la losa.

De la franja de la columna en la direccion N-S tenemos C = 736529.17cm4.

t = 2.62


75/101

Momento Negativo exterior

Que la franja de columna toma el 82% del momento negativo, o sea 2.35 t-m, de los cuales lasvigas toman el 85%, o sea 2.00 t-m y la losa toma el resto o sea 0.35 t-m. Los 0.52 t-m restantes

se asignan a la franja central de la losa.

Momento Positivo

Que la franja de columna toma el 82% del momento positivo, o sea 8.39 t-m, de los cuales lasvigas toman el 85%, o sea 7.13 t-m y la losa toma el resto o sea 1.26 t-m. Los 1.84 t-m restantesse asignan a la franja central de la losa.

Momento Negativo interior

Que la franja de columna toma el 82% del momento negativo, o sea 10.31t-m, de los cuales lasvigas toman el 85%, o sea 8.76 t-m y la losa toma el resto o sea 1.55 t-m. Los 2.26 t-m restantesse asignan a la franja central de la losa.

Los momentos factorizados en las franjas de columna y franjas centrales se


76/101

Momento

factorizado (t-

m)

FRANJA DE COLUMNA MOMENTO

EN LAS DOS

MEDIAS

FRANJAS

CENTRALES

(t-m)2

% MOMENTO

(t-m)

MOMENTO

en la viga

(t-m)

MOMENTO

en la losa

(t-m)

Luz extrema:

Negativo

exterior

0.16Mo=3.47 73 2.53 2.15 0.38 0.94

Positivo 0.57Mo=12.37 66 8.16 6.94 1.22 4.21

Negativo

interior

0.70Mo=15.19 66 10.03 8.53 1.50 5.16

Luz interior:

Negativo 0.65Mo=14.11 66 9.31 7.91 1.4 4.8

Positivo 0.35Mo=7.60 66 5.02 4.27 0.75 2.52

j y jresumen como sigue:


77/101

FIN


78/101


79/101

(*) Corresponde a: cuanta de acero controlada por los requisitos de retraccin defraguado y temperatura.

(**) Corresponde a: cantidad de barras controlada por los requisitos de espaciamientomximo

Estos requisitos controlan en los sitios indicados en la tabla el rea total de acero en cada


80/101

Estos requisitos controlan en los sitios indicados en la tabla el rea total de acero en cadafranja. Se obtiene fcilmente a partir de la cuanta de acero y est determinada en la columna8.

Finalmente se obtiene la cantidad necesaria de barras. Obsrvese que en dos sitios, lacantidad exigida de barras la controlan los requisitos de espaciamiento mximo de 2 *17.5 =

35 cm.

La capacidad a cortante de la losa se verifica con base en las reas tributarias. A unadistancia d de la cara de la viga larga.

Vu - -

1608 3035

2015 430.

.. . T

La resistencia a cortante de diseo de la losa es:

Donde:

bw = 100 cm d = 15 cm

fVc = 0.85 * 0.53 *100 * 15/1000 = 11.31 t280

Vu = 4.30 t < fVc = 11.31 t CONFORME

METODO DE DISEO DIRECTO


81/101

Diseo de una Losa Armada en dos direcciones y con vigas de borde

Aplicacin:

Un sistema de piso armado en dos direcciones para un edificio de concreto armado estcompuesto por paneles de losa con dimensiones 6 * 7.5 m2 en planta, apoyados en vigasperaltadas en los ejes de columnas y vaciadas monolticamente con la losa, como aparece enla figura 1. Utilizando concreto con f'c = 280 kg/cm

2 y acero con fy = 4200 kg/cm2, disese un

panel exterior

comn para soportar una carga viva de servicio de 600 kg/m2, adems del propio peso delpiso.

Figura, losa de piso armada en dos direcciones con vigas en los ejes de colum-nas: (a)Planta parcial del piso; (b) Seccin X-X (la seccin Y-Y es similar).

7.5 m 7.5 m 7.5 m


82/101

6 m

6 m

Y

6 m

(a)

PANEL EXTERIOR COMUN PANEL INTERIOR

X X

Y

Solucin:

sistema de piso satisface todos los lmites establecidos en el Mtodo de Diseo Directo del cdigoACI. Con propsitos ilustrativos, se disear nicamente un panel exterior comn como se ilustra

en la figura. Los lmites de espesor que indica el cdigo ACI, se utilizarn como gua para obtenerel espesor deseado de la losa. Para utilizar las ecuaciones que indica el cdigo (referidas alespesor) se introducir un valor tentativo de h=17.5 cm y se supondrn las dimensiones de lasvigas en 35 * 50 cm2 como en la figura. La proyeccin efectiva del ala ms all de la cara de lasalmas de las vigas es la menor de 4hf o h - hf, que en este caso es igual a 32.5 cm. Los momentosde inercia de las vigas T, se determinarn con respecto a su centro de gravedad.

Viga de Borde (Exterior)


83/101

Ib cm492446354

.

50

35 32.5

17.5

Ib cm492446354

.

Viga Interior

Ib cm 575656 374

.

100

17.5

35

Ib cm 575656 374

.

Franja de Columna


84/101

El cdigo del ACI divide los paos en franjas para facilitar la distribucin de los momentos enellos. La franja de columna es una franja con un ancho a cada lado del eje de las columnas igualal menor valor entre L1/4 y L2/4, donde L1 y L2 son las longitudes centro a centro del pao de lalosa.

Lm1

4

75

41875 . .

Lm1

4

6

415 .

\ Ancho de franja = 1.5 m

Para las Franjas de LosaEn este caso es el ancho entre las lneas centrales de los paneles a cada lado de la viga.

- Para un ancho de 3.93 m (Viga de borde exterior):

Is cm 393 1753

1217551953 4

* ..

- Para un ancho de 6 m

Is cm 600 1753

1226796875 4

* ..

- Para un ancho de 7.5 m:

Is cm 750 1753

1233496094 4

* ..

Relacin entre la luz libre en direccin larga y la luz libre en la corta ()


85/101

Luz larga = 750 - 35 = 715 cm

Luz corta = 600 - 35 = 565 cm

715

565127.

= 1.27

El espesor mnimo de losas con vigas entre apoyos es funcin de (am)Espesor mnimo de la losa

h

Ln

fy

m

+

+ - +

0814000

36 5 012 11

.

. a

Donde:

Ln: Luz libre en direccin larga en cm

Ln = 750 - 35 = 715 cm

h cm+

+ - +

715 08

4200

14000

36 5 127 22 012 11

127

1618

.

* . . ..

.

h = 16.18 cm

Rigidez relativa de la Viga y de la Losa (a)


86/101

a EcbLb

EcsLs

- Para la viga de borde:

a 49244635

1755195328

.

.. a = 2.8

- Para las dos vigas de 7.5 m de largo:

a =575656.37

26796875 21. . a = 2.1

- Para la viga de 6 m de largo:

a 57565637

3349609417

.

.. a = 1.7

Rigidez Promedio (am)am

+ +

28 21 17

322

. . .. am = 2.2

Sin embargo, el espesor mnimo no debe ser menor que el determinado por la ecuacin.


87/101

h

Ln

fy

+

+

0814000

36 9

.

h cm+

+

715 084200

14000

36 9 1271658

.

* ..

h = 16.58 cm

y el limite necesita no ser mayor que el valor de la ecuacin:

h

Ln

fy

+

08 14000

36

.

h cm+

715 08

4200

1400036

2185

.

.

h = 21.85 cm

* Para losas con vigas de borde rgidas relativamente altas, con valores de am 2, la ecuacin que controlaes:


88/101

es

h

Ln

fy

+

+

0814000

36 9

.

De donde:

h = 16.58 cm (mnimo)

El limite de 9 cm de la ecuacin si am 2 9 cm (mnimo).

Evidentemente no controla en este caso y el espesor tentativo adoptado de 17.5 cm ser labase para los dems clculos.

Sea: Wc = 2400 kg/m3 (peso especfico del concreto)

- Para una losa de 17.5 cm la carga muerta es:

WDkg

m

175

100 2400 420 2

.*

- Carga viva:

WL = 600kg

m2

Si se aplican los coeficientes de carga usuales para obtener las cargas de diseo, se obtiene:


89/101

Wu = 1.4WD + 1.7WL

Wu = 1.4 * 420 + 1.7 * 600 = 1608 kg/m2

Wu = 1.608 t/m2

MOMENTO ESTATICO TOTAL PARA CARGAS MAYORADAS

Mo

WuL Ln

22

8

Donde:

Ln: Se define como la luz en la direccin del anlisis de los momentos

L2: Se define como la luz en la direccin transversal

Para la direccin de la luz corta considerando la franja de losa y viga centrada en el eje interior

de columnas, el momento esttico total de diseo es:

Mo t m -1608 7 5 5 652

84812

. * . * ..

Mo = 48.12 t-m

Esto se distribuye de la siguiente manera:


90/101

Esto se distribuye de la siguiente manera:

Momento Negativo de Diseo = 48.12 * 0.65 = 31.28 t-m

Momento Positivo de Diseo = 48.12 * 0.35 = 16.84 t-m

La franja de columna tiene un ancho de 2 * 6/4 = 3 m

L

L2

1

75

6125 125

.. .

L2L1

a a1 2117

75

6 213 21213

L

L

L

L . *.

. . 1

Tabla, factores de distribucin aplicados al momento esttico Mo para calcular momentos positivos ynegativos en la luz extrema.


91/101

Los factores de distribucin para el momento de la franja de columna, se obtendr a partir de la tabla.

Interpolando linealmente tenemos:


92/101

Momento Negativo

Que la franja de columna toma el 67.5 68% del momento negativo, o sea 21.27 t-m, de loscuales las vigas toman el 85%, o sea 18.08 t-m y la losa toma el resto o sea 3.19 t-m. Los10.01 t-m restantes se asignan a la franja central de la losa.

Momento Positivo

Que la franja de columna toma el 67.5 68% del momento positivo, o sea 11.45 t-m, de loscuales las vigas toman el 85%, o sea 9.73 t-m y la losa toma el resto o sea 1.72 t-m. Los 5.39t-m restantes se asignan a la franja central de la losa.

Un anlisis similar se realiza para la direccin de luz corta, teniendo en cuenta la franjade losa y viga en el borde del edificio, con base en un momento esttico total de diseoigual a:

Mo m -1608 393 5652

8 2522. * . * .

. t

Mo = 25.22 t -m

Del cual el 65% se asigna a la seccin de flexin negativa y el 35% a la seccin de flexin


93/101

g g ypositiva, como antes:

Momento Negativo de Diseo = 25.22 * 0.65 = 16.39 t-m

Momento Positivo de Diseo = 25.22 * 0.35 = 8.83 t-m

En este caso:

L

L2

1

75

6125 125

.. .

L2L1

a a1 2128

75

6 35 2135

L

L

L

L . *.

. . 1

Momento Negativo

Que la franja de columna toma el 67.5 68% del momento negativo, o sea 11.15 t-m, de loscuales las vigas toman el 85%, o sea 9.47 t-m y la losa toma el resto o sea 1.68 t-m. Los 5.24

t-m restantes se asignan a la franja central de la losa.

Momento Positivo


94/101

Que la franja de columna toma el 67.5 68% del momento positivo, o sea 6 t-m, de los cualeslas vigas toman el 85%, o sea 5.10 t-m y la losa toma el resto o sea 0.9 t-m. Los 2.83 t-mrestantes se asignan a la franja central de la losa.

Momento esttico total de diseo en la direccin larga del panel exterior, es:

Mo m -1608 6 752

86165

. * * .. t

Mo = 61.65 t -m

Este se repartir a las secciones de momento negativo y positivo de acuerdo con la tabla y sedistribuir lateralmente a travs del ancho de las secciones criticas de momento con la ayuda dela tabla.

De la tabla, las relaciones de momento que deben aplicarse para obtener los momentosexteriores negativo y positivo y el momento negativo interior son respectivamente: 0.16, 0.57 y

0.70.

La constante torsional para la viga de borde se encuentra a partir de la siguiente ecuacin parauna forma rectangular de 35 * 50 cm con un ala sobresaliente de 17.5 * 32.5 cm.

17.5


95/101

Cx

y

x y -

1 063

3

3.

50

35 32.5

Cx

y

x y -

1 063

3

3.

Donde:

x: dimensin menor

y: dimensin mayor

C -

+ -

1 063

35

50

353 50

3

1 063175

325

1753 325

3

43781628 4. **

. *.

.

. * .. cm

C = 437816.28 cm4

En este caso:

L

L2

1

6

7508 08

.. .

L2L1

a a12

121

6

7517 2

117

L

L

L

L . * . . 1

La restriccin relativa proporcionada por la resistencia torsional de la viga de borde transversalefectiva se refleja mediante el parmetro t.


96/101

efectiva se refleja mediante el parmetro t.

tEcbC

Ecs s

2 I

En el problema:

t 43781628

2 26796875082

.

* ..

t = 0.82

Momento Negativo ExteriorEl factor de distribucin para el momento de la franja de columna, se obtendr a partir de la tabla.

Que la franja de columna toma el 93% del momento negativo exterior, o sea (61.65 * 0.16) * 0.93 =9.17 t-m, de los cuales las vigas toman el 85%, o sea 7.80 t-m y la losa toma el resto o sea 1.37 t-m.Los (61.65* 0.16) * 0.07 = 0.69 t-m restantes se asignan a la franja central de la losa.

Momento PositivoQue la franja de columna toma el 81% del momento positivo, o sea (61.65 * 0.57) * 0.81 = 28.46t-m, de los cuales las vigas toman el 85%, o sea 24.19 t-m y la losa toma el resto o sea 4.27 t-m.Los (61.65 * 0.57) * 0.19 = 6.68 t-m restantes se asignan a la franja central de la losa.



97/101


Que la franja de columna toma el 81% del momento negativo interior, o sea (61.65 * 0.70) * 0.81 =34.96 t-m, de los cuales las vigas toman el 85%, o sea 29.71 t-m y la losa toma el resto o sea 5.25 t-m. Los (61.65 * 0.70) * 0.19 = 8.20 t-m restantes se asignan a la franja central de la losa.

REFUERZO DE LA LOSA

Es conveniente tabular el refuerzo de diseo de la losa.

- En la direccin de 7.5 m, las dos medias franjas de columna pueden combinarse con el propsitode realizar los clculos en una sola franja de 265 cm de ancho.

- En la direccin de 6 m, la media franja de columna exterior y la media franja de columna interiorgeneralmente son diferentes y se tratan en forma independiente.

Los momentos de diseo determinados con base en las distribuciones anteriores se resumen en lacolumna 3 de la tabla.

Primero se colocar el acero positivo en la direccin corta, seguido de las barras positivas en ladireccin larga. Si se deja una distancia libre de 2 cm por debajo del acero y se utilizan barras def1/2", el espesor efectivo en la direccin corta ser de 15 cm mientras que en la larga ser de 14

cm; una situacin similar se obtiene para el acero superior.

Despus de calcular los momentos de diseo por metro de franja de losa (columna 6); debeencontrarse el espesor efectivo mnimo de losa que se requiere por razones de flexin.

Para las resistencias de los materiales utilizados, la mxima cuanta determinada de acero es:


98/101

0.75rb = 0.02125

Donde:

r bf cfy fy

+

085 16000

6000. ' *

rb +0 85 0 85

280

4200

6000

6000 4200002833. * . * *

rb

= 0.02833 0.75rb

= 0.02125

- Luz de 7.5 m:

b -

600

4

35

22 265* cm

- Luz de 6 m:

b -

600

4

35

21325. cm

Obsrvese que debe proveerse una rea mnima de acero igual a 0 0018 veces el rea bruta de


99/101

Obsrvese que debe proveerse una rea mnima de acero igual a 0.0018 veces el rea bruta deconcreto para control del agrietamiento por temperatura y retraccin de fraguado.

Para una franja de losa de 100 cm el rea correspondiente es:

0.0018*17.5*100 = 3.15 cm2

Expresado en trminos de la cuanta de acero mnima para los espesores efectivos reales, seobtiene:

- En direccin de 7.5 m:

rmin.*

. 31514 100

00023

- En direccin de 6 m:

rmin.

*.

315

15 10000021


100/101

(*) Corresponde a: cuanta de acero controlada por los requisitos de retraccin defraguado y temperatura.

(**) Corresponde a: cantidad de barras controlada por los requisitos de espaciamientomximo

Estos requisitos controlan en los sitios indicados en la tabla el rea total de acero en cadafranja Se obtiene fcilmente a partir de la cuanta de acero y est determinada en la columna


101/101

franja. Se obtiene fcilmente a partir de la cuanta de acero y est determinada en la columna8.

Finalmente se obtiene la cantidad necesaria de barras. Obsrvese que en dos sitios, lacantidad exigida de barras la controlan los requisitos de espaciamiento mximo de 2 *17.5 =

35 cm.

La capacidad a cortante de la losa se verifica con base en las reas tributarias. A unadistancia d de la cara de la viga larga.

Vu - -

1608 3035

2015 430.

.. . T

La resistencia a cortante de diseo de la losa es:

Donde:

bw = 100 cm d = 15 cm

fVc = 0.85 * 0.53 *100 * 15/1000 = 11.31 t280

Vu = 4.30 t < fVc = 11.31 t CONFORME

ANALISIS Y DISEÑO DE LOSAS

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