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FÍSICA II
VIBRACIONES MECÁNICAS
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE MADRID
ETSI MINAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA APLICADA A
LOS RECURSOS NATURALES
2 T1 Vibraciones mecánicas
– ÍNDICE
» 1.1. Ecuaciones del movimiento vibratorio.
» 1.2. Movimiento armónico simple.
» 1.3. Oscilador armónico amortiguado
» 1.4. Vibraciones forzadas. Resonancia.
» 1.5. Vibraciones en sistemas de varios grados de libertad.
» 1.6. Aplicación a sistemas mecánicos simples.
– BIBLIOGRAFÍA:
» Alonso y Fin; Ed. Addison-Wesley Iberoamericana. 1995
» Sears et al.; Física Universitaria, Vol.1. 2004
» Tipler; Física, Vol.1, Ed Reverté. 1988.
» A.P. French; Vibraciones y Ondas, Ed Reverté. 1993.
3 1.1. Ecuaciones del movimiento vibratorio.
– Introducción
Una vibración mecánica es la oscilación repetida de un punto
material o de un cuerpo rígido en torno a su posición de
equilibrio.
x (t+T)=x(t) T=periodo
Existe un esquema de movimiento que se repite una y otra vez.
El esquema de la oscilación puede ser sencillo o
extremadamente complejo.
4 1.1. Ecuaciones del movimiento vibratorio.
» Fenómenos relacionados con el movimiento ondulatorio:
• Terremotos.
• Cristales, átomos, moléculas.
• Estructuras.
• Tierra.
• Circuitos eléctricos.
• Péndulo oscilante.
• Movimiento de los pistones de un motor de coche
5 1.1. Ecuaciones del movimiento vibratorio.
– ¿Por qué estudiar vibraciones?
» Seguridad y medio ambiente
» Análisis dinámico en ingeniería
• Esfuerzos, tensiones y pérdidas de energía
• Materiales más ligeros y mayores velocidades
• Posibilidad de modelización numérica
– Facilidad para modificar el diseño
– Validación de modelos
• Simplificar los modelos y posteriormente refinar
• Ruidos audibles (18 Hz - 20 kHz)
• Vibraciones
– Intensidad y frecuencia
– Tiempo de exposición y partes en contacto
– Aspectos psicológicos
6 1.1. Ecuaciones del movimiento vibratorio.
» Mantenimiento predictivo
» Caracterización de materiales
• Constantes elásticas
• Estado de fatiga
• Medida de espesores
• Detección de defectos
7 1.1. Ecuaciones del movimiento vibratorio.
– En general, en todo movimiento vibratorio se
producen tres fenómenos energéticos:
» Un almacenamiento de energía potencial en los elementos
elásticos.
» Un almacenamiento de energía cinética (en las masas e inercias).
» Una pérdida gradual de energía en los elementos disipativos
(amortiguadores).
Vibraciones
Libres Forzadas
No amortiguadas Amortiguadas No amortiguadas Amortiguadas
8 1.1. Ecuaciones del movimiento vibratorio.
– Elementos de un sistema oscilatorio
» Elementos elásticos: k
• Si los elementos elásticos tienen un comportamiento lineal,
la fuerza recuperadora es proporcional a la deformación
• Los elementos elásticos representan aquellos fenómenos físicos susceptibles de almacenar energía (energía potencial elástica) y devolverla integramente al sistema.
F=kx k: constante del resorte o rigidez del elemento (N/m)
x: deformación
9 1.1. Ecuaciones del movimiento vibratorio.
• Los elementos inercia (masas) son asumidos como sólidos
rígidos, que pueden ganar o perder energía cinética cuando
varía su velocidad. Según la segunda ley de Newton:
• La energía cinética almacenada es:
m
» Inercias (masas):
10 1.1. Ecuaciones del movimiento vibratorio.
» Amortiguamiento:
• En los sistemas reales se producen pérdidas de energía
causadas por el rozamiento:
– Rozamiento viscoso: cuando los cuerpos se mueven a
través de fluidos viscosos. Producen una fuerza
opuesta al movimiento y proporcional a la velocidad
relativa entre los dos elementos.
Fv=cv
c: coeficiente de amortiguamiento (Ns/m)
– Rozamiento de fricción seca (Coulomb): cuando el
sólido se desliza a través de una superficie seca.
F=µN
c
11 1.1. Ecuaciones del movimiento vibratorio.
– Ecuación general de un sistema masa-resorte » Grados de libertad: nº de coordenadas necesarias para
especificar la posición de un sistema en cualquier instante de tiempo.
» La selección de un modelo matemático adecuado permite reducir un sistema a un número discreto de grados de libertad e incluso solo a uno.
» 1 G.L. masa-resorte (traslación). Movimiento libre
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» Forzado no amortiguado
» Forzado amortiguado
1.1. Ecuaciones del movimiento vibratorio.
13 1.1. Ecuaciones del movimiento vibratorio.
– Equivalencia entre los sistemas de rotación y traslación
M
kt
» Péndulo simple
mg
TL
» Péndulo compuesto » 1GL rotación
x
y
G
mg
l
14 Equivalente formal entre sistemas de rotación y traslación
L
M0sen t
1.2. Movimiento armónico simple.
• El movimiento vibratorio más sencillo es el movimiento armónico simple (m.a.s.). La variación que determina la
posición de la partícula o del sistema, respecto de la
posición de equilibrio, es función armónica del tiempo.
• Cualquier oscilación periódica se puede descomponer en
una suma algebraica de oscilaciones armónicas.
• Una partícula se mueve con movimiento armónico simple
cuando su posición está dada por una expresión del tipo:
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» x: elongación.
» A: amplitud de oscilación.
» Fase: = t+0
» Fase inicial: 0
16 1.2. Movimiento armónico simple.
» Periodo, T, es el tiempo que tarda la partícula o sistema en pasar dos
veces por la misma posición:
» El nº de oscilaciones que la partícula realiza por unidad de tiempo
es la inversa del periodo y se denomina frecuencia, f :
» La cantidad se denomina frecuencia angular o pulsación del
movimiento:
17 1.2. Movimiento armónico simple.
» Significado de la fase inicial 0
p /2
0 t
p 3p /2 2p-f
x 1x 2
0
18 1.2. Movimiento armónico simple
– Sistema de un grado de libertad. Vibraciones libres sin amortiguamiento
» El modelo más sencillo para un sistema discreto de un grado de libertad está formado
por un resorte unido por uno de sus extremos
a una masa y por el otro a una referencia fija.
» Separamos la masa de su situación de reposo y la dejamos vibrar
libremente suponiendo que no existe ningún fenómeno disipativo.
» Si x representa el desplazamiento de la
masa, en dirección horizontal, medido desde
la posición de equilibrio de esta, la fuerza
con la que es atraída la masa al punto de equilibrio será de la forma: F=kx.
19 1.2. Movimiento armónico simple
» Aplicando la segunda ley de Newton se obtiene la ecuación del
movimiento:
» La solución de esta ecuación diferencial lineal homogénea de 2º
orden es del tipo:
» A = amplitud
» 0 = desfase inicial
» n = frecuencia angular
» Derivando dos veces:
» Sustituyendo en la ecuación del movimiento:
20 1.2. Movimiento armónico simple
» Se define la frecuencia (angular) natural como:
» La frecuencia natural o propia solo depende de la rigidez k y
de la masa m.
» El periodo de la vibración propia o natural será:
» El número de ciclos que se repite el movimiento cada segundo
cuando el sistema vibra libremente es la frecuencia natural fn (Hz):
21 1.2. Movimiento armónico simple
» Los valores de la amplitud A y del desfase inicial 0 se obtienen
a partir de la posición inicial x0 y la velocidad v0 en el instante t=0 (condiciones iniciales).
» La solución de la ecuación se puede expresar también como:
Condiciones iniciales:
22 1.2. Movimiento armónico simple
» Conocida la solución de la ED para el desplazamiento, se puede determinar la velocidad y aceleración simplemente
derivando la expresión del desplazamiento:
• Desplazamiento:
• Velocidad:
• Aceleración:
0 2 4 6 8 10 12 14
Tiempo (s)
Am
pli
tud
Desplazamiento Velocidad Aceleración
23 1.2. Movimiento armónico simple
» Características:
• Se repite a intervalos regulares.
• El periodo de oscilación no depende de la amplitud.
• En las posiciones extremas la velocidad es nula.
• La velocidad es máxima en el punto medio de la
oscilación.
• La fuerza restauradora en cualquier punto del
movimiento es proporcional a su distancia al punto
central.
24 1.2. Movimiento armónico simple
– Representación compleja del movimiento vibratorio
» El movimiento armónico puede
ser representado por un vector
giratorio o fasor de módulo A girando con velocidad angular
n cte:
» Si se proyecta el vector en los ejes horizontal y vertical se
obtiene el vector giratorio de componentes:
» La solución de la ecuación de un
movimiento vibratorio armónico simple se puede escribir en forma compleja como:
25 1.2. Movimiento armónico simple
26 1.2. Movimiento armónico simple
27 1.2. Movimiento armónico simple
– Energía del movimiento armónico simple » La energía cinética de una partícula o sistema que realiza un m.a.s. es:
» El trabajo realizado por una fuerza para producir una deformación x:
que será igual a la energía potencial de deformación.
Ek es máxima en el centro (x=0) y cero en los extremos
de oscilación (x=A).
28 1.2. Movimiento armónico simple
» Energía potencial de deformación:
EP es mínima (cero) en el centro (x=0), aumenta al aumentar la
elongación, siendo máxima en los extremos de oscilación (x=A).
» Energía total del movimiento
armónico simple:
-A +A
T=1/2 k(A2-x2)
Ox
T
U
U (x)U =1/2 kx2
E=1/2 kA2
P1 P2
29 1.2. Movimiento armónico simple
O
E3
E1E2
x
v
ab
A-A
-
a=(2E/k)1/2=A
b=(2E/m)1/2=A=(k/m)1/2=b/a
– Espacio de estados (fases):
» Variables de estado: posición y velocidad
30 1.2. Movimiento armónico simple
– Composición de dos movimientos vibratorios armónicos de igual dirección y frecuencia
• Dados dos movimientos vibratorios armónicos de igual dirección y frecuencia:
• El movimiento al que está sometido la partícula como resultado de
la superposición de estos dos movimientos es:
• Haciendo:
31 1.2. Movimiento armónico simple
» Conclusión:
• El movimiento resultante de la superposición de dos
movimientos armónicos de igual dirección y frecuencia
es un movimiento armónico de igual frecuencia y
dirección, cuya amplitud y fase son las dadas por las
expresiones anteriores.
• Se obtiene:
32 1.2. Movimiento armónico simple
» Utilizando vectores giratorios:
33 1.2. Movimiento armónico simple
• En fase:
• En oposición de fase:
» Ejemplos