APLICACIONES DE LA DERIVADA A LA FSICA, BIOLOGA Y OTRAS CIENCIAS

APLICACIONES DE LA DERIVADA A LA FSICA, BIOLOGA Y OTRAS CIENCIAS

Si e=f(t) nos da la posicin de un mvil respecto al tiempo, entonces v=f '(t) nos da la velocidad de ese mvil en cada instante.

Si v=g(t) nos da la velocidad de ese mvil en funcin del tiempo, entonces a=g'(t) nos da su aceleracin.

En general, si f(t) da la variacin de una variable respecto al tiempo, entonces f '(t) da la rapidez con que vara esa variable al transcurrir el tiempo.

EJERCICIOS

1. Consideremos de nuevo el ejemplo del autobs que viene en el libro en la pgina 302.Ahora sabemos ms y podemos resolver mejor el problema.Esta era la situacin del movimiento del autobs y de los cuatro viajeros en funcin del tiempo:Ecuaciones de movimiento del:Autobs

Viajero (1)

Viajero (2)

Viajero (3)

Viajero (4)

Donde e es el espacio en metros y t el tiempo en segundos.

a) En qu instante llegan a la parada los viajeros 1 y 2? (Hay que mirar en la grfica y tambin haciendo clculos con las ecuaciones dadas)b) A qu distancia se encuentran de la parada los viajeros 3 y 4, cuando arranca el autobs de la parada? (Hay que mirar en la grfica y tambin haciendo clculos con las ecuaciones dadas)c) En qu instante y a qu distancia de la parada se encuentran cada uno de los cuatro viajeros con el autobs? (Hay que mirar en la grfica y tambin haciendo clculos con las ecuaciones dadas)d) Calcula la velocidad tanto del autobs, como de cada viajero, en cada instante calculando la derivada de cada funcin espacioe) Deduce qu viajero alcanza el autobs "suavemente" y cul no.

2. Imaginemos que el nmero de bacterias de un cultivo vara con el tiempo, expresado en minutos, segn la ecuacin N=500+50t-t2 para t[0,35]

Cul es la velocidad de crecimiento de la poblacin en el instante t=7 min?Dibuja la grfica de la funcin e interpreta el resultado en la grfica3. Un cochecito teledirigido se lanza por una cuesta. La distancia recorrida en metros al cabo de t segundos viene dada por d=0.2t2+0.03t3a) Qu velocidad lleva al cabo de 2 seg, 5 seg, y 6 seg?b) Cuando el cochecito alcanza una velocidad de 46.8 km/h, los frenos son insuficientes Cunto tiempo puede permanecer bajando sin que el conductor se preocupe por sus frenos?4. Un cohete se desplaza segn la funcin , en la que y es la distancia recorrida en km y t el tiempo en horas.

a. Calcula la funcin velocidad

b. Calcula la funcin aceleracin (as como la funcin velocidad se obtiene derivando la funcin distancia, la funcin aceleracin se obtiene derivando la funcin velocidad)

c. Cunto vale la velocidad inicial (t=0)? Y la aceleracin inicial?

Solucin al problema del autobs

0 El viajero 1 llega a la parada a los 7 seg de haber arrancado el autobs, y el 2 a los 10 seg.Adems de verlo en la grfica se puede deducir haciendo y=0 en las ecuaciones de movimiento de cada uno.

e=0, t=7 seg

e=0, t=10 segb) El viajero 3 se encuentra a 96 metros de la parada cuando arranca el autobs, y el 4 a 95 m.Adems de verlo en la grfica se puede deducir haciendo t=0 en las ecuaciones de movimiento de cada uno.

t=0, o cualquier valor de t, e=96, distancia = 96 m

, t=0, e=95 m, distancia = 95 mc) Resolviendo el sistema entre la ecuacin del autobs y la del viajero 1 encontraremos que una de las soluciones es t=11 seg, y se puede comprobar en la figura que es el instante donde se encuentran sus grficas. O sea, el viajero 1 alcanza al autobs a los 11 seg de haber arrancado.Haciendo lo mismo con el viajero 2, obtenemos que alcanza al autobs a los 15 seg.El 4 lo alcanza a los 23 seg, y el 3 a los 23 seg.d)Ecuaciones de movimiento del:Derivada=velocidadAutobs

Viajero 1

Viajero 2

Viajero 3

Viajero 4

e) Como ya conocemos en qu instante alcanza cada viajero al autobs, calculando la velocidad en dichos instantes y comparndola con la del autobs podremos saber la respuesta.Viajeroinstante de alcancevelocidad viajerovelocidad busrazn velocidades111 sege(11)=5.35 m/se(11)=3.9 m/s5.35/3.9=1.37215 sege(15)=8 m/se(15)=5.3 m/s8/5.3=1.5323 sege(23)=0 m/se(23)=8.2 m/s0/8.2=0423 sege(23)=4.3 m/se(23)=8.2 m/s4.3/8.2=0.52Lo ideal es que el viajero vaya a la misma velocidad que el autobs en el momento del alcance, por tanto la razn de velocidades debera ser 1.El viajero que lo coge ms suavemente es el 1 pues esta razn es la ms prxima a 1. Le sigue el 2. Al 4 le costar bastante, pero el que corre verdadero peligro si lo intenta es el 3. Este viajero ha permanecido quieto (vel=0) a 96 metros de la parada, esperando que pase por all el autobs, pero ste ya va muy rpido al pasar.El viajero 4, que estaba a 95 metros de la parada ha corrido en direccin a la parada, y se ha vuelto para correr en la misma direccin del autobs y coger velocidad para el momento del alcance.

SOLUCIN DEL PROBLEMA DE LAS BACTERIAS

Hallando la derivada de la funcin N(t), N(t) es la velocidad de crecimiento de la poblacin en cualquier instante t.

Hallando N(7) podremos responder a la pregunta.N=500+50t-t2

N=50-2t

N(7)=50-2*7=50-14=36

Velocidad de crecimiento en el instante t= 7 min = 36 bacterias por minuto

Quiere decir que en el instante 7 min la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (7, 801) es tag()=36

SOLUCIN AL PROBLEMA DEL COCHECITOd=0.2t2+0.03t3d=0.4t+0.09t2

v(2)=d(2)=0.4*2+0.09*22=1.16 m/s, velocidad a los 2 segv(5)=d(5)=0.4*5+0.09*52=4.25 m/s, velocidad a los 5 segv(6)=d(6)=0.4*6+0.09*62=5.64 m/s, velocidad a los 6 segSi v=46.8 Km/h (

Si v(t)=d(t)=0.4*t+0.09*t2=13 m/s,

0.4*t+0.09*t2-13=00.09*t2+0.4*t -13=0 resolviendo esta ecuacin queda

t=10 segA los 10 segundos pueden fallar los frenos del coche.SOLUCIN DEL PROBLEMA DEL COHETEUn cohete se desplaza segn la funcin , en la que y es la distancia recorrida en km y t el tiempo en horas.

a. Calcula la funcin velocidad (

b. Calcula la funcin aceleracin (

c. Cunto vale la velocidad inicial (t=0)? ( Y la aceleracin inicial? (

El concepto se derivada se aplica en los casos donde es necesario medir la rapidez con que se produce el cambio de una situacin. Por ello es una herramienta de clculo fundamental en los estudios de Fsica, Qumica y Biologa. Tambin en las ciencias sociales como la Economa y la Sociologa se utiliza el anlisis matemtico para explicar la rapidez de cambio en las magnitudes que les son propias.

Conocer la variacin de una funcin en un intervalo grande no informa suficientemente bien en el sentido de entender como se produce dicha variacin. Se necesita estudiar variaciones de la funcin en intervalos cada vez ms pequeos para llegar a entender el concepto de variacin instantnea o referida a un punto, es decir el de derivada en un punto.

Un hallazgo importante en el estudio de la derivada de una funcin es que la pendiente o inclinacin de la recta tangente a la curva en un punto representa la rapidez de cambio instantneo. As pues cuanto mayor es la inclinacin de la recta tangente en un punto mayor es la rapidez de cambio del valor de la funcin en las proximidades del punto.

El concepto de derivada segunda de una funcin - derivada de la derivada de una funcin- tambin se aplica para saber si la rapidez de cambio se mantiene, aumenta o disminuye. As el concepto de convexidad y concavidad -aspectos geomtricos o de forma- de una funcin estn relacionados con el valor de la derivada segunda.

La derivabilidad de una funcin en un punto (propiedad relativa a la existencia de tangente en un punto) est asociado al de continuidad. Este aspecto tambin ser tratado en esta unidad.

Finalmente veremos la relacin que tiene la derivada con los problemas de optimizacin de funciones. Estos problemas decimos que son de mximo o de mnimo (mximo rendimiento, mnimo coste, mximo benefcio, mnima aceleracin, mnima distancia, etc)._1195854628.unknown

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