CONJUNTOS Y RELACIONES ENTRE CONJUNTOS

CONJUNTOS

Un conjunto esta constituido por una serie de elementos que

poseen una característica o condición especial.

Estos elementos se denotan con letras minúsculas (a,b,..) y se

encierran entre corchetes {} o círculos , los conjuntos se

identifican por ser denotados por una letra Mayúscula(A,B,C…).

El Conjunto Universal es un conjunto que posee todos loselementos, y se denota (U).

Ejemplo

•El conjunto de los Números Reales (R), cuyos elementos son todos los números Naturales, Cero, Enteros negativos,

Fraccionarios, Racionales, Irracionales.

R= {-∞…,-2,-1,0,1,2,..∞}

DETERMINAR UN CONJUNTO

1. Por EXTENCION

Cuando TODOS sus ELEMENTOS son ENUMERADOS uno a uno.

Ejemplo A={z, w ,x} y D={8,17,25}

2. Por COMPRENCION

Cuando los elementos de un conjunto, cumplen con una funcióndeterminada, la cual esta expresada.

Ejemplo F = {nє N/ n divide a 7} Lo que quiere decir que Fson todos los números divisibles entre tres.

SUBCONJUNTOS

Son conjuntos formados por elementos que al mismo tiempo forman parte de otros conjuntos, esto quiere decir que su condición cumple

ambos conjuntos.

Ejemplo

T es el conjunto formado por todos los Carros Turbo queexisten, mientras que C es el conjunto formado por todos los tipos decarros que existen, entonces decimos claramente que T es unSUBCONJUNTO de C y se denota

T ⊂ C , ya que los Carros Turbo pertenecen al subconjunto T pero al

mismo tiempo pertenecen al conjunto C porque son carros.

Diremos que T es subconjunto Propio de C , si se cumple = (T ⊂ C) y

( T≠C)Lo que quiere decir que TODOS los elementos de T (carros Turbo)están dentro del conjunto C, pero que no todos los elementos de C(TODOS los carros) esta dentro del conjunto T.

CONJUNTO ES VACIO

Cuando no posee elementos y se denota ᵩA

ᵩA={x є A/ x ≠ x } entonces ᵩA no tiene elementos ya queno existe ningún x dentro de el.(debería satisfacer x=x y comoes x ≠ x , quiere decir que no hay).

CONJUNTO POTENCIA

Es el conjunto formado por todos los subconjuntos del mismo.se denota S(P) o 2S

Usando el ejemplo anterior donde el conjunto {C} (son todos los carros),{T}(carros de tipo Turbo), {A} (carros de tipo Aspirados), {I} (carros de tipo Inyeccion)Decimos que: 2S {C} ={{T},{A},{I},{T,A}{T,I}{A,I},{T,A,I}}

IGUALDAD DE CONJUNTOS

Dos conjuntos son iguales si y solo si los elementos de ambos son IGUALES.Atreves de diferentes teoremas esto es posible demostrarse ya que:

A = B A C B ^ B C AA es igual a B si y solo si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A.

UNION de ConjuntosConsiderando J y W dos conjuntos.

{G}= {3,6,9} y {P} = {1,5,7}

la unión de {G} y{P}, se denota A U B = {xє U / x є J ᵩ x є W }

Entonces:

G U P = {1,3,5,6,7,9} es decir que todos los elementos o están en G o en P.

Propiedades de la UNION de Conjuntos A U B :

1. A U A= A2. A U U= U3. A U ᵩA = A4. A U B = B U A

INTERSECCION de Conjuntos A ∩ B

Significa que algunos elementos de A están presentes en B.

Propiedades de la INTERSECCION de Conjuntos A ∩ B:1. A I A = A , ∀ A

2. A I U = A , donde U es el conjunto universal3. A I ᵩA = ᵩA4. A I B = B I A

Diferencia de Conjuntos

Son todos aquellos elementos que estan en el conjunto A pero no enel conjunto BEjemploSean A = { 10,20,30,40,50,60} y B = {10,15,25,30, 45,60}Entonces

A-B ={20,40,50} yB-A = {15,25,45}Diferencia SimétricaSe denota como ADB y ADB= (A-B U B-A)Usando el ejemplo anterior podemos decir que la Diferencia

Simétrica es

ADB= {20,40,50,15,25,45}

Propiedades de la Diferencia de ConjuntosSean A,B,C tres conjuntos, luego se cumple que:1. (AUB) - C = (A - C) U (B - C)2. (A I B) - C = (A - C) I (B - C)3. (AD B) - C = (A - C) D (B - C)4. A I ( B - C) = (A I B) - (A I C)5. (B - C) I A = (B I A) - (C I A)

Complemento de un Conjunto

El complemento de un conjunto son los elementos que le faltan a el mismo para para llegar a ser igual a U.

Se define C(F) = {xÎ U/ xÏ F}Así podemos decir xÎ C(B) Û xÏ B.

Ejemplo Si U = {1,10,100,1000} y G = {10,100}

entonces C(G) = {1,1000}

Teorema: Considerando A y B dos conjuntos

1. A - B = AI C(B)2. C(C(A)) = A 3. AUC(A) = U 4. AI C(A) = f 5. C(U) = f 6. C(f ) = U 7. AÌ B Û C(B) Ì C(A)

TEOREMA de LAS LEYES DE MORGAN (para Conjuntos)

1. C(AUB) = C(A) I C(B) 2. C(AIB) = C(A) U C(B)

Ejemplo

Hallar los conjuntos A y B sabiendo que U = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}, C(A)I C(B) = {6} y A I B = {0,5,8}.

C(A) I C(B) = {6} por ley de De Morgan C(A)I C(B) = C(AUB), así podemos decir que: C(AUB) = {6} Þ AUB = C(C(AUB)) = {0,1,2,3,4,5,7,8,9}Como A - B = = {7,9} entonces concluimos que A = {0,5,7,8,9} y B = {0,1,2,3,4,5,8}

ALGEBRA DE PRODUCTOS

Así como en las proposiciones existen las leyes del álgebra de proposicional, en la teoría de conjuntos tenemos las leyes del álgebra de conjuntos que veremos a continuación

Leyes de idempotentes

Leyes asociativas

Leyes conmutativas

Leyes distributivas

Leyes de identidad

Leyes de dominación

Leyes de completacion

Leyes de Morgan

Conjunto Producto o Producto Cartesiano

Consideramos los conjuntos A y B dos conjuntos, A x B = { (a,b) / aÎ BÙ bÎ B}

Ejemplo

Si G = {a, b} y P = {2,3,4}

entonces G x P = {(a,2), (a,3), (a,4), (b,2), (b,3), (b,4)} y G x P = {(2,a), (2,b), (3,a), (3,b),

(4,a),(4,b)}Notamos que GxP ¹ Px G

Teorema Si A,B,C son tres conjuntos entonces

1. A x B = F Û A = F Ú B = F2. A x (BUC) = (Ax B) U (Ax C) 3. Ax (B I C) = (Ax B) I (Ax C) 4. Ax(B -C) = (AxB) - (Ax C)

Operaciones Generalizadas

Familia Indizada de Productos

Consideremos un conjunto de índices I={1, 2, 3, & , n} y una familia deconjuntos {A1, A2, & , An}, donde cada Ai con iÎ I, representa un conjuntoh Al conjunto {A1, A2, & , An} lo llamaremos Familia Indizada de conjuntos; ylo denotaremos {Ai}iÎ I.

Las familias de conjuntos pueden ser finitas sin embargo, podemos también considerar familiar infinitas. Por ejemplo, consideremos el conjunto , donde n es un número natural cualquiera; luego la familia es una familia infinita, cuyo conjunto de índice es el conjunto de los números naturales .

ParticiónSea X un conjunto y {Ai}iÎ I una familia de subconjuntos de X. Se dice que {Ai}iÎ I

es una partición de X, si y sólo si:Cada Ai es una celda o bloque de la partición, es decir, una partición es una familia {Ai}iÎ I donde cada conjunto de la familia es no-vacío, la intersección entre dos miembros de la familia es vacía y la unión de todos los miembros da X.

EjemploSi F={a, b, c, d, e, f, g} y A1={a, b}, A2{e, c, g}, A3={d, f} , entonces {A1, A2, A3} es una partición de X.

TEORIA DE LA CARDINALIDAD DE CONJUNTOS

Diremos que un conjunto A es finito si A tiene n elemento, para algún número natural n, es decir, un conjunto es finito si se pueden contar sus elementos. En caso contrario se dice que es infinito. EjemploEl conjunto {f,g,m,p,s} es finito porque contiene 5 elementos, el conjunto de los números reales, de los números naturales son ejemplos de conjuntos infinitos.

Definimos A un conjunto finito, si: 1. El cardinal de A es 0 si A = f2. El cardinal de A es n y lo denotaremos por #A = n si A tiene n elementos

EjemploSi F = {0,1,3,5,8,9} entonces #A = 6

Los siguientes teoremas son usados para resolver problemas de la vida cotidiana cuando los conjuntos con los que estamos trabajando son conjuntos finitos.

Teorema: Sean A y B dos conjuntos finitos, se cumple1. B - A) = #B - #(AI B) 2. #(AUB) = #A + #B - #(AI B)

Teorema: Si A;B y C son tres conjuntos finitos se cumple #(AUBUC) = #A + #B +#C - #(AI B) - #(AI C) - #(BI C) + #(AI BI C).