Art5_inidces miller

Ingeniería Metalúrgica y Materiales

ING. DANIEL GIL CEDEÑO

Clase 15 Indices de Miller.pdf==============================NOMENCLATURA DE ÍNDICES DE MILLER, para planos y direcciones cristalográficos. Entendemos por planos y direcciones cristalográficos a planos y direcciones que contienen átomos de un cristal dado. Consideramos que un átomo pertenece a un plano (dirección) cuando el centro de ese átomo está en dicho plano (dirección). Supongamos que interesa medir la susceptibilidad magnética o el módulo de Young de un monocristal de Cu. Se obtienen diferentes valores de la propiedad según la dirección cristalina en que se haga la medición, por ejemplo, según una arista o una diagonal de la celda. Se dice que un material es anisótropo cuando sus propiedades dependen de la dirección según la cual se hace la medida; claramente los monocristales son anisótropos, en tanto que los materiales amorfos son isótropos. En efecto, en los cristales, al variar la dirección cristalográfica, cambia la distancia entre los átomos alineados, lo cual es un indicador de que hay diferencias en cómo se ha satisfecho el enlace; por tanto, habrá diferencia en el comportamiento de las distintas direcciones. Por otra parte, podríamos estar interesados en la deformación plástica por deslizamiento, como en el caso de un monocristal de Zn traccionado. En tal situación, el deslizamiento se hace según un plano cristalográfico específico y una dirección cristalográfica específica.

De lo expuesto en el párrafo anterior, resulta evidente que necesitamos un procedimiento para designar planos y direcciones cristalográficos. Además, para analizar los diagramas de difracción, con el propósito de determinar las estructuras cristalinas, también se necesita denominarapropiadamente a planos y direcciones. Así es como a continuación se presenta el procedimiento para determinar los índices de Miller; en tres dimensiones, se trata simplemente de tríos ordenados de números. El procedimiento de Miller es aplicable a todo tipo de celdas, si bien nuestras simples aplicaciones corresponderán preferentemente a cristales cúbicos. Para cristales hexagonales en ocasiones se prefiere otra nomenclatura denominada de índices de Miller-Bravais, a la cual corresponden, en tres dimensiones, cuartetos ordenados; no veremos ese procedimiento. Como los cristales son regulares, todos los planos paralelos entre sí son idénticos y equidistantes; por ejemplo, todos los planos hexagonales de un cristal HC. Por ello, en el contexto de los índices de Miller todos los planos (direcciones) pararlelos(las) reciben una misma denominación. Así frecuentemente, en lugar de precisar cada vez "un conjunto de planos paralelos" diremos "un plano". Los índices de Miller de un plano contienen como información la distancia interplanar del conjunto de planos paralelos correspondiente. Para lograr esto, se aplica un procedimiento que no es evidente a primera vista. Aplicar integral y correctamente este procedimiento es fundamental para el análisis de difractogramas. En el caso de los índices de direcciones, el procedimiento es bastante sencillo, pues se trata básicamente de una notación vectorial. Como es evidente, los resultados de la aplicación del procedimiento son fuertemente dependientes del tipo de red analizado; así, por ejemplo, la notación para una arista de celda es diferente en una red C que en una CC.

Cabe señalar que, dado un cristal, podemos determinar la celda convencional y entonces conocer los ejes de referencia convencionales, con los cuales aquí siempre trabajaremos. En ese sistema de ejes, las distancias se miden en números que son múltiplos de los respectivos parámetros de celda. Así por ejemplo, en un cristal CCC la distancia correspondiente a dos aristas según el eje Z vale 2. Determinación de índices de Miller de planos. Sea un cristal dado y un conjunto dado de planos cristalográficos de ese cristal. Para determinar los índices de Miller de esos planos se procede así. 1) Considere un plano de ese conjunto y dese el origen del sistema de referencia. El origen estará centrado en algún átomo. 2) Determine un plano cristalográfico paralelo al anterior que sea el más próximo al origen pero sin pasar por este último. Este plano podría ser el mismo plano original. (Note que en el origen hay un átomo; por tanto, por ahí pasa una plano cristalográfico del conjunto de interés. En consecuencia, la distancia entre el origen y el plano determinado en 2) es la distancia interplanar) 3) Calcule ordenadamente las intersecciones del plano determinado en 2) con cada uno de los ejes de referencia. 4) Calcule los inversos de los números anteriores y póngalos entre paréntesis redondos. Tales son los índices de Miller de los planos de interés, genéricamente denominados (hkl). Atendiendo a la simetría de cada cristal, es posible encontrar planos no paralelos que son cristalográficamente equivalentes. Tal es el caso de losplanos correspondientes a las tres caras esencialmente diferentes no paralelas de un cristal C. En ese caso se hace referencia a la familia de planos {100}, que incluye a los plano (100), (010) y (001), una familia de multiplicidad 3 (contiene 3 elementos). Direcciones cristalinas. Para las direcciones cristalinas se emplea un sistema de índices que en lo fundamental es simplemente vectorial. Se usan paréntesis cuadrados: [hkl]. Por ejemplo, las direcciones según aristas X de un cristal C se llaman [100], igual para los CC y CCC. En un cristal, una familia de planos equivalentes se denomina por paréntesis de llave. Por ejemplo, las tres aristas no paralelas de un cubo constituyen la familia , cuyos tres elementos son las direcciones [100], [010] y [001]. Propiedades de índices de Miller en cristales del sistema cúbico. 1. Dado un plano (hkl), los índices de su normal son [hkl]. Esta propiedad no siempre se cumple para cristales no cúbicos. 2. Para un plano cristalográfico {hkl}de un cristal de parámetro de celda a[nm], la respectiva distancia interplanar dhkl vale: dhkl[nm]= a[nm] / (h2 + k2 + l2 )1/2 Comentarios: La Propiedad 1 no siempre se cumple en cristales no cúbicos, por ejemplo, en cristales HC. Considere un cristal HC, determine los índices de Miller: a) de un plano basal y de su normal (se cumple) y b) de un plano de prisma y de su normal (no se cumple).

Para que se cumpla siempre la Propiedad 1 en cristales HC, se hadesarrollado un sistema de índices de Miller-Bravais, empleando 4 índices. Esto significa utilizar un sistema de referencia de 4 ejes en un espacio 3D; por ello, los tres primeros ejes, contenidos en el plano basal, no son linealmente independientes. El cuarto eje corresponde al eje c, perpendicular al plano basal. En el texto de Smith está la materia de estos índices, pero no es parte de este curso su empleo. Según la Propiedad 2, si el trío {h k l} es grande, entonces dhkl[nm] es pequeño. Que {h k l} sea grande corresponde a que (h2 + k2 + l2) sea grande. La ecuación anterior que refleja esta Propiedad 2 no se cumple en cristales no cúbicos; pero, en cristales no cúbicos siempre existe una ecuación, aunque más compleja que la de los cúbicos, cuyo análisis también lleva a concluir: los planos de índices menores son los que presentan las mayores distancias interplanares. Nótese que si en la ecuación de la Propiedad 2 no se ingresan los valores de {h k l} correctamente calculados, entonces el resultado de la distancia interplanar será erróneo; esto es muy grave al estar resolviendo problemas de difracción. Por ejemplo, para un cristal CCC no es raro que en vez de los índices correctos {200} se asignen los índices incorrectos, para el propósito de calcular la distancia interplanar, {100}. Sin embargo, en ambos casos se obtiene la correcta dirección de la normal. En efecto, las direcciones [200] y [100] son paralelas.

INTRODUCCIÓN

La mayoría de los materiales sólidos no metálicos con los que uno a diario esta en contacto, encuentra que no hay diferencia característica entre su forma externa y la de casi todos los objetos metálicos. De aquí que resulte bastante sorprendente para la mayoría de la gente saber que los materiales metálicos poseen una estructura cristalina, mientras que materiales como la madera, plásticos, papel, vidrio y otros no la poseen, éste tipo de materiales tienen un arreglo al azar en sus partículas de manera que logran rigidez a la temperatura ambiente.

Los sólidos se pueden clasificar teniendo en cuenta el arreglo interno de sus partículas, en amorfos y cristalinos.

Se puede decir que un sólido es un material que posee forma y volumen definidos y que es una sustancia constituida por átomos metálicos, átomos no metálicos, iones ó moléculas.

Muchas de las propiedades de los metales tales como la densidad, dureza, punto de fusión, conductividad eléctrica y calorífica están relacionadas con la estructura cristalina y también con el enlace metálico. Sin embargo, ninguna depende tanto de la estructura cristalina como las propiedades mecánicas tales como la maleabilidad, ductilidad, resistencia a la tensión, temple y capacidad de hacer aleaciones.

 SÓLIDOS AMORFOS

 Son todos aquellos sólidos en los cuales sus partículas constituyentes presentan atracciones lo suficientemente eficaces como para impedir que la sustancia fluya, resultando una estructura rígida y más o menos dura.

No presentan una disposición interna ordenada por lo tanto no tienen ningún patrón determinado. También se les denomina vidrios ó líquidos sobreenfriados.

A temperaturas altas los amorfos se transforman en líquidos y sus partículas constituyentes tienen libertad de movimiento, al disminuir lentamente la temperatura, la energía cinética de las partículas se va haciendo tan baja que se puede producir un acomodamiento entre ellas; pero si el enfriamiento se produce rápidamente y por debajo del punto de fusión (sobreenfiramento), se origina, como resultado de las menores vibraciones, una contracción térmica que no permite el ordenamiento de las partículas aumentando la viscosidad que ya no es posible apreciar flujo y la sustancia adquiere las características de un sólido: rigidez, dureza, forma y volumen definidos, etc. Como ejemplos cabe resaltar: el asfalto, ceras, la brea, vidrio y la mayoría de los polímeros.

Cuando un sólido amorfo se quiebra produce caras y bordes irregulares y al fundirse lo hace en un rango de temperaturas cambiando lentamente del estado sólido al estado líquido.

 

SÓLIDOS CRISTALINOS Y REDES DE BRAVAIS

 Los sólidos cristalinos están constituidos por minúsculos cristales individuales cada uno con forma geométrica y poseen la característica de que al romperse producen caras y planos

definidos, al igual presentan puntos de fusión definidos. Como ejemplos podemos destacar: el NaCl, la sacarosa, metales y aleaciones, y también algunos cerámicos.

Los átomos o iones de un sólido se ordenan en una disposición que se repite en tres dimensiones, forman un sólido del que se dice tiene una estructura cristalina, se dice también que es un sólido cristalino o un material cristalino.

Punto reticular: ión, átomo o molécula

que se repite infinitamente

figura 1

Líneas rectas imaginarias que forman la

Celdilla unidad

figura 2

El patrón se repite en el espacio y

Forma el retículo cristalino

figura 3

 

El tamaño y la forma de la celda unidad pueden describirse por tres vectores reticulares a, b, c y por ángulos entre las caras y la longitud relativa de las aristas, denominados parámetros de red, constantes de red o ejes cristalográficos.

a, b, c : longitud de las aristas correspondientes a los ejes coordenados X, Y,Z.

a , b , g : ángulos entre las aristas.

figura 4

La importancia en la ingeniería de la estructura física de los materiales sólidos depende primordialmente de la disposición de los átomos, iones o moléculas que constituyen el sólido y de las fuerzas de enlace entre ellos.

Asignando valores específicos para las longitudes axiales y los ángulos intereaxiales, se pueden construir diferentes tipos de celda unidad. Los cristalógrafos han mostrado que son necesarias sólo siete tipos de diferentes de celda unidad para crear todas las redes puntuales, estos sistemas cristalinos son: el Cúbico, el Tetragonal, el Ortorrómbico, el Romboédrico, el Hexagonal, el Monoclínico y el Triclínico. La mayor parte de los sistemas cristalinos presentan variaciones de la celda unidad básica. A.J. Bravais mostró que 14 celdas unidad estándar podían describir todas las estructuras reticulares posibles. Hay cuatro tipos básicos de celdas unidad (1) Sencilla, (2) Centrada en el Cuerpo, (3) Centrada en las Caras, y (4) Centrada en la Base.

En el Sistema Cúbico hay tres tipos de celda unidad: cúbica sencilla, cúbica centrada en el cuerpo y cúbica centrada en las caras. En el Sistema Ortorrómbico hay están representados los cuatro tipos. En el Sistema Tetragonal hay solo dos: sencilla y centrada en el cuerpo. La celda unidad tetragonal centrada en las caras parece que falta, pero se puede formar a partir de cuatro celdas unidad tetragonales centradas en el cuerpo. El Sistema Monoclínico tiene celdas unidad sencilla y centrada en la base, y los Sistemas Romboédrico, Hexagonal y Triclínico tienen sólo una celda unidad.

 PRINCIPALES ESTRUCTURAS CRISTALINAS METÁLICAS

 La mayoría de los metales elementales (90%) cristalizan en tres estructuras cristalinas densamente empaquetadas: cúbica centrada en las caras FCC, hexagonal compacta HCP y cúbica centrada en el cuerpo BCC debido a que se libera energía a medida que los átomos se aproximan y se enlazan cada vez más estrechamente entre sí. Por lo tanto dichas estructuras densamente empaquetadas se encuentran en disposiciones u ordenamientos de energía cada vez más baja y estable.

Ejemplo

¿ Cuántas celdas unidad hay aproximadamente en el Fe puro BCC si las aristas de la celda estuvieran alineadas arista con arista en 1 mm, si a temperatura ambiente la arista es igual a 0.287 X 10-9 nm ?

Estructura Cristalina Cúbica Centrada en el Cuerpo BCC

En esta celda unidad las esferas sólidas representan los centros donde los átomos están localizados e indican sus posiciones relativas. En esta celda unidad el átomo central esta rodeado de 8 vecinos más cercanos y se dice que tiene por lo tanto un número de coordinación de 8. Cada una de estas celdas unidad tiene el equivalente de 2 átomos por celda unidad. Un átomo completo esta localizado en el centro de la celda unidad, y un octavo de esfera esta localizado en cada vértice de la celda unidad, haciendo el equivalente de otro átomo. De este modo, hay un total de 1 (en el centro) + 8 x 1/8 (en los vértices) = 2 átomos por celda unidad.

Los átomos en este tipo de celdas contactan entre sí a través de la diagonal del cubo, y la relación entre la longitud de la cara del cubo a y el radio atómico R es:

Si los átomos en la celda BCC se consideran esféricos, el factor de empaquetamiento atómico (APF) puede hallarse empleando la siguiente expresión:

El APF de esta celda es 0.68, es decir, el 68% del volumen de la celda esta ocupado por átomos y el 32% restante en espacio vacío. El cristal BCC no es una estructura totalmente compacta, ya que los átomos aún podrían situarse más juntos. Muchos metales como el Cromo, Hierro, Wolframio, Molibdeno y Vanadio tienen estructura cristalina BCC.

Estructura Cristalina Cúbica Centrada en las Caras FCC. En esta celda hay un punto reticular en cada vértice del cubo y otro en el centro de cada cara del cubo. El modelo de esferas sólidas indica que los átomos de esta estructura están unidos del modo más compacto posible. El APF de esta estructura de empaquetamiento compacto es 0.74.

Esta celda tiene el equivalente a cuatro átomos por celda unidad. Un octavo de átomo en cada vértice (8 x 1/8=1) y seis medios átomos en el medio (1/2 x 6= 3).

Los átomos en la celda FCC contactan entre sí a lo largo de la diagonal de la cara del cubo, de tal forma que la relación entre la longitud de la cara del cubo y el radio atómico es:

Metales como el Aluminio, el Cobre, el Plomo, el Níquel y el Hierro a temperaturas elevadas (912 a 1394°C) cristalizan según la estructura FCC.

Ejemplo

El Cu posee una estructura FCC y un radio atómico de 0.1278 nm y considerando que los átomos son esferas sólidas que contactan a lo largo de las diagonales de la celdilla unidad FCC. ¿ Cuál es el valor teórico de la densidad del Cu ?

Masa atómica del Cu=63.54 g/mol

1/8 * 8= 1 átomo

½ * 6= 3 átomo

a 4 átomos en la celda FCC

figura 5

Parámetro de Red:

Volumen de la celda:

V=a3 = (0.361nm)3 =0.047nm3 x(1X10-9 m)3 = 4.7 x 10-29 m3

Masa de los átomos de Cu en la celda:

Densidad Volumétrica:

El valor tabulado experimentalmente es de 8.96 , la diferencia se debe a que los átomos no son esferas perfectas, a la ausencia de átomos en las posiciones atómicas, a defectos en la red, etc.

Estructura Cristalina Hexagonal Compacta HCP

Los metales no cristalizan en la estructura hexagonal sencilla porque el APF es demasiado bajo. El APF es 0.74 ya que los átomos están empaquetados de un modo lo más cercano posible. Cada átomo esta rodeado de otros 12 átomos y por tanto su número de coordinación es 12.

La celda HCP posee 6 átomos, tres forman un triángulo en la capa intermedia, existen 6*1/6 secciones de átomos localizados en las capas de arriba y de abajo, haciendo un equivalente a 2 átomos más, finalmente existen 2 mitades de átomo en el centro de ambas capas superior e inferior, haciendo el equivalente de un átomo más.

La relación c/a de una estructura cristalina HCP ideal es de 1.633 que indica esferas uniformes tan próximas como sea posible. Los metales Cinc, Cadmio poseen una relación c/a más alta que la ideal, lo que indica que los átomos en estas estructuras están ligeramente elongados a lo largo del eje c en la celda unidad HCP. Los metales como el Titanio, Berilio, Magnesio Y Circonio entre otros tienen relaciones c/a menores que la ideal. Por tanto en estos metales los átomos están comprimidos a lo largo de la dirección del eje c.

 ÍNDICES DE MILLER

 Celdas Cúbicas. Los índices de Miller de un plano cristalino están definidos como los recíprocos de las intersecciones que el plano determina con los ejes x, y, z de los tres lados no paralelos del cubo unitario. Las aristas de una celda cúbica unitaria representan longitudes unitarias y las intersecciones de los planos de una red se miden en base a estas longitudes unitarias.

El procedimiento para determinar los índices de Miller para un plano de un cristal cúbico es el siguiente:

 Escoger un plano que no pase por el origen en (0,0,0)

Determinar las intersecciones del plano en base a los ejes x, y, z cristalográficos para un cubo unitario. Estas intersecciones pueden ser fraccionarias.

Construir los recíprocos de las intersecciones.

Despejar fracciones y determinar el conjunto más pequeño de números enteros que estén en la misma razón de las intersecciones. Estos números enteros son los índices de Miller de un plano cristalográfico y se encierran entre paréntesis sin usar comas. La notación (hkl) se emplea para indicar los índices de Miller en sentido general, donde h, k, y l son los índices de Miller para un plano de un cristal cúbico de ejes x, y, y z respectivamente.

  Ejemplos

figura 6

Las intersecciones del primer plano son 1, 1, y los recíprocos de estos números son 1, 1, 0 no involucran fracciones, siendo los índices de Miller (1 1 0).

Para la segunda figura, las intersecciones son: 1, , a los ejes x, y, z respectivamente, por lo tanto los recíprocos son: 1, 0, 0. Los índices de Miller para este plano son: (1 0 0 ).

Finalmente, el tercer plano, tiene las intersecciones 1, 1, 1 que nos dan un índice de Miller (1 1 1).

Si se considera que el plano cristalino pasa por el origen de manera que uno ó más cortes se hacen cero, el plano ha de ser desplazado a una posición equivalente en la misma celda unitaria de modo que el plano permanezca paralelo al original. Esto es posible porque todos los planos paralelos equidistantes son indicados con los mismos índices de Miller.

Si grupos de planos de redes equivalentes están relacionados por la simetría del sistema cristalino, se llaman familia de planos, y los índices de una familia de planos son encerrados entre llaves. Por ejemplo, los índices de Miller de los planos de la superficie del cubo (100) (010) y (001) se designan colectivamente como una familia con la notación {100}.

Una importante relación sólo para el sistema cúbico es que los índices de una dirección perpendicular a un plano de un cristal son los mismos que los índices de Miller para ese plano. Por ejemplo, la dirección [100] es perpendicular al plano cristalino (100).

 Celda HCP. Se identifican empleando cuatro índices en vez de tres, se denominan índices Miller-Bravais, son representados por las letras h, k, i, l y encerrados entre paréntesis (h, k, i, l). Estos índices hexagonales están basados en un sistema coordenado de cuatro ejes, tres ejes básicos a1,a2,a3 que forman 120° entre sí, el cuarto eje o eje c es el eje vertical y está localizado en el centro de la celdilla unidad (Ver figura). La unidad a de medida a lo largo de los ejes a1,a2,a3 es la distancia entre los átomos. La unidad de medida a lo largo del eje c es la altura de la celdilla unidad. Los recíprocos de las intersecciones que un plano determina con los ejes a1,a2,a3 proporcionan los índices h, k e i mientras que el reciproco de la intersección con el eje c da el índice l. 

figura 7

Los planos basales de la celdilla unidad HCP son muy importantes para esta celdilla, el plano basal de la parte superior es paralelo a los ejes a1,a2,a3 , las intersecciones de este plano con estos ejes serán todas de valor infinito. Así, a1 = a2= a3 = . El eje c, sin embargo, es único puesto que el plano basal superior intersecciona con el eje c a una distancia unidad. Tomando los recíprocos de estas intersecciones tenemos los índices de Miller-Bravais para el plano basal HCP. Así, h=0, K=0, i=0, l=1. El plano basal es, por tanto, un plano (0001).

Las direcciones en las celdas unitarias HCP se indican por cuatro índices [u,v,t,w]. Son vectores reticulares en las direcciones a1,a2,a3 respectivamente y el índice w es un vector reticular en la dirección c.

 SISTEMAS DE DESLIZAMIENTO

 Un sistema de deslizamiento es la combinación de un plano y una dirección que se halla sobre el plano a lo largo del cual se produce el deslizamiento.

El Mecanismo de deslizamiento puede definirse como el movimiento paralelo de dos regiones cristalinas adyacentes, una respecto a la otra, a través de algún plano (o planos).

El deslizamiento no se produce sobre un plano solamente, sino sobre pequeñas regiones de planos paralelos llamados bandas de deslizamiento o líneas de deslizamiento, dependiendo de

sus espesores. Puesto que todas las líneas de deslizamiento está en grupos paralelos dentro de cada monocristal (cada grano), deben corresponder a una misma familia de planos (hkl) ocupados del grano particular. A partir de mediciones sobre especímenes de monocristales de orientaciones conocidas se puede determinar 1) los planos sobre los cuales se produce el deslizamiento y 2) la dirección de deslizamiento dentro de estos planos. Tales experimentos han revelado que en las estructuras FCC el deslizamiento siempre se produce sobre los planos {111} pero solamente en las direcciones <110>. Esto significa que si se produce el deslizamiento sobre el plano (111) será en alguna de las tres direcciones ± [101], ±[110], ±[011].

Los cristales FCC poseen 12 sistemas de deslizamiento debido a que tienen cuatro grupos {111} y con tres direcciones <110> en cada una.

En otras estructuras de cristales metálicos, los sistemas de deslizamiento tienen más variabilidad. En los metales BCC las líneas de deslizamiento tienen una apariencia ondulada. En estos cristales el deslizamiento se produce predominantemente en los sistemas {110} <111> y la apariencia ondulada se debe aparentemente a deslizamiento simultáneo sobre los otros dos sistemas de planos {211} y {321} . En cristales HCP reales, la relación c/a no es igual al valor ideal de 1.633 del modelo de esfera dura. Para los metales c/a > 1.633 hay alguna preferencia para el deslizamiento sobre el plano basal, <1120>(0001), mientras que para aquellos metales con c/a < 1.633 los sistemas de deslizamiento preferidos son los otros dos.

Estructura Dirección de Deslizamiento

Planos de Deslizamiento

Ejemplos

FCC <110> {111} Cu, Al, Ni, Pb, Au, Ag, Fe

BCC <111> {110} Fe, W, Mo, Latón, Nb, Ta

BCC <111> {210} Fe, Mo, W, Na

BCC <111> {321} Fe, K

HCP <1120> (0001) Cd, Zn, Mg, Ti, Be, Co

HCP <1120> {1010} Ti, Mg, Zr, Be

HCP <1120> {1011} Ti, Mg

Tres observaciones generales son de gran importancia:

1. Las direcciones de deslizamiento siempre son en la dirección de empaquetamiento compacto. Existen excepciones, por ejemplo, mercurio sólido.

2. El deslizamiento ocurre usualmente sobre la mayoría de los planos compactos. Esta observación esta relacionada con el hecho de que los planos empaquetados más densamente también son el grupo de planos (hkl) ocupados que tienen el espaciamiento más amplio.

3. El deslizamiento se produce primero sobre el sistema de deslizamiento que tiene el mayor esfuerzo de corte a lo largo de su dirección de deslizamiento.

REFERENCIAS

VERHOEVEN, John, D. Fundamentos de Metalurgia Física. Ed. Limusa. 1987

SANDS, Donald. Introducción a la Cristalografía. Ed. Reverté S.A.

SMITH, William F. Fundamentos de la Ciencia e Ingeniería de Materiales. Ed. Mc Graw Hill. 1993

BRICEÑO, Carlos Omar. Química. Ed. Educativa

PULIDO ARENAS, Helena. Conferencias de Química I. "El Estado Sólido y Propiedades de los Materiales". Universidad Industrial de Santander. 1992