La Tierra gira alrededor del Sol en una órbita aproximadamente circular. La distancia entre la Tierra y el Sol es de 1.5 x 108 Km. Si suponemos que la órbita es circular entonces podemos calcular, fácilmente, la distancia que recorre la Tierra en su órbita alrededor del Sol. Este resultado nos servirá para conocer la velocidad con que se mueve la Tierra en su órbita, y conociendo dicha velocidad podremos “pesar al Sol”, es decir, calcular su masa. a) Calcule la velocidad de la Tierra en su órbita alrededor del Sol. b) Calcule la masa del Sol.

SoluciónPara representar los parámetros involucrados en el movimiento de la Tierra

alrededor del Sol, consideraremos que M es la masa del Sol, m es la masa de la Tierra, y r es la distancia entre sus centros.

a)A la rapidez con la cual un cuerpo gira se le llama velocidad de rotación. En

mecánica la velocidad de un cuerpo esta dada por v = d/t donde d es la distancia recorrida y t el tiempo empleado en recorrer dicha distancia. Suponiendo que la Tierra se mueve en una órbita circular alrededor del Sol, la distancia recorrida por la Tierra equivale al perímetro de la circunferencia descrito por ella. El tiempo empleado será el utilizado en completar una vuelta alrededor del Sol (un año). Con base en lo anterior tendremos que la velocidad orbital de la Tierra esta dada por

(1)

El radio de la órbita de la Tierra es r = 1.5 x 108 km = 1.5 x 1011 m. El tiempo empleado en dar una vuelta t = 1 año = 3.2 x 107 s.

Sustituyendo estos valores en la ecuación anterior tenemos que

v = 29 km/s

b) La Tierra en su trayectoria circular experimenta una fuerza centrípeta que por la segunda Ley de Newton (F=ma) esta dada por:

(2)

La fuerza centrípeta Fc es precisamente la fuerza de atracción gravitacional que esta dada por la siguiente ecuación:

(3)

donde G = 6.67 x 10-11 m3 kg-1 s-2

Puesto que estas dos ecuaciones son expresiones diferentes de la misma fuerza F, podemos igualar ambas ecuaciones

(4)

Simplificando esta expresión obtenemos

(5)

Por lo que la masa del Sol, M, estará dada por

(6)

Sustituyendo los valores de r, v y G en la ecuación anterior obtenemos que la masa del Sol es

M = 2 x 1030 kg.

2.- Un hoyo negro es una región del espacio-tiempo donde el campo gravitacional es tan intenso que ni siquiera la luz puede escapar de el.

a) Utilizando la ley de la conservación de la energía, calcule el radio que debe tener la Tierra para que sea un hoyo negro. La masa de la Tierra es 5.98 x 10 24

kg y su radio es de 6.37 x 106 m.

b) Considerando la rotación de la Tierra sobre su eje (una vuelta por día) y la conservación del momento angular durante “la contracción” de la Tierra hacia un hoyo negro, calcule el radio para el cual se equilibrarían la fuerza centrifuga y la fuerza gravitacional.

c) Compare las respuestas de los incisos anteriores y explique si es posible que la Tierra se convierta en un hoyo negro.

Solución

a) La velocidad de escape es la velocidad mínima que debemos suministrar aun cuerpo para que logre vencer el campo gravitatorio de otro. Para que un objeto escape de la Tierra y nunca mas regrese, debe lanzarse con una velocidad mayor que la que se requiere para ponerlo en órbita.Consideremos una velocidad de escape tal que, cuando a un objeto le imprimimos justamente esta velocidad de escape, este tendrá una velocidad cero en un punto en el “infinito”, en donde su energía total (ET = E. cinética + E. potencial) será

(7)

Debido a que la energía se tiene que conservar, entonces se requiere que en el momento del lanzamiento

(8)

Donde G es la constante gravitacional cuyo valor es de G = 6.67 x 10 -11 m3 kg-1 s-2,

es una masa de prueba, M la masa de la Tierra M = 5.98 x 1024 kg, y R es el radio de la Tierra, R = 6.37 x 106 m.

Simplificando la expresión (8) obtenemos

(9) (10)

Como, hasta donde se sabe actualmente, ningún objeto puede viajar mas rápido que la velocidad de la luz (c = 3 x 108 m/s), esto implica que la máxima velocidad de escape es c. Entonces la ecuación para calcular el radio que debería de tener la Tierra para que fuera un agujero negro es

(11)Sustituyendo los valores de G, M y, c obtenemosRT = 8.8 x 10-3 m = 8.8 mm

Es decir, el diámetro que debería tener la Tierra para ser hoyo negro tendría que ser aproximadamente la mitad del diámetro de una pelota de ping-pong.

b)Vamos a considerar a las condiciones normales de la Tierra como la etapa inicial y

la contracción en un hoyo negro como la situación final. El momento angular L lo expresamos como L = rmv, siendo r el radio de giro, m la masa del objeto y v la velocidad de rotación.

Tomando en cuenta la conservación del momento angular

(12)

y sustituyendo la expresión para L obtenemos

(13)

(la masa m se cancela). Despejando encontramos que

(14)

Esta expresión nos va a permitir determinar el radio en cualquier etapa de la contracción siempre y cuando conozcamos vf. Nosotros queremos determinar el radio en el que se equilibran las fuerzas centrífuga y gravitacional, con esta condición hacemos lo siguiente

(15)

(16)

Simplificando obtenemos

(17)

Nuevamente obtenemos una ecuación que nos va a permitir determinar el radio en cualquier etapa de la contracción siempre y cuando conozcamos v. Para la etapa final, que estamos considerando en este problema, la expresión anterior la escribimos como

(18)

Combinando las ecuaciones (14) y (18) y despejando obtenemos

(19)

Sustituyendo los valores de G, M (masa de la tierra), ri (radio de la Tierra) y vi (la velocidad de rotación de la Tierra = 463.24 m/s) obtenemos

c)Comparando los resultados del inciso a) y b) podemos concluir que la Tierra no se

puede convertir en un hoyo negro, ya que para un radio menor que el del inciso b) la fuerza centrífuga se encargaría de despedazarla. Es decir, la Tierra no podría reducirse hasta tener un radio de 8.8 mm.

3.- La temperatura de la Fotosfera (la capa del Sol que vemos a simple vista) es de aproximadamente 6000 K. Suponiendo que el Sol emite como un cuerpo negro, a) calcule la longitud de onda en la que la emisión del Sol es máxima, b) calcule la energía emitida por el Sol en el rango del visible (4000 -- 7000 Å).

1. The problem statement, all variables and given/known data A particle of mass m is repe-lled from the origin by a force inversely proportional to the cube of its distance from the origin. Set up and solve the equations of motion if the particle is initially at rest at a distan-ce x0 from the origin. (This is one dimensional motion) 2. Relevant equations Newtons Se-cond Law to set up the equation of motion 3. The attempt at a solution The first part is sim-ple. I just had.. mx¨=kx3

Reference https://www.physicsforums.com/threads/having-issues-with-a-seemingly-simple-problem.550027/

https://www.physicsforums.com/threads/having-issues-with-a-seemingly-simple-problem.550027/

Cómo medir la distancia de la Tierra al Sol (Principiante) abril 12, 2006 Posted by jorge johnson in astronomia. trackback

La Tierra se mueve en el espacio acompañando al Sol en su perma-nente deambular por el espacio intragaláctico, en forma tal que casi siempre se mantiene a la misma distancia de él. Para efectos prácticos, se dice entonces que la tierra se mueve en una trayectoria circular alrededor del sol.Esta distancia se llama Unidad Astronómica (UA).Aunque hay varias maneras de determinar la distancia tierra sol (UA), algunas de ellas requieren datos adicionales. Pero en épocas modernas la tecnología nos permite hacer mediciones directas de apoyo que ayudan a ‘despejar’ otros datos de las ecuaciones. Una de las técnicas más bonitas para determinar la distancia al sol, es usar la trigonometría plana de la siguiente manera:Se sabe que la Tierra y Venus tienen trayectorias casi circulares y que venus está más cerca al Sol. Por lo tanto el círculo de la trayectoria de venus es interno al círculo de la trayectoria de la Tierra.

El punto más alejado al Sol en la trayectoria de Venus con respecto a la Tierra, se llama elongación máxima de Venus, y forma un ángulo recto Sol-Venus-Tierra (Venus en el vér-tice).

La gráfica muestra la idea de lo que se dice.

Lo que sigue es resolver el triángulo recto. El problema es que no conocemos la distancia Tierra-Venus(T-V) al momento de la elongación. Pero podemos aprovechar la tecnología actual y usar tecnología de radar para determinar su distancia (Desde el año 1950 es posible hacer mediciones de radar hacia el espacio). El dato obtenido en esta medición de radar es el valor del cateto adyacente del triángulo recto(T-V), que es la distancia Tierra-Venus al momento de la máxima elongación y es mas o menos de 104 millones de kilómetros.

El ángulo Venus-Tierra-Sol (máxima elongación siempre está en el rango 45 a 47 grados -unas veces más, otras veces menos, debido a la combinación de las órbitas y sus excentrici-dades-.

Para efectos prácticos, usemos la media de 46 grados de elongación.

Entonces según la trigonometría plana:

Coseno(V-T-S) = (Cateto adyacente / Hipotenisa)

La Hipotenusa es el valor de la U.A., entonces:

Coseno(46 grados) = (104 millones de kilometros) / UA

lo que nos lleva a :

UA = (104 millones de kilometros) / Coseno(46 grados)

UA = (104 millones de kilometros) / 0.695

UA = 149.6 millones de kilometros

El valor actual para UA es de 149,597,870 km

En el siglo III a.C. Aristarco de Samos realizó el primer intento de medir las distancias y los tamaños de la Tierra, el Sol y la Luna del que tenemos noticia en la actualidad[]. Para ello se utilizó las pocas herramientas que tenían a la mano: una observación constante de los cielos y una mente inquisitiva e inconforme.  

Él propuso un esquema para estimar la medida de las distancias de lo que él llamo luminarias, con la ayuda de la geometría. Para ello se apoyó en el fenómeno de los eclipses de Luna y Sol dado que en ellos se alinean estos astros, permitiendo trazar una serie de rectas que en teoría permitirían estimar las respectivas distancias que los separan.

La construcción geométrica

Para la época de Aristarco no se tenía aun el concepto de funciones trigonométricas por lo que las gráficas resultaban bastante  complejas dado que se hacia uso intensivo de las defi-niciones de proporciones entre longitudes. Afortunadamente buscando en Internet [enlace]  encontramos una reconstrucción  bastante convincente en la cual se muestra de manera sen-cilla una  construcción geométrica similar  a la del propio Aristarco:

Diagrama 1: Construcción geométrica basada en la posición de los astros en un eclipse de Luna.

A la izquierda el Sol cuyo radio es s ilumina a la Tierra cuyo radio es t. La tierra detiene la luz solar que debería iluminar a la Luna cuyo radio esta marcado como ℓ. Las distancias de la Tierra al Sol esta marcada como U , L es la distancia de la Tierra a la Luna. D es la dis-tancia entre la Tierra y el punto donde termina la umbra, que es el cono de sombra creado por la Tierra, la Luna sale de la umbra cuando haya recorrido la distancia d correspondiente al radio de la umbra a la distancia L.

Diagrama 2: Gráfica donde se resalta los triángulos semejantes.

Según esta construcción geométrica se forman tres triángulos semejantes que serán de utili-dad para estimar las distancias U y L en términos del radio t de la Tierra. Estos triángulos poseen proporciones entre sus lados que son iguales y sus ángulos internos también son iguales, así que se puede establecer las igualdades entre los respectivos lados de esos angu-los:

Ecuación 1

Hallando distancias y tamaños

Aristarco sabia que los eclipses de Sol son de dos tipos, totales y anulares con lo que se puede suponer que el tamaño angular del Sol y de la Luna cumple con la siguiente igualdad que puede ser verificada con una gráfica idealizada de un eclipse de Sol donde se supone que el vértice del cono de sombra de la Luna esta justo encima de la superficie de la Tierra:

Ecuación 2

Diagrama 3: Eclipse de Sol en el que se muestra que el Sol y la Luna tienen un tamaño an-gular igual.

De la ecuación 1 podemos  despejar el valor de U/L  e igualarlo a s/ℓ

Ecuación 3De la ecuación 3 podemos resolver hallar  el tamaño del Sol (s) y el tamaño de la Luna (ℓ)  en términos del tamaño de la Tierra (t) haciendo las siguientes operaciones:

Se halla la cantidad de veces cabe el tamaño de la Tierra en la Luna ℓ/t (que es de esperarse sea menor a 1):

Ecuación 4

Se halla la cantidad de veces cabe la Tierra en el tamaño del Sol s/t (que es de esperarse sea mayor a 1):

Ecuación 5Estas ecuaciones determinan esos valores en cantidades que en teoría pueden ser medidas como son la razón s/ℓ  (las veces que cabe el tamaño del Sol en el tamaño de la Luna) y d/ℓ  (las veces que cabe el diametro de la umbra a la distancia L entre el tamaño de la Luna).

Aristarco propuso un método para hallar la relación entre las distancias U/L correspondien-tes a las distancias Luna-Tierra y Sol-Tierra respectivamente. Conocer ese valor es lo mis-mo que conocer la relación de tamaños entre el Sol y la Luna s/ℓ  como se ve en la ecuación 3, entonces mediante esa construcción geométrica puede hallarse una de las dos incógnitas que nos permitiría finalmente saber el tamaño y las distancias al Sol y la Luna:

Diagrama 4: medición de la proporción U/L La idea de Aristarco era la de esperar hasta que la Luna estuviese iluminada a la mitad por el Sol que en ese momento se encontraría formando el vértice de un angulo recto. Midiendo el ángulo φ se podrida hallar la relación U/L que corresponde a:

Ecuación 6

Aristarco no propuso un método para la medición de la relación d/ℓ ,en principio puede su-ponerse que el movimiento de la Luna puede ayudarnos a encontrar ese valor:

Diagrama 5: medición de la proporción d/ℓ

Los valores de distancia L y U pueden ser relacionados con el tamaño de la Tierra por me-dio de las razones L/t y U/t respectivamente, para ello realizaremos la siguiente construc-ción geométrica:

Diagrama 6: gráfica para relacionar el la distancia Tierra-Luna (L) con el radio de la Tie-rra (t)

En esta construcción se supone a un observador sobre la tierra que esta mirando hacia la Luna y logra determinar  θ que corresponde al tamaño angular de la Luna que se encuentra a una distancia L. Si existiera un objeto del tamaño de la Tierra, tendría que estar a una dis-tancia x para que se vea del mismo tamaño angular θ

Ecuación 7Usando una construcción similar, puede hallarse una distancia x a la cual debe colocarse un objeto del tamaño de la Tierra para que se vea del mismo tamaño angular del Sol. De acuer-do a las suposiciones que condujeron a la ecuación 2, se puede decir que el tamaño angular de la Luna θ es el mismo tamaño angular del Sol, resultando en la ecuación:

Ecuación 8

La medición en la práctica

El resultado de todo el planteamiento geométrico nos deja cuatro ecuaciones con las cuales podríamos hallar los valores buscados  en términos del tamaño de la Tierra, entonces reto-memos estas ecuaciones:

               

Ecuaciones 4 y 5 que relacionan los tamaños del Sol y de la Luna en términos del tamaño de la Tierra t.

           

Ecuaciones 7 y 8 que relacionan las distancias del Sol y de la Luna en términos del tamaño de la Tierra t.

Los valores desconocidos en estas ecuaciones son s/ℓ, d/ℓ  y  el angulo θ.

Hallando θ

El valor del angulo θ corresponde al tamaño angular de la Luna o el Sol bajo el supuesto que se ven del mismo desde la Tierra. En la realidad eso no sucede siempre, dado que los eclipses de Sol pueden ser totales o anulares, lo que quiere decir que los dos astros tienen tamaños aparentes que varían, entonces la suposición de que el tamaño angular es el mis-mo, solo se cumple de manera aproximada.

Fotografía 1 Eclipse Anular de Sol del 10 de mayo de 2013, tomada en Australia [enlace]

Una forma de medir el tamaño aparente del Sol, es con el uso de un artefacto como la cá-mara obscura que es un espacio sin luz, que en una de sus paredes posee un agujero peque-ño por donde puede pasar de manera controlada la luz. La medicion puede hacerse en cual-quier momento que el Sol sea visible:

Diagrama 7:camara oscura para medir el tamaño angular del Sol

Por medio de este diagrama podemos observar que la luz se proyecta al fondo del espacio formando una imagen del Sol. Esto sucede porque a cada punto de la imagen real del Sol corresponderá uno y solo uno en la pantalla al fondo del espacio: dado que la luz solo pue-de pasar por un orificio pequeño, solo hay una linea que une a ambos.

Con esta construcción geométrica podemos hacer dos mediciones de longitud, la medida h correspondiente a la distancia entre el agujero y la pantalla y la medida b correspondiente al radio de la imagen proyectada del Sol. La razon b/h es la tangente del angulo θ, de manera que con una calculadora podemos hallar fácilmente ese valor.

Hallando s/ℓ

Bajo la suposición que los tamaños angulares de la Luna y el Son son los mismos entonces se cumple que la proporción entre los tamaños s/ℓ es la misma que la proporción entre las distancias U/L . Aristarco propuso una observación para encontrar el valor de U/L que su-pone determinar el momento en el que la Luna esta iluminada por la luz del Sol de manera que esos rayos llegan perpendiculares a la linea de observación desde la Tierra. (Van Helden, 1985) aclara que la medición cuando la luna esta iluminada al 50% es erronea dado que el Sol al ser de un tamaño mayor a la Luna ilumina un poco mas de la mitad del area visibble, entonces el criterio puede ser la linea de delimita la luz y la sombra, es decir el terminador (linea que separa la parte iluminada de la oscura en un planeta).

Fotografía 2 La Luna en cuarto creciente [enlace]

Para el momento en el que la Luna esta siendo iluminada perpendicularmente a la linea L,  el terminador en la Luna en teoria deberia parecer una linea recta... el problema entonces es determinar cuando esa linea difusa se vuelve una linea recta.

Diagrama 8:La medición de Aristarco de la razon U/L teniendo en cuenta la geometria de la sombra.

Hallando d/ℓ

Para que suceda un eclipse de Luna, el satelite debe cruzar por la sombra de la Tierra. La Tierra puede obstruir la luz del Sol de manera total o parcial, el límite entre ambas zonas es difuso. La sombra parcial se llama penumbra y la sombra total se llama umbra. En el dia-grama 9 solo se ha dibujado la umbra cuyo radio es d a la distancia a la que esta la Luna L, entonces el radio dela umbra se debe medir en terminos del radio de la Luna. Los limites de la umbra son invisibles a menos que la Luna este iluminada parcialmente como se ve en la fotografía de la derecha.

Fotografía 3 Eclipse de Luna cerca del horizonte El siguiente diagrama muestra el momento en el que la Luna esta saliendo de la umbra (iz-querda), a la derecha se muestra una trayectoria posible de la Luna en medio de la umbra.

Diagrama 9:La umbra y la Luna vistas de lado (izquierda) y desde la Tierra durante un eclipse de Luna (derecha)

La medición de la umbra no es tan sencilla dado que rara vez el centro de figura de la Luna cruza por el centro de la umbra que seria la situación ideal para hacer una medición. Aristarco probablemente se demoró bastante en hallar el valor porque primero debía esperar a que ocurriera un eclipse de Luna y segundo solo podría estimar a ojímetro la medida. Con el advenimiento de la fotografía podemos evitar todos esos inconvenientes y desde nuestro computador podemos hacer una medición que posiblemente será más exacta que la de Aris-tarco:

Diagrama 10: pasos para medir la umbra de la Tierra con ayuda de una imagen y paint

1) Busque en internet varias imágenes de la luna durante un eclipse en el momento que está parcialmente oculta, entre más grandes sean mejor. En estas imágenes se muestra claramen-te el límite de la umbra que es el volumen donde la Tierra oculta completamente al Sol. Abra cada imagen en paint  o en un editor de imágenes como Inkscape.

2)- La idea es la de ajustar el perímetro de un circulo sobre el borde de la umbra. Con ayuda de la herramienta círculo dibuje  uno que se ajustarse al borde de la Umbra para ello cambie el tamaño y posicione el circulo hasta que cubra el borde de la sombra, este proceso debe repetirse más de una vez dependiendo de la habilidad del dibujante. En paint tenga en cuen-ta que si deselecciona el círculo, tendrá que empezar de nuevo porque los objetos se fijan y no puede ser seleccionados de nuevo.

3)- Cuando tenga ajustado el círculo sobre la umbra tome el valor en pixeles del tamaño del mismo, en paint  aparece abajo (recuerde no deseleccionar el circulo), el valor debe ser el mismo para el ancho y alto. Ajuste otro círculo que tenga el tamaño de la Luna y tome el valor en pixeles de ese círculo.

4)- Compare las medidas de los dos círculos para hallar la relación de medidas entre la um-bra y el tamaño de la Luna.

Parece un trabajo trivial con las herramientas de las que disfrutamos actualmente, para los astrónomos de la antigüedad conseguir este valor requería de mucho tiempo y esfuerzo por-que no  poseían más que su intelecto y unas pocas herramientas sencillas y a pesar de ello muchos lograron encontrar ese valor.

http://www.analizandoelexamen.com.co/eratostenes

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/orbv.html