APLICACIONES DE LA DERIVADA

La Rigidez de una viga rectangular es conjuntamente proporcional a su anchura y al cubo de su espesor. Determinar las dimensiones de mayor rigidez que puede cortarse de un tronco en forma de cilindro circular recto, cuyo radio es “a”.

Sea:

La rigidez esta dada por:

R =(ancho)*(espesor)^3

2a

y

x

Por lo tanto:

R =(ancho)*(espesor)^3 => R=X*Y^3

(2a)^2 = (x )^2 + (y )^2

1

2

DESPEJANDO “Y” DE LA ECUACION 2:

4a^2 - x^2 = y^2

REEMPLAZANDO EN LA ECUACION 1, SE TIENE:

R=X*(4a^2 - x^2)*(4a^2 - x^2) ^½

ECUACION PRINCIPAL

DERIVANDO LA ECUACION:

R=*X*(4a^2 - x^2) ^3/2

dR/dx = [(4a^2 - x^2) ^3/2 +x*(3/2)((4a^2 - x^2) ^1/2)*(-2x)

IGUALANDO EN CERO:

0 = [(4a^2 - x^2) ^3/2]+[(4a^2 - x^2)*( – 3x^2)]

SE OBTIENE:

1° (4a^2 - x^2) – 3x = 0 => a = x , solución valida.

Por lo tanto, reemplazando a = x en la ecuación principal:

R=a*(4a^2 - a^2)^3/2

R=a*(3a ^2) ^(3/2)

R=(3^(3/2))*a^4

Recordemos que:

f ´´(x) > 0 , es minino relativo

f ´´(x) < 0 , es máximo relativo

como vemos:

dR/dx = [(4a^2 - x^2) ^3/2 +(3/2)((4a^2 - x^2) ^1/2)(-2x)

d²R/dx² = K*[-3((4a^2 - x^2) ^1/2)-6x((4a^2 - x^2) ^1/2)+3x/((4a^2 - x^2) ^1/2)]

IGUALANDO LA ECUACION A 0, OBTENGO QUE:

d²R/dx² < 0

POR LO TANTO, LAS DIMNSIONES DE LA VIGA DE MAYOR RIGIDEZ SON:

VOLUMEN VIGA = (BASE)(ALTURA)(LARGO)

A= a²(3^½)L

o

A= x²(3^½)L