Aspectos matemáticos en la música

Cánones

Idea básica: un patrón que se repite en diferentes voces (contrapunto).Repetición exacta (unísono o con cambios de intervalo) o imitativa (inverso, retrógrado, por aumentación, disminución, etc).

Propuesta: duxRespuesta: comesInfinito: circular, espiralado, etc. Ejemplo: ofrenda musical.

Cánones rítmicos

Se repite un patrón rítmico (motivo) en diferentes voces.

A = MotivoTi = transformaciones (p/ej traslaciones temporales)Canon =

Ui I Ti(A)Podemos pensar:Pulsos enteros, D subconjunto de Z A se identifica con χD : D → {0, 1}

C = Σi I χTi(A)

(superposición de todas las copias)

100110101001100... 1001101010...

C(4) = C(6) = 2, C(5) = 0

10011010

A = { 0, 3, 4, 6 }, i = -2

Retrogradación

1001101001011001

Otras transformaciones

Cubrimiento: canon que cubre todos los pulsos futuros (C ≥ 1).

Empaquetamiento: a lo sumo una nota en cada pulso futuro (C ≤ 1)Ejemplo trivial: una única copia del motivo en un intervalo “grande”.Ejemplo más trivial: ninguna copia.

Covering / Packing

Mosaico: exactamente una nota por cada pulso futuro (C = 1)

Tilings = Coverings ꓵ Packings

Ejemplo: Escher's drum

Mosaicos

Canon periódico por traslaciones (G. Bloch)

Canon mosaico por traslaciones de una baldosa.

Equivale a embaldosar Z

Mosaico finito: embaldosar Zn

Canon por traslaciones

A (motivo): subconjunto de Z B: offsetsQueremos: { A + b }b B particiónEn otras palabras, que la aplicación

A x B → Z (a,b) → a + b

sea biyectiva.

Embaldosando Z

Podemos escribirZ = A B

Observación: en ese caso

R = (A + [0,1)) B

Embaldosando Z

Teorema: A, B Z finitos. SiA + B = A B

entonces existen A', B' tales que A A', B B' y

Z = A' B'

Caso finito

Ejemplos

A = { 0, 1, 4, 5 } B = { 0, 6, 8, 14, 16 }

1100110000 11001100000

1100110000 1100110000

1100110000

Ejemplos

A = { 0, 1, 4, 5 } B = { 0, 6, 8, 14, 16 }

A B = { 0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21 }

Forma polinómica

A(x) = 1 + x + x4 + x5 B(x) = 1 + x6 + x8 + x14 + x16

A(x)*B(x) = 1 + x + x4 + x5 + x6 + …

Ejercicio

Otro ejemplo de Seitz

Cánones periódicos

nZ = {…, 0, n, 2n, 3n, ... }O en forma “función característica”

...10...010...01...

Ejemplo: 3Z se puede pensar como...1001001001...

Digresión

2Z: ...10101010101...3Z: ...100100100100...

2Z U 3Z: ...101110101110101110...

Período 6: ...101110101110101110...

Digresión

2Z U 3Z U 5Z tiene período 30.

En general, unión finita de conjuntos periódicos es un conjunto periódico.Pero

U pZ = ...101111111... no periódico

Conclusión: hay infinitos primos.

Cánones periódicos

Teorema: A finito, Z = A B

Entonces existen n 1 y C finito tales que B = C nZ.Conclusión: para estudiar los embaldosados por traslación es suficiente estudiar el caso finito.

Observación: el resultado vale solo para traslaciones. Por ejemplo, si se permiten movimientos retrógrados se generan mosaicos aperiódicos, se puede considerar Z9 con

M = { 0, 1, 5 } 11000100R = { 0, 4, 5 } 10011000

Ejemplo de Bloch

– 100011100 1 11000 1

100011100111000110001110... 1000111001110001...

Ejemplo de Bloch1000111001110001... 1000111001110001...

En Z16

{0,4,5,6,9,10,11,15} {0,8} ={0,4,5,6,9,10,11,15,8,12,13,14,1,2,3,7} =Z16

Ejemplo de BlochSe puede pensar:

{0, 4, 5, 9 } {0, 6, 8, 14 }

= {0, 4, 5, 9 } ({0, 6} {0, 8})

Ejemplo de BlochObservación:

{0, 4, 5, 9 } ({0, 6, 8, 14 } 16Z

es musicalmente distinto de

= { 4, 9, 16, 21 } ({0, 8, 22, 30 } 16Z

Conjetura de HajosSi Zn = A B

Entonces existe p < n tal que

A = A + p Vale por ejemplo para n = 12.

86

014

{0, 6, 8, 14} = {0, 6} {0, 8}

Cánones de Vuza

n = 108

Teorema: 1) Existen cánones de Vuza.2) Solo puede haber cánones de Vuza para

n = pk, pkq, p2q2, p2qr, pqrs

con p, q, r, s primos distintos.

Más allá de las palabras y su significado, el habla contiene información prosódica: acentuaciones, pausas, ritmo, entonación, tonos, intensidades, velocidad, énfasis, etc. Todo esto que también ayuda a comprender el mensaje, y se lo llama prosodia de un lenguaje.

Prosodia

Clasificación de idiomas

De compás silábico: la duración de la sílaba es estable. En general la duración de una frase es proporcional a la cantidad de sílabas que tenga. Ejemplos: lenguas románicas.

De compás acentual: el tiempo entre acentuaciones es constante, sin importar la cantidad de sílabas que haya en el medio. La duración del tiempo de estás sílabas de hecho se contrae o se expande en función de estos acentos. Ejemplos: inglés británico, holandés (en gral. las lenguas germánicas)

A. Patel, J. Iversen and J. Rosenberg, Comparing the rhythm and melody of speech and music: The case of British English and French (2005)

Hipótesis: la música de un compositor refleja los patrones prosódicos de su lengua nativa.

Prosodia y música

Habla: 20 frases por idioma. 4 locutoras por idioma.

EjemplosMy grandparent’s neighbor’s the most charming person I know.La nouvelle saison théâtrale promet d’être des plus intéressante.

Metodología

Música:

● Piezas instrumentales

● Época: cambio de siglo a finales del 1800 (según los musicólogos, una etapa de nacionalismo musical)

● 6 compositores ingleses con sus 136 obras● 10 compositores franceses con sus 180 obras

Metodología

Para el lenguaje, se toman las vocales del habla como si fueran las notas musicales de una partitura.

Ritmo: se obtiene, como antes, (dk)

k=1,...,m.

Para ello fue necesario medir los límites temporales de las vocales con un software de análisis de señales digitales.

CV = DesvioStMedia

nPVI = 100m-1

´dk - dk+1dk + dk+12

æ

è

ççç

ö

ø

÷÷÷k=1

m-1

å

Medidas

Coeficiente Variacional

Normalized PairwiseVariability Index

(contraste duracional)

Se utilizó el Coeficiente Variacional para medir dos aspectos:

Variación en la altura de las notas empleando la sucesión (s

k)

Variación en la distancia interválica de las notas empleando la sucesión

(sk')

k=2,...m donde s

k' = s

k – s

k-1

Distancia en semitonos 12 log2frec2

frec1

æ

èç

ö

ø÷

Regresiones lineales entre CV y nPVI: a mayor CV, mayor nPVI.

Análisis de Montecarlo: es improbable que la variabilidad sea la causa de las diferencias en el nPVI en ambos dominios.

Mann-Whitney U-test: para el habla, los resultados muestran que existen diferencias significativas entre los idiomas tanto para la variabilidad duracional (CV) como para el contraste duracional (nPVI). Para la música, hay una diferencia significativa en el nPVI pero no en la variabilidad general.

Resultados rítmicos

Mann-Whitney U-test

Los resultados muestran que los idiomas no difieren en la variabilidad de las alturas pero sí lo hacen en la variabilidad de los intervalos entre notas.

Resultados melódicos

Los ritmos y melodías del habla y la música instrumental pueden ser comparados cuantitativamente usando métodos modernos de fonética.

Utilizando estos métodos se confirma la hipótesis de que la música instrumental de Inglaterra y Francia refleja la prosodia del lenguaje nativo del compositor.

Los procedimientos desarrollados pueden ser aplicados al estudio de las relaciones entre prosodia y música en otras culturas y también pueden llegar a ser útiles para medir cuantitativamente la prosodia no nativa.

Conclusiones

Español de Argentina y tango

Base de datos musicales: 96 tangos

Idioma: registros radiales y material audiovisual de época (25 frases)

¿Y el español?