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BLOQUE TEMÁTICO: VIBRACIONES Y ONDAS

Tema 1. MOVIMIENTOS VIBRATORIOS. MOVIMIENTO

ARMÓNICO SIMPLE. Contenidos:

1) Movimiento periódico. Movimiento oscilatorio. Movimiento vibratorio. 2) Movimiento armónico simple. Cinemática. 3) Oscilador armónico. Dinámica del m.a.s. 4) Amortiguamiento. 5) Estudio de algunos osciladores mecánicos

a. Masa colgada de un resorte vertical b. Péndulo simple

1. Definiciones. Movimiento periódico: cambio de posición de un móvil que reitera todas las variables del movimiento (posición, velocidad y aceleración, etc.) en intervalos iguales de tiempo.

Ejemplos: - Movimientos circulares uniformes, como el de la punta de la aguja de un reloj. - Movimiento de un péndulo. - Movimiento de vibración de la membrana de un tambor.

Movimiento oscilatorio: es un movimiento periódico que pasando por una posición de equilibrio estable pasa por un máximo y un mínimo.

Ejemplos: - Movimiento de un péndulo. - Movimiento de vibración de la membrana de un tambor.

Movimiento vibratorio: es un movimiento oscilatorio que comenzando en la posición de equilibrio (origen) se mueve de tal forma que sus separaciones a ambos lados son iguales.

Ejemplo: - Movimiento de un péndulo.

2. Magnitudes características del m.c.

Ángulo barrido, (), es el ángulo descrito en el movimiento. Su unidad es el radian.

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Espacio recorrido, (l ó s), es el arco recorrido sobre la trayectoria. Se mide en metros y se puede calcular con la expresión: , donde R es el radio del movimiento.

Velocidad angular, (), es el ángulo recorrido por unidad de tiempo. Su unidad es: radian/segundo (rad/s) en el Sistema Internacional.

Velocidad lineal, (v), es la distancia recorrida por la partícula en la unidad de tiempo. Se mide en (m/s) y puede determinar con la expresión:

Aceleración normal (an) o centrípeta, (ac). es una de las componentes intrínsecas de la aceleración (instantánea) y su dirección es perpendicular a la trayectoria. La misma se encargar de medir la variación de la dirección de la velocidad. Su valor es proporcional al cuadro del modulo de la velocidad e inversamente proporcional al radio de curvatura. Se mide en m/s2. Su expresión matemática:

| |

Periodo, (T), es el tiempo que se tarda en repetir el movimiento. Se mide en segundos.

Frecuencia, (f o ), es el número de veces que repite el mismo movimiento en una unidad de tiempo. Se mide en s-1 o en Hertzio1 (Hz).

3. Especificando el movimiento periódico.

Analizando el movimiento circular se observa que cada vez que el punto móvil ha efectuado un giro completo se reiteran los valores de posición, velocidad y aceleración. Todas son magnitudes vectoriales. Curiosamente, a lo largo de la trayectoria lo que cambia realmente en el movimiento es la dirección y sentido, ya que el valor de la posición relativa con respecto al centro de giro, el modulo de la velocidad y aceleración permanece constante a lo largo del tiempo. Por tanto, un cuerpo o una partícula describen un movimiento periódico cuando las variables posición, velocidad y aceleración de dicho movimiento toman los mismos valores después de un cierto intervalo de tiempo constante denominado

periodo.

4. Movimiento armónico simple.

1 El hertzio recibe ese nombre en honor a Heinrich Hertz (1857-1894) cuyas investigaciones proporcionaron la confirmación experimental de las ondas electromagnéticas predichas teóricamente por James Clark Maxwell (1831-1879).

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El movimiento oscilatorio o el movimiento vibratorio son dos de de los más importantes que existen en la Naturaleza. Por ejemplo, un cuerpo colgado de un muelle oscila alrededor de su posición de equilibrio al separarlo de ésta y dejarlo en libertad, un péndulo al moverse realiza un

movimiento oscilatorio; los átomos de un sólido vibran alrededor de su posición de equilibrio, etc. Además, este tipo de movimiento es la base de los fenómenos ondulatorios, que se estudian un poco más adelante. Al dejar oscilar libremente al objeto de la figura de la izquierda, éste describe un movimiento de oscilación: un movimiento armónico simple, de aquí en adelante será M.A.S. Si O representa la posición de equilibrio, al soltar el objeto desde la posición “A”, comenzará a moverse hacia “O” con cierta aceleración; rebasará la línea que corresponde a la situación de equilibrio, su velocidad va disminuyendo hasta llegar a “A’”, en donde se detendrá. A continuación, volverá a moverse hacia “O”, y, así sucesivamente. Si se eliminan los rozamientos el objeto tenderá a seguir oscilando de manera indefinida, correspondiendo una simetría a los valores extremos “A” y “A’” y, por tanto, la distancia entre el punto de equilibrio y esas posiciones tomará un valor máximo que se denomina amplitud. Ahora bien a la distancia existente entre un punto cualquiera de la trayectoria seguida a la posición de equilibrio se le conoce por elongación, es decir, es la distancia que separa en cada instante al cuerpo que oscila de su posición de equilibrio. Su unidad es el metro. Obviamente, la

separación máxima de la elongación representara la citada amplitud. Obtener la ecuación de movimiento para este tipo de movimiento oscilatorio como el M.A.S. es complicado, pero usando un modelo que permita dar una situación similar facilita la situación. Suponiendo un movimiento circular cuyo radio corresponde a la amplitud del movimiento Para ello, (ver la figura de la izquierda), basta observar que el movimiento de “vaivén” del cuerpo que oscila colgado del muelle, puede ser reproducido como “la

proyección o sombra sobre el eje OY”, también se puede hacer sobre el eje de abscisa “OX”, de un cuerpo que rota en movimiento circular y con una velocidad angular () uniforme, es decir, constante. Consecuentemente, la elongación puede expresarse a través de la función seno.

2 2

Si el movimiento no comienza en el punto de equilibrio a la ecuación anterior se le añade un ángulo de desfase (), quedando la expresión siguiente:

2

2

Se debe puntualizar que el M.A.S. es independiente del movimiento circular y este último se ha empleado sólo y únicamente para llegar a las ecuaciones desde el punto de vista de la cinética, ya que desde la dinámica es más dificultoso.

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Desde la ecuación de movimiento se puede determinar la rapidez o celeridad, es decir, el modulo de la velocidad y el modulo de la aceleración.

Representando las distintas ecuaciones, se tiene: Hay que señalar que la aceleración es directamente proporcional a la elongación (y (t)) y de sentido contrario. Por tanto, la aceleración no es constante. En general, todo movimiento cuya aceleración sea proporcional a su posición, es decir, que tenga la siguiente expresión matemática: " " donde m es una constate, se dice que es un M.A.S.

5. Dinámica del movimiento armónico simple. Según la segunda ley de la dinámica, la suma de las interacciones, fuerzas, que actúan sobre un cuerpo es directamente proporcional a la aceleración del movimiento del citado cuerpo. Aplicando ese principio a M.A.S. se tiene:

; A la constante K se le conoce por constante elástica del medio o constante de recuperación. En el caso de ser un muelle el que provoca la oscilación, como se muestra en la gráfica de la izquierda, el valor de la constante “K” nos da una idea de la dureza del muelle.

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6. Aspectos energéticos del m.a.s. Desde un punto de vista energético, un sistema donde el móvil tiene un m.a.s. tiene la particularidad que transforma continuamente energía cinética en energía potencial elástica y viceversa. En el caso de un muelle, al estirar o comprimir el muelle hay que realizar un trabajo, por ello decimos que el muelle en esa situación adquiere energía potencial elástica. Tras ello, el muelle espontáneamente adquiere energía cinética a costa de la consiguiente pérdida de energía potencial elástica, siempre que el sistema no intercambie energía con el exterior, y sucederá al revés cuando se va frenando.

Suponiendo un sistema aislado, es decir que ni le damos energía ni el sistema pierde energía por rozamiento o por cualquier otra causa, la cantidad total de energía que tendrá el sistema será constante. Eso es lo mismo que decir que la suma de la energía cinética y de la energía potencial elástica será constante.

á é á No hay que olvidar que en este tipo de sistema la energía mecánica se conserva y es constante, variando sólo la cinética y potencial, las cuales toman como valor máximo la energía total. La energía cinética varía desde un valor máximo cuando pasa por la posición de equilibrio (donde la velocidad es máxima) a un valor nulo cuando se encuentra en las posiciones de máxima separación de la posición de equilibrio (puntos en los que la velocidad es nula); por el contrario, la energía potencial elástica es máxima cuando el cuerpo está en la posición más separada y nula cuando pasa por la posición de equilibrio. El valor de la energía potencial elástica se determina por la que se obtiene la es por medio del cálculo del trabajo desarrollado por la partícula, siendo la expresión matemática:

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12

12

12

1

Por otro lado, la energía cinética viene dada por:

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12

cos 12

Sumando las dos tipos de energía, se puede ver los parámetros que influyen en la energía mecánica del sistema armónico.

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12

Según la última expresión, es posible indicar que la energía mecánica es directamente proporcional al cuadrado de la amplitud del m.a.s. y es proporcional a la constante de recuperación o elástica. Además, como la citada constante depende de la masa del objeto que se mueve y al cuadrado de la velocidad angular, consecuentemente la energía total del sistema oscilante dependerá de las mencionadas magnitudes.

7. Péndulo simple. Ejemplo de m.a.s. Se puede decir que un péndulo simple es una partícula suspendida de masa m unida a una cuerda de longitud L, que se puede considerar inextensible y de masa despreciable sujeta por el otro extremo. A la partícula que oscila se le llama lenteja del péndulo. Si desplazamos la partícula un determinado ángulo respecto a la posición de equilibrio, soltándola a continuación, la partícula se moverá en un arco de circunferencia de radio L. Tomando la vertical del movimiento como punto de referencia en el cual la partícula se halla en equilibrio. La amplitud A será igual a la mitad de la longitud del arco que describe la lenteja en su movimiento. Como se puede ver en la figura la fuerza que actúa sobre la partícula y provoca el desplazamiento del cuerpo es la proyección de la fuerza peso sobre la recta tangente de la curva que describe la lenteja.

Si el ángulo de desplazamiento es muy pequeño se puede aproximar el seno de la magnitud al propio valor y éste vincularse al ángulo y al arco.

Si el arco descrito es pequeño, a su vez, se puede aproximar al desplazamiento.

Comparando, el valor con la fuerza recuperadora,

;

Se puede decir que la constante elástica es sustituida por el peso y la longitud de la cuerda. Se puede establecer la frecuencia y el periodo del péndulo desde el valor de K.

; 22

; 4 ; 2 ; 2