APLI_FISICASs

Aplicaciones Fsicas de las ecuaciones diferenciales de

primer orden

ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM

APLICACIONES FISICAS Un cuerpo es dejado caer verticalmente hacia abajo con una

velocidad inicial Vo en un medio que ofrece una resistencia proporcional a la magnitud de la velocidad. Encuntrese una relacin entre la velocidad v y el tiempo t.


Solucin

Haciendo el D.C.L. del cuerpo


kv v

mg

1) Una pelota de masa m es lanzada verticalmente hacia arriba desde la superficie de la tierra con una velocidad inicial V0. Supongamos que no actan fuerzas sobre la pelota

excepto la de gravitacin mg y la resistencia del aire de magnitud kv , donde v es la

velocidad escalar. Hallar el tiempo en el cual la pelota alcanza su altura mxima, as como

encontrar dicha altura mxima.

Kv

mg

V0

F=-mg-Kv=ma

-g-kv/m = a =dV/dt

-g = (k/m)V + dV/dt (ecuacion lineal)

dy/dx + P(x).y =Q(x)

= (1)

Cuando t=0 .(2)


Altura mxima alcanzada V=0

Hemos hallado el valor del tiempo que demora en llegar a la altura mxima

..(3)

Descomponemos matemticamente la velocidad, para luego integrarlo

En t=0 el S=0

..(4)


Ahora hallamos la altura mxima ya que tenemos el tiempo en que demora en subir la altura

mxima y tenemos la ecuacion de la altura

Remplazando la ecuacion 3 en 4

Rpta:


PROBLEMA

Una bala se introduce en una tabla de h=10 cm. De espesor con la velocidad de V0= 200 m/s traspasndole con la velocidad V1= 80 m/s. Suponiendo que la resistencia de la tabla al movimiento de la bala es proporcional al cuadrado de la velocidad, hallar el tiempo del movimiento de la bala por la tabla.


V0 Vf

H=10

La tabla presenta una fuerza de resistencia por lo tanto planteamos lo siguiente :


F = ma = m

Por condicin del problema tenemos:

m

Integrando la expresin:

1 ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM

Adems :

Integrando

2 ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM

Finalmente, reemplazamos 2 en 1 teniendo de esta manera:

Reemplazando los datos el valor de t es:


Problema: Un paracaidista(y por supuesto su paracadas) cae desde el reposo. El peso combinado del paracaidista y su paracadas es W. el paracadas tiene una fuerza actuando sobre l(debido a la resistencia del aire) la cual es proporcional a la velocidad en cualquier instante durante la cada. Asumiendo que le paracaidista cae verticalmente hacia abajo y que el paracadas ya esta abierto cuando el salto ocurre, describa el movimiento resultante.


SABEMOS: Resistencia proporcional a v. R=a.v

Condiciones iniciales: v=0 en t=0

Problema:Si nos planteamos que al tratar de limpiar "una piscina, a la cual le hemos aadido el doble de la cantidad de sulfatos permitida, y queremos saber cunto tiempo tenemos que mantener abierta una entrada de 120 lits/min de agua sin sulfatos y la salida de la piscina que responde a 60 lits/min. La piscina en cuestin tiene 20 m de longitud, 10 m de ancho y 2 m de profundidad. Tendremos que:


Donde el volumen es V = 400m3 = 400 (100cm) 3 = 4 x 108cm3 = 4 x 108 (10-3lit) = 4 x 105lit. Con lo cual el tiempo para que la cantidad final decaiga a la mitad de la inicial surge de:

PROBLEMA: Se lanza un cuerpo de masa constante hacia arriba, desde la superficie terrestre con una velocidad inicial Vo. Suponiendo que no hay resistencia del aire pero tomando en cuenta como vara el campo gravitacional de la tierra con la altura; encontrar la menor velocidad inicial que necesita tener el cuerpo para que no regrese a la tierra.



La gravedad va en sentido opuesto a la velocidad por lo tanto es negativa.

Por frmula:

2)( hR

GMt

dt

dvg

t

dt

dh

dh

dV

dt

dV

dh

dVV 2)( hR

GMt

t

2)( hR

dhGMVdV

t

ChR

GMtV

t

2

2

C.I V = Vo h= O

CRT

GMtVo

2

2

C= Rt

MtG

Vo 2

2

Si no queremos que regrese debe cumplirse que para h= V=0

2

)0( 2

Rt

GMtV

Rt

GMt o 2)(

2

=

Rt

GMtVo

2


Problema: Un proyectil de masa m se dispara verticalmente hacia arriba, desde la Tierra hasta la Luna, con velocidad inicial Vo, teniendo en cuenta que las masas de la Tierra y de la Luna son Mt y ML , sus radios son R y r, que la distancia entre ambos es 60R, que R = 4r (aproximadamente ); y que la influencia del Sol, otros planteas y la resistencia del aire se deprecian, hallar: a)La velocidad en cualquier instante T b)La velocidad de salida para alcanzar el punto, entre la tierra y

la luna, donde la gravedad es nula tenga en cuenta que MT = 81ML, gL =g/6

c)La velocidad que el proyectil debera tener para abandonar la Tierra y nunca regresar (tambin llamada velocidad de escape). ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM

Solucin:

Aplicando la ley de la gravitacin de Newton: ma = F1 - FT m = G - G .(1) Ahora, sabemos que la atraccin de una masa m a la tierra es su peso W = mg Luego: = mg GMT = gR

2 Si gL es la gravedad en la luna, entonces :GML = gR

2 En (1): = - (2)


Pero: = adems : t = 0 x = 0, v = v0 De (2): = - = - + c Teniendo en cuenta las condiciones iniciales: a) = - + - 2gR - .(3)


b) La gravedad es nula cuando (1) se anula, es decir: G = G Como = 81 entonces = Resolviendo: x = Adems en este punto (donde gravedad es nula) se tiene que v = 0 En (3) tenemos: - - = 2gR + - - = 2gR + - ..(4)


Pero r = , en(4): = 2gR + .(5) Tambin: gL = en (5): = 2gR + = 2gR (1+0.0002-0.02) =

c) Para encontrar la velocidad de escape, hacemos que la distancia 60R tienda a infinito, por ello de (4): = 2gR =


Problema 5:


Problema 3:


Problema 1:


Solucin:

La descripcin matemtica es

De donde al resolver la ecuacin se tiene

Para t = 0, v= 10 m/seg , se tiene

Para t = 5 seg , v=8 m/seg .


Solucin:

Para v = 1 m/seg .

De donde

seg. RPTA


Problema

Las curvas equipotenciales de un determinado campo electrosttico se puede aproximar por las elipses ; Encuentre las lneas de fuerza.


Solucin:

Como sabemos las curvas equipotenciales y las lneas de fuerzas son curvas ortogonales entre si, por lo cual emplearemos propiedades sobre trayectorias ortogonales.

(I)

Derivando:


.

Reemplazando:

Resolviendo la integral y remplazando t:

RPTA


problema4

Partiendo del origen de coordenadas un hombre se pasea

por el semieje y positivo con una velocidad de 100

metros/min.En el instante inicial silva a su perro que se

encuentra en el punto (900m,0)y este comienza a correr

con una velocidad de 200 mts/min , dirigida en todo

momento hacia su dueo. Hallar la ecuacin diferencial la

curva que describe el perro y el tiempo k tarda en

alcanzar a su amo.


SIENDO EL PUNTO R(900.0)

Solucin:

En un tiempo t minutos , el hombre estar en P=(0,vht) y el

perro en el punto P(X,Y)

Luego :

= ..(0)

la distancia recorrida por el perro, en dicho instante es el arco AB

Luego AB=- dX=s(1)


Pero: Vpt=200t.(2)

(2) en un (1): - dX=200t

De (0) reemplazamos t: - - )

Derivando tenemos: =

= 2 =

u+ =c

Volviendo a la ecuacin :

+ =c ..(3)


=0

Reemplazando en (3) tenemos: c=1/30

De (3) pasamos el al otro miembro y elevamos al cuadrado:

Y= -30 +C1

En t=o x = 900 y=0

C1=600

Dea hi la ecuacin ser: Y= -30 +600

El perro dara alcance en X =0 Y=0 ; P(0,600)

Dado que el tiempo es igual para el hombre y el perro

600=Vht1=100 t1 t1= 6min


F-10aire del atemperaturT

:cuepo del atemperaturTSean

Solucin

p.m. 1.09 las a o termmetrdel lectura la es

Cual, F70 est aire el donde adentro nuevamente

lleva se o termmetrel p.m 1.05 las a F26 de es

a temreaturp.m.la 1.02 las a F10- de atemperatur

una tieneaire el dondeexterior al o trasladades

F70 marca que troun termme p.m 1 laA

:Ejemplo

0

m

0

0

0

0


FT

T

Te

K

eF

eTTTT

AeTT

tmTkdt

dT

tt

t

kt

mm

kt

m

0

2

5

220

9ln

2

1

20

00

88.0

20

98010 tienesemin 5tp.m., 1.05 las a

)20

9(8010decir es 80-10T Luego

)20/9ln(5.0

80102626t2, tp.m 1.02 la a

y 1.p.m la a es esto )( tienese TT

para :es ldiferenciaecuacion la desolucion La

alidadproporcion defactor k

),( es matematican descripci La


AAeScktsLnkdtdt

dS

kSdt

dS

kSdt

dSkS

dt

dS

kt

00 S0, tcuando ,SSdecir es

inicial cantidad la a representa So .si generalsolucin

la es )( integrando ,

:.Luego separablesson y t s variableslas, Como

alidad.proporcion defactor un esK dondeen o,crecimient el

para y cin descomposi la para por

dado esta, tocreciemien dey cin descomposi deLey La

QUIMICAS. REACCIONES

OCRECIMIENT, CIONDESCOMPOSI


material. del media vidala tambien Encuentre

. tiempodel

funcin como material ese de masa la paraexpresin

una tregrs.Encuen 80 a disminuido ha masasu , aos 20

de despes observa le se cuandogr.y 100 de masa una

nteoriginalme tienematerial ese de bloque.Un presente

material de cantidadsu a alproporcion velocidad

una a decae radiactivo material ciertoun que sabe Se

PROBLEMA


4

5ln

20

20

100)( :luego

4

5ln

20

18080)20(, aos 20 tpara

: tienede esto paraK constante la emosdeterminar 100)(

: tienese doreemplazan Luego ,100.100)(0, tPara

: tienese esto para ,A constante

la osdeterminam )( tieneseecuacin la oResolviend

)()(

es matemtica

ndescripci lat cualquier en sustancia de radiactiva)( Sea

SOLUCION

t

t

kt

kt

etx

kex

etx

Agrtx

Aetx

tkxdt

tdx

tx


V L

i

R


R

V

L

i

V

iC

L

E L E C T R IC O S C IR C U IT O SA E SA P L IC A C IO N

0RI

0 0

:anteriores figuras las de circuitos losEn

cero" es cerrado circuitoun en voltajede cadas las todasde

algebraica suma La." kirchoff de voltajeslos deley la es

circuitos estos gobierna que lfundamneta principio El

tiempo.delfuncin una o constanteser puede E

circuito del sespecfico scomponente los de esdependient

constantes tegeneralmenson CL,R, cantidades Las

EC

qERI

dt

dIL

EEEEEE cRLR


f.e.m la den desconexio dela .despues

0.01segr condensado del carga lay corriente la

.Encontrar circuito del f.e.m la desconecta se,

permanete estado el alcanzado ha se Cuando

. faradios 105 de es iacapacitanc cuya

cargado nor condensadoun y ohms 10 de

aresistenci una serieen contiene que circuito

un en introduce se voltios100 de fem Una

PROBLEMA

4-


PROBLEMA 1. Se cuelga un cable homogneo entre los soportes de una estructura a una misma altura. Despreciando la velocidad del viento, determinar la ecuacin de la curva que contiene el cable (catenaria).

ING

. CA

RLO

S RO

JAS SER

NA

UN

I-FIM

Solucin:

De la figura:

Desarrollando:

Hallando la segunda derivada:

Cambio de variable:

Pero:

Del sistema de ecuaciones:


Tenemos:

Hallando la ecuacin:

Por lo tanto obtenemos: {solucin}


PROBLEMA 2. Antes del medioda el cuerpo de una aparente victima de homicidio se encuentra en un cuarto que se conserva a temperatura constante a 70F. Al medioda, la temperatura del cuerpo es 80F y a la 1 pm la temperatura del cuerpo es de 75F. Considerando que la temperatura del cuerpo en el momento del asesinato era 98,6F Cul fue la hora del asesinato?


Solucin: Sabemos por la Ley de enfriamiento de Newton: Para Para Para Hacemos: (1)/(2) Reemplazamos en la ecuacin: Ahora, para Por lo tanto, la hora del asesinato fue:


PROBLEMA 9. Segn la ley de newton de enfriamiento la velocidad a la que se enfra una sustancia al aire libre, es proporcional a la diferencia entre la temperatura de la sustancia y la del aire. Si la temperatura del aire 30C y la sustancia se enfra de 100C a 70C en 15 min. Al cabo de qu tiempo la temperatura de la sustancia ser 40C? Solucin:

).( mTTkdt

dT mT :Temp. del medio (aire libre) :30C

mT

CTt

CTt

70min15

100min0

kTkdt

dT30. k: cte. real

fija

30.)( 1 kteCtT


7030:1000 11 CCTt

Nos piden el tiempo si T=40

30.7040 157

4ln

t

e

Al cabo de 52,128 min. la temperatura de la sustancia ser 40C

15

7

4ln

30.70:7015 15

keTt t

158,52.7

4ln.

15

1

7

1ln

tt


PROBLEMA 12. Un cuerpo de peso W cae partiendo del reposo. Si la resistencia del aire es proporcional a la velocidad y la velocidad lmite es de 52 m/s, hallar la distancia recorrida en la cada en un tiempo de 5 segundos (g = 10 m/s2).

Solucin:


Segn la segunda ley de Newton: Obtenemos la ecuacin diferencial lineal: {e. d. lineal} Factor integrante:

Condiciones iniciales: t=0 v=0 Velocidad limite (t ): Para: t=0 x=0 Para t=5 seg.


PROBLEMA 13. Considere una poblacin de peces P(t). Supongamos que la poblacin inicial es de 100 peces, estos peces son una combinacin de truchas maduras hembras y machos. Para bajos niveles de poblacin y considerando los factores ambientales se sugiere que las funciones que normalizan la tasa de crecimiento y prdida poblacional son inversamente proporcionales a la raz cuadrada de la poblacin presente en el instante t.

Sobre la base de la descripcin anterior, obtener un modelo matemtico para la poblacin de peces y encontrar una solucin general para P(t). Dado que la poblacin despus de 6 meses ser de 169peces, estimar cuntos peces estarn en el estanque despus del primer ao. Utilizando el mismo modelo, cul ser el tamao del la poblacin despus de cinco aos?, y luego qu puedes decir acerca de la exactitud del modelo matemtico para los grandes tamaos de poblacin?


Por lo tanto, la ecuacin de balance de poblacin se convierte en Donde k es constante. De este modo, el modelo matemtico de este sistema es simplemente.

Esta es una ecuacin separable, cuya solucin se pueden desarrollar de la siguiente manera. En primer lugar rescribir la ecuacin de balance como

Solucin:

Dado que las tasas de mortalidad y las de natalidad se normalizan, podemos escribir la ecuacin de balance como

Donde B y D son las funciones que normalizan las tasas respectivas. Segn el problema las funciones que normalizan las tasas del nacimiento y mortalidad son inversamente proporcionales a la raz cuadrada del tamao de la poblacin, o


La integracin de ambos lados da

Y despejando la solucin general para la poblacin de peces se convierte en

Ahora, aplicando la condicin inicial da por lo que

y la solucin es

La tasa de crecimiento constante, k, se puede determinar a partir de los datos que figuran en el problema. Sabemos que despus de 6 meses,

Evaluando en (3) para t=6.

Con la tasa de crecimiento constante conocida, podemos utilizar la ecuacin (3) como un modelo predictivo. La evaluacin de esta expresin en t = 1 ao (12 meses) y de nuevo a los 5 aos (60 meses) da


As, vemos que la poblacin de peces crece con bastante rapidez, sobre todo a mayores valores de P (ya que la tasa de cambio de P es proporcional a ). Este modelo, sin embargo, predice que en un tiempo ilimitado el crecimiento poblacional ser excesivo, y esto no es fsicamente posible para un estanque de tamao finito y limitados suministros de alimentos. El modelo puede ser adecuado en un perodo de varios aos, pero finalmente su naturaleza sin lmites dara lugar a grandes errores en un entorno real limitado. De la comparacin del modelo predictivo y la capacidad real peridica de poblacin de peces se alerta al usuario de la necesidad de modificar el modelo matemtico para este ecosistema. A la derecha tenemos la grfica de la estimacin del modelo para distintos valores de k. En este caso su valor fue de 1.

ING

. CA

RLO

S RO

JAS SER

NA

UN

I-FIM

PROBLEMA 14. .- La fuerza de marea es un efecto secundario de la fuerza de gravedad que es responsable de la existencia de las mareas. Es el resultado de la diferencia de potencial gravitacional que existe a lo largo del dimetro de un cuerpo. Suponiendo que inicialmente la forma del cuerpo ms grande era una esfera, la fuerza de marea que tender a convertirla en un elipsoide. El Lmite de Roche es la distancia mnima que puede soportar un cuerpo, que mantiene su estructura nicamente por su propia gravedad y que orbita un cuerpo masivo, sin comenzar a desintegrarse debido a las fuerzas de marea que genera el objeto principal. Esto es lo que sucede con la tierra y la luna. Por ltimo el ritmo de recesin es la velocidad con la que los cuerpos celestes o las galaxias se alejan entre si, y es inversamente proporcional a la sexta potencia de la distancia. Calcular el tiempo que le tomo a la luna llegar a su posicin actual respecto de la tierra. Datos:

ING

. CA

RLO

S RO

JAS SER

NA

UN

I-FIM

Reemplazando en (1) e integrando sera

sera la distancia actual a la que se encuentran y sera la distancia inicial mnima a la que pudieron estar o en otras palabras el Lmite de Roche. Entonces reemplazando valores en (2)

Solucin:

Hallando el valor de k

Resolviendo tenemos

Donde


PROBLEMA 15. En mayo de 1993 la poblacin mundial alcanz los 5.5 mil millones y a partir de entonces aument a la tasa de 250 mil personas por da. Suponiendo que las tasas de nacimiento y muerte fuesen constantes. Para cuando se esperara una poblacin mundial de 11 mil millones?

SOLUCIN

Partimos de esta ecuacin diferencial denominada ecuacin de crecimiento natural o exponencial:

xkdt

dx.

Integrando se obtiene: ktktc eAee .. x(t)x

En nuestro problema: kteP0 P(t) ..(1)

Donde: P (t)=: Poblacin mundial en miles de millones t : en aos


Datos:

5.5OP

0913.0)25.365(00025.0' OP

En t = 0 (1993)

El aumento significa:

De la ecuacin kPt

PLim

dt

dP

t

k

Donde: P: Nmero de individuos

: Tasa de natalidad : Tasa de mortalidad

Entonces obtenemos: 0166.05.5

0913.0.

1

0

'

0

0

P

P

dt

dP

Pk

t

De esto deducimos que la poblacin en 1993 estaba creciendo a la tasa de 1.66 por ciento

De la Ec (1): TetP 0166.05.5)(11 )(420166.0

.)5/11(aos

LnT

Corresponde al ao 2035, suponiendo que las tasa de natalidad y mortalidad se mantuviesen constantes, la poblacin mundial se estara duplicando cada 42 aos


PROBLEMA 16. Un espcimen de carbn vegetal encontrado en Stonehenge result contener 63% de que una muestra de carbn vegetal actual de igual masa Cul es la edad de la muestra?

14C

SOLUCIN

Tomamos:

t = 0 el instante de la muerte del rbol del cual el carbn de Stonehenge fue hecho N0: # de tomos de C14 que la muestra de Sstonehenge contenia

Ahora:

063.0 NN k= 0.0001216

De la Ec: kteNN 00 0.63

)(38000001216.0

)63.0(aos

LnT


La ley de Newton del enfriamiento dice que la temperatura de un objeto cambia a una tasa proporcional a la diferencia de temperaturas entre el objeto y su entorno. Suponga que la temperatura de una taza de agua caliente obedece la ley de enfriamiento. Si la taza tiene una temperatura de 200 F cuando le acaban de verter el agua y un minuto ms tarde la temperatura de la taza ha bajado hasta 190F, en un cuarto de donde la temperatura es de 70F, determine t para cuando la temperatura de la taza es de 150F.


Siguiendo las indicaciones del problema, la tasa de enfriamiento es proporcional a la diferencia de temperaturas.


Condiciones iniciales

Segundo juego de condiciones

Resolviendo para T=150


Donde t est expresado en minutos

PROBLEMA

Antes del medioda el cuerpo de una aparente victima de homicidio se encuentra en un cuarto que se conserva a temperatura constante a 70F, a medioda la temperatura del cuerpo es de 80F y ala 1 pm la temperatura del cuerpo es de 75F. Considerando que la temperatura del cuerpo en el momento del asesinato era de 98.6FCal fue la hora del asesinato?


Para resolver este problema haremos con LA LEY DE

ENFRIAMIENTO DE NEWTON:

Siendo: T: Temperatura de la sustancia que generalmente el

que hay que hallar.

: Temperatura del medio circundante.

K: Constante de proporcionalidad.

RESOLUCIN:

=- dt

ahora pasamos a la respectiva integracin en ambas partes :

Ln(T- )=-kt+Ln(C)

T= C.


Sabemos que: por dato del problema. * Para t =0 T=98.6 F C=28.6 F ** Para t =t T=80 F 80=28.6. *** Para t =t+60 T=75 F 75=28.6. De la ecuacin **: -1.0508=-kt Ahora en la ecuacin ***: -1.7439=-k(t+60) De la cual obtenemos: k=0.01155 De ah reemplazamos en ** lo que nos da: t=90.9783min Entonces la hora del asesinato tenemos como tomamos el tiempot para el medio da lo restamos los 90.9783 minutos lo que nos dara como resultado que el asesinato fue: 10:29 a.m


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