APLICACIONES DE LA DERIVADA
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APLICACIONES DE LA DERIVADA
La Rigidez de una viga rectangular es conjuntamente proporcional a su anchura y al cubo de su espesor. Determinar las dimensiones de mayor rigidez que puede cortarse de un tronco en forma de cilindro circular recto, cuyo radio es “a”.
Sea:
La rigidez esta dada por:
R =(ancho)*(espesor)^3
2a
y
x
Por lo tanto:
R =(ancho)*(espesor)^3 => R=X*Y^3
(2a)^2 = (x )^2 + (y )^2
1
2
DESPEJANDO “Y” DE LA ECUACION 2:
4a^2 - x^2 = y^2
REEMPLAZANDO EN LA ECUACION 1, SE TIENE:
R=X*(4a^2 - x^2)*(4a^2 - x^2) ^½
ECUACION PRINCIPAL
DERIVANDO LA ECUACION:
R=*X*(4a^2 - x^2) ^3/2
dR/dx = [(4a^2 - x^2) ^3/2 +x*(3/2)((4a^2 - x^2) ^1/2)*(-2x)
IGUALANDO EN CERO:
0 = [(4a^2 - x^2) ^3/2]+[(4a^2 - x^2)*( – 3x^2)]
SE OBTIENE:
1° (4a^2 - x^2) – 3x = 0 => a = x , solución valida.
Por lo tanto, reemplazando a = x en la ecuación principal:
R=a*(4a^2 - a^2)^3/2
R=a*(3a ^2) ^(3/2)
R=(3^(3/2))*a^4
Recordemos que:
f ´´(x) > 0 , es minino relativo
f ´´(x) < 0 , es máximo relativo
como vemos:
dR/dx = [(4a^2 - x^2) ^3/2 +(3/2)((4a^2 - x^2) ^1/2)(-2x)
d²R/dx² = K*[-3((4a^2 - x^2) ^1/2)-6x((4a^2 - x^2) ^1/2)+3x/((4a^2 - x^2) ^1/2)]
IGUALANDO LA ECUACION A 0, OBTENGO QUE:
d²R/dx² < 0
POR LO TANTO, LAS DIMNSIONES DE LA VIGA DE MAYOR RIGIDEZ SON:
VOLUMEN VIGA = (BASE)(ALTURA)(LARGO)
A= a²(3^½)L
o
A= x²(3^½)L