8/18/2019 Asíntotas de La Gráfica de Una Función
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Apuntes de clase: Asíntotas
Lic. Adriana Valverde Calderòn
1
ASINTOTAS
Sea )( x f y una función real cuya gráfica esta dada por Domf x x f x f G /))(,()(
ASÍNTOTA VERTICAL
La recta 0 x x es una ASÍNTOTA VERTICAL de la gráfica de f si se verifica uno de
los siguientes casos:
)(
0
x f lím x x
o
)(
0
x f lím x x
y
)(0
x f lím x x
o
)(0
x f lím x x
Ejemplo 1: 2
1)(
x x f ; 0 x ,
20
1
xlím
x
y 20
1
xlím
x
Esto indica que cuando 0 x por la derecha o por la izquierda, el valor de la funcióntiende a valores positivos muy grande.
0 x es una asíntota vertical de la gráfica de 21
)( x
x f (Figura 1)
-0 .5 0 0 . 50
5 0
10 0
15 0
20 0
25 0
30 0
35 0
40 0F i g u r a 1
X
Y
-2 -1 0 1 2-6
-4
-2
0
2
4
6F i g u r a 2
cl c, cl f ; x=- 0. 5: 0. 01: 0. 5; y=x. (̂ - 2) ; subpl ot ( 1, 2, 1) ; pl ot ( x, y) ;axi s ( [ - 0. 5, 0. 5, - 1, 400] ) ; t i t l e( ' Fi gur a 1' ) ; xl abel ( ' X' ) ; yl abel ( ' Y' ) ;
x=- 2: 0. 01: 2; y=( x. 4̂) . *( 4. *x. 2̂- 8) . (̂ - 1) ; subpl ot ( 1, 2, 2) ; pl ot ( x, y) ;t i t l e( ' Fi gur a 2' ) ; axi s( [ - 2, 2, - 6, 6] )
Ejemplo 2: )2(4
)(2
4
x
x x f ; 2 x
)2(4 2
4
2 x
xlím
x
; )2(4 2
4
2 x
xlím
x
; )2(4 2
4
2 x
xlím
x
)2(4 2
4
2 x
xlím
x
; 2 x y 2 x son asíntotas verticales.
(Figura 2)
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2
ASÍNTOTA HORIZONTAL
La recta L y es una asíntota horizontal de la gráfica de f si se verifica:
L x f lím x
)( o G x f lím x
)(
Significa que cuando x es infinitamente grande, con signo positivo o con signo negativo, elvalor de la función tiende al número L o al número G respectivamente. En algunos casos
G L y en otros casos G L .
Ejemplo 1: 1
1
)( 2
2
x
x
x f ;
1
12
2
x
xlím
x=
1
21
2
xlím
x = 1 y
1
12
2
x
xlím
x=
1
21
2
xlím
x = 1
1 y es una asíntota horizontal
- 5 - 4 - 3 - 2 - 1 0 1 2 3 4 5- 1 . 5
- 1
- 0 . 5
0
0 . 5
1
1 . 5
X
Y
cl c, cl f ; x=- 5: 0. 01: 5; y=( x. 2̂- 1) . *( x. 2̂+1) . (̂ - 1) ; pl ot ( x, y) ;axi s ( [ - 5, 5, - 1. 5, 1. 5] ) ; xl abel ( ' X' ) ; yl abel ( ' Y' )
Ejemplo 2: x
x f
2
1)( ; 2 x
Como: 02
1
xlím
x ; 0 y es una asíntota horizontal
Además: x
lím x 2
12
y x
lím x 2
12
2 x es una asíntota vertical.
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3
ASINTOTA OBLICUA
La recta bmx y es una asíntota oblicua de la gráfica de f si se verifica:
m x
x f lím
x
)( y bmx x f lím
x
))((
o m x
x f lím
x
)( y bmx x f lím
x
))((
Observe: Si 0m se tendrá una asíntota horizontal.
Ejemplo 1: x
x x f
1)(
2
; 1 x
m =)1(
2
x x
xlím
x =
x
xlím
x 1 =
xlím
x 1
11 = 1
b =
x
x
xlím
x 1
2
=
xlím
x 1
11 =
xlím
x
1
11 = 1
1 x y es una asíntota oblicua
Además: x
xlím
x 1
2
1 y
x
xlím
x 1
2
1
1 x es una asíntota vertical
-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8-12
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
X
Y
y = x -1
asíntota oblicua
asíntota vertical
x = -1
Comandos en MATLAB
cl c, cl f ;x=- 10: 0. 01: 9; y=( x. 2̂) . *( 1+x) . (̂ - 1) ; pl ot ( x, y); xl abel ( ' X' ) ; yl abel ( ' Y' ) ;hol d on; y=x- 1; pl ot ( x, y, ' r - - ' ) ; axi s ( [ - 10, 9, - 12, 9] ) ;
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4
Ejemplo 2:
Dada la función
1;234
1;22
9157
)(2
23
234
x x
x x
x x x x
x x x x
x f
hallar todas las asíntotas que existan.
Buscando las asíntotas verticales: 0 x x
En 1 x : Analizamos el comportamiento de la función cerca de 2 x
22
915723
234
x x x
x x x x =
)2()1()1(
)3()1( 2
x x x
x x x =
)2()1(
)3( 2
x x
x x y 2 x
)2()1(
)3( 2
2 x x
x xlím
x
y
)2()1(
)3( 2
2 x x
x xlím
x
2 x es una asíntota vertical
En 1 x : analizamos el comportamiento cerca de Cero
2342
0 x
x xlím
x
y
2342
0 x
x xlím
x
0 x es una asíntota vertical.
Buscando las asíntotas oblicuas : bmx y
En 1 x :
m = 1)2()1(
)3( 2
x x x
x xlím
x y b = 5
)2()1(
)3( 2
x x x
x xlím
x
la recta 5 x y es una asíntota oblicua.
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5
En 1 x :
m = 02341 2
x
x x
xlím
x y
b =
2
342
x
x xlím
x =
2
342
2
x
x xlím
x = 3
Observe: 1) El cociente x
x x 342 es negativo pues x ( 0 x )
2) Cuando se busca las asíntotas oblicuas se hallan también las asíntotashorizontales ( m = 0 )
la recta 3 y es una asíntota horizontal cuando x
Gráfica de la función:
-6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
X
Y asíntota horizontal
asíntota vertical
asíntota oblicua
x = 2
y = x - 5
y = -3
asíntota vertical
x = 0
Comandos en MATLAB
cl f , cl cx=1: 0. 01: 14; y=( x. 4̂- 7. *x. 3̂+15. *x. 2̂- 9. *x) . *( x. 3̂- 2. *x. 2̂- x+2) . (̂ - 1) ;pl ot ( x, y)hol d on ; x=5: 0. 01: 14; y= x- 5; pl ot ( x, y, ' k - - ' )hol d on ; x=- 6: 0. 01: 1; y=( sqr t ( x. 2̂- 4. *x+3) . *x. (̂ - 1) ) - 2; pl ot ( x, y, ' r ' )x=- 6: 0. 01: 0; y=- 3; pl ot ( x, y, ' k - - ' )axi s([ - 6, 14, - 10, 10] ) ; xl abel ( ' X' ) ; yl abel ( ' Y' )
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6
Ejemplo 3:
44)3()(
2 x
x f ; ,51, Domf
Cuando x ¿existirá una asíntotas oblicua?
m =4
4)3(1lim
2
x
x x =
2
2 56lim
2
1
x
x x
x
=
2
561lim
2
1
x x x =
2
1
b =
x x
x
2
14)3(
2
1lim 2 = x x x
x
56lim
2
1 2 =*
multiplicando por su conjugada : =* x x x
x
x
56
65lim
2
12
=**
multiplicando al numerador y al denominador por 1/x: =**11
6lim
2
1
256
5
x x
x
x =
2
3
2
3
2
1 x y es una asíntota oblicua cuando x
En forma semejante se halla otra asíntota oblicua cuando x
2
3
2
1 x y es una asíntota oblicua cuando x
- 6 - 4 - 2 0 2 4 6 8 1 0 1 2- 0 . 5
0
0 . 5
1
1 . 5
2
2 . 5
3
3 . 5
4
4 . 5
X
Y
a s í n t o t a s o b l i c u a s
y = 0 . 5 x - 1 . 5y = - 0 . 5 x + 1 . 5
Comandos en MATLAB
cl c, cl f ;x=- 6: . 01: 12; y=sqr t ( ( ( x- 3) . 2̂- 4) . / 4) ; pl ot ( x, y) ; hol d onx=2: 0. 01: 12; y1=0. 5*x- 1. 5; pl ot( x, y1, ' r - - ' ) ; hol d on
x=-6:0.01:4; y2=-0.5*x+1.5; plot(x,y2,'r--'); xlabel('X'); ylabel('Y')
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