Apunte I

APUNTES MATEMTICA I

MTAN02

INACAP

Ciencias Bsicas

Vicerrectora de Acadmica de Pregrado

2014

2

NDICE

UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS ... 4

UNIDAD 2:LGEBRA......76

UNIDAD 3: PROGRESIONES186

3

PRESENTACIN

Estimado Alumno y Alumna, te damos la ms cordial bienvenida a Matemtica, asignatura

lectiva del rea formativa de Disciplinas Bsicas, del rea del conocimiento de Ciencias

Bsicas.

Matemtica tiene dos propsitos fundamentales, primero nivelar a los alumnos de las reas

de Ingeniera en habilidades matemticas necesarias para la vida, mediante estrategias de

clase expositiva, solucin de ejercicios y problemas y, segundo, contribuir en la formacin

tcnica de los alumnos, mediante el desarrollo de destrezas que mejoren su desempeo

profesional.

Para ello esta asignatura busca promover el desarrollo de la competencia genrica de

resolucin de problemas. Competencia que ser desarrollada desde un punto de vista de la

Didctica de la Matemtica.

La asignatura se realizar, a partir de experiencias de aprendizajes que involucren

metodologas principalmente deductivas, donde tu rol es activo y participativo, y el del

docente un mediador.

El presente texto, que INACAP pone a tu disposicin, tiene los contenidos que sirven de

base y apoyo a tus clases, y puede ser utilizado como material de consulta permanente.

Confa en tus capacidades, te deseamos mucho xito.

4 UNIDAD 1: RESOLUCIN DE PROBLEMAS Y ANLISIS DE LA INFORMACIN

Epitafio en la tumba de Diofanto

Transente, sta es la tumba de Diofanto: Su niez ocup la sexta parte de su vida; despus, durante la doceava parte su mejilla se cubri con el

a necesidad de resolver problemas prcticos, cientficos, filosficos , artsticos o

matemticos, ha impulsado al hombre a lo largo de la historia, a crear y desarrollar

la matemtica. La actividad matemtica involucra muchos ms aspectos que solo

definir, enunciar o demostrar propiedades. Al enfrentar los problemas que dan origen al

conocimiento matemtico, el hombre debi utilizar la intuicin, la inventiva y la

experimentacin, elementos fundamentales de la creacin matemtica, que quedan ocultos

en la exposicin formal que habitualmente se nos presenta en los libros.

Para comprender mejor la esencia de la matemtica, es necesario experimentar los procesos

inherentes a la resolucin de problemas: recolectar informacin, descubrir relaciones,

plantear conjeturas, experimentar, probar, abstraer, generalizar, etc. Hablamos de ir ms all

de la ejercitacin matemtica y de los problemas aplicados, implica involucrase en

situaciones no rutinarias, que requieran explorar distintas estrategias y nuevos mtodos de

solucin.

La matemtica debe proveer de conocimientos especficos para las aplicaciones futuras,

aunque en la prctica resulta muy difcil ensear, aprender y recordar toda la matemtica

que se requiere para el ejercicio de una profesin. Al desarrollar otro tipo de competencias,

como la resolucin de problemas, se propicia la posibilidad de abordar las situaciones

problemticas que se presentan en cualquier contexto, con la capacidad de razonar las

estrategias matemticas para su solucin.

UNIDAD 1

RESOLUCIN DE

PROBLEMAS Y ANLISIS

DE LA INFORMACIN

L

primer bozo. Pas an una sptima parte de su vida antes de tomar esposa y, cinco aos despus, tuvo un precioso nio que, una vez alcanzada la mitad de la edad de su padre, pereci de una muerte desgraciada. Su padre tuvo que sobrevivirle, llorndole, durante cuatro aos ms. De todo esto se deduce su edad.


APRENDIZAJE ESPERADO CRITERIOS DE EVALUACIN

1.1 Resuelve situaciones problemticas mediante estrategias aritmtico-algebraica, comunicando sus resultados de manera acorde a la situacin comunicativa e interlocutores.

1.1.1 Identifica los datos de un problema, verificando coherencia y falta de informacin.

1.1.2 Propone una estrategia para resolver un problema verificando pertinencia y validez.

1.1.3 Aplica procedimientos matemticos para la resolucin del problema.

1.1.4 Comunica los resultados de manera acorde a la situacin comunicativa e interlocutores.


Introduccin

Qu significa aprender matemtica?

Habitualmente el aprendizaje de las matemticas se visualiza como una

acumulacin de pedazos de informacin (definiciones, propiedades y

procedimientos) que se deben dominar a travs de la memorizacin y la

mecanizacin, una coleccin de conocimientos que esperan ser aplicados en

algn contexto.

Esta es la concepcin predominante, que sin embargo recibe serios

cuestionamientos, cul es el sentido de aprender matemtica por la

matemtica, sin justificacin ni contexto?, es posible acumular

conocimientos matemticos, con la vaga promesa de su utilidad futura?

Esta idea de las matemticas se aleja de la esencia de la disciplina, la

creacin del conocimiento, que se origina a partir de la necesidad de

resolver determinados problemas.

La matemtica es una ciencia formal, dotada de estructura y razonamiento

deductivo, un lenguaje formal y criterios de rigurosidad. Sin embargo, este

es solo un aspecto de la matemtica a desarrollar, el formalismo en realidad

debe ser considerado una meta del trabajo matemtico, que tiene su punto

de partida en la intuicin y la creacin.

Desde esta perspectiva, aprender matemtica se relacionara con construir

y desarrollar las ideas de esta disciplina, vinculndose con los procesos,

tanto de creacin, como de formalizacin del conocimiento matemtico.

Este enfoque implica que el estudiante debe actuar como un matemtico en

ciernes, que conjetura, experimenta, descubre, formula, prueba, generaliza,

etc. Una actividad con sentido que le permita apropiarse del conocimiento

matemtico.

Desde esta visin, la resolucin de problemas es fundamental en el

estudio de la matemtica, sin embargo, antes de adentrase en la tarea de

resolver problemas es necesario plantear algunos aspectos que ameritan una

reflexin.

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIN

La conjetura de Fermat

El teorema de Pitgoras permite

asegurar que existen enteros x,

y, z, lados de un tringulo

rectngulo, que cumplen

2 2 2x y z

En 1640 Pierre Fermat,

generaliz la pregunta y la

respondi: Para todos los

enteros 2n no es posible

encontrar enteros x, y, z,

distintos de cero, tal que

n n nx y z

Fermat dijo haber encontrado

una demostracin, que no pudo

mostrar por el pequeo espacio

del margen del libro donde

escriba.

El denominado ltimo teorema

de Fermat permaneci sin

demostracin durante ms de

350 aos, hasta que en 1995,

Andrew Wiles, quien dedic

gran parte de su vida a este

tema, logr completar una

demostracin.

Lo realmente importante del

ltimo teorema no es su

demostracin, sino que en su

bsqueda, se aport de manera

significativa al desarrollo de la

aritmtica y lgebra moderna.


Problema o ejercicio

La distincin entre ejercicio y problema depende de si se dispone de los

medios para resolverlo de forma inmediata o no. Muchos de los

problemas de aplicacin que aparecen en los libros son en realidad

ejercicios, si despus de comprender el enunciado del problema y reconocer

los datos y la incgnita, el mtodo para resolverlo es alguna de las tcnicas o

procedimientos vistos con anterioridad, se tratara solo de un ejercicio.

Problema 1: Supongamos que se construyen escaleras usando adoquines,

tal como se muestra en la siguiente figura:

a) Cuntos adoquines se necesitan para una escalera de 10 peldaos?

b) Cuntos adoquines se necesitan para una escalera de 100 peldaos?

Problema o ejercicio?

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIN

Ejercicio Problema

Situaciones rutinarias,

idnticas o muy similares a

otras que ya fueron resueltas.

Los mtodos para resolverlos

son conocidos.

Situaciones no rutinarias. No

existe un camino inmediato o

evidente para su solucin.

Es necesario explorar distintas

estrategias y nuevos mtodos

de solucin.

Admiten ms de una estrategia

de solucin.


Evidentemente, todos los problemas propuestos en este libro son

presentados para que intentes resolverlos por tu cuenta. Las soluciones y

estrategias que se muestran son necesarias para el tratamiento didctico del

texto, sin embargo, se invita siempre a buscar otras formas de resolverlos.

Solucin:

a) Podemos dibujar la escalera con los diez peldaos y contar los adoquines.

Tambin es posible reconocer que cada peldao es una ms que el anterior,

por tanto la cantidad de adoquines en 10 peldaos es

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 55

Esta parte resulta algo evidente y la estrategia es conocida, la suma trmino

a trmino del 1 al 10. Se tratara de un ejercicio.

b) El nmero de adoquines en 100 peldaos es igual a la suma

1 2 3 100

No tiene sentido prctico tratar de dibujar la escalera o intentar hacer la

suma trmino a trmino. Es mejor buscar otra estrategia. En tal caso nos

enfrentamos a un problema. Mostraremos luego algunas de las estrategias

que se pueden usar para resolver este problema.

Mtodos generales y particulares

Cmo resolver problemas?

Algunos dicen que la nica manera de aprender a resolver problemas

esresolviendo problemas. Parece evidente, pero lo cierto es que es

mucho ms complejo que eso.

Existe un dilema constante en la manera de abordar el aprendizaje de

estrategias de resolucin de problemas. Por un lado, si un mtodo es

demasiado especfico y atae a un contenido en particular, puede no ser

transferible a otros dominios. Por ejemplo, dibujar una figura puede servir

para resolver una serie de problemas, pero solo en un contexto o contenido

en particular. Por otro lado, si un mtodo es muy general, no queda claro

cmo aplicarlo en los distintos dominios.

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIN


Esto acarrea la discusin de si es posible aprender a resolver problemas en

general o si solo se pueden estudiar los mtodos de resolucin ligados a

contenidos especficos.

Podemos adoptar aspectos de ambas posturas para intentar desarrollar la

habilidad de resolucin de problemas. Esto es:

1. Es pertinente conocer los mtodos generales de resolucin de problemas,

ya que aunque no garantizan la solucin de un problema, si pueden

ayudar a atacarlo.

2. Las estrategias estn muy ligadas al contenido matemtico involucrado y

la capacidad de transferir esas estrategias a otros dominios depende de la

experiencia con diversas situaciones en las que la estrategia se aplic. Es

necesario revisar el contenido especfico.

Mtodo general de Plya

Plya (1945) identifica cuatro etapas en la resolucin de problemas:

1. Entender el problema

2. Disear un plan

3. Ejecutar el plan

4. Examinar la solucin

Un aspecto muy relevante para la resolucin de problemas es la posibilidad

de establecer un control o monitoreo permanente de las acciones que se

estn realizando, qu estoy haciendo?, me sirve para avanzar en la

solucin?, qu otra cosa puedo hacer?, es correcta la solucin que obtuve?

Las siguientes preguntas te ayudarn a monitorear cada una de las etapas,

adems se expone algunas estrategias que pueden ser aplicadas en cada fase:

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIN

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIN

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIN


Estrategias de resolucin de problemas

El siguiente es el listado de algunas de las estrategias que se utilizan para

resolver problemas matemticos:

1. Descomponer el problema en subproblemas.

2. Resolver problemas ms simples que sean de algn modo similar al

problema principal.

3. Usar diagramas o dibujos para representar el problema.

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIN

Entender el Problema

Disear un Plan

Ejecutar el Plan

Examinar la Solucin

El problema es similar a otro visto antes?

Existe alguna propiedad matemtica que sea

til para este caso?

Puedo modificar algn mtodo conocido para

aplicarlo en este caso?

Cul es la incgnita?

Cules son los datos?

Cules son las condiciones del problema?

Las condiciones permiten determinar la

incgnita?

Es correcto cada uno de los pasos usados en

la solucin?

El plan permite avanzar en la solucin del

problema?

Reconocer datos e incgnita.

Representar el problema con

grficos, diagramas o dibujos.

Pensar en un problema similar.

Simplificar el problema a casos

particulares.

Revisar cada paso.

Evaluar el plan propuesto.

Se puede comprobar la solucin?

Se puede obtener el resultado de otra forma?

Se puede emplear el mtodo usado en otro

problema? Resolverlo de otra forma para

comprobar la solucin.

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIN


4. Examinar casos especiales para tener una idea del problema.

5. Buscar analogas.

6. Transferir el problema de un dominio a otro, por ejemplo resolver un

problema aritmtico representndolo geomtricamente.

7. Bsqueda por ensayo y error.

8. Mtodo algebraico.

9. Mtodo grfico.

Esta lista no pretende, ni puede ser exhaustiva, existen muchas maneras,

algunas muy ingeniosas de resolver un mismo problema. Mostraremos con

ejemplos el funcionamiento de estas estrategias.

Retomamos el problema de la escalera de 100 peldaos.

Problema 2: Supongamos que se construyen escalas usando adoquines, tal

como se muestra en la siguiente figura:

Cuntos adoquines se necesitan para una escala de 100 peldaos?

Se discuti antes que el problema era equivalente a encontrar el valor de la

suma

1+2+3+...+100

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIN

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIN


Solucin:

Estrategia 1: Descomponer el problema en subproblemas.

Agrupar en sumas parciales que sean ms sencillas de calcular.

Si colocamos los nmeros del 1 al 100 en un arreglo rectangular es posible

buscar sumas parciales que sean ms simples de calcular. Por ejemplo,

descomponiendo los nmeros de cada fila en decenas y unidades, el

resultado de cada fila es un mltiplo de 100 ms 55:

Estrategia 2: Resolver problemas ms simples que sean de algn modo

similar al problema principal.

Calcular la suma hasta un nmero menor y establecer la analoga con el

problema principal. Por ejemplo, de qu otras maneras podemos sumar

nmeros del 1 al 10?

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIN

55

100 + 55

200 + 55

300 + 55

400 + 55

500 + 55

600 + 55

700 + 55

800 + 55

900 + 55

4500 + 550 = 5050

10+1 10+2 10+3 10+4 10+5 10+6 10+7 10+8 10+9 10+10


a) Primera forma: sumando los extremos el resultado es siempre el mismo

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

5 veces 11

5 11 55

De la misma forma

1 2 3 98 99 100

50 veces 101

50 101 5050

b) Segunda Forma: Sumando dos veces y dividiendo luego por dos.

1 2 3 98 99 100

100 99 98 3 2 1

101 101 101 101 101 101

100 veces 101

Como esto representa el doble de la suma requerida se divide el resultado

por 2, esto es

100 1015050

2

Estrategia 3: Examinar casos especiales para tener una idea del problema.

Transferir el problema de un dominio a otro.

Representar el problema geomtricamente como un clculo de rea.

Consideremos un caso particular, una escalera de 6 peldaos.

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIN


Con dos figuras iguales podemos formar un rectngulo

Con 6 peldaos se tiene un rectngulo de 6 7 , como la escalera es la

mitad, debemos calcular la mitad del rea del rectngulo, es decir

6 721

2

Por tanto, con 100 peldaos se tendra un rectngulo de 100 101 y la

cantidad de adoquines de la escalera sera

100 1015050

2

Estos son algunos ejemplos de las estrategias que se pueden usar para

resolver un problema. En su tratamiento las etapas de la resolucin de

problemas estn implcitas, analicemos en general cmo podran haber sido

planteadas:

1. Entender el problema:

Cul es la incgnita? El resultado de la suma

Cules son los datos? Los nmeros del 1 al 100

Cules son las condiciones del problema? Los adoquines se van sumando del 1

al 100.

Se utiliza el dibujo para comprender el tipo de suma involucrada.

2. Disear un plan:

El problema es similar a otro visto? Es una suma, pero la forma habitual de

sumar no es prctica en este caso.

Existe alguna propiedad matemtica que sea til para este caso? En la suma

de nmeros naturales sucesivos, la suma de los extremos es constante. La escalera

representa la mitad de un rectngulo, por tanto la mitad su rea.

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIN

6

7


3. Ejecutar el plan:

El plan permite avanzar en la solucin del problema? Las sumas parciales

cumplen cierta regularidad que hace ms fcil calcularlas. Sumar los extremos permite

llegar rpidamente al resultado. Visualizar el problema con la ayuda de la geometra

permite cambiar el problema de una suma a un clculo de reas.

4. Examinar la solucin:

Se puede comprobar la solucin? Al resolverlo de ms de una forma es posible

comprobar el resultado.

Se puede emplear el mtodo en otro problema? En todos los problemas de

sumas sucesivas de nmeros naturales.

En la medida en que se dispone de otros conocimientos matemticos es

posible ampliar el abanico de mtodos de resolucin. El siguiente ejemplo

muestra la aplicacin de otros mtodos, aunque los conocimientos

especficos que se aplican en alguno de ellos an no es expuesto en este

texto, su tratamiento intenta ser lo suficientemente general de modo de

apreciar su utilidad con las nociones de base de que dispongan.

Problema 3: Se sabe que en una competencia de motos y autos hay 19

conductores y que en total se pueden contar 60 ruedas, cuntas motos y

autos hay?

Solucin:

Estrategia 1: Usar diagramas o dibujos para representar el problema.

Dibujar las motos y autos aumentando o disminuyendo la cantidad de

acuerdo al nmero de conductores y ruedas.

8 motos 16 ruedas

+ 11 autos + 44 ruedas

19 conductores 60 ruedas

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIN


Estrategia 2: Ensayo y error.

a) Mtodo de conteo: Inicial con cualquier nmero de motos y autos, por

ejemplo con 10 motos y 9 autos el total de ruedas son

20 36 56

Faltan cuatro ruedas, se comienza a variar el nmero de motos y autos hasta

coincidir con el total de ruedas.

b) Construir una tabla: Colocar todos los nmeros de motos y autos en

una bsqueda exhaustiva, llevando el registro en una tabla:

N motos N autos N ruedas

19 0 38

18 1 40

17 2 42

16 3 44

15 4 46

14 5 48

13 6 50

12 7 52

11 8 54

10 9 56

9 10 58

8 11 60

Estrategia 3: Mtodo algebraico.

a) Ecuacin lineal: Se establece una incgnita y se plantea una ecuacin.

N de motos: x

N de autos: 19 x

N de ruedas: 2 4 19x x

Como el nmero de ruedas tiene que ser 60, igualando la expresin anterior

a 60 se tiene la ecuacin

2 4 19 60x x

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIN

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIN

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIN


Al resolver la ecuacin se tiene

2 4 19 60

2 76 4 60

76 2 60

76 60 2

16 2

8

x x

x x

x

x

x

x

Por tanto, son 8 motos y 11 autos.

b) Sistema de ecuaciones lineales: Asignar letras a ambas incgnitas,

plantear y resolver el sistema de ecuaciones.

N de motos: x

N de autos: y

N de conductores: 19x y

N de ruedas: 2 4 60x y

19

2 4 60

x y

x y

Multiplicando la primera ecuacin por 2 y sumando ambas ecuaciones se

tiene

2x 2 38

2

y

x

( ) 2 22 11

4 60y y

y

Luego 8x

Por tanto son 8 motos y 11 autos.

Estrategia 3: Mtodo grfico.

Graficar las ecuaciones del sistema de ecuaciones, el punto de interseccin

entre las rectas es la solucin.

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIN

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIN


No es necesario que la grfica se haga a mano, podemos ocupar un

software grafico, por ejemplo en Geogebra (http://www.geogebra.org )

En la lnea de entrada del software (esquina inferior izquierda) se deben

ingresar las ecuaciones 19x y y 2 4 60x y , el punto de interseccin

es , 8,11x y , por tanto hay 8x motos y 11y motos.

Problemas Propuestos

Resuelve los problemas y despus describe la estrategia utilizada,

respondiendo las siguientes preguntas: Cul es la incgnita? Cules son

los datos? Cules son las condiciones del problema? Cules son los

mtodos utilizados? Cmo verificaste que la respuesta es correcta?

1. Un piso se disea colocando mosaicos negros y blancos como se muestra

en la siguiente figura:

Cuntos mosaicos blancos se deben colocar en un piso de 100 mosaicos

por lado?

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIN


2. Cul es el valor de la suma de nmeros impares 1 3 5 101 ?

Ayuda: Mira la siguiente figura y descubre la relacin que hay entre la suma de impares

y el rea de cuadrados:

3. Colocar los nmeros del 1 al 9 en el cuadrado mgico, de modo que la

suma de las filas sea igual a la suma de las columnas e igual a la suma de las

diagonales:

4. Utiliza el resultado del problema anterior para responder la siguiente

pregunta: Dos jugadores A y B seleccionan alternadamente una ficha en

cada turno. El primer jugador que logre juntar 3 fichas que sumen 15 es el

ganador. Existe una estrategia que permita ganar el juego? Cul debe ser

el nmero que necesariamente debe ser elegido para tener la posibilidad de

ganar?

5. Determine los smbolos que siguen en la secuencia: ..

6. Una obra contrata a 1 trabajador el primer da, dos el segundo, tres el

tercero y as continua contratando un trabajador por da, despus de

cuntos das se han contratado un total de 465 trabajadores?

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIN


7. Cuntos cuadrados existen en un tablero de ajedrez?

Ayuda: Comienza con casos particulares y separando el problema, contando

cuadrados de lado 1, 2, 3, etc. Por ejemplo, cuenta cuntos cuadrados de

lado 1, 2 y 3 hay en este tablero y smalos:

8. Se tiene una jarra de 8 litros de agua, otra de 5 y otra de 3, de qu

manera, utilizando las jarras, se puede obtener 4 litros de agua?

9. Tres viajeros se hospedan en un hotel y pagan $10.000 cada uno, (o

$30.000 en total). Despus, el dueo del hotel se da cuenta de que les ha

cobrado incorrectamente. Le pide a su ayudante que les regrese $5.000. El

ayudante se da cuenta de que no puede dividir $5.000 entre los tres y decide

darles $1.000 a cada viajero y quedarse con los $2.000 restantes. As el costo

del hospedaje fue de $9.000 por cada viajero, ($27.000 en total). Los

$27.000 pagados por el cuarto ms los $2.000 que el ayudante tom son

$29.000. Sin embargo, los viajeros pagaron $30.000 originalmente. Qu

pas con los $1.000 faltantes?

10. Coloca en los crculos los nmeros del 1 al 9 sin repetir de modo que la

suma sea igual a 20:

11. Un cubo de madera que mide 10 cm por lado se pinta rojo. El cubo

pintado se corta en cubos pequeos de 2 cm por lado. Cuntos cubos de 2

cm por lado no tienen pintada ninguna cara?

ESTRATEGIAS DE

RESOLUCIN


Aunque se ha visto que es posible resolver los problemas por mtodos,

como el ensayo y error, que no requieren un conocimiento matemtico

especfico, la posibilidades de aplicarlo en todos los casos se va reduciendo

en la medida en que las aplicaciones lo requieren. Se debe profundizar en la

matemtica para ampliar el mbito de problemas que se pueden resolver o

contar con mtodos de resolucin ms eficientes.

Los Nmeros

La aritmtica es la ciencia de los nmeros. La nocin de nmero surgi

inicialmente ante la necesidad prctica de contar, ordenar y medir, lo que

dio origen a los conceptos de nmero natural y racional. Pero otros tipos de

nmeros, como los irracionales, los nmeros negativos y los complejos,

surgen en mbitos matemticos, como abstracciones que toman distancia

de la idea de cantidad, lo que les vali una larga lucha por su legitimidad

como nmeros.

Es necesario entender que los nmeros son esencialmente una abstraccin

y que en algunos casos no es posible justificar su funcionamiento a travs

de modelos concretos. Es lo que ocurre con los nmeros negativos, por

qu ( ) ( ) ( ) ?, habitualmente se asume el modelo de las deudas y

ganancias para justificar el funcionamiento aditivo de los nmeros enteros,

as ( ) ( ) ( ) porque la suma de dos deudas es tambin una deuda.

Pero esa interpretacin no es aplicable para el caso de la multiplicacin, ya

que el producto de dos deudas no puede ser una ganancia, que es lo que se

desprende al aceptar la regla de signos ( ) ( ) ( ) .

Los nmeros negativos, reciben su nombre por el estatus de negacin que

tuvieron durante mucho tiempo. La visin de la matemtica que

predominaba hasta antes del siglo XIX exiga una relacin directa con la

realidad, que no tenan los nmeros negativos, que venan a reflejar

cantidades menores a cero. Sin embargo, los nmeros negativos eran

necesarios para resolver cierto tipo de ecuaciones. Para que los negativos

fueran aceptados como nmeros fue necesario que la matemtica se

convirtiera en una ciencia abstracta, que no busca su justificacin en el

mundo real.

ARITMTICA


Nmeros Naturales

El matemtico alemn Leopold Kronecker afirmaba que Dios cre los

nmeros naturales y el resto lo hizo el hombre, como una clara

descripcin de lo fundamental de los nmeros naturales.

Para formar el conjunto de los nmeros naturales se debe adicionar el 0 a

los nmeros 1, 2, 3, que utilizamos para contar.

= {0,1,2,3, }

De los nmeros naturales se puede decir que:

- Tienen un primer elemento: el 0.

- Todos los nmeros naturales tienen un sucesor: Cada natural n

tiene un sucesor 1n . El 1 acta como un generador.

- Es un conjunto que no tiene fin.

En se definen las operaciones de adicin (+) y multiplicacin (), Qu

propiedades cumplen estas operaciones en los naturales? Es una pregunta

de la mayor importancia, ya que son la base sobre la cual se construye el

resto de la matemtica. Su comprensin permite reconocer lo que se puede

y no se puede hacer matemticamente.

Para todo , , , se cumple:

Asociatividad: ( ) ( )a b c a b c

( ) ( )a b c a b c

Conmutatividad: a b b a

a b b a

Elementos neutros: Existe 0 , tal que 0 0a

Existe 1 , 1 0 , tal que 1a a

Distributividad: ( )a b c a b a c

La suma y multiplicacin son operaciones binarias, la asociatividad expresa

que para sumar tres nmeros se debe asociar de dos en dos cada vez. La

ARITMTICA


conmutatividad establece que no importa el orden en que se realiza la suma

o multiplicacin, el resultado es el mismo. El 0 es el nico nmero natural

que acta como neutro para la suma, lo mismo para el 1 y la multiplicacin.

La distributividad de la multiplicacin sobre la suma es la propiedad que

muestra que es posible separar en la suma de productos.

Nmeros Enteros

Si al conjunto de los nmeros naturales adicionamos los nmeros negativos

obtenemos el conjunto de los nmeros enteros:

= { ,3,2,1,0,1,2,3, }

Los nmeros negativos aparecen por primera vez en la India, siglos VI d.C

y se empleaban para necesidades contables, mientras los positivos

representaban los bienes, los negativos representaban las deudas. Sin

embargo, el camino para su aceptacin como nmeros fue largo. En un

mundo en que los nmeros estaban estrechamente relacionados con la

magnitud se cuestionaba la existencia de una medida que fuera menos que

0.

En realidad los nmeros enteros, a diferencia de los naturales, no solo

expresan medida, adems establecen un sentido respecto de un punto de

referencia. Ese punto es el cero. El cero no representa la ausencia de

cantidad, as como tampoco se podra asociar el 0 en grados Celsius con

ausencia de temperatura, que solo es el valor donde el agua se congela. De

ese modo 5 y el 5 indican, en ambos casos, que hay 5grados Celsius, una

medida, pero en sentidos opuestos, por debajo y por encima del punto de

congelacin.

Decir que un nmero negativo es el que est a la izquierda del cero no es

completamente exacto, lo es solo para la representacin clsica de la recta

numrica, que sin embargo, no es ms que eso, una entre muchas

representaciones posibles. Por ejemplo, si tomramos el modelo de las

temperaturas, los negativos no estaran a la izquierda sino por debajo del

cero. Lo cierto es que no se puede definir en esos trminos ni justificar sus

propiedades con la interpretacin grfica.

Lo que realmente importa en los enteros es que para todo nmero ,

existe un nico nmero () , tal que:

0a a

Se dice que a es el opuesto o inverso aditivo de a .

ARITMTICA


Un nmero entero tiene por tanto, magnitud, dada por el valor absoluto y

sentido, dado por el signo. El nmero 3 tiene valor absoluto 3 3 y signo

positivo, mientras que el 3 tiene valor absoluto 3 3 y signo negativo.

Como se ve, ambos nmeros tienen la misma magnitud, pero en sentidos

opuestos:

Los nmeros enteros deben cumplir las mismas propiedades que los

naturales, adems de la propiedad del inverso aditivo. El sistema numrico

de los enteros (,+,) tiene la siguiente estructura:

Asociatividad

Conmutatividad

Elementos neutros

Distributividad

Inverso aditivo

Como consecuencia de estas propiedades bsicas, se obtiene algunas cosas

conocidas, por ejemplo que 0 0a . Adems, es posible definir la resta

como una suma, esto es:

a b a b

Es decir, la resta de dos enteros es la suma del primer trmino por el

inverso aditivo del segundo.

Por ejemplo,

a) 3 5 3 5

b) 2 6 2 6

ARITMTICA


Nmeros Racionales

Ms all de los significados concretos de las fracciones y su utilidad en el

proceso de medir, a

b representa a un tipo de nmero, denominado nmero

racional.

Estos nmeros estn formados por la razn entre dos enteros a y b, con

0b , que se denotan por:

= {

: , ; 0}

El uso de la palabra nmero, que originalmente solo haca referencia a los

nmeros naturales, se justifica en los otros conjuntos numricos porque

siguen cumpliendo las mismas propiedades para la suma y la multiplicacin

de los naturales. El sistema (,+,), cumple:

Asociatividad

Conmutatividad

Elementos neutros

Distributividad

Inverso aditivo

Inverso multiplicativo

En el sistema de los racionales se agrega la propiedad del inverso

multiplicativo, esto es

Para todo , con 0, existe un nmero 1 =1

, tal que:

1 1a a o lo que es lo mismo: 1

1aa

Por ejemplo, el inverso multiplicativo de 2 es 11

22

, ya que

1 12 2 2 12

ARITMTICA


Ntese que el 0 no tiene inverso multiplicativo, esto es no existe

1 100

.

El inverso multiplicativo de una fraccin a

b es

b

a, en efecto

1

1a a a b ab

b b b a ab

A partir del inverso multiplicativo es posible definir la divisin, como el producto de un nmero por el inverso multiplicativo del otro.

Definicin: Se dice que a est dividi por b, con 0b , cuya notacin es a

b

o :a b si

1a a bb

Nuevamente, es necesario mencionar que al no existir el inverso

multiplicativo de 0, tampoco se puede dividir por 0.

Por la frecuencia con que se presenta los errores de la divisin por cero,

nos detendremos un instante en ello.

Cul es la diferencia entre estas expresiones? 0

2,

2

0y

0

0

Se ha dicho que no est definida la divisin por cero, sin embargo existe

una diferencia en estas expresiones que podemos comentar. Supongamos

que tratamos cada una de estas divisiones con su problema equivalente de

multiplicacin, esto es

a) 0

2x implica 0 2 x , que tiene como solucin a 0x , luego

00

2

Concluimos que 0 dividido por un nmero distinto de cero es igual a 0.

ARITMTICA


b) 2

0x implica 2 0 x , pero todo nmero multiplicado por 0 es 0, por

tanto no existe un nmero x que cumpla esta condicin. Ms an si

existiera, al multiplicar tendramos que 2 0 , un absurdo que contradice las

nociones bsicas de la aritmtica, para evitarlo se dice que 2

0 es indefinido.

c) 0

0x implica 0 0 x , en este caso x puede ser cualquier nmero, todos

ellos multiplicados por cero dan cero. Pero si aceptramos esto tendramos

que 0

0 1 2 3 ....0 , es decir que todos los nmeros son iguales entre

s, otro absurdo que no se puede permitir. Se dice que dividir cero por cero

es indeterminado.

Nmeros Irracionales

Diversos problemas relacionados con geometra dieron surgimiento a

nuevos nmeros cuyas magnitudes son inconmensurables, es decir, no

admiten representacin racional.

Para hacer un anlisis particular de estos nmeros, veremos el famoso

problema de Pitgoras para encontrar la diagonal del cuadrado unitario.

El Problema radica en encontrar la medida de x.

Para ello, utilizamos el teorema de Pitgoras.

()2 + ()2 = ()2

12 + 12 = 2

2 = 2 = 2

Y la pregunta que surge, es 2 el numero es un numero racional?, La

respuesta a esta pregunta es No. Entonces surge la necesidad de nombrar a

este tipo de nmeros de alguna manera. Los llamaremos nmeros

irracionales.

As, los irracionales se denotan por

= { / }

Ejemplos de nmeros irracionales son

ARITMTICA

La demostracin que 2 no es

un nmero racional, radica en

una contradiccin.

Suponemos que 2 es un

racional, por lo que

2 =

(1)

Donde , son enteros y la

fraccin

es irreducible. (es

decir, y son relativamente

primos entre s).

Ahora elevamos al cuadrado la

ecuacin (1), obteniendo

2 =2

2 22 = 2

De esto, se deduce que es par.

As, = 2, y reemplazando,

22 = (2)2

22 = 42

2 = 22

Lo cual nos dice que es par.

Si y son pares. Entonces

llegamos a una contradiccin.

Pues, dijimos que a y b eran

relativamente primos entre s.

Lo que dice que 2 no es

racional.


2 , 5 , 1.7 , ,

No necesariamente la suma o la multiplicacin de dos nmeros irracionales

es de nuevo un nmero irracional, por ejemplo

2 + 2 = 0,

2 2 = 2.

Pero 0 y 2 no son nmeros irracionales.

Nmeros Reales.

La unin del conjunto de los nmeros racionales y el conjunto de los

nmeros irracionales forma el conjunto de los nmeros reales, lo

denotaremos por , ser el conjunto

=

Una representacin geomtrica de es la recta real

-2 -1 0 1 2 2 5

2 3

Para la construccin de propiedades en los Reales. Se utilizan ciertas

proposiciones que (por ser tan evidentes no se demuestran o asumimos

verdaderas) que llamaremos axiomas. Estos axiomas son los siguientes:

i) Asociativo: Para cada , , ,

( + ) + = + ( + );

( ) = ( )

ii) Conmutativo: Para cada , ,

+ = + ;

=

iii) Elemento Neutro: Existen reales cero (0), uno (1) tales que para

,

+ 0 = = 0 + ;

1 = = 1 .

ARITMTICA

Los nmeros irracionales y . Se

llaman nmeros trascendentales,

ya que ellos no son solucin de

una ecuacin algebraica. Es decir,

no podemos obtener como

solucin de la ecuacin

+ 1

1 ++ 1 + 0 = 0

Es por este motivo que adquieren

una importancia fundamental en

las matemticas.

El nmero nace del concepto de

circunferencia.

El nmero nace del concepto de

funciones. Donde () = , es la

nica funcin cuya derivada es la

misma funcin.


El real 0 es llamado elemento neutro para la adicin. El real 1 es llamado

elemento neutro para la multiplicacin.

iv) Invertible: Para cada , existe un nico nmero real llamado el inverso aditivo u

opuesto de y es denotado por , tal que

+ () = 0.

Para cada nmero real 0, existe un nico nmero real llamado el

inverso multiplicativo de y denotado por 1 1

, tal que

1 = 1

= 1.

v) Distributiva: Para cada , , ,

( + ) = + .

Empleando la propiedad de invertible, se definen las operaciones de resta y

divisin de nmeros reales, en efecto para cada , ,

= + ();

Si 0,

=

1

= 1.

Con esto tenemos todas las propiedades de las operaciones en los nmeros

Reales.

Ejemplo:

a) 7 + 5 = 12

b) 3 5 = 3 + (5) = 2

c) (2) (6) = (2) + (+6) = 4

d) 3 8 = 24

e) (4) 5 = 20

f) (5) (6) = 30

g) 7: 4 = 7 1

4= 7 41 = 1,75

h) (3): 5 = 3 1

5= 3 51 = 0,6

ARITMTICA


Prioridad en las operaciones aritmticas y uso de parntesis

Los parntesis son recursos del lenguaje matemtico que se utilizan para

explicitar el orden en que realizaran las operaciones en una expresin

matemtica. Generalmente, los problemas aritmticos no requieren el uso

de parntesis, el enunciado del problema permite entender el orden en que

se debe realizar las operaciones. A veces nos limitamos a colocar los

resultados parciales de esas operaciones. Por ejemplo:

Problema 6: Gabriel piensa un nmero, le suma 25, divide el resultado

entre 2, resta 8 y lo multiplica todo por 3. Si al final obtiene 21, qu

nmero pens?

Solucin:

Devolvindonos en el razonamiento la descripcin verbal del problema

sera:

Si al final tena 21

Antes de multiplicar por 3 tena 7

Antes de restarle 8 tena 15

Antes de dividir entre 2 tena 30

Antes de sumar 25 tena 5.

Como se ve no fue necesario escribir las operaciones ni colocar parntesis

para definir el orden en que se realizaran. Lo que constituye una forma

habitual de proceder en aritmtica.

Sin embargo, la falta aparente de una necesidad real de trabajar con

parntesis o incluso de escribir las operaciones en los problemas aritmticos

provoca problemas en el clculo y en el trnsito hacia el lgebra. Si se cree

que los parntesis o los signos operatorios son solo una convencin que

exige el profesor, que en realidad no son necesarias, se puede llegar a

cometer errores, que en aritmtica parecen solo de forma, pero que son de

fondo cuando queremos trabajar en lgebra. Por ejemplo, es habitual que el

problema anterior sea escrito de la siguiente forma

21:3 7 8 15 2 30 25 5

El error est en que ninguna de las partes entre los signos = son realmente

iguales. Es un uso incorrecto del signo igual. El = no es un signo para

expresar aqu est el resultado, es una relacin de equivalencia, debe

cumplirse que ambas partes sean iguales. Esto es fundamental para entender

ARITMTICA

ARITMTICA


luego como resolver ecuaciones.

Problema 7: Construye los dgitos del 0 al 9 utilizando slo cuatro veces el

nmero 4. Solo puede ocupar las 4 operaciones aritmticas bsicas.

Considera los siguientes ejemplos:

0 4 4 4 4

4 41

4 4

Solucin:

Dejaremos la tarea de resolver completo el problema y nos acotaremos a

mostrar los errores cometidos al no usar los parntesis.

Supongamos que queremos formar el nmero 6, sumando dos veces el 4,

dividiendo luego por 4 y finalmente sumado otro 4. La respuesta correcta

ser entonces 4 4: 4 4 ?

Al no tener parntesis la pregunta es en qu orden se resuelve la expresin

aritmtica, en el orden en que aparecen, de izquierda a derecha o hay una

prioridad que respetar?

Si colocamos esta expresin en la calculadora cientfica el resultado ser 9,

significa que no es en el orden en que se muestran, hay una prioridad.

Prioridad de las operaciones aritmticas

1 Parntesis: Se resuelven de adentro hacia fuera.

2 Multiplicacin y divisiones: De izquierda a derecha. Si solo se trata de

multiplicaciones, por asociatividad y conmutatividad, la multiplicacin se

realiza en cualquier orden.

3 Sumas y restas: De izquierda a derecha. Si solo se trata de sumas, por

asociatividad y conmutatividad, la suma se realiza en cualquier orden.

Por ejemplo:

a) 4 4: 4 4

4 1 4

9

ARITMTICA


b) 5 2 1 6: 2 1 8: 2 2

5 2 1 6 :3 4 2

5 2 1 2 8

5 2 3 8

5 6 8

11 8

3

Volviendo al problema de los cuatro 4, el objetivo era formar el 6. Se

requiere usar parntesis. En efecto

4 4 : 4 4 6

Ejercicios y Problemas Propuestos:

1. Calcula el valor de las siguientes expresiones:

a) 2 6: 2 3 6 2:3 1

b) 6 2 4 4 : 2 7

c) 2 2 2 2 2 2: 2

d) 1 2 2 1 2 2 2: 2 2

2. Coloca los parntesis donde corresponda para que las siguientes

expresiones tengan los resultados que se indican. Usa los parntesis

estrictamente necesarios:

a) 2 5 1 12

b) 6 2 1 4: 2 7

c) 12:3 2 2 1

d) 16:4 4 16:4 2 12

3. Un empleado de un taller mecnico se le paga $6000 por hora si trabaja

15 horas a la semana. Si trabaja ms de 15 horas, cada hora extra se paga al

valor normal ms la mitad. Cuntas horas debe trabajar para ganar

$135.000 durante una semana?

ARITMTICA


4. Cules son todos los divisores de 126? Usa descomposicin factores

primos.

5. Se debe llenar una bidn de 72 litros, qu medidas puede tener el jarro

que lo llena de forma exacta?

6. Un libro se abre al azar. El producto de los nmeros de las pginas donde

se abri es 3192. Cules son los nmeros de las pginas en que se abri el

libro?

7. Cules son las ltimas tres cifras de 1234567895 ?

8. Cul es la ltima cifra de 5877 ?

Ayuda: Comienza con casos ms simples y descubre la regularidad

9. En una caja hay el doble de monedas que en otra. Si se extraen 7

monedas de la primera y se depositan en la segunda caja, en ambas queda el

mismo nmero de monedas Cuntas monedas tena al principio cada caja?

10. Una prueba tiene 40 preguntas. El puntaje corregido se calcula de la

siguiente manera: Cada 3 malas se descuenta 1 buena y 3 omitidas

equivalen a 1 mala. Cul es el puntaje corregido si un estudiante obtuvo

15 malas y 9 omitidas?

Razn

El concepto de razn est relacionado con la accin de comparar, una

actividad que realizamos constantemente, que tambin puede ser abordada a

travs de una diferencia. Cundo usar una razn? Cundo comparar a

travs de una diferencia? Es necesario contrastar estas dos maneras de

comparar y reconocer cual es la utilidad de las razones matemticas.

Problema 8: Suponga que en una fbrica, un da en particular, la mquina A

produce 48 artculos, mientras que la mquina B, que es ms antigua y lenta,

solo fabrica 32, De qu manera podemos comparar la produccin de estas

dos mquinas?

Est claro que la produccin de la mquina A es mayor que la mquina B.

Lo que queremos precisar son las formas en que se puede expresar y

cuantificar la comparacin entre estas cantidades.

ARITMTICA

La teora de las razones y

proporciones son descritas por

primera vez en el libro V de los

Elementos de Euclides (siglo III

a.C), aunque ya estaba en el

pensamiento pitagrico del siglo

V a.C, cuyo principio

fundamental Todo es nmero,

implicaba que todas las cosas se

podan explicar con nmeros

(enteros positivos) y sus

razones, lo que posteriormente

fue contrariado por el

descubrimiento de los

inconmensurables, desatando la

primera crisis en la historia de

las matemticas.

Los griegos nunca expresaron

las razones como fracciones - no

disponan de ellas- ni calcularon

su cociente. Para ellos una

razn solo era una forma de

comparar dos magnitudes.


1. Comparacin absoluta: sealar en cuntos artculos una mquina

supera a la otra.

A B = 48 32 = 16

La mquina A produce 16 artculos ms que B.

2. Comparacin relativa: sealar el nmero de veces o la porcin

que representa la produccin de una mquina respecto de la

otra.

48 31 5

32 2,

A

B

La produccin de la mquina A es 1,5 veces la produccin de la

mquina B.

En este caso, utilizamos una fraccin para representar la comparacin

relativa o razn entre las producciones de A y B. Sin embargo no es la

nica manera de expresar una razn. Se dice que la razn entre la

produccin de A y la de B es de 3 es a 2, que se escribe:

3

2 o 3 : 2

Razn, una comparacin relativa

En el ejemplo anterior la razn entre la produccin de la mquina A y la

mquina B, era de 3:2 en un da en que A produjo 48 y B 32 artculos.

Si la razn entre A y B fuera siempre la misma, la razn 3:2 nos permite

saber que por cada 3 artculos que fabrica A la mquina B fabrica 2,

independiente de los totales involucrados.

Definicin: Una razn es una comparacin relativa entre dos cantidades de

igual o distinta medida.

Peras con peras y peras con manzanas

Problema 9: Compare las cantidades involucradas en los siguientes

enunciados:

a) En una empresa trabajan 60 hombres y 25 mujeres.

RAZONES

En la escuela pitagrica, tanto el

nmero como las magnitudes

pertenecan a la categora de

cantidades. Sin embargo, eran

entidades separadas. El nmero

corresponda a colecciones de

unidades indivisibles, permitan

contar, mientras que las

magnitudes surgen de la

abstraccin de cosas que se

pueden medir.

Los griegos no disponan de un

sistema mtrico como el

nuestro, para medir deban

comparar las magnitudes

mediante sus razones.


b) Un auto recorre 12 km en 9 minutos.

Hay una diferencia entre estas dos situaciones.

a) Podemos hacer tanto comparaciones absolutas como relativas:

60 25 35 H M 60 12

2 425 5

, H

M

Hay 35 hombres ms que mujeres.

Por cada 12 hombres hay 5 mujeres

Los hombres equivalen a 2,4 veces las mujeres.

b) Aqu no podemos hacer comparaciones absolutas, no se puede restar

kilmetros con minutos, son magnitudes de medida distinta. Pero si

podemos comparar de manera relativa, a travs de la razn

12 41 3

9 3,

D

T

Por cada 4 km que avanza el auto transcurren 3 minutos.

El auto recorre 1 3, km por minuto.

En definitiva, se observa que las razones pueden ser entre cantidades de

igual o distinta medida, en cambio las comparaciones absolutas solo pueden

ser entre cantidades de igual medida.

Una forma coloquial de explicarlo es: se pueden comparar peras con

manzanas?... De forma absoluta no, pero si a travs de una razn.

Aplicacin

La cadena de una bicicleta gira alrededor del plato de una rueda dentada

(comnmente llamado volante, el que est conectado a los pedales) y el

pin conectado a la masa trasera (que hace girar la rueda trasera). Al

cambiar de velocidades, la cadena se mueve a un plato o pin diferente, tal

como muestra la figura siguiente:

RAZONES

Euclides (300-265 A.C.) en la

definicin 3, del libro sexto

Los Elementos, defini la

Razn urea de la siguiente

forma:

Se dice que una recta ha sido

cortada en extrema y media

razn, cuando la recta entera

es al segmento mayor como el

segmento mayor es al

segmento menor

As se obtiene la proporcin:

=

Llamando a la razn

(razn urea), obtenemos la

ecuacin:

1 + 1 =

o bien:

+ 1 = 2,

ecuacin cuadrtica cuya

solucin positiva es:

=1 + 5

2

Un nmero irracional muy

especial.


La relacin de engranaje de una determinada velocidad, indica el nmero de

revoluciones o vueltas que rota la rueda trasera por cada vuelta de los

pedales. Una forma de expresar la relacin entre el nmero de dientes del

plato y del pin es a travs del cociente:

Nmero de dientes del plato

Relacin de EngranajeNmero de dientes del pin

Por ejemplo, si la cadena corre sobre un plato con 52 dientes y un pin

con 26 dientes, entonces la relacin de engranaje es de 52:26

equivalentemente 2:1, lo que significa que la rueda trasera realiza dos

vueltas por cada vuelta que dan los pedales. Si la misma cadena, se mueve

sobre un pin de 13 dientes y el mismo plato, entonces la relacin de

engranaje cambia a 52:13 equivalentemente a 4:1, en este caso la rueda

trasera dar 4 vueltas por cada vuelta de los pedales.

Ejercicios Resueltos

1. Una librera, cuya existencia promedio de mercanca es de $30.000 obtuvo una utilidad de $36.000 sobre una venta de total de $180.000 en el ao anterior. Encontrar:

a) la razn del total de ventas al inventario promedio. b) la razn de la utilidad a la venta total.

Solucin:

a) 6000.30

000.180

promedioinventario

totalventa La razn es de 6 es a 1.

b) 5

1

000.180

000.36

ventas

utilidad, la razn es de 1 es a 5.

RAZONES


2. El acero para herramientas puede trabajarse en el torno a la velocidad de corte de 6 mm. por minuto, en tanto que el hierro fundido puede trabajarse con una velocidad de corte de 13,5 mm/min.

Hllese la razn de las velocidades de corte.

Solucin:

Sean a y h las velocidades de corte del acero y del hierro,

respectivamente. Se forma la razn:

6 40 4

13 5 9,

,

a

h , luego la razn es de 4 es a 9.

Ejercicios propuestos

1. La menor de dos poleas unidas por una correa hace 240 revoluciones por minuto, en tanto que la mayor hace 80. Cul es la razn de sus velocidades? 2. Un tren expreso marcha a la velocidad de 80 km./h mientras que un aeroplano vuela a 300 km./h. Hllese la razn de sus velocidades. 3. Un metro de alambre de cobre de 0,025 mm de dimetro tiene una resistencia de 8,6 ohmios, en tanto que un metro de alambre de aluminio del mismo dimetro tiene una resistencia de 15 ohmios. Cul es la razn de las dos resistencias? 4. La eficiencia de un proceso administrativo se define como la cantidad de operaciones de salida realizadas satisfactoriamente y el nmero de operaciones totales ingresadas. Si ingresan 6.000 operaciones y salen 4500 de ellas. Cul es la razn de eficiencia? 5. Un ndice de confianza de inversin se define como la razn entre el tiempo en meses, hasta el primer retorno de la inversin y el monto en dlares asignado a ella. (IC=t/mi). Si en una instancia (IC= 0,50) y t se triplica, mi se aumenta al doble. Cul es la nueva razn? 6. En una empresa trabajan 84 personas. Si hay 21 mujeres. Cul es la razn inversa entre el nmero de mujeres y de hombres? 7. Las aristas de dos cubos miden respectivamente 2cm y 4cm. En qu razn estn sus volmenes? 8. Los lados de dos terrenos cuadrados miden respectivamente 10 m y 20 m. En qu razn estn sus reas?

RAZONES


Proporcin

Problema 10: Dos ruedas que engranan tienen velocidades que estn a razn de 2:3. Si la rueda menor gira a 72 revoluciones por minuto, a cunto gira la rueda mayor?

Supongamos que las velocidades sean m y M, para la rueda menor y mayor, respectivamente. Cualquier valor que asuman las velocidades de las ruedas deber estar a razn de 2:3, esto es

2

3

m

M

Si 72m , tendremos una igualdad entre dos razones con el trmino M desconocido

72 2

3

M

Multiplicando por los inversos respectivos se obtiene una igualdad entre

los productos cruzados, lo que nos permite luego despejar la incgnita M

72 372 3 2 108

2

M M M

La rueda mayor gira a 108 revoluciones por minuto. Definicin: Una proporcin es una igualdad entre dos razones, se denota

=

o =

En general, resulta ms conveniente trabajar con las fracciones, ya que permiten escribir la proporcin de varias maneras y plantear la igualdad de

producto cruzado como recurso para despejar cualquier trmino desconocido en una proporcin.

Dada una proporcin a c

b d, se pueden formar proporciones equivalentes

cambiando la disposicin de los cuatro trminos, siempre que se mantenga

el producto cruzado a d b c .

PROPORCIONES


a c d c

b d b a

a d b c

a b d b

c d c a

Ejemplo: La misma proporcin 72 2

3

M planteada en el problema 3 se

podra escribir como

3

72 2

M

Lo que puede resultar ms simple de resolver 3

72 1082

M

Ejercicios resueltos 1. En una fbrica de muebles se producen diariamente sillas y sillones en una razn de 5:4. Si el nmero de sillones es 8. Cul es el nmero de sillas?

Solucin:

Sean a: nmero de sillas, b: nmero de sillones (b=8), luego la razn es:

4

5

b

a

Reemplazando los datos se tiene 4

5

8

a

5 810

4a a

Por tanto hay 10 sillas y el nmero total de sillas y sillones es:

a + b = 8 +10 = 18

2. En una fbrica de zapatos las lneas de produccin de dos modelos

diferentes, en determinados momentos del da, habrn producido 33 y 40

zapatos cada una, cuntos zapatos ms tienen que producir, para que la

produccin de estas lneas est en la razn 2:3?

PROPORCIONES

Usualmente a la expresin:

=

=

Se le llama la Propiedad

Fundamental de las

Proporciones.


Solucin:

Sea x la cantidad de zapatos que restan por producir, para que las razones

de produccin de las lneas de trabajo sea de 2:3. Luego de producir x

zapatos ms, las lneas de trabajo habrn producido en total: 33 + x y 40

+ x respectivamente, entonces:

33 2

40 3

x

x

Luego

3 33 2 40

99 3 80 4

19

( ) ( )x x

x x

x

Por lo tanto, despus de producir 19 zapatos ms la produccin de ambas

lneas de trabajo, estar en la razn de 2:3.


1. Hallar el trmino desconocido en las siguientes proporciones:

a) 5,3

x=

3

6 b) 24: 0,4= x: 0,04

c) 4

3:6=1: x e)

x

2,0=

9,0

3,0

g) 24

6 16

x

x

f)

a x x b

a c c b

2. Una rueda dentada de 18" engrana con otra de 6". Suponiendo que la rueda mayor tenga 72 dientes, cuntos tendr la ms pequea? 3. Si una pieza fundida que pesa 14 kg. cuesta $2.100, cunto costar una pieza que pesa 30 kg.? 4. Un alambre de cobre de 120 m de largo tiene una resistencia de 1.084 ohmios. Cul ser la resistencia de un alambre de 750 m?

5. El hierro fundido pesa 7,2 kg. por dm3 y el pino blanco pesa 0,4

3/ dmkg . Suponiendo que un modelo hecho en madera de pino pese 2,25

kg. Cunto pesar una pieza que se funda con hierro fundido?

PROPORCIONES


6. Una polea de 60 cm de dimetro y que da 180 revoluciones por minuto, mueve a otra polea de 36 cm de dimetro. Cuntas revoluciones por minuto dar la polea ms pequea? 7. La fuerza de un motor de gas aumenta con el rea del mbolo.

Suponiendo que un motor con una superficie de mbolo de 54 cm2

desarrolla 25,5 Hp. Cuntos Hp desarrollar un motor con un mbolo

cuya superficie sea de 45,15 cm2

? 8. La razn entre las velocidades de un avin y un tren es de 15:2. Si la

velocidad del avin de 60 km/h. Cul es la velocidad del avin?

9. La altura de una puerta y una ventana en un edificio miden 1,80 m y 1,20

m respectivamente. En la maqueta, la puerta corresponde a 6 cm Cul es la

altura de la ventana?

10. Al leer la revista Estrategia, se ve un grfico de barras que indica las compras de refrigeradores durante el mes de junio y julio de este ao por cada centmetro cuadrado se venden 800 refrigeradores. Si para junio se tiene 1 por 9,6 cm. y en julio por 5,5 cm., en dicho grfico. Cul es la venta real de refrigeradores en estos meses? 11. En una empresa, la razn entre los ingresos de 2 profesionales del rea administrativa es de 10:12, el profesional de mayor ingreso declara una renta anual de 16,8 millones de pesos. Cul es el monto que declara el profesional de menores ingresos? 12. Una vertiente llena una garrafa de 18 litros en 16 minutos. Qu capacidad daremos a un estanque para almacenar el agua de toda una noche (12hr)? Propiedades de Proporciones

Dada una proporcin a c

b d, siempre es posible:

Componer la proporcin

a b a c b d

c d c d

Descomponer la proporcin

a b a c b d

c d c d

Componer y descomponer proporciones son tcnicas tiles, en casos en que en un problema de proporciones no estn dados los tres trminos conocidos, sino que la razn entre ellos y la suma o la resta de sus valores.

PROPORCIONES

Justificacin de la propiedad de

componer una proporcin:

Si se suma 1 a ambos lados de la

igualdad a c

b d se tiene:

1 1 a b

c d

Sumando los trminos queda

a c b d

c d

De forma anloga, la propiedad

de descomponer una

proporcin se obtiene restando

1 a cada fraccin de la

proporcin.


Ejemplo: Los pesos de dos piezas metlicas estn en la razn de 3:5, si en

total pesan 600 gramos, cunto pesa cada pieza?

Sean x e y el peso de ambas piezas, se sabe que

3

5

x

y con 600x y

Componiendo la proporcin y reemplazando por el valor de la suma se

tiene

3 5 600 8 600 5375

5 5 8

x yy

y y

Reemplazando 375y en la suma 600x y se obtiene

375 600 225x x

Ejercicios resueltos

1. En una mezcla la razn entre arena de cemento debe ser 7:4. Si se sabe

que la diferencia entre estas cantidades es de 36 mt3, cuntos metros

cbicos de arena y cemento se utilizarn en la mezcla?

Solucin:

Sean a y b las cantidades de arena y cemento, respectivamente, entonces

7

4

a

b con a b = 36.

Al descomponer y reemplazar se tiene 7 4 36 3

847 7

a ba

a a

Como b = a 36, obtenemos que b = 48.

Se necesitan 84 mt3 de arena y 48 mt3 de cemento.

2. El rea de dos zonas de seguridad de un colegio estn en la razn 3:7. Si

ambas zonas tienen una superficie de 110 mt2, determine el rea de cada

una de las zonas de seguridad.

Solucin:

PROPORCIONES


Sean c y d las reas de cada zona, con 3

7

c

d y 110c d .

Al componer y reemplazar se obtiene

3 7 110 10 110 777

7 7 10

c dd

d d

Como + = 110, entonces = 110 = 110 77 = 23

Las reas de cada zona de seguridad es 77 y 23 mt2.


1. Componga o descomponga las siguientes proporciones para determinar

el valor de a y b:

a) 7

5

a

b con 180a b b)

9

5

a

b con 48a b

2. Al dividir un alambre de 198 cm. en dos segmentos que estn en la razn

de 4:7, cunto mide cada pedazo de alambre?

3. El precio de dos autos estn en la razn de 5:3, si uno cuesta $750.000

ms que el otro, cul es el precio de cada uno?

4. La razn entre el contenido de un estanque y su capacidad es 2:3. Si para

llenarlo se necesitan 15 litros, Cul es la capacidad del estanque?

5. El bronce para campanas se compone de 4 partes de cobre y una parte de estao. Hllese la cantidad de cada metal que hay en una campana que pesa 8,5 kg. 6. Los accidentes de trabajo en la cabeza y en las manos estn en la razn de 2:5, entre 120 obreros de una constructora. Calcule la cantidad de obreros en cada seccin.

PROPORCIONES


Variables proporcionales

Problema 11: Considera las siguientes situaciones. Son proporcionales las cantidades involucradas en cada situacin? Hasta aqu hemos visto que una proporcin es una igualdad entre dos razones, una definicin que acota la proporcionalidad al mbito aritmtico. Pero, qu significa que dos variables sean proporcionales?... En las dos situaciones propuestas en el problema, cuando una variable aumenta la otra tambin aumenta, es suficiente este comportamiento para establecer proporcionalidad? Qu se requiere para que dos variables sean proporcionales? Analicemos el comportamiento de las variables, comenzando por sus

variaciones o diferencias. En los dos casos ocurre que, mientras la variable x aumenta a una diferencia constante, la variable y tambin aumenta con diferencia constante.

PROPORCIONALIDAD

Situacin 1

N de ladrillos

Peso (Kg)

5 6 10 12 15 18 20 24 25 30

Situacin 2

Consumo (KWH)

Monto Factura ($)

2 726 4 862 6 998 8 1134 10 1276

Situacin 1

x N de

ladrillos

y Peso (Kg)

5 6 10 12 15 18 20 24 25 30

+5

+5

+5

+5

+6

+6

+6

+6

+2

+2

+2

+2

+136

+136

+136

+136

Situacin 2

Consumo (KWH)

Monto Factura ($)

2 726 4 862 6 998 8 1134 10 1276


Si una variable aumenta cuando la otra tambin aumenta no implica proporcionalidad. Que las variables aumenten a diferencias constantes (cmo en el problema) tampoco significa que necesariamente deban ser proporcionales, se necesita algo ms De manera intuitiva, se entiende que: Dos variables son proporcionales si al aumentar (o disminuir) una variable cierta cantidad de veces, la otra variable tambin aumenta (o disminuye) la misma cantidad de veces

En la situacin 1, cuando el nmero de ladrillos (x) aumenta al doble, al

triple, cuatro veces, etc., el peso (y) tambin aumenta la misma cantidad de veces, lo que implica que ambas variables son proporcionales

En la situacin 2, en cambio, se observa que cuando el Consumo (x)

aumenta al doble el Monto Factura (y) aumenta, pero no al doble, sino con un factor de 1,187. Las variables Consumo y Monto de la Factura no son proporcionales

Situacin 1

x N de

ladrillos

y Peso (Kg)

5 6 10 12 15 18 20 24 25 30

2 3

4 5

2

3 4 5

Situacin 2

x Consumo (KWH)

y Monto

Factura ($)

2 726 4 862 6 998 8 1134 10 1276

2 1,187

Supuestos y proporcionalidad

Para ocupar proporcionalidad debemos asegurarnos que la naturaleza de las variables establece matemticamente ese tipo de relacin, por ejemplo la frmula de permetro de una circunferencia permite identificar, sin ninguna duda, que el radio y permetro son proporcionales.

Sin embargo, en la mayora de los casos debemos realizar supuestos para considerar que existe proporcionalidad entre dos variables, por ejemplo tiempo y n de piezas que fabrica un obrero, debemos suponer que el obrero es capaz de trabajar siempre al mismo ritmo, o distancia y tiempo que demora un mvil, debemos suponer que la velocidad es contante.

Es decir, en algunos casos no podemos asumir proporcionalidad a menos que fijemos ciertas condiciones al problema, las que deben quedar bien explicitadas en la solucin del problema.

PROPORCIONALIDAD

2 1,187


.

Para resumir:

Si dos variables aumentan (o disminuyen) a la vez, no

necesariamente son proporcionales.

Pero, si dos variables son proporcionales, entonces necesariamente

ambas aumentarn (o disminuirn) a la vez.


1. Una fbrica produce lminas de acero. Para probar la resistencia del

material se someten a torsin y se mide el tiempo que demora en

producirse una fractura en la lmina. Las pruebas arrojaron los siguientes

resultados:

Existe proporcionalidad entre el espesor y el tiempo de fractura de la lmina? Solucin:

Basta determinar los factores con los cuales la variable x aumenta o

disminuye y determinar si son los mismos factores para la variable y.

Calculamos los factores dividiendo, los valores de x por 5 y los de y por 3.

Los factores para la variable x son:

7 5 10 4 121 5 2 0 8 2 4

5 5 5 5

,, , ,

Mientras que para y los factores son:

4 8 6 4 2 56 9 61 5 2 0 8 3

3 2 3 2 3 2 3 2

, , , ,, ,

, , , ,

PROPORCIONALIDAD

Espesor (mm)

Tiempo Fractura (seg.)

5 3,2 7,5 4,8 10 6,4 4 2,56 12 9,6


En el ltimo para de valores se observa que las variables varan de forma distinta, mientras el espesor aumenta 2,4 veces, el tiempo de fractura aumenta 3 veces.

Por tanto no existe proporcionalidad entre el espesor de la lmina y el

tiempo de fractura, para este caso.

2. Si las variables x e y son proporcionales, complete la siguiente tabla:

x 4 12 1

y 6 78 1,08

Solucin:

Si calculamos el factor por el cual vara una de las variables, bastar multiplicar la otra variable por el mismo factor.

Porque 12:4 3

Vemos que x aumenta 3 veces, basta multiplicar 6 por 3.

Para determinar el siguiente resultado, obtendremos la variacin de y

x 4 12 52

y 6 18 78

x 4 12

y

x 4 12

y 6 18

PROPORCIONALIDAD

x Espesor

(mm)

y Tiempo

(seg)

5 3,2 7,5 4,8 10 6,4 4 2,56 12 9,6

1,5 2

0,8 2,4

1,5

2 0,8 3

3

3

3

3

3


Y as sucesivamente

x 4 12 52 1 0,72

y 6 18 78 1,5 1,08


1. Determina en cuales de las siguientes situaciones las variables son

proporcionales:

Situacin 1 Situacin 2 Situacin 3

N de clientes

Tiempo de atencin (min.)

6 30

12 40

18 48

Tiempo (seg.)

Temperatura de una placa

(C)

5 8

10 16

15 24

Consumo de agua

Mt3

Costo ($)

1 $2500

2 $3000

3 $4500

2. Si A y B son magnitudes directamente proporcionales, cules son los

valores de x e y?

A B

10 50

x 100

30 y

3. Si las variables x e y son proporcionales complete la siguiente tabla:

x 6 12 72

y 9 54 2,25

4. Determine cules de las siguientes variables pueden ser proporcionales,

especifique todos los supuestos que utiliz.

a) Consumo de bencina y rendimiento del vehculo.

b) Horas de trabajo diarias y nmero de piezas fabricadas.

c) Nmero de obreros y tiempo en ejecutar una obra.

d) Permetro de un cuadrado y su lado.

e) Consumo de electricidad y monto de la boleta.

PROPORCIONALIDAD

0,25

0,25

0,75

0,75


f ) Nmero de personas y tiempo que demora un cajero en atenderlos.

g) Nmero de tornillos y peso de la caja que los contiene.

h ) Radio y rea de una cuadrado.

i) Nmero de artculos y precio.

La relacin de proporcionalidad

Podemos describir la proporcionalidad de las siguientes formas:

1. Una proporcin es una igualdad de dos razones:

a c

b d

2. Dos variables son proporcionales si al aumentar (o disminuir) una

variable cierta cantidad de veces, la otra variable tambin aumenta

(o disminuye) la misma cantidad de veces (por el mismo

multiplicador).

3. Dos variables son proporcionales si su cociente es constante:

yk

x , 0k

Necesitamos ampliar el estudio de la proporcionalidad para reconocerla

como un tipo particular de relacin entre dos variables, que se expresa por

medio de una ecuacin lineal.

Problema 12: Un alambre de cobre de 12 metros de largo tiene una resistencia de 75 ohms. Suponiendo que la longitud del alambre es proporcional a su resistencia, determine la resistencia de los siguientes trozos de alambre:

Longitud (mt) 12 18 5 32 9 2,4 0,8 52

Resistencia ( ) 75

Solucin:

Desde una perspectiva puramente aritmtica, bastara plantear las

proporciones y encontrar cada uno de los valores desconocidos. La primera

proporcin sera

PROPORCIONALIDAD


12 75 18 75112 5

18 12,x

x

Longitud (mt) 12 18 5 32 9 2,4 0,8 52

Resistencia ( ) 75 112,5

Proceso que continua, resolviendo las otras seis proporciones involucradas.

Sin embargo, detengmonos a juzgar la eficiencia de este mtodo, ser

posible resolverlo en menos pasos?

Primero, convengamos en que existe una relacin entre las variables, la

resistencia depende de la longitud del alambre, habr una frmula o

ecuacin que permita relacionarlas?

Llamemos y a la variable dependiente y x a la variable independiente, esto

es:

x: longitud del alambre

y: resistencia

Sabemos que al ser proporcionales existe una constante 0k , tal que

y

kx

A partir de esta expresin es posible escribir la ecuacin que describe la

relacin entre dos variables proporcionales

y kx

En el problema planteado, la contante de proporcionalidad es

756 25

12,

yk

x

Por tanto, la ecuacin que establece la relacin de proporcionalidad entre la

longitud del alambre y su resistencia es

6 25,y x

Luego, para obtener la resistencia para cada longitud bastara reemplazar en

la ecuacin por cada valor de x, esto es

PROPORCIONALIDAD


6 25 18 112 5

6 25 5 31 25

6 25 32 200

6 25 9 56 25

6 25 2 4 15

6 25 0 8 5

6 25 52 325

, ,

, ,

,

, ,

, ,

, ,

,

y

y

y

y

y

y

y

Longitud (mt) 12 18 5 32 9 2,4 0,8 52

Resistencia ( ) 75 112,5 31,25 200 56,25 15 5 325

Definicin: Dos variables x e y son proporcionales si existe una constante

0k , tal que

y kx

Ejercicios Resueltos

1. Las nueve mquinas de una fbrica funcionan igual, completa la siguiente tabla de acuerdo al tiempo que funcion cada una:

Mquina A B C D E F G H I

Tiempo (min) 60 70 100 40 120 36 80 90 210

N de tornillos 450

Solucin:

Cmo las mquinas funcionan igual, el N de tornillos (y) ser proporcional

al tiempo (x). La constante de proporcionalidad es

4507 5

60,

yk

x

La ecuacin que relaciona las variables es

7 5,y x

Basta multiplicar los valores de x por 7,5

Mquina A B C D E F G H I

Tiempo (min) 60 70 100 40 120 36 80 90 210

N de tornillos 450 525 750 300 900 270 600 675 1575

6,25

PROPORCIONALIDAD

7,5

PROPORCIONALIDAD


2. Si un computador procesa 5 registros en 20 segundos, si el computador funciona a velocidad constante Cuntos registros procesa en 1 minuto?, en 1/2 hora?, cunto tiempo debe funcionar si se requiere procesar 200 registros? y 1500 registros?

Solucin:

Dado que el computador funciona a velocidad constante, se asume que el

nmero de registros (y) es proporcional al tiempo (x). La constante de proporcionalidad es

50 25

20,

yk

x

Por tanto la ecuacin es 0 25,y x

Al colocar los valores en una tabla, bastar multiplicar los valores de x por

0,25 para obtener sus respectivos valores de y. A la inversa, para obtener los

valores de x hay que dividir los valores de y por 0,25

x Tiempo (seg)

y N de registros

20 5 60 15

1800 450 800 200 6000 1500

PROPORCIONALIDAD

0,25

: 0,25


Ejercicios Propuestos

1. La siguiente llave debe fabricarse modificando las medidas pero manteniendo la forma, de modo que la parte que mide 665 ahora mida 133 milmetros, Cul es la media del resto de las dimensiones de la pieza? 2. Suponiendo que las variables asociadas a las siguientes situaciones son proporcionales, encuentra la constante de proporcionalidad y determina las ecuaciones de proporcionalidad y k x involucradas en cada caso:

a) En una semana 3 mecnicos pueden reparar 8 vehculos, cul es la

ecuacin que permite calcular el nmero de mecnicos (y) necesarios para

reparar x vehculos? sala para calcular el nmero aproximado de mecnicos que se necesitan para reparar 20 vehculos en una semana. b) Se necesitan 60 horas hombre para pintar 220 mt2 de pared, Cul es la

ecuacin que permite determinar el nmero de horas hombre (y) necesarias

para pintar x mt2 de pared? Usa esta ecuacin para calcular las horas

hombre que se requieren para pintar un edificio con 2550 mt2 de paredes.

c) La capacidad de una pila se expresa por el nmero mximo de amperios

que puede dar en una hora. Se sabe que una pila puede entregar 2,5

amperios cada 4 minutos, Cul es la ecuacin que permite calcular el

nmero amperios (y) que da una pila en x minutos? Usa esta ecuacin para

determinar los amperios que entrega una pila al cabo de media hora.

PROPORCIONALIDAD


3. Si X e Y son proporcionales completa las siguientes tablas:

4. Si $48 argentinos equivalen a $5.418 pesos chilenos a) Transforme $100, $1500, $10.050 pesos argentinos a su equivalente valor de pesos chilenos. b) Determine a cuantos pesos argentinos equivale a $100, $12.000 y $1.000.000 chilenos. Proporcionalidad inversa Hasta aqu hemos hablado de proporcionalidad, para referirnos a la proporcionalidad directa, ahora revisaremos la nocin de proporcionalidad inversa.

Intuitivamente, dos cantidades a y b son inversamente proporcionales, cuando hacindose mayor o menor la primera cantidad, la segunda se hace menor o mayor el mismo nmero de veces.

Esto implica que cuando una variable es multiplicada por m, la otra variable

es multiplicada por su inverso 1

m.

Ejemplo: Supongamos que todas las mquinas de un fbrica funcionan igual. La siguiente tabla muestra la relacin entre el nmero de mquinas y el tiempo que demoran en terminar un trabajo, dos cantidades inversamente proporcionales

X Y

2 5 7 9 13

X Y

12 585 45

18 60

X Y

15 21 18 30 2

PROPORCIONALIDAD

x N de

mquinas

y Tiempo (horas)

6 24 12 12 18 8 3 48 2 72

2 3

1/2 1/3

1/2

1/3 2 3


Al igual que en la proporcionalidad directa, el hecho que una variable aumente cuando la otra disminuye no suficiente para establecer que son inversamente proporcionales, se requiere de otra condicin.

Matemticamente, decir que la variable y es inversamente proporcional a x

es equivalente a afirmar que y es proporcional al inverso (multiplicativo) de

x, esto es que y es inversamente proporcional a x y es proporcional

(directa) a 1

x

Por definicin y es proporcional a 1

xsi existe una constante 0k tal que

1y k

x o

ky

x

Definicin: La variable y es inversamente proporcional a la variable x si

existe 0k tal que

ky

x

Ntese que en el caso de la proporcionalidad inversa la constante se determina multiplicando los valores de ambas variables

k x y

Lo que a su vez permite establecer un criterio por identificar cuando dos variables son inversamente proporcionales.

Una vez que se determina la constante de proporcionalidad los valores de y

se obtienen multiplicando por los inversos de x o lo que es lo mismo

dividiendo la constante por los valores de x. Problema 13: Se sabe que a un voltaje constante la intensidad en un circuito es inversamente proporcional a la resistencia. Mostrar que los valores de la tabla cumplen la condicin de proporcionalidad inversa y determinar la intensidad para las resistencias dadas:

PROPORCIONALIDAD

x Resistencia

(Ohms)

y Intensidad (Amperes)

10 3,6 9 4 12 3 15 6 24

Algunas veces se comete el error de hablar de proporcionalidad indirecta. El concepto correcto es proporcionalidad inversa, por ser la proporcionalidad entre una variable y el inverso multiplicativo de la otra.


Solucin: Dado que el producto de los 3 pares de valores dados es siempre constante concluimos que las variables son inversamente proporcionales y que la constante de proporcionalidad es 36

10 3 6 9 4 12 3 36,k x y

Por tanto la relacin inversamente proporcional entre intensidad y resistencia queda determinada por la ecuacin

36y

x

Reemplazamos los valores de x en esta ecuacin obtenemos las intensidades buscadas

362 4

15

366

6

361 5

24

,

,

y

y

y


1. Dos tcnicos tardan 9 horas en configurar un sistema computacional. Si les ayudara un tercer tcnico cunto tiempo tardaran en configurar el mismo sistema computacional, suponiendo que los tres trabajan al mismo ritmo? Solucin: Al trabajar todos al mismo ritmo podemos asegurar que el tiempo es inversamente proporcional a la cantidad de tcnicos

PROPORCIONALIDAD

x Resistencia

(Ohms)

y Intensidad (Amperes)

10 3,6 9 4 12 3 15 2,4 6 6 24 1,5

x N tcnicos

y Tiempo (hrs)

2 9 3


La constante de proporcionalidad se determina multiplicando

2 9 18k x y

La ecuacin que describe la relacin inversamente proporcional entre estas variables es

18y

x

Por tanto para 3x tcnicos se tiene 18

63 3

xy horas.

Ejercicios propuestos 1. Un grifo que entrega 0,6lt de agua por seg., llena un estanque en 21 h. Cunto tiempo tardar en llenarlo otro grifo que da 0,9lt por seg.? 2. Para hacer un alumbrado en un condominio industrial se necesitan 388 postes a 1,50m de distancia. Cuntos postes se ocupan si se ponen a 2m uno del otro? 3. Muestre que para mantener el rea constante de un rectngulo el ancho debe ser inversamente proporcional al largo del rectngulo. 4. Una dactilgrafa escribe a mquina una pgina de 54 lneas a doble espacio. Cuntas lneas escribir en la misma pgina a triple espacio?

5. Nueve trabajadores podan terminar una obra en 10 das; el trabajo ha

durado 18 das. Cuntos trabajadores faltaban?

6. El piso de una pieza se compone de 20 tablas de 5 pulgadas de ancho. Al renovarlo se colocaron tablas de 2 pulgadas. Cuntas tablas se colocaron?

7. Un automovilista demora en ir a su trabajo 40 minutos cuando viaja a 50 Km./hr. Un da cualquiera se atrasa y calcula que debe llegar a su trabajo en solo 30 minutos. A qu velocidad debe viajar para llegar a tiempo? 8 Siete personas consumen una determinada provisin en 2 das. Cunto tiempo tardarn 10 personas en consumir la misma provisin?

PROPORCIONALIDAD


Proporcionalidad compuesta Problema 14: Una mquina funcionando 6 horas diarias produce 90 artculos en 60 das, en cuntos das se producirn 192 artculos, si trabajan 12 mquinas durante 8 horas diarias? Solucin: En este problema intervienen ms de dos variables. Ordenemos la informacin en la siguiente tabla:

M H D A

N de mquinas Hrs/diarias N de das N de artculos

1 6 60 90

12 8 192

La variable incgnita es D, ser directa o inversamente proporcional con cada una de las otras variables? Al comparar D con otra de las variables, supondremos que en ese instante el resto de las variables no vara. D es inversamente proporcional con M D es inversamente proporcional con H D es directamente proporcional con A

Recordemos que cuando una variable es directamente proporcional multiplica a la constante y cuando es inversamente proporcional la divide. Esto permite escribir una ecuacin en la que D dependa de una constante que ser multiplicada por las variables directamente proporcionales (A) y dividida por las variables inversamente proporcio

Apunte I

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