Aritmetica para Cuarto de Secundaria

A continuacion presentaremos los temas realizados en el curso de

aritmetica del 4to año de secundaria:

Primer Bimestre:

-Teoria de Conjuntos

-Numeración

Segundo Bimestre:

-Conteo Numérico

-Progresion Aritmetica

-Divisibilidad

Tercer Bimestre:

-Regla de Tres Simples y Compuesta

-Promedios

-Magnitudes Proporcionales

Cuarto Bimestre:

-Reparto Proporcional

-Regla del Tanto por Ciento

Integrantes:

-Hugo Chávez Marín.

-Leslie E. Basurto Cueto.

-María Marchinares García.

TEORÍA DE CONJUNTOS

DEFINICIÓN DE CONJUNTO Un conjunto es un grupo de elementos u objetos

especificados en tal forma que se puede

afirmar con

certeza si cualquier objeto dado pertenece o no

a la agrupación. Para denotar a los conjuntos,

se usan

letras mayúsculas.

Cuando un elemento 1 x pertenece a un

conjunto A se expresa de forma simbólica

como: x Î A 1 . En

caso de que un elemento 1 y no pertenezca a

este mismo conjunto se utiliza la notación: y Ï

A 1

Existen cuatro formas de enunciar a los

conjuntos:

1) Por extensión o enumeración: los elementos

son encerrados entre llaves y separados por

comas. Es decir, el conjunto se describe

listando todos sus elementos entre llaves.

2) Por comprensión: los elementos se

determinan a través de una condición que se

establece

entre llaves. En este caso se emplea el símbolo

| que significa “tal que". En forma simbólica es:

{ ( ) } { } n A = x P x = x ,x ,x ,×××,x 1 2 3

que significa que el conjunto A es el conjunto

de todos los elementos x tales que la condición

P(x) es

verdadera, como 1 2 3 x ,x ,x , etc1.

3) Diagramas de Venn: son regiones cerradas

que sirven para visualizar el contenido de un

conjunto o las relaciones entre conjuntos2.

4) Por descripción verbal: Es un enunciado que

describe la característica que es común para los

elementos.

Ejemplo:

Dada la descripción verbal “el conjunto de las

letras vocales”, expresarlo por extensión,

comprensión y

por diagrama de Venn.

Solución.

Por extensión: V = {a,e,i,o,u }

Por comprensión: V = {x x es una vocal }

SISTEMA DE NUMERACIÓN

Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas de

generación que permiten construir todos los números válidos.

Un sistema de numeración puede representarse como

donde:

Es el sistema de numeración considerado (p.ej. decimal, binario, etc.).

es el conjunto de símbolos permitidos en el sistema. En el caso del

sistema decimal son {0,1,...9}; en el binario son {0,1}; en el octal son

{0,1,...7}; en el hexadecimal son {0,1,...9,A,B,C,D,E,F}.

son las reglas que nos indican qué números son válidos en el

sistema, y cuáles no. En un sistema de numeración posicional las

reglas son bastante simples, mientras que la numeración romana

requiere reglas algo más elaboradas.

Estas reglas son diferentes para cada sistema de numeración

considerado, pero una regla común a todos es que para construir

números válidos en un sistema de numeración determinado sólo se

pueden utilizar los símbolos permitidos en ese sistema.

Para indicar en qué sistema de numeración se representa una

cantidad se añade como subíndice a la derecha el número de

símbolos que se pueden representar en dicho sistema.

Al igual que otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas

utilizaban un sistema de numeración de raíz mixta de base 20

(vigesimal). También los mayas preclásicos desarrollaron

independientemente el concepto de cero alrededor del año 36 a. C.1

Este es el primer uso documentado del cero en América, aunque con

algunas peculiaridades que le privaron de posibilidad operatoria. Las

inscripciones, los muestran en ocasiones trabajando con sumas de

hasta cientos de millones y fechas tan extensas que tomaba varias

líneas el poder representarlas.

Clasificación

Los sistemas de numeración pueden clasificarse en dos grandes

grupos: posicionales y no-posicionales:

En los sistemas no-posicionales los dígitos tienen el valor del símbolo

utilizado, que no depende de la posición (columna) que ocupan en el

número.

En los sistemas de numeración ponderados o posicionales el valor de

un dígito depende tanto del símbolo utilizado, como de la posición que

ése símbolo ocupa en el número.

Por ejemplo, el sistema de numeración egipcio es no posicional, en

cambio el babilónico es posicional. Las lenguas naturales poseen

sistemas de numeración posicionales basados en base 10 ó 20, a

veces con subsistemas de cinco elementos. Además, en algunas

pocas lenguas los numerales básicos a partir de cuatro tienen

nombres basados en numerales más pequeños.

Sistemas de numeración no posicionales

Estos son los más primitivos se usaban por ejemplo los dedos de la

mano para representar la cantidad cinco y después se hablaba de

cuántas manos se tenía. También se sabe que se usaba cuerdas con

nudos para representar cantidad. Tiene mucho que ver con la

coordinabilidad entre conjuntos. Entre ellos están los sistemas del

antiguo Egipto, el sistema de numeración romana, y los usados en

Mesoamérica por mayas, aztecas y otros pueblos .

Al igual que otras civilizaciones mesoamericanas, los mayas

utilizaban un sistema de numeración de raíz mixta de base 20

(vigesimal). También los mayas preclásicos desarrollaron

independientemente el concepto de cero alrededor del año 36 a. C.1

Este es el primer uso documentado del cero en América, aunque con

algunas peculiaridades que le privaron de posibilidad operatoria.2

Las inscripciones, los muestran en ocasiones trabajando con sumas

de hasta cientos de millones y fechas tan extensas que tomaba

varias líneas el poder representarlas.

Sistemas de numeración posicionales

El número de símbolos permitidos en un sistema de numeración

posicional se conoce como base del sistema de numeración. Si un

sistema de numeración posicional tiene base b significa que

disponemos de b símbolos diferentes para escribir los números, y

que b unidades forman una unidad de orden superior.

Ejemplo en el sistema de numeración decimal

Si contamos desde 0, incrementando una unidad cada vez, al llegar

a 9 unidades, hemos agotado los símbolos disponibles, y si queremos

seguir contando no disponemos de un nuevo símbolo para

representar la cantidad que hemos contado. Por tanto añadimos una

nueva columna a la izquierda del número, reutilizamos los símbolos

de que disponemos, decimos que tenemos una unidad de segundo

orden (decena), ponemos a cero las unidades, y seguimos contando.

De igual forma, cuando contamos hasta 99, hemos agotado los

símbolos disponibles para las dos columnas; por tanto si contamos

(sumamos) una unidad más, debemos poner a cero la columna de la

derecha y sumar 1 a la de la izquierda (decenas). Pero la columna de

la izquierda ya ha agotado los símbolos disponibles, así que la

ponemos a cero, y sumamos 1 a la siguiente columna (centena). Como

resultado nos queda que 99+1=100.

El cuentakilómetros mecánico, al utilizar el sistema de numeración

posicional decimal, nos muestra lo anterior: va sumando 1 a la

columna de la derecha y cuando la rueda de esa columna ha

completado una vuelta (se agotan los símbolos), se pone a cero y se

añade una unidad a la siguiente columna de la izquierda.

Pero estamos tan habituados a contar usando el sistema decimal

que no somos conscientes de este comportamiento, y damos por

hecho que 99+1=100, sin pararnos a pensar en el significado que

encierra esa expresión.

Tal es la costumbre de calcular en decimal que la mayoría de la

población ni siquiera se imagina que puedan existir otros sistemas

de numeración diferentes al de base 10, y tan válidos y útiles como

este. Entre esos sistemas se encuentran el de base 2 sistema

binario, de base 8 sistema octal y el de base 16 sistema

hexadecimal. También los antiguos mayas tuvieron un sistema de

numeración posicional el cual ya no se usa.

Tipos de Soluciones

Presentamos 2 formas de resolver este problema:

a)Primera Forma: Digamos que esta la forma trivial de realizar

este proceso.

Convertimos el número 1238 a un número en base 10 (la que

usamos),a través de la descomposición polinómica de la siguiente

forma:

Luego convertimos el número 83 a un número en base 2 (binario) a

través de divisiones sucesivas:

Procedemos a escribir los números de color azul, empezando con el

número que se encuentra en la parte mas inferior para terminar con

la que se encuentra en la parte superior obteniendo así el número

en base 2, es decir:

ó

Luego diremos que el número 123 en base 8 es equivalen al número

83 en base 10 y estos a su vez son equivalentes al número 1010011

en base 2.

Segunda Forma

Examinemos la siguiente tabla, nos muestra números en el sistema

decimal(de base 10), en el sistema octal(base 8) y en el sistema

binario(base 2).

Vemos las equivalencias entre los valores de los distintos sistemas

de numeración, por ejemplo el número 5 en base 10 es equivalente al

número 5 en base 8(octal) y a su vez estos son equivalentes al

número 101 en base 2(binario).

Cuando queramos convertir un número de base 2 a base 8 o viceversa es conveniente expresar los números de base 2(sistema binario) como números de 3 cifras como en la tabla.

Según la tabla vemos que 1 en base 8 es equivalente a 001 en base

2; 2 en base 8 es equivalente a 010 en base 2 y 3 en base 8 es

equivalente a 011 en base 2.

Ahora solo reemplazamos las equivalencias anteriores en el número

1238, obtenemos:

Despreciando los ceros de la izquierda del número anterior que esta

en base 2, tenemos:

PROGRESIÓN ARITMÉTICA

Una progresión aritmética es una sucesión de números tales que

cada uno de ellos (salvo el primero) es igual al anterior más un

número fijo llamado diferencia que se representa por d.

8, 3, -2, -7, -12, ...

3 - 8 = -5

-2 - 3 = -5

-7 - (-2) = -5

-12 - (-7) = -5

d= -5.

Término general de una progresión aritmética

1 Si conocemos el 1er término.

an = a1 + (n - 1) · d

8, 3, -2, -7, -12, ..

an= 8 + (n-1) (-5) = 8 -5n +5 = = -5n + 13

2 Si conocemos el valor que ocupa cualquier otro término de la

progresión.

an = ak + (n - k) · d

a4= -7 y d= -5

an = -7+ (n - 4) · (-5)= -7 -5n +20 = -5n + 13

Interpolación de términos en una progresión aritmética

Interpolar medios diferenciales o aritméticos entre dos

números, es construir una progresión aritmética que tenga por

extremos los números dados.

Sean los extremos a y b, y el número de medios a interpolar m.

Interpolar tres medios aritméticos entre 8 y -12.

8, 3, -2, -7 , -12.

Suma de términos equidistantes de una progresión aritmética

Sean ai y aj dos términos equidistantes de los extremos, se

cumple que la suma de términos equidistantes es igual a la suma

de los extremos.

ai + aj = a1 + an

a3 + an-2 = a2 + an-1 = ... = a1 + an

8, 3, -2, -7, -12, ...

3 + (-7) = (-2) + (-2) = 8 + (-12)

-4 = -4 = -4

Suma de n términos consecutivos de una progresión aritmética

Calcular la suma de los primeros 5 términos de la progresión :

8, 3, -2, -7, -12, ...

DIVISIBILIDAD

Un número b es divisible por otro a cuando la división es

exacta.

Criterios de divisibilidad

Criterio de divisibilidad por 2

Un número es divisible por 2, si termina en cero o cifra par.

24, 238, 1024.

Criterio de divisibilidad por 3

Un número es divisible por 3, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 3.

564

5 + 6 + 4 = 15, es mútiplo de 3

2040

2 + 0 + 4 + 0 = 6, es mútiplo de 3

Criterio de divisibilidad por 5

Un número es divisible por 5, si termina en cero o cinco.

45, 515, 7525.

Criterio de divisibilidad por 7

Un número es divisible por 7 cuando la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y el doble de la cifra de las unidades es 0 ó múltiplo de 7.

343

34 - 2 · 3 = 28, es mútiplo de 7

105

10 - 5 · 2 = 0

2261

226 - 1 · 2 = 224

Volvemos a repetir el proceso con 224.

22 - 4 · 2 = 14, es mútiplo de 7.

Criterio de divisibilidad por 11

Un número es divisible por 11, si la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan los lugares pares y la de los impares es 0 ó múltiplo de 11.

121

(1 + 1) - 2 = 0

4224

(4 + 2) - (2 + 4) = 0

Otros criterios de divisblilidad :

Criterio de divisibilidad por 4

Un número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4.

36, 400, 1028.

Criterio de divisibilidad por 6

Un número es divisible por 6, si es divisible por 2 y por 3.

72, 324, 2 400

Criterio de divisibilidad por 8

Un número es divisible por 8, si sus tres últimas cifras son ceros o múltiplo de 8.

4000, 1048, 1512.

Criterio de divisibilidad por 9

Un número es divisible por 9, si la suma de sus dígitos nos da múltiplo de 9.

81

8 + 1 = 9

3663

3 + 6 + 6 + 3 = 18, es mútiplo de 9

Criterio de divisibilidad por 10

Un número es divisible por 10, si la cifra de las unidades es 0.

130, 1440, 10 230

Criterio de divisibilidad por 25

Un número es divisible por 25, si sus dos últimas cifras son ceros o

múltiplo de 25.

500, 1025, 1875.

Criterio de divisibilidad por 125

Un número es divisible por 125, si sus tres últimas cifras son

ceros o múltiplo de 125.

1000, 1 125, 4 250.

Regla de Tres

La regla de tres es un instrumento muy sencillo y

útil al mismo tiempo. Consiste en una sencilla

operación que nos va a permitir encontrar el

cuarto término de una proporción, de la que sólo

conocemos tres términos. Así, por ejemplo, nos

permite saber cuánto cuestan dos kilos de patatas

si el cartel del mercado marca el precio

de un kilo, o calcular el precio de 150 bolígrafos si la caja de cinco unidades vale 60 céntimos de euro. Además, la regla de tres nos va a permitir operar

al mismo tiempo con elementos tan distintos como horas, kilómetros, número de trabajadores o dinero invertido.

Tipos:

Regla de tres simple y directa

Se aplica cuando dadas dos cantidades

correspondientes a magnitudes directamente

proporcionales, hay que calcular la cantidad de

una de estas magnitudes correspondiente a una

cantidad dada de la otra magnitud.

La regla de tres directa la aplicaremos cuando

entre las magnitudes se establecen las

relaciones:

A más más.

A menos menos.

Ejemplos

Un automóvil recorre 240 km en 3 horas.

¿Cuántos kilómetros habrá recorrido en 2

horas?

Son magnitudes directamente proporcionales, ya

que a menos horas recorrerá menos kilómetros.

240 km 3 h

x km 2 h

Ana compra 5 kg de patatas, si 2 kg cuestan

0.80 €, ¿cuánto pagará Ana?

Son magnitudes directamente proporcionales, ya

que a más kilos, más euros.

2 kg 0.80 €

5 kg x €

Regla de tres simple inversa

Consiste en que dadas dos cantidades

correspondientes a magnitudes inversamente

proporcionales, calcular la cantidad de una de

estas magnitudes correspondiente a una

cantidad dada de la otra magnitud.

La regla de tres inversa la aplicaremos cuando

entre las magnitudes se establecen las

relaciones:

A más menos.

A menos más.

Ejemplo

Un grifo que mana 18 l de agua por minuto

tarda 14 horas en llenar un depósito. ¿Cuánto

tardaría si su caudal fuera de 7 l por minuto?

Son magnitudes inversamente proporcionales, ya

que a menos litros por minuto tardará más en

llenar el depósito.

18 l/min 14 h

7 l/min x h

3 obreros construyen un muro en 12 horas,

¿cuánto tardarán en construirlo 6 obreros?

Son magnitudes inversamente proporcionales, ya

que a más obreros tardarán menos horas.

3 obreros 12 h

6 obreros x h

Regla de tres compuesta :

La regla de tres compuesta se emplea cuando

se relacionan tres o más magnitudes, de modo

que a partir de las relaciones establecidas

entre las magnitudes conocidas obtenemos la

desconocida.

Una regla de tres compuesta se compone de

varias reglas de tres simples aplicadas

sucesivamente.

Como entre las magnitudes se pueden

establecer relaciones de proporcionalidad

directa o inversa, podemos distinguir tres casos

de regla de tres compuesta:

Regla de tres compuesta directa

Ejemplo

Nueve grifos abiertos durante 10 horas diarias

han consumido una cantidad de agua por valor

de 20 €. Averiguar el precio del vertido de 15

grifos abiertos 12 horas durante los mismos

días.

A más grifos, más euros Directa.

A más horas, más euros Directa.

9 grifos 10 horas 20 €

15 grifos 12 horas x €

Regla de tres compuesta inversa

Ejemplo

5 obreros trabajando, trabajando 6 horas

diarias construyen un muro en 2 días. ¿Cuánto

tardarán 4 obreros trabajando 7 horas diarias?

A menos obreros, más días Inversa.

A más horas, menos días Inversa.

5 obreros 6 horas 2 días

4 obreros 7 horas x días

Regla de tres compuesta mixta

Ejemplo

Si 8 obreros realizan en 9 días trabajando a

razón de 6 horas por día un muro de 30 m.

¿Cuántos días necesitarán 10 obreros

trabajando 8 horas diarias para realizar los 50

m de muro que faltan?

A másobreros, menos días Inversa.

A más horas, menosdías Inversa.

A más metros, más días Directa.

8 obreros 9 días 6 horas 30

m

10 obreros x días 8 horas 50 m

11 obreros labran un campo rectangular de 220

m de largo y 48 de ancho en 6 días. ¿Cuántos

obreros serán necesarios para labrar otro

campo análogo de 300 m de largo por 56 m de

ancho en cinco días?

220 · 48 m² 6 días 11 obreros

300 · 56 m² 5 días x obreros

Seis grifos, tardan 10 horas en llenar un

depósito de 400 m³ de capacidad. ¿Cuántas

horas tardarán cuatro grifos en llenar 2

depósitos de 500 m³ cada uno?

6 grifos 10 horas 1 depósito

400 m³

4 grifos x horas 2 depósitos

500 m³

PROMEDIO

Promedio Aritmético:

En matemáticas y estadisticas , la media aritmética (también llamada

promedio o simplemente media) de un conjunto finito de números es el valor

característico de una serie de datos cuantitativos objeto de estudio que

parte del principio de la esperanza matemática o valor esperado, se obtiene

a partir de la suma de todos sus valores dividida entre el número de

sumandos. Cuando el conjunto es una muestra aleatoria recibe el nombre de

media muestral siendo uno de los principales estadísticos muestrales.

Expresada de forma más intuitiva, podemos decir que la media (aritmética)

es la cantidad total de la variable distribuida a partes iguales entre cada

observación.

Por ejemplo, si en una habitación hay tres personas, la media de dinero que

tienen en sus bolsillos sería el resultado de tomar todo el dinero de los tres

y dividirlo a partes iguales entre cada uno de ellos. Es decir, la media es una

forma de resumir la información de una distribución (dinero en el bolsillo)

suponiendo que cada observación (persona) tuviera la misma cantidad de la

variable.

También la media aritmética puede ser denominada como centro de

gravedad de una distribución, el cual no está necesariamente en la mitad.

Una de las limitaciones de la media aritmética es que se trata de una medida

muy sensible a los valores extremos; valores muy grandes tienden a

aumentarla mientras que valores muy pequeños tienden a reducirla, lo que

implica que puede dejar de ser representativa de la población.

Dados los n números , la media aritmética se define como:

Por ejemplo, la media aritmética de 8, 5 y -1 es igual a:

Se utiliza la letra X con una barra horizontal sobre el símbolo para

representar la media de una muestra ( ), mientras que la letra µ (mu) se

usa para la media aritmética de una población, es decir, el valor esperado de

una variable.

En otras palabras, es la suma de n valores de la variable y luego dividido por

n : donde n es el número de sumandos, o en el caso de estadística.

Promedio Geométrico:

En matemáticas y estadística, la media geométrica de una cantidad

arbitraria de números (por decir n números) es la raíz n-ésima del producto

de todos los números, es recomendada para datos de progresión geométrica,

para promediar razones, interés compuesto y números índices.

Por ejemplo, la media geométrica de 2 y 18 es

Otro ejemplo, la media de 1, 3 y 9 sería

Promedio Ponderado:

Es una Medida de Tendencia Central, que es apropiada en el caso cuando en

un conjunto de datos cada uno de ellos tiene una importancia relativa o peso

respecto de los demás datos, y se obtiene del cociente entre la suma de los

productos de cada dato por su peso o ponderación y la suma de los pesos.

== Concepto == Para una serie de datos :

a la que corresponden los pesos

la media ponderada se calcula como:

Un ejemplo es la obtención de la media ponderada de las notas de en la que

se asigna distinta importancia (peso) a cada una de las pruebas de que

consta el examen, entonces se multiplicaría cada nota por su

correspondiente peso y el resultado obtenido se divide entre la suma de los

pesos asignados.

Promedio Armonico:

La media armónica es un promedio muy útil en conjuntos de

números que se definen en relación con alguna unidad, por

ejemplo la velocidad(distancia por unidad de tiempo).

Por ejemplo, la media armónica de los números:

34, 27, 45, 55, 22, y 34 es:

Magnitudes Proporcionales:

Magnitudes Directamente Proporcionales:

Dos magnitudes son directamente proporcionales

cuando, al multiplicar o dividir una de ellas por

un número cualquiera, la otra queda multiplicada

o dividida por el mismo número.

Se establece una relación de proporcionalidad directa entre dos

magnitudes cuando:

A más corresponde más.

A menos corresponde menos.

Son magnitudes directamente proporcionales, el

peso de un producto y su precio.

Si 1 kg de tomates cuesta 1 €, 2 kg costarán 2 € y ½ kg costará 50

céntimos.

Es decir:

A más kilógramos de tomate más euros.

A menos kilógramos de tomate menos euros.

También son directamente proporcionales:

El espacio recorrido por un móvil y el tiempo empleado.

El volumen de un cuerpo y su peso.

La longitud de los lados de un polígono y su área.

Magnitudes Inversamente proporcionales:

Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando, al

multiplicar o dividir una de ellas por un número cualquiera, la

otra queda dividida o multiplicada por el mismo número.

Se establece una relación de proporcionalidad inversa entre dos

magnitudes cuando:

A más corresponde menos.

A menos corresponde más.

Son magnitudes inversamente proporcionales, la velocidad y el

tiempo:

A más velocidad corresponde menos tiempo.

A menos velocidad corresponde más tiempo.

Un vehículo tarda en realizar un trayecto 6 horas si su velocidad es

de 60 km/h, pero si doblamos la velocidad el tiempo disminuirá a la

mitad. Es decir, si la velocidad es de 120 km/h el tiempo del

trayecto será de 3 horas.

Repartos proporcionales

Repartos directamente proporcionales:

Consiste en que dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una

magnitud total, calcular la parte correspondiente a cada una de

las magnitudes dadas.

Ejemplo

Un abuelo reparte 450 € entre sus tres nietos de

8, 12 y 16 años de edad; proporcionalmente a sus

edades. ¿Cuánto corresponde a cada uno?

Llamamos x, y, z a las cantidades que le

corresponde a cada uno.

1º El reparto proporcional es:

2º Por la propiedad de las razones iguales:

3º Cada nieto recibirá:

Repartos inversamente proporcionales:

Dadas unas magnitudes de un mismo tipo y una

magnitud total, debemos hacer un reparto

directamente proporcional a las inversas de las

magnitudes.

Ejemplo

Tres hermanos ayudan al mantenimiento familiar

entregando anualmente 5900 €. Si sus edades son

de 20, 24 y 32 años y las aportaciones son

inversamente proporcionales a la edad, ¿cuánto

aporta cada uno?

1º Tomamos los inversos:

2º Ponemos a común denominador:

3º Realizamos un reparto directamente

proporcional a los numeradores: 24, 20 y 15.

Regla

del Tanto Por Ciento

El Tanto Por Ciento de un Número (N):

Se denomina así al número de partes iguales que se toman de

una cantidad N, dividida en 100 partes iguales.

Para determinar el tanto por ciento de un número N, podemos

recurrir a la regla de tres simple.

Cantidad Porcentaje

N 100% Regla de 3 directa

X p%

Entonces: N = 100 x = p . N

X p 100

Luego: p% de N = p . N

100

Ejemplos:

1. Hallar el 36% de 250.

Resolvemos:

36% de 250 = 36 x 250

100

= 900 = 90

10

2. ¿Qué tanto por ciento de 480 es 72?

Resolvemos:

P% de 480 = 72

p . 480 = 72

100

p = 72 x 100 = 15

480

Tanto por ciento del tanto por ciento:

Se refiere al tanto por ciento que se considera de otro tanto

por ciento de un número.

• Regla Practica: Calcular el a% del b% del c% de un número N.

Entonces:

x = a% x b% x c% x N

Luego: x = a x b x c x N

100 100 100