Aptitud Matematica Integral

7/23/2019 Aptitud Matematica Integral

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PTITUD M TEMÁTIC

El objetivo principal de este capítulo esque el alumno utilice adecuadamentelas cuatro operaciones fundamentales(+; -; x; ÷).Las cuatro operaciones fundamentaleses el instrumento matem!tico masanti"uo utili#ado por el $ombre que nospermite resolver problemas de car!ctercomercial % de la vida diaria.

Ejemplo 1: &n comerciante compracierta cantidad de a"endas en '.**% los vende todos en '.*, "anandoasí '. por a"enda. /0u!ntasa"endas compr1 % cu!nto le cost1 cadauna2

Resolución:3recio de costo total4 '. **3recio de venta total4 '. *,Entonces4 5anancia total 6 '. 78

0omo "anancia en cada a"enda es'.Entonces4 9: de a"endas 6 78 6

Ejemplo 24 &n sastre pens1confeccionar camisas en díaspero tard1 días m!s por trabajar $oras menos cada día. /0u!ntas $orastrabaj1 por día2

Resolución4

El sastre perdi1 $oras por díadurante días; es decir43erdi14 x 6 $oras

Las que recupera en cinco días a ra#1n

de4 d hd

h/10

5

50=

CALCULO DE DOS NÚMEROS,CONOCIENDO:

I) LA SUMA DI!ERENCIA'e emplea solamente para

determinar dos cantidades siconocemos la suma (S) % diferencia (D)de ambos lo que implica que una de

las cantidades a calcular es ma%or quela otra.

9: ma%or 62

DS + 9: menor 6

2

DS −

II) SUMA COCIEN"E En el caso que ten"amos como

dato la suma de dos n<meros (S) % elcociente de ambos (#) podemoscalcular ambos n<meros mediante lasi"uiente relaci1n4

III) DI!ERENCIA COCIEN"E En el caso que ten"amos como

dato la diferencia (D) % el cociente deambos (#) podemos calcular ambosn<meros mediante la si"uienterelaci1n4

No$%4Es recomendable saber que el cocientees la relaci1n del n<mero ma%or aln<mero menor.

= En un enunciado al decir que4- &n n<mero es el

triple del otro si"nifica que sucociente es > (q 6 >).

- &n n<mero es la mitad del otrosi"nifica que su cociente es

(q 6 ).- &n n<mero es los * de otro

si"nifica que4 q 6 ......

Ejemplo &: En cierto día las $orastranscurridas exceden a las que faltan

9: menor 61+q

S 9: ma%or 6

1

.

+qqS

9: menor 6

− D

9: ma%or 6.

−q D



PTITUD M TEMÁTIC

transcurrir en 7 $oras. /? qu@ $oraocurre esto2

Resolución:'ean Atiempo transcurridoB (t.t) %

Atiempo no transcurridoB.'abemos que la suma % la diferencia deestos dos tiempos es4' 6 *$; C 6 7$

⇒ t.t. (ma%or) 62

624 + 6 $oras

∴ Dora4 & p'm' Ejemplo ( 4Cos personas tienen'., % '.> respectivamente. 'eponen a ju"ar a las cartas a '. cada

partida % al final la primera que $a"anado todas las partidas tiene elcu!druple de lo que tiene el se"undo./0u!ntas partidas se ju"aron2

ResoluciónLa suma total de dinero entre jue"o % jue"o no varía. ⇒ ' 6 '.Lue"o de AnB ju"adas4 q 6 *En ese momento el "anador tiene4

960./1441200 S x =

+$abiendo "anado4'.,7 '., 6 '.7a '. cada partida.

⇒ 9F de partidas 6 n 6 610./

60./=

S

S

Ejemplo : En aquel entonces tutenías aGos m!s que %o que tenía laquinta parte de la edad que tenías. 'i

eso sucedi1 en ,8 actualmente(*) que edad tenemos asumiendoque %a cumplimos aGos.

Resolución4En ,8 la diferencia % el cociente denuestras edades era4C6 ; q6 Heníamos4

Hu (ma%or) 6 2515

520=

− x

Io ( menor) 6 - 6 .⇒ ?ctualmente tenemos4

(* + 2* %os'

M-"ODOS O.ERA"I/OSEl prop1sito de este tema es mostrarlos Am@todosB usados con ma%orfrecuencia que $an demostrado su

eficacia frente a otros procedimientos;aunque es necesario reconocer en quecasos se deben aplicar.

ME"ODO DE LAS DI!ERENCIAS0M$oo el 3ec$4n5ulo)Es un m@todo que se aplica aproblemas donde participan doscantidades exclu%entes una ma%or quela otra las que se comparan en dosoportunidades ori"inando

"eneralmente en un caso sobrante o"anancia % en el otro caso un faltante op@rdida.

Ejemplo 1: &n comerciante anali#a4 sicompro a '. el Jilo de carne mefaltaría '.*; pero si s1lo compro de'.8 el Jilo me sobraría '.7./0u!ntos Jilo"ramos necesita comprar% de que suma dispone2

Resolución: f 'i compro a '. cK" ------- '.* s '. 8 cK" -------- '.7

Cu 6 '. cK" Ct 6 '.7

⇒ 0antidad (K") 6 Du

Dt 6

7./

560./

S

S 6

67

∴ Cinero disponible 68K" x '.8 + '.7 6 S8' 677

Ejemplo 2: 3ara "anar 8 en la rifade una filmadora se $icieron , boletosvendi@ndose <nicamente boletos %ori"inando así una p@rdida de .0alcular el costo de cada boleto % elvalor de la filmadora.



PTITUD M TEMÁTIC

Resolución4 "'i vendiera , bol -------- 8 p

bol --------

∆ 9 1 ol ∆ 9 ;(

⇒ 0osto cboleto 6bol 15

45$ 6 ; &

∴ Malor de la filmadora 6 , x > - 8 9 ;2(2

ME"ODO DEL CAN<RE=O0M$oo In>e3so)Es un m@todo utili#ado en problemas

donde interviene una variable a la cualse reali#a una serie de operacionesdirectas $asta lle"ar a un resultadofinal. 'e denomina Am@todo inversoBporque a partir del dato final se reali#anlas operaciones inversas $asta lle"ar alvalor inicial.

Ejemplo &4 ?l pre"untarle a A3epitoB por su edad el contest1 con evasivasdiciendo lo si"uiente4 Asi le a"re"as

al resultado lo multiplicas por %ense"uida le restas 7 para lue"oextraerle la raí# cuadrada % por <ltimolo multiplicas por > obtendr!s *B./0u!l es la edad de A3epitoB2

Resolución40onsiderando la edad de 3epito4 E; %

aplicando las operacionesconsecutivamente como loindicado por A3epitoB

tenemos 4E + x 7 x > 6 *?plicando operaciones inversastenemos4E 6 * ÷ > ↑ + 7 ÷ - E 9 6 %os.

Ejemplo (: El nivel del a"ua de untanque en cada $ora desciende m pordebajo de su mitad $asta quedar vacío

el tanque lue"o de > $oras. Nu@volumen de a"ua se $a utili#ado

sabiendo que el tanque tiene una basecircular de m.Resolución:0onsiderando el 9ivel inicial del a"ua4 DCel problema deducimos que en cada

$ora queda la mitad menos dos metrosde a"ua.Entonces en tres $oras queda4D ÷ - ÷ - ÷ - 6

?plicando operaciones inversas a partirdel final tenemos4D 6 + x + x + x D 6 8 m.

Heniendo en cuenta que el volumen de

un tanque circular es4M 6 ?rea de la base x altura⇒ M 6 m x 8 m

6 1(7 m&

ME"ODO DE !ALSA SU.OSICION0Re5l% el Romo)'e aplica cuando en un problemaparticipan un n<mero de elementosdivididos en dos "rupos cu%os valoresunitarios (o características) se conocen

% adem!s nos proporcionan el valortotal que es la resultante de sumartodos los valores unitarios.

Ejemplo : En el sal1n de clase el pesopromedio de cada alumno es de J" %de cada alumna 7 J" si el peso totalde todos es de * J". /En cu!ntoexcede el n<mero de mujeres al de losvarones si en total son 72

Resolución4 ?plicando el m@todo dela ?%ls% suposición4'upon"amos que los 7 alumnos pesan K" cu.⇒ 3eso de todos los alumnos sería(Malor supuesto) 6 7 x 6 * K"Este valor excede al real en4* * 6 (67 @5Este exceso es por que asumimos quetodos eran varones por lo que dimosun valor a"re"ado a cada alumna de4

7 6 1 @5.⇒ 9° de alumnas 6

15

480 6 >



PTITUD M TEMÁTIC

9° de alumnos 6 7 > 6 8 ∴ ∆ 6 > 8 6 (

= Las operaciones efectuadas en lasoluci1n de este problema se pueden

resumir en4 x - 7 - *

7

9° ?lumnas 66075

40207560

−− x

6

>

Esta es la re"la pr!ctica del m@todo dela falsa suposici1n llamada OE5L? CELOPQRP que consiste en ubicar lainformaci1n del problema en los cuatrov@rtices del rombo de la si"uientemanera4

Q

9E MH

m

donde4

9E 4 9<mero total de elementos. Q 4 Qa%or valor unitario. m 4 menor valor unitario. MH 4 Malor total.

'i se desea calcular el n<mero deelementos que tienen el menor valorunitario se procede de la si"uientemanera4

9° 6m M

VT NExM

−−

Ejemplo 4 En una billetera $a% *billetes que $acen un total de 7soles. 'i solamente $a% billetes de % soles cu!ntas eran de cada clase2

Resolución4

x - * - 7

⇒ 9° billetes ('.) 61050

5605024

−− x

6 1 9° billetes ('.) 6 * 7 6 6

RE<LA CON=UN"A

Es un m@todo que nos permite

determinar la equivalencia de doselementos.

.3oceimien$o:

. 0olocar la serie de equivalenciasformando columnas.

. 3rocurar que en cada columna nose repitan los elementos; si serepiten cambiar el sentido de laequivalencia.

>. Qultiplicar los elementos de cadacolumna.

*. Cespejar la inc1"nita.

Ejemplo B4 'i * soles equivale a unalibra esterlina; > %enes equivale a libras esterlinas; marcos equivale a 7%enes; % , marcos equivale a 7pesetas.

/0u!ntas pesetas equivale a 7 soles2

Resolución4 '. * < > l.e. l.e. < > > %enes 7 %en. < > marcos , mar. < > 7 pesetas S pes. < > '. 7

*..7.,.S 6 .>..7.7 9 178&



PTITUD M TEMÁTIC

E=ERCICIOS

. 'e $a pa"ado una deuda de '. con monedas de '. % '.. Eln<mero de monedas de '. es

ma%or que la de '. en ./0u!nto suman las monedas de '. % '. 2

Opta ...........................................

. &n carnicero compr1 J" decarne a '. el J" despu@s de$aber vendido > J" a '. 8 el J"."uarda la carne por varios días % sele malo"ra el >T. /? como debevender el J" de lo que le queda

para "anar en total ** soles2Opta ...........................................

>. 0ompre varios radios port!tiles por8; vendí parte de ellos en, a 7 cada radio perdiendo en cada uno. /? como debovender cada uno de los restantespara que pueda "anar en laventa total2

Opta ...........................................

*. &n tanque de a"ua de *mU decapacidad puede ser desa"uadomediante > bombas ? R % 0colocadas equidistantemente dearriba $acia abajo; los caudalesrespectivos son de >; %mUmin. 'i estando lleno el tanquese ponen en funcionamiento lasbombas. /En que tiempo ser!desa"uado totalmente2

Opta ...........................................

. 3ara la elecci1n de la VuntaCirectiva del mejor equipo delmundo AHPCP '3POHB sepresentaron tres listas ? R % 0 $ombres no votaron por 0; mujeres no votaron por R; ,$ombres votaron por 0; 8 votaron? % $ombres votaron por R./0u!ntos fueron los votantes % que

lista "an1 si votaron por R2Opta ...........................................

7. &n 1mnibus que $ace surecorrido de Lima a Duaral % en unode sus viajes recaud1 en total lasuma de '. 8. El precio <nico delpasaje es de '. 7. cualquiera

que sea el punto donde baje o subael pasajero; cada ve# que baj1 unpasajero subieron > % el 1mnibuslle"o a Duaral con pasajeros sedesea saber el 9: de pasajeros quellevaba el 1mnibus al salir de Lima

Opta ...........................................

. Dallar el ma%or de dos n<merossabiendo que la suma es el m!ximo

n<mero de > cifras % su diferenciaes el m!ximo n<mero de cifras.

Opta ...........................................

8. En una fiesta en la cual $a% *personas la primera dama baila con caballeros; la se"unda dama con8; la tercera con nueve % así sucesivamente $asta que la <ltimabaila con todos los caballeros.

/0u!ntos caballeros asistieron2

Opta4..........................................

,. 'i le pa"o '. a cada uno demis empleados me faltarían '.* pero si s1lo le pa"o '. 8 mesobrarían '. 7. /0u!ntosempleados ten"o2

Opta4..........................................

. &n padre va al cine con sus $ijos %al sacar entradas de '. > observaque le falta para > de ellos %entonces tiene que sacar entradasde '. . ?sí entonces entrantodos % a<n le sobran '. >/0u!ntos eran los $ijos2

Opta4 ........................................

. Qientras iba al mercado a vendersus sandías un comerciante



PTITUD M TEMÁTIC

pensaba4 si los vendo cada uno a'. 8 me comprar@ mi terno % mesobrar!n '. 7; pero si los vendo a'. cada uno me sobrarían '.,lue"o de comprarme mi terno. /Nu@

precio tiene el terno2

Opta4 .........................................

. 3ara "anar '. 8 en la rifa deuna radio se $icieron , boletosvendiendo <nicamente %ori"inando una p@rdida de '. ./0u!l es el valor de la radio2

Opta4 .........................................

>. ? un n<mero le sumamos ;lue"o lo multiplicamos por alresultado le sumamos * %obtenemos * como resultado final.Ce qu@ n<mero se trata.

Opta4 .........................................

*. 'e tiene un n<mero de dos cifrasal cu!l se le multiplica por * lue"o

se le suma >7 se le divide entre nuevamente lo multiplicamos por >para al final restarle >> obteniendocomo resultado final el m!ximon<mero de cifras. Car comorespuesta la suma de las cifras dedic$o n<mero.

Opta4..........................................

. 3aquito $a pensado un n<mero

en la cu!l le reali#a las si"uientesoperaciones consecutivas; le a"re"a a este resultado lo multiplica por *lue"o le merma * este resultado leextrae la raí# cuadrada lue"o lodivide entre % por <ltimo le quitauno; obteniendo como resultadofinal uno. /0u!l es el n<mero2

Opta4 .........................................

7. &na niGa esco"i1 un n<mero conel cual reali#1 las si"uientesoperaciones en el orden

mencionado4 lo elevo al cuadradorest1 tres a la potencia dividi1entre dos la diferencia elev1 al cuboel cociente le a"re"1 nueve a lapotencia le extrajo la raí# cuadrada

a la suma % finalmente multiplicopor , la raí# obteniendo de estaforma *. 0alcular el duplo deln<mero ele"ido.

Opta.4 ......................................

. Cos ami"os decidieron ju"ar unapartida de cartas con la condici1nque el que pierda duplicar! el dinerodel otro. 'i cada uno $a perdido una

partida qued!ndole a cada uno'.*. /0u!nto tenían inicialmentecada uno2

Opta4 .........................................

8. ? R 0 deciden ju"ar teniendo encuenta la si"uiente re"la que elperdedor deber! duplicar el dinerode los dem!s. 3ierden en el ordenindicado % al final quedaron comosi"ue ? con '. 7 R con '. * % 0con '. 7. /0u!nto tenía ? alprincipio2

Opta4 WWWWWWWWWWWWWWWW

,. Hres ami"os est!n ju"ando con lacondici1n que aquel que pierdadeber! duplicar el dinero de losotros dos. 'i cada uno $a perdidouna partida qued!ndole lue"o de latercera partida con '. 7 cu;

dí"ase cu!nto tenía inicialmentecu.

Opta4WWWWWWWWWWWWWWWWWWW



PTITUD M TEMÁTIC

La facultad de observaci1n % percepci1nde cambios en muc$as situacionesvisuales est! unida con la l1"ica % lamemoria. Es necesario por esoplantearse este tipo de situaciones talescomo las que aparecen en esta listapreliminar4- 0omparar dos objetos para notar

si son id@nticos- Encontrar un objeto oculto

bas!ndose en un modelo.- Enumerar % contar el conjunto de

objetos observados- Cescubrir el tra#o de un recorrido

oculto.- Ele"ir un recorrido 1ptimo entre

varias rutas disponibles etc.3ara al"unos de estos problemas sedispone de ciertos m@todos sistem!ticoso al"unas f1rmulas pre establecidasmientras que para otros s1lo podemos

contar con nuestra intuici1n eima"inaci1n para obtener la soluci1n.Daremos entonces un estudio porseparado de los casos que se conocen.

I' CON"EO DE !I<URASEjemplo 1: /0u!ntos tri!n"ulos se puedenobservar en la fi"ura2

?

C D E

Resolución:

3odemos contar de dos formas4

. 'i utili#amos los v@rtices paraidentificarlos tendremos lossi"uientes tri!n"ulos4?RE ?R0 ?0C ?CE ?RC % ?0E6 $3i4n5ulos

. 'i s1lo observamos % utili#amosnuestra memoria re"istramos estasim!"enes4

> *

7

Los n<meros indican los 7 tri!n"ulosreconocidos.

Ejemplo 2: /0u!ntos tri!n"ulos $a% enla fi"ura2

Resolución:?si"n!ndole letras a las fi"uras m!spequeGas

a b c " f d e $

Henemos que la cantidad de tri!n"ulosbuscados son4con letra a b c d " $ 7

letras ab; bc; ad; be; cf; de; f" > letras abc; cf$

* letras abde; def"; def$ > letras bcef$ letras abcdef$



PTITUD M TEMÁTIC

⇒ Hotal 6 Ejemplo &: /0u!ntos se"mentos $a%en la si"uiente fi"ura2

? R 0 C E

Resolución :'i asi"namos a cada uno de lospequeGos se"mentos una letra (e)tenemos4

e e e e

? R 0 C E

0on letra4 * se"mentos0on letras4 > se"mentos0on > letras4 se"mentos0on * letras4 se"mento.

Hotal de se"mentos4' 6 * + > + + 6

1' 6 + + > + * 6

'umando miembro a miembro4 ' 6 +++ 6

Es decir que para * AeB tenemos4

S 92

)5(4 9 17

5enerali#ando para AnB espaciostenemos

No$%4 Esta expresi1n matem!ticapodemos aplicarla a otras fi"urassiempre % cuando cada se"mento"enere la fi"ura pedida.

Ejemplo *4 0u!ntos tri!n"ulos $a% enla fi"ura2

9° 'e". 62

)1( +nn



PTITUD M TEMÁTIC

Resolución4 Pbservamos que cada uno de losse"mentos en la base del tri!n"ulo"enera a su ve# una fi"ura pedida.Entonces para n 6 9F

tri!n"ulos 62

)6(5 6 1

Ejemplo 4 0u!ntos cuadril!teros $a%en la fi"ura2

Resolución: 0alcularemos primerolos cuadril!teros que $abrían sin laslíneas $ori#ontales interiores % lue"olos cuadril!teros que $abrían sin laslíneas verticales interiores.Es decir4

9F de cuadril!teros 62

)5(4 6


)4(3 6 7

Lue"o al superponerlos se multiplican

⇒ 9F cuadril!teros 6 17 9 7

II' !I<URAS DE "RAFOCON"INUO

Es posible dibujar al"unas fi"uras contra#o continuo esto es sin recorrer dosveces la misma línea % sin levantar ell!pi# del papel. 0on otros resultaimposible $acerlo.

Ejemplo : /0u!les de las fi"urassi"uientes se puede dibujar con un solotra#o2

a b

c d

'1lo las fi"uras a b % d se puedendibujar de un solo tra#o.La fi"ura AcB es imposible tra#arla amenos que se repita un se"mento.

= Las ra#ones se basan en una teoríaque se conoce desde la @poca deLeon%3 Eule3 (,) % de la cualextraemos al"unos principios.

- 3ara que una fi"ura se pueda dibujarde un solo tra#o; es decir sin levantar ell!pi# del papel % sin repetir nin"unalínea es necesario estar en al"uno delos si"uientes casos4

C%so I4 Hodos los v@rtices de la fi"uradada deben ser pares; entendi@ndosecomo v@rtice par aquel punto o nudodonde concurren un n<mero par delíneas.La tra%ectoria del tra#o debe iniciarse enal"uno de los v@rtices % concluir en elmismo.

C%so II4 La fi"ura debe tener s1lo dos

v@rtices impares.



PTITUD M TEMÁTIC

La tra%ectoria del tra#o debe iniciarse enuno de los v@rtices impares % concluir enel otro v@rtice impar.

- 0ualquier otra situaci1n diferente alos dos casos no da lu"ar a reali#arla fi"ura de un solo tra#o.

- 'i deseamos dibujar de un solotra#o una fi"ura con mas de dosv@rtices impares repetiremos como

mínimo2

2−i líneas; donde AiB es el

n<mero de v@rtices impares.

Ejemplo B: /0u!les de las si"uientesfi"uras se pueden "raficar de un tra#osin levantar el l!pi# ni pasar dos vecespor la misma línea2

? R 0

Ejemplo 6: 0omo mínimo una araGaemplea minutos en recorrer todas las

aristas de un cubo construido dealambre de 7 cms. de lon"itud. /0u!les el tiempo que emplea en recorrer unaarista2

Resolución:3ara emplear el mínimo tiempo enrecorrer una arista la araGa debe iniciarun recorrido en uno de los [email protected] a que los 8 v@rtices son imparesno podr! $acer el recorrido sin repetir

al"unos de ellos.⇒ el mínimo de aristas que repite en su

recorrido ser!42

28 − 6 >

∴ recorri14 + > 6 aristas

Oesolviendo por re"la de tres simpletenemos4

aristas min X Y > se". arista x

x 615

3001 x 6 27 se5

.ROLEMAS .ARA RESOL/EREN CLASE

. 0alcular el n<mero de tri!n"ulos

en la fi"ura

Opta. ....................

.

Opta. ....................

>.

Opta. ....................

*.

Opta. ....................

. 0alcule el n<mero de se"mentos

A Ñ O 2 0 0 4

Opta. ....................



PTITUD M TEMÁTIC

7.

Opta. ....................

.

Opta. ....................

8.

.

.

.

99

1

3

5

2

4

.

.

.

98

100

Opta. ....................

,. 0alculo del 9: de cuadril!teros

Opta. .....................

Opta. ....................

.

Opta. ....................

. /0u!ntos cuadrados se puedencontar como m!ximo en untablero de ajedre#2

Opta. ....................

>. /0u!ntos cuadrados se4

a) Pbservan en la si"uiente fi"ura

b) /0u!ntos cuadril!teros que noson cuadrados $a% en la fi"ura2

Opta. ....................

*./0u!ntos a"udos se pueden contar

en las si"uientes fi"uras2

a) b) A

B

C

D

E

F

o

Car como respuesta Aa + bB

Opta. ....................

. /0u!ntos cubos como m!ximo$a% en el si"uiente s1lido2

Opta. ....................



PTITUD M TEMÁTIC

7. /0u!ntos cubos se contar!n comom!ximo en el si"uiente s1lido2

Opta. ....................

. 3ara esta torre de > pisos se $anutili#ado >7 cubos. /0u!ntoscubos ser!n necesarios paraconstruir una torre similar de pisos2

Opta. ....................

8. /0u!ntas de las fi"uras si"uientesse puede dibujar con un solo tra#ocontin<o ni pasar dos veces poruna misma línea2

(Z) (ZZ) (ZZZ) (ZM)

(M) (MZ) (MZZ) (MZZZ)

Opta. ....................

,. ?quí mostramos los planos deciertos departamentos. /0u!l ocuales de ellos se prestan parapasar por todas las puertas deuna sola ve# empe#ando %terminando afuera2

() ()

. /0u!ntas rutas mínimasdiferentes se tiene para lle"ar alpunto ARB partiendo de A?B2

B

A

A

B

(Z) (ZZ)

. Ce cu!ntas maneras puedo leer AZ95OE'PB en la si"uientedistribuci1n

I

N N

G G G

R R R R

E E E E E

S S S S S S

O O O O O O O



PTITUD M TEMÁTIC

TAREA DOMICILIARIA

. En la fi"ura /0u!ntos tri!n"ulos$a%2

a) 8

b) ,

c)

d)

e)

. /0u!ntos cuadril!teros $a% en lafi"ura2

a) 7 b)

c) 8

d) ,

e)

>. En nuestro tablero de ajedre#tra#amos la dia"onal principal/0u!ntos tri!n"ulos contaremoscomo m!ximo2

a) b) 87 c) ,8d) e) 7

*. /0u!ntos cuadril!teros que por lomenos ten"an un asterisco $a% enla si"uiente fi"ura2

a) >7 b) *, c) d) 8 e) 7,

. /0u!ntos tri!n"ulos $a% en lasi"uiente fi"ura2

a)* b)*8c) d)7e)

7. /0u!les de las si"uientes fi"urasse puede dibujar sin levantar ell!pi# del papel ni pasar dosveces por la misma línea2(Zndicar 'i o 9o)

. /0u!ntos sectores circularespresentan en su interior un =2

*

*

*

*

Opta. ....................

8. /0u!ntos cuadril!teros $a% comom!ximo en cada una de lassi"uientes fi"uras2

.

.

.

n

n+1

1

2

3

.

.

.

,. /0u!ntos tri!n"ulos se contar!nen la si"uiente fi"ura2

a),

b)

c) >

d)

e)



PTITUD M TEMÁTIC

. /0u!ntos tri!n"ulos se puedencontar en la si"uiente fi"ura2

a)

b) c) ,

d)

e) >

. /0u!ntos cuadril!teros $a% enesta fi"ura2

a) >

b) >c) >,d) *e) *

. Ce cu!ntas formas se podr! leerla palabra A&9?0B

a) 7

b) 8

c) d)

e) *

Opta. ....................

>. /0u!ntos tri!n"ulos % cu!ntoscuadril!teros $a% en la fi"ura2

a) ; b) ; 8c) ; d) 8; e) ; 8

*. 'e tiene monedas de las mismasdimensiones. El n<mero m!ximo

de monedas tan"entes dosadasque pueden colocarsetan"encialmente alrededor de unade ellas es4

a) * b) c) 7 d) e) 8

CONCE."O: Es un procedimientomatem!tico que sirve para transformarsujeto a ciertas re"las una o variascantidades en otras; bas!ndonos en elprincipio de valor num@rico; es decircambiando letras por n<meros.

O.ERADOR: Es un símbolo arbitrarioque sirve para representar a unadeterminada operaci1n matem!tica %esta sujeto a una determinada re"la dedefinici1n.

O.ERACIGN MA"EMA"ICA: 0onsisteen la asociaci1n de una pareja den<meros para obtener uno nuevo quees resultado de la operaci1n. Laadici1n sustracci1n multiplicaci1n %

divisi1n son ejemplos de operacionesmatem!ticas. 'e pueden definirHnue>%s ope3%ciones asi"n!ndoles

un operador que las distin"a de las que%a conocemos emple!ndose por lo"eneral un asterisco (=) o cualquierotro símbolo. 9o debemos olvidar quecada AnuevoB operador debeacompaGarse de la re"la o le% deformaci1n que la define.

ES"RUC"URA: Pperador

a = b 6 a + b + ab

Pperaci1n binaria Le% de formaci1n

Ejemplo 14 'i se define la operaci1na ♥ b se"<n la re"la si"uiente4

a ♥ b 6 a + b + abDallar4 > ♥

Resolución:

U

A

N

N C

A

U

C

C A U N

UC N A



PTITUD M TEMÁTIC

3ara operar > ♥ ;reempla#amos a 6 > % b 6 ; en lare"la de definici1n dada4⇒ > ♥ 6 > + + ( > x )

6 8 + () 6 8 + > 6 &6• NO"A:

'i se trata de operar ( ♥ ) ♥ *se procede por partes % desde lossímbolos de colecci1n; es decirempe#ando por la pareja entrepar@ntesis.

O.ERACIONES DE!INIDAS .OR "ALAS:En lu"ar de una le% de formaci1n para

obtener el resultado la operaci1nbinaria puede presentar estosresultados en una tabla.

Ejemplo 2: 3ara n<meros enterosdefinimos las si"uientes operaciones4

a = b 6 a b ;a # b 6 >[ - b; %

a ∆ b 6 a +>b

'i x = x 6 ;% # % 6 - ;

Dallar el valor de x ∆ % ; para x e %positivos

Resolución4?plicando la operaci1n a= b en x = xtenemos4x - x 6 x - x 6

( x * ) ( x + > ) 6 ⇒ 9 (J x 6 ->

?plicando la operaci1n a # b en % # % tenemos4>% % 6 - % >% 6 (% ) (% + ) 6 ⇒ + 9 ; % 6 -∴ como e + een se3 posi$i>os:

∆ + 6 * ∆ 6 (*) + > () 9 2&

Ejemplo &: Cada la tabla

=

> *

8 8 >

,

Dallar4 [ ( 8 = ) = ] =

Resolución43artimos de la operaci1n binaria a = bde modo que el primer elemento seubica en la primera columna % else"undo elemento en la primera fila.3or lo que el resultado de 8 = seubica en la intersecci1n de estosn<meros.

=

8 8

Es decir que4 8 = 6 8⇒ nos queda ( 8 = ) = 3rocediendo de manera semejantetenemos que 8 = 6 >\inalmente4 > = 9 (

Ejemplo (:

'e define la operaci1n a ∇ b se"<n latabla adjunta.∇ > *

> *

> *

> > * 7

* * 7

Dallar4 ( * ∇ ) ∇ ( 7 ∇ > )



PTITUD M TEMÁTIC

Resolución:En la tabla no encontramos el resultadopara * ∇ ; pero como los elementosdistribuidos en el interior de la tablason resultados de una le% de formaci1npara una operaci1n binaria nuestratarea ser! a$ora $allarla.

Ce la tabla observamos que4

∇ > 6 > que proviene de + > - ∇ * 6 + * * ∇ > 6 7 * + >

5enerali#ando4

% ∇ 9 % K 1

⇒ * ∇ 6 * + 6 7 ∇ > 6 7 + > 6 8

\inalmente4 ∇ 8 6 + 8 6 1B

O.ERACIONES COMO !UNCIONES:3robablemente se recordar! la típicafrase Af de xB; de ciertas tareasescolares que usualmente escribimos

Af(x)B; esta notaci1n es la funci1n.9o parece evidente pero cada operadores una funci1n en la que empleamos xpara indicar lo que in"resa como dato %f(x) para indicar lo que se obtiene (elresultado)

?sí la operaci1n4

6 x +

'e puede escribir4

f (x) 6 x +

Cel mismo modo4

S]I 65

23 Y X −

'e puede escribir4

f (SI) 6523 Y X −

Ejemplo : 'i definimos4f (x ) 6 x + Dallar4 f() + f()

Resolución43or comparaci1n $acemos que4'i x 6 ⇒ f() 6 . + 6 >

'i x 6 ⇒ f() 6 . + 6 Lue"o4 f() + f() 6 > + 6 (

Ejemplo : 'i \(x + ) 6 x - Dallar4 \(>x )

Resolución4

En este tipo de problemas se"uiremos

el si"uiente procedimiento4- Z"ualamos los dos ar"umentos

x + 6 & 2- Cespejamos el AxB que nos dan en

funci1n de la H que nos piden

x 6 & &

x 62

33 − x

- \inalmente reempla#amos en lafunci1n que nos dan

Es decir4 \(>x ) 6

2

33 − x - 6

2

53 − x

OPERACIONES COMPUESTAS

0onsiste en combinar dos o masoperadores con sus respectivas le%esde formaci1n inclu%endo en una deellas una operaci1n desconocida; la cual$a% que definirla empleando lasoperaciones dadas.Ejemplo B: 'e define en los O4

6 a(a + *)

6 *x - *

0alcular

x

a

>



PTITUD M TEMÁTIC

Resolución4

?l no tener definida la operaci1ntri!n"ulo debemos despejar de lase"unda expresi1n aplicando la

primera; es decir4

6 + *

3ero por definici1n de la se"undaoperaci1n tenemos4

* x * 6 + *

+ * 6 * S - *

+ * + ** 6 * S * + **

+ 6 * S + *

+ 6 1044 + X

6 26+ X -

⇒ ?plicando la re"la de formaci1n deesta nueva operaci1n4

6 2623 + - 6 x

9 2

Ejemplo 6: 'e define las operaciones

6 n

6

Dallar AxB en4

6 -

Resolución4Oeempla#ando la primera operaci1n enla se"unda tenemos4

6 ( n ) 6 *n

Entonces resolviendo por partes

6 * (7) 6 *

Oeempla#ando en

6 6 (*) 6 2&

Lue"o4

6 (>) 6

Oeempla#ando en4

6 6 * () 6

Por lo tanto:

6 > ( - 7 ) 6 ,

\inalmente; aplicando tenemos

x 6 , ⇒ 9 1B

x x x

x

X

X

X

x

X

X

X

>

S

n

7

7 *

>

n

n n

x 7 >

>

x



PTITUD M TEMÁTIC

O.ERACIONES INARIAS0onsiste en la asociaci1n de un par deelementos de un conjunto para obteneruno nuevo que es resultado de laoperaci1n.

3ueden emplearse diferentes si"nospara indicar una operaci1n binaria; lasm!s usadas son4 =; #.

= 0uando el resultado de la operaci1nes un elemento del conjunto departida se dice que el conjunto escerrado (0) respecto a la operaci1ndefinida; en caso contrario se diceque el conjunto es abierto (?)respecto a la operaci1n.

Ejemplo4 en el campo de l9 > + * 6 ∈ l9 → 0

> - * 6 - ∉ l9 → ?

> x * 6 ∈ l9 → 0

> ÷ * 6 ∉ l9 → ?

= 3ropiedades4

. Conmu$%$i>%4 ab ∈ Q

a=b 6 b=a

. Asoci%$i>%4 abc ∈ Q

(a=b)=c6a=(b=c)

>. Dis$3iu$i>%4 abc ∈ Q

a=(b]c) 6 (a=b) ] (a=c)

En este caso la operaci1n = esdistributiva respecto a la operaci1n ]

*. Elemen$o neu$3o a ∈ Q ∃ ea= e 6 a

e 4 elemento neutro

• En el caso de la adici1n e 6 ⇒ a + 6 a

• En el caso de la Qultiplicaci1n e 6 ⇒ a x 6 a

' Elemen$o in>e3so

a ∈ Q ∃ a- a =a- 6 e

a-

4 Elemento inverso

En el caso de la adici1n.a- 6 -a ⇒ a+(-a) 6

En el caso de la multiplicaci1n

a- 6a

1 ⇒ a.

a

16

Ejemplo *: 'e define la operaci1n =mediante la s"te. tabla4

= a b 0 da c d ? bb d a R cc a b 0 dd b c C a

Dallar AxB en4 a- = b- 6 x = c

Resolución:

o 0alculamos el elemento neutro

a = 6 a ⇒ 6 c

o Qarcamos en la tabla c

= a b c da c d a bb d a b cc a b c dd b c d a

>o Dallamos los inversosrespectivos

a- 6 ab- 6 dc- 6 cd- 6 b

⇒ a-=b- 6 x = ca=d 6 x = c

b 6 x = c∴ 9



PTITUD M TEMÁTIC

Ejemplo 17: 'i se define la operaci1nmediante la tabla adjunta

= 7

7

7 7

7Dallar4 (- = 7-) =

Resolucióno 0alculamos el elemento neutro

= 6 ⇒ 6 o Ce la tabla obtenemos los inversos

de % 7- 6 7 6 ⇒ (- = 7-) = 6 (=) =

6 = 6

E=ERCICIOS

. 'i4 p ] q 6 q pDallar4E 6 (>]) ] (]7)

Opta4 ..............................

. 'i (x + ) = % 6 x(% + ) Dallar4 > = 7

Opta 4 .............................

>. 'i4 m = n 6 m + >n -

Dallar AxB en 4(x ) = (x + ) 6

Opta4 ..............................

*. 'i4

a ^ b 63

ba − ; a Y b

a ^ b 64

ab − ; a X b

Dallar4 E 6 ( ^ 8 ) ^ ( ^ > )

Opta4 ..............................

. 'i4 f(x) 6 x> - "(x) 6 x +

Dallar4

E 6 f (" ( f ( " ( - ) ) ) )

Opta4 ..............................

7. 'i4 ] a b c da a a a a

b a b c d c a c c a d a d a d

Dallar (a ] c) ] a + (b ] d) ] c _ (a ] b) ] ( c ] d )` ] d

Opta4 ..............................

mn >mn. 'i4 m ] n 6

*n Dallar4

E 6 ] ] _ ] ( .... ) `

Opta4 ..............................

8. 'i4 6 ;

?dem!s

6 (a + a ) >; %

a = b 6 a . b-

Dallar4

=

Opta4 ..............................

,. 'i4 f(n) 6 n f(n-) ;

?dem!s f(7) 6

0alcular4 f() f()

Opta4 ..............................

a a

a

>



PTITUD M TEMÁTIC

. 'i4a = b 6 ( b = a ) - ab

0alcular4

62*3E =

Opta4 ..............................

. 'i4 6 *a

6 (a-) + *

0alcular4 = 8Opta4 ..............................

. 'i4

62

)1( +nn

0alcular A S A en4

6

? 6 S +

Opta4 ..............................

>. 'i4 3(x) 6 x + x% + x# + %#

0alcular4 )().().( o P z P y P

Opta4 ..............................

*. Dallar4 f ( f ( ))

'abiendo que4

3_ f (x+)] 6 x- %

3(x-) 6 x->

Opta4 ..............................

. 'i4

6 x - ,

6 x (x+7)

0alcular4

E 6 + -

7. 'ea la tabla4 ♥ > *

> ? * M O

0alcular4 ? + M + O

Opta4 ..............................

. 'e define4 a = b> 6 a b

0alcular4 ( *=) = (7 2 = )

Opta4 ..............................

8. 'abiendo que4

6 >x +

6 ,x

Dallar la expresi1n equivalente a

Opta4..............................

a = b

a

n

A

x

x

x-

x +

- 8x+



PTITUD M TEMÁTIC

,. 'i se define la operaci1nmediante la tabla adjunta

= > * 7

> 7 > * * > * 7

* 7 >

7 7 > *

Dallar x en4

(x-=>)-=(7-=*-)- 6 -

Opta4 ..............................



PTITUD M TEMÁTIC

En este capítulo vamos a plantearsituaciones en los que solonecesitaremos una pequeGa dosis deconcentraci1n para dar con la respuestadebida; sin necesidad de recurrir a lateoría matem!tica sino al sentidocom<n.

Meremos problemas sobre4- Hest de decisiones.- 0ortes % Estacas.

- 3arentesco (Oelaciones familiares)- Q!ximos % Qínimos. 0erte#as- Prden de Znformaci1n- Oa#onamiento l1"ico.- Oa#onamiento Znductivo-Ceductivo.

"ES" DE DECISIONES4Est! formado por problemas con unaparente caos en su redacci1n dondeexisten muc$os datos en desorden losque pueden ser ordenados por lo

"eneral en cuadros.

Ejemplo 1: En un club se encuentrancuatro deportistas cu%os nombres son4Vuan Qario Luis % Vor"e. Los deportesque practican son4 nataci1n b!squetf<tbol % tenis. 0ada uno jue"a s1loun deporte.- El naa!"# $%& &' "! & +%an# &' ,%a! &Ma"! a&' &' &l ' !&n &l "%!.- Luis que es el de m!s edad es vecino

del b!squetbolista quien a su ve# es unmujerie"o empedernido.- Vuan que es sumamente tímido conlas mujeres % es aGos menor que eltenista. /Nui@n practica b!squet2

Resolución:?nalicemos con cuidado4

• 'i el nadador es primo de Vuanentonces Vuan no es nadador.

• 0omo el nadador es cuGado deQario entonces Qario no esnadador.

• 0omo el nadador es el m!s jovenLuis no puede ser nadador (%a quees el de m!s edad).

• Luis no jue"a b!squet %a que esvecino del basquetbolista.

• Vuan es menor que el tenista lue"oVuan no es el tenista.

• Vuan no jue"a b!squet %a que elbasquetbolista es mujerie"o % Vuan

es tímido.0olocando en un cuadro todo loanali#ado tendremos4

9ataci1n R!squet \<tbol Henis

Vuan 9P 9P 9PQario 9PLuis 9P 9PVor"e

C!! ,aa &"'!na& "a,,a 'l! %n &!"&# &n,aa ,!l%na && a&" %n I &n ,aa laan: E'! a,& $%& ' %na la ,!l%na&n&n &n &'& ,a'! "&' &,&' ;O# &l ,%a"!,a'll&"! '& ,!l&a ,!n I.

Entonces el cuadro completo será:9ataci1n R!squet \<tbol Henis

Vuan 9P 9P 'Z 9PQario 9P 'Z 9P 9PLuis 9P 9P 9P 'ZVor"e 'Z 9P 9P 9P

3or lo tanto el que practica b!squet esM%3io.

COR"ES ES"ACAS:'i tuvi@ramos una varilla de cmnecesitamos $acer un corte para lo"rardos pie#as i"uales o dos cortes paralo"rar tres pie#as i"uales o tres cortespara lo"rar cuatro pie#as i"uales.Oepresentamos esto "r!ficamente4



PTITUD M TEMÁTIC

7 7

9F de 0ortes 6 66

12 -

* * *

9F de 0ortes 6 64

12 -

> > > >

9F de 0ortes 6 > 63

12 -

En el <ltimo ejemplo es la Lon"itudHotal (Lt) de la varilla % > es la Lon"itudde cada pie#a o Lon"itud &nitaria (L&)de modo que en "eneral4

= El 9F de 0POHE' que podemos$acer en una varilla estar! dado por lasi"uiente relaci1n4

* <a"a ,!n'&"a" &l &,! & ,!l!,a" !'&' !&'a,a'# ,aa ,&"a 'an,a: ,!! &n &l ,a'! &,!"&'# l! ,!n'&"a!' ",a&n&=

7 7

9F E'H?0?' 6 > 1 9F E'H?0?'66

12

+

* * *

9F Estacas 6 * 64

12 +

> > > >

9F Estacas 6 63

12 +

En "eneral 4

LH .......L& L& L&

Ejemplo 2: &n jo%ero cobra '. pordividir una barra de $ierro en dospartes. 0u!nto se tendr! que pa"ar sidebe partirla en peda#os2

Resolución:0on corte obtenemos peda#os cortes > peda#os

> cortes * peda#os4 4

⇒ 7 cortes peda#os∴ 3a"o 6 7 x 6 S8'&7

.ROLEMAS SORE .AREN"ESCO

?l"unos problemas l1"icos - deductivosinterro"an sobre el n<mero deinte"rantes de una familia sobre untipo especifico de relaci1n familiar etc.La resoluci1n en al"unos casosconsiste en tener presente que cadauno de nosotros dentro de nuestrafamilia desempeGa diferentes roles;

así se puede ser al mismo tiempopadre $ijo $ermano esposo etc.

9F 0POHE' 6 Lu

Lt -

Nº ESTACAS = Lu

Lt + 1



PTITUD M TEMÁTIC

Ejemplo &: En una familia se notan esposos $ermanos > sobrinas % >$ermanas. ?l menos cu!ntas personasconforman esta familia2

Resolución: A3or lo menosB A?l menosB sirven paraexpresar la mínima cantidad.

$ermanos

esposos

> $ermanas> sobrinas

⇒ Qínimo nF de personas 6

.ROLEMAS SORE MAIMOS MINIMOSEjemplo (: &na urna tiene bolas

ne"ras rojas % , amarillas. 0u!l esla mínima cantidad que debo sacar paratener al menos una de cada color2

Resolución4'upon"amos que la primera bola quese extrae es ne"ra (son las que mas$a%); lue"o necesito sacar una roja %finalmente una amarilla para tener unade cada color; pero la pr1xima puedese"uir siendo ne"ra % assucesivamente.3or lo tanto las primeras bolas que seextraen son las de color ne"ro; lassi"uientes ser!n las de color rojo %finalmente se sacar! una de coloramarillo.⇒ Rolas extraídas 6 + + 6 26

ORDEN DE INFORMACIÓN

Los principales casos son4

a) O3en%mien$o >e3$ic%l: se aplicapara el ordenamiento de alturas

tamaGos edades puntajesobtenidos por personas entre otros.

Ejemplo : Vudit$ es ma%or que 'us%.'oledad es menor que Vessica. 'us% esmenor que 'oledad. Nui@n es la menor2

Resolución4Vudit$

Vessica

'oledad 'us%

⇒ La menor es Sus+'

b) O3en%mien$o o3ion$%l4 seaplica para ordenamiento depersonas en una $ilera o sentadosen butacas o uno al lado de otro;para autos en $ilera entre otros.

Ejemplo : 'eis ami"os4 ? R 0 C E\; se sientan en seis asientosconti"uos en el cine. ? se sienta junto %a la i#quierda de R; 0 est! a la derec$ade ? entre \ % C; C est! junto % ala i#quierda de E; \ est! a la i#quierdade E. Nui@n ocupa el cuarto asiento silos contamos de i#quierda a derec$a2

Resolución:&bicando de acuerdo a la informaci1ntenemos4 Z#quierda Cerec$a

? R \ 0 C E

⇒ el *F asiento es ocupado por C

c) O3en%mien$o ci3cul%34 se aplicacuando un conjunto de seres seordenan alredor de una mesacircular o eliptica o jue"an a laronda.

Ejemplo B: 'eis ami"os est!nsentados alrededor de una mesaeliptica. 'i se sabe que Luis no est!sentado al lado de Enrique ni de Vos@.\ernando no est! al lado de 5ustavo ni

3?3? Q?Q? HZP

> DZV?'



PTITUD M TEMÁTIC

de Vos@. Enrique no est! al lado de5ustavo ni de \ernando. 3edro est!sentado junto a Enrique a su derec$a.Nui@n est! sentado a la i#quierda deEnrique.

Resolución:&bicando de acuerdo a la informaci1ntenemos4

⇒ =OS- es el que est! sentado a lai#quierda de Enrique.

RAFONAMIEN"O LG<ICO:? continuaci1n abordaremos problemasque no requieren de al"una teoríamatem!tica compleja s1lo nuestrosentido l1"ico.

Ejemplo 6: QaGana ser! el a%er delantes de a%er del maGana del s!bado.Nue día fue a%er2

Resolución:Empe#amos por el final; es decir4QaGana del s!bado 4 Comin"o.?ntes de a%er del domin"o4 Miernes?%er del viernes 4 Vueves.

⇒ QaGana ser! jueves Do% es Qi@rcoles.

∴ ?%er fue MAR"ES.

RAFONAMIEN"O INDUC"I/O Es aquel tipo de ra#onamiento quepartiendo de casos particulares lle"a auna conclusi1n en "eneral4

Ejemplo *: /0u!ntos tri!n"ulossimples en total $a% en la fi"ura2

Resolución:'i asi"namos letras a las fi"uraspequeGas ellas s1lo serían lostri!n"ulos simples.

⇒ 0ontando en forma acumulada porfilas tendremos4 Dasta la fila4 Hotal de tri!n"ulos4

6

* 6

> , 6 >

* 7 6 *

4 4

∴ Hendremos en total (77 tri!n"ulos

simples.

RAFONAMIEN"O DEDUC"I/O

Es aquel tipo de ra#onamiento quepartiendo de una conclusi1n "eneral selle"a a verificar una premisa particular.Ejm 17: Los $ijos de la seGora0armela son inteli"entes. Laura es $ijade la seGora 0armela.

⇒ L%u3% es in$eli5en$e'

E

F

L

G

P

J

1

2

19

3

20



PTITUD M TEMÁTIC

E=ERCICIOS

. Hres $ombres se encuentran en lacalle4 el seGor 3rado el seGorZ"lesias % el seGor Qercado.El seGor 3rado dice4

- A&no de nosotros vive al costadode un prado otro al costado deuna i"lesia % otro al costado deun mercado pero nin"uno viveal costado del sitio que lleva sunombreB

- A3ues es verdadB dice el $ombreque vive al costado de unmercado

/3odrías decir al costado de qu@ viveel seGor Z"lesias2

Opta4WWWWWWWWWWWWWWWW

. Oa<l 0arlos 3edro % Qi"uel tienendiferentes ocupaciones4

- Oa<l % el profesor est!n enojadoscon Qi"uel.

- 0arlos es ami"o del in"eniero- El m@dico es mu% ami"o de

3edro % del Zn"eniero.- Oa<l desde mu% joven se dedic1

a vender abarrotes/0u!l es la ocupaci1n de 3edro2


>. Qanuel es * aGos menor que?lberto Oa<l es un aGo ma%or que3edro Oa<l es aGos menor queVuan % ?lberto es aGos ma%or queVuan. ?l restar la edad de ?lberto %

la edad de 3edro obtenemos4


*. 'e sabe que las profesiones de?dela 0armen Katt% % 'onia sonarque1lo"a abo"ada odont1lo"a %profesora aunque nonecesariamente en ese orden.?dela est! casada con el $ermanode la abo"ada. 0armen % la

profesora van a trabajar en lamovilidad de la abo"ada. Lassolteras de Katt% % la arque1lo"a

son $ijas <nicas. 0armen % 'oniason ami"as de la odont1lo"a lacual est! de novia. /Nui@n es laabo"ada2

Opta4WWWWWWWWWWWWWWWW

. En una reuni1n del directorio deuna empresa se encuentran4 elpresidente el vicepresidente elsecretario % un trabajador de laempresa cu%os nombres (nonecesariamente en ese orden) son4Emilio Oicardo 'amuel e Znocencio'e sabe4

- 'amuel % el trabajador son mu%ami"os.

- Oicardo es primo del secretario- Emilio % el vicepresidente no se

llevan bien- El presidente % el trabajador son

ami"os de Znocencio.- El secretario se llama Emilio/Nui@n es el presidente % qui@n es eltrabajador2


7. 0uatro ami"os viven en un edificiode cuatro pisos. ?rturo vive en elprimer piso Qario vive m!s abajoque Vor"e % ill% vive un piso m!sarriba que Qario. /En que piso viveVor"e2


. En cierto campeonato de f<tbol (a

una sola rueda) la si"uiente tablamuestra las respectivas posicionesde cada equipo.

Equipos 3V 35 3E 33 3untos?? 7 7 8RR 7 00 7 > CC 7 * 7EE \\ > *55 7 *

?l <nico que derroto AEEB fue4




PTITUD M TEMÁTIC

8. ?rmando Renito 0arlos % Canielpractican los si"uientes deportes4nataci1n atletismo f<tbol % tenis %viven en los distritos de Los PlivosRreGa 'an Rorja % Qiraflores. 'esabe4

- 0arlos no vive en los Plivos ni enRreGa.

- El atleta vive en los Plivos- ?rmando vive en Qiraflores- Caniel es futbolista- El nadador nunca $a emi"rado

de 'an Rorja/Nu@ deporte practica ?rmando2


,. ? una fiesta fueron invitadas tresparejas de esposos % de ellos setiene la si"uiente informaci1n4

- Da% dos colombianos dosbolivianos % dos panameGos(var1n o mujer)

- ?lberto es colombiano % laesposa de Qi"uel es panameGa.

- 9o $a% dos $ombres de la mismanacionalidad.

- 9o $a% una pareja de esposos dela misma naci1n.

/Nu@ nacionalidad tiene Qi"uel %que nacionalidad tiene la esposa deOoberto2


. Hres parejas de esposos asistenal matrimonio de un ami"o. Ellosson Vor"e; ?lberto % Psaldo % ellas

son4 Oosa Qaribel % Lourdes. &nade ellas fue con un vestido ne"rootra de a#ul % la otra de rojo. Laesposa de Vor"e fue de ne"ro;Psaldo no bail1 con Qaribel ennin"<n momento. Oosa % la delvestido a#ul fueron al matrimonio deLourdes. ?lberto es primo deLourdes. Vor"e % el esposo deLourdes siempre se re<nen con el$ermano de ?lberto. Entonces es

cierto que4


. Hres estudiantes de DistoriaEconomía e Zn"eniería vivenen 0$icla%o Lima % ?requipa.

• El primero no vive en Lima niestudia Zn"eniería.

• El se"undo no vive en 0$icla%o %estudia Economía

• El Distoriador vive en ?requipa./Nu@ estudia el tercero % d1ndevive2

Opta. ..........................................

.0olocar en las casillas los dí"itos del al 8 de modo que n<meros

consecutivos no sean conti"uos nipor un lado ni por el v@rtice. 0u!les la suma de las casillas conasterisco (=)2

Opta. ..........................................

>.'e tiene , bolas de billar de unmismo tamaGo % de un mismo pesoa excepci1n de una bola que pesam!s. Empleando una balan#a de dosplatillos sin pesas cu!ntas pesadasdeben $acerse como mínimo paraencontrar esa bola2

Opta. ..........................................

*.Expedici1n 4 3laneta L Ri1lo"o 4 3rofesor K Znforme 4 AEl tercer día vimos

seres extraGos aunque tienen veintededos en total como nosotrostienen una extremidad menos % undedo m!s en cada extremidad loque les da por cierto un aspectoespantosoB /0u!ntas extremidadestienen los seres del planeta L2

Opta. ..........................................

*

*



PTITUD M TEMÁTIC

. 'eis $ombres % dos muc$ac$astienen que cru#ar un río en unacanoa en cada viaje puede ir unode los $ombres o las dosmuc$ac$as pero no un $ombre %una muc$ac$a a la ve#. / 0u!l esel n<mero de veces que la canoatiene que cru#ar el río encualquier sentido para pasen atodos2

Opta. ........................................

7. Qila"ros al acordarse de unapersona se puso a pensar de lasi"uiente manera4 AIo lo conocí unviernes a los tres viernessi"uientes discutí con @l % lo dejede ver lo extraGo muc$o porqueson cinco viernes que no lo veo/Nu@ fec$a lo conoci1 si $o% esComin"o > de Qa%o2B

Opta. .......................................

. 'eis personas jue"an al p1Jeralrededor de una mesa circular.

Luis no est! sentado al lado deEnrique ni de Vos@; \ernando noest! al lado de 5ustavo ni de Vos@;Enrique no est! al lado de 5ustavoni de \ernando. 'i 3edro est! junto a Enrique qui@n est! alfrente de Luis2

Opta. .......................................

8. En un aro de m de lon"itud sedesea reali#ar cortes cada metrode lon"itud / 0u!ntos cortes seefectuar!n2

Opta. .......................................

,. 3ara encerrar un terrenorectan"ular se sabe que sepueden colocar 8 % columnaspor lado % a cada *m colocandouna columna en cada v@rtice

/0u!l es el perímetro del terreno2

Opta. .......................................

. 'obre una mesa $a% > naipes en$ilera.

'i sabemos que4- ? la i#quierda del re% $a% un ?s- ? la derec$a de una jota $a% un

diamante.- ? la i#quierda del diamante $a%

un tr@bol- ? la derec$a del cora#1n $a% una

jota./0u!l es el naipe del medio2

Opta. ......................................



PTITUD M TEMÁTIC

<LA;TEO DE EC>ACIO;E3ara resolver un problema relativo an<meros o cantidades desconocidas sedebe expresar una informaci1n escritaen idioma normal en el simplificadoidioma de las proposicionesmatem!ticas las cuales nos permitenoperar con m!s comodidad % rapide#que otros procedimientos. Esto implicareali#ar una especie de traducci1n desituaciones de la vida real alsimbolismo matem!tico tarea queconstitu%e el ar"umento m!s <til entodo el proceso de soluci1n.? continuaci1n presentamos un listadode frases típicas que suelen aparecer enlos problemas % a un costado surespectiva traducci1n matem!tica4

El resultado de sumarun n<mero a + S

La suma de al"<nn<mero % > + >

El resultado de restara 8 al"<n n<mero 8 -

Cos veces la suma deun n<mero % ( ∆ + )

91tese que cada ve# que nos $emosreferido a un n<mero o al"<n n<meroen la traducci1n matem!tica @sta se $arepresentado por una letra (SI) o unsímbolo4 ; ∆?$ora cuando ten"as que traducir unafrase a una ecuaci1n debes determinarel si"nificado de cada parte % asimismotendr!s que reconocer qu@ es lo quevas a reempla#ar por una variable.

Ejemplos4&n n<mero aumentado en da como suma >

n + 6 >'.7 menos que el costo de un sombrero es '.

-7 x⇒ x - 7 6

<"!,&&n! a"a "&'!l&" "!l&a'La experiencia nos permite proponerque lo esencial para resolver unproblema planteando ecuacionesconsiste en la $abilidad para se"uircada uno de los si"uientes pasos4) Oepresentaci1n de las cantidades

desconocidas o inc1"nitas porvariables (x % # ... etc.).

) 3lanteo de las ecuaciones querelacionan a las inc1"nitas con los

datos del problema.>) 'oluci1n de las ecuaciones

planteadas; esto es determinar losvalores de las variables.

*) 3rueba o verificaci1n de los valoresobtenidos para ver si cumplen lascondiciones del problema.

9o est! dem!s afirmar que las etapasde representaci1n % planteo requierenla ma%or concentraci1n posible pues alreali#arlas correctamente se ase"ura

una soluci1n del problema. Es por esoque a estas etapas les daremos ma%or@nfasis en los ejemplos quepresentaremos a continuaci1n.

Ejemplo 1El cuadrado de un n<mero disminuidoen , equivale a 8 veces el exceso deln<mero sobre .Dallar el n<mero.

Resolución4

'ea A9B el n<mero buscado einterpretando la informaci1n tenemos49g - , 6 8 (9-)



PTITUD M TEMÁTIC

9g - , 6 89 79g - 89 + 6 (9-) (9-) 6 9- 6 1 9 6 9 6 9 6 Ejemplo 2El exceso de 8 veces un n<mero sobre7 equivale al exceso de 7 sobre veces el n<mero. Dallar el n<mero.

Resolución'ea A9B el n<mero.Cel primer p!rrafo obtenemos4 89 - 7Cel se"undo p!rrafo obtenemos4 7 9Las cuales son equivalentes∴ 89 7 6 7 9 9 6 N 9 6

Ejemplo &0ompr@ el cu!druple del n<mero decaballos que vacas si $ubieracomprado caballos m!s % vacasm!s el n<mero de caballos sería veces ma%or que el n<mero de vacas.

/0u!ntos caballos compr@2

ResoluciónCel primer p!rrafo encontramos40aballos4 *xMacas 4 xCel se"undo p!rrafo obtenemos40aballos4 *x + Macas4 x +

0aballos sería veces ma%or que vacas

> *x + 6 >(x+) *x + 6 >x + x 6 ⇒ caballos comprados son4 *() 6 (7

Ejemplo (En cada día de lunes a jueves "an@ 7m!s que lo que "an@ el día anterior. 'iel jueves "an@ el cu!druplo de lo que

"an@ el lunes /0u!nto "an@ elmi@rcoles2

ResoluciónCe la informaci1n obtenemos que4Lunes 4 xQartes4 x + 7Qi@rcoles4 x + Vueves4 x + 8?dem!s lo del jueves es el cu!drupledel lunes; Es decir4

x + 8 6 *x >x 6 8 x 6 7El mi@rcoles "an@4 7 + 6 S8' 16

Ejemplo El lar"o de una sala excede a su anc$oen * m. 'i cada dimensi1n aumentara *m el !rea aumentaría al doble. Dallarlas dimensiones de la sala.

Resolución

Daciendo el esquema de una sala parala primera condici1n tenemos4

x

x + *

? 6 x (x + *)'i las dimensiones aumentaran en * mtendríamos4

x + *

x + 8

?6(x+* )(x+8)Cel dato tenemos que4 ? 6 ?

⇒ (x + *) (x + 8) 6 x (x + *) x + 8 6 x

x 6 8∴ dimensiones 6 m + 12 m'

Ejemplo &na mecan1"rafa escribe 8 palabraspor minuto. Empie#a su trabajo a las84 am; % * minutos despu@sempie#a otra mecan1"rafa que escribe palabras por minuto.

/? qu@ $ora $abr!n escrito estas elmismo n<mero de palabras2



PTITUD M TEMÁTIC

ResoluciónLa F mecan1"rafa escribe 8 palabraspor minuto entonces4en x minutos escribir!4 8xLa F mecan1"rafa escribe palabras por minutos % empie#a *min despu@s entonces4en (x-*) min escribir!4 (x-*)0omo las mecan1"rafas $an escrito elmismo n<mero de palabras4

(x-*) 6 8xx *8 6 8x

x 6 *8 x 6 * min (* $oras)

⇒ $ora 8 a.m. + * $ 6 12 m

Ejemplo BEn un aula los alumnos est!na"rupados en bancas de 7 alumnos porbanca. 'i se les coloca en bancas de *alumnos por banca se necesitarían >bancas m!s. 0u!ntos alumnos $a% enel aula2

Resolución'ea 9 el n<mero de alumnos en el aula% AxB el n<mero de bancas.?l a"ruparlos de 7 en 7 tenemos49 6 7x?l a"ruparlos de * en * tenemos49 6 *(x+>)0omo son i"uales entonces

7x 6 *x + x 6 x 6 7

\inalmente 9 6 7.7 6 & %lumnos

Ejemplo 6

0on , ladrillos se $an $ec$o trestabiques. En el primero entran unatercera parte m!s que el se"undo % eneste la cuarta parte de los que entranen el tercero. /0u!ntos ladrillos seemplearon en cada tabique2

Resolución'i la cantidad de ladrillos en el se"undotabique consideramos como &entonces la tercera parte ser! ; por lo

tanto4'e"undo tabique4 >x3rimer tabique4 >x+ x 6 *x

Los ladrillos del se"undo tabique son lacuarta parte de los del tercer tabique;esto quiere decir tambi@n que lo que$a% en el tercero es el cu!druple de loque $a% en el se"undo; es decir4*(>x) 6 x.

<34?ic%men$e

F F >F

'umando todos los ladrillos debemostener ,.*x + >x + x 6 ,

,x 6 , x 6

3rimer tabique 4 'e"undo tabique 4 Hercer tabique 4 7

Ejemplo *'e tiene tres n<meros tales que else"undo es * del primero el terceroes h del se"undo % el producto de lostres n<meros es >8*. Dallar el menor.

Resolución'ea 9 9 % 9> los tres n<meros

5

4

;

; ;

5

4 ;

1

2

12 =⇒=

4

3

;

; ;

4

3 ;

2

3

23 =⇒=

Ce esta proporcionalidad obtenemosque49 6 *K9 6 J9> 6 >KEl producto es >8*⇒ (K) (*K) (>K) 6 >8*

7K> 6 >8*

K> 6 7* K 6 *

∴ el menor es 9> 6 > (*) 6

*x>x

x



PTITUD M TEMÁTIC

Ejemplo 17'e reparte > soles entre * personasde tal manera que a la primera lecorresponda * soles m!s que a lase"unda; a @sta * de lo que lecorresponde a la tercera; % @sta soles m!s de lo que le corresponde a lacuarta. /0u!nto recibi1 la se"undapersona2

Resolución?l repartir los '. > entre *personas % empe#ando el an!lisis entrela da % >era persona lue"o entre la era %la da % finalmente entre la >era % la *ta

tendremos

3 6 *J + *3 6 *K> 3> 6 K

3* 6 J

⇒ *J+*+*J+J+J 6 > 8J 6 J 6 ∴ La se"unda persona recibi14

*() 6 S8' 77

Ejemplo 11Ce un tonel de * litros se extraetanto como * veces no se extrae de loque queda se extrae tanto como no seextrae. /0u!nto queda en el tonel2

Resolución5raficando un tonel e interpretando laprimera condici1n tenemos4

*x + x 6 *

x 6 *x 6 8

* ⇒ Da quedado 8 litros5raficando en un tonel lo que aquedado e interpretando la se"undacondici1n tenemos4

% + % 6 8⇒ % 6 *

∴ Nueda en el tonel 1( li$3os'

.ROLEMAS .ARA

RESOL/ER EN CLASE

. Hraducir a su respectiva expresi1nmatem!tica.a) El triple de un n<mero

aumentando en 8b) El triple de un n<mero

aumentado en 8c) Lo que "ana ?na es dos m!s de

lo que "ana Rett%d) ?na "ana dos veces lo que "ana

Rett%e) ?na "ana dos veces m!s lo que

"ana Rett%f) &n n<mero es dos veces menosque otro n<mero

") La edad de Qaría excede a la deCiana en ,

$) Lo que tiene ? excede a R tantocomo excede al doble de R

i) La suma de cuatro imparesconsecutivos equivale al dobledel ma%or mas 7.

j) El doble del cuadrado de un

n<mero disminuido en 7 equivaleal exceso de sobre elm!ximo n<mero de dos cifras.

J) El cuadrado del doble de unn<mero disminuido en >

. ?l resolver un problema que sereduce a una ecuaci1n de se"undo"rado un estudiante comete unerror en el t@rmino independientede la ecuaci1n % obtiene como

raíces 8 % . Ptro estudiante cometeun error en el coeficiente delt@rmino de primer "rado % obtienecomo raíces , % . La ecuaci1ncorrecta es4

Opta4........................

>. 'e tienen *8 palitos de f1sforodivididos en > "rupos del primer"rupo se pasan al se"undo tantos

palitos como $a% en este; lue"o delse"undo "rupo se pasan al tercerotantos palitos como este tiene % lo

*x

x

Y



PTITUD M TEMÁTIC

mismo se $i#o del tercero alprimero quedando los tres "ruposcon la misma cantidad de palitos./0u!ntos palitos tenía el primer"rupo al inicio2

Opta4........................

*. Encontrar un n<mero impar tal queal a"re"arle sus cuatro imparesconsecutivos nos d@ un total de.

Opta4........................

. &n Jilo de man#anas cuestan >

soles m!s medio Jilo de man#anas./0u!nto cuesta el Jilo % medio2

Opta4........................

7. El producto de tres n<meros enterosconsecutivos es * veces el n<merocentral. 0alcular su suma.

Opta4........................

. En un corral $a% "allinas % conejos

% el n<mero de patas es * m!s veces el n<mero de cabe#as./0u!ntos conejos $a%2

Opta4........................

8. En una fiesta $abían 78 personas;&n primer caballero bail1 con damas; el se"undo con , el tercerocon % así sucesivamente $astaque el <ltimo bail1 con todas.

/0u!ntas damas $abían2

Opta4........................

,. &n comerciante tenía determinadasuma de dinero. El primer aGo se"ast1 libras % aument1 el restocon un tercio de este. El aGosi"uiente volvi1 a "astar lbs %aument1 la suma restante en untercio de ella. El tercer aGo "ast1 de

nuevo lbs % despu@s de que$ubo a"re"ado su tercera parte el

capital lle"1 al doble del inicial.Dallar el capital inicial.

Opta4.........................&n "rupo de abejas i"ual a la raí#

cuadrada de la mitad de todo elenjambre se pos1 sobre cierta flordejando atr!s a 8, de todo elenjambre % s1lo una revoloteaba entorno a una flor atraída por el#umbido de una de sus ami"as./0u!ntas abejas forman elenjambre2

Opta4........................

.Entre * $ermanos tienen >man#anas. 'i el n<mero deman#anas del primero seincrementa en el del se"undo sereduce en * el del tercero seduplica % el del cuarto se reduce ala mitad todos tendr!n la mismacantidad. El primero % el tercerotenían juntos.

Opta4........................

.?l dividir un n<mero de > cifrasentre otro de cifras se obtiene de cociente % de residuo. 'e lestoma el complemento aritm@tico %se les vuelve a dividir esta ve# seobtiene de cociente % , deresiduo. Dallar la suma de las cifrasdel dividendo.

Opta4........................

>.&na persona fabrica un n<merodeterminado de sillas. 'i duplica suproducci1n % vende 7 le quedanm!s de * sillas; lue"o fabrica m!s % vende 8 qued!ndoleentonces menos de sillas. 'eGalecu!ntas sillas se fabricaron.

Opta4........................

*.&n n<mero entero consta de >dí"itos. El dí"ito de las centenas es

la suma de los otros dos % elquíntuplo de las unidades es i"ual ala suma de las decenas % de las



PTITUD M TEMÁTIC

centenas. D!llese este n<merosabiendo que si se invierten losdí"itos resulta disminuido en ,*.

Opta4........................

. &na persona se pone a ju"ar concierta suma de dinero en laprimera vuelta duplica su dinero %"asta lue"o '. . En lase"unda vuelta "ana el doble de loque tiene % "asta lue"o '. *.En la tercera vuelta triplica sudinero % "asta lue"o '. . 'ia<n le quedan '. /cu!ntotenía inicialmente2

Opta4........................

7. 0uatro personas4 ? R 0 % C sepusieron a ju"ar teniendo encuenta las si"uientes re"las4

• El que pierda el primerocuadruplicar! el dinero de cadauno de los dem!s .

• El se"undo perdedor aumentar!'. a cu de los dem!s.

• El tercero aumentar! '. a

cada uno de los dem!s.• El cuarto aumentar! '. > a cada

uno.'e sabe que perdieron en el ordenalfab@tico % al finali#ar la cuartapartida cada uno qued1 con' '8 ' % '* respectivamente. 0u!nto tenía 0al principio 2

Opta4........................

. En una pla%a de estacionamiento$a% ve$ículos entre autos %motos. 'i cada auto lleva unallanta de repuesto % en total secuentan > neum!ticos. /0u!ntosautos $a%2

Opta4........................

8. ?l vender una articulo pens@ "anar

la mitad de los me cost1 pero almomento de vender tuve querebajar la mitad de lo que pens@

"anar por lo que "an@ '. 7menos de lo que me cost1./0u!nto me costo2

Opta4........................

,. El n<mero de alumnos de un sal1npuede ubicarse en filas de ,. 3erosi se ponen dos alumnos menos encada fila $a% que poner dos filasm!s. /0u!ntos alumnos $a%2

Opta4........................

. Cos cirios de i"ual altura seencienden simult!neamente elprimero se consume en cuatro$oras % el se"undo en tres $oras.'i cada cirio se quem1 en formaconstante cu!ntas $oras despu@sde $aber encendido los ciros laaltura del primero es el doble dedel se"undo2.

Opta4........................

. En una reuni1n se cuentan tantos

caballeros como tres veces eln<mero de damas. 'i lue"o deretirarse 8 parejas el n<mero decaballeros que a<n quedan esi"ual a veces el n<mero dedamas cu!ntos caballeros $abíaninicialmente2.

Opta4........................

. &n matrimonio dispone de una

suma de dinero para ir al teatrocon sus $ijos. 'i compra entradasde 8 soles le faltaría soles % siadquiere entradas de soles lesobraría soles / 0uantos $ijostiene el matrimonio2.

Opta4........................

>. Lo que cobra % lo que "asta unprofesor suman 7. Lo que "asta

% lo que cobra esta en la relaci1nde a >. En cu!nto tiene que



PTITUD M TEMÁTIC

disminuir el "asto para que dic$arelaci1n sea de > a .

Opta4........................

Este tema corresponde esencialmenteal planteamiento de ecuaciones.La soluci1n a este tipo de problemainvolucra reconocer cada uno de lossi"uientes elementos4

- SU=E"OS4 Cebemos identificar eln<mero de sujetos que intervienen.

- "IEM.O (verbo)4 debemos tenerpresente que la acci1n del problemase desarrolla en distintos tiempos. ADace aGosB A?ctualmenteB ACentro de 8 aGosB.

- CONDICIONES4 relaci1n entre lospersonajes en el tiempo. ADace aGos tu edad era el triplede la edad que ten"oB ACentro de aGos mi edad ser! eldoble de la que tenías $ace > aGosB.

PROBLEMAS SOBRE EDADES

"I.O I:CUANDO IN"ER/IENE LA EDAD

0E) DE UN SOLO SU=E"O

?nalicemos en tres tiempos4Dace AmB aGos Centro de AnB aGos

E m E E + n 3asado 3resente \uturo

Ejemplo 1 Centro de aGos 3edro tendr! eldoble de la edad que tenía $ace aGos. /Nu@ edad tendr! dentro de aGos2

Resolución:Edad actual4 E



PTITUD M TEMÁTIC

Edad dentro de aGos4 E +

Edad $ace aGos4 E -

⇒ 3odemos plantear4 E + 6 (E ) E + 6 E - E 6 *∴Centro de aGos tendr! (2 %os

Ejemplo 2'i al cu!druplo de la edad que tendr@dentro de aGos le restamos el triplede la edad que tenía $ace aGosresulta el doble de mi edad actual. Nueedad tenía $ace aGos.

Resolución:

Edad actual4 ECentro de aGos4 E + Dace aGos4 E - ⇒ 3lanteando la ecuaci1n4 *(E + ) >(E ) 6 E *E + * >E + 6 E E 6 ∴ Dace aGos tenía 7 %os

Ejemplo &3edro tiene * aGos. Centro de cu!ntosaGos tendr! el doble de la edad quetenía $ace aGos2

Resolución:Edad actual4 * aGosDace aGos tenía4 * 6 > aGosEl doble de esa edad es4 (>) 6 7 aGosEl tendr! 7 aGos dentro de4 7 * 6 1 %os

"I.O II:CUANDO IN"ER/IENEN LAS

EDADES DE DOS O MS SU=E"OS

Es conveniente para la soluci1n de estetipo de problema el uso de un cuadro.

3or ejemplo analicemos para tressujetos en tres tiempos % lue"ocompletamos el cuadro4 "IEM.OS

3?'?CP 3OE'E9HE\&H&OP'U ? >VE R HO 0 *

S

D?0E CE9HOP ?P' 8 ?P'

'e observa que4- La diferencia de edades entre dos

personas en el transcurso del tiempono varía.

Ejemplo (El le dice a Ella4 AIo ten"o el triple de la

edad que tu tenías cuando %o tenía laedad que tu tienesB. /0u!ntos aGostienen ambos si sus edades suman aGos2

Resolución4Empleando un cuadro para personajes en dos tiempos tenemos4

3asado 3resente.

EL % >x

ELL? x %

?plicando diferencia de edades en elpasado % el presente % teniendo encuenta que no varía tenemos4% x 6 >x %% + % 6 x + >x % 6 *x % 6 x

Cel dato que sus edades actualessuman aGos4 >x + % 6



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>x + x 6 x 6

∴ El tiene >x 6 >() 6 &7 %os Ella tiene %; es decir4 27 %os

Ejemplo Centro de aGos la edad de Qaríaser! a la de Ciana como * es a >. /0u!les la edad de ambas si $ace > aGos laedad de Qaría era el quíntuplo de la deCiana2

Resolución4Empleando cuadro de doble entradapara dos personajes % tres tiempos.3artiendo de la informaci1n en el futuro(en$3o e 27 %os) tenemos4

3asado 3resente \uturo

Qaría *J

Ciana >J

0on este dato completamos el cuadropara el presente % el pasado 0%ce 1&%os)'

3asado 3resente \uturo

Qaría *J >> *J *J

Ciana >J - >> >J >J

Heniendo en cuenta que $ace > aGos laedad de Qaría era el quíntuplo del deCiana planteamos la si"uiente

ecuaci1n4 *J >> 6 (>J >>) *J >> 6 J 7

J 6 >J 6

∴ Edad de Qaría 6 *() 6 26 %os Edad de Ciana 6 >() 6 1 %os

Ejemplo

Ooberto tiene * aGos; su edad es els@xtuplo de la edad que tenía Rett%cuando Ooberto tenía la tercera parte

de la edad que tiene Rett%. Nu@ edadtiene Rett%2

Resolución:3asado 3resente

Ooberto x 2( 9 '*

Rett% * >x

?plicando diferencias de edades osumando en aspa tenemos4

*x 6 8 x 6 ∴ Edad de Rett% 6 >x 6 >()

6 21 %os

Ejemplo B Dallar la edad de un padre % la de su$ijo sabiendo que $ace 8 aGos la edaddel primero fue el cu!druple de la delse"undo; dentro de aGos s1lo ser!el doble de la de su $ijo.

Resolución:D& a,%&"! a l!' a!'# &l&a"&!' %n

,%a"! a"a !' &"'!na' &n "&' &!'

Dace8 aGos

3resente

Centrode aGos

3adre

Dijo

36*D 36D

- Da!' $%& a,& 8 a!' &l ! &n?a @Ba!': &n an! $%& &l a"& &n?a @4B.

- En la a,%ala &l ! &n" @8B &l a"& @4 8B

- D&n"! & 12 a!' &n"n @ 20B @4 20B.

&bicando esta informaci1n en el cuadrotenemos4 Dace

8 aGos3resente

Centrode aGos

3adre *S *S + 8 *S +



PTITUD M TEMÁTIC

Dijo S S + 8 S +

Ce la se"unda condici1n4 3 6 D

*x + 6 (x + )*x + 6 x + * x 6 x 6 ∴ Edad del .%3e 6 *() + 8 6 (6 %os

⇒ Pijo 9 16 %os

Ejemplo 6+!' l& ,& a <al!= @! &n! &l !l& & la&a $%& % &n?a' ,%an! ! &n?a la &a $%&

&n&': &"! ,%an! % &na' la &a $%& !&n!# la '%a & n%&'"a' &a&' '&" 63a!'B. alla" aa' &a&' a,%al&'.

Resolución:El&an! ,%a"! a"a !' &"'!na' &n "&'&!': a'? ,!! %,an! la n!"a,n &la "&"a ,!n,n &l "!l&a# &n&!'=

3asado 3resente

\uturo

Vos@ I S

3ablo S I

Ce la se"unda condici1n4 A nuestrasedades sumar!n 7> aGosB 'i 3ablo tendr! x entonces Vos@tendr! 7> x 3asado 3resent

e \uturo

Vos@ I S 7> - S

3ablo S I S

3or diferencia de edades (no cambiacon el transcurso del tiempo)4

- Hiempos pasado % presente% x 6 x % x 6 >% .... (Z)

- Hiempos presente % futuro

x % 6 (7> x) xx % 6 7> *x % 6 7x 7> ..... (ZZ)

Oeempla#ando en (Z) tenemos(7x 7>) 6 >x x 7 6 >x x 6 *En (ZZ)4% 6 7(*) 7> 6

⇒ las edades son4Vos@4 (*) 6 26 %os3ablo 4 21 %os

"I.O III:USO DEL CRI"ERIO ARI"M-"ICO

?plicaremos la si"uiente relaci1n4

Ejemplo * &na persona naci1 en ab19 % en

ba19 cumpli1 (a+b) aGos. /En qu@ aGocumpli1 a(b) aGos2

Resolución:EmpleandoEdad 6 ?Go Oef. ?Go 9ac.Henemos4 a + b 6 ba19 ab19

descomponiendo polin1micamente4a+b 6 ,+b+a(,+a+b)a+b 6,+b+a,a-b

desarrollando encontramos que4 a 6 8b a 6 *b

Heniendo en cuenta que a % b sonn<meros de una cifra esta i"ualdadcumple para4 a 6 * % b 6

⇒ ?Go de 9acimiento4 ,*

3ara saber en que aGo cumpli1 a(b)aGos es decir4 *() 6 aGosesta edad la sumaremos a su aGo denacimiento; es decir4,* + 6 1*

E 6 ?Go de referencia ?Go de nac.



PTITUD M TEMÁTIC

Ejemplo 17&na persona tiene en ,88 tantos aGoscomo el producto de las dos <ltimascifras del aGo de su nacimiento. /0u!l

es su edad actual (*)considerando que este aGo %a celebr1su onom!stico2

Resolución:0onsiderando aGo de nacimiento4 a19

Hendremos que4 a(b) 6 ,88 a19

a(b) 6 ,88 , a bordenando

a + b + a(b) 6 88a + b( + a) 6 88Esta i"ualdad cumple para4a 6 7 % b 6 *%a que4(7) + *( + 7) 6 88 ⇒ ?Go de nacimiento4 ,7* ∴ Edad actual 6 * ,7*

6 (7 %osEjemplo 11

&n profesor naci1 en a19 % en ,,tuvo (a + b) aGos. En que aGo lle"1 atener (a + b) aGos2

Resolución:Edad 6 ?Go de ref. ?Go de nac.a + b 6 ,, a19 a + b 6 ,, , a bordenandoa + b 6 ,

esta i"ualdad cumple para4a 6 8 % b 6 porque (8) + () 6 ,⇒ ?Go de nacimiento4 ,8∴ Lle"1 a tener4 a+b 6(8)+ 6 en4 ,8 + 9 1**6

Ejemplo 12Vuan le dice a Vos@4 0uando t< tenías aGos menos de la edad que %o ten"o%o tenía > aGos menos de la edad que

t< tienes % cuando ten"a el doble de laedad que tu tienes nuestras edadessumar!n 77 aGos. /Nu@ edad tieneVos@2

Resolución:0omo el problema relaciona a trestiempos entonces $acemos el esquemapara el primer p!rrafo4

.%s%o .3esen$e !u$u3o

=u%n %-> x=os x- %

'e"<n el se"undo p!rrafo tenemos4.%s%o .3esen$e !u$u3o

=u%n x %=os % 77-%

Ce los dos esquemas aplicandodiferencia de edades tenemos4(%->)-(x-) 6 x-% ⇒ x 6 %+%-(77-%) 6 x-% ⇒ x 6 %-77Z"ualando4% 77 6 %+*% 6 78% 6 ∴ Vos@ tiene 1B %os

.ROLEMAS .ARA RESOL/ER ENCLASE

. 'i al doble de mi edad actual se lequita mi edad aumentada en setendría ,. /Nu@ edad ten"o2

Opta4.....................................

. La tercera parte de la edad de Qaríaes > aGos m!s que la edad de9orma % el quíntuplo de la edad de9orma es aGos menos que laedad de Qaría. Dallar la edad de9orma.

Opta4.....................................



PTITUD M TEMÁTIC

>. 'i Oicardo $ubiera nacido en el aGo,ba en el aGo > tendría baaGos. 'in embar"o naci1 en el aGo,aa. /0u!ntos aGos tenía en elaGo ,,,2

Opta4.....................................

*. La edad de 0arlos en , eratanto como la mitad de las dos<ltimas cifras del aGo de sunacimiento que edad tieneactualmente (*) si %a celebr1 sucumpleaGos.

Opta4.....................................

. ACie"oB % su abuelo tenían en ,8tantos aGos como indica las dos<ltimas cifras del aGo de sunacimiento. 0ual era la edad delabuelo cuando naci1 ACie"oB.

Opta4.....................................

7. Rert$a tenía en ,7 tantos aGos

como el producto de las dos <ltimascifras del aGo de su nacimiento./0u!l era su edad en aquel aGo sien un aGo m!s su edad ser! unn<mero cuadrado perfecto2

Opta4.....................................

. Elsa es 7 aGos mas joven que Zvan.Dace > aGos Zvan tenía el triple dela edad que Elsa tenía entonces.

Encontrar la edad de Zvan.Opta4.....................................

8. Qi"uel tiene aGos menos queCoris. Dace cuatro aGos la suma desus edades era aGos. /Nu@ edadtiene Coris2

Opta4.....................................

,. Cenise es > veces ma%or de edad

que 0lara. Dace aGos la suma desus edades era * aGos. /Nu@ edadtiene 0lara2

Opta4.....................................

. Vuan tiene aGos m!s que su$ermano Ooberto % la edad delpadre es el cu!druplo de la edad desu $ijo Ooberto. 'i $ace aGos lasuma de las edades de los tres era* aGos. /0u!ntos aGos tieneactualmente el 3adre2

Opta4 ..................................

. La edad de un 3adre supera en aGos a la suma de las edades desus > $ijos. Centro de aGos su

edad ser! el doble que la delprimero dentro de aGos su edadser! el doble del se"undo % dentrode > aGos ser! el doble que la deltercero./0u!l es la edad del $ijo menor2

Opta4.....................................

. La edad actual de un $ijo es los *,de la edad de su padre si dentro de aGos la mitad de la edad delpadre ser! i"ual a la del $ijo. /0u!les la edad del 3adre2

Opta4.....................................

>. Oomeo le dice a Vulieta4 Hu tienes8 aGos pero cuando tu ten"as laedad que %o ten"o la suma denuestras edades ser! *8 aGos./Nu@ edad tendr! Oomeo dentro de8 aGos2

Opta4.....................................

*. &n padre le dice a su $ijo4 Dace 8aGos mi edad era el cu!druplo de laedad que tu tenías pero dentro de8 aGos <nicamente ser! el doble./0u!l es la edad actual del $ijo2

Opta4.....................................

. HoGo le dice a ?lex4 A0uando tutenías aGos menos de la edad que%o ten"o %o tenía > aGos menos de



PTITUD M TEMÁTIC

la edad que tu tienes % cuandoten"a el doble de la edad que tutienes nuestras edades sumar!n 77aGos. /Nu@ edad tiene HoGo2

Opta4.....................................

7. &n discípulo le dice a su maestro4 A0uando tu tenías el triple de laedad que %o ten"o %o tenía laonceava parte de la edad que tutienes pero cuando t< ten"as elcu!druplo de la edad que ten"o %ola suma de nuestras edades ser! 8aGos./Nu@ edad tiene el discípulo2

Opta4.....................................

. Centro de 8 aGos la suma denuestras edades ser! * aGos; pero$ace AnB aGos la diferencia denuestras edades era de 8 aGos./Dace cu!ntos aGos la edad de unoera el triple de la del otro2

Opta4.....................................

8. 0uando transcurran desde $o%tantos aGos como los aGos quepasaron desde que nací $asta laedad que tenía $ace aGostendr@ el cuadrado de la edad quetenía $ace , aGos. /0u!ntos aGostenía $ace > aGos2

Opta4......................................

,. 'a<l le dice a EricJ4 Hen"o el triplede la edad que tu tenías cuando %otenía la mitad de la edad que tienes% cuando ten"as la edad queten"o %o tendr@ el doble de la edadque tenías $ace aGos. 0u!ntosaGos suman sus edades actuales

Opta4...................................



PTITUD M TEMÁTIC

Los problemas referentes a móviles

consideran a carros, trenes, aviones o

personas; asimismo, hacen mención a

metros por segundo, kilómetros por hora o

a cualquier otra terminología relacionada

con el movimiento.

Estos problemas se resuelven básicamente

con la fórmula:

distancia rapide! " tiempo, que

corresponde a un movimiento uniforme.

#demás:

e

ν

t

e ν

.t.ν

&t

ν

&

e espacio o distancia recorrida

ν

rapide! empleada

t tiempo empleado

D&n,!n&' I!"an&'=

a$ Ra&F ( ν)= %aracterística física de un

móvil que nos informa que tan rápido

este móvil pasa de una posición a otra.

&e e"presa en unidades de longitud portiempo 'e(t$; e)emplos: m(s, m(min;

km(h.

b$ G&l!,a ( )= Es un magnitud

vectorial que nos indica la rapide! conla que se mueve un ob)eto 'móvil$ * la

dirección en que lo hace.

+ara la solución de estos problemas

debemos tener cuidado que las

unidades sean consistentes; por e)emplo

si la rapide! esta e"presada en m(s, el

tiempo debe estar en segundos * la

distancia en metros.

E&l! 1=

%inco horas demora un auto en via)ar deLima a uanca*o a ra!ón de - km(h. &i

cada / km en la carretera que une ambas

ciudades se desea colocar un banderín,

0%uántos banderines se requieren,

considerando que debe haber uno al

principio * otro al final1

R&'!l%,n2ebemos primero calcular la distancia

entre Lima * uanca*o, para lo cual

contamos con la rapide! con que via)a elauto * el tiempo que emplea; por lo tanto:

d ν

" t

H80 " 3 h

d 400 H

%álculo del n4mero de banderines a

colocar; para lo cual tenemos:

d5 6 km

du / km

78 banderines 41110

400=+

Ra&F <"!&!:

&e refiere a la distancia total recorrida

dividida entre el tiempo total empleado

T!alT&!

T!al,aanD' = ν

E&l! 2=

/Nui@n lle"ar!primero a la 3OE2

3OE-&9?0

>K$ ms



PTITUD M TEMÁTIC

9n auto via)a de una ciudad # a otra ,

distantes 3 km, a ra!ón de / km(h *

regresa hacia # con una rapide! de 3

km(h. allar la rapide! promedio durante

el via)e de ida * vuelta.

/ km(h

#

3 km(h

3 km

R&'!l%,n

5iempo de via)e de ida:

ti 5/H*100

H*500=

5iempo de via)e de regreso

tr /H50

H500/h

⇒ tiempo total 3 / /3 h.

2istancia total recorrida 3 3 / km.

∴

ν

prom /H*3

266

3

200

15

H*1000==

T&! & &n,%&n"!=

&i dos móviles parten simultáneamente de

diferentes puntos * via)an en la misma

dirección pero en sentidos opuestos, una el

encuentro del otro, se encontrarán en un

tiempo te, definido por:

te 12

+donde:

te : tiempo de encuentro

d : distancia que los separa al inicioν<; ν/: rapide! con la que via)an los

móviles.

E&l! 3=La distancia entre dos ciudades es de 6

km. 9n auto parte de la ciudad # hacia a

ra!ón de 3 km(h * en el mismo instanteparte de hacia # otro auto a ra!ón de =

km(h. 2espu>s de cuánto tiempo se

encontrarán * a que distancia del punto

1.

R&'!l%,n

?# 3 km(h ? =km(h

te

# d# d 6 km

%álculo del tiempo de encuentro:

te 5/H*80

H*400

/H*)3050(

H*400==

+

%álculo de la distancia de hasta el punto

de encuentro:

d ? " te = km(h " 3 h

150 H

T&! & Al,an,&=

&i dos móviles parten simultáneamente *

via)an en la misma dirección; en el mismo

sentido * el segundo via)a con ma*or

rapide!, entonces lo alcan!ará el primero

en un tiempo ta, definido por:

ta 12

−donde:

ta : tiempo de alcance

d : distancia que los separa al inicio

ν<; ν/: rapide! con la que via)an los

móviles.

V1 V2

d

V2 V1

e



PTITUD M TEMÁTIC

E&l! 4=La distancia entre dos ciudades # * , es de

< km. 9n auto parte de la ciudad # hacia

otra %, situada a =3 km al Este de , a

ra!ón de 3 km(h; en el mismo instanteparte de otro auto hacia %; a ra!ón de =

km(h. 2espu>s de cuánto tiempo alcan!ará

el móvil que partió de # al que partió de

* a que distancia de % 1

R&'!l%,nta

ta

?# 3 km(h ? = km(h

# %

d

< km

%álculo de tiempo de alcance:

ta 1020

200

/H)3050(

H200==

−

2istancia recorrida por :

d H30010

H30=

⇒

&e da el alcance a 50 H & C.

E&l! 5:

9n 5ren de /< metros de longitud se

demora en pasar por un puente, de <6

metros de largo, @ minutos. 0%uál es la

rapide! del tren1

R&'!l%,n ν

ν

/< m <6 m

La distancia total que recorre el tren

para cru!ar es:

<6 m /< m =@ m

En un tiempo de @ min '=@ seg$

ν

seg m seg m /1

360360 =

E&l! 6=Luis via)ó de Lima a uanca*o empleando

- horas. &i al regreso aumenta su rapide!

en /3 km(h llegando en @ horas, 0cuál es la

distancia total recorrida1.

R&'!l%,n# la ida recorre una distancia A2B con una

rapide! deν

km(h llegando en - h.

⇒

2 -ν

....... 'C$

# la vuelta recorre la misma distancia A2B

con una rapide! de 'ν

/3$ km(h llegando

en @ h.

⇒

2 @'ν

/3$ ....... 'CC$

%omo 'C$ * 'CC$ son iguales,

tenemos:

- ν @ 'ν /3$

- ν @ν D

<ν

D⇒

ν

63 km(h

∴ distancia total recorrida <2

En 'C$ < '-.63$ 720 H.

E&l! 7La distancia entre 5 * L es de 33 km.

#bner sale de 5 a L * osu> de L a 5,ambos simultáneamente a las / pm. El

ómnibus en que via)a #bner recorre a un



PTITUD M TEMÁTIC

promedio de D km por hora * el de osu> a

-3 km por hora 0# qu> hora * a qu>

distancia de 5 se cru!arán1

R&'!l%,n ν

D km(h ν

-3 km(h

5 L

33 km

+ara saber a que hora se cru!an,

aplicaremos tiempo de encuentro:

te =+ /H)8590(

H550=./6h =hD min.

⇒

&e cru!arán a:

/ pm = h D minutos

1=09 a

25 D " =./6 282 H 857

E&l! 8:

9n ladron!uelo corre a ra!ón de -m(s. 9n

policía que se encuentra a /3 m dedistancia empie!a a perseguirlo * logra

alcan!arlo luego de 6 min. %on qu> rapide!

corrió el policía.

R&'!l%,n#plicando tiempo de alcance

ta &

− ν

ta 6 min

⇒

'6 " @$ seg '/)8G(

150−

<6 #8G

150

− simplificando

- 8G

5

−

-ν

p F @6 3

ν

p 8

69 m(seg 8#62 /'

E&l! 9A?ladiB sale de su casa con una rapide! de

AaB km(h * dos horas más tarde AGu)iB sale

a buscarlo siguiendo la misma ruta, con

una rapide! de AabB km(h. 0En cuántashoras lo alcan!ará1

R&'!l%,n

A?ladiB en < horas le ha tomado unaventa)a de:

d ν

. t d <a

Hue Afu)iB debe descontarlo en:

a2

a) a(

a2

GG

a =

−+=

−= .

E&l! 102os motociclistas parten de un punto #, en

el mismo sentido, a ra!ón de = * 3 km(h.

0Hue tiempo deberá transcurrir para que

est>n separados / km1

R&'!l%,n%on los datos hacemos el siguiente

diagrama:

ts

%onforme pasa el tiempo el motociclista

que via)a con ma*or rapide! se vaseparando más. +ara determinar el tiempo

d

"a" !#

"F$%&"

"'(ad&"

2a

B C'2

) 50 *!#

A'

1) 30 *!#

100 !

+,



PTITUD M TEMÁTIC

que emplean para estar separados / km

aplicamos:

ts 5/H*)3050(

H*100

GG

'

12=−=−

E&l! 112os ciclistas están separado por < metros

* avan!an en sentidos contrarios con

velocidades de /3 * / m(s separándose

cada ve! más. En qu> tiempo estarán

separado =6 m1

R&'!l%,n

%on los datos efectuamos el siguientediagrama:

#mbos ciclistas, el que parte de # hasta % *

el que parte de hasta 2, emplean el

mismo tiempo para separarse

adicionalmente:

=6 F < =< m

'&128'/*)1510(

*3200

GG

'

IA

=+

=+

=

' J 2 n ,!n 8 '&.

E&l! 129na auto parte de +iura a las 3 pm * llega

a Lima el día siguiente a las < pm otro auto

sale de +iura a las I pm * llega a Lima el

día siguiente a las D am. 0# qu> hora el

segundo auto pasó al primero1

R&'!l%,n

#nalicemos ba)o el siguiente esquema:

#mbos autos recorren la misma distancia,

2 entre +iura * Lima, empleando

diferentes tiempos

t/ </ horas

t< /6 horas

la rapide! con la que via)an son:

ν/ 21

D; ν<

14

D

%omo el auto / partió dos horas antes que

el auto <, le toma una venta)a AdB

equivalente a:

d ν

. t 21

D.<

⇒

d 21

D2

El auto < que es más velo! lo alcan!ará * lo

pasará en un tiempo ta:

ta

42

D21

D2

42

D2D321

D2

21

D

14

D21

D2

12

=−

=−

= ν− ν

ta 4D21

42D2=

∴

el <8 auto pasó al /8 a las:

7 4 J 11

+, +,

B DAC

'A

) 15!, 'B

) 10!,

200 !

3400 !

D

-

5 /! 2 /!

D

-

/! 9 a!



PTITUD M TEMÁTIC

E=ERCICIO

. &na persona viaja en auto de Lima aDuara# con una velocidad constante

de 7 Km$ % el re"reso lo $ace a8 Jm$. 'i en total $a empleado *$oras /cu!ntos Jil1metros arecorrido2

Opta.4..................

. &n alumno del 0entro3reuniversitario viajando en1mnibus a ra#1n de * Jm$"eneralmente lle"a a tiempo; sinembar"o un día lle"1 con un retrasode minutos debido a que el1mnibus s1lo pudo desarrollar >Jm$. /? qu@ distancia del 0entro3reuniversitario toma el 1mnibus elestudiante2

Opta.4..................

>. &na persona sale de su casa todoslos días a la misma $ora % lle"a a sucentro de trabajo a las 8 a.m. &n díasali1 atrasado minutos % duplicasu rapide# % a<n así lle"a con minutos de atraso. /0u!nto tiempodemora normalmente2

Opta.4..................

*. Cos autos con velocidades de 7ms % * ms se introducen por unmismo lado de un t<nel uno deellos aparece se"undos despu@sque el otro. /0u!l es la lon"itud delt<nel2

Opta.4..................

. &n tren de m de lon"itud % otrode m viajan sobre vías paralelasa Km$ % , Km$. Dallar4a) /En qu@ tiempo se cru#an si

viajan en sentidos opuestos2b) /En qu@ tiempo el m!s r!pido

pasa al otro si viajan en elmismo sentido2

Opta.4..................7. &n bote a motor desarrolla una

rapide# de * Jm$ en a"uastranquilas. 'i el mismo bote marc$aen un río en contra de la corrientedurante $oras avan#a 7 Km.Lue"o da la vuelta % viaja río abajodurante una $ora % se detiene. /?qu@ distancia del punto de partidase detuvo2

Opta.4..................

. En el si"uiente "r!fico despu@s deque tiempo el m1vil AB distar! de Rtanto como el m1vil AB distar! de A?B2

ν 6 7ms ν 6 8ms

? R Opta4.....................

8. Los m1viles est!n i"ualmentedistanciados % pasansimult!neamente como indica el"r!fico en el mismo sentido convelocidades4 a b % c. Lue"o de untiempo se encuentran en un mismopunto. Dallar la velocidad de b enfunci1n de a % c.

Opta.4..................

,. &n autom1vil que viaja a 7 Km$pasa por un punto ?; otro autom1vilque viaja a * Jm$ pasa en elmismo instante por un punto R. Elpunto R est! situado a la derec$a

del punto ? % entre estos dos puntos$a% una distancia de 8 Jm. ?mbossi"uen la misma direcci1n % el

6

m/s

8

m/s

280m

a b c



PTITUD M TEMÁTIC

mismo sentido. 'e desea saber aqu@ distancia del punto ? seencontrar!n.

Opta.4..................

. &n tren parte a las 84 para$acer un recorrido de Km; loque efect<a en 7$ * min. /Nu@velocidad debe llevar un se"undotren que parte $ 8 min despu@sque el primero para que alcance a@ste en una estaci1n situada a >7Jm del punto de partida2

Opta.4..................

. Cos autos arrancan del mismopunto viajando en sentidosopuestos. La velocidad de uno es de8 Jm$ $acia el norte % la del otroes Jm$. $acia el sur. /Encu!ntas $oras lle"an a separarse>Km2

Opta.4..................

. &n carro sale de ? $acia R a 8Jm$ % re"resa a Jm$ despu@sde 7 $oras. 'i el carro se detuvo enR por $oras % $ora en el caminode re"reso. Ceterminar la distancia?R.

Opta.4..................

>. Miajando a * Jm$ un pilotolle"a a su destino a las 7 $oras;

viajando a 7 Jm$ lle"aría a las *$oras. 'i desea lle"ar a las $oras /a qu@ velocidad debe ir2

Opta.4..................

*. ?bel sali1 en su carro con unarapide# de * Jm$. Cos $orasdespu@s Qaría sali1 del mismo lu"armanejando por la misma carretera a Km$. /0u!ntas $oras $abía

manejado Qaría cuando alcan#1 a?bel2

Opta.4................... 'ale un tren $acia el norte con

velocidad de > Jm$ lue"o de min sale otro tambi@n $acia el norte% con la misma velocidad. 0on qu@velocidad en Jm$ constante veníaun tren desde el norte si se cru#1con el primer tren en cierto instante% lue"o de * min con el se"undotren

Opta.4..................

7. &na liebre perse"uida por un"al"o se encuentra a 8 saltosdelante del "al"o. La liebre da *saltos mientras el "al"o da >; pero saltos de "al"o equivalen a saltosde la liebre. /0u!ntos saltos dio laliebre antes de ser alcan#ada por el"al"o2

Opta.4..................

. Cos barcos parten de dos orillasopuestas de un río si"uiendo unadirecci1n perpendicular a las orillas

% se encuentran por primera ve# a metros de una orilla lle"an %vuelven al punto de partidaproduci@ndose el nuevo encuentro a metros de la otra orilla. Dallar elanc$o del río

Opta.4..................

8. 0uando un bote a motor nave"aa"uas arriba en un río durante >

$oras % apa"a el motor durantemedia $ora puede retornar al puntode partida en $oras. 0u!ntotiempo podr! demorarse en retornarsi repite la experiencia pero a$oraa"uas abajo2

Opta.4..................



PTITUD M TEMÁTIC

0apítulo relacionado en "ran parte con

el tema de planteo de ecuaciones %Oa#onamiento L1"ico.Los relojes % su utilidad para lamedici1n del tiempo son motivo de una"ran variedad de problemas % acertijosque para un mejor estudio se tratacomo tema aparte teniendo en cuentalos si"uientes objetivos específicos

1' ANALIFAR COM.RENDER LARELACIGN EN"RE EL "IEM.O"RANSCURRIDO EL "IEM.O NO"RANSCURRIDO, .ARA UN"IEM.O DE"ERMINADO.

5u

E%!/(o 1

/Nu@ $ora es cuando la partetranscurrida del día es i"ual a las >de lo que falta para terminar el día2

Resolucin

&n día4 * $oras

Hiempo transcurrido4 xHiempo que falta transcurrir4 *-x

!"#$icamente

3lanteando una ecuaci1n tenemos4

Aparte transcurridaB AesB5

3 (Afalta para

terminarB)

x 65

3 (* - x)

x 6 >x8x 6 ⇒ x 6 ,∴ Dora 6 , $. 6 * %m

Ptra forma45

3

" "an',%""ala%&.

!"an',%""&*!=

>J + J 6 *J 6 >⇒ Dora 6 >(>) 6 * o3%s

Ejemplo 24? que $ora de la maGana el tiempo quemarca un reloj es i"ual a * de lo quefalta para las del mediodía.

Resolucin

En el primer ejemplo el intervalo detiempo involucrado era todo el día (*$oras); en este caso es s1lo el mediodía; es decir4

4

5

.ala$%&T&!

!T"an',%""T&! =

,J 6 J 6 *>⇒ Las Doras transcurridas son4 (*>) 6 > 6 7 > $7 Doras * min.∴ Dora que marca el reloj 6 :(7 %m'

E%!/(o 3

&!/o o+a(

&!/o

a,$&do

&!/o o

a,$&do

¿Qué hora es?

6 24 7 6

0 # 24 #

3 5

24 #

0 # 12 #

5 4

12 #oa,



PTITUD M TEMÁTIC

'on m!s de las sin ser las > de estatarde pero dentro de *minutos faltar!n para las* el mismo tiempo que$a transcurrido desde la $asta $ace * minutos./Nu@ $ora es2

Resolución

Ce acuerdo a la informaci1n elintervalo a considerar es entre la % las*; por lo tanto4

0onsideramos tiempo transcurrido apartir de pm 4 AxB min

Centro de * min4 x + *Cesde la $asta $ace * min4 x * ⇒ lo que falta para las * es (x *)

*

3lanteando la ecuaci1n tenemos4(x + *) + (x - *) 6 >$ XY 8 minx + * + x * 6 8

x 6 , min'i"nifica que desde la pm $antranscurrida , min XY $ > min

∴ 'er!n las 2:&7 pm

2' .ROLEMAS SOREADELAN"OS A"RASOS'

3ara desarrollar estos problemas sepuede aplicar criterios l1"icos % re"lade tres; teniendo en cuenta losi"uiente4

• Dora marcada ($ora falsa)

• Dora correcta ($ora real)

Qediante las si"uientes expresiones4

Ejemplo (4&n reloj se adelanta min cada min.'i esta desperfecto ocurre %a $ace $oras que $ora marcar! las a"ujas detal reloj si la $ora exacta es >$ 8 min.

Resolucin

?plicando Are"la de tres simpleB 'i se adelanta min en min; en $oras ( x 7 6 * min) /0u!nto se$abr! adelantado2

'e adelanta min minS * min

S 615

4202 6 7 min

⇒ La $ora marcada aplicandoDQ 6 DO + ?delanto; ser!4DQ 6 > $ 8 min + 7 min

%M ' ( h )( min

Ejemplo 4Dace $oras que un reloj se atrasa >min cada media $ora. /0u!l es la $ora

exacta si el reloj indica que son las $8 min2

Resolucin

?plicando AOe"la de Hres 'impleB4

'e atrasa > min k $oraS $oras

S 6 !"a1n602/1

10.3==

⇒ $ora exacta ($ora real) aplicandoDO 6 DQ + atraso ; ser!DO 6 $ 8 min + $

DQ 6 DO - ?traso

DQ 6 DO + ?delanto

1 2 3 4

1 2 3 4

40

6 7 40

66 40

6740



12

9 3

4

PTITUD M TEMÁTIC

PR 9 12 26 min

E%!/(o

&n reloj se adelanta min cada 8$oras a partir de las 8 am. /0u!ntotiempo deber! transcurrir para quevuelva a dar la $ora correcta2

Resolucin

3ara resolver este problema debemostener presente que4 p%3% #ue un 3eloj>uel>% % m%3c%3 l% o3% co33ec$%ee34 %el%n$%3se 0%$3%s%3se) en$o$%l 12 o3%s 0B27 min)'

Entonces resolviendo por AOe"la deHres 'impleB tenemos4

'e adelanta min 8 $ min x

x 6 !"a'181445

18720=

Nu@ en días ser!4 10824

18144=

3. ESTUDIO DEL RELOJ Y SUS

MANECILLAS

E#ui>%lenci% en$3e esp%cio, 4n5ulo+ $iempo 01 >uel$%)E'a,! () Kn%l! T&! (n.)

60 360N 60 30 180N 30 15 90N 15 5 30N 5

1 6N 1n

30º=6º+6º+6º+6º+6º

Jelación entre el espacio recorrido por la

manecilla del horario * minutero 'en / hora$

El n%&"! "&,!""& 60 '!n&' &n &l '!&! $%& &l !"a"! "&,!""& 5 '!n&'# !" l!an! '& %&& &',"" %na "&la,n=

60

.5

EM

E=

12

12

1

EM

E==

E J E'a,! "&,!""! !" &l !"a"!EM J E'a,! "&,!""! !" &l n%&"!

(&n 1 !"a)

E)emplo= D&'& la' 3 &n %n! a'a la' 4 &n %n!

Tan=

En 60 n &l !"a"! aanFa

2

60J 30N

∴ En M n &l !"a"! aanFaN

2

M

.

#ngulo que forman las manecillas del relo)

'orarioFKinutero$:

C%an! &l "&l! a",a la' @B !"a' @MB n%!'! a"&aa&n& =M &l n%l! @αB !"a! !" &l !"a"! &l n%&"! '& !&n& "&,a&n&,!n la '%&n& "%la=

M2

1130 ±=α

D!n&= → !"a & "&&"&n,a (0≤≤12)M → # & n%!' "an',%""!' a

a"" & la !"a & "&&"&n,aα → M&a &l n%l! $%& !"an la'

an&,lla' &l "&l! (&n "a!''&a&'al&')

%aso C: %uando el horario adelanta al

minutero.

12

9 3

4

EDE Q



PTITUD M TEMÁTIC

<a"a la' !"a' M n%!'# & la %"a '&!'&"a $%&=12 α J 30

la !"a a'aa !" &l !"a"!

T"an'!n&n! "n!'# !&n&!'=α J 30 P 11T&n&n! &n ,%&na $%& N &' l! $%& aanFa &l!"a"! &n M n%!'# &n!n,&'=

α J 30 P 11

2

M

%aso CC: %uando el minutero adelanta al

horario

<a"a la' !"a' M n%!'# & la %"a '&!'&"a $%&=

30 α J 12 α J 11 P 30

α J 11

2

M - 30

%onclusión= El 'n! n&a! a,!aa" a laan&,lla $%& '& &n,%&n"a "&Faaa &l !'!al $%& '& &n,%&n"a a&lanaa (!an! &n,%&na '&"& &l !&n! & la' an&,lla'&l "&l!).

7otas:

a. Da! %n &! &&"na! la !"a"&&"&n,al '&" la !"a &a,a an&"!" a la!"a $%& n!' an.

. C%an! '& "&%na !" &l n%l! $%& !"anla' an&,lla' &l "&l!: '& &n&n& $%& &' !"

&l &n!" n%l!.

E)emplo I:

Q% n%l! !"an la' a%a' & %n "&l! &n ,aa,a'!S

a) 4 40 n ) 8 25 n,) 12 36 n

Jesolución

<a"a &'!' ,a'!'# al,a!' la &"&'n &n&"al=

α J 30

2

11

Mn n&,&'a & &l&a" l!' 'n!': a $%& &ln%l! && '&" !'!.

a) α J 30(4)2

11 (40)

α J -120 220α J 100N

) α J 30(8)2

11(25)

α J 2402

275

α J2

205

2

275480=

−

α J 102N30,) C%an! '!n la' 12# &n la &"&'n# '&

"&&laFa !" 0 (,&"!)

α J 30(0)2

11 (36)

α J 0 198NC!! && ,!n'&"a"'& &l &n!" n%l!

⇒ α J 360 P 198 α J 162N

E)emplo -

In,a" ,%n!' n%!' &'%' & la 1 !"ann%l! "&,! la' an&,lla' & %n "&l!.

Jesolución

El&an! la &"&'n=

α J ± 2

11 M

"&&laFan! l!' a!' &n"&!' 2

'%a,!n&'= (&n a!' ,a'!' &l Mn%&"! a&lanaal !"a"!: &' &,"# &l &'a "&Faa!# !" l! $%&a &'a an&,lla l& a'na"&!' 'n! n&a!).I) C%an! &l &n!" n%l! &' 90N

12

9 3

Qf

α

126

30:

6

M&

:&

:;

12

9 3

D fQ f

126

30:&

α6

:&

M&



PTITUD M TEMÁTIC

90 J -30 (1) 2

11 M

90 J -30 2

11 M

⇒ M J 11240 J 2111

9 n

II) C%an! &l n%l! '&a 270N(a!" n%l!)

270 J - 30(1)2

11 M

300 J2

11 M

⇒ M J11

600 J 54

11

6 n

a"n !' '%a,!n&' &n"& la 1 la' 2 &n $%&la' a%a' &l "&l! !"a"n n%l! "&,!.

<!" "&"a &F a la 1 ,!n11

921 :

<!" '&%na &F a la 1 ,!n 5411

6

E)emplo D

A $%& !"a &n"& la' 8 la' 9 &l &n!" n%l!!"a! !" la' an&,lla' &l "&l! &' la $%na a"& &l a!" n%l!S

Jesolución

L!' !' n%l!' (&n!" a!") '%an 360N

Ma!" M&n!" J 360N5 J 360N J 60N

E'& n%l! l! !"a"!n ,%an! &"an la' 8 Mn.<a"a ,al,%la" @MB al,a!'=

α J 30 2

11 M

60 J 30(8)2

11M

C!n'&"an! 'n!'# %&& a"'& !' '%a,!n&'=

I) 60 J -240 2

11M

300 J2

11M

M J11

654

11

600=

II) 60 J 240 -2

11M

2

11M J 180

M J11

832

11

360 =

La !"a &n $%& !"a"n 60N la' an&,lla' '&"

!" "&"a &F a la' 8 3211

8 n !"

'&%na &F a la' 8 5411

6 n.

6. +JLEK#& &JE

%#K+#7#2#&

El &! $%& '& & al !,a" %na ,ana @nB& ,aanaa' '&"& &' a a"" & %na $%&@a",a al !"!B: &' &," $%& l! &!' !" n&"al!'.

Mráficamente=

J &! $%& &!"a ,aa n&"al!

E)emplo /=>n "&l! '&ala la !"a ,!n %al nU&"! &,aana'. <a"a n,a" la' 6 a. &!" 15 '&.QC%n! &!"a" a"a n,a" la' 9 aS

Jesolución

La '!l%,n a &'& ! & "!l&a' '& a,&al,an! @"&la & "&' 'l&B# !an! &n,%&na l!' n&"al!' &n&"a!' &n"&,aanaa ,aanaa.E' &,"=6 a 6 ,a → 5 n VVVV 15 '&9 a 9 ,a → 8 n VVVV

J .'&24515.8 =

⇒ '& &!"a" 24 '&%n!'

E=ERCICIOS

1' &n campanario tarda *s en tocar

campanadas. /0u!nto tardar! entocar campanadas2Opta.4..............

........"" a!/aada,

<71= &+>a(o,

1 2 3



PTITUD M TEMÁTIC

2' &n campanario seGala las $oras coni"ual n<mero de campanadas. 'ipara indicar las 4 am demora 8se"undos /cu!nto demorar! paraindicar las m.2Opta.4..............

&' El campanario de una i"lesia estuvotocando durante >8 se"undos si seescuc$an tantas campanadas como veces el tiempo que $a% entrecampanada % campanada. /0u!ntotiempo emplear! este campanariopara tocar campanadas2Opta.4..............

(' 9ací en , cuando la cuartaparte de la diferencia entre eln<mero de días que faltabantranscurrir % el n<mero de díastranscurridos era i"ual al n<mero dedías transcurridos. / Nu@ día nací2Opta.4..............

' 'on m!s de las seis sin ser las oc$ode esta maGana. Dace die# minutos

los minutos que $abían transcurridodesde las 7 eran i"uales a , deltiempo que faltarían transcurrir$asta las oc$o dentro de die#minutos. /Nu@ $ora es2Opta.4..............

' 'on m!s de las pero menos de las8 de la maGana. Centro de >minutos faltar!n para las , el mismotiempo que paso desde las 7 $asta

$ace minutos /Nu@ $ora es2Opta.4..............

B' &n reloj se adelanta 8 minutos cada $oras. 'i se sincroni#a con reloj enbuen estado a las >4> a.m. /qu@$ora marcar! el reloj cuandotranscurran $oras2Opta.4..............

6' 0ierto día un reloj se empe#1 aatrasar minutos cada $ora a

partir de las 84 a.m. / Nu@ $oramarc1 el reloj a las 4 p.m. delmismo día2

Opta.4..............

*' &n reloj se atrasa $oras cada día./0u!l debe ser el menor n<mero dedías que debe transcurrir para quemarque la $ora exacta2Opta.4..............

17' &n reloj se adelanta % se calculaque deben transcurrir 7 días paraque d@ la $ora exacta. /0u!nto seadelanta el reloj cada día2Opta.4..............

11' /Nu@ !n"ulo forman las a"ujas deun reloj en cada uno de lossi"uientes casos4a) 7$ min b) *$ minc) *$ * min d) ,$ > min

12' /Nu@ $ora indica el reloj en lasi"uiente fi"ura2

Opta.4..............

α

2α



PTITUD M TEMÁTIC

CONCE."O:En este capítulo se proporciona alestudiante una t@cnica que le permitaefectuar operaciones aritm@ticas conma%or rapide# que lo com<n para locual se $a recopilado una serie desituaciones en las que $a% que operarcon n<meros enteros con n<merosdecimales con expresiones al"ebraicas;abarcando adem!s de las cuatrooperaciones fundamentales lapotenciaci1n % la radicaci1n.Nueda sobreentendido el conocimientob!sico de dic$as operaciones.

0?L0&LP O3ZCP 0P9 E9HEOP'

Ejm' 1: '& 'a& $%&=x7xx8x,xxx 6 ,,8*/0u!l es el valor de4* x x 7 x x 8 x , x x 2

Solución:

9o se trata de multiplicar todos losn<meros s1lo $a% que notar entreotras cosas que el primer productotiene el factor el cual no aparece enel 'e"undo 5rupo % este tiene el factor* en lu"ar de .3odemos decir que como * es la terceraparte de el producto que se est!buscando es la tercera parte delprimero.

∴ * x x ... x x 6 ,,8* ÷ >

6 2677 Ejm' 24QC%n! '& !&n& al &&,%a" &'a !&"a,nS>x>77+x>*+>x>*+x>77

Solución:

?"rupando el primer % el tercerproducto se obtiene4

> x (>77+>*) 6 > x

?"rupando a$ora el se"undo % el cuatroproducto se obtiene4

x (>*+>77) 6 x

3rocedemos i"ual con los productosobtenidos4

>x+x 6 (>+) 6 > x

6 17777

II' O.ERACIONES "-CNICASAL<ERAICAS

Ejm' &: El n<mero 96*8- es exactamentedivisible por dos n<meros que est!ncomprendidos entre 7 % . /0u!l esla suma de estos n<meros2

Solución:

Cel !l"ebra elemental sabemos quea-b 6 (a+b)(a-b)% al aplicar transformaciones sucesivasde este tipo al n<mero 9 tendremos49 6 *8 6 (*-)(*+)

6( ) ( +) (*+) 6 (7 ) (7 + ) (+) (*+)9 6 (7>)(7)(+)(*+)

Ce este resultado vemos que 9 esdivisible por 7> % 7 los cuales seencuentran comprendidos entre 7 % % que nos piden sumar.

Lue"o4 &K9126

Ejm' (: alla" la "a?F ,%a"aa &= =

S 6 223 + - 223−



PTITUD M TEMÁTIC

Solución:

x 6 ( 223 + ) ( 223 + ) ( 223− ) + ( 223− )

6 >+ 2 - 2

3 ( 2 )

+ >- 2

6 7 89 − 6 *x 6 * ⇒ x 6 ∴ 6 2

III' INDUCCIGN MA"EM"ICA

Henemos que observar los casos en lascuales una le% de formaci1n se cumple.

CASO III'1

0uando elevamos al cuadrado unnumeral formado <nicamente por cifras>7 1 ,.

cifras → (>>)g 6 8,→ 'uma de cifras 6 8 6 * 02)

> cifras → (>>>)g 6 88,→ 'uma de cifras 6 6 * 0&)

* cifras → (>>>>)g 6 888,→ 'uma de cifras 6 >7 6 * 0()

cifras → (>>>>>)g 6 8888,→ 'uma de cifras 6 * 6 * 0)44n cifras → (>...>>)g 6 ..88...88,

(n-) (n-) cifras cifras

⇒ 'uma de cifras 6 * n

cifras → (77)g 6 *>7→ 'uma de cifras 6 8 6 * 02)

> cifras → (777)g 6 **>7→ 'uma de cifras 6 6 * 0&)

* cifras → (7777)g 6 ***>7

→ 'uma de cifras 6 >7 6 * 0()

cifras → (77777)g 6 ****>7

→ 'uma de cifras 6 * 6 * 0)4n cifras → (77..77)g 6 **...**>...7



cifras → (,,)g 6 ,8→ 'uma de cifras 6 8 6 , ()

> cifras → (,,,)g 6 ,,8→ 'uma de cifras 6 6 , (>)

* cifras → (,,,,)g 6 ,,,8→ 'uma de cifras 6 >7 6 , (*)

cifras → (,,,,,)g 6 ,,,,8→ 'uma de cifras 6 * 6 , ()4n cifras → (,,..,,)g 6 ,,...,,8...



En "eneral observamos que al elevar alcuadrado un n<mero formado por cifras>7 1 , siempre en el resultado seobservar! que4'uma de cifras 6 ,n9<mero de cifras 6 n

Conde AnB es i"ual al n<mero de cifras

al n<mero de cifras del n<mero quevamos a elevar al cuadrado.

Ejm. 5:

Dallar la suma de cifras de AB si4 6 (... ...8)g

, cifras cifras



PTITUD M TEMÁTIC

Solución:

Pbservaremos que como el sustraendotiene cifras menos que el minuendoestar! dos lu"ares a la derec$a de @ste.

, cifras

....- ....8,,,....,,,

8 cifras

6 (,,...,,)g ; n 6 8

8 cifras

⇒ 'uma de cifras 6 *0B6) 9 B72

CASO III.2

0uando ten"amos un numeral formado

<nicamente por cifras 4 cifras → ()g 6 → 'uma de cifras 6 * 6 2Q

> cifras → ()g 6 >→ 'uma de cifras 6 , 6 &Q

* cifras → ()g 6 >*>→ 'uma de cifras 6 7 6 (Q

cifras → ()g 6 >**>→ 'uma de cifras 6 6 Q44n cifras → (...)g 6 ...n...

⇒ 'uma de cifras 6 nQ ; n X

AnB tiene que ser como m!ximo A,B puesto que es el ma%or valor que puede

tomar una cifra. ?dem!s los n<merosque se forman son n<meros capic<as;es decir n<meros en las cuales las cifras

que equidistan de los extremos soni"uales % por lo tanto se pueden leerindistintamente de derec$a a i#quierdao de i#quierda a derec$a.

Ejm' :Dallar el valor de AB si4

204060402011030505030W +=

Solución:

Pperando primero la cantidadsubradical4 >>+ *7* >*7*>

Pbservamos que este n<mero es eldesarrollo de4 >*7*>6()g

6 2)111111( 6 111111

CASO III.3

Meamos que sucede con un n<mero que

termina en cifra cuando se eleva alcuadrado4

()g 6 6

252

21

()g 6 7 6

256

32

(>)g 6 6

2512

43

4

(8)g 6 6

2572

98

4()g 6 > 6

25132

1211

En "eneral veremos que todo n<meroque termina en cifra al elevarse alcuadrado va a terminar en % lasotras cifras ser!n i"ual al producto delas cifras que no son por el n<meroconsecutivo4

( ) 25..........5n

)1n(n2

+

=



PTITUD M TEMÁTIC

Ejm' B:Dallar Am+nB si4

( x > x x x...)g 6 *n......

Solución:

Pbservaremos que lo que esta elevadoal cuadrado es un n<mero formado porfactores impares siendo uno de losfactores el n<mero . ?dem!srecordemos que4

3ar x 9 6 3ar

'in importar si 9 es par o impar

Zmpar x Zmpar 6 Zmpar

Hambi@n sabemos que al multiplicar unn<mero por otro que termina en cifra se observa4

3ar x (....) 6 ...

Zmpar x (....) 6 ...

Entonces4(x>xxx...)g6(...)g6... 6 *n.....

3or lo tanto 4 m 6 ; n 6 ⇒ m K n 9 B

CASO III.4

?$ora veamos que sucede cuandomultiplicamos * n<meros consecutivos% le a"re"amos la unidad.

3or ejemplo4

x x > x * + 6

( x * + )g 6 Q 9 2

x > x * x + 6

( x + )g 6 11Q 9 121

> x * x x 7+ 6 >7

(> x 7 + )g 6 1*Q 9 &1

En "eneral diremos que si operamos4

n(n+)(n+)(n+>)+6 [n(n+>)+]g

E%!. 8?

Dallar la suma de cifras de AQB si4

Q 6 1103A102A101A100 +

Solución:

Pperando4Q 6 2)1103100( +

Q 6 > + 6 >

'uma de cifras de Q es4

+ + > + + 6

CASO III.5Hambi@n tenemos el caso del productode dos n<meros formados por la mismacantidad de cifras , % las cifras de lasunidades suman .

99() 99...99()a99...99(

,

(,"a'XnX,"a'XnX

=

?dem!s a + b 6

E%!. 9?

Dallar el resultado de A3B si43 6 (,,,,,) (,,,,,>)

Solución:

'uman



PTITUD M TEMÁTIC

3 6 (,,,,,) (,,,,,>) 6*****7777721

Z"ual cantidad

de cifras A,B I/' CI!RAS "ERMINALES 'e llama así a la cifra de las

unidades despu@s de efectuardiferentes operaciones lo cual s1lose reali#a con las cifras de lasunidades.

E*m+ ,-.Dallar la cifra de las unidades alefectuar4

a. (*>8) + (*>7) (>*)

6 (...8) + (...7) - (...) 6 ...

b. (>*>) (8>*>) (>,) 6

(...) (...>) (...,) 6 ..., (...) (...,)

c. (*>>)> 6 (...>)>

(...>) (...>) (...>) 6 ...

(...,) (...>)

En la divisi1n ni en la radicaci1n sepuede determinar la cifra terminal;pero en la potenciaci1n vamos aobservar que4= 0uando elevamos a cualquier

potencia un n<mero que terminaen 1 7 el resultadoterminar! en la misma cifra4

(...)n 6 ....(...)n 6 ....(...)n 6 ....(...7)n 6 ....7

Ejm' 11:Dallar la cifra terminal de4

3 6( ) MAYIM.LO

1299MATEMATICO19TORAZO;AMIE;⋅

−+

So($&@?

Pperando las cifras terminales4

3 6 [(...,)+(...,)-(...)] MAYIMO.LO

3 6 [...7] MAYIMO.LO

&n n<mero que termina en 7 alelevarse a cualquier potencia terminaen 7 por lo tanto4

3 6 [...7] MAYIMO.LO 6

= Hambi@n observaremos quesucede cuando el n<merotermina en cifra * 1 , % loelevamos a cualquier potencia4

(...*)g6(...*)(...*)6....7(...*)>6(...*)(...*)(...*)6 ....*(...*)*6(...*)(...*)(...*)(...*)6 ....7

(...*)

6(...*)(...*)(...*)(...*)(...*)6...*

3or inducci1n vemos que cuando4'i n es impar ⇒ ...*

(...*)n 'i n es par ⇒ ...7

?$ora veremos cu!ndo termina en ,4

(...,)g6(...,)(...,)6....(...,)>6(...,)(...,)(...,)6 ....,

(...,)*6(...,)(...,)(...,)(...,)6 ....(...,)6(...,)(...,)(...,)(...,)(...,)6...,

3or inducci1n vemos que cuando4'i n es impar ⇒ ...*

(...,)n 'i n es par ⇒ ...1

Ejm' 12:alla" la ,"a &"nal &=

? 6 (**) + (>8,)>*7

Solución:



PTITUD M TEMÁTIC

(**) 6 (...*)ZQ3?O 6 ...*(>8,)>*7 6 (...,)3?O 6 ...

Entonces4 ? 6 (...*) + (...) 6 ...

= 3ero tambi@n tenemos que unn<mero puede terminar en >< 8. En esos casos dividiremos elexponente entre * % si el residuoes 1 > la cifra terminal de labase se multiplica dic$a cantidadde veces; pero si la divisi1n esexacta entonces la cifra terminalse multiplica por si misma *veces.

Ose3>%ción'1lo es necesario dividir las <ltimas cifras del exponente.

Ejm' 1&:Dallar la cifra terminal de4? 6 (*>)*>

R 6 (>*8)*>

0 6 (>*)*8

C 6 (*)*>*

Solución:= ? 6 (*>)*> 6 (...>)

Cividiendo475 4> 8

> ← residuo ⇒ la cifra terminal (...>)se repite > veces

? 6 (...>) (...>) (...>) 6 '''B

> veces

= R 6 (>*8)*> 6 (...8)>

Cividiendo4

> *>> 8

← residuo ⇒ la cifra terminal (...8)

se repite ve#

R 6 (...8) 6 '''6

ve#

= 0 6 (>*)*8 6 (...)*8

Cividiendo4

*8 *-8

← residuo ⇒ la cifra terminal (...)se repite * veces

0 6 (...) (...) (...) (...) 6...1

= C 6 (*)*>* 6 (...)*

Cividiendo4

* *>

← residuo ⇒ la cifra terminal (...)se repite veces

C 6 (...) (...) 6...(

.ROLEMAS .ARA DESARROLLAR

EN CLASE

. Dallar la suma de las cifras delresultado4

? 6 1)10003)(10002)(10001)(10000( +

Opta. ...................................

. Dallar la suma de las cifras alresolver4R 6 ( ...... )

, cifras

Opta. ...................................

>. Dallar la suma de las cifras delresultado40 6 ( 7777 .....7)

(n-) cifras



PTITUD M TEMÁTIC

Opta. ...................................

*. Dallar la suma de las cifras alresolver4

C 6 ,,,, + ,,,,, + ,,,,,,

Opta. .................................... Oesolver4

E 6 16 1)25717531( +

Opta. ...................................

7. Dallar la suma de las cifras delresultado4

\ 6 ...... x ,,,..... ,

* cifras * cifras

Opta. ...................................

. Dallar la suma de las cifras delresultado4

5 6 ... x ,,, ... ,

cifras cifras

Opta. ...................................

8. Dallar la cifra terminal aldesarrollar4

D 6 (+)(+)(>+)...(+)

Opta. ...................................

,. 'i4

a.....................7531

a,!"&'a,

=

Dallar4 Aa x bB

Opta. ...................................

. 'i4

(ab) + (cd)* + (ef)7 6 ... Q3

Dallar4 (Q+3)

Opta. ...................................

. 0alcular4

E 6 * * + * * + ........∞

Opta. ...................................

. Dallar la cifra terminal aldesarrollar4

E 6

8

Opta. ...................................

>. 'i4 abcd x ,,,,,,, 6 ....... >8

0alcular4 a+b+c+d

Opta. ...................................

*. Dallar la suma de las cifras alresolver4

E 6 ,,,,,,,,,8 x ,,,,,,,,,

Opta. ...................................

. Dallar AxB si

(**)8.(>8,)7+(888)*>(7),,

6....x

Opta. ...................................

7.Dallar4

H0 + H0 + E9HOE 'i4

H0 x H0 6 E9HOE



PTITUD M TEMÁTIC

En el cual 6 cero % letras

diferentes tienen valores

diferentes

Opta. ...................................

. 'i4 ,,,,,, x 78 6 .......... abcdDallar4 a + b + c + dOpta. ...................................

8. 'i4 (a+b+c) 6 **

Dallar4 abc + bca + cab

Opta. ...................................

,. Dallar la suma de las cifras de AOB

O 6 (> +)(>-)

Opta. ...................................

. 'iendo ab % c cifras; $allar Ab+cB si4 (a+b+c)g 6 a

Opta. ...................................



PTITUD M TEMÁTIC

CONCE."O4

'e denomina fracci1n a una o variaspartes que se toma de la unidaddividida.

Hodo XY &9ZC?C

7 7 7 7 7 7

→ 9umerador 7 → Cenominador

CLASES DE !RACCIONES

!RACCIGN .RO.IA4'i el numerador es menor que eldenominador.

Ejemplos4 .&,:49

21:

9

5:

5

4

en "eneral4

a X→ a X b

!RACCIGN IM.RO.IA4'i el numerador es ma%or que eldenominador.

Ejemplos4 .7

18:

5

9:

3

7

En "eneral4

a Y→ a Y b

No$%4 Hoda fracci1n impropia ori"ina

una fracci1n mixta.

5

41

5

9:

3

12

3

7→→

!RACCIONES POMO<-NEAS4Cos o m!s fracciones son $omo"@neassi presentan el mismo denominador4

Ejemplos4 ....7

11:

7

3:

3

8

en "eneral4 :......

,:

:

a

!RACCIONES PE"ERO<-NEAS4

Cos o m!s fracciones son $etero"@neas

si presentan denominadores diferentes.

Ejemplos413

12:

11

10:

9

8:

8

5

en "eneral :

&:

,:

a ≠≠

!RACCIONES ORDINARIAS4'on aquellas cu%o denominador esdiferente a una potencia de 4

Ejemplos4 67:

45:

97

en "eneral4 ;n:10 :

a n ∈≠

!RACCIONES DECIMALES'on aquellas cu%o denominador es unapotencia de 4

Ejemplos410000

11:

100

7:

10

3

!RACCIONES IRREDUC"ILES4'on aquellos cu%os t@rminos(numerador % denominador) sonn<meros primos entre si o sea notienen divisores comunes. (lo quequeremos decir son fracciones que nose pueden simplificar).

Ejemplos423

17:

26

15:

9

4:

8

7

!RACCIONES REDUC"ILES4'on aquellas cu%os t@rminos(numerador % denominador) no sonprimos entre sí o sea tienen divisorescomunes (se pueden simplificar).

Ejemplos4100

10:

8

4:

49

21:

12

9

!RACCIONES EUI/ALEN"ES4



PTITUD M TEMÁTIC

&na fracci1n es equivalente a otracuando tiene el mismo valor pero sust@rminos son diferentes.

Ejemplos4 14

10

7

5=27

12

9

4

10

6

5

3

===

En "eneral4

a es equivalente +∈ ZH :

H

aH

.RO.IEDADES DE LAS !RACCIONES

1 .3opie%4 'i dos fraccionestienen i"ual denominador es ma%orque el que tiene ma%or numerador.

Ejm4 47

411 >

2 .3opie%: 'i dos fraccionestienen i"ual numerador es ma%or elque tiene menor denominador4

Ejm415

7

12

7>

& .3opie%: 'i a los t@rminos deuna fracci1n propia se le suma o se

le resta un mismo n<mero lafracci1n aumenta o disminu%erespectivamente.

Ejm411

6

16

11

16

11

511

56

11

6>⇒=

++

→

11

6

9

4

9

4

211

26

11

6<⇒=

−−

→

( .3opie%4 'i a los t@rminos deuna fracci1n impropia se le suma ose le resta un mismo n<mero la

fracci1n disminu%e o aumentarespectivamente.

Ejm46

11

9

14

9

14

36

311

6

11<⇒=

++

→

6

11

3

8

3

8

36

311

6

11>⇒=

−−

→

.3opie%: 'i el numerador de unafracci1n se le multiplica o divide porun n<mero sin variar eldenominador la fracci1n queda

multiplicada o dividida por dic$on<mero respectivamente.

.3opie% 'i al denominador deuna fracci1n se le multiplica o dividepor un n<mero sin variar elnumerador entonces la fracci1nqueda dividida o multiplicada pordic$o n<mero respectivamente.

B .3opie%4 'i se multiplica odivide por un mismo n<mero losdos t@rminos de una fracci1n no sealtera el valor de la fracci1n.

NÚMERO DECIMAL

Es la representaci1n de una fracci1n ensu forma lineal la cual contiene dospartes una parte entera % una partedecimal.

Ejemplos 426

156 7,>

18

276 7,>

5

46 8

CLASI!ICACIGN DE LOS NÚMEROS

DECIMALES

EAC"OS O LIMI"ADOS0uando el n<mero de la parte decimaltiene cifras limitadas

6100

75 6

4

3

8 65

4

10

8 =

INEAC"OS O ILIMI"ADOS0uando el n<mero de la parte decimaltiene cifras ilimitadas.

a) .e3ióicos pu3os

aaa................6 a 69

a

abab.............6 ab 699

a

...............6



PTITUD M TEMÁTIC

..............6

b) .e3ióicos mi$os

abbb............. 6 ab 690

aa −

abcbc............ 6 abc 6

990

aa, −

*............ 6

.>>>.............. 6

,.............. 6.............. 6

a bccc.............. 6 a bc 6 a+ bc

*777.............. 6

>............ 6

Ejm. 1:Dallar una fracci1n equivalente a * sila suma de sus t@rminos es .

Sol.

⇒5

4*J + J 6

J 6 >

f 613.5

13.4∴

65

52

!RACCIGN DE !RACCIGN'e denomina así a las partes que seconsideran de una fracci1n que se $adividido en partes i"uales. ?sí por

ejemplo44

1&

9

1 indica que la fracci1n

4

1 se $a dividido en , partes i"uales

de los que se $a tomado

→

*

de , *

Ejm' 2

0alcular los4

3 de las

7

3 de los

9

2 de

Solución:

7

15

7

36

72

89

974

7223372

9

2

7

3

4

3====

!RACCION COMO RELACION T.%3$e "ooT

f 6 3arte → es; sonHodo → de; del

Ejm' &:

En una reuni1n asistieron 8 personasdonde > eran varones en determinadomomento parejas est!n bailando.

i) /Nu@ parte de los reunidos sonmujeres2

f 68

3

80

30

T!!'

M%&"&'

T

<===

ii) /Nu@ parte del n<mero de $ombres

es el n<mero de mujeres2

f 65

3

50

30

T

<==

iii) /Nu@ parte es el n<mero depersonas que bailan respecto al n<merode personas que no bailan2

f 65

3

50

30

T

<==

iv) /Nu@ parte de los $ombresbailadores son los $ombres nobailadores2



PTITUD M TEMÁTIC

f 6 115

15

T

< ==

v) /Nu@ parte respecto de las mujeresque no bailan son los varones que sibailan2

f 67

3

35

15

T

<==

An4lisis e cu%n$o se s%c%0pie3e) o %53e5% 05%n%) eun% c%n$i%:

Se s%c%o pie3e ue% A53e5oo 5%no Resul$%'us4

4

3 →

4

1

5

2 →

5

3

15

4 →

15

11

2

1 →

2

3

9

8 →

9

17

7

3 →

7

10

Ejm: (&na persona tenía '. * pierde %"ana alternadamente en cinco jue"osde a#ar4 >; >*; ; >; 8/0u!nto dinero le qued1 finalmente2

Resolucin

2408

7

15

3

17

2

14

3

13

1

1 •

−

+

−

+

−

402408

1

5

8

7

5

4

7

3

2=•••••

Ejm: Qaría va al mercado % "asta de loque no "asta; lue"o pierde * de loque no pierde. 'i al final le qued1'.>. /0u!nto tenía inicialmente2

Resolucin

5asta 65

2 (no "asta)

[a'a ;!

[a'a6

5

2

⇒ 5asta 4 x

9o 5asta4 x 3ierde4 x9o pierde4 *x

'i se qued1 con '.> ⇒ *x 6 >x 6 8∴ Henía x 6 (8) 6 7

Ejm' Ciana va al mercado % "asta en carne> de lo que tiene; en cereales * delo que le quedaba % >8 del resto en

verduras. 'i todavía le queda '. ./0u!nto "ast12

Resolucin

'uponemos que tiene AxB soles.5asta de la s"te. manera4

i) En carne4 3

1

entonces le queda 3

2

ii) En cereales4

32

41

le queda

3

2

4

3

iii) En verduras4

3

2

4

3

8

3

le queda

3

2

4

3

8

5

3or dato4

2032

43

85 =••

x 6 7*∴ 5ast14 7* 6 S8' ((

Ejm' B4Cos tercios de los profesores de uncole"io son mujeres. Coce de losprofesores varones son solterosmientras que los > son casados./0u!l es el n<mero de profesores2

Resolución



PTITUD M TEMÁTIC

3rof.4 x Q 4 3

2

M 4 3

104

3

1

5

3

'4

31

52

Cato4 3rofesores solteros4

⇒ 123

1

5

2=

9 *7

Ejm' 6\elipe entra a dos librerías en formasucesiva; en la primera "asta > de loque tenía m!s '. % en la se"unda"asta de lo que le queda m!s'.. si re"resa a su casa con '.>/0u!l es la cantidad que tenía al inicio2.

Resolución

0antidad Znicial4 x5asta Nueda

L 103

1+ 10

3

2 −

L 10103

2

10

1

+ − 10103

2

10

9

− −

Cato4 Oe"resa a casa con '. >

⇒ 5310103

2

10

9=−

−

53103

2

10

9=

−

3

2x 6

∴ 9 S8' 127

.3olem%s so3e MEFCLASEjm' *4&n dep1sito contiene >7 litros de lec$e% 8 litros de a"ua. 'e extraen litrosde me#cla. /0u!ntos litros de lec$equedaron2

Resolución4Qe#cla Znicial4

* Lec$e4 >7 → f 63

2

54

36 =

?"ua4 8 → fa 63

1

Esto quiere decir que en cualquier partede la me#cla las

3

2 partes son de

lec$e en tanto que la otra3

1 parte es

de a"ua.?l extraer de la me#cla se extraelec$e % a"ua4

Lec$e43

2() 6

?"ua43

1 () 6

Nuedando en el dep1sito4>7 6 2 e lece

Ejem' 17En un tonel $a% 7 litros de vino ? % *litros de vino R. 'i cada litro de vino ?cuesta '. % cada litro de vino Rcuesta '.; /0u!nto cuesta * litrosde la me#cla2

Resolución: Qe#cla Znicial

M? 6 7 → f M? 6100

606

5

3

MR 6 * → f MR 65

2

⇓

M? 65

3 (*) 6

MR 65

2(*) 6 8

∴ 0osto4 x '. 6 '. 8 x '. 6 '. ,

Hotal '. >7

*



PTITUD M TEMÁTIC

REDUCCION A LA UNIDAD

?plicable a problemas en los queintervienen "rifos llaves obreros.

Ejm' 11&n obrero puede reali#ar un trabajo en $oras otro obrero lo puede $acer en> $oras. 'i trabajan los dos juntosqu@ tiempo se tardar!n en reali#ardic$o trabajo

Resolución

Hiempo que emplea cu de los obreros4t 6 $t 6 >$?nali#ando el trabajo que $acen en una$ora4

El F obrero $ar!20

1 de la obra.

El F obrero $ar!30

1 de la obra.

⇒ los dos juntos $ar!n4

20

1 +

30

16

60

5 6

12

1de la

obra.Hoda la obra lo $ar!n en 4(aplicando Are"la de tresB) 12 o3%s

3ara este tipo de problemas esrecomendable aplicar4

T

<

1.....

1

1

1

n321

=++++

Conde4

tJ 6 tiempo que demora cobrero en$acer la obra.

3 6 parte de la obra a $acer.'i es toda ⇒ 3 6

H4 tiempo que demora en $acerse laparte de la obra actuando juntos.

= 3ara el ejemplo anterior4

t 6 $ ; t 6 > $

⇒

30

1

20

1+ 6

T

1

m.c.m. 6 7H

>H + H 6 7H 6 7 " 9 12

Ejm' 12&na bomba ? puede llenar una piscinafuncionando s1lo en * $oras. Ptrabomba R lo puede llenar en $oraspero otra bomba 0 lo puede descar"artotalmente en $oras. /Nu@ tiempoemplear!n las tres bombas funcionandoa la ve# para llenar totalmente lapiscina2

Resolución:

3odemos aplicar directamente4

T

<

1

.....

1

1

1

n321=±±±±

donde4tJ 4 tiempo que emplea c"rifo en llenar o descar"ar un dep1sito.3 4 parte del dep1sito a llenarH 4 tiempo que demora en llenarse(+) cuando llena(-) cuando descar"a

⇒ T1

201

51

41 =−+

m.c.m. 6 H

H + *H - H 6

8H 6

H 6 5#22

5

8

20==

" 9 2 &7 min

.ROLEMAS .ARA DESARROLLAR EN CLASE



PTITUD M TEMÁTIC

) 'implificar4

Opta. ...................

) 'implificar la si"uienteexpresi1n4

Opta. ...................

>) 5ast@ los > de los > de los8 de mi dinero % a<n mequedan los >* de los > de los de '.*. /0u!nto tenía alprincipio2

Opta. ...................

*) 'i a los t@rminos de una fracci1nse les resta el valor de lafracci1n es > % si a los dos

t@rminos se le aGade > el valorde la fracci1n es . Ceterminarla fracci1n.

Opta. ...................

) ? los t@rminos de una fracci1n sele suma el denominador % alresultado se les resta la fracci1nori"inal obteni@ndose la fracci1nori"inal. /0u!l es la fracci1n2

Opta. ...................

7) Ce un sal1n de x alumnos >dieron examen % los > de estosaprobaron de los cuales s1lo *tuvieron notas ma%ores que .0u!ntos dieron examen si losque tienen nota ma%ores de son 72

Opta. ...................) En una clase de a alumnos la

tercera parte de los ausentes es

i"ual a la s@ptima parte de lospresentes /Nu@ fracci1n de losalumnos estuvieron ausentes2

Opta. ...................

8) Ce un tonel de * litros seextrae * de lo que no seextrae lue"o * de lo que %a se$abía extraído. /0u!nto seextrajo en total2

Opta. ...................

,) &n tonel est! lleno un cuarto delo que no est! lleno. /Nu@fracci1n del tonel queda vacío sise vacía un tercio de lo que no sevacía2

Opta. ...................

) Cos cilindros contienen en total788 litros. 'i se saca * delcontenido del primero % delse"undo queda > litros m!s enel primero que en el se"undo.

/0u!ntos litros $a% en cadacilindro2

Opta. ...................

) La suma de un n<mero m!s los>* del mismo es i"ual a m!sla mitad de aquella suma. /0u!les la tercera parte de dic$on<mero2

Opta. ...................

) Dallar una fracci1n tal que si sele a"re"a su cubo la suma queresulta es i"ual al cubo de lamisma fracci1n multiplicada por>*.

Opta. ...................

5

3

5

2

15

4

15

84

1

4

3

3

2

3

1

E

+÷−

−•+=

9

10

5

3

5

2

...833#05#0...666#0E

•+

++=



PTITUD M TEMÁTIC

>) &na piscina est! llena $asta sus> partes. 'i se sacara litros estaría llena $asta sus >8./0u!ntos litros falta parallenarla2

Opta. ...................

*) &n cami1n car"ado con arro#pesa , J" % cuando estalleno $asta los pesa los ,del cami1n vacío. Encontrar elpeso del cami1n vacío.

Opta. ...................

) ? % R pueden $acer un trabajo en7 > dias; ? % 0 pueden $acer elmismo trabajo en * * dias; %? R % 0 pueden $acer la obra en> >* dias. /0u!nto tiempotardar! ? para $acer solo dic$otrabajo2

Opta.4 ............

7) &na tubería ? puede llenar un

estanque en 7 $oras % otratubería R de desa"e la puedevaciar en 8 $oras. Estando vacíoel estanque se $ace funcionar ?durante dos $oras % lue"o seabre la otra tubería Rfuncionando así las dos. /Nu@tiempo total emplearon parallenar el estanque2

Opta.4 ............

) Hres tuberías ?; R % 0funcionando juntas puedenllenar la mitad de un tanque encuatro $oras. 'i funcionando s1lo? % R pueden llenar todo elestanque en $oras; % sifuncionando R % 0 lo llenanen $oras. /En cu!ntas $orasllenar! la tercera parte delestanque la tubería R si

funciona sola2

Opta.4 ............

8) Estando el desa"e de unapiscina cerrado un caGo demora7 $oras en llenarla; % estandoabierto el desa"e el caGodemora , $oras en llenarla. 'illenamos la piscina % cerramos elcaGo. /En cu!nto tiempo sevaciar! completamente lapiscina2

Opta.4 ............

,) Cos obreros pueden reali#ar untrabajo en días si uno deellos se demora 7 días m!s que

el otro trabajando solo. /En qu@tiempo $aría la obra el m!seficiente2

Opta.4 ............

) Ciana puede $acer un trabajo en días % Qaría $ace el mismotrabajo en 7 días. Cespu@s detrabajar juntos durante días seretira Ciana. /En qu@ tiempoterminar! Qaría la parte quefalta2

Opta.4 ............

>) &na compaGía tiene >pintores; Luis que puedepintar una casa en 7 días; Vos@que puede pintar una casa en8 días % 3edro que puedepintar una casa en días. La

compaGía firma un contratopara pintar > casas. Empie#aLuis quien trabaja 8 días;lue"o lo reempla#a Vos@ quientrabaja durante 7 días % esreempla#ado por 3edro quienconclu%e el contrato. /0u!ntosdías trabaja 3edro2Opta4......................



PTITUD M TEMÁTIC

"AN"O .OR CUAN"O:Meamos un ejemplo tenemos unterreno de forma cuadrada % ladividimos en parcelas de , partesi"uales % tomamos * de esas partes4

Hotal XY , partes

* partes

6Y * partes de , XY *,el * por ,

?dem!s4Hotal XY , partes XY ,, XYel , por ,

En "eneral dividimos una cantidad enn partes % tomemos m partesentonces4 m partes XY mn XY el mpor n

Ejemplo:Cel 0entro 3reuniversitario in"resar!n de cada > postulantes- de cada > in"resar!n- por cada > in"resar!n- por > in"resar!n

EL "AN"O .OR CIEN"O 0V)

Es un caso particular de la re"la deltanto por cuanto donde la cantidad sedivide en partes i"uales de loscuales tomaremos m partes i"uales.m partes XY m XY m T

→ Ael m por cientoB.

Ejemplos4

- El 7 por XY ..........

- El por XY ..........

- El > por * XY ..........

- El 8 por ciento XY ..........

- El por ciento XY ..........

- El a por b XY ............

- El xT XY ...........

E#ui>%lenci%s4

- T XY ..........

- >T XY ..........

- 8T XY ..........

- >> >T XY .........

- XY ..........

- > XY ..........

- 8 XY ..........

- > XY ..........

- XY ...........

C%lcul%34

a) el 7T de > .........b) el >T de .........c) el > por de 7 .........d) el por 8 del * por de 8 .......e) el T del >T del T de

'e pueden sumar o restar porcentajesde una misma cantidad4



PTITUD M TEMÁTIC

Ejemplos:

a) 9 + T 9 6 ...........b) R - >T R 6 ...........c) ? + *T ? - > ? 6 ...........d) 7T ? + (>T?) - ? 6 .....

RELACIGN .AR"E "ODO EN"AN"O .OR CIEN"O

3arte4se indica con los t@rminos4es son ser!n .........

Hodo4 se indica con los t@rminos4de del de los ..........

Ejemplos:

. /Nu@ tanto por ciento es respecto a 82

\2510080

20100

T

<=•→•

. /Nu@ tanto por ciento de 7 es72

\1010060

6100

T

<=•→•

>. /Nu@ tanto por ciento es ? de R2

I

A100100

I

A100

T

<=•→•

*. /Nu@ tanto por ciento de (m+)es m-2

)1*(100100)1*(

)1*)(1*(100

T

<−=•

+−+

→•

. En nuestro sal1n de clases seobserva que $a% * alumnos$ombres % las mujeresrepresentan el >> >T deaquellos. /Nu@ tanto por cientorepresenta los varones respectoal total de alumnos2

Marones4 *

Qujeres4 >> 14)42(\3

100)42\(

3

1==

Hotal de alumnos4 * + * 6 7

\7510056

42100

T

<

=•⇒•

A.LICACIONES

Oespecto a un total (T)

3ierde Nueda 5ano Hen"oT 8T T T7T *T >>T >>T

mT (-m)T ST (+x)T

Ejemplos:

. &na persona tenía '.* %perdi1 > veces consecutivas elT; T % Trespectivamente lo que le ibaquedando. /0u!nto le quedo alfinal2

Solución:

'i pierde4 T T T

Le queda4 T ,T T

81./240100

50

100

90

100

75=•••

Ptro procedimiento4

* - T le queda 8 (*-7)8 - T le queda 7 (8-8)7 - T le queda 8 (7-8)

. En una sala de RZ95P unapersona tenía cierta cantidad dedinero % apuesta * vecesconsecutivos. En las dos primeraspierde el T % >T % en lasdos <ltimas "anan el T %T; siempre de lo que iba

quedando. 'i al final se retir1 con'.8,. /0u!nto tenía al inicio2/5an1 o perdi12.

100•Todo

Pa"te



PTITUD M TEMÁTIC

Solución:Cinero inicial4 x

T >T T T

,T T T T

⇒ 1890100

125

100

120

100

70

100

90 =••••

x 6 .

∴ perdi14 8, 6 '.

DESCUEN"OS AUMEN"OSSUCESI/OS

Ejemplos:

. /? qu@ descuento <nicoequivalen dos descuentossucesivos del T % >T2

?plicando el m@todo pr!ctico

T >T

,T T→ \63100

63

100

70

100

90==•

0omparando con el n<mero base'e $a descontado el >T.

. /? qu@ aumento <nico equivalendos aumentos sucesivos del T% >T2

?plicando el m@todo pr!ctico4

T >T

T >T→ \143100

130

100

110=•

0omparando con el n<mero baseequivale a un aumento del *>T.

>. El precio del a#<car en este mes$a bajado en un T pero parael pr1ximo mes se pro%ecta unincremento del T. En cu!nto

varía el precio con respecto alinicial2Ce acuerdo al enunciadotenemos4

T T

8T T → \88100

110

100

80 =•

0omparando con el n<mero baseel precio disminu%e en T.

/ARIACIONES .ORCEN"UALES 'e denomina así al cambio queexperimenta una cantidad con relaci1na su valor ori"inal % que es expresadoen tanto por ciento.

Ejemplos4

. 'i un n<mero aumenta en T./En qu@ tanto por cientoaumenta su cuadrado2

3odemos anali#ar tomando comobase un n<mero cualquiera quepara nuestro caso es convenienteel n<mero debido a que sucuadrado me dar! comoresultado .

→ (T)T

→ ** (**T)

?umenta en **T

Ptro procedimiento49<mero base4 T?umentamos su T → T

'u cuadrado → (T)g 6

\144100

144

100

120 2

=

=

3or lo tanto aumenta en **T



PTITUD M TEMÁTIC

. 'i un n<mero disminu%e en *T./En qu@ tanto por cientodisminu%e su cuadrado2

T → 7T ⇒ (7T)g 6 >7T

-*T su cuadrado

3or lo tanto a disminuido en 7*T

>. 'i el radio de un cilindro aumentaen T % su altura disminu%e enT. /En qu@ tanto por cientovaría su volumen2

El volumen de un cilindro est!relacionado de la formasi"uiente4

M 6 πrg . $

9otamos que la variaci1n delvolumen depende directamentede ArB % A$B

rg . $

(T) (8T) ⇒ \8.96100

80

100

110 2

=

0on respecto al n<mero base adisminuido en >T

A.LICACIONES COMERCIALES

En las transacciones comerciales seinvolucra tres elementos b!sicos queson4

3M 6 3recio de venta30 6 3recio de costo5 6 5anancia o 3 6 3@rdida3M 6 30 + 53M 6 30 - 3

Ose3>%ciones4. Los tantos por cientos de"anancias % de p@rdida se aplican

al precio de costo salvoespecificaci1n contraria en elproblema.

. Los tantos por cientos de rebajao descuento se aplican al preciofijado o de lista salvo otraespecificaci1n.

Ejemplos:. 'e compra un H.M. en 8. /?

c1mo deber! vender si se quiere"anar el T del costo2

30 6 85 6 T3M 6 8 + T (8)

.C 9 ; *7

. Mendiendo un jue"o en soles se "ana el T del costo./0u!l es su costo2

3M 6 5 6 T

6 30 + T 30 6 T 30

.C 9 ; 127

>. &n artículo que cost1 '. 7 sevendi1 $aciendo un descuentodel T % a<n así se "an1 elT del precio de costo. Dallar elprecio fijado.

0osto ?umento

'. 7 S

C 6 T (7 + S)

5 6 T (7)

Cel "r!fico podemos observar4S 6 T (7 + x) + T (7)S 6 + Tx + 8Tx 6 *

9 &77

El precio fijado ser! el costo masel aumento4



PTITUD M TEMÁTIC

3\ 6 7 + >

P/ ' 0--

.ROLEMAS RESUEL"OS

. Vor"e vende su televisor en perdiendo en la venta >. /Nu@T perdi12

Solución: 3M 6 3@rdida4 > ⇒ 3c 6

∴ 3erdi1 (T) 4 10015030

6 T

. 'i "astara el >T del dinero queten"o % "anara el T de lo queme queda perdería 7./0u!nto ten"o2

Solución:Hen"o4 x'i "astara4 >Tx ⇒ me quedaría4 Txsi "anara4 T (Tx) 6 *Txtendría 8*T de x∴ perdería4 -8* 6 7Tx7Tx XY 7⇒ x 6

>. El seGor L1pe# vendi1 dos pipas a cu. Rasada en el costo su

"anancia en una fue T % sup@rdida en la otra fue T./0u!nto perdi12

Solución:3v 6 3v 6 5 6 T 3c 36 T 3c

3v 6 T 3c 3v6 8T3c

6 T 3c 68T3c

3EH 6 30 6 3MHPH?L 6 *

30HPH?L 6 ∴ perdi14

*. En un sal1n de clase $a% 7varones % * mujeres. /0u!ntasmujeres deben retirarse para queel porcentaje de $ombresaumente en *T2

Solución4

* M4 7 → 40

16 x 6 *T

Q4 * → 7T

- S Qujeres +*

M4 7 .................6 7*T*-S Q4 * S ...........6 >7T

⇒ \6440

16=

−

100

64

40

16=

−

Cesarrollando4

* - x 6 9 1

. 'i la base de un tri!n"ulodisminu%e >T % la alturaaumenta *T. /En qu@porcentaje varía su !rea2

Solución:

b ->T T b

$ +*T *T$

=

2

. A

?i 6 b.$ ?f 6 (Tb) (*T$)?i 6 T(b$) ?f 6 ,8T(b.$)

⇒ disminu%e en T



PTITUD M TEMÁTIC

7. 'e tiene 8 litros de una me#claque contiene ?lco$ol % DP al7T de ?lco$ol. /Nu@ cantidadde a"ua se debe a"re"ar paraobtener una nueva me#cla alT de alco$ol2

Solución:

?lco$ol4 7T (8) 6 *88 ?"ua4 *T (8) 6 >

+ x litros de a"ua

?lco$ol4 *8 ....... T

8 + x ?"ua4 > + x

⇒ \2080

48=

+

5

1

100

20

80

48==

+

* 6 8 + x

9 17. ? puede $acer un trabajo en ,

días R es T m!s eficiente que?; el n<mero de días que Remplea para $acer el mismotrabajo es4

Solución:Hrabajador H(días) Eficiencia? , T

R x T

? ma%or eficiencia menorcantidad de días; por lo tantoaplicando Are"la de tres simpleinversaB tenemos4

, () 6 x ()

9 W%s

-ROBEMAS -ARA RESO'ER

EN CASE

. En cada caso

a) Dallar el >T de ,b) Dallar el 8T de c) Dallar el >T de ,

d) Dallar el (a-b)T de

−+

22 a

a

e) Dallar x+% sabiendo que xTdel %T * es x; % el xT de es %.

. Dallara)El *T de un n<mero es .

Dallar dic$o n<mero.b) El T de que n<mero es *.c) El T de una cantidad es >.

Dallar el T de dic$acantidad.

>. 'i Ooberto tuviera T m!s de laedad que tiene tendría *8 aGos.

/Nu@ edad tiene2

Opta. ..........................

*. 'i se disminu%e el T deldinero que tiene 3edro lequedaría '.*. /0u!nto tiene2

Opta. ..........................

. Oesolver4

a) /Nu@ tanto por ciento de *es 2b) /Nu@ tanto por ciento de

es 72

7. En un sal1n de clase $a% 7alumnos de los cuales * sonmujeres /Nu@ tanto por cientodel total son varones2

Opta. ..........................

. 'i el *T del T de ? es el>T de R /Nu@ tanto porciento de (? + R) es (? + R)2



PTITUD M TEMÁTIC

Opta. ..........................

8. El precio de lista de un artefactoel@ctrico es de . 'obreesta cantidad se $acen dosdescuentos sucesivos del >T %T al reali#arse la venta /0u!l$a sido el descuento total2

Opta. ..........................

,. Los descuentos sucesivos del .....a) T % T es equivalente a ....b) T % T es equivalente a .....c) T % T es equivalente a ......

. 'i un n<mero aumenta en T /Enqu@ tanto por ciento aumenta sucuadrado2

Opta. ..........................

. 'i un n<mero aumenta en T /Enqu@ tanto por ciento aumenta sucubo2

Opta. ..........................

. 'ea la expresi1n E6x.%; si xaumenta en un *T e % aumentaen un T. /En qu@ tanto porciento aumenta la expresi1n2

Opta. ..........................

>. En qu@ tanto por ciento varía el!rea de un círculo si su radio se

triplica2

Opta. ..........................

*. En qu@ tanto por ciento varía el!rea de un rect!n"ulo si su lado seincrementa en un T % su anc$odisminu%e en un T

Opta. ..........................

. /En qu@ tanto por ciento varía el!rea de un tri!n"ulo si su base se

incrementa en un T % su alturadisminu%e en un T2

Opta. ..........................7. &n padre compra a su $ijo un

sJateboard en 8 pero como al$ijo no le "usta el modelo lo quierevender "anando el T. /? c1mo lovender!2

Opta. ..........................

. &n artículo que cost1 '. sevendi1 "anando el *T del preciode venta. /0u!l fue el precio deventa2

Opta. ..........................

8. 'i se vendiera un artículo en'.> se "anar! el T del Tdel 8T del costo. /? cu!nto debevender el objeto para "anar el Tdel T del 7T del costo2

Opta. ..........................

,. Ce un total de personas 8son $ombres % el resto mujeres. 'ise retiran la cuarta parte de los$ombres % la mitad de las mujeres/0u!l ser! el porcentaje de lasmujeres2

Opta. ..........................

. En un recipiente $a% * Lt. dealco$ol al ,T de pure#a en el otro

7 Lt de alco$ol al T. 'ime#clamos calcular el "rado depure#a de la me#cla

Opta. ..........................



PTITUD M TEMÁTIC

9P0Z9 CE '&0E'Z9

&na sucesi1n es un conjunto ordenadode elementos (n<mero letras fi"uras)tales que cada uno ocupa un lu"arestablecido de modo que se puededistin"uir el primero el se"undo eltercero % así sucesivamente; acordecon una le% de formaci1n criterio deorden o f1rmula de recurrencia. ? loselementos de este conjunto se les

denominan t@rminos de la sucesi1n.

Las sucesiones pueden ser4- 'ucesiones "r!ficas- 'ucesiones literales- 'ucesiones num@ricas

En ocasiones se presentan al"unassucesiones que son combinaci1n de lasanteriores.

Ejemplos:

a) ; ;;; ....b) ; >>; 7; ,; ....c) ; 8; ; 7*; ....d) ; ; ; >; *>; ....e) \; D; V; L; 9;...

SUCESION NUMERICA

Es un conjunto ordenado de n<meros

en el que cada uno de ellos tiene unorden desi"nado; es decir que a cadauno de los t@rminos de la sucesi1n lecorresponde un n<mero ordinal. ?sí

] Prdinal4 F F >F *F..........nF

H@rminos dela sucesi1n4 t t t> t*......... tn

Ejm' 1:

Dallar los primeros t@rminos en cadacaso teniendo en cuenta las si"uientesf1rmulas de recurrencia4

a) tn 6 n> +

Solución4

?plicando el principio de valor

num@rico tenemos4

t 6 x > + 6 + 6 >t 6 x > + 6 7 + 6 t> 6 x >> + 6 * + 6 t* 6 x *> + 6 8 + 6 ,t 6 x > + 6 + 6

⇒ los t@rminos de la sucesi1n son4> , .....

b)1

2

+=n

nt n

'olución4

t 62

1

11

12

=+

t 6

3

4

12

2 2

=+

t> 64

9

13

32

=

+

t* 65

16

14

4 2

=

+

t 66

25

15

52

=+

⇒ Los t@rminos de la sucesi1nson4

:....6

25:

5

16:

4

9:

3

4:

2

1

c) tn 6 n + *

⇒ ..................



PTITUD M TEMÁTIC

d) tn 6 >n + + (n-) (n-)

⇒ ..................

e) tn 6 n + (n-)(n-)(n->)

⇒ ..................

Ejm' 2:

Dallar el t@rmino en@simo en cada caso.

a) *; ,; 7; ; .......

Solución4

?nali#ando cada uno de lost@rminos.

t t t> t* ...... tn

* , 7

g >g *g g ⇒(n)g

∴ tn 6 (n)g

b) ; 7; ; ..........

Solución

?nali#ando cada uno de lost@rminos

t t t> t* ...... tn

7

x x> >x* *x ⇒ n(n+)

∴ tn 6 n(n+)

c) k *7..

tn 6 ....................

d) >; 7; ; 8; ........

tn 6 ....................

e) ;.....;;;7

6

11

9

4

3

5

3

tn 6 ....................

SUCESIONES NUMERICASIM.OR"AN"ES

SUCESIGN ARI"M-"ICA ('ucesi1nLineal o de 3rimer Prden)

La diferencia entre dos t@rminosconsecutivos (tambi@n llamada ra#1naritm@tica) es siempre constante.'u t@rmino en@simo est! dado por4

; t 6 t r

tn: H@rmino en@simo

t 4 H@rmino anterior al primero t 6 t-rr 4 Oa#1n aritm@tica r 6 t - t

n4 Lu"ar del t@rmino en@simo

Ejm' &:

Dallar el t@rmino en@simo en cadacaso4a) ; ; ; ; .......

Solución:

....K K K

⇒ r 6 ;to 6 - 6

⇒ $n 9 n K 2

b) * >, >> .....

Solución:

* >, >> -7 -7 -7⇒ r 6 -7 ;

to 6 * (-7) 6

∴ tn 6 -7n + 1 tn 6 7n

tn 6 rn + t



PTITUD M TEMÁTIC

c) * 8...

Solución:........................................................................................

'&0E'Z9 3PLZ9PQZ?L CE 'E5&9CPPOCE9 P 0&?COHZ0?.

En $o% sucesión cu%34$ic% el$3mino ensimo es e l% ?o3m%:

donde a b % c son valores constantesque se $allan de la si"uiente manera4

t ; t ; t ; t> ; t* ; t ; .....

+m +m +m +m> +m*

+r +r +r +r

Conde4

r 4 m mmo 6 m - rto 6 t mo

Ejm' (:

Dallar el t@rmino en@simo en cadacaso4

a) ; ; ,; ,; *; ......

Solución: , , *

+7 +8 + +

+ + +

⇒ r 6 mo 6 7- ⇒ m 6 *

to 6 -* ⇒ t 6

- 0!lculo de a; b % c

a 62

" ⇒ a 6 1

2

2 = ⇒ a 6

b 6 mo a ⇒ mo 6 *- 6 >c 6 to ⇒ c 6

∴ tn 6 ng + >n +

b) -; -,; -,; -; >

Solución:

- -, -, - >

-* +* +>

+* +* +*⇒ r 6 *

mo 6 -* * 6 -8to 6 - (-8) 6 >

- 0!lculo de a b % c4

a 62

4

2

" = ⇒ a 6

b 6 mo a 6 -8 ⇒ b 6 -

c 6 to ⇒ c 6 >

∴ tn 6 ng - n + >

c) ; ; >; ; 8;......

!l%,n=

SUCESIGN <EOM-"RICA;En "eneral4

Cada la sucesi1n "eom@trica4

t; t; t>; t*; t; .......

xq xq xq xq

q4 ra#1n "eom@trica

Entonces4

tn 6 t x qn-

Ejm' 4

tn 6 a.n + b.n + c

a 6 r b 6 m - a c 6 t



PTITUD M TEMÁTIC

Dallar el t@rmino en@simo en4

a) ; 7; 8; *; 7;....Solución:

7 8 * 7

x> x> x> x> ← ra#1n(q)

⇒ q 6 >

Pbservaci1n4t 6 t 6 x >t> 6 x >

t* 6 x >> 4

∴ tn 6 x >n-

b) >; ; *8; ,;.... ⇒

c) *;; :....8

5:

2

5⇒

SUCESIGN .OLINOMIAL DE ORDENSU.ERIOR

Meamos por ejemplo una sucesi1n decuarto orden.

F F >F *F F 7F........nF t t t> t* t t7.......tn

a b c d e

p p p> p*

q q q>

r r

'u t@rmino en@simo viene dado por4

donde4

AJB factores

++ Ζ ∈Ζ ∈≤< n 1 n 1 ::0

Ejm' :0alcular el t@rmino en@simo en4

*; 7; ; ; >8;....

Solución:

* 7 >8

+ + + +

+> + +

+ +

t 6 *; a 6 ;p 6 >; r 6 ;

El t@rmino en@simo tendr! la forma4tn 6

1n

3

1n

21

1n

1

1n

01n C" C aCC −−−− +++=

tn 6

( ) ( )( ) ( )( )( )

1.2.3

3n2n1n2

1.2

2n1n31n24

−−−+

−−+−+

tn 6( )

( ( ( ( (3

3n2n1n

2

2n1n31n24

−−−+

−−+−+

Ejm' B:Dallar el t@rmino que si"ue en4

a) ; >; 7; ; ..........

Solucin.

> 7

+ +> +* +

+ + +

⇒ t 6

b) ; ;;;5

17

2

5

3

5 ............

Solución:

1

31

1

21

1

1

1

0

−−−− +++= nnnn1n CqCpaCCtt

)1)...(2H )(1H (H

)...2n)(1n(nCn

H −−−−

=



PTITUD M TEMÁTIC

Encontrando fracciones equivalentespara t % t* tenemos4

5

17:

4

10:

3

5:

2

2

?nali#ando numerador %denominador4

= 2

+> + + +,

+ + +

= > * →

+ + +

⇒ t 63

13

6

26 =

c) Z; E;5; \; E;5;

Solución:Observamos que la letra E se

repite, por lo que podemos suponer

que se trata de dos sucesiones

alternadas, las cuales las

individualizamos, de modo que

tenemos:

= Z 5 E 0

D \ C

= E \ 5 → D⇒ t 6 0

d) ; *; ; 7; ........Solución:

?nali#ando cada uno de lost@rminos4t 6 6

t 6 * 6 gt> 6 6 >>

t* 6 7 6 **

⇒ t 6 6 >

e) ; ; >; 7;

Solución:?nali#ando cada uno de lost@rminos4t 6 6 x t 6 6 > x *t> 6 > 6 x 7t* 6 7 6 x 8

⇒ t 6 , x 6 ,Ejm' 6:0alcular el t@rmino en@simo de cadauna de las sucesiones si"uientes4

a) *; ,; *; ,; ........

Solucin.

* , * , + + +⇒ r 6

La sucesión es de primer orden,

donde to = 4-5 = -1

⇒ tn 6 n

b) ; ; >; >8; ........

Solución:

> >8

+ + +

+* +*

⇒ r 6 *



PTITUD M TEMÁTIC

La sucesi1n es de se"undo orden

- > >8

+> - + + +

+* +* +*

r 6 * ; mo 6 > to 6

a 62

46 b 6 >-6 c 6

⇒ tn 6 ng + n + c) >; ; ; *;.......

Solución:> *

+* +* +>

+,

De acuerdo al análisis no se puede

determinar que orden es; por lo

tanto asumimos que se trata de

primer orden, cuya razón es:

r 6 *;

de donde4 to 6 >-* 6 -

⇒ tn 6 *n

Ce donde4t 6 *()- 6 >t 6 *()- 6 t> 6 *(>)- 6 t* 6 *(*)- 6 (no cumple)

0omo a cumplido para trest@rminos entonces concluiremosque el t@rmino "eneral ser! detercer orden % tendr! la forma4

?n 6 tn + J (n-) (n-) (n->)

Es decir4

?n 6 *n + J (n-) (n-)(n->) (..Z)

- Cebemos calcular AKB para lacual tenemos de la sucesi1nprincipal tenemos que ?* 6 *

En (Z) tenemos4⇒ * 6 *(*) + J(*-)(*-)(*->)

* 6 + J (>)()()

de donde J 62

3

∴ ?n 6 *n +

2

3 (n-) (n-) (n-)

3OPRLEQ?' 3?O? CE'?OOPLL?O E90L?'E

. Dallar el t@rmino que si"ue en4

a) ; >; ; ; ;.......

b) ; ; ; >; ; 8;.......

c) ; ; ; *; ; >;.......

d) \; D; K; L; P; P; ....;....

e) ; H; 3; 9; V;...

f) I; ; '; 9;...

") ?; C; 5; K; ; '; ...

$) 7; *; *; *; >; ,7;W

i) ; ; ; ; ;W

j) ; ; ; >;W

J) *; ; ; >; ,; ; *; ....



PTITUD M TEMÁTIC

. 0alcular el t@rmino en@simo decada una de las sucesionessi"uientes4

a) >7; >; 7; ; .....

b) ,;- 7; ->; -;...

c) ; ; *; >;WW

d) :15

17

:1:6

5

:3

2

........

>. 'e sabe que seis t@rminosconsecutivos de la sucesi1n4 8;; *; ;...... suman *.calcular el quinto t@rmino de losseis mencionados.

Opta4............

*. Dallar el se"undo t@rminone"ativo de la sucesi1n>; ; ; ,;.....

Opta4............

. 'e tiene la pro"resi1n aritm@ticacreciente4

:.....1:4: acabaaa

Dallar el s@ptimo t@rmino.

Opta4............

7. En el si"uiente tri!n"ulonum@rico $allar la suma delprimer % <ltimo t@rmino de la fila.

→ \

> → \

, → \>

> , → \*

> , → \

Opta4............

. 0alcular el n<mero de t@rminosde la si"uientes sucesi1n; así como el valor de AaB

1720130

15

70

9

28

5

4

3 a;......;;;

Opta4............

8. Cada la si"uiente sucesi1n4 , 8 7 7......../0u!ntos t@rminos son de *cifras2

Opta4............

,. Out$ se propone leer una noveladiariamente el primer día lee >p!"inas el se"undo día lee 8p!"inas el tercer día p!"inasel cuarto día * p!"inas % así sucesivamente $asta que ciertodía se da cuenta que el n<merode p!"inas que $a leído ese díaes * veces el n<mero de díasque $a estado le%endo. Dallar eln<mero de p!"inas leídas endic$o día.

Opta4............

. Dallar el valor de AnB en lasi"uiente sucesi1n4 (a+>);(a+)>;(a +);......;(a+8-n)n

Opta4...........

. Los t@rminos de la sucesi1ndefinidos por4 tn 6 8n-7n+>ocupan los lu"ares impares deuna nueva sucesi1n % lost@rminos de la sucesi1n definidospor tn 6 8n +n + ocupan loslu"ares pares de la misma nuevasucesi1n. 0alcular el t@rminoen@simo de la nueva sucesi1nformada.

Opta4...........

. /0u!ntos t@rminos de tres cifraspresenta la si"uiente sucesi1n2



PTITUD M TEMÁTIC

> , , >>........

Opta4...........

>. 0alcular la diferencia de los

t@rminos An-@simosB en4;;;;

9

14

7

10

5

6

3

2........

;;;;9

8

15

11

2

1

9

1

Opta4...........

*. Vuan va a una tienda % compra uncaramelo re"al!ndole el vendedorun caramelo por su compra. En una

se"unda ve# compra > caramelos %le re"alan en la tercera compra 7% le re"alan > en la cuarta ve#compra % re"alan * en la quintave# compra % re"alan % así sucesivamente /0u!ntos caramelosrecibir! en total cuando entra a latienda a compra por vi"@sima ve#2

Opta4.............

. Dallar el n<mero de t@rminos en4

*; 7; ; ,; ; ; >;...; >

Opta4.............

7. /0u!l es el t@rmino m!s cercanoa en4; >,; 8; ;....

Opta4.............

. 0u!ntos t@rminos $a% entre

% > en la si"uiente sucesi1n2; 8; ,; ...

Opta4.............

8. Dallar el t@rmino que si"ue en4; ; >; *; ;......



PTITUD M TEMÁTIC

'e denomina serie num@rica a laadici1n indicada de los t@rminos deuna sucesi1n num@rica % al resultadode la adici1n se le llama valor de laserie

Ejm4,; 8; ; >7; .... sucesi1n num@rica

, + 8 + + >7 6 ,

'erie num@rica Malor de la serie

SERIE ARI"M-"ICA

t1+ t2+ t3+ t4+.... + tn-1 + tn

+r +r +r +r

n 6 9<mero de t@rminos' 6 'uma de t@rminostn 6 ltimo t@rminot 6 3rimer t@rminot 6 H@rmino anterior al primero

r 6 Oa#1n de la serie

Ejm' 1'

Dallar el valor de la si"uiente serie

' 6 * + + + > +.......+ 8+ 7

Solución

0ada t@rmino de la serie es i"ual alanterior aumentado en tres; es decirque la diferencia entre dos t@rminosconsecutivos es >; por lo tanto4

r 6 >

⇒ ' 6

=

+

+3

60

2

65

3

161

2

461

S 9 7

SERIE <EOME"RICA

t1+ t2+ t3+ t4+....+ tn-1 + tn

xq xq xq xq

' 6 'uma de t@rminost 6 3rimer t@rminotn6 En@simo t@rminon 6 9<meros de t@rminosq 6 Oa#1n de la serie

Ejm' 2:

0alcular el valor de la si"uiente serie

' 6 > + 7 + + * +.......+ >7'oluci1n4Pbservamos que cada t@rmino de laserie es el doble del anterior entonces4

q 6

r = t2 – t1

n =r

ttn 0−

S =1

1

−−

q

tq.tn

S = t1

−−1

1

q

qn

tn = t1 qn-1

S = nt t

n

+

2

1



PTITUD M TEMÁTIC

⇒ ' 6 306912

321536=

−−x

1 ' 6 > x

−−12

12n

0alculo de n4

>7 6 > x n- n- 6 6 ,

n - 6 ,⇒ n 6 ∴ ' 6 > (-) 6 (*-) ' 6 >7,

SERIE <EOM-"RICA DECRECIEN"EE IN!INI"A: 07XX1)

El valor aproximado de A'B loobtendremos4 aplicando4

t 6 3rimer t@rminoq 6 Oa#1n

Ejm'&:

Dallar el valor de A'B si' 6 > + 7 + 8 + * + .....

'oluci1n4Pbservamos que cada t@rmino de laserie es la mitad del t@rmino anterior;por lo tanto4

q 62

1

⇒ ' 6 6421

32

211

32==

− //

RE<REE;TACI]; DE >;A >MATORIA=

'e lee4 sumatoria de los AaiB desde i6 J$asta i 6 n; donde AJB % AnB son loslímites inferior % superior de la ∑ e AiB se llama índice de la sumatoria

.RO.IEDADES

. 9F de t@rminos de una sumatoria

∑=

+ +++=n

H

n1H H ...

9F t@rminos 6 n J +

Ejemplo4

∑=

25

3

⇒ $a% -> +

. 3ara sumas o diferencias de doso m!s variables

∑=

n

H

(ai+ bi - ci) 6 ∑ a +∑ -∑ ,

>. La sumatoria de una constante esi"ual al 9F de t@rminos por laconstante

( )∑=

+−=n

H

a1H na

*. &na Σ se puede descomponer endos o m!s Σ parciales

∑∑ ∑+== =

+=n

1H

n

1

H

1

. 'umatoria de una constante %una o m!s variables

∑∑∑===

±=±n

1

n

1

H

1

a) a(

SERIES 0Sum%s) NO"ALES

. 'uma de los AnB primeros Z9consecutivos

∑=

+=++++=

n

i

)n(nn...i

1 2

1321

Ejm' (

Dallar el valor de4

SLIMITE = q

t

−11

∑=

+ +++=n

2 i

n2 2 i aaaa ...1



PTITUD M TEMÁTIC

' 6 + + > + ... + 6 ()

6

I 6 120...22

312

1

+++++

6 [ ]240...3212

1++++

6

2

)241(240

2

1

6 **7

? 6 > + > + ...+8,

En este caso le sumamos % restamos

(++>+...+>).

? 6 (++>+...+>) + >+>+...+8, -(++>+...+>)

? 6 35402

)31(30

2

)90(89=−

∑=

+ηη−

+=

n

n 12

)1!(!

2

)1n(n

. 'uma de los AnB primeros Z9impares consecutivos

∑=

−++++=−n

i

ni

1

)12(...531)12(

2n=

Ejm' :

Dallar el valor de4' 6 + > + + ... + 7,

n 6 7,; n 6 >

' 6 >g 6

3 6 > + , + + .... + > 6 > ( + > + +...+)

3 6 >2

2

151

+

6 > (7)g 6 8

N 6 +>+...+>,

N 622

2

149

2

1139

+−

+

N 6 *,-> 6 *

>. 'uma de cuadrados de los AnB primeros Z9 consecutivos

∑=

++++=n

i

n...i1

22222321

6

)12)(1( ++=

nnn

Ejm' :Dallar el valor de4

? 6 + * + , + 7 +...+ >7? 6 g + g + >g + *g + ...+,g? 6 ,()(>,)7 6 *

' 6 g + g + >g + ...+*g'umando % restando4(g + g + >g + ...+g)

' 66

)21)(11(10

6

)49)(25(24 −

' 6 *,->8' 6 *

*. 'uma de cubos de los AnB primeros Z9 consecutivos4

∑=

++++=n

i

ni

1

33333...321

2

2

)1(

+=

nn

Ejm' B:

Dallar el valor de4

' 6 +8++7*+...+8

' 6 >

+ >

+ >>

+ ...+>

' 6 441002102

)21(20 2

2

==



PTITUD M TEMÁTIC

? 6 +7+>*>+...+8? 6 > + 7> + > + ... +>

? 6 59842)5(4

2)13(12

22

= −

. 'uma de cuadrados de los AnBprimeros n<meros imparesconsecutivos

( ) ( )∑=

−++++=−n

i

n...i1

222221253112

3

1212 )n)(n(n −+=

Ejm' 6:Dallar el valor de4' 6 + , + + ... + 7' 6 g + >g + g + ... + g n 6 ; n 6 7

→ ' 6 7 (* x 7g -)> 6 >*>7

7. 'uma de los AnB n<meros paresconsecutivos

∑=

+=++++=n

1

)1n(nn2...6422

Ejm' *:

Dallar el valor de4' 6 + * + 7 + ... + *

' 6 x + x + x > +... + x *n 6 ' 6 () 6 *.

Q 6 +*+7+...+*Q 6 () (7) 6 >,

. 'uma de cuadrados de los AnB primeros n<meros paresconsecutivos

( ) ( )( )∑=

++=+++=n

1

222221n21nn

3

2)n2(6422

Ejm' 17:Dallar el valor de4Q 6 * + 7 + >7 + ... + >7Q 6 g + *g + 7g + ...+ 7g n 6 >

Q 63

2 x > (>) (7) 6 >8

.ROLEMAS RESUEL"OS

. ? las 84 am Luis % Mer1nicaescuc$an una noticia. Luis comunicaesta noticia a dos de sus ami"oscada uno de los cuales lo comunica

a otros dos caballeros % así sucesivamente. Mer1nica comunicala noticia a tres de sus ami"as cadauna de las cuales lo comunica aotras tres damas % así sucesivamente.

'i cada persona demora

minutos en comunicar la noticia a

sus o%entes.

/0u!ntos caballeros % cu!ntas damasconocer!n esta noticia a las , am.2

ResoluciónDaciendo el an!lisis tenemos que lacantidad de personas que se enteran dela noticia a las4

84 84 84.... ,4son (L) → → * ...... (M) → > → , ......

0omo la noticia AcorreB en pro"resi1n"eom@trica la cantidad total decaballeros % damas que conocer!n lanoticia ser!n4

⇒ 12712

121...421

7

Ca =

−−

=+++=

⇒ 109313

131...931

7

Da

=

−

−=+++=



PTITUD M TEMÁTIC

. Ceterminar la suma de cifras delresultado4

' 6

+>+++>>+++>>>++..

7 sumandos

Resolución?"rupando de tres en tres tenemos4

' 6...555333111553311531 +++++++++

' 6 '%*an!'20

...999999 +++

' 6 (-) + (-) + (-) +...

' 6 1...111...100010010 −−−−−+++

Los t@rminos de la serie del primer "rupoaumentan "eom@tricamenteentonces4

' 6 20110

11010

20

−−−

' 209

101021

−−

=

cifras

' 69

1901021 − 6

9

9810...999

' 6 ...,

cifras

⇒ 'uma de cifras de A'B 6 8 + , 6

>. Cada la sucesi1n4->*-78-,.....La suma de sus cien primerost@rminos es4

Resolución

?"rup!ndolos de tres en tres tenemos4

' 6 +> + *+7 + +8-,+ ... + ,+,8,, +

' 6 + > + 7 + ... + ,7 + ' 6 >. + >. + ... + >.> +

' 6 1002

33.323 +

' 6 78*

*. La suma de los primerost@rminos de la serie4

> + +, + + ........ es4

Resolución3ara anali#ar los t@rminos de la serielos ubicamos como una sucesi1n

> ; > ; ; , ; ;

+ +* +7

+ + → r 6

→ la serie es cuadr!tica donde el

t@rmino "eneral es de la forma4

tn 6 ang + bn + c

donde4 a 6 1a2

2

2

" =⇒=

b 6 moa 6 → b 6 -c 6 to → c 6 >

Es decir4

tn 6 ng - n+ >

⇒ ∑=

+−=++++20

1n

2

>MA;DO20

)3nn(....15953

6 20.32

21.20

6

41.21.20 +−

6 8 + 7 6

. 'i4 X n X; la suma de4 + n +>n +*n> +n* +....es i"ual a4

20 sumandos

20 sumandos20 sumandos



PTITUD M TEMÁTIC

ResoluciónC!ndole otra forma a la serie tenemos4 + n + ng + n> + n* + ... → ' 6

n1

1

−

n + ng + n> + n* + ... → ' 6n1

n

−

ng + n> + n* + ... → '> 6n1

n 2

−

n> + n* + ... → '* 6n1

n 3

−

n* + ...→ ' 6n1

n 4

−Entonces4

' 6 ' + ' + '> + '* + ...

' 6n1

1

− ( + n + ng + n> + n* + ...)

' 6n1

1

− x

n1

1

− 6 ( n)-

7. En esta secuencia\ila 4 \ila 4 > * 7\ila >4 > * 7 8 , \ila *4 * 7 8 , > * 4 4

Dallar la suma de los n<meros de la fila>

Resolución

3ro%ect!ndonos a la fila > tenemos4

\ila > 4 > >> >* > ....7

Nue al sumarlos obtenemos4

' 6 > + >> + >* + > + ... + 7

' 6 750595.2

32126=

+

!il% N $3minos $n

&1 K7

K1 7> 8 K2 * K& *

.

.

.> &Y1 , → &2K*( 9 12

. /0u!l es la suma de todos losn<meros de tres cifras que comien#anen > % son m<ltiplos de >2

Resolución' 6 > + >> + >7 + >, + ...+ >,,

' 63

297399Y

2

300399 −+

' 6 118833

102

2

699=

8. 0alcular4

∑=

=

+−ni

i

)ii(1

2133

Resolución?plicando propiedades de sumatoriastenemos4

( )∑ =+−n

1

2133 > ∑ ∑∑ +−

n

1

n

1

n

1

213

6n.1

2

)1n(n3

6

)1n2)(1n(n3 +

+−

++

62

2)1n(3)1n2)(1n(n ++−++

6 n>

.ROLEMAS .ARA RESOL/EREN LA CLASE

. Dallar4E 6 x + x* + >x7+ ...+x>Opta4............

. La suma de los AnB primerosn<meros naturales consecutivos



PTITUD M TEMÁTIC

pares consecutivos e imparesconsecutivos es >n+ 7.Dallar AnB.

Opta4............>. Oeducir4

E 6 * + , 7 + ... +

Opta4............

*. Dallar el valor de la si"uienteserie4' 6 ++ + + +....+

Opta4............

. Dallar la si"uiente suma4E6 + +++>+*+>++7+...+>+,+7

, t@rminosOpta.........

7. Dallar el valor de AQB si4Q6(x>)+(>x)+(x)+....+

(,x)

Opta4........... En las series4

? 6 +*+,+7+....+7R 6 ++>+*+.......+7,0 6 > ++++....+ &Dallar el valor de AUB para quese cumpla4 ? 6 R + 0

Opta4.........

8. Qar% % Qariela leen una novelade > p!"inas; Qar% lee p!"inas diarias % Qariela lee p!"inas en el primer día else"undo > el tercero % así sucesivamente. 'i ambascomien#an a leer el ero dema%o /en qu@ fec$a lle"ar!n a lamisma p!"ina2

Opta4.............

,. 0alcular la suma de los n<merosde la fila >\ila

\ila > \ila > ,\ila * , >\ila , >

Opta4............

.'e deja caer una pelota desde unaaltura de , metros; si en cadarebote se eleva > de la altura dela cual ca%1 por <ltima ve# qu@distancia recorri1 la pelota $astaquedar en reposo2

Opta4..............

. 0alcular4

∑ ∑∑ = ==

n

x

x

in 1 1

20

1

2

Opta4..............

.?l sumar los cincuenta <ltimosn<meros m<ltiplos de * que ten"an> cifras se obtiene4

Opta4 ..............

>. 0alcular (m+n); si tanto en elnumerador como en eldenominador existe el mismon<mero de t@rminos.

11531

115113111=

++++++++n..

m..

Opta4 ..............

*. Dallar la suma + + > + * + + ........

+7

+ > + * + + ........+7> + * + + ........+7* + + ........+747Opta4.............



PTITUD M TEMÁTIC

\?0HPOZ?L 4 (L 1 )El factorial de un n<mero entero %positivo se define como el producto detodos los enteros consecutivos queempie#an con la unidad % termina conel numero dado.

Ejemplo 14

7 6 7 6 7 x x * x > x x 6 .

* 6 * 6 * x > x x 6 *

EN <ENERAL:

n 6 n 6 n (n-) (n-) (n->)... ()

.OR CON/ENCIGN: 6 6

Ejemplo 24

1' C%lcul%3:

222^20

^22^21^20

x E

++=

2' P%ll%3 0%K), si:

56^^

^8 = xba

3OZ90Z3ZP CE Q&LHZ3LZ0?0Z9(3OZ90Z3ZP \&9C?QE9H?L)

'i un evento A?B se puede reali#ar de AmB maneras % para cada una de estasotro evento ARB se puede efectuar de AnB maneras. entonces los eventos ? %R se pueden efectuar simult!neamenteo uno se"uido del otro de4

Am x nB Q?9EO?'.

= Este principio se puede "enerali#arpara mas de sucesos

E&l! 3=

A5eresitaB tiene = blusas diferentes, 6 faldas de

diferentes modelos; de cuántas maneras

diferentes se puede vestir.

Solución0omo cada falda puede ponerse concada una de las blusas→ Qaneras de vestirse ser!

> x * 6

.RINCI.IO DE ADICION'i un evento A?B ocurre o se puedeefectuar de AmB maneras % otro evento ARB se puede efectuar de AnB manerasentonces A?B 1 ARB se puede efectuarde4

Am + nB Q?9EO?'.

E*em3lo (

AKat%B desea viajar de Lima a0ajamarca; si dispone de * líneasa@reas % líneas terrestres /de cuantasmaneras diferentes puede reali#ar elviaje2

Solución43ara viajar de Lima a 0ajamarca puede$acerlo por línea a@rea (* maneras) o

por línea terrestre ( maneras).

Qaneras de viajar4 * + 6 7

/ARIACIGN (v)

Es cada uno de los diversosordenamientos que pueden formarsetomando al"uno o todos de un numerodado de objetos % teniendo en cuenta elorden en que se toman estos.

)^(

^

" n

nV

n

" −=



PTITUD M TEMÁTIC

n 6 n<mero total de elementosr 6 n<mero de elementos tomados

(a"rupados)

Ejemplo 40u!ntas variaciones se pueden obtenercon los elementos abcde tomados de en .

So($&@

= Hener presente que si interesa elorden de colocaci1n de cadaelemento es decir que4ab ≠ ba

Entonces las variaciones ser!nab ac ad aeba bc bd beca cb cd ce 6 Mda db dc deea eb ec ed

Qatem!ticamente desi"naremos lavariaci1n para AnB elementos tomadosde r en r por4

n

" G 6 n (n-) (n-) ... (rfactores)

=52G 5 x 4 = 20

o tambi@n aplicando4

203

5G)^" n(

^nG 5

2

n

" ==⇒−

=

Ejemplo 4En una competencia en la queparticipar!n atletas se entre"ar!nmedallas de oro plata % bronce a los >primeros en lle"ar a la meta. 'ille"asen uno a continuaci1n del otrode cu!ntas maneras se puede efectuarla premiaci1n2.

So($&@

.ERMU"ACIGN 0.):

'i se toma todos los elementos delconjunto para ordenarlos la variaci1nrecibe el nombre de permutaci1n esdecir si4 v 6 n

→ ^n PnV n

n ==

Ejemplo B/0u!ntas permutaciones se obtienencon los elementos >2

So($&@

?l tomar todos los elementos paraordenarlos tenemos4

> >> > ⇒ 7

permutaciones> > 3> 6 > 6 7

Ejemplo 6/Ce cu!ntas maneras se puedenordenar personas en una fila2

Solución4...............................

3EOQ&H?0Z9 0ZO0&L?O (3c)0uando AnB elementos se disponenalrededor de un circulo el n<mero depermutaciones si se cuenta siempre en

el mismo sentido a partir de un mismoelemento ser!4

)^1( −= n P n

c

Ejemplo */Ce cu!ntas maneras pueden sentarse8 personas alrededor de una mesaredonda2

Solución:

3 6 6 *

Ejemplo 174



PTITUD M TEMÁTIC

/Ce cu!ntas maneras se pueden sentar personas alrededor de una fo"ata2

Solución4....................................................

3EOQ&H?0Z9 0P9 OE3EHZ0ZP9'i se tiene n elementos donde $a%4r 6 elementos de una primera claser 6 elementos de una se"unda claser> 6 elementos de una tercera claserJ 6 elementos de una J @sima clase

El numero de permutaciones diferentesque se puede formar con ellos es4

^" ...^" ^" ^"

^n<

H 321

" ..." ."

nH 21 =

Conde4 r + r .... + rJ X n

Ejemplo 110u!ntas palabras de letras se puedenformar con las letras de la palabraQE9EQ.

SoluciónEn la palabra encontraremos letras delas cuales se repiten las letras E % Q esdecir4

n 6 ; r 6 ; r 6

Entonces

30^22

5

^" ^"

^n<

21

" #"

n21 ===

Ejemplo 12:En cu!ntas formas se pueden ordenarlos si"uientes cubos4 rojos > verdes % a#ules

SoluciónEn total $a% cubos para ordenarlosuno a continuaci1n de otro; pero serepiten los colores por lo que losordenamientos distintos ser!n4

210^23^2

^7<

2#3#2

7 ==

COMINACIGN 0C)Es cada uno de todos losordenamientos que pueden formarsetomando todos los elementos o "ruposde estos no importando el orden enque se tomen estos.

^)^.(

^

" " n

n4

n

" −=

n 6 9<mero total de elementosr 6 9<mero de elementos tomados

(a"rupados)

Ejemplo >

Se ese%n s%e3 cu4n$%scomin%ciones se pue%n3e%li%3 con los elemen$os%,,c,,e $om%os e 2 en 2'

SoluciónHener en cuenta que no interesa elorden de ubicaci1n de los elemento esdecir que4 ab 6 ba entonces lascombinaciones ser!n4

ab ac ad aec e 9 17c cee

Ejemplo *ZCu4n$os comi$s e ( pe3son%s se

pueen ?o3m%3 con un 53upoe pe3son%s[

Solución4

OSER/ACIONES

1' 1CnC1C n

n

n

1

n

! ===

2' n

" n

n

" 4 4 −=

0C' Complemen$%3i%s)>. nn

n

nnn

o 4 4 4 4 2...21 =++++

12C...CC nn

n

n

2

n

1 −=+++



PTITUD M TEMÁTIC

DI!ERENCIA EN"RECOMINACIONES /ARIACIONES

Las combinaciones se diferencian porsus elementos; en tanto que lasvariaciones por el orden de los mismos.

• 3ara las variaciones el ordende sus elementos si interesa%a que no es lo mismo decir> que >.

• 3ara las combinaciones elorden no interesa.

• Cos combinaciones sondiferentes s1lo si difieren porlo menos en un elemento4

abc; abd; bcd; acd..ROLEMAS RESUEL"OS

. 0u!ntos n<meros de > cifraspueden formarse con dí"itossin que se repita uno de ellos enel n<mero formado

Resolución:?plicando el m@todo de las cajas4

↓ ↓ ↓ * > ← Cí"itos posibles

de ubicar en cada caja.

9F de maneras 6 x * x > 6 7

= ?plicando an!lisis combinatorio4

0omo si nos interesa el orden4

)^n*(

^*Gn −=

( ) 2

120

^35

5G5

3 =−

= =7

. Ce cu!ntas maneras distintaspueden sentarse en una banca de7 asientos * personas.

Resolución

Znteresa el orden en que est!nsentados

→ maneras 6 3603456G6

4 ==

>. &n estudiante tiene que resolver

pre"untas de > en unexamen. /0u!ntas maneras deesco"er las pre"untas tiene2

Resolución

'e tiene que esco"er pre"untas sininteresar el orden; entonces4

Qaneras 6 2863^10

^13C13

10 ==

*. Ce cu!ntas maneras peruanos* colombianos % > para"ua%ospueden sentarse en fila de modoque los de la misma nacionalidadse sienten juntos2

Resolución• Las tres nacionalidades

pueden ordenarse en una filade > maneras.

• Los dos peruanos pueden

sentarse de • Los cuatro colombianos de *• Los tres para"ua%os de >

∴ Da% > x x * x > 6 8maneras

. Ce cu!ntas maneras puedenesco"erse un comit@ compuestode > $ombres % mujeres de un"rupo de $ombres % mujeres.

Resolución

= Ce los $ombres se puedeesco"er > de 7

3C maneras= Ce las mujeres se puede

esco"er de 52C maneras

∴ El comit@ puede esco"erse de47

3C x 52C 6 > maneras

7. &n total de estrec$ados demanos se efectuaron al final deuna fiesta. 'uponiendo que cada



PTITUD M TEMÁTIC

uno de los participantes es cort@scon cada uno de los dem!s cu!les el n<mero de personaspresentes2

ResoluciónCel total de personas (n) se

saludan de en ; sin interesar elorden entonces4

120^2)^2n(

^nC n

2 =−

=

1202)^2n(

)^2n)(1n(n =−

−−

16n

1202

)1n(n

=⇒

=−

E=ERCICIOS

. 'eGale cu!ntos n<meros ma%oresque 8 % menores que ,pueden formarse con losn<meros >8 % ,.

Opta.4 ............

. Ce cu!ntas formas se puedeubicar 7 niGos en una fila si dosde ellos deben estar siempre juntos.

Opta.4 ............

>. 0on consonantes % * vocales

cu!ntas palabras puedenformarse que conten"an cadauna > consonantes % vocales2

Opta.4 ............

*. 0on las frutas4 piGa man#anapapa%a % naranja cu!ntos ju"osde diferentes sabor se podr!$acer2

Opta.4 ............

. 'e tiene una urna con cinco bolasnumeradas de cuantas manerasse puede extraer por lo menosuna bola2

Opta.4 ............

7. La mama de Out$ tiene man#anas % > peras. 0ada díadurante dias se"uidos da a su$ijo una fruta. /Ce cu!ntasmaneras puede efectuarse esto2

Opta.4 ............

. 0on 7 colores diferentes

/0u!ntas banderas tricolor sepueden formar2

Opta.4 ............

8. &n edificio tiene oficinas./0u!ntos cables de conexi1n sonnecesarios para comunicar dosde dic$as oficinas2

Opta.4 ............

,. /0u!ntas palabras de 7 letrasdiferentes % que terminan en Ose pueden obtener cambiando delu"ar las letras de la palabra0?9HPO2

Opta.4 ............

. /Ce cu!ntas maneras puedenrepartirse 8 camisas diferentes

entre * personas2Opta.4 ............

. Ce Lima a Hrujillo $a% busesdiferentes. /Ce cu!ntas manerasse puede ir a Hrujillo % re"resaren un bus diferente2Opta.4 ............

. /Ce cu!ntas maneras diferentes

se puede formar una ternasiendo 8 los candidatos2

Opta.4 ............



PTITUD M TEMÁTIC

>. 'e tienen * libros diferentes de5eometría % > libros diferentesde Nuímica. /Ce cu!ntasmaneras se pueden ordenar en casilleros si los de químicadeben ir juntos2

Opta.4 ............

*. Hres personas lle"an a un lu"ardonde $a% $oteles. /Cecu!ntas maneras diferentespodr!n ubicarse en $otelesdiferentes2

Opta.4 ............

. /0u!ntas palabras diferentes sepueden obtener con las letras dela palabra 0P0POP0P sinimportar si tienen o no sentidolas palabras2

Opta.4 ............

7. /0u!ntos n<meros diferentes de cifras cada una sin que

nin"una se repita se puedeformar con las cifras4>*7 de tal manera quetodos empiecen con % acabencon 2

Opta.4 ............

. /0u!ntas sumas diferentes de >sumandos cada una se puedenobtener con los n<meros4 >

*2Opta.4 ............

8. En una biblioteca $a% textos de\ísica * de Nuímica % deEstadística. 'e desea sacar >textos de \ísica de Nuímica % *de Estadística. /0u!ntasselecciones diferentes se pueden$acer2

Opta.4 ............

,. /En cu!ntas formas se puedenordenar las si"uientes fic$as4 >rojas a#ules % blancas2

Opta.4 ............. 0on las cifras ; >; *; 7; % ,.

/0u!ntos n<meros ma%ores de % de * dí"itos no repetidospodemos formar2

Opta.4 ............

. En una oficina $a% * escritoriosque pueden ser ocupados cada uno$asta por dos personas; si $a% >secretarias de cu!ntas maneraspueden sentarse2Opta.4 ............

. 'i un conjunto tiene * elementoscu!ntos subconjuntos con m!s deun elemento se puede formar2Opta.4 ............

>. 'e tiene los si"uientes libros4- cuatro libros de Qatem!tica;- seis libros de \ísica %- tres libros de Nuímica;

todos los libros pertenecen adiferentes autores. Ce cu!ntasmaneras se podr!n ordenar 7libros en un estante si se esco"en> de Qatem!ticas de \ísica %uno de Nuímica2 9PH?4 Los librosde un mismo curso deben ir juntos.

Opta.4 ............

*. &n inspector visita 7 m!quinas

diferentes durante el día. ? fin deimpedir que los operadores sepanel momento de la visita varía elorden. /Ce cu!ntas maneras puede$acer las visitas2

Opta.4 ............



PTITUD M TEMÁTIC

El c!lculo de probabilidades es una tarea que sirve de modelo para ladescripci1n % an!lisis de fen1menos estadísticos. La teoría de probabilidades es detrascendental importancia en las matem!ticas pues tiene una aplicaci1n directa enmuc$os problemas de in"eniería administraci1n economía etc donde es necesariotomar decisiones sobre la incertidumbre o lo relativo en base a datos estadísticos.Ejm4/0u!l es la probabilidad de que un producto nuevo sea aceptado en el mercado2

E.ERIMEN"O ALEA"ORIO 0\) 'e denomina experimento aleatorio a toda prueba o ensa%o cu%os resultados no sonpredecibles sin $aberse reali#ado previamente la prueba.

E=EM.LOS 4 'e lan#a una moneda dos veces

% se observa los resultados posibles

4 'e lan#a un dado % se observa el n<mero que resulta

ES.ACIO MUES"RAL 0Ω).Es el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio.

3ara los ejemplos antes mencionados4Ω 6 (cc); (cs); (sc); (ss)Ω 6 (;;>;*;;7)

E/EN"OS O SUCESOS4&n evento o suceso son subconjuntos de un espacio muestral. 'e denota"eneralmente por letras ma%<sculas del alfabeto (?; R; ....).Cel ejemplo antes mencionado sea el evento? 6 en los lan#amientos sale un cara por lo menos

? 6 (cc); (cs); (sc)

O.ERACIONES EN"RE SUCESOS: 'e $an indicado anteriormente que los sucesos son conjuntos % como tales cumplentodas las operaciones de los mismos.

Pperaci1n 'e lee4? ∪ R4 Pcurre ? ocurre R o ambas

Pcurre al menos uno de ellos.? ∩ R4 Pcurre ? % ocurre R;

Pcurre ambas a la ve#? R4 Pcurre solamente ?;

Pcurre ? pero no R

?

0

4 9o ocurre el suceso ?.



PTITUD M TEMÁTIC

CLASES DE SUCESOS.ROAILIS"ICOS

SUCESOS MU"UAMEN"EECLUEN"ES:

Cados los sucesos ? % R se dice que ellos son mutuamente exclu%entes si % s1lo si ?∩R 6 φ ; esto quiere decir que no ocurren juntos (simult!neamente).

Ejemplo4En una aula de 3re &9?0 se tiene los si"uientes sucesos4

?4 &n "rupo de alumnos tienen de a aGosR4 &n "rupo de alumnos tienen m!s de aGos pero no m!s de , aGos04 &n "rupo de alumnos son ma%ores de , aGos.⇒ 'i se eli"e a un alumno este pertenecer! a al"uno de los tres "rupos.

SUCESOS COM.A"ILES

?quellos que pueden presentarse simult!neamente.Ejemplo4Lan#ar dos dados % que apare#can un dos o un cinco.

SUCESOS INDE.ENDIEN"ES4Cados los sucesos ? % R se dice que ellos son independientes si la ocurrencia de ? noafecta el $ec$o de que ocurra simult!nea o sucesivamente R; es decir que laocurrencia de uno de ellos no depende de la ocurrencia del otro.

Ejemplo4'e lan#a un dado vecesC4 'ale > en el primer lan#amientoE4 'ale > en el se"undo lan#amiento.

SUCESOS DE.ENDIEN"ES0uando la ocurrencia de uno de ellos depende de la ocurrencia del otro.

Ejemplo4'e tiene dos urnas ? % R la urna ? contiene > bolas rojas % * bolas ne"ras entanto que la urna R tiene * bolas rojas % bolas ne"ras. 'i se saca de la urna? una bola % se deposita en la urna R; al sacar una bola de la urna R elresultado depender! de la bola que se sac1 de la urna ?.

= CE\Z9Z0Z9 CE 3OPR?RZLZC?C. (Cefinici1n 0l!sica).'i ? es un suceso de un espacio muestral Ω entonces la probabilidad de ocurrencia de? se denota 3 (?) % est! dado por la relaci1n4



PTITUD M TEMÁTIC

)(

)(

& !'5l&'

"&'%l3a!'& ;U*&"!

A'%,&'!al8a1!"a5l&'

"&'%l3a!'& ;U*&"!

)(Ω

=

Ω

=n

5n P

5

Ejm 1:Ceterminar la probabilidad de que al lan#ar un dado el resultado sea un n<meroprimo.

SoluciónΩ 6 >*7? 6 >

→ 3(?) 6 >7 6

En forma "eneral para AnB dados se cumple que9F casos totales 6 7n

→ 0uando se lan#an dos dados simult!neamente aumenta la diversidad de eventosque puedan ocurrir esto es47g 6 >7 casos en totalLos eventos m!s frecuentes son aquellos que involucran a la '&Q? de los n<merosque aparecen en sus caras superiores.

0&?COP de las '&Q?' que se PRHZE9E9 al L?9?O CP' C?CP'4

Cado Cado ↓ > * 7

> * 7 > * 7 8> * 7 8 ,* 7 8 , 7 8 , 7 8 ,

Ce este cuadro se deduce que4

= '&Q? Q?' 3OPR?RLE que sal"a es el % su probabilidad es de 7>7.= '&Q?' QE9P' 3OPR?RLE' son el % el % su respectiva probabilidad es de

>7 para cada uno.

Oesumen del cuadro de 'umas4

'uma

> * 7 8 ,

9Fdecasos

> * 7 * >



PTITUD M TEMÁTIC

3roba-bilidad

>7

>7

>>7

*>7

>7

7>7

>7

*>7

>>7

>7

>7

Ejm' 2:/0u!l es la probabilidad que al lan#ar dos dados su suma sea un m<ltiplo de >2

Solución43ara que sea m<ltiplo de > la suma debe ser >7, o siendo los casos favorablesde * % respectivamente que en total $acen ++*+ i"ual a casosfavorables con respecto a >7 casos en total.

3or lo tanto la probabilidad ser!4

31

3612 =

.%3% el c%so e NAI.ES4Cebemos saber que el ma#o consta de cartas4- palo de > cartas de cora#ones(♥)- palo e > cartas de diamantes (♦)- palo de > cartas de Hr@boles (♣)- palo de > cartas de Espadas (♠)

Ejm &:Ce un ma#o de cartas al extraer una de ellas /0u!l es la probabilidad de que seaun as2

Solución40omo en un ma#o de cartas $a% * ases entonces la probabilidad ser!4

13

1

52

4=

.%3% el c%so e MONEDAS:&na moneda tiene una 0?O? % un 'ELLP es decir cada moneda tiene dos casostotales.En "eneral para AnB monedas se cumple que4

9F de casos totales 6 n

Ceducci1n sencilla4 en cada QP9EC? se cumple que43robabilidad para obtener 0?O? 6 k3robabilidad para obtener 'ELLP 6 k

AIOMAS DE .ROAILIDADES. 'i ? es un suceso definido en el espacio muestral (Ω) entonces4

P X 3(?) X ; PT X 3(?) X T

<. #l espacio muestral 'Ω$ le corresponde +'Ω$ C

= La probabilidad ser! cuando el suceso sea se"uro.= La probabilidad ser! cero cuando el suceso sea imposible



PTITUD M TEMÁTIC

HEPOEQ? CE L? ?CZ0Z94'i ? % R son sucesos no exclu%entes definidos en un espacio muestral entonces4

3(?∪R) 6 3(?) + 3(R) 3(?∩R)

'i ? % R son sucesos mutuamente exclu%entes ? ∩ R 6 φ; 3 (? ∩ R) 6

3(? ∪ R) 6 3(?) + 3 (R)

"EOREMA DE LA MUL"I.LICACION'ean ? % R dos sucesos incluidos en el espacio muestral Ω entonces4- 'i ? % R son sucesos no independientes

3(? ∩ R) 6 3(?) x 3(R?)

Ejm. *4&na urna contiene 7 bolitas a#ules % * blancas. 'e extraen dos bolitas sucesivamente% sin reposici1n. 0alcular la probabilidad que la primera sea blanca % la se"unda a#ul.

'oluci1n

3(b ∩a) 6 3(b) x 3(ab)

615

4

9

6

10

4= x

- 'i ? % R son independientes

3(? ∩ R) 6 3(?) x 3(R)

Ejm. 4&na urna contiene 7 bolitas a#ules % * blancas. 'e extraen dos bolitas sucesivamente

con reposici1n. 0alcular la probabilidad que la primera sea a#ul % la se"unda blanca.

'oluci1n43(a % b) 6 3(a) x 3(b)

625

6

10

4

10

6= x

E"RACCIGN SIM.LE

3ara naipes bolas % otras cuando se quiere extraer de una en una la probabilidad sedetermina por un simple cociente de los casos favorables respecto a los casos totales.



PTITUD M TEMÁTIC

Ejm. 74Ce una caja que contiene bolas rojas % > ne"ras se extrae uno de ellos al a#ar.Ceterminar la probabilidad que sea ne"ra.

'oluci1nn (Ω) 6 8n (9) 6 > 6Y 3(9) 6 >8

ESHO?00Z9 QLHZ3LE0uando se extraen CP' o m!s objetos se puede $allar la 3robabilidad por dosm@todos.

a) QHPCP CE L? \O?00Z9Dacer el 3OPC&0HP de tantas fracciones como ESHO?00ZP9E' se $a%anreali#ado.

9F de \racciones 6 9F de Extracciones

Ejm. 4Ce un ma#o de cartas. /0u!l es la probabilidad de que al extraer tres al a#ar@stas sean una fi"ura (V N K)2

'oluci1n4En un ma#o de cartas existen * cartas AVB * cartas ANB % * cartas AKB entoncestendremos cartas favorables que se van a extraer de una en una.

La probabilidad de la primera ser!452

12

La probabilidad de la se"unda ser!451

11 %a que $a% una fi"ura menos.

La probabilidad de la tercera ser!50

10

La probabilidad respuesta ser! el producto450

10#

51

11#

52

12

b) QHPCP CE L?' 0PQRZ9?0ZP9E'

0uando se extraen varios objetos se cumple que la A3robabilidad de laExtracci1n Q<ltiple equivale a un 0P0ZE9HE de 0PQRZ9?0ZP9E'B. 'e debeaplicar una 0PQRZ9?0Z9 tanto a los 0?'P' \?MPO?RLE' como a los 0?'P'HPH?LE'.

3(J) 6 n

"

H

"

C

C

'iendo4K 6 9<mero de casos favorables que se extraen al a#ar de ArB en ArB (rY)Q 6 9<mero de casos totales que se extraen al a#ar de ArB en ArB.

Ejm. 84Ce un ma#o se extraen cartas /0u!l es la probabilidad que sean espadas2



PTITUD M TEMÁTIC

'oluci1n40omo en un ma#o de cartas $a% > espadas por el m@todo de las combinacionestenemos que4

La probabilidad ser!452

2

13

2 C/C 617

1

Ejm. ,4En una urna se tiene * bolas ne"ras blancas % verdes. ?l extraer tres de ellas/0u!l es la probabilidad que sean ne"ras2

'oluci1n4La probabilidad ser! de

16

3

4

3 C/C 6 140

1

14.15.16

2.3.4

=

Ejm. 4'e tienen objetos buenos * daGados % otos con daGos importantes. /0u!l es laprobabilidad que al sacar objetos al a#ar @stos sean buenos2.

'oluci1n4En total son4 +*+ 6 7 objetos en total3or el m@todo de las fracciones ser!4

8

3

15

9

16

10=

3or el m@todo de las combinaciones4

8

3

15.16

9.10

C

C16

2

10

2 ==

.ROLEMAS RESUEL"OS

. Cetermina la probabilidad de reali#ar el si"uiente suceso4 APbtener cara por lomenos veces al lan#ar al aire > veces una monedaB 'oluci1n4'i lan#amos por ve# primera puede que resulte cara % si no cae cara tiene que ser

sello; lue"o si lan#amos la moneda por da ve# % despu@s por >ra ve# se presentar!nlas ocurrencias que ilustramos en el dia"rama adjunto.

L#7N#KCE75 2E L# K7E2#

/ ve! < veces = veces

%

%%

%&

%%%

%%&

%&%

%&&

&%%



PTITUD M TEMÁTIC

&

&%

&&

&%&

&&%

&&&

0omo nos piden $allar la probabilidad de sacar por lo menos caras esto es o m!scaras entonces las caras favorables que observamos en la tercera columna son4 cccccs csc % scc siendo * posibilidades de un total de 8 lue"o4

3(por lo menos caras) 62

1

8

4=

. En una caja $a% bolas rojas % > ne"ras. 'in mirar se saca una bola % no sedevuelve a la caja lue"o se saca otra bola. /0u!l es la probabilidad de que las dosbolas que se sacaron sean rojas2

'oluci1n4

La probabilidad de sacar una bola roja la primera ve# es de48

5

35

5=

+ % la

probabilidad de sacar una bola roja la se"unda ve# es de47

4

18

15=

−−

.

0omo la ocurrencia de los sucesos est!n li"adas mutuamente aplicamos el teoremadado4

3(O % O) 6 3(O) + 3(O) 614

5

56

20

7

4

8

5==

>. 'e esco"en al a#ar * naranjas entre naranjas que $abían en una caja de lascuales 7 estaban malo"radas /0u!l es la probabilidad de que exactamente seanmalo"rados2

'oluci1n4'e"<n los datos se tiene4

Hotal de naranjas4 7 malo"rados* sanos

a) 'i se extraen * naranjas del total de naranjas () entonces el n<mero demaneras se obtendr!4

==4321

78910C10

4 maneras

b) 'i se extraen * naranjas donde dos naranjas deben ser malo"radas entonceslos otros dos ser!n sanas.

El conjunto de casos posibles de extraer dos naranjas malo"radas de los 7 % sanas de los * ser!.

2

34

2

56CC 4

2

6

2 = 6 , maneras



PTITUD M TEMÁTIC

∴ la probabilidad es de4

+'#$ 7

3

210

90=

6. &n profesor de aula $a seleccionado a niGos % * niGas para recitar > poesíaspara actuaci1n central del aniversario del plante. /0u!l es la probabilidad de que losdos primeros sean niGos % la <ltima sea niGa2

'oluci1n4'e"<n los datos el total de alumnos seleccionados son4

niGos* alumnos

* niGosCeterminando las probabilidades tenemos4

Nue el primero sea niGo47

5

14

10=

Nue el se"undo sea niGo413

9

Nue el tercero sea niGa43

1

12

4=

0omo los tres eventos son independientes uno del otro la probabilidad final ser!4

3(\) 6 9115

31

139

75 =

. 9ueve personas se sientan al a#ar en una mesa redonda. /0u!l es laprobabilidad de que > personas queden conti"uas2'oluci1n4'ean ? R % 0 las personas que van a sentarse siempre juntas o conti"uas entonces4

0alculamos el n<mero total de formas en que se puedan sentar las , personas4 (,-)6 8

'i las > personas (? R % 0) siempre est!n juntos entonces las formas que se puedenubicar es4> x x 6 7 formas

Las 7 personas restantes se podr!n ubicar de47 formas

\inalmente la probabilidad (3(?)) de que las tres personas queden conti"uas es4

(3(?)) 628

3

^678

^66

^8

^66 ==

E=ERCICIOS



PTITUD M TEMÁTIC

. 'e tiene una baraja de cartas % de ellas se extrae una. Dallar la probabilidad deque la carta extraída4

a. 'ea una reina de AorosB b. 'ea un ?sc. 'ea de fi"ura ne"rad. Oepresente su valor con un n<mero

. /0u!l es la probabilidad que al lan#ar > veces una moneda se obten"a4

a. caras % un sellob. 3or lo menos veces carac. 0aras <nicamented. ? lo sumo veces sello

?dem!s $allar la probabilidad que4

e. caras no apare#can consecutivamentef. Hodos los resultados no sean i"uales

". 9o se obten"an > sellos

>. 'e va a seleccionar un comit@ de $ombres a partir de un "rupo de 8norteamericanos in"leses % > franceses. /0u!l es la probabilidad de que elcomit@ est@ compuesto por norteamericanos in"leses % franc@s2

Opta.4 ........

*. 'e lan#a un par de dados. 'i la suma es 7 /Dallar la probabilidad de que uno delos dados sea dos 2.

Opta.4 ........

. &na caja contiene * bolas rojas > bolas blancas % bolas a#ules. 'i se extraen >bolas al a#ar determinar la probabilidad de que4a. Las > bolas sean rojas

b. sean rojas % sea blancac. Las > bolas sean blancasd. 'al"a una de cada colorCar como respuesta la suma de dic$os resultados

Opta.4 ........

7. 'e lan#a una moneda cuatro veces. /0u!l es la probabilidad de que sal"an todosi"uales2Opta.4 ........

. /0u!l es la probabilidad de obtener la suma u en el lan#amiento de dosdados2Opta.4 ........



PTITUD M TEMÁTIC

8. Ce una baraja de cartas se sacan tres naipes. Ceterminar las probabilidadessi"uientes4

a. Nue todos sean ases.b. Nue todos sean tr@bolesc. Nue todos sean del mismo palo

Opta.4 ........

La facultad de observaci1n % percepci1nde cambios en muc$as situacionesvisuales est! unida con la l1"ica % lamemoria. Es necesario por eso

plantearse este tipo de situacionestales como las que aparecen en estalista preliminar4- 0omparar dos objetos para notar

si son id@nticos- Encontrar un objeto oculto

bas!ndose en un modelo.- Enumerar % contar el conjunto de

objetos observados- Cescubrir el tra#o de un recorrido

oculto.

- Ele"ir un recorrido 1ptimo entrevarias rutas disponibles etc.

3ara al"unos de estos problemas sedispone de ciertos m@todossistem!ticos o al"unas f1rmulas preestablecidas mientras que para otross1lo podemos contar con nuestraintuici1n e ima"inaci1n para obtener lasoluci1n.Daremos entonces un estudio porseparado de los casos que se conocen.

II' CON"EO DE !I<URASEjemplo 1: /0u!ntos tri!n"ulos se puedenobservar en la fi"ura2

?

C D EResolución:

3odemos contar de dos formas4

. 'i utili#amos los v@rtices paraidentificarlos tendremos los

si"uientes tri!n"ulos4?RE ?R0 ?0C ?CE ?RC % ?0E6 $3i4n5ulos

. 'i s1lo observamos % utili#amosnuestra memoria re"istramos estasim!"enes4

> *

7

Los n<meros indican los 7 tri!n"ulosreconocidos.

Ejemplo 2: /0u!ntos tri!n"ulos $a%en la fi"ura2

Resolución:?si"n!ndole letras a las fi"uras m!spequeGas

a b c "



PTITUD M TEMÁTIC

f d e $

Henemos que la cantidad de tri!n"ulosbuscados son4con letra a b c d " $ 7

letras ab; bc; ad; be; cf; de; f" > letras abc; cf$ * letras abde; def"; def$ > letras bcef$ letras abcdef$

⇒ Hotal 6 Ejemplo &: /0u!ntos se"mentos $a%en la si"uiente fi"ura2

? R 0 C E

Resolución :'i asi"namos a cada uno de lospequeGos se"mentos una letra (e)tenemos4

e e e e

? R 0 C E

0on letra4 * se"mentos0on letras4 > se"mentos0on > letras4 se"mentos0on * letras4 se"mento.

Hotal de se"mentos4' 6 * + > + + 6

1' 6 + + > + * 6

'umando miembro a miembro4 ' 6 +++ 6

Es decir que para * AeB tenemos4

S 92

)5(4 9 17

5enerali#ando para AnB espaciostenemos

No$%4 Esta expresi1n matem!ticapodemos aplicarla a otras fi"urassiempre % cuando cada se"mento"enere la fi"ura pedida.

Ejemplo *4 0u!ntos tri!n"ulos $a% enla fi"ura2

9° 'e". 62

)1( +nn



PTITUD M TEMÁTIC

Resolución4 Pbservamos que cada uno de losse"mentos en la base del tri!n"ulo"enera a su ve# una fi"ura pedida.Entonces para n 6

9F tri!n"ulos 62

)6(5 6 1

Ejemplo 4 0u!ntos cuadril!teros $a%en la fi"ura2

Resolución: 0alcularemos primerolos cuadril!teros que $abrían sin laslíneas $ori#ontales interiores % lue"olos cuadril!teros que $abrían sin laslíneas verticales interiores.Es decir4


)5(4 6


)4(3 6 7

Lue"o al superponerlos se multiplican

⇒ 9F cuadril!teros 6 17 9 7

II' !I<URAS DE "RAFOCON"INUO

Es posible dibujar al"unas fi"uras contra#o continuo esto es sin recorrer dosveces la misma línea % sin levantar ell!pi# del papel. 0on otros resultaimposible $acerlo.

Ejemplo : /0u!les de las fi"urassi"uientes se puede dibujar con un solotra#o2

a b

c d

'1lo las fi"uras a b % d se puedendibujar de un solo tra#o.La fi"ura AcB es imposible tra#arla amenos que se repita un se"mento.

= Las ra#ones se basan en una teoríaque se conoce desde la @poca deLeon%3 Eule3 (,) % de la cualextraemos al"unos principios.

- 3ara que una fi"ura se pueda dibujarde un solo tra#o; es decir sin levantarel l!pi# del papel % sin repetir nin"unalínea es necesario estar en al"uno delos si"uientes casos4

C%so I4 Hodos los v@rtices de la fi"uradada deben ser pares; entendi@ndosecomo v@rtice par aquel punto o nudodonde concurren un n<mero par delíneas.La tra%ectoria del tra#o debe iniciarseen al"uno de los v@rtices % concluir enel mismo.

C%so II4 La fi"ura debe tener s1lo dos

v@rtices impares.



PTITUD M TEMÁTIC

La tra%ectoria del tra#o debe iniciarseen uno de los v@rtices impares %concluir en el otro v@rtice impar.

- 0ualquier otra situaci1n diferente alos dos casos no da lu"ar a reali#arla fi"ura de un solo tra#o.

- 'i deseamos dibujar de un solotra#o una fi"ura con mas de dosv@rtices impares repetiremos como

mínimo2

2−i líneas; donde AiB es el

n<mero de v@rtices impares.

Ejemplo B: /0u!les de las si"uientesfi"uras se pueden "raficar de un tra#osin levantar el l!pi# ni pasar dos vecespor la misma línea2

? R 0

Ejemplo 6: 0omo mínimo una araGaemplea minutos en recorrer todas las

aristas de un cubo construido dealambre de 7 cms. de lon"itud. /0u!les el tiempo que emplea en recorreruna arista2

Resolución:3ara emplear el mínimo tiempo enrecorrer una arista la araGa debeiniciar un recorrido en uno de losv@rtices. Cebido a que los 8 v@rticesson impares no podr! $acer el recorrido

sin repetir al"unos de ellos.⇒ el mínimo de aristas que repite en su

recorrido ser!42

28 − 6 >

∴ recorri14 + > 6 aristas

Oesolviendo por re"la de tres simpletenemos4

aristas min X Y > se". arista x

x 615

3001 x 6 27 se5

.ROLEMAS .ARA RESOL/EREN CLASE

. 0alcular el n<mero de tri!n"ulos

en la fi"ura

Opta. ....................

.

Opta. ....................

>.

Opta. ....................

*.

Opta. ....................

. 0alcule el n<mero de se"mentos

A Ñ O 2 0 0 4

Opta. ....................



PTITUD M TEMÁTIC

7.

Opta. ....................

.

Opta. ....................

8.

.

.

.

99

1

3

5

2

4

.

.

.

98

100

Opta. ....................

,. 0alculo del 9: de cuadril!teros

Opta. .....................

Opta. ....................

.

Opta. ....................

. /0u!ntos cuadrados se puedencontar como m!ximo en untablero de ajedre#2

Opta. ....................

>. /0u!ntos cuadrados se4

c) Pbservan en la si"uiente fi"ura

d) /0u!ntos cuadril!teros que noson cuadrados $a% en la fi"ura2

Opta. ....................

*./0u!ntos a"udos se pueden contar

en las si"uientes fi"uras2

a) b) A

B

C

D

E

F

o

Car como respuesta Aa + bB

Opta. ....................

. /0u!ntos cubos como m!ximo$a% en el si"uiente s1lido2

Opta. ....................



PTITUD M TEMÁTIC

7. /0u!ntos cubos se contar!ncomo m!ximo en el si"uientes1lido2

Opta. ....................

. 3ara esta torre de > pisos se $anutili#ado >7 cubos. /0u!ntoscubos ser!n necesarios paraconstruir una torre similar de pisos2

Opta. ....................8. /0u!ntas de las fi"uras

si"uientes se puede dibujar conun solo tra#o contin<o ni pasardos veces por una misma línea2

(Z) (ZZ) (ZZZ) (ZM)

(M) (MZ) (MZZ) (MZZZ)

Opta. ....................

,. ?quí mostramos los planos deciertos departamentos. /0u!l ocuales de ellos se prestan parapasar por todas las puertas deuna sola ve# empe#ando %terminando afuera2

() ()

. /0u!ntas rutas mínimasdiferentes se tiene para lle"ar alpunto ARB partiendo de A?B2

B

A

A

B

(Z) (ZZ)

. Ce cu!ntas maneras puedo leer AZ95OE'PB en la si"uientedistribuci1n

I

N N

G G G

R R R R

E E E E E

S S S S S S

O O O O O O O



PTITUD M TEMÁTIC

ADICIONALES

. En la fi"ura /0u!ntos tri!n"ulos$a%2

f) 8

") ,

$)

i)

j)

. /0u!ntos cuadril!teros $a% en lafi"ura2

f) 7 ")

$) 8

i) ,

j)

>. En nuestro tablero de ajedre#tra#amos la dia"onal principal

/0u!ntos tri!n"ulos contaremoscomo m!ximo2

a) b) 87 c) ,8d) e) 7

*. /0u!ntos cuadril!teros que por lomenos ten"an un asterisco $a%

l i i fi 2

Aptitud Matematica Integral

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