Aplicaciones Fsicas de las ecuaciones diferenciales de
primer orden
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APLICACIONES FISICAS Un cuerpo es dejado caer verticalmente hacia abajo con una
velocidad inicial Vo en un medio que ofrece una resistencia proporcional a la magnitud de la velocidad. Encuntrese una relacin entre la velocidad v y el tiempo t.
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Solucin
Haciendo el D.C.L. del cuerpo
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kv v
mg
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1) Una pelota de masa m es lanzada verticalmente hacia arriba desde la superficie de la tierra con una velocidad inicial V0. Supongamos que no actan fuerzas sobre la pelota
excepto la de gravitacin mg y la resistencia del aire de magnitud kv , donde v es la
velocidad escalar. Hallar el tiempo en el cual la pelota alcanza su altura mxima, as como
encontrar dicha altura mxima.
Kv
mg
V0
F=-mg-Kv=ma
-g-kv/m = a =dV/dt
-g = (k/m)V + dV/dt (ecuacion lineal)
dy/dx + P(x).y =Q(x)
= (1)
Cuando t=0 .(2)
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Altura mxima alcanzada V=0
Hemos hallado el valor del tiempo que demora en llegar a la altura mxima
..(3)
Descomponemos matemticamente la velocidad, para luego integrarlo
En t=0 el S=0
..(4)
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Ahora hallamos la altura mxima ya que tenemos el tiempo en que demora en subir la altura
mxima y tenemos la ecuacion de la altura
Remplazando la ecuacion 3 en 4
Rpta:
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PROBLEMA
Una bala se introduce en una tabla de h=10 cm. De espesor con la velocidad de V0= 200 m/s traspasndole con la velocidad V1= 80 m/s. Suponiendo que la resistencia de la tabla al movimiento de la bala es proporcional al cuadrado de la velocidad, hallar el tiempo del movimiento de la bala por la tabla.
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V0 Vf
H=10
La tabla presenta una fuerza de resistencia por lo tanto planteamos lo siguiente :
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F = ma = m
Por condicin del problema tenemos:
m
Integrando la expresin:
1 ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
Adems :
Integrando
2 ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
Finalmente, reemplazamos 2 en 1 teniendo de esta manera:
Reemplazando los datos el valor de t es:
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Problema: Un paracaidista(y por supuesto su paracadas) cae desde el reposo. El peso combinado del paracaidista y su paracadas es W. el paracadas tiene una fuerza actuando sobre l(debido a la resistencia del aire) la cual es proporcional a la velocidad en cualquier instante durante la cada. Asumiendo que le paracaidista cae verticalmente hacia abajo y que el paracadas ya esta abierto cuando el salto ocurre, describa el movimiento resultante.
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SABEMOS: Resistencia proporcional a v. R=a.v
Condiciones iniciales: v=0 en t=0
Problema:Si nos planteamos que al tratar de limpiar "una piscina, a la cual le hemos aadido el doble de la cantidad de sulfatos permitida, y queremos saber cunto tiempo tenemos que mantener abierta una entrada de 120 lits/min de agua sin sulfatos y la salida de la piscina que responde a 60 lits/min. La piscina en cuestin tiene 20 m de longitud, 10 m de ancho y 2 m de profundidad. Tendremos que:
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Donde el volumen es V = 400m3 = 400 (100cm) 3 = 4 x 108cm3 = 4 x 108 (10-3lit) = 4 x 105lit. Con lo cual el tiempo para que la cantidad final decaiga a la mitad de la inicial surge de:
PROBLEMA: Se lanza un cuerpo de masa constante hacia arriba, desde la superficie terrestre con una velocidad inicial Vo. Suponiendo que no hay resistencia del aire pero tomando en cuenta como vara el campo gravitacional de la tierra con la altura; encontrar la menor velocidad inicial que necesita tener el cuerpo para que no regrese a la tierra.
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La gravedad va en sentido opuesto a la velocidad por lo tanto es negativa.
Por frmula:
2)( hR
GMt
dt
dvg
t
dt
dh
dh
dV
dt
dV
dh
dVV 2)( hR
GMt
t
2)( hR
dhGMVdV
t
ChR
GMtV
t
2
2
C.I V = Vo h= O
CRT
GMtVo
2
2
C= Rt
MtG
Vo 2
2
Si no queremos que regrese debe cumplirse que para h= V=0
2
)0( 2
Rt
GMtV
Rt
GMt o 2)(
2
=
Rt
GMtVo
2
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Problema: Un proyectil de masa m se dispara verticalmente hacia arriba, desde la Tierra hasta la Luna, con velocidad inicial Vo, teniendo en cuenta que las masas de la Tierra y de la Luna son Mt y ML , sus radios son R y r, que la distancia entre ambos es 60R, que R = 4r (aproximadamente ); y que la influencia del Sol, otros planteas y la resistencia del aire se deprecian, hallar: a)La velocidad en cualquier instante T b)La velocidad de salida para alcanzar el punto, entre la tierra y
la luna, donde la gravedad es nula tenga en cuenta que MT = 81ML, gL =g/6
c)La velocidad que el proyectil debera tener para abandonar la Tierra y nunca regresar (tambin llamada velocidad de escape). ING. CARLOS ROJAS SERNA UNI-FIM
Solucin:
Aplicando la ley de la gravitacin de Newton: ma = F1 - FT m = G - G .(1) Ahora, sabemos que la atraccin de una masa m a la tierra es su peso W = mg Luego: = mg GMT = gR
2 Si gL es la gravedad en la luna, entonces :GML = gR
2 En (1): = - (2)
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Pero: = adems : t = 0 x = 0, v = v0 De (2): = - = - + c Teniendo en cuenta las condiciones iniciales: a) = - + - 2gR - .(3)
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b) La gravedad es nula cuando (1) se anula, es decir: G = G Como = 81 entonces = Resolviendo: x = Adems en este punto (donde gravedad es nula) se tiene que v = 0 En (3) tenemos: - - = 2gR + - - = 2gR + - ..(4)
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Pero r = , en(4): = 2gR + .(5) Tambin: gL = en (5): = 2gR + = 2gR (1+0.0002-0.02) =
c) Para encontrar la velocidad de escape, hacemos que la distancia 60R tienda a infinito, por ello de (4): = 2gR =
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Problema 5:
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Problema 3:
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Problema 1:
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Solucin:
La descripcin matemtica es
De donde al resolver la ecuacin se tiene
Para t = 0, v= 10 m/seg , se tiene
Para t = 5 seg , v=8 m/seg .
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Solucin:
Para v = 1 m/seg .
De donde
seg. RPTA
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Problema
Las curvas equipotenciales de un determinado campo electrosttico se puede aproximar por las elipses ; Encuentre las lneas de fuerza.
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Solucin:
Como sabemos las curvas equipotenciales y las lneas de fuerzas son curvas ortogonales entre si, por lo cual emplearemos propiedades sobre trayectorias ortogonales.
(I)
Derivando:
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.
Reemplazando:
Resolviendo la integral y remplazando t:
RPTA
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problema4
Partiendo del origen de coordenadas un hombre se pasea
por el semieje y positivo con una velocidad de 100
metros/min.En el instante inicial silva a su perro que se
encuentra en el punto (900m,0)y este comienza a correr
con una velocidad de 200 mts/min , dirigida en todo
momento hacia su dueo. Hallar la ecuacin diferencial la
curva que describe el perro y el tiempo k tarda en
alcanzar a su amo.
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SIENDO EL PUNTO R(900.0)
Solucin:
En un tiempo t minutos , el hombre estar en P=(0,vht) y el
perro en el punto P(X,Y)
Luego :
= ..(0)
la distancia recorrida por el perro, en dicho instante es el arco AB
Luego AB=- dX=s(1)
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Pero: Vpt=200t.(2)
(2) en un (1): - dX=200t
De (0) reemplazamos t: - - )
Derivando tenemos: =
= 2 =
u+ =c
Volviendo a la ecuacin :
+ =c ..(3)
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=0
Reemplazando en (3) tenemos: c=1/30
De (3) pasamos el al otro miembro y elevamos al cuadrado:
Y= -30 +C1
En t=o x = 900 y=0
C1=600
Dea hi la ecuacin ser: Y= -30 +600
El perro dara alcance en X =0 Y=0 ; P(0,600)
Dado que el tiempo es igual para el hombre y el perro
600=Vht1=100 t1 t1= 6min
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F-10aire del atemperaturT
:cuepo del atemperaturTSean
Solucin
p.m. 1.09 las a o termmetrdel lectura la es
Cual, F70 est aire el donde adentro nuevamente
lleva se o termmetrel p.m 1.05 las a F26 de es
a temreaturp.m.la 1.02 las a F10- de atemperatur
una tieneaire el dondeexterior al o trasladades
F70 marca que troun termme p.m 1 laA
:Ejemplo
0
m
0
0
0
0
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FT
T
Te
K
eF
eTTTT
AeTT
tmTkdt
dT
tt
t
kt
mm
kt
m
0
2
5
220
9ln
2
1
20
00
88.0
20
98010 tienesemin 5tp.m., 1.05 las a
)20
9(8010decir es 80-10T Luego
)20/9ln(5.0
80102626t2, tp.m 1.02 la a
y 1.p.m la a es esto )( tienese TT
para :es ldiferenciaecuacion la desolucion La
alidadproporcion defactor k
),( es matematican descripci La
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AAeScktsLnkdtdt
dS
kSdt
dS
kSdt
dSkS
dt
dS
kt
00 S0, tcuando ,SSdecir es
inicial cantidad la a representa So .si generalsolucin
la es )( integrando ,
:.Luego separablesson y t s variableslas, Como
alidad.proporcion defactor un esK dondeen o,crecimient el
para y cin descomposi la para por
dado esta, tocreciemien dey cin descomposi deLey La
QUIMICAS. REACCIONES
OCRECIMIENT, CIONDESCOMPOSI
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material. del media vidala tambien Encuentre
. tiempodel
funcin como material ese de masa la paraexpresin
una tregrs.Encuen 80 a disminuido ha masasu , aos 20
de despes observa le se cuandogr.y 100 de masa una
nteoriginalme tienematerial ese de bloque.Un presente
material de cantidadsu a alproporcion velocidad
una a decae radiactivo material ciertoun que sabe Se
PROBLEMA
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4
5ln
20
20
100)( :luego
4
5ln
20
18080)20(, aos 20 tpara
: tienede esto paraK constante la emosdeterminar 100)(
: tienese doreemplazan Luego ,100.100)(0, tPara
: tienese esto para ,A constante
la osdeterminam )( tieneseecuacin la oResolviend
)()(
es matemtica
ndescripci lat cualquier en sustancia de radiactiva)( Sea
SOLUCION
t
t
kt
kt
etx
kex
etx
Agrtx
Aetx
tkxdt
tdx
tx
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V L
i
R
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R
V
L
i
V
iC
L
E L E C T R IC O S C IR C U IT O SA E SA P L IC A C IO N
0RI
0 0
:anteriores figuras las de circuitos losEn
cero" es cerrado circuitoun en voltajede cadas las todasde
algebraica suma La." kirchoff de voltajeslos deley la es
circuitos estos gobierna que lfundamneta principio El
tiempo.delfuncin una o constanteser puede E
circuito del sespecfico scomponente los de esdependient
constantes tegeneralmenson CL,R, cantidades Las
EC
qERI
dt
dIL
EEEEEE cRLR
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f.e.m la den desconexio dela .despues
0.01segr condensado del carga lay corriente la
.Encontrar circuito del f.e.m la desconecta se,
permanete estado el alcanzado ha se Cuando
. faradios 105 de es iacapacitanc cuya
cargado nor condensadoun y ohms 10 de
aresistenci una serieen contiene que circuito
un en introduce se voltios100 de fem Una
PROBLEMA
4-
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PROBLEMA 1. Se cuelga un cable homogneo entre los soportes de una estructura a una misma altura. Despreciando la velocidad del viento, determinar la ecuacin de la curva que contiene el cable (catenaria).
ING
. CA
RLO
S RO
JAS SER
NA
UN
I-FIM
Solucin:
De la figura:
Desarrollando:
Hallando la segunda derivada:
Cambio de variable:
Pero:
Del sistema de ecuaciones:
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Tenemos:
Hallando la ecuacin:
Por lo tanto obtenemos: {solucin}
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PROBLEMA 2. Antes del medioda el cuerpo de una aparente victima de homicidio se encuentra en un cuarto que se conserva a temperatura constante a 70F. Al medioda, la temperatura del cuerpo es 80F y a la 1 pm la temperatura del cuerpo es de 75F. Considerando que la temperatura del cuerpo en el momento del asesinato era 98,6F Cul fue la hora del asesinato?
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Solucin: Sabemos por la Ley de enfriamiento de Newton: Para Para Para Hacemos: (1)/(2) Reemplazamos en la ecuacin: Ahora, para Por lo tanto, la hora del asesinato fue:
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PROBLEMA 9. Segn la ley de newton de enfriamiento la velocidad a la que se enfra una sustancia al aire libre, es proporcional a la diferencia entre la temperatura de la sustancia y la del aire. Si la temperatura del aire 30C y la sustancia se enfra de 100C a 70C en 15 min. Al cabo de qu tiempo la temperatura de la sustancia ser 40C? Solucin:
).( mTTkdt
dT mT :Temp. del medio (aire libre) :30C
mT
CTt
CTt
70min15
100min0
kTkdt
dT30. k: cte. real
fija
30.)( 1 kteCtT
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7030:1000 11 CCTt
Nos piden el tiempo si T=40
30.7040 157
4ln
t
e
Al cabo de 52,128 min. la temperatura de la sustancia ser 40C
15
7
4ln
30.70:7015 15
keTt t
158,52.7
4ln.
15
1
7
1ln
tt
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PROBLEMA 12. Un cuerpo de peso W cae partiendo del reposo. Si la resistencia del aire es proporcional a la velocidad y la velocidad lmite es de 52 m/s, hallar la distancia recorrida en la cada en un tiempo de 5 segundos (g = 10 m/s2).
Solucin:
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Segn la segunda ley de Newton: Obtenemos la ecuacin diferencial lineal: {e. d. lineal} Factor integrante:
Condiciones iniciales: t=0 v=0 Velocidad limite (t ): Para: t=0 x=0 Para t=5 seg.
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PROBLEMA 13. Considere una poblacin de peces P(t). Supongamos que la poblacin inicial es de 100 peces, estos peces son una combinacin de truchas maduras hembras y machos. Para bajos niveles de poblacin y considerando los factores ambientales se sugiere que las funciones que normalizan la tasa de crecimiento y prdida poblacional son inversamente proporcionales a la raz cuadrada de la poblacin presente en el instante t.
Sobre la base de la descripcin anterior, obtener un modelo matemtico para la poblacin de peces y encontrar una solucin general para P(t). Dado que la poblacin despus de 6 meses ser de 169peces, estimar cuntos peces estarn en el estanque despus del primer ao. Utilizando el mismo modelo, cul ser el tamao del la poblacin despus de cinco aos?, y luego qu puedes decir acerca de la exactitud del modelo matemtico para los grandes tamaos de poblacin?
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Por lo tanto, la ecuacin de balance de poblacin se convierte en Donde k es constante. De este modo, el modelo matemtico de este sistema es simplemente.
Esta es una ecuacin separable, cuya solucin se pueden desarrollar de la siguiente manera. En primer lugar rescribir la ecuacin de balance como
Solucin:
Dado que las tasas de mortalidad y las de natalidad se normalizan, podemos escribir la ecuacin de balance como
Donde B y D son las funciones que normalizan las tasas respectivas. Segn el problema las funciones que normalizan las tasas del nacimiento y mortalidad son inversamente proporcionales a la raz cuadrada del tamao de la poblacin, o
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La integracin de ambos lados da
Y despejando la solucin general para la poblacin de peces se convierte en
Ahora, aplicando la condicin inicial da por lo que
y la solucin es
La tasa de crecimiento constante, k, se puede determinar a partir de los datos que figuran en el problema. Sabemos que despus de 6 meses,
Evaluando en (3) para t=6.
Con la tasa de crecimiento constante conocida, podemos utilizar la ecuacin (3) como un modelo predictivo. La evaluacin de esta expresin en t = 1 ao (12 meses) y de nuevo a los 5 aos (60 meses) da
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As, vemos que la poblacin de peces crece con bastante rapidez, sobre todo a mayores valores de P (ya que la tasa de cambio de P es proporcional a ). Este modelo, sin embargo, predice que en un tiempo ilimitado el crecimiento poblacional ser excesivo, y esto no es fsicamente posible para un estanque de tamao finito y limitados suministros de alimentos. El modelo puede ser adecuado en un perodo de varios aos, pero finalmente su naturaleza sin lmites dara lugar a grandes errores en un entorno real limitado. De la comparacin del modelo predictivo y la capacidad real peridica de poblacin de peces se alerta al usuario de la necesidad de modificar el modelo matemtico para este ecosistema. A la derecha tenemos la grfica de la estimacin del modelo para distintos valores de k. En este caso su valor fue de 1.
ING
. CA
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S RO
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UN
I-FIM
PROBLEMA 14. .- La fuerza de marea es un efecto secundario de la fuerza de gravedad que es responsable de la existencia de las mareas. Es el resultado de la diferencia de potencial gravitacional que existe a lo largo del dimetro de un cuerpo. Suponiendo que inicialmente la forma del cuerpo ms grande era una esfera, la fuerza de marea que tender a convertirla en un elipsoide. El Lmite de Roche es la distancia mnima que puede soportar un cuerpo, que mantiene su estructura nicamente por su propia gravedad y que orbita un cuerpo masivo, sin comenzar a desintegrarse debido a las fuerzas de marea que genera el objeto principal. Esto es lo que sucede con la tierra y la luna. Por ltimo el ritmo de recesin es la velocidad con la que los cuerpos celestes o las galaxias se alejan entre si, y es inversamente proporcional a la sexta potencia de la distancia. Calcular el tiempo que le tomo a la luna llegar a su posicin actual respecto de la tierra. Datos:
ING
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S RO
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UN
I-FIM
Reemplazando en (1) e integrando sera
sera la distancia actual a la que se encuentran y sera la distancia inicial mnima a la que pudieron estar o en otras palabras el Lmite de Roche. Entonces reemplazando valores en (2)
Solucin:
Hallando el valor de k
Resolviendo tenemos
Donde
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PROBLEMA 15. En mayo de 1993 la poblacin mundial alcanz los 5.5 mil millones y a partir de entonces aument a la tasa de 250 mil personas por da. Suponiendo que las tasas de nacimiento y muerte fuesen constantes. Para cuando se esperara una poblacin mundial de 11 mil millones?
SOLUCIN
Partimos de esta ecuacin diferencial denominada ecuacin de crecimiento natural o exponencial:
xkdt
dx.
Integrando se obtiene: ktktc eAee .. x(t)x
En nuestro problema: kteP0 P(t) ..(1)
Donde: P (t)=: Poblacin mundial en miles de millones t : en aos
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Datos:
5.5OP
0913.0)25.365(00025.0' OP
En t = 0 (1993)
El aumento significa:
De la ecuacin kPt
PLim
dt
dP
t
k
Donde: P: Nmero de individuos
: Tasa de natalidad : Tasa de mortalidad
Entonces obtenemos: 0166.05.5
0913.0.
1
0
'
0
0
P
P
dt
dP
Pk
t
De esto deducimos que la poblacin en 1993 estaba creciendo a la tasa de 1.66 por ciento
De la Ec (1): TetP 0166.05.5)(11 )(420166.0
.)5/11(aos
LnT
Corresponde al ao 2035, suponiendo que las tasa de natalidad y mortalidad se mantuviesen constantes, la poblacin mundial se estara duplicando cada 42 aos
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PROBLEMA 16. Un espcimen de carbn vegetal encontrado en Stonehenge result contener 63% de que una muestra de carbn vegetal actual de igual masa Cul es la edad de la muestra?
14C
SOLUCIN
Tomamos:
t = 0 el instante de la muerte del rbol del cual el carbn de Stonehenge fue hecho N0: # de tomos de C14 que la muestra de Sstonehenge contenia
Ahora:
063.0 NN k= 0.0001216
De la Ec: kteNN 00 0.63
)(38000001216.0
)63.0(aos
LnT
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La ley de Newton del enfriamiento dice que la temperatura de un objeto cambia a una tasa proporcional a la diferencia de temperaturas entre el objeto y su entorno. Suponga que la temperatura de una taza de agua caliente obedece la ley de enfriamiento. Si la taza tiene una temperatura de 200 F cuando le acaban de verter el agua y un minuto ms tarde la temperatura de la taza ha bajado hasta 190F, en un cuarto de donde la temperatura es de 70F, determine t para cuando la temperatura de la taza es de 150F.
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Siguiendo las indicaciones del problema, la tasa de enfriamiento es proporcional a la diferencia de temperaturas.
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Condiciones iniciales
Segundo juego de condiciones
Resolviendo para T=150
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Donde t est expresado en minutos
PROBLEMA
Antes del medioda el cuerpo de una aparente victima de homicidio se encuentra en un cuarto que se conserva a temperatura constante a 70F, a medioda la temperatura del cuerpo es de 80F y ala 1 pm la temperatura del cuerpo es de 75F. Considerando que la temperatura del cuerpo en el momento del asesinato era de 98.6FCal fue la hora del asesinato?
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Para resolver este problema haremos con LA LEY DE
ENFRIAMIENTO DE NEWTON:
Siendo: T: Temperatura de la sustancia que generalmente el
que hay que hallar.
: Temperatura del medio circundante.
K: Constante de proporcionalidad.
RESOLUCIN:
=- dt
ahora pasamos a la respectiva integracin en ambas partes :
Ln(T- )=-kt+Ln(C)
T= C.
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Sabemos que: por dato del problema. * Para t =0 T=98.6 F C=28.6 F ** Para t =t T=80 F 80=28.6. *** Para t =t+60 T=75 F 75=28.6. De la ecuacin **: -1.0508=-kt Ahora en la ecuacin ***: -1.7439=-k(t+60) De la cual obtenemos: k=0.01155 De ah reemplazamos en ** lo que nos da: t=90.9783min Entonces la hora del asesinato tenemos como tomamos el tiempot para el medio da lo restamos los 90.9783 minutos lo que nos dara como resultado que el asesinato fue: 10:29 a.m
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