Asíntotas de La Gráfica de Una Función

8/18/2019 Asíntotas de La Gráfica de Una Función

1/6

Apuntes de clase: Asíntotas

Lic. Adriana Valverde Calderòn

1

ASINTOTAS

Sea )( x f y una función real cuya gráfica esta dada por Domf x x f x f G /))(,()(

ASÍNTOTA VERTICAL

La recta 0 x x es una ASÍNTOTA VERTICAL de la gráfica de f si se verifica uno de

los siguientes casos:

)(

0

x f lím x x

o

)(

0

x f lím x x

y

)(0

x f lím x x

o

)(0

x f lím x x

Ejemplo 1: 2

1)(

x x f ; 0 x ,

20

1

xlím

x

y 20

1

xlím

x

Esto indica que cuando 0 x por la derecha o por la izquierda, el valor de la funcióntiende a valores positivos muy grande.

0 x es una asíntota vertical de la gráfica de 21

)( x

x f (Figura 1)

-0 .5 0 0 . 50

5 0

10 0

15 0

20 0

25 0

30 0

35 0

40 0F i g u r a 1

X

Y

-2 -1 0 1 2-6

-4

-2

0

2

4

6F i g u r a 2

cl c, cl f ; x=- 0. 5: 0. 01: 0. 5; y=x. (̂ - 2) ; subpl ot ( 1, 2, 1) ; pl ot ( x, y) ;axi s ( [ - 0. 5, 0. 5, - 1, 400] ) ; t i t l e( ' Fi gur a 1' ) ; xl abel ( ' X' ) ; yl abel ( ' Y' ) ;

x=- 2: 0. 01: 2; y=( x. 4̂) . *( 4. *x. 2̂- 8) . (̂ - 1) ; subpl ot ( 1, 2, 2) ; pl ot ( x, y) ;t i t l e( ' Fi gur a 2' ) ; axi s( [ - 2, 2, - 6, 6] )

Ejemplo 2: )2(4

)(2

4

x

x x f ; 2 x

)2(4 2

4

2 x

xlím

x

; )2(4 2

4

2 x

xlím

x

; )2(4 2

4

2 x

xlím

x

)2(4 2

4

2 x

xlím

x

; 2 x y 2 x son asíntotas verticales.

(Figura 2)


2/6



2

ASÍNTOTA HORIZONTAL

La recta L y es una asíntota horizontal de la gráfica de f si se verifica:

L x f lím x

)( o G x f lím x

)(

Significa que cuando x es infinitamente grande, con signo positivo o con signo negativo, elvalor de la función tiende al número L o al número G respectivamente. En algunos casos

G L y en otros casos G L .

Ejemplo 1: 1

1

)( 2

2

x

x

x f ;

1

12

2

x

xlím

x=

1

21

2

xlím

x = 1 y

1

12

2

x

xlím

x=

1

21

2

xlím

x = 1

1 y es una asíntota horizontal

- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5- 1 . 5

- 1

- 0 . 5

0

0 . 5

1

1 . 5

X

Y

cl c, cl f ; x=- 5: 0. 01: 5; y=( x. 2̂- 1) . *( x. 2̂+1) . (̂ - 1) ; pl ot ( x, y) ;axi s ( [ - 5, 5, - 1. 5, 1. 5] ) ; xl abel ( ' X' ) ; yl abel ( ' Y' )

Ejemplo 2: x

x f

2

1)( ; 2 x

Como: 02

1

xlím

x ; 0 y es una asíntota horizontal

Además: x

lím x 2

12

y x

lím x 2

12

2 x es una asíntota vertical.


3/6



3

ASINTOTA OBLICUA

La recta bmx y es una asíntota oblicua de la gráfica de f si se verifica:

m x

x f lím

x

)( y bmx x f lím

x

))((

o m x

x f lím

x

)( y bmx x f lím

x

))((

Observe: Si 0m se tendrá una asíntota horizontal.

Ejemplo 1: x

x x f

1)(

2

; 1 x

m =)1(

2

x x

xlím

x =

x

xlím

x 1 =

xlím

x 1

11 = 1

b =

x

x

xlím

x 1

2

=

xlím

x 1

11 =

xlím

x

1

11 = 1

1 x y es una asíntota oblicua

Además: x

xlím

x 1

2

1 y

x

xlím

x 1

2

1

1 x es una asíntota vertical

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

X

Y

y = x -1

asíntota oblicua

asíntota vertical

x = -1

Comandos en MATLAB

cl c, cl f ;x=- 10: 0. 01: 9; y=( x. 2̂) . *( 1+x) . (̂ - 1) ; pl ot ( x, y); xl abel ( ' X' ) ; yl abel ( ' Y' ) ;hol d on; y=x- 1; pl ot ( x, y, ' r - - ' ) ; axi s ( [ - 10, 9, - 12, 9] ) ;


4/6



4

Ejemplo 2:

Dada la función

1;234

1;22

9157

)(2

23

234

x x

x x

x x x x

x x x x

x f

hallar todas las asíntotas que existan.

Buscando las asíntotas verticales: 0 x x

En 1 x : Analizamos el comportamiento de la función cerca de 2 x

22

915723

234

x x x

x x x x =

)2()1()1(

)3()1( 2

x x x

x x x =

)2()1(

)3( 2

x x

x x y 2 x

)2()1(

)3( 2

2 x x

x xlím

x

y

)2()1(

)3( 2

2 x x

x xlím

x

2 x es una asíntota vertical

En 1 x : analizamos el comportamiento cerca de Cero

2342

0 x

x xlím

x

y

2342

0 x

x xlím

x

0 x es una asíntota vertical.

Buscando las asíntotas oblicuas : bmx y

En 1 x :

m = 1)2()1(

)3( 2

x x x

x xlím

x y b = 5

)2()1(

)3( 2

x x x

x xlím

x

la recta 5 x y es una asíntota oblicua.


5/6



5

En 1 x :

m = 02341 2

x

x x

xlím

x y

b =

2

342

x

x xlím

x =

2

342

2

x

x xlím

x = 3

Observe: 1) El cociente x

x x 342 es negativo pues x ( 0 x )

2) Cuando se busca las asíntotas oblicuas se hallan también las asíntotashorizontales ( m = 0 )

la recta 3 y es una asíntota horizontal cuando x

Gráfica de la función:

-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

X

Y asíntota horizontal

asíntota vertical

asíntota oblicua

x = 2

y = x - 5

y = -3

asíntota vertical

x = 0

Comandos en MATLAB

cl f , cl cx=1: 0. 01: 14; y=( x. 4̂- 7. *x. 3̂+15. *x. 2̂- 9. *x) . *( x. 3̂- 2. *x. 2̂- x+2) . (̂ - 1) ;pl ot ( x, y)hol d on ; x=5: 0. 01: 14; y= x- 5; pl ot ( x, y, ' k - - ' )hol d on ; x=- 6: 0. 01: 1; y=( sqr t ( x. 2̂- 4. *x+3) . *x. (̂ - 1) ) - 2; pl ot ( x, y, ' r ' )x=- 6: 0. 01: 0; y=- 3; pl ot ( x, y, ' k - - ' )axi s([ - 6, 14, - 10, 10] ) ; xl abel ( ' X' ) ; yl abel ( ' Y' )


6/6



6

Ejemplo 3:

44)3()(

2 x

x f ; ,51, Domf

Cuando x ¿existirá una asíntotas oblicua?

m =4

4)3(1lim

2

x

x x =

2

2 56lim

2

1

x

x x

x

=

2

561lim

2

1

x x x =

2

1

b =

x x

x

2

14)3(

2

1lim 2 = x x x

x

56lim

2

1 2 =*

multiplicando por su conjugada : =* x x x

x

x

56

65lim

2

12

=**

multiplicando al numerador y al denominador por 1/x: =**11

6lim

2

1

256

5

x x

x

x =

2

3

2

3

2

1 x y es una asíntota oblicua cuando x

En forma semejante se halla otra asíntota oblicua cuando x

2

3

2

1 x y es una asíntota oblicua cuando x

- 6 - 4 - 2 0 2 4 6 8 1 0 1 2- 0 . 5

0

0 . 5

1

1 . 5

2

2 . 5

3

3 . 5

4

4 . 5

X

Y

a s í n t o t a s o b l i c u a s

y = 0 . 5 x - 1 . 5y = - 0 . 5 x + 1 . 5

Comandos en MATLAB

cl c, cl f ;x=- 6: . 01: 12; y=sqr t ( ( ( x- 3) . 2̂- 4) . / 4) ; pl ot ( x, y) ; hol d onx=2: 0. 01: 12; y1=0. 5*x- 1. 5; pl ot( x, y1, ' r - - ' ) ; hol d on

x=-6:0.01:4; y2=-0.5*x+1.5; plot(x,y2,'r--'); xlabel('X'); ylabel('Y')

Asíntotas de La Gráfica de Una Función

Documents

Transcript of Asíntotas de La Gráfica de Una Función